Presentación udea-Forcing

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Cardinales invariantes del continuo Diego A. Mej´ ıa Universidad Tecnol´ ogica de Viena Seminario institucional Instituto de Matem´ aticas Universidad de Antioquia 16 de marzo del 2015 Diego A. Mej´ ıa (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 1 / 41
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  • Cardinales invariantes del continuo

    Diego A. Meja

    Universidad Tecnologica de Viena

    Seminario institucionalInstituto de MatematicasUniversidad de Antioquia

    16 de marzo del 2015

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 1 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).

    0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).

    1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).

    c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.

    ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c.

    CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    = {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).

    CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa.

    Por ejemplo:

    R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.

    n

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:

    R y [0, 1].

    2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.n

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:

    R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.

    n

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:

    R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.

    n

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:

    R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.

    n

  • Notacion

    Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:

    R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.

    n

  • Espacios polacos

    Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .

    Teorema

    Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).

    Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!

    Teorema

    Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).

    Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 4 / 41

  • Espacios polacos

    Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .

    Teorema

    Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).

    Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!

    Teorema

    Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).

    Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 4 / 41

  • Espacios polacos

    Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .

    Teorema

    Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).

    Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!

    Teorema

    Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).

    Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 4 / 41

  • Espacios polacos

    Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .

    Teorema

    Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).

    Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!

    Teorema

    Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).

    Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 4 / 41

  • Espacios polacos

    Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .

    Teorema

    Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).

    Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!

    Teorema

    Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).

    Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 4 / 41

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:

    f g sii n

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:f g sii n

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:f g sii n

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:f g sii n

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:f g sii n

  • Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating

    Dados f , g , definimos:f g sii n

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn

  • Bounding and dominating

    Lema

    1 b d c.

    Observacion

    d no cambia si consideramos en vez de (Ejercicio!).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 7 / 41

  • Bounding and dominating

    Lema

    1 b d c.

    Observacion

    d no cambia si consideramos en vez de

    (Ejercicio!).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 7 / 41

  • Bounding and dominating

    Lema

    1 b d c.

    Observacion

    d no cambia si consideramos en vez de (Ejercicio!).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 7 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).

    Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.

    A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,

    es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Mas invariantes - almost disjointness

    Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.

    A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.

    Definicion

    a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41

  • Almost disjointness

    Lema

    Existe una familia mad de tamano c. Por lo tanto, a c.

    Lema

    b a.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 9 / 41

  • Almost disjointness

    Lema

    Existe una familia mad de tamano c. Por lo tanto, a c.

    Lema

    b a.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 9 / 41

  • Splitting and reaping

    Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.

    S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .

    R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.

    Definicion

    (1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.

    (2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41

  • Splitting and reaping

    Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .

    R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.

    Definicion

    (1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.

    (2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41

  • Splitting and reaping

    Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .

    R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.

    Definicion

    (1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.

    (2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41

  • Splitting and reaping

    Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .

    R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.

    Definicion

    (1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.

    (2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41

  • Splitting and reaping

    Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .

    R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.

    Definicion

    (1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.

    (2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41

  • Algunas desigualdades

    Lema

    b r c y 1 s d.

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 11 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).

    1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).

    1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).

    1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).

    r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).

    (Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.

    (Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    b

    b b

    b bb

    b

    1

    b s

    r da

    c Cada afirmacion es consistente con ZFC:

    1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.

    (b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • Resultados de consistencia

    Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:

    (Brendle 1998) b = < a = s = +.

    (Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .

    (Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.

    Teorema (Shelah 2004)

    Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.

    (a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41

  • d v.s. a

    Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a.

    De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.

    Problema (Roitman, 70s)

    d = 1 implica a = 1?En general, aun no se sabe la respuesta de

    Problema (Brendle y Raghavan 2014)

    b = s = 1 implica a = 1?

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 14 / 41

  • d v.s. a

    Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a. De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.

    Problema (Roitman, 70s)

    d = 1 implica a = 1?

    En general, aun no se sabe la respuesta de

    Problema (Brendle y Raghavan 2014)

    b = s = 1 implica a = 1?

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 14 / 41

  • d v.s. a

    Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a. De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.

