Πραγματική Ανάλυση – Προαιρετική Εργασία

Παραδίδετε τις απαντήσεις σας για οκτώ από τα παρακάτω προβλήματα. Προθεσμία: από τη Δευτέρα

8 Ιανουαρίου μέχρι την Παρασκευή 12 Ιανουαρίου 2018, κατά προτίμηση στην τάξη ή στο Γραφείο

229.

1. ΄Εστω f : [0, 1]→ R συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες:

(α) Για κάθε υποδιάστημα [a, b] του [0, 1] το σύνολο f([a, b]) περιέχει το διάστημα που έχει άκρατα f(a) και f(b).

(β) Για κάθε y ∈ R το σύνολο f−1({y}) είναι κλειστό.

Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής.

2. ΄Εστω α, β : [0, 1] → R και γ : [0, 1] → [0, 1] συνεχείς συναρτήσεις. Υποθέτουμε επίσης ότι‖β‖∞ < 1. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδική συνεχής συνάρτηση f : [0, 1]→ R τέτοια ώστε

f(x) = α(x) + β(x)f(γ(x))

για κάθε x ∈ [0, 1]. [Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε, αν θέλετε, το θεώρημα σταθερού σημείου.]

3. ΄Εστω (X, d) πλήρης μετρικός χώρος και E ⊆ X μη κενό, τέτοιο ώστε E = E′. Αποδείξτε ότιτο E είναι υπεραριθμήσιμο.

4. ΄Εστω (X, d) πλήρης μετρικός χώρος και f : (0, 1) → (X, d) ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση.Αποδείξτε ότι υπάρχει το lim

t→0+f(t). Δηλαδή, υπάρχει x0 ∈ X με την εξής ιδιότητα: για κάθε ε > 0

υπάρχει δ ∈ (0, 1) τέτοιο ώστε, αν 0 < t < δ τότε d(f(t), x0) < ε.

5. ΄Εστω (fn) ακολουθία συνεχών συναρτήσεων fn : R→ R με την εξής ιδιότητα: για κάθε x ∈ Rυπάρχει n = nx ∈ N τέτοιος ώστε fn(x) ∈ Q. Αποδείξτε ότι για κάθε διάστημα (γ, δ) μπορούμε ναβρούμε υποδιάστημα (a, b) ⊆ (γ, δ) και n ∈ N ώστε η fn να είναι σταθερή στο (a, b).

6. ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι ο X είναι ολικά φραγμένος αν και μόνο αν γιακάθε άπειρο A ⊆ X και για κάθε ε > 0 υπάρχουν a 6= b στο A τέτοια ώστε d(a, b) < ε.

7. ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος με την εξής ιδιότητα: αν A,B είναι μη κενά κλειστά υποσύνολατου X και A ∩B = ∅ τότε dist(A,B) > 0. Αποδείξτε ότι ο X είναι πλήρης.

8. ΄Εστω E ⊆ Rm και (Bα)α∈A οικογένεια από ανοικτές μπάλες τέτοια ώστε E ⊆⋃α∈A

Bα.

Αποδείξτε ότι υπάρχει αριθμήσιμο A0 ⊆ A τέτοιο ώστε E ⊆⋃

α∈A0

Bα.

9. Σωστό ή λάθος; ΄Εστω E άπειρο υποσύνολο του R με την ακόλουθη ιδιότητα: αν x, y ∈ E καιx < y τότε υπάρχει z ∈ E ώστε x < z < y. Τότε, η κλειστή θήκη E του E έχει μη κενό εσωτερικό.

10. ΄Εστω f : (X, d)→ (Y, σ). Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής αν και μόνο αν για κάθε συμπαγέςK ⊆ X ο περιορισμός της f στο K είναι συνεχής συνάρτηση.

11. ΄Εστω U ανοικτό υποσύνολο του Rm. Αποδείξτε ότι υπάρχει ακολουθία (Kn) συμπαγών

υποσυνόλων του U με τις εξής ιδιότητες: Kn ⊆ int(Kn+1) για κάθε n ∈ N και U =∞⋃n=1

Kn.

12. ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος τέτοιος ώστε: κάθε συνεχής f : (X, d) → R είναι ομοιόμορφασυνεχής.

(α) Αποδείξτε ότι ο (X, d) είναι πλήρης.

(β) Δώστε παράδειγμα μη συμπαγούς χώρου X που έχει την παραπάνω ιδιότητα.

(γ) Υποθέτοντας ότι ο X έχει πεπερασμένα το πλήθος μεμονωμένα σημεία, αποδείξτε ότι ο Xείναι συμπαγής.

13. Αποδείξτε ότι η ακολουθία συναρτήσεων fn : R→ R με

fn(x) = n sin√4π2n2 + x2

συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, a], για κάθε a > 0. Συγκλίνει η (fn) ομοιόμορφα στο R;

14. ΄Εστω a > 1. Εξετάστε αν η ακολουθία συναρτήσεων fn : R→ R με

fn(x) = n(

n√x− 1

)συγκλίνει ομοιόμορφα στο [1, a].