Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 ·...

31
Ε ό ξά Ε αριν ό ε ξά μηνο 2012 17.05.12 Χ Χαραλάμ ους Χ . Χαραλάμ π ους ΑΠΘ Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

Transcript of Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 ·...

Page 1: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Ε ό  ξά  Εαρινό εξάμηνο 201217.05.12

Χ  Χαραλάμ ουςΧ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 2: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

(1791-1858)(1791 1858)

Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839

την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα».

«αριθμητική άλγεβρα»: αφορά τις πράξεις σε σύμβολα που αντιπροσωπεύουν«αριθμητική άλγεβρα»: αφορά τις πράξεις σε σύμβολα που αντιπροσωπεύουν θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα αποδεκτές, π.χ.

a-(b-c)=a-b+c όταν b > c και a > b-c

«συμβολική άλγεβρα»: πράξεις σε σύμβολα που δεν αντιπροσωπεύουν ά θ έ όκάποιες θετικές ποσότητες, π.χ.

a-(b-c)=a-b+c

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 3: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Euler 1707-1783

Ελβετία, Ρωσία, Γερμανία, Ρωσία

886 βιβλία και εργασίες

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 4: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

«Introduction in analysin infinitorum» 1748

O Euler πήρε τον διαφορικό λογισμό του Leibniz και τη μέθοδο θ β λ (fl i )ρυθμών μεταβολής (fluxions) του Newton και τα έκανε μέρος

ενός γενικότερου κλάδου των μαθηματικών : της «Ανάλυσης»που ασχολείται με τη μελέτη άπειρων διαδικασιώνπου ασχολείται με τη μελέτη άπειρων διαδικασιών.

Σύγκριση της σημασίας της « Εισαγωγής στην ανάλυση» του EulerΣύγκριση της σημασίας της « Εισαγωγής στην ανάλυση» του Euler με

1 τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη: ( συνδυασμός της γεωμετρικής1. τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη: ( συνδυασμός της γεωμετρικής δουλειάς του Ευδόξου και Θεαίτητου)

2. την «Εισαγωγή» του Viete: (συνδυασμός της αλγεβρικής δουλειάς των al Qwarismi και Cardano)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

ς Q )

Page 5: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Συμβολισμοί που εισήγαγε ο  Eulerf( ) ( )f(x) (1734)e (1727)π  (1737)i (1777)Σ (1755)και άλλα πολλάκαι άλλα πολλά

(1748)

( ) θ θφ(m) : αριθμός φυσικών αριθμών μικρότεροι του m που είναι πρώτοι προς το m

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 6: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Θεωρία Αριθμών και Euler

Απόδειξη (Euler)

(Πότε καθιερώθηκεη χρήσητης μαθηματικήςεπαγωγής?ποια είναι η σχέσητης με το σύστηματης με το σύστημα των φυσικών αριθμών?)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 7: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Πρόβλημα: να σχεδιάσουμε έναν

ίπερίπατο που θα περνάειαπό όλες τιςέφ ρες ίαγέφυρες μίακαι μόνο μίαφορά

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 8: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

οι κορυφές του γραφήματοςείναι τα κομμάτια της γηςοι ακμές του είναι οιγέφυρεςοι ακμές του είναι οιγέφυρες

Απάντηση του Euler: δεν μπορεί να σχεδιαστεί τέτοιος περίπατος.

Η τοπολογία που είναι??Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Η τοπολογία που είναι??

Page 9: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Carl Friedrich Gauss (1 18 )Carl Friedrich Gauss (1777‐1855)

P i   th tiPrinceps mathematicorum

Α φ ό    Μ θ ά     Αναφερόταν στα Μαθηματικά ως η «Βασίλισσα των Επιστημών»

Θεωρία Αριθμών, Στατιστική, Ανάλυση, Διαφορική Γεωμετρία, Ανάλυση, Διαφορική Γεωμετρία, Αστρονομία,  Ηλεκτροστατική, Οπτική, Γεωδαισία, κ.α.

