PRÁCTICAS Nº 10 Y 11

CCOONNTTRRAASSTTEESS DDEE HHIIPPOOTTEESSIISS EE IINNTTEERRVVAALLOOSS DDEE CCOONNFFIIAANNZZAA

ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA

2º LADE

CURSO 2008-09

Profesorado:

Prof. Dra. Mª Dolores González Galán

Prof. M ª Mar Romero Miranda

Prof. Mª Teresa Álvarez Bravo

Prof. Antonio Hernández Moreno

Prof. Miguel Ángel Rivas Carrasco

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Para el desarrollo de esta práctica seguiremos la ayuda del programa SPSS y utilizaremos como

ejemplos los datos de los ejercicios 5.12 y 5.18 del libro de Casas Sánchez, J.M. (1998):Problemas de

estadística. Descriptiva, probabilidad e inferencia, Edit. Pirámide.

1. PRUEBA DE HIPÓTESIS E INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL.

Analizar/ Comparar Medias/ Prueba T para una muestra

El procedimiento Prueba T para una muestra contrasta si la media de una sola variable

difiere de una constante especificada. Nos permite realizar dicho contraste así como

obtener un intervalo de confianza para la diferencia promedio.

Ejercicio 5.12: Los niveles de audiencia (en miles de personas) de un programa de

televisión, medidos en 10 emisiones elegidas aleatoriamente, han sido los siguientes: 682,

553, 555, 666, 657, 649, 522, 568, 700, 552. Suponiendo que los niveles de audiencia

siguen una distribución normal, ¿Se podría afirmar, con un 95% de confianza, que la

audiencia media del programa es de 600.000 espectadores por programa?

Tal como se ha estudiado en teoría, el contraste sobre la media (µ) de una población

normal con varianza desconocida se basa en la distribución t de Student tal como se

indica a continuación:

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Sabemos también que el intervalo de confianza al 100(1-α)% para la media (µ) de una

población normal viene dado por la expresión:

Procedimiento en SPSS:

Creamos nuestro fichero titulado Ejercicio Audiencia Programa Televisión que contiene

los datos de los niveles de audiencia, en una variable que llamaremos “Audiencia”. Tras

esto hacemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +− −− nStx

nStx nn

´;´2/,12/,1 αα

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Pinchando sobre el botón Opciones, se nos despliega la siguiente ventana:

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Resultado:

Estadísticos para una muestra

N Media Desviación típ.

Error típ. de la

media

Niveles de audiencia (en

miles de personas) de un

programa de televisión

10 610,40 66,076 20,895

Donde el error típico de la media es =

Prueba para una muestra

Valor de prueba = 600

t gl Sig. (bilateral)

Diferencia de

medias

95% Intervalo de confianza para la

diferencia

Inferior Superior

Niveles de audiencia (en

miles de personas) de un

programa de televisión

,498 9 ,631 10,400 -36,87 57,67

(1): CONTRASTE (2): INTERVALO DE CONFIANZA

(1): CONTRASTE: Resuelve el siguiente contraste de hipótesis:

Ho: Nº medio de espectadores del programa = 600

H1: Nº medio de espectadores del programa ≠ 600

Es decir:

Ho: µ espectadores = 600 Ho: µ espectadores – 600 = 0

H1: µ espectadores ≠ 600 H1: µ espectadores – 600 ≠ 0

nS´

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

El estadístico de prueba es:

La distribución t de Student en este caso tiene 9 grados de libertad y es:

Como el valor del nivel crítico del contraste es: p=0.63061 que es mayor que α=0.05 ⇒ el

estadístico de prueba no se encuentra en la región crítica y, por tanto, no habría suficiente

evidencia estadística como para rechazar Ho, es decir, aceptamos la hipótesis nula, de

modo que, con un 95% de confianza, podemos decir que la audiencia media del programa

es de 600.000 espectadores.

En SPSS, nos fijamos en la significación (bilateral, en este caso) o p-valor, que es 0,631

el cual comparamos con α, que en este caso hemos tomado α = 0,05. Como p > α, ya

que, 0,631 > 0,05 concluiríamos, que no podemos rechazar la hipótesis nula, por lo que

se podría aceptar que el número medio de espectadores del programa de televisión es de

600.000.

t0,025= 2,262 ( ) 63061,04978,02 =≥= tPp

4977,010/076,66

6004,610´/

0 =−

=−

=nS

xt µ

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

(2): INTERVALO DE CONFIANZA

Podemos también construir un Intervalo de Confianza para la media sabiendo que:

En nuestro caso, el SPSS nos da un Intervalo de Confianza para la diferencia, es decir,

para (µ-600), el cual viene dado por (-36,87; 57,67).

Para construir el intervalo de confianza para la media, tendremos que hacer (-36,87 +

600; 57,67 + 600) = (563,13; 657,67).

