Prob Magneto

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS PROBLEMAS RESUELTOS EN CLASE PROBLEMA 1 + λ i g N espiras Entrehierro Permeabilidad µ 0 Núcleo magnético Permeabilidad µ Longitud magnética media c l Líneas de flujo magnético El circuito magnético de la figura tiene las siguientes dimensiones: A c = 9 cm 2 , A g = 9 cm 2 , g = 0.050 cm, , y N = 500 espiras. Supóngase el valor µ cm 30 c = l r = 70000 para el hierro. Si la inducción magnética en el núcleo es igual a 1 T, calcule: a) Reluctancias c y g . b) Flujo φ que recorre el núcleo. c) Intensidad que recorre la bobina. PROBLEMA 2 La estructura magnética de una máquina síncrona se muestra esquemáticamente en la siguiente figura. Suponiendo que el material ferromagnético del rotor y del estator tiene permeabilidad infinita (µ ), obtenga el flujo φ que atraviesa el entrehierro y la densidad de flujo B g . Para este ejemplo, I = 10 A, N = 1000 espiras, A g = 2000 cm 2 , y g = 1 cm. 1

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS PROBLEMAS RESUELTOS EN CLASE

PROBLEMA 1

+λ –

i

gNespiras

EntrehierroPermeabilidad µ0

Núcleo magnéticoPermeabilidad µ

Longitud magnéticamedia cl

Líneas de flujo magnético

El circuito magnético de la figura tiene las siguientes dimensiones: Ac = 9 cm2, Ag = 9 cm2, g = 0.050 cm, , y N = 500 espiras. Supóngase el valor µcm 30c =l r = 70000 para el hierro. Si la inducción magnética en el núcleo es igual a 1 T, calcule: a) Reluctancias ℜc y ℜg. b) Flujo φ que recorre el núcleo. c) Intensidad que recorre la bobina.

PROBLEMA 2 La estructura magnética de una máquina síncrona se muestra esquemáticamente en la siguiente figura. Suponiendo que el material ferromagnético del rotor y del estator tiene permeabilidad infinita (µ → ∞), obtenga el flujo φ que atraviesa el entrehierro y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo, I = 10 A, N = 1000 espiras, Ag = 2000 cm2, y g = 1 cm.

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PROBLEMA 3 El núcleo central del circuito magnético de la figura está bobinado con 800 espiras. El material es acero fundido con un valor de la permeabilidad relativa µr = 1000. Calcule la corriente I que debe aplicarse a la bobina para obtener en el entrehierro un flujo de 1 mWb.

PROBLEMA 4 Resuelva el problema anterior si la curva de magnetización del acero fundido responde a la siguiente expresión:

H·101H·10·8.1B 3

3

+= ; B: Teslas, H: A-v/m

PROBLEMA 5 El circuito magnético de la figura está realizado con material ferromagnético cuya curva de imanación responde a la siguiente expresión:

H·101H·10·2B 3

3

+= ; B: Teslas, H: A-v/m

El entrehierro es de 1 mm, la longitud magnética media de la estructura es 1 m y la sección transversal es uniforme e igual a 20 cm2. Calcule la inducción magnética en el entrehierro.

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PROBLEMA 6 El circuito magnético de la figura tiene una bobina de N espiras arrollada en un núcleo magnético de permeabilidad infinita con dos entrehierros en paralelo de longitudes g1 y g2 y áreas A1 y A2, respectivamente. Si se desprecia el efecto de borde en el entrehierro, calcule: a) Inductancia del devanado. b) Densidad de flujo B1 en el entrehierro 1 si por el devanado circula una corriente i.

PROBLEMA 7 Para el circuito magnético del problema 1, determine: a) Inductancia L. b) Energía magnética almacenada W para Bc = 1 T. c) Tensión inducida e para un flujo en el núcleo variable con el tiempo de frecuencia 60 Hz, de

la forma Bc = 1.0·senωt, donde ω = 2π60 s

rad .

PROBLEMA 8 Suponga que el circuito magnético del problema 1 tiene la siguiente curva de magnetización DC. Calcule la corriente i para una densidad de flujo en el núcleo Bc = 1 T.

