Presentación de polinomios y fracciones algebraicas

$: Presentación de polinomios y fracciones algebraicas$
3.1 – Expresiones algebraicas

• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.

•Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

• Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos:- Monomios: ,...r2 ,x2 ,x3 2 - Polinomios: 22 r2rh2 ,1x2-x3

• Algunas expresiones algebraicas son igualdades:- Identidades: 12x3)4x(3 - Ecuaciones: 27)4x(3

Se verifica para cualquier valor de “x”.

Se verifica para “x = 5”

TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICASMatemáticas

4º ESO 3.1 – Expresiones algebraicas

x

y

• Si x y y son las medidas de los lados de un rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo.

• Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:

2 . 3 + 2 . 2 = 10

Ejemplo:


4º ESO .3.2 – Monomios

• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural.

• El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas• El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.• Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.

8x2y5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7

Coeficiente

Grado respecto de la letra x

• Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1 -32)


4º ESO .3.2 – Monomios

• Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes.

12x2y – 2x2y + 4x2y = (12 – 2 + 4)x2y = 14x2y

5x2 + 6xy = 5x2 + 6xy

12x2y – 2x2y + 4x2y + 5x2 + 6xy = 14x2y + 5x2 + 6xy

Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede simplificar y hay que dejarla indicada.

Ejemplos:


4º ESO 3.2 - Monomios

• El producto de monomios es otro monomio que tiene:– como coeficiente, el producto de los coeficientes.– como parte literal, el producto de las partes literales

x3 . x2 = x3 +2 = x5

5x2 . 7x4 = (5.7). x2+4 = 35 x6

–2xy2 . 5x2y3 . 3xz= (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) z = –30x4y5z

Ejemplos:

• El cociente de monomios es otro monomio que tiene:– como coeficiente, el cociente de los coeficientes.– como parte literal, el cociente de las partes literales

x3 : x2 = x3 -2 =x

(14x4) : (7x2) = (14:7). x4-2 = 2 x2

Ejemplos:


4º ESO3.3 – Polinomios

Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término.

P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2

Término principalGrado del polinomio

Término de grado 2 Término independienteo término de grado 0

El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a


4º ESO3.3 - Polinomios

• Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado.

P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4

P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4

Ejemplo

El grado de P Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

3.3 – Polinomios

• El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes

–7x3 + 3x2 – 0x + 2

2x2 + 3x – 1

7x3 – 3x2 + 0x – 2

– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x

–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2

–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

• El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio

2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2

3.3 - Polinomios

• Productos notables• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

• (a + b) (a – b) = a2 – b2

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

• Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como factor común.

• 2x+3x 2 – 7x4 = x.(2 +3x – 7x3)

3.3 - Polinomios

• Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor).

La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es:

)x(d

)x(R)x(C

d(x)

D(x) bien, o ),x(R)x(C).x(d)x(D

Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:

)x(Cd(x)

D(x) bien, o ),x(C).x(d)x(D

3.3 - Polinomios

resto–(– 3x2 – 2x + 4)Se resta (–1) . d

cociente

Cociente delos términosde mayor grado


x3

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Primer paso

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Segundo paso

– (6x4+ 4x3 – 8x2)– 3x2 – 3x + 6

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3 + 2x2– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

– (6x4– 4x3 – 11x2)– 3x2 – 3x + 6

Tercer paso

Se resta x3 . d

Se resta 2x2 . d


– x + 2

+ 2x2

– 1

3.4 – Regla de Ruffini

r

se suma

Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se

Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12

a 2

Se opera:2 – 6 – 4 12

2

Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

2

4 – 4 – 16

– 4–2 –8

se multiplica por a

La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a.

3.4 – Regla de Ruffini

Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a.

Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente

Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r

Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).

El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así:

P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = – 4

3.5 – Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible.

Método para factorizar un polinomio:

•Sacar factor común.

•Recordar los productos notables.

•Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x)

•Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:

cbxax solución tieneNo

) x-a.(x doblesolución 1

)xx).( x-a.(x distintas soluciones 2

0cbxax2

21

21

2


Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 – 3x

• Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3) • Por Ruffini: x3 + 3x2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3

1 3 –1 -31 1 4 3

1 4 3 0

• Por la fórmula:x2 +4x + 3 = 0 x = -1, x = -3

x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)


Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4

1.– No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4

= 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}.

1 0 –2 4–2 –2 4 –4

1 –2 2 0

3.– Por la fórmula x2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución

(x + 2).(x2 – 2x + 2)

3.6 – Divisibilidad de polinomios

• Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x)

• Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo.

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios:

Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)]

Método para calcularlo:

-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)

-Se toman los factores comunes al menor exponente

3.6 – Divisibilidad de polinomios

Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)]

Método para calcularlo:

-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)

-Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente

Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1, Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8

-Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2

-m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2

-M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1

3.7 – Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios )X(Q

)x(P

Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.

x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1

(x – 3) (x2 + 1)(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

x – 3x2 – 1

Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

1x1x

,1x

x,

1x3

2

)1x)(1x(1x

,1x

x,

1x3

)1x)(1x(1x

,)1x)(1x(

)1x(x,

)1x)(1x()1x(3

1x1x

,1x

)1x(x,

1x)1x(3

222


Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores

+x – 2x2 – 1

x2 – 3xx2 – 2x + 1

= +x – 2

(x – 1)(x + 1)(x – 3)x(x – 1)2

=

+(x – 2)(x – 1)

(x – 1)2 (x + 1)(x – 3) x (x + 1)(x – 1)2 (x + 1)

=x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x

(x – 1)2 (x + 1)=

x3 – x2 – 6x +2(x – 1)2 (x + 1)

=

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS


Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores

.x4 – 12x + 1

x – 2x2 – 2x + 1

=(x – 2) (x4 – 1)

(x2 – 2x + 1) (2x + 1)=

(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1)2 (2x + 1)

=(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)

(x – 1) (2x + 1)=

x4 - x3 -x2 -x -22x2 - x - 2

=


Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x)

División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda

(x3 – 1) (2x – 1)(2x2 + x) (x4 + 1)

=2x4 - x3 - 2x + 1

2x6 + x5 + 2x2 + x

2x – 1x4 + 1

x3 – 12x2 + x

=.x4 + 12x – 1

x3 – 12x2 + x

=:

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