Otra forma de resolver el contraste planteado sobre la media sería viendo si el valor

600 se encuentra o no dentro del intervalo de confianza construido. Como si se encuentra,

podríamos afirmar que con un 95% de confianza, la audiencia media del programa es de

600.000 espectadores.

1~ −−

= nt

nSxt µ

I.C. (µ, 1-α) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− −−−− n

Stxn

Stx nn 2/1,12/1,1 , αα

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2. PRUEBA DE HIPÓTESIS E INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS EN POBLACIONES NORMALES. Analizar/ Comparar Medias/ Prueba T para muestras independientes (Estudiaremos sólo el caso en que las muestras sean independientes)

El procedimiento Prueba T para muestras independientes compara las medias de dos

grupos de casos. Para esta prueba, lo ideal es que los sujetos se asignen aleatoriamente

a dos grupos, de forma que cualquier diferencia en la respuesta sea debida al tratamiento

(o falta de tratamiento) y no a otros factores. Este caso no ocurre si se comparan los

ingresos medios para hombres y mujeres. El sexo de una persona no se asigna

aleatoriamente. En estas situaciones, debe asegurarse que las diferencias en otros

factores no enmascaren o resalten una diferencia significativa entre las medias. Las

diferencias de ingresos medios pueden estar sometidas a la influencia de factores como

los estudios y no solamente al sexo.

El programa calcula la t para varianzas iguales y distintas y realiza el contraste para las

varianzas. Para el contraste sobre las varianza el SPSS no usa la prueba F, sino la de

Levene que no asume normalidad y se puede usar para comparar varias varianzas.

Nos permite obtener además de la prueba, un intervalo de confianza para la diferencia de

medias, para lo cual debemos distinguir los casos en que:

a) se asumen varianzas iguales:

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

b) no se asumen varianzas iguales:

I.C. al 100(1-α)% para µx- µy ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−+−−

mS

nSZyx

mS

nSZyx yxyx

22

2/

22

2/

´´;´´

αα

2´)1(´)1( 22

−+

−+−=

mnSmSn

s yx

0

1-α α/2 α/2

2/,2 α−+− mnt 2/,2 α−+mnt

Siendo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−− −+−+ mn

styxmn

styx mnmn11)(;11)( 2/,22/,2 αα

I.C. al 100(1-α)% para µx- µy

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Ejercicio 5.18: Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes del número de

puestos de trabajo creados en el último mes por diferentes empresas de dos sectores

económicos. La información suministrada por las muestras es la siguiente:

Sector A: nº de empleos: 13, 14, 21, 19, 15, 15

Sector B: nº de empleos: 18, 19, 20, 22, 31, 26.

Con el fin de conocer el impacto de las nuevas modalidades de contratación en ambos

sectores y suponiendo que el número de empleos creados siguiera en ambos sectores

distribuciones normales con varianzas iguales: ¿Podríamos afirmar con un 99% de

confianza, que ambos sectores son similares en cuanto al número medio de empleos

creados en el último mes?

Lo primero que haremos será crear nuestro fichero titulado Ejercicio Empleos por

Sectores que contiene los datos anteriores, en una variable que llamaremos “Empleos”.

Tras esto hacemos:

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Procedimiento:

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Resultados:

Estadísticos de grupo

Sector N Media Desviación típ.

Error típ. de la

media

Nº de empleos creados en el

último mes en el

correspondiente Sector

Sector A 6 16,17 3,125 1,276

Sector B 6 22,67 4,967 2,028

Prueba de muestras independientes

Prueba de

Levene para la

igualdad de

varianzas Prueba T para la igualdad de medias

F Sig. t gl

Sig.

(bilateral)

Diferencia

de medias

Error típ.

de la

diferencia

99% Intervalo de

confianza para la

diferencia

Inferior Superior

Nº de empleos

creados en el último

mes en el

correspondiente

Sector

Se han asumido

varianzas

iguales

1,263 ,287 -2,713 10 ,022 -6,500 2,396 -14,092 1,092

No se han

asumido

varianzas

iguales

-2,713 8,423 ,025 -6,500 2,396 -14,422 1,422

(1): Cont. Igualdad var. (2): Cont. Igualdad medias (3): Int. Confza.