    Problema (Roitman, 70s)

    d = 1 implica a = 1?En general, aun no se sabe la respuesta de

    Problema (Brendle y Raghavan 2014)

    b = s = 1 implica a = 1?

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 14 / 41

  • Otros problemas abiertos relacionados

    Problema (Brendle y Fischer 2011)

    (1) Es consistente b < s < a?

    (2) Es consistente s < b < a?

    En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente. Mas aun,

    Teorema (Fischer y D.M.)

    Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 15 / 41

  • Otros problemas abiertos relacionados

    Problema (Brendle y Fischer 2011)

    (1) Es consistente b < s < a?

    (2) Es consistente s < b < a?

    En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente.

    Mas aun,

    Teorema (Fischer y D.M.)

    Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 15 / 41

  • Otros problemas abiertos relacionados

    Problema (Brendle y Fischer 2011)

    (1) Es consistente b < s < a?

    (2) Es consistente s < b < a?

    En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente. Mas aun,

    Teorema (Fischer y D.M.)

    Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 15 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0).

    Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.

    Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).

    N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.

    Lema

    La union contable de subconjuntos nulos es nulo.

    Definicion

    add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que

    A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41

  • Medida

    Definicion

    (1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.

    (2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .

    (3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).

    b b

    b

    b

    b b1add(N )

    cov(N )

    non(N )

    cof(N ) c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41

  • Medida

    Definicion

    (1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.

    (2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .

    (3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).

    b b

    b

    b

    b b1add(N )

    cov(N )

    non(N )

    cof(N ) c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41

  • Medida

    Definicion

    (1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.

    (2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .

    (3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).

    b b

    b

    b

    b b1add(N )

    cov(N )

    non(N )

    cof(N ) c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41

  • Medida

    Definicion

    (1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.

    (2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .

    (3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).

    b b

    b

    b

    b b1add(N )

    cov(N )

    non(N )

    cof(N ) c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41

  • Categora

    Dado un espacio topologico X :

    A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n

  • Categora

    Dado un espacio topologico X :

    A X es nunca-denso si int(cl(A)) = .

    Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n

  • Categora

    Dado un espacio topologico X :

    A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .

    M X es magro si M = n

  • Categora

    Dado un espacio topologico X :

    A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n

  • Categora

    Dado un espacio topologico X :

    A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n

  • Categora

    En R, sea M la familia de subconjuntos magros de R. Como en el caso demedida, definimos add(M), cov(M), non(M) y cof(M). Del mismomodo,

    b b

    b

    b

    b b1add(M)

    cov(M)

    non(M)

    cof(M) c

    Si utilizamos un espacio polaco no contable X en vez de R, los valores deestos cardinales invariantes no cambian.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 19 / 41

  • Categora

    En R, sea M la familia de subconjuntos magros de R. Como en el caso demedida, definimos add(M), cov(M), non(M) y cof(M). Del mismomodo,

    b b

    b

    b

    b b1add(M)

    cov(M)

    non(M)

    cof(M) c

    Si utilizamos un espacio polaco no contable X en vez de R, los valores deestos cardinales invariantes no cambian.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 19 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.

    Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }

    X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.

    Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.

    Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.

    Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M,

    por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • -compacidad

    Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .

    Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.

    Por lo tanto,

    Lema

    add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.

    Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 21 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 22 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 23 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 24 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 25 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    add(N ) = min{b, cov(M)} y cof(M) = max{d,non(M)}.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 26 / 41

  • El diagrama de Cichon

    El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados. (desigualdades por:Bartoszynski, Fremlin, Miller, Rothberger, Truss; consistencia por:Bartoszynski, Judah, Miller, Shelah).

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    add(N ) = min{b, cov(M)} y cof(M) = max{d,non(M)}.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 27 / 41

  • Resultados de consistencia

    Teorema (Brendle (en esencia) 1991)

    Si 1 1 2 3 y

  • Resultados de consistencia

    Teorema (Brendle (en esencia) 1991)

    Si 1 1 2 3 y

  • Resultados de consistencia

    Teorema (Goldstern, Shelah y D.M.)

    Si 1 1 2 3 4 y

  • Resultados de consistencia

    Teorema (Goldstern, Shelah y D.M.)

