Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

68
Poglavlje 8: Centralni graniˇ cni teoremi i zakoni velikih brojeva Snjeˇ zana Lubura Strunjak i Zoran Vondraˇ cek Zagreb, 18. sijeˇ cnja 2021. SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 1 / 20

Transcript of Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

Page 1: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

Poglavlje 8: Centralni granicni teoremi i zakoni velikihbrojeva

Snjezana Lubura Strunjak i Zoran Vondracek

Zagreb, 18. sijecnja 2021.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 1 / 20

Page 2: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.1

Lema 8.1 Za −1/2 ≤ x ≤ 1 vrijedi

| log(1 + x)− x | ≤ 2x2.

Dokaz: Stavimof (x) := log(1 + x)− x , x ∈ [−1/2, 1].

Ocito f (0) = 0.

Nadalje, po teoremu srednje vrijednosti za svaki x ∈ [0, 1] (svaki x ∈ [−1/2, 0])postoji θ ∈ [0, x] (θ ∈ [x , 0]) takav da

f (x) = f (x)− f (0) = f ′(θ)x .

Buduci da je

f ′(θ) = −θ

θ + 1, θ ∈ [−1/2, 1],

zakljucujemo da je f nepozitivna te |f ′| neopadajuca na [0, 1] i nerastuca na [−1/2, 0]. Sada zax ∈ [0, 1] imamo

|f (x)| = |f ′(θ)|x ≤ maxθ∈[0,x]

|f ′(θ)|x =x2

x + 1≤ x2,

dok je za x ∈ [−1/2, 0],

|f (x)| = |f ′(θ)||x | ≤ maxθ∈[x,0]

|f ′(θ)||x | =x2

x + 1≤ 2x2.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 2 / 20

Page 3: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.1

Lema 8.1 Za −1/2 ≤ x ≤ 1 vrijedi

| log(1 + x)− x | ≤ 2x2.

Dokaz: Stavimof (x) := log(1 + x)− x , x ∈ [−1/2, 1].

Ocito f (0) = 0.

Nadalje, po teoremu srednje vrijednosti za svaki x ∈ [0, 1] (svaki x ∈ [−1/2, 0])postoji θ ∈ [0, x] (θ ∈ [x , 0]) takav da

f (x) = f (x)− f (0) = f ′(θ)x .

Buduci da je

f ′(θ) = −θ

θ + 1, θ ∈ [−1/2, 1],

zakljucujemo da je f nepozitivna te |f ′| neopadajuca na [0, 1] i nerastuca na [−1/2, 0]. Sada zax ∈ [0, 1] imamo

|f (x)| = |f ′(θ)|x ≤ maxθ∈[0,x]

|f ′(θ)|x =x2

x + 1≤ x2,

dok je za x ∈ [−1/2, 0],

|f (x)| = |f ′(θ)||x | ≤ maxθ∈[x,0]

|f ′(θ)||x | =x2

x + 1≤ 2x2.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 2 / 20

Page 4: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.1

Lema 8.1 Za −1/2 ≤ x ≤ 1 vrijedi

| log(1 + x)− x | ≤ 2x2.

Dokaz: Stavimof (x) := log(1 + x)− x , x ∈ [−1/2, 1].

Ocito f (0) = 0. Nadalje, po teoremu srednje vrijednosti za svaki x ∈ [0, 1] (svaki x ∈ [−1/2, 0])postoji θ ∈ [0, x] (θ ∈ [x , 0]) takav da

f (x) = f (x)− f (0) = f ′(θ)x .

Buduci da je

f ′(θ) = −θ

θ + 1, θ ∈ [−1/2, 1],

zakljucujemo da je f nepozitivna te |f ′| neopadajuca na [0, 1] i nerastuca na [−1/2, 0]. Sada zax ∈ [0, 1] imamo

|f (x)| = |f ′(θ)|x ≤ maxθ∈[0,x]

|f ′(θ)|x =x2

x + 1≤ x2,

dok je za x ∈ [−1/2, 0],

|f (x)| = |f ′(θ)||x | ≤ maxθ∈[x,0]

|f ′(θ)||x | =x2

x + 1≤ 2x2.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 2 / 20

Page 5: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.1

Lema 8.1 Za −1/2 ≤ x ≤ 1 vrijedi

| log(1 + x)− x | ≤ 2x2.