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PROBLEMA 9 El circuito magnético de la figura está fabricado con láminas de acero de grano orientado M-5. El devanado se excita con una tensión para producir una densidad de flujo en el acero de la forma B = 1.5·sen 377t T. El acero ocupa el 94% del volumen total del núcleo. La densidad del

acero es 7.65 3cmg . Calcule:

a) Tensión aplicada. b) Amplitud de la corriente. c) Valor eficaz de la corriente. d) Pérdidas del núcleo.

PROBLEMA 10 Considérese el núcleo magnético de la figura, donde la longitud de la trayectoria magnética media es 50 cm y la sección del núcleo es igual a 10 cm2. El número de espiras es 300 y la

tensión eficaz aplicada es 2

150 V. La resistencia de la bobina se supone despreciable y la

curva de magnetización del material responde a la expresión:

H·101H·10·8.1B 2

2

+= ; B: Teslas, H: A-v/m

Calcule: a) Corrientes IFE, Iµ e Iexc y el ángulo de desfase entre la tensión aplicada y la intensidad de

excitación. b) Parámetros RFE y Xµ del circuito equivalente de la bobina. Datos: La frecuencia de la tensión es 50 Hz y las pérdidas en el hierro con la tensión aplicada son iguales a 20 W.

+V

I

φ

N espirasS

R

l metros

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PROBLEMA 11 El relé mostrado en la figura está fabricado con material magnético de permeabilidad infinita. La pieza móvil también está construida con el mismo material. La altura de la pieza móvil es mucho mayor que la longitud del entrehierro (h >> g). Calcule la energía magnética almacenada, W, en función de la posición de la pieza móvil (0 < x < d) para N = 1000 espiras, g = 0.002 m, d = 0.15 m, l = 0.1 m, e i = 10 A.

PROBLEMA 12 Para el relé del problema anterior, calcule la fuerza que actúa sobre la pieza móvil en función de x si la corriente se mantiene constante en 10 A. Utilice las expresiones de la energía y de la coenergía.

PROBLEMA 13 En el sistema de la figura, las inductancias en henrios (H) son:

( ) 311 10· 2cos3L −θ+=

θ+= 2cos1030L22

θ== cos1.0LL 1221

Calcule el par Tfld(θ) para i1 = 1 A e i2 = 0.01 A.

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PROBLEMA 14 La figura muestra el circuito magnético de un electroimán cuya bobina tiene 1000 espiras. La sección transversal de todas las trayectorias magnéticas es igual a 10 cm2. Se desprecia la reluctancia del hierro y la dispersión magnética del entrehierro. Si se hace circular por la bobina una corriente continua de 10 A, calcule, para las separaciones x = 2 cm y x = 1 cm, las siguientes magnitudes: a) Flujo e inducción magnética en el entrehierro. b) Inductancia de la bobina. c) Energía y densidad de energía magnética en el entrehierro. d) Fuerza que actúa sobre la armadura móvil. Si la armadura móvil se mueve muy lentamente desde x = 2 cm a x = 1 cm, determine: e) Cambio en la energía magnética almacenada. f) Energía eléctrica suministrada por la fuente de alimentación, suponiendo despreciable la

resistencia eléctrica de la bobina y el rozamiento de la armadura móvil. g) Trabajo mecánico realizado, comprobando el balance energético del sistema. Conteste los apartados e) – g) si se supone que el movimiento de la armadura móvil es lo suficientemente rápido para que el flujo total no cambie durante la traslación.

PROBLEMA 15 En la figura se muestra el mecanismo de un relé electromagnético. Al aplicar una corriente continua a la bobina, se produce la atracción de la armadura móvil que cierra los contactos a y a’ haciendo funcionar una carga de mayor consumo que la necesaria por la bobina del relé, lo que permite controlar grandes intensidades de cargas por actuación sobre intensidades pequeñas necesarias para la excitación de la bobina. Si la corriente que circula por la bobina es igual a 20 mA, y se desprecia la fuerza magnetomotriz necesaria para el hierro, calcule: a) Fuerza y coeficiente de autoinducción de la bobina cuando el entrehierro x es igual a 3 mm. b) Repita el apartado a) para una separación x = 3.6 mm. c) Si la resistencia de la bobina es igual a 1000 Ω, calcule la tensión que es necesario aplicar

a la misma para mantener constante la corriente cuando la armadura se mueve entre las dos posiciones. El tiempo necesario para esta traslación es 11 ms.