    Si 1 1 2 3 4 y

  • Resultados de consistencia

    Si b = 1 d = 2 y 0 = , con el forcing de Solovay se puedeconstruir un modelo de

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    121

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Por lo tanto, es consistente que cov(M) < b < non(M)

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 31 / 41

  • Resultados de consistencia

    Si b = 1 d = 2 y 0 = , con el forcing de Solovay se puedeconstruir un modelo de

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    121

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Por lo tanto, es consistente que cov(M) < b < non(M)

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 31 / 41

  • Sobre cov(M) < non(M)

    En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.

    Problema

    Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?

    Teorema (Brendle)

    Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41

  • Sobre cov(M) < non(M)

    En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.Problema

    Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?

    Teorema (Brendle)

    Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41

  • Sobre cov(M) < non(M)

    En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.Problema

    Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?

    Teorema (Brendle)

    Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41

  • Pregunta abierta

    Problema

    Existe un modelo de ZFC donde b < cov(N ) < non(M)?

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 33 / 41

  • Parte derecha del diagrama de Cichon

    Teorema (D.M. 2013)

    Si 1 1 y

  • Parte derecha del diagrama de Cichon

    Teorema (D.M. 2013)

    Si 1 1 2 y

  • Parte derecha del diagrama de Cichon

    Teorema (A. Fischer, Goldstern, Kellner, Shelah)

    Si 1 6= 2, 1, 2 < 3 < 4 y 0i = i entonces existe un modelo de

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1

    2

    3 4

    1

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 36 / 41

  • Preguntas abiertas

    Problema

    Es cov(M) < d < non(N ) < cof(N ) consistente con ZFC?

    b b b b b

    b b

    b b b b b

    1add(N ) add(M) cov(M) non(N )

    b d

    cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 37 / 41

  • Preguntas abiertas

    Problema

    Si 1 < 1 < 2 < 3 < < < y

  • Referencias

    T. Bartoszynski, H. Judah: Set Theory. On the Structure of the Real Line. A. K.Peters, Massachusetts, 1995.

    A. Blass: Combinatorial cardinal characteristics of the continuum. In: A. Kanamori,M. Foreman (eds.), Handbook of Set-Theory, Springer, Heidelberg, 2010, pp.395-490.

    J. Brendle: Larger cardinals in Cichons diagram, J. Symb. Logic 56, no. 3 (1991)795-810.

    J. Brendle: Mob families and mad families. Arch. Math. Logic 37 (1998) 183-197.

    J. Brendle: Forcing and the structure of the real line: the Bogota lectures. Lecturenotes, 2009.

    J. Brendle, V. Fischer: Mad families, splitting families and large continuum. J.Symb. Logic 76, no. 1 (2011) 198-208.

    J. Brendle: Shattered iterations. In preparation.

    J. Brendle, D. Raghavan: Bounding, splitting and almost disjointness. Ann. PureAppl. Logic 165 (2014) 631-651.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 39 / 41

  • Referencias

    A. Fischer, M. Goldstern, J. Kellner, S. Shelah: Creature forcing and five cardinalcharacteristics of the continuum. Submitted.

    V. Fischer, D.A. Meja: Splitting, bounding and almost disjointness can be quitedifferent. In preparation.

    M. Goldstern, D. A. Meja, S. Shelah: The left hand side of Cichons diagram. Inpreparation.

    H. Judah, S. Shelah: The Kunen-Miller chart (Lebesgue measure, the Baireproperty, Laver reals and preservation theorems for forcing). J. Symb. Logic 55, no.3 (1990) 909-927.

    A. S. Kechris: Classical descriptive set theory. Springer-Verlag, New York, 1995.

    D. A. Meja: Matrix iterations and Cichons diagram, Arch. Math. Logic 52 (2013)261-278.

    A. Miller: Some properties of measure and category. Trans. Amer. Math. Soc. 266(1981) 93-114.

    S. Shelah: On cardinal invariants of the continuum. Contemp. Math. 31 (1984)184-207.

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 40 / 41

  • Referencias

    S. Shelah: Two cardinal invariants of the continuum (d < a) and FS linearlyordered iterated forcing. Acta Math. 192 (2004) 187-223 (publication number 700).

    Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 41 / 41