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Cantidad de Momento, Conservación, Choques, Centro de Masa

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Cantidad de Momento, Conservación, Choques, Centro de

Masa

Momentum líneal

Las fuerzas aplicadas en una dirección que no pasa por el centrode gravedad de un objeto producen un giro en éste objeto.Para medir la magnitud de este giro se define la cantidad de movimiento con respecto a un punto O como un vector. La cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de la velocidad v por la masa m de la partícula:

p = mv

La cantidad de movimiento se llama también el momentum.

●Unidad de momentum en el sistema SI: kg m/s

●Momentum es un vector y tiene la misma dirección que la velocidad.

Momento líneal y su conservación

La segunda ley de Newton establece que la fuerza sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del objeto.

En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de Newton se escribe como:

dtdpF =

Ejemplo7-1. Una manguera deja salir un chorro de agua de

1.5 kg/s con una rapidez de 20 m/s, el agua choca una pared que la detiene. Cual es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?

• Solucion: En cada segundo se detiene agua con una calidad de movimiento de 1.5 kg * 20m/s =30 kg m/s. La magnitud de la fuerza necesaria para cambiar la cantidad de movimiento es:

dtd pF =

F= -30 N. El siglo menos indica que la fuerza sobre el agua se opone a su velocidad original. La pared ejerce una fuerza de 30 N para detener el agua. Tercera ley de Newton – el agua ejerce una fuerza de -30 N sobre la pared.

Conservación de la cantidad de movimiento para dos partículas

De la propia definición de fuerza:

se deduce que si F = 0, ( o Σ F, resultante de todas aplicadas sobre una partícula, es 0, entonces p debe ser constante.

Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes: px, py y pz, y por tanto también las de la velocidad.

dtdpF =

Conservación de la cantidad de movimiento para dos partículas

Para dos partículas que interactúan se cumple que:

dtd 1

12pF =

dtd 2

21pF =

De la tercera ley de Newton, tenemos que:

2112 FF −=

P1 = m1v1

F12m1

F21

m2 P2 = m2v2

De aquí se obtiene que:

( ) 02121 =+=+ pppp

dtd

dtd

dtd

Esto significa que: ptotal = p1 + p2 = constante – La cantidad total de movimiento de un sistema de cuerpos aislado permanece constante. Por sistema se entiende un conjunto de objetos que interactúan entre si. Un sistema aislado es aquel en e que las únicas fuerzas presentes son aquellas que actúan entre los objetos del sistema. Si existen fuerzas externas – la cantidad de movimiento no se conserva.

La ley de la conservación del momento lineal establece que siempre que dos partículas aisladas sin carga interactúan entre sí, su momento total permanece constante.

Impulso y momentoEn una colisión de dos objetos, ambos se deforman. Cuando ocurre el choque, la fuerza va desde 0 en el momento de contacto, hasta un valor muy grande en un tiempo muy corto.En el caso de que la fuerza que actúa sobre un cuerpo no e constante, se llama impulso al producto de dicha fuerza por el tiempo que está actuando.I = F ·∆ t = ∆p = m · v2 – m · v1 = m ·∆v

El impulso mecánico aplicado a un objeto es igual a la variación en la cantidad de movimiento de éste objeto.

Impulso y momentoEl cambio total de la cantidad de movimiento es igual al impulso. El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo:

ppppFI ∆=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫ 12

2

1tt

t

tdt

dtddt

ti tf

t

FEl impulso de la fuerza F es igual al cambio de momento de la partícula.

El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al área bajo la curva de fuerza-tiempo.

La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama fuerza de impulso. La fuerza es variable. Es suficiente aproximar esta fuerza variable, mediante como una fuerza promedio, que actúa durante un tiempo muy corto.