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PROBLEMA 16 En la figura se muestra el circuito magnético de un dispositivo electromecánico denominado contactor. El sistema consiste en un núcleo ferromagnético en forma de E, cuya sección central lleva el devanado de excitación y tiene doble superficie que las secciones laterales. Además, una pestaña P limita el espesor del entrehierro a un valor adecuado. Existen unos contactos m y n que se cierran al aplicar a la bobina una excitación de corriente alterna, dando alimentación a una carga externa. Considerando las dimensiones indicadas en la figura, que el entrehierro tiene 0.5 cm, que se aplica a la bobina una tensión del tipo:

t·cos220·2v ω=

con una frecuencia de 50 Hz, que la reluctancia del hierro es despreciable y que la resistencia eléctrica de la bobina es 5 Ω, calcule: a) Coeficiente de autoinducción de la bobina. b) Corriente instantánea que circula por la bobina. c) Expresión instantánea del flujo y de la inducción en el núcleo central. d) Expresión de la fuerza instantánea ejercida sobre la armadura móvil.

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PROBLEMA 17 Para el sistema de la figura, los valores de las inductancias en henrios (H) son:

θ+= 2cos25L11

θ+= 2cos3L22

θ== cos10LL 1221 Si los devanados se alimentan con corrientes continuas de valores i1 = 1 A e i2 = 0.5 A, calcule: a) Energía magnética almacenada en función de θ. b) Par mecánico desarrollado en función de θ.

PROBLEMA 18 Las inductancias del dispositivo electromagnético mostrado en la figura son:

θ−= 2cosLLL ba11

θ+= 2cosLLL ba22

θ== 2senLLL b1221 Calcule la expresión del par producido si las corrientes son de la forma: i e

. tcosIm1 ω=

tsenIi m2 ω−=

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PROBLEMAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

PROBLEMA 1

Dado el circuito magnético de la figura se sabe que la intensidad I2 = 0.55 A y la intensidad I3 =0.65 A, ambas según los sentidos indicados en la figura.

El número de espiras de cada bobina así como las dimensiones del circuito (en cm.) se indicanen la figura. El núcleo está construido de chapa de acero aleada al silicio. La profundidad de lapieza es uniforme y de valor 10 cm.

Calcular el valor de la intensidad I1 que habrá de circular por la bobina 1 para que el valor delflujo magnético en la columna de la derecha sea φd = 0.6 mWb.

N2 = 300

N3 = 250

N1 = 500

φd

I2

I3

I1

6 3

3

33

3

6

6

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2

PROBLEMA 2

El circuito magnético de la figura de sección circular y constante, está constituido con chapaaleada al silicio de 0.35 mm. de espesor, su permeabilidad magnética relativa podemossuponerla constante y de valor igual a 4330.

La bobina N1 = 1000 espiras está recorrida por una I1 = 0.2 A. La bobina 2 tiene 500 espiras.

Se pide:

a) Representar el esquema eléctrico equivalente.b) Flujos del circuito.c) F.e.m. inducida en la bobina de 500 espiras.d) Coeficiente de autoinducción en la bobina L1.

10 cm

10 cm

I1

N1

N2

0,1

cm

PROBLEMA 3

Una bobina con núcleo de hierro tiene 500 espiras, siendo su resistencia despreciable. Lasección de núcleo uniforme vale 25 cm2, siendo la longitud magnética media igual a 80 cm. Lacurva de imanación del material es:

H150H2B+

= ; B: Teslas, H: A-v/m

Si la tensión aplicada es alterna y de 220 V eficaces y la frecuencia es de 50 Hz calcular:

a) Circuito equivalente de la bobina.b) Corriente de excitación.

NOTA: Se conoce por la información proporcionada por el constructor, que a la tensión nominalde 220 V, las pérdidas en el núcleo son de 5 W/kg. El peso específico del material es igual a7.8 kg/dm3.

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PROBLEMA 4

La estructura magnética de la figura tiene una permeabilidad relativa µr = 100, la longitud de latrayectoria magnética media es igual a 1 m en el hierro. El valor de la sección transversal es de100 cm2. La longitud total del entrehierro (dos partes) es de 0,2 cm. El flujo en el entrehierro esde 4·10-3 Wb y su sentido es el indicado en la figura. La bobina A tiene 1000 espiras y la B tieneN espiras, circulando por ambas bobinas una c.c. de 6 A, Se pide:

a) Determinar el número de espiras de la bobina B.b) Calcular la fuerza con que es atraída la armadura móvil.c) Si se coloca una espira como se indica en la figura, ¿cuál será la lectura del voltímetro:

1) Si la corriente de alimentación es de c.c.?2) Si la corriente de alimentación es senoidal y de tal magnitud que produzca el mismo

valor eficaz de flujo en el entrehierro. La frecuencia es de 50 Hz?