(1): CONTRASTE SOBRE IGUALDAD DE VARIANZAS Se plantea el contraste sobre la igualdad de varianzas:

Ho: Varianza del nº medio de empleos creados en el último mes en el Sector A =

Varianza del nº medio de empleos creados en el último mes en el Sector B

H1: Varianza del nº medio de empleos creados en el último mes en el Sector A ≠

Varianza del nº medio de empleos creados en el último mes en el Sector B

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Es decir:

Ho: σ2EmpleoscreadosSectorA = σ2

EmpleoscreadosSectorB

H1: σ2EmpleoscreadosSectorA ≠ σ2

EmpleoscreadosSectorB

O equivalentemente:

Ho: σ2EmpleoscreadosSectorA - σ2

EmpleoscreadosSectorB = 0

H1: σ2EmpleoscreadosSectorA - σ2

EmpleoscreadosSectorB ≠ 0

Para dicho contraste, el SPSS nos da una significación de (p=) 0,287 > 0,01 (=α), por lo

que no habría suficiente evidencia estadística como para rechazar la hipótesis nula, es

decir, que asumiríamos entonces igualdad de varianzas.

Al asumir igualdad de varianzas, nos fijaríamos pues sólo en la fila “Se han asumido

varianzas iguales” ( )

Seguidamente, pasaríamos a resolver el contraste sobre igualdad de medias.

(2): CONTRASTE SOBRE IGUALDAD DE MEDIAS: Se plantea en este caso el contraste:

Ho: Nº medio empleos creados en último mes en Sector A = Nº medio empleos creados

en último mes en Sector B

H1: Nº medio empleos creados en último mes en Sector A ≠ Nº medio empleos

creados en último mes en Sector B

Es decir:

Ho: µEmpleoscreadosSectorA = µEmpleoscreadosSectorB

H1: µEmpleoscreadosSectorA ≠ µEmpleoscreadosSectorB

O equivalentemente:

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

Ho: µEmpleoscreadosSectorA - µEmpleoscreadosSectorB = 0

H1: µEmpleoscreadosSectorA - µEmpleoscreadosSectorB ≠ 0

El estadístico en este caso resulta ser:

Y la distribución una t-Student con 10 grados de libertad:

cuyo nivel crítico del contraste es :

Como este nivel crítico p=0,022 es mayor que α=0.01, el estadístico de prueba no

pertenece a la región crítica y, por tanto, se acepta la hipótesis nula de igualdad de

medias.

En SPSS, asumiendo pues varianzas iguales, nos fijaríamos en que la significación que

tenemos para la igualdad de medias es 0,022 que no es inferior a 0,01, por lo que

concluiríamos que con un nivel de confianza del 99 %, no hay suficiente evidencia

estadística como para rechazar la igualdad de medias, es decir, podemos suponer que el

número medio de empleos creados en el último mes en los sectores A y B son similares.

0

0,99

tα /2− tα /2=-3,169 =3,1690

0,99

tα /2− tα /2=-3,169 =3,169

( ) 022,0713,22 =−≥= tPp

713,2

61

61

266966,4)5(125,3)5(

)66,2216,16(22

−=

+−+

+

−=t

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

(3): INTERVALO DE CONFIANZA: Podemos, tal como hemos visto, construir un Intervalo de Confianza para la diferencia de

medias, el cual nos lo proporciona igualmente el SPSS.

En nuestro ejemplo el intervalo de confianza para la diferencia de medias a un nivel de

confianza del 99 % sería (-14,092, 1,092).

Por último, comentar que para resolver el contraste sobre la igualdad de medias en

el caso de muestras independientes, también podemos hacerlo fijándonos en el intervalo

de confianza que nos proporciona el SPSS, para lo cual tendríamos que ver si dicho

intervalo contiene el valor 0 o no: si no contiene al 0, habría diferencia de medias. En caso

de contenerlo, se asume que las medias son iguales.

En nuestro caso, como el valor 0 se encuentra dentro del intervalo de confianza

construido, con un 99% de confianza, puede admitirse la similaridad en la creación de

puestos de trabajo en estos dos sectores.

Estadística e Introducción a la Econometría Práctica 10

EJERCICIOS EJERCICIO 1: Fichero de SPSS “Employee data”

a) ¿Se podría afirmar con una confianza del 95 % que el salario inicial medio es igual a

20.000? Hallar un intervalo de confianza para la media.

b) Resolver usando el SPSS y con un nivel de confianza del 99 % el siguiente contraste

sobre la media, e indicar así mismo un intervalo de confianza para la media:

Ho: µSalarioActual = 32.800

H1: µSalarioActual ≠ 32.800

EJERCICIO 2: Fichero “Terreno.sav” a) ¿Se podría afirmar que el consumo medio a 120 km/h es igual para los vehículos de 4 y

6 cilindros, con un nivel de confianza del 95 %? ¿Y con un 99 %? Dar un intervalo de

confianza en ambos casos y compararlos.

b) ¿Se podría afirmar que el consumo urbano medio es igual para los vehículos de 4 y 6

cilindros, con un nivel de confianza del 95 %? ¿Qué tipo de vehículo tiene un consumo

medio urbano mayor, los de 4 o los de 6 cilindros? Dar un intervalo de confianza.