El impulso se puede escribir como: I = Fm ∆t. Donde Fm es la fuerza promedio durante el intervalo.

ti tf

t

F

Fm

Área = Fm ∆t

Ejemplo:Ejemplo: Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que recibe la pelota y la fuerza media que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta dura una centésima de segundo.I = F · ∆ t = ∆p = m · v2 – m · v1 = = 0,055 kg · (–10 m/s) – 0,055 kg · 20 m/s =

I = ––1,65 kg 1,65 kg ··m/sm/s

I –1,65 · i kg ·m/s F = —— = ———————— = ––165 N165 N

∆ t 0,01 sLógicamente, tanto la componente del impulso como la de la

fuerza tienen signo negativo pues tienen sentido contrario al inicial de la pelota.

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ColisionesLlamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Durante el choque no se sabe como varia la fuerza de choque como función del tiempo. Se puede calcular en el momento después del choque, con respeto el movimiento inicial, mediante las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía.

Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que:

m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f

Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales de las masas m1 y m2.

m1 m2

F12F21

Clasificación de las colisionesConsideraremos colisiones en una dimensión.

Las colisiones se clasifican en:

Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir: caso ideal

2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm +=+

Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.). Pero energía total que es suma de energía cinética y potencial se conserva.

Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión, quedan pagados. Energía total se conserva.

v1f = v2f

Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente: La cantidad de mov. Total se conserve. 21

221121 mm

vmvmvvv iiff +

+===

Colisiones perfectamente inelásticas

Si m2 está inicialmente en reposo, entonces:

21

11

mmvmv i

+=

Si m1» m2, entonces v ≈ v1i.

Si v2i = −v1i , entonces:

Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0

v1i v2i

m1 m2

ivmmmmv 1

21

21

+−

= vf

m1+m2

Choques elásticosAntes de la colisión Después de la colisión

v1f

En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que:

y

2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm +=+

ffii vmvmvmvm 22112211 +=+

Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:

fifi vvvv 2211 +=+

m1 m2

v1i v2iv2f

fi

fff

iii

uu

vvuvvu

−=

−=−=

21

21Si denotamos por u la velocidad relativa de los objetos, entonces:

En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada.

iif

iif

vmmmmv

mmmv

vmm

mvmmmmv

221

121

21

12

221

21

21

211

2

2

+−

++

=

++

+−

=Las velocidades finales de los dos objetos son:

Si v2i = 0, entonces:

ifif vmm

mvvmmmmv 1

21

121

21

211

2y+

=+−

=

Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades.

Si m1 » m2, entonces v1f ≈ v1i y v2f ≈ 2v1i. Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado.

Si m1 « m2, entonces v1f ≈ −v1i y v2f ≈ (2 m1/m2)v1i ≈ 0. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la que traía.

Colisiones en dos dimensionesPara el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como:

m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx

m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy

Antes de la colisión Después de la colisión

v1fv1i

v2im1

v2f

m2

Consideraremos el caso en que m2 está en reposo inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ con la horizontal. Las ecuaciones son:

m1v1i = m1v1fcos θ + m2v2fcos φ

0 = m1v1f sen θ − m2v2fsen φ v1f

m1

m2

v1i

v2f

Antes de la colisión

Después de la colisiónφ

θ

La ley de la conservación de la energía: Las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, φ, θ.

2222

12112

12112

1ffi vmvmvm +=

Centro de masaEl centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual es concentrada toda la masa del sistema.

En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula mediante la siguiente fórmula:

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

Mm

mm ii

i

iiCM

∑∑∑ ==

rrr

Centro de masa de un objeto extendido

El centro de masa de un objeto extendido se calcula mediante la integral:

rCM

x

y

z

ri

∆mi

∫= dmMCM rr 1

Movimiento de un sistema de partículas

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa:

Mm

dtdm

Mdtd

iiCM

ii

CMCM

∑∑

=

==

vv

rrv 1

El momento total del sistema es:

∑∑ === totiiiCM mM ppvv

La aceleración del centro de masa es:

∑∑ === iii

iCM

CM mMdt

dmMdt

d avva 11

De la segunda ley de Newton:

∑∑ == iiiCM mM Faa

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

dtdM tot

CMextpaF ==∑

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

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