NOTA: Se supone que para resolver el apartado c) el entrehierro está abierto.

NBB

A

φ

NA = 1000

6A

6A

V

PROBLEMA 5

Dos bobinas tienen las siguientes autoinductancias e inductancias mutuas:

x212LL 2211+

==

x21LL 1221 −==

Se desprecian las resistencias de las bobinas.

a) Si la corriente i1 se mantiene constante en 5 A y la corriente i2 en –2 A, calcular elincremento en el trabajo mecánico realizado cuando x aumenta de 0 a 0.5 m.

b) Obtener la dirección de la fuerza desarrollada.c) Determinar el incremento de energía eléctrica suministrada por ambas bobinas.

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PROBLEMA 6

El circuito magnético de la figura de sección circular, expresado en cm., está formado porcuatro materiales de distinta permeabilidad magnética, donde µr1 = 5000, µr2 = 6000 y µr4 =7000. El material 1 tiene arrollada una bobina de 10000 espiras, recorrida por una intensidadde 10 A. Aparecerá en el circuito un flujo que circulará por su interior. Despreciando las fugasmagnéticas, calcular el sentido y el valor del flujo en el Sistema Internacional.

I(t)

4 2 1

2.3

1.2

1

0.2 1.5 3

2.6

PROBLEMA 7

Una máquina eléctrica con salientes magnéticos tanto en el estator como en el rotor tiene lassiguientes inductancias:

L11 (estator) = 0.75 + 0.35Cos(2θ) HL22 (rotor) = 0.5 + 0.2Cos(2θ) HL12 (estator-rotor) = 0.8Cos(θ) H

Las resistencias de los devanados son despreciables. Si por el devanado del estator circulauna corriente i1(t) = 2 Sen(314t) y el rotor está en cortocircuito, calcular la corriente i2(t) quecirculará por el rotor y el par resultante cuando θ = 135º.

PROBLEMA 8

Durante todo el rango operativo, la relación entre el flujo concatenado λ, la corriente i, y eldesplazamiento x del elemento móvil de un relé viene dada por:

31

2

4i

x10·4 −

Determinar la fuerza en la dirección de x cuando i = 0.6 A y x = 5 mm.

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5

PROBLEMA 9

El circuito de la figura tiene 500 espiras en cada brazo. Calcular la corriente que se requierepara obtener un flujo φ = 0.004 Wb a través del entrehierro de 0.1 cm.

30

0.1

85

5

Lm = 80 cm

ACEROFUNDIDO

ACEROSILICIO

ENTREHIERRO

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6

PROBLEMA 10

Dos bobinas tienen las siguientes inductancias propias y mutua:

x212LL 2211+

==

x211LL 1221+

==

donde “x” representa la distancia longitudinal entre las piezas fija y móvil del circuito magnéticosobre el que se encuentran devanadas. Calcular, para x = 0.5 m, la intensidad que circula porcada bobina así como la fuerza media que actúa sobre la pieza móvil en los siguientes casos

a) Si las dos bobinas se conectan en paralelo a una fuente de tensión ( )t314cos100v = .b) Si las dos bobinas se conectan en serie a una fuente de tensión ( )t314cos100v = .c) Si la bobina 2 está cortocircuitada y la 1 está conectada a una fuente de tensión

( )t314cos100v = .

Page 15: Prob Magneto

1

PROBLEMAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

PROBLEMA 1

A partir del enunciado y el dibujo del problema obtenemos que

Wb 10·6.0 3d

−=φ y 24 m 10·30A −=

Por tanto, T 2.0A

B d =φ

=

por lo que según la gráfica: m

vA 50Hd

−=

Ahora se puede calcular H a partir de la siguiente ecuación:

dd·H·H = ⇒ 27.0·5009.0·H = ⇒ m

vA 150H

−=

Utilizando de nuevo la gráfica: T 84.0B =

Wb 10·52.2 3−=φ , Wb10·12.3 3T

−=φ , T 04.1BT = ⇒m

vA 250HT

−=

Finalmente, aplicando la ley de Ampere:

09.0·15027.0·25065.0·25055.0·300I·500 1 +=++

A 493.0I1 −=

PROBLEMA 2

a)

El circuito eléctrico equivalente del circuito magnético es:

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2

φ3

φ2

φ1

200

ℜ4

ℜ3

+

ℜ2

ℜ1

ℜ5

+

El área y la longitud del circuito es:

1010

20

232 m 10·85.7)05.0·(A −=π=

m 471.015.0· =π=

375110·85.7·10··4·4330

471.0−−π

=ℜ=ℜ ⇒ 151 H 49.11032 −=ℜ=ℜ

37

2

4210·85.7·10··4·4330

10·52

1.010

−−

π

+−

=ℜ=ℜ ⇒ 142 H 05.3500 −=ℜ=ℜ

37

2

310·85.7·10··4

10·1.0−−

π=ℜ ⇒ 1

3 H 58.101372 −=ℜ

b)

( ) ( ) 63.21045

200

68.108372//49.1103249.11032

200

//

i·N

43251

111 =

+=

ℜ+ℜ+ℜℜ+ℜ=φ

Wb 10·5.9 31

−=φ

Page 17: Prob Magneto

3

5432

512

ℜ+ℜ+ℜ+ℜ

ℜφ=φ ⇒ Wb 10·78.8 4

2−=φ

213 φ−φ=φ ⇒ Wb 10·6.8 33

−=φ

c)

La f.e.m. inducida es cero porque no hay ningún valor dependiente del tiempo.Matemáticamente,

.cte=φ ⇒ 0dt

dNe =φ=

d)

11 NiL φ= ⇒ 2.0

10·5.9·1000L

3

1

−= ⇒ H 5.47L1 =

PROBLEMA 3

a)

La tensión aplicada a la bobina es: )t··100cos(220·2v π=

Como dt

dNv

φ= se obtiene un flujo magnético que responde a la expresión:

)t··100sen(·100·500

220·2π

π=φ

La inducción magnética máxima se dará cuando 1)t··100sen( =π y tendrá un valor igual a:

T 792.010·25··100·500

220·2

AB

4=

π=

φ=

A través de la ecuación que modela la curva de magnetización del material, se calcula elcampo magnético generado:

H150

H2B

+= ⇒

max

max

H150

H2792.0

+= ⇒

m

vA 4.98Hmax

−=

La corriente inducida eficaz se calcula a partir de la ley de Ampere:

maxmax i·NH µ= ⇒ A 157.0

500

8.0·4.98imax ==µ ⇒ A 111.0

2

iIi

maxef === µ

µµ

A continuación, se calculan las pérdidas en el núcleo para una tensión nominal de 220V. Losdatos dados son:

Page 18: Prob Magneto

4

3NÚCLEOdm

kg 8.7=ρ

kg

W 5PFE =

Para determinar el peso del núcleo de hierro, se calcula el volumen del mismo:

3334NÚCLEO dm 2m 10·28.0·10·25·AV ==== −−

⇒ gk 6.15PESONÚCLEO =

y las pérdidas son: W 786.15·5PFE ==

El circuito eléctrico equivalente del núcleo de hierro es:

RFEXµ

+

V

Teniendo en cuenta el circuito equivalente y las pérdidas en el núcleo se calcula la resistenciaequivalente del núcleo de hierro:

FE

2

FER

VP = ⇒

78

220R

2

FE = ⇒ Ω= 5.620RFE

y la corriente que pasa por FER es: A 354.05.620

220

R

VI

FEFE ===

Por último, se calcula el valor de µX :

111.0

220

I

VX ==

µµ ⇒ Ω=µ 98.1981X

b)

La corriente que atraviesa el núcleo de hierro tiene un valor eficaz igual a:

22FE III µ+=

Por tanto, 22 111.0354.0I += ⇒ A 371.0I =

Page 19: Prob Magneto

5

PROBLEMA 4

a)

El circuito equivalente es:

ℜ1

+

6N2

ℜe

ℜe

6000+

ℜ2

φ

Donde

Wb

vA 715.795774

10·100·10··4·100

14721

−=

π=ℜ+ℜ

−−

Wb

vA4715.79577

10·100·10··4

10·1.047

2

e−=

π=ℜ

−−

Aplicando la ley de Ampere:

( ) 3e212 10·4·2N66000 −ℜ+ℜ+ℜ=− ⇒ espiras 38.363N2 =

b)

De acuerdo con el circuito equivalente, el flujo se puede obtener como:

)e201.0·(55.79577471

iNi1000 221

+

−=φ

Asimismo, este ejemplo se corresponde con un caso en el que hay dos excitaciones, por lotanto:

2121111 iLiL +=λ

2221212 iLiL +=λ

donde:

111 N φ=λ ⇒ φ=φ1

Page 20: Prob Magneto

6

222 N φ=λ ⇒ φ−=φ2

Por lo tanto:

)e201.0(55.79577471

iN1000

)e201.0(55.79577471

i10 2216

1+

−+

)e201.0(55.79577471

iN

)e201.0(55.79577471

iN1000 22212

2+

++

−=λ

De estas expresiones se pueden obtener las inductancias propias y mutua:

)e201.0·(55.79577471

10L

6

11+

=

)e201.0(55.79577471

N1000LL 2

1221+

−==

)e201.0(55.79577471

NL

22

22+

−=

Usando la coenergía:

21122222

2111 iiLiL

2

1iL

2

1'W ++=

x

Lii

x

L

2

i

x

L

2

i

x

'Wf 12

2122

2211

21

.ctei,i 21∂

∂+

∂+

∂=

∂=

=

++

+−

+−=

22

212

22

22

2

621

)e201.0(

N1000·2ii

)e201.0(

N·2

2

i

)e201.0(

10·2

2

i

55.79577471

1f

Por lo tanto:

N 24.1273)cm 01.0e(f −==

c)

1)

.cte=φ ⇒ 0dt

dNv =

φ= ⇒ V 0V =

2)

)t··sen(2·10·4 3 ω=φ −

Page 21: Prob Magneto

7

)t··cos(·100·2·10·4dt

dNv 3 ωπ=

φ= − ⇒ V 256.1V =

PROBLEMA 5

a)

mec2211 Wdidi'W ∆+λ+λ=∆

0di1 = , 0di2 = ⇒ mecW'W ∆=∆

21122222

2111 iiLiL

2

1iL

2

1'W ++=

( ) ( )( ) ( )x2110

x21

29ii x21i

x212

2i

x212

2'W 21

22

21 −−

+=−+

++

+=

( ) J 190'W =

( ) J 5.145.0'W =

Por lo tanto:

( ) ( ) J 5.40'W5.0'W'WWmec −=−=∆=∆

b)

( ) ( ) ( )20

x21

58ii2

x21

i2

x21

i2

x

'Wf

2212

22

2

21

.ctei.,ctei 21

++

−=−+

−+

−=∂

∂===

0f < para 351.0x0 ≤≤

0f ≥ para 351.0x ≥

c)

111el iW λ∆=∆

222el iW λ∆=∆

( )( )2 x215x21

2iLiL 2121111 −−+

+=+=λ

( ) v- Wb801 =λ

( ) v- Wb55.01 =λ

( ) ( )2x21

25x21iLiL 2221212 −

++−=+=λ

Page 22: Prob Magneto

8

( ) v- Wb102 =λ

( ) v- Wb25.02 −=λ

Finalmente:

( ) ( )[ ] J 1505.05iW 11111el −=λ−λ=λ∆=∆

( ) ( )[ ] J 605.02iW 22222el =λ−λ−=λ∆=∆

El incremento de energía eléctrica total es:

J 9WWW 2el1elel −=∆+∆=∆

Al ser un sistema lineal, 'WW ∆=∆ :

'WWWWW mecmecel ∆+∆=∆+∆=∆

O igualmente:

( )5.45.49 −+−=−

Page 23: Prob Magneto

1

PROBLEMA 6

El flujo tendrá un sentido hacia la derecha.

Wb 10·9.5 3−=φ

PROBLEMA 7

a)

)t314sen(6.1i2 =

b)

[ ]1)t628cos(034.0)º135(T −==θ

PROBLEMA 8

N 09.2429f −=

PROBLEMA 9

A 96.1i =

PROBLEMA 10

a)

)t314sen(212.0i1 =

)t314sen(212.0i2 =

N 0335.0f −=

b)

)t314sen(106.0ii 21 ==

N 0084.0f −=

c)

)t314sen(4246.0i1 =

)t314sen(2123.0i2 −=

N 0338.0f −=