Δίδαξε στο πανεπιστήμιο του Göttingen Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 10: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Θεωρία Αριθμών(1798)

Ο Gauss συγκέντρωσε έργο μαθηματικών όπως Fermat Euler Lagrangeόπως Fermat, Euler, Lagrange, Legendreκαι δικά του πρωτότυπα αποτελέσματααποτελέσματαμε συστηματικό τρόπο, συμπληρώνονταςκενά και διορθώνοντας ρ ςαποδείξεις.Επέκτεινε τη θεωρία αριθμών στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 11: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

ό     λά   δ ίόρισε τις κλάσεις ισοδυναμίαςαπέδειξε τον νόμο της  τετραγωνικής αντιστροφής ( h   )  ό     ί   ί  ώ(theorema  aureum)  όταν p,q είναι περιττοί πρώτοι:

εκτός αν ο Gauss έδωσε8 διαφορετικές αποδείξεις για

ό θ ώαυτό το θεώρημα

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 12: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Ποια κανονικά n-γωνα είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη?Ποια κανονικά n-γωνα είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη?Απάντηση n πρέπει να είναι γινόμενο δύναμης του 2 και πρώτων του Fermat, (ικανή (Gauss 1801) και αναγκαία συνθήκη).( ή ( ) γ ή η)

(πρώτοι του Fermat είναι πρώτοι της μορφής π.χ. 3, 5, 17, 257, 6537, (υπάρχουν άλλοι? )(γνωστό από αρχαιότητα ότι το τρίγωνο και το πεντάγωνο είναι κατασκευάσιμα)κατασκευάσιμα)

Ο Gauss έδειξε (θεωρητικά) ότι το κανονικό 17-γωνο είναι κατασκευάσιμο (1796) και το γενίκευσε to 1801 αφού πρώτα όρισε ως περιόδους ειδικά αθροίσματα ριζών της μονάδας, πχ . που είναι όπου

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 13: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

17-γωνο κατασκευάσιμο Gauss 1796 (κατασκευή από τον Erchinger ~1800)

O Gauss έδειξε ότι οι ρίζες τηςξ ρ ζ ς ηςδίνονται με ριζικά

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 14: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

πόσο είναι το άθροισμα όλων των αριθμών από το 1 έως το 100?

Σε δευτερόλεπτα η απάντηση από τον μικρό Gauss: 5050

1 2 3 4 501 2 3 4 … 50100 99 98 97 51

---------------------------------------------------101 101 101 101 101

50 x 101 =5050

(Γενίκευση: το άθροισμα όλων των αριθμών από το 1 έως το n όταν n άρτιος?

50 x 101 =5050

1 2 3 … n/2n n-1 n-2 n/2+1

---------------------------------------------------n+1 n+1 n+1 n+1

άρα το άθροισμα είναι n/2 (n+1)Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

άρα το άθροισμα είναι n/2 (n 1)

Page 15: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

ΘΘΑ (4 αποδείξεις 1799 πρώτη, 1849 η τελευταία)

Οι ακέραιοι του Gauss: a+bi όπου a,b ακέραιοι.

προσοχή  5=(1+2i)(1‐2i) δεν είναι πρώτος σε αυτό το σύνολο!Η ιδιότητα της μοναδικής παραγοντοποίησης ήταν γνωστή από την αρχαιότητα, βλ. «Στοιχεία» (Ευκλείδης).

Ο Gauss μελέτησε την ιδιότητα της μοναδικής παραγοντοποίσης ή θ ώ λύ ό ίσε συστήματα αριθμών μεγαλύτερα από τους ακεραίους---

γιατί κατάλαβε ότι πιθανόν να υπάρχουν συστήματα αριθμών που να μην την ικανοποιούν!μη η

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 16: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

π(x) είναι ο αριθμός των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του xμικρότεροι του xτότε  η συνάρτηση π(x) πλησιάζει ασυμπτωτικά τη συνάρτηση x/(log x)συνάρτηση x/(log x)

Α όδ ξ   8 6 H d d  P i  ( ξά )Απόδειξη: 1896 Hadamard, Poussin (ανεξάρτητα)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 17: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Gauss και μη Ευκλείδια γεωμετρία (ύ δ 5ο ξ ώ Ε λ ίδ σύνδεση του 5ο αξιώματος του Ευκλείδη

και της έρευνας του Gauss, γεωμετρίες των Bolyai 1823 Lobachevsky 1829 Riemann)Bolyai 1823, Lobachevsky 1829, Riemann)

1828

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 18: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

1796-181419 σελίδες, 146 εγγραφές (περισσότερεςαπό αυτές σημαντικές μαθηματικέςανακαλύψεις)

δημοσιοποιήθηκε το 1898

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 19: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Πίσω στην Άλγεβρα  Πίσω στην Άλγεβρα... 

Έως το τέλος του 18ου αιώνα άλγεβρα ήταν η μελέτηΈως το τέλος του 18 αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτη πολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα).

Το 20ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένων συστημάτων, συστημάτων που καθορίζονται από αξιώματα ( έ άλ β )(μοντέρνα άλγεβρα).

Η μετάβαση έγινε τον 19ο αιώνα Τότε εμφανίστηκαν καιΗ μετάβαση έγινε τον 19ο αιώνα. Τότε εμφανίστηκαν και αναγνωρίσθηκαν οι δομές για ομάδες, για αντιμεταθετικούς και μη δακτυλίους, για σώματα και για διανυσματικούς χώρους. μη ς γ μ γ μ ς χ ρ ς

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 20: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Οι τομείς αυτοί αναπτύχθηκαν παράλληλα και αλληλοεπιρρεάζοντας ο ένας τον άλλον.

Για παράδειγμα ρ γμη θεωρία Galois αφορά ομάδες και σώματα.η αλγεβρική θεωρία αριθμών εμπλέκει ομάδεςη αλγεβρική θεωρία αριθμών εμπλέκει ομάδες, αντιμεταθετικούς δακτυλίους, σώματα.η θεωρία αναπαραστάσεων συνδυάζει ομάδες μηη θεωρία αναπαραστάσεων συνδυάζει ομάδες, μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους, γραμμική άλγεβρα.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 21: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Η θεωρία ομάδων οφείλει την εξέλιξή της στις επόμενεςΗ θεωρία ομάδων οφείλει την εξέλιξή της στις επόμενες πηγές:

Κλασσική άλγεβρα (Lagrange 1770) *Θ ί θ ώ (G 1801)*Θεωρία αριθμών (Gauss, 1801)*Γεωμετρία (Klein, 1874, πρόγραμμα του Erlangen)Ανάλυση (Lie 1874, Poincare και Klein, 1876)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 22: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Joseph-Louis Lagrange1736-1813

Carl Friedrich Gauss1777-1855

Felix Klein1777-1855

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 23: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Marius Sophus Lie1842-1899

H i P iHenri Poincare1854-1912

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 24: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Κλασσική Άλγεβρα και Lagrange

Μέθ δ ύ ζώ λ ώ ξ ώΜέθοδοι για την εύρεση ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων. όταν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι:

2 έθ δ ή έ ό ή Β β λ ί2: μέθοδοι ήταν γνωστές από την εποχή των Βαβυλωνίων (1600 π.Χ.)3 και 4: μέθοδοι δόθηκαν στα μισά του 16ου αιώνα3 και 4: μέθοδοι δόθηκαν στα μισά του 16 αιώνα. 5: ένα από τα κύρια προβλήματα για τους επόμενους δύο αιώνας ήταν η εύρεση αλγεβρικής λύσης.

To θέμα της εργασίας «Reflexions sur la resolution algebriques des equations» Lagrange (1770)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 25: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 26: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Ο Lagrange ανέλυσε τις διάφορες μεθόδους για την αλγεβρική επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού 3 και 4 που είχαν δοθεί (πέρα από τους Ιταλούς) από τους Viete Descartesείχαν δοθεί (πέρα από τους Ιταλούς) από τους Viete, Descartes, Euler, Bezout.

Αντιλήφθηκε ότι το κοινό στοιχείο αυτών των μεθόδων είναι η αναγωγή του προβλήματος σε ένα πρόβλημα εύρεσης ριζών ί β θ ή λ ή ξίμίας βοηθητικής πολυωνυμικής εξίσωσης: όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 3 η βοηθητική επιλύουσα εξίσωση έχει βαθμό 2εξίσωση έχει βαθμό 2.όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 4 η βοηθητική επιλύουσα εξίσωση έχει βαθμό 3.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 27: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 28: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 29: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 30: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Ο Lagrange απέδειξε ότι ο βαθμός k της επιλύουσας g g ξ β μ ς ης ςδιαιρεί το n!. (αντιστοιχεί στο Θεώρημα του Lagrange.)

Επίσης απέδειξε ότι αναγκαία συνθήκη για την επίλυση ης ξ γ ή η γ η ητης εξίσωσης βαθμού n είναι η ύπαρξη κάποιας επιλύσουσας βαθμού <n.

Όταν επιχείρησε για την εξίσωση βαθμού 5 βρήκε μόνο χ ρη γ η ξ η β μ βρή μεπιλύουσες βαθμού 6.

Η συνέχεια με Ruffini, Abel και Galois…

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Page 31: Presentation17 05 12.pptusers.auth.gr/.../2012/Presentation17_05_12.pdf · 2012-05-20 · θετικούς αριθμούς και οι κανόνες τους γίνονται αυτόματα

Niels Abel1802-1829

Paolo Ruffini1765-1822

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012