Dokaz: Stavimof (x) := log(1 + x)− x , x ∈ [−1/2, 1].

Ocito f (0) = 0. Nadalje, po teoremu srednje vrijednosti za svaki x ∈ [0, 1] (svaki x ∈ [−1/2, 0])postoji θ ∈ [0, x] (θ ∈ [x , 0]) takav da

f (x) = f (x)− f (0) = f ′(θ)x .

Buduci da je

f ′(θ) = −θ

θ + 1, θ ∈ [−1/2, 1],

zakljucujemo da je f nepozitivna te |f ′| neopadajuca na [0, 1] i nerastuca na [−1/2, 0]. Sada zax ∈ [0, 1] imamo

|f (x)| = |f ′(θ)|x ≤ maxθ∈[0,x]

|f ′(θ)|x =x2

x + 1≤ x2,

dok je za x ∈ [−1/2, 0],

|f (x)| = |f ′(θ)||x | ≤ maxθ∈[x,0]

|f ′(θ)||x | =x2

x + 1≤ 2x2.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 2 / 20

Page 6: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.1

Lema 8.1 Za −1/2 ≤ x ≤ 1 vrijedi

| log(1 + x)− x | ≤ 2x2.

Dokaz: Stavimof (x) := log(1 + x)− x , x ∈ [−1/2, 1].

Ocito f (0) = 0. Nadalje, po teoremu srednje vrijednosti za svaki x ∈ [0, 1] (svaki x ∈ [−1/2, 0])postoji θ ∈ [0, x] (θ ∈ [x , 0]) takav da

f (x) = f (x)− f (0) = f ′(θ)x .

Buduci da je

f ′(θ) = −θ

θ + 1, θ ∈ [−1/2, 1],

zakljucujemo da je f nepozitivna te |f ′| neopadajuca na [0, 1] i nerastuca na [−1/2, 0]. Sada zax ∈ [0, 1] imamo

|f (x)| = |f ′(θ)|x ≤ maxθ∈[0,x]

|f ′(θ)|x =x2

x + 1≤ x2,

dok je za x ∈ [−1/2, 0],

|f (x)| = |f ′(θ)||x | ≤ maxθ∈[x,0]

|f ′(θ)||x | =x2

x + 1≤ 2x2.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 2 / 20

Page 7: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2

Lema 8.2 Neka je a ∈ R te neka je (an)n∈N niz realnih brojeva takav da limn→∞ nan = 0.Tada vrijedi

limn→∞

(1 +

a

n+ an

)n= ea.

Dokaz: Pokazujemo da vrijedi

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

Buduci je limn→∞ nan = 0, postoji n0 ∈ N takav da je −1/4 < an < 1/4 i−1/4 < a/n < 1/4 za sve n ≥ n0. Slijedi da je −1/2 < a/n + an < 1/2 za sve n ≥ n0.Po Lemi 8.1, uz x = a/n + an, za sve n ≥ n0 imamo∣∣∣log

(1 +

a

n+ an

)−( an

+ an)∣∣∣ ≤ 2

( an

+ an)2

,

tj. ∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣ ≤ 2n( an

+ an)2

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 3 / 20

Page 8: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2

Lema 8.2 Neka je a ∈ R te neka je (an)n∈N niz realnih brojeva takav da limn→∞ nan = 0.Tada vrijedi

limn→∞

(1 +

a

n+ an

)n= ea.

Dokaz: Pokazujemo da vrijedi

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

Buduci je limn→∞ nan = 0, postoji n0 ∈ N takav da je −1/4 < an < 1/4 i−1/4 < a/n < 1/4 za sve n ≥ n0. Slijedi da je −1/2 < a/n + an < 1/2 za sve n ≥ n0.Po Lemi 8.1, uz x = a/n + an, za sve n ≥ n0 imamo∣∣∣log

(1 +

a

n+ an

)−( an

+ an)∣∣∣ ≤ 2

( an

+ an)2

,

tj. ∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣ ≤ 2n( an

+ an)2

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 3 / 20

Page 9: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2

Lema 8.2 Neka je a ∈ R te neka je (an)n∈N niz realnih brojeva takav da limn→∞ nan = 0.Tada vrijedi

limn→∞

(1 +

a

n+ an

)n= ea.

Dokaz: Pokazujemo da vrijedi

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

Buduci je limn→∞ nan = 0, postoji n0 ∈ N takav da je −1/4 < an < 1/4 i−1/4 < a/n < 1/4 za sve n ≥ n0. Slijedi da je −1/2 < a/n + an < 1/2 za sve n ≥ n0.

Po Lemi 8.1, uz x = a/n + an, za sve n ≥ n0 imamo∣∣∣log(

1 +a

n+ an

)−( an

+ an)∣∣∣ ≤ 2

( an

+ an)2

,

tj. ∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣ ≤ 2n( an

+ an)2

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 3 / 20

Page 10: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2

Lema 8.2 Neka je a ∈ R te neka je (an)n∈N niz realnih brojeva takav da limn→∞ nan = 0.Tada vrijedi

limn→∞

(1 +

a

n+ an

)n= ea.

Dokaz: Pokazujemo da vrijedi

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

Buduci je limn→∞ nan = 0, postoji n0 ∈ N takav da je −1/4 < an < 1/4 i−1/4 < a/n < 1/4 za sve n ≥ n0. Slijedi da je −1/2 < a/n + an < 1/2 za sve n ≥ n0.Po Lemi 8.1, uz x = a/n + an, za sve n ≥ n0 imamo∣∣∣log

(1 +

a

n+ an

)−( an

+ an)∣∣∣ ≤ 2

( an

+ an)2

,

tj. ∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣ ≤ 2n( an

+ an)2

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 3 / 20

Page 11: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2, nastavak

Zato je

0 ≤ lim supn→∞

∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− a∣∣∣

≤ lim supn→∞

∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣+ lim supn→∞

n|an|

≤ 2 lim supn→∞

n( an

+ an)2

= 2 lim supn→∞

(a2

n+ 2aan + na2

n

)= 0.

Dakle,

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 4 / 20

Page 12: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Lema 8.2, nastavak

Zato je

0 ≤ lim supn→∞

∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− a∣∣∣

≤ lim supn→∞

∣∣∣n log(

1 +a

n+ an

)− (a + nan)

∣∣∣+ lim supn→∞

n|an|

≤ 2 lim supn→∞

n( an

+ an)2

= 2 lim supn→∞

(a2

n+ 2aan + na2

n

)= 0.

Dakle,

limn→∞

n log(

1 +a

n+ an

)= a.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 4 / 20

Page 13: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3

Teorem 8.3 (Centralni granicni teorem) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednako distribuiranihslucajnih varijabli sa zajednickim ocekivanjem µ i zajednickom varijancom σ2. Za n ∈ N,definirajmo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Tada za sve x ∈ R vrijedi

limn→∞

P(Sn − nµ

σ√n≤ x

)= Φ(x).

Drugim rijecima, niz ((Sn − nµ)/σ√n)n∈N konvergira po distribuciji ka N(0, 1).

Dokaz: Za n ∈ N definirajmo Yn := Xn − µ. Dakle,

Sn − nµ

σ√n

=1

σ√n

n∑i=1

Yi .

Dokaz teorema cemo provesti uz pretpostavku da je funkcija izvodnica momenataM(t) = E(etY1 ) dobro definirana (tj. konacna) za |t| < δ, za neki δ > 0. Uocite da je tapretpostavka ekvivalentna pretpostavci da je na (−δ, δ) dobro definirana funkcija izvodnicamomenata slucajne varijable X1. Buduci da su slucajne varijable (Yn)n∈N jednako distribuirane,vrijedi da je M(t) = E(etYn ) za sve n ∈ N. Nadalje, neka su (Mn)n∈N funkcije izvodnicemomenata od ((Sn − nµ)/σ

√n)n∈N.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 5 / 20

Page 14: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3

Teorem 8.3 (Centralni granicni teorem) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednako distribuiranihslucajnih varijabli sa zajednickim ocekivanjem µ i zajednickom varijancom σ2. Za n ∈ N,definirajmo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Tada za sve x ∈ R vrijedi

limn→∞

P(Sn − nµ

σ√n≤ x

)= Φ(x).

Drugim rijecima, niz ((Sn − nµ)/σ√n)n∈N konvergira po distribuciji ka N(0, 1).

Dokaz: Za n ∈ N definirajmo Yn := Xn − µ. Dakle,

Sn − nµ

σ√n

=1

σ√n

n∑i=1

Yi .

Dokaz teorema cemo provesti uz pretpostavku da je funkcija izvodnica momenataM(t) = E(etY1 ) dobro definirana (tj. konacna) za |t| < δ, za neki δ > 0. Uocite da je tapretpostavka ekvivalentna pretpostavci da je na (−δ, δ) dobro definirana funkcija izvodnicamomenata slucajne varijable X1. Buduci da su slucajne varijable (Yn)n∈N jednako distribuirane,vrijedi da je M(t) = E(etYn ) za sve n ∈ N. Nadalje, neka su (Mn)n∈N funkcije izvodnicemomenata od ((Sn − nµ)/σ

√n)n∈N.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 5 / 20

Page 15: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3

Teorem 8.3 (Centralni granicni teorem) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednako distribuiranihslucajnih varijabli sa zajednickim ocekivanjem µ i zajednickom varijancom σ2. Za n ∈ N,definirajmo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Tada za sve x ∈ R vrijedi

limn→∞

P(Sn − nµ

σ√n≤ x

)= Φ(x).

Drugim rijecima, niz ((Sn − nµ)/σ√n)n∈N konvergira po distribuciji ka N(0, 1).

Dokaz: Za n ∈ N definirajmo Yn := Xn − µ. Dakle,

Sn − nµ

σ√n

=1

σ√n

n∑i=1

Yi .

Dokaz teorema cemo provesti uz pretpostavku da je funkcija izvodnica momenataM(t) = E(etY1 ) dobro definirana (tj. konacna) za |t| < δ, za neki δ > 0. Uocite da je tapretpostavka ekvivalentna pretpostavci da je na (−δ, δ) dobro definirana funkcija izvodnicamomenata slucajne varijable X1. Buduci da su slucajne varijable (Yn)n∈N jednako distribuirane,vrijedi da je M(t) = E(etYn ) za sve n ∈ N. Nadalje, neka su (Mn)n∈N funkcije izvodnicemomenata od ((Sn − nµ)/σ

√n)n∈N.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 5 / 20

Page 16: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3

Teorem 8.3 (Centralni granicni teorem) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednako distribuiranihslucajnih varijabli sa zajednickim ocekivanjem µ i zajednickom varijancom σ2. Za n ∈ N,definirajmo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Tada za sve x ∈ R vrijedi

limn→∞

P(Sn − nµ

σ√n≤ x

)= Φ(x).

Drugim rijecima, niz ((Sn − nµ)/σ√n)n∈N konvergira po distribuciji ka N(0, 1).

Dokaz: Za n ∈ N definirajmo Yn := Xn − µ. Dakle,

Sn − nµ

σ√n

=1

σ√n

n∑i=1

Yi .

Dokaz teorema cemo provesti uz pretpostavku da je funkcija izvodnica momenataM(t) = E(etY1 ) dobro definirana (tj. konacna) za |t| < δ, za neki δ > 0. Uocite da je tapretpostavka ekvivalentna pretpostavci da je na (−δ, δ) dobro definirana funkcija izvodnicamomenata slucajne varijable X1. Buduci da su slucajne varijable (Yn)n∈N jednako distribuirane,vrijedi da je M(t) = E(etYn ) za sve n ∈ N. Nadalje, neka su (Mn)n∈N funkcije izvodnicemomenata od ((Sn − nµ)/σ

√n)n∈N.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 5 / 20

Page 17: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Zelimo pokazati da je limn→∞Mn(t) = et2/2 – funkcija izvodnica momenata od N(0, 1). Po

teoremu neprekidnosti (Teorem 7.17), to povlaci trazenu konvergenciju po distribuciji.

Po Teoremu 7.14, za |t| < δσ√n imamo

Mn(t) = E(et Sn−nµ

σ√

n

)= E

(e

tσ√

n

∑ni=1 Yi

)= E

(n∏

i=1

et

σ√

nYi

)= M

(t

σ√n

)n

.

Buduci da jeE(Y1) = 0 i E(Y 2

1 ) = Var(Y1) = σ2,

za |t| < δσ√n vrijedi

M

(t

σ√n

)=∞∑k=0

1

k!

(t

σ√n

)k

E(Y k1 ) = 1 +

t2

2n+∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2.

Stavimo sada

an(t) :=∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2−3/2, |t| < δσ

√n.

Dakle,

Mn(t) = M

(t

σ√n

)n

=

(1 +

t2

2n+

an(t)

n3/2

)n

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 6 / 20

Page 18: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Zelimo pokazati da je limn→∞Mn(t) = et2/2 – funkcija izvodnica momenata od N(0, 1). Po

teoremu neprekidnosti (Teorem 7.17), to povlaci trazenu konvergenciju po distribuciji.Po Teoremu 7.14, za |t| < δσ

√n imamo

Mn(t) = E(et Sn−nµ

σ√

n

)= E

(e

tσ√

n

∑ni=1 Yi

)= E

(n∏

i=1

et

σ√

nYi

)= M

(t

σ√n

)n

.

Buduci da jeE(Y1) = 0 i E(Y 2

1 ) = Var(Y1) = σ2,

za |t| < δσ√n vrijedi

M

(t

σ√n

)=∞∑k=0

1

k!

(t

σ√n

)k

E(Y k1 ) = 1 +

t2

2n+∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2.

Stavimo sada

an(t) :=∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2−3/2, |t| < δσ

√n.

Dakle,

Mn(t) = M

(t

σ√n

)n

=

(1 +

t2

2n+

an(t)

n3/2

)n

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 6 / 20

Page 19: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Zelimo pokazati da je limn→∞Mn(t) = et2/2 – funkcija izvodnica momenata od N(0, 1). Po

teoremu neprekidnosti (Teorem 7.17), to povlaci trazenu konvergenciju po distribuciji.Po Teoremu 7.14, za |t| < δσ

√n imamo

Mn(t) = E(et Sn−nµ

σ√

n

)= E

(e

tσ√

n

∑ni=1 Yi

)= E

(n∏

i=1

et

σ√

nYi

)= M

(t

σ√n

)n

.

Buduci da jeE(Y1) = 0 i E(Y 2

1 ) = Var(Y1) = σ2,

za |t| < δσ√n vrijedi

M

(t

σ√n

)=∞∑k=0

1

k!

(t

σ√n

)k

E(Y k1 ) = 1 +

t2

2n+∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2.

Stavimo sada

an(t) :=∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2−3/2, |t| < δσ

√n.

Dakle,

Mn(t) = M

(t

σ√n

)n

=

(1 +

t2

2n+

an(t)

n3/2

)n

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 6 / 20

Page 20: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Zelimo pokazati da je limn→∞Mn(t) = et2/2 – funkcija izvodