Preuniversitario Popular Víctor Jara...

Preuniversitario Popular Víctor Jara MATEMÁTICA

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77..22.. TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA La trigonometría (del griego, trigono = tres lados o triángulo, y

metría = medida) es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.

Los primeros que aplicaron esta ciencia fueron los egipcios, en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna 7.2.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Dado un triángulo rectángulo como el de la figura • La hipotenusa (HIP) es c. • Para el ángulo α el cateto opuesto

(CO) es a, y el cateto adyacente (CA) es b.

• Para el ángulo β el cateto opuesto (CO) es b, y el cateto adyacente (CA) es a.

Las razones trigonométricas, para cada uno de los ángulos, serían las siguientes:

Definición de la función Abreviación En el triángulo de la figura CO

senoHIP

= sen a

senc

α = b

senc

β =

CAcoseno

HIP= cos

bcos

cα =

acos

cβ =

seno COtangente

coseno CA= = tg

atg

bα =

btg

aβ =

1 HIPcosecante

seno CO= = cosec

ccosec

aα =

ccosec

bβ =

1 HIPsec ante

coseno CA= = sec

csec

bα =

csec

aβ =

1 CAcot angente

tangente CO= = cotg

bcot g

aα =

acot g

bβ =

7.2.2. PROPIEDADES Las definiciones anteriores son independientes del triángulo

rectángulo que se construya para el ángulo agudo. De las razones trigonométricas dadas anteriormente se deduce

que:

1) sen

tgcos

αα =

α 4)

1cosec

senα =

α 7) 2 2sen cos 1α + α =

2) cos

cot gsen

α=

α 5)

1cot g

tgα =

α

3) 1

seccos

α =α

6) tg cot g 1α ⋅ α =

7.2.3. MNEMOTECNIAS Es conveniente que se aprenden las razones trigonométricas de ciertos ángulos notables, que están puestas en la siguiente tabla, de manera que dispongan de una regla mnemotécnica para recordarlos cuando los necesiten.

sen 0º 30º 45º 60º 90ºcos 90º 60º 45º 30º 0º

0 1 2 3 42

ÁNGULO α

FUNCIÓN 0° 30° 45° 60° 90°

sen α 00

2=

1 12 2

= 2

2

32

4

12

=

cos α 41

2=

32

2

2

1 12 2

= 0

02

=

tg α 0 33

1 3 No existe

Notar que la hipotenusa es SIEMPRE mayor que los catetos, por lo tanto, los valores de sen y cos para ángulos entre 0º y 90º están entre 0 y 1.


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Un ejercicio, para que se aplique lo que se ha expuesto en la guía:

Si 3

sen5

α = , determinar las otras funciones trigonométricas del ∠ α.

Solución: si el 3

sen5

α = , significa que el cateto opuesto al ∠ α y la

hipotenusa del triángulo están en la razón de 3 : 5. Con esta información se puede calcular el valor del otro cateto a través del teorema de Pitágoras. Sabemos que un cateto mide 3 por “algo”, que llamaremos x, o sea, el cateto mide 3x; y que la hipotenusa mide 5 por ese mismo “algo”, o sea 5x, entonces:

( ) ( ) ( )2 2 23x CA 5x+ =

( )22 29x CA 25x+ =

( )2 2CA 16x= CA 4x=

Tendríamos un triángulo como el siguiente:

En el que las razones trigonométricas que faltan serían:

CA 4x 4cos

HIP 5x 5α = = =

sen CO 3x 3tg

cos CA 4x 4α

α = = = =α

cos1 CA 4x 4cot g

tg sen CO 3x 3α

α = = = = =α α

1 HIP 5x 5sec

cos CA 4x 4α = = = =

α

1 HIP 5x 5cosec

sen CO 3x 3α = = = =

α

EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA

1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura se tiene que c = 5 cm y b = 3 cm. Con respecto a él, no es verdad que:

A) sen α = cos β B) cos α = 0,6 C) cos β = 0,8 D) tg α = 1,3 E) cosec α = 1,25

2. ëEn el ∆ ABC de la figura, rectángulo en C, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I) 1

sen2

α =

II) 3

cos2

α =

III) tg 3 3α = IV) 30ºα =

A) Sólo I y II B) Sólo I, III y IV C) Sólo I, II y III D) Sólo II, III y IV E) Sólo I, II y IV

3. ëEn el ∆ ABC, rectángulo en C, el valor de tg α + tg β, en función de los lados es:

A) c

ab

B) abc

C) 2a

bc

D) 2b

ac

E) 2c

ab

Tanto seno como coseno son siempre menores o iguales a 1


160

4. ¿Cuál de los siguientes valores no puede corresponder a sen α?

A) 23

B) 0,9 C) 0,6

D) 3

2

E) 2

5. ¿Cuál de los siguientes valores puede corresponder a sec α? A) 8 B) 0,6 C) 0,8 D) 0,9

E) 2

2

6. ëEncuentre la altura del árbol de la figura sabiendo que tg β

=14

A) 8 m B) 6 m C) 24 m

D) 3

m8

E) 8

m3

7. ëSi α y β son ángulos complementarios, tales que: 0° < α < 90°; 0° < β < 90° entonces: tg α • tg β =1 es una proposición:

A) Siempre falsa B) Siempre verdadera C) A veces falsa D) A veces verdadera E) Falta información

8. Si tg α = 125

, siendo α un ángulo agudo, entonces la única

alternativa que se deduce como correcta es: A) sen α = 12 B) cos α = 5

C) 5

csec4

α =

D) sec α = 3

E) 5

cos13

α =

9. ëSi cos α = 0,6 entonces la tangente del complemento de α es:

A) 9

10

B) 45

C) 2

D) 43

E) 34

10. Al simplificar la expresión tg

senαα

resulta:

A) sen α B) cos α C) ctg α D) sec α E) csec α

Debes aprenderte las siguientes igualdades: ( ) αα =

op( )sen

Hip ; ( ) α

α =ad( )

CosHip

; ( ) α αα = =

α αsen( ) op( )

tgcos( ) ad( )


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11. ëSi en el ∆ABC de la figura, rectángulo en C, AB 2BC= , entonces sen β =

A) 3 B) 2

C) 3

2

D) 23

E) No se puede determinar

12. cos60 tg45

ctg30 c sec30° − °

=° − °

A) 3

12

+

B) 1 2 3

2+

C) 3

2−

D) 12

E) 2 3

2−

13. ëSi en un triángulo rectángulo tg α =x2

y sec α = y,

entonces ( )22x 2y− = A) – 4 B) – 2 C) – 1 D) 2 E) 4

14. ëSi sen α = 2 2

2 2m nm n

−+

, entonces tg α =

A) 2 2

2 2m n4m n

−

B) 2 2

2 2m n4m n

+

C) 2 2m n2mn

−

D) 2 2

2 24m nm n−

E) 2 22mn

m n−

15. Sabiendo que ( ) tg tgtg

1 tg tgα + β

α + β =− α • β

, entonces tg 105° =

A) – 2 B) 2 3− − C) 1 3− −

D) 3

12

+

E) 3 2+

16. ëEn el triángulo rectángulo isósceles ABC de la figura,

AB 2= . Entonces cos α =

A) 12

B) 1

C) 2

2

D) 2 E) No se puede determinar

Para todo ángulo se cumple: ( ) ( )α + α =2 2sen cos 1


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17. El valor del ángulo agudo δ que satisface la ecuación 1

sen 1c sec

δ + =δ

es:

A) 45° B) 30° C) 60° D) 90° E) Otro valor

18. ëEn el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura, CB 6= cm y tg β = 4/3. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo ABC?

A) 17 cm B) 18 cm C) 56 cm D) 60 cm E) No se puede determinar.

19. ëEn el ∆ ABC de la figura, CD AB⊥ y AC BC⊥ . Entonces, sen α • sen β =

A) abpq

B) 2c

ab

C) chab

D) abc

E) pqab

20. ëEn el triángulo rectángulo de la figura, sen α = a5

. ¿Cuánto

vale tg α?

A) 2

a

5 a−

B) a

5 a−

C) 5 a

5−

D) 2

5

5 a−

E) a

a 5−

21. Si en un triángulo rectángulo tg α = 34

y α es un ángulo agudo,

entonces sen α =

A) 4

25 D)

35

B) 45

E) 3

25

C) 3

22. ëUna persona quiere saber cuánto mide el ancho de un río sin cruzarlo. Él se encuentra justo en la ribera sur, y en la ribera opuesta, exactamente en frente de él, hay un árbol. Si se aleja 11m de donde estaba, en la misma dirección de la corriente, se forma un ángulo de 60º entre la ribera sur y el árbol. ¿Cuál es el ancho del río?

A) 11m B) 11 2 m

C) 11 3 m

D) 22 3

3m

E) No se puede determinar

Aprendete bien la tabla de los valores de senos y cosenos importantes (página 158)


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23. ëUn ∆ABC es rectángulo en C. Si uno de sus ángulos agudos es ϕ . ¿Cuanto vale tg ( )ϕ ?:

(1) Sen ( )ϕ =0,4 (2) La hipotenusa mide 10 cm

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional

24. ë¿Es α < 90º ? (1) cos ( )α < cos ( )β (2) β = 90º

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional

25. ëEn la figura, ¿el área del triángulo es?

(1) Sen ( )α2 =2425

(2) =c 20 cm

a) por sí sola b) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información

adicional

DDEESSAAFFIIOO En la figura, si EG y; DE x; AD AB 1= = = = .

v. ¿En el triángulo AEG, cuanto vale y (dependiendo de α y AE )? vi. En el triángulo ADF, ¿Cuánto vale AF y DF ? vii. En el triángulo DEF, ¿cuanto es el cos(α)?,reemplaza DF con el

resultado de la pregunta anterior. viii. Ya que AE AF EF= − , cuanto vale y? (consejo, usa las respuestas de v,

vi, iv, en ese orden) • Respuesta: ( ) ( ) ( )2y sen cos x sen= α ⋅ β − ⋅ α

ix. Usando la identidad: ( ) ( )α + α =2 2sen cos 1 , obtén el valor de x+y, en

términos de x, α y β. • Respuesta: ( ) ( ) ( )2x y sen cos x cos+ = α ⋅ β + ⋅ α

x. En el resultado anterior, sustituye el valor de x (en base a la solución de vii) en el lado derecho de la igualdad. ¿Cuanto es el valor final de x + y?

• Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( )x y sen cos sen cos+ = α ⋅ β + β α

xi. Por último, cuanto es el valor de, ( )sen α + β ? (usa lo anterior, y la respuesta de la primera pregunta)

• Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen cos sen cosα + β = α ⋅ β + β α Intenta ahora obtener la fórmula para la suma de ángulos en el coseno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen senα + β = α ⋅ β + β α

i. ¿Cuanto vale x+y, en términos de los ángulos α y β?

ii. ¿A cuánto equivale el ángulo EDF?

iii. En el triangulo DEF, ¿Cuánto mide el sen(α)?

iv. Según la respuesta anterior,

¿cuanto vale EF , en términos de α y x?

C

a

b

¿Sabias que las “co-funciones” (como el Co-seno) son la función del ángulo CO-mplementario? osea: ( ) ( )cos sen 90α = − α . Tambén sirve para las otras “co-algo”

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