Portico Matricial
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Carlos Steven Moncayo Legarda. Código: 215637. SOLUCIÓN DE UN PÓRTICO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ. A continuación se presenta la topología de la estructura: Elemento 1 b (m) 0,3 h (m) 0,3 L (m) 3,606 αº 33,69 A (m2) 0,09 I ( m) 6,75E- 0 4 E (KN/m2) 2,0 0E+08 Elemento 2 b (m) 0,3 h (m) 0,6 L ( m) 2 α 0,00 A (m2) 0,18 I (m) 5,40E-03 E (KN/m2) 2,00E+08 Elemento 3 b (m) 0,3 h (m) 0,3 L ( m) 2,236 α 26,56 A (m2) 0,09 I (m) 6,75E-04 E (KN/m2) 2,00E+08
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Análisis de un portico matricial
Transcript of Portico Matricial
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Carlos Steven Moncayo Legarda.
Cdigo: 215637.
SOLUCIN DE UN PRTICO POR EL MTODO DE LA RIGIDEZ.
A continuacin se presenta la topologa de la estructura:
Elemento 1
b (m) 0,3
h (m) 0,3
L (m) 3,606
33,69
A (m2) 0,09
I (m) 6,75E-04
E (KN/m2) 2,00E+08
Elemento 2
b (m) 0,3
h (m) 0,6
L (m) 2
0,00
A (m2) 0,18
I (m) 5,40E-03
E (KN/m2) 2,00E+08
Elemento 3
b (m) 0,3
h (m) 0,3
L (m) 2,236
26,56
A (m2) 0,09
I (m) 6,75E-04
E (KN/m2) 2,00E+08
-
MATRICES LOCALES.
Los trminos de la matriz local se presentan para cada elemento:
Por lo tanto las matrices locales nos quedan:
EA/L 4,99E+06
12EI/L3 3,45E+04
6EI/L2 6,23E+04
2EI/L 7,49E+04
4EI/L 1,50E+05
Elemento 1
EA/L 1,80E+07
12EI/L3 1,62E+06
6EI/L2 1,62E+06
2EI/L 1,08E+06
4EI/L 2,16E+06
Elemento 2
EA/L 8,05E+06
12EI/L3 1,45E+05
6EI/L2 1,62E+05
2EI/L 1,21E+05
4EI/L 2,42E+05
Elemento 3
u1 v1 1 u2 v2 2
4,99E+06 0 0 -4,99E+06 0 0 u1
0 3,45E+04 6,23E+04 0 -3,45E+04 6,23E+04 v1
0 6,23E+04 1,50E+05 0 -6,23E+04 7,49E+04 1
-4,99E+06 0 0 4,99E+06 0 0 u2
0 -3,45E+04 -6,23E+04 0 3,45E+04 -6,23E+04 v2
0 6,23E+04 7,49E+04 0 -6,23E+04 1,50E+05 2
k local elemento 1
u2 v2 2 u3 v3 3
1,80E+07 0 0 -1,80E+07 0 0 u2
0 1,62E+06 1,62E+06 0 -1,62E+06 1,62E+06 v2
0 1,62E+06 2,16E+06 0 -1,62E+06 1,08E+06 2
-1,80E+07 0 0 1,80E+07 0 0 u3
0 -1,62E+06 -1,62E+06 0 1,62E+06 -1,62E+06 v3
0 1,62E+06 1,08E+06 0 -1,62E+06 2,16E+06 3
k local elemento 2
u3 v3 3 u4 v4 4
8,05E+06 0 0 -8,05E+06 0 0 u3
0 1,45E+05 1,62E+05 0 -1,45E+05 1,62E+05 v3
0 1,62E+05 2,42E+05 0 -1,62E+05 1,21E+05 3
-8,05E+06 0 0 8,05E+06 0 0 u4
0 -1,45E+05 -1,62E+05 0 1,45E+05 -1,62E+05 v4
0 1,62E+05 1,21E+05 0 -1,62E+05 2,42E+05 4
k local elemento 3
-
Vectores de fuerzas locales:
Utilizando la tabla de momentos de empotramiento podemos transformar las cargas de
nuestra estructura a unas reacciones de momento y fuerza en los nodos, para nuestro
prtico, los momentos de cada nodo teniendo en cuenta la figura se calculan as:
Carga uniforme:
= =2
12
Carga triangular:
=2
20 =
2
30
Momento puntual:
=
(2 3
) =
(2 3
)
A partir de estos momentos calculamos las reacciones en cada nodo y de esta manera
nos resultan los vectores de fuerza locales as:
0 u1
-54,09 v1
-32,51 1
0 u2
-54,09 v2
32,51 2
F local elemento 1
0 u2
-65,00 v2
-20,00 2
0 u3
15,00 v3
-3,33 3
F local elemento 2
-
Transformacin a ejes globales:
Como los ejes locales del elemento 2 coinciden con los ejes globales, no es necesario
transformar la matriz local y el vector de fuerzas locales, pero para los otros dos
elementos si se deben transformar. Para ello determinamos la matriz global-local (TGL)
y la matriz local-global (TLG) del elemento, luego encontramos las matrices globales (KG)
y el vector de fuerzas globales (FG) mediante las siguientes ecuaciones
=
=
A continuacin se presentan las matrices para cada elemento transformado:
Elemento 1:
TGL
0,8321 0,5547 0 0 0 0
-0,5547 0,8321 0 0 0 0
0 0 1,0000 0 0 0
0 0 0 0,8321 0,5547 0
0 0 0 -0,5547 0,8321 0
0 0 0 0 0 1,0000
TLG
0,8321 -0,5547 0 0 0 0
0,5547 0,8321 0 0 0 0
0 0 1,0000 0 0 0
0 0 0 0,8321 -0,5547 0
0 0 0 0,5547 0,8321 0
0 0 0 0 0 1,0000
0 u3
0 v3
0 3
0 u4
0 v4
0 4
F local elemento 3
-
Elemento 3:
TGL
0,8945 0,4471 0 0 0 0
-0,4471 0,8945 0 0 0 0
0 0 1,0000 0 0 0
0 0 0 0,8945 0,4471 0
0 0 0 -0,4471 0,8945 0
0 0 0 0 0 1,0000
TLG
0,8945 -0,4471 0 0 0 0
0,4471 0,8945 0 0 0 0
0 0 1,0000 0 0 0
0 0 0 0,8945 -0,4471 0
0 0 0 0,4471 0,8945 0
0 0 0 0 0 1,0000
u1 v1 1 u2 v2 2
3,47E+06 2287904,53 -34553,4269 -3,47E+06 -2287904,53 -34553,4269 u1
2287904,53 1,56E+06 5,18E+04 -2287904,53 -1,56E+06 5,18E+04 v1
-34553,4269 5,18E+04 1,50E+05 34553,4269 -5,18E+04 7,49E+04 1
-3,47E+06 -2287904,53 34553,4269 3,47E+06 2287904,53 34553,4269 u2
-2287904,53 -1,56E+06 -5,18E+04 2287904,53 1,56E+06 -5,18E+04 v2
-34553,4269 5,18E+04 7,49E+04 34553,4269 -5,18E+04 1,50E+05 2
k global elemento 1
30 u1
-45,01 v1
-32,51 1
30 u2
-45,01 v2
32,51 2
F global elemento 1
u3 v3 3 u4 v4 4
6,47E+06 3161653,41 -72440,2325 -6,47E+06 -3161653,41 -72440,2325 u3
3161653,41 1,73E+06 1,45E+05 -3161653,41 -1,73E+06 1,45E+05 v3
-72440,2325 1,45E+05 2,42E+05 72440,2325 -1,45E+05 1,21E+05 3
-6,47E+06 -3161653,41 72440,2325 6,47E+06 3161653,41 72440,2325 u4
-3161653,41 -1,73E+06 -1,45E+05 3161653,41 1,73E+06 -1,45E+05 v4
-72440,2325 1,45E+05 1,21E+05 72440,2325 -1,45E+05 2,42E+05 4
k global elemento 3
-
Ensamble de la matriz:
Ya obtenidas las matrices globales de cada elemento, podemos ensamblar el sistema
teniendo en cuenta que los trminos de un nodo comn entre dos elementos deben
sumarse, de esta manera obtenemos la matriz de ensamble general:
Como un empotramiento no permite giro ni desplazamientos, nuestro sistema general Se nos reduce a un sistema 6x6 que equivale a los grados de libertad de los nodos libres (3 por cada uno).
Solucionando el sistema podemos encontrar los valores de los giros y las deformaciones:
0 u3
0 v3
0 3
0 u4
0 v4
0 4
F global elemento 3
u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 3 u4 v4 4
3,47E+06 2,29E+06 -3,46E+04 -3,47E+06 -2,29E+06 -3,46E+04 0 0 0 0 0 0 u1 30,00
2,29E+06 1,56E+06 5,18E+04 -2,29E+06 -1,56E+06 5,18E+04 0 0 0 0 0 0 v1 -45,01
-3,46E+04 5,18E+04 1,50E+05 3,46E+04 -5,18E+04 7,49E+04 0 0 0 0 0 0 1 -32,51
-3,47E+06 -2,29E+06 3,46E+04 2,15E+07 2,29E+06 3,46E+04 -1,80E+07 0 0 0 0 0 u2 30,00
-2,29E+06 -1,56E+06 -5,18E+04 2,29E+06 3,18E+06 1,57E+06 0 -1,62E+06 1,62E+06 0 0 0 v2 -110,01
-3,46E+04 5,18E+04 7,49E+04 3,46E+04 1,57E+06 2,31E+06 0 -1,62E+06 1,08E+06 0 0 0 2 12,51
0 0 0 -1,80E+07 0 0 2,45E+07 3,16E+06 -7,24E+04 -6,47E+06 -3,16E+06 -7,24E+04 u3 0
0 0 0 0 -1,62E+06 -1,62E+06 3,16E+06 3,35E+06 -1,48E+06 -3,16E+06 -1,73E+06 1,45E+05 v3 15,00
0 0 0 0 1,62E+06 1,08E+06 -7,24E+04 -1,48E+06 2,40E+06 7,24E+04 -1,45E+05 1,21E+05 3 -3,33
0 0 0 0 0 0 -6,47E+06 -3,16E+06 7,24E+04 6,47E+06 3,16E+06 7,24E+04 u4 0
0 0 0 0 0 0 -3,16E+06 -1,73E+06 -1,45E+05 3,16E+06 1,73E+06 -1,45E+05 v4 0
0 0 0 0 0 0 -7,24E+04 1,45E+05 1,21E+05 7,24E+04 -1,45E+05 2,42E+05 4 0
Sistema general
u2 v2 2 u3 v3 3
2,15E+07 2,29E+06 3,46E+04 -1,80E+07 0 0 u2 30,00
2,29E+06 3,18E+06 1,57E+06 0 -1,62E+06 1,62E+06 v2 -110,01
3,46E+04 1,57E+06 2,31E+06 0 -1,62E+06 1,08E+06 2 12,51
-1,80E+07 0 0 2,45E+07 3,16E+06 -7,24E+04 u3 0
0 -1,62E+06 -1,62E+06 3,16E+06 3,35E+06 -1,48E+06 v3 15,00
0 1,62E+06 1,08E+06 -7,24E+04 -1,48E+06 2,40E+06 3 -3,33
-
Ese ser nuestro vector uG.
Sistema dual:
Para encontrar las reacciones en cada elemento, debemos primero encontrar los
vectores solucin locales (uL) para cada uno de los elementos mediante la ecuacin:
= Los vectores de solucin locales para cada elemento son:
Ahora, para cada elemento encontramos el vector de reacciones (R) con la siguiente frmula:
= Los resultados de las reacciones para cada elemento se muestran a continuacin: Elemento 1:
u2 2,34E-04
v2 -4,27E-04
2 -1,05E-05
u3 2,23E-04
v3 -3,93E-04
3 5,65E-05
u local elemento 1
u1 0
v1 0
1 0
u2 -4,21E-05
v2 -4,85E-04
2 -1,05E-05
u local elemento 2
u2 2,34E-04
v2 -4,27E-04
2 -1,05E-05
u3 2,23E-04
v3 -3,93E-04
3 5,65E-05
u local elemento 3
u3 2,37E-05
v3 -4,52E-04
3 5,65E-05
u4 0
v4 0
4 0
u1 v1 1 u2 v2 2
4,99E+06 0 0 -4,99E+06 0 0 0 0,00 N1 210,3
0 3,45E+04 6,23E+04 0 -3,45E+04 6,23E+04 0 -54,09 V1 70,2
0 6,23E+04 1,50E+05 0 -6,23E+04 7,49E+04 0 -32,51 M1 61,9
-4,99E+06 0 0 4,99E+06 0 0 -4,21E-05 0,00 N2 -210,3
0 -3,45E+04 -6,23E+04 0 3,45E+04 -6,23E+04 -4,85E-04 -54,09 V2 38,0
0 6,23E+04 7,49E+04 0 -6,23E+04 1,50E+05 -1,05E-05 32,51 M2 -3,9
-
Elemento 2:
Elemento 3:
Diagramas: Una vez obtenidas las reacciones para cada elemento procedemos a dibujar los diagramas de axial, cortante y momento flector. (N)
u2 v2 2 u3 v3 3
1,80E+07 0 0 -1,80E+07 0 0 2,34E-04 0,00 N2 196,0
0 1,62E+06 1,62E+06 0 -1,62E+06 1,62E+06 -4,27E-04 -65,00 V2 85,0
0 1,62E+06 2,16E+06 0 -1,62E+06 1,08E+06 -1,05E-05 -20,00 M2 3,9
-1,80E+07 0 0 1,80E+07 0 0 2,23E-04 0,00 N3 -196,0
0 -1,62E+06 -1,62E+06 0 1,62E+06 -1,62E+06 -3,93E-04 15,00 V3 -35,0
0 1,62E+06 1,08E+06 0 -1,62E+06 2,16E+06 5,65E-05 -3,33 M3 59,5
u3 v3 3 u4 v4 4
8,05E+06 0 0 -8,05E+06 0 0 2,37E-05 0 N3 191,0
0 1,45E+05 1,62E+05 0 -1,45E+05 1,62E+05 -4,52E-04 0 V3 -56,3
0 1,62E+05 2,42E+05 0 -1,62E+05 1,21E+05 5,65E-05 0 M3 -59,5
-8,05E+06 0 0 8,05E+06 0 0 0 0 N4 -191,0
0 -1,45E+05 -1,62E+05 0 1,45E+05 -1,62E+05 0 0 V4 56,3
0 1,62E+05 1,21E+05 0 -1,62E+05 2,42E+05 0 0 M4 -66,4
-
(V)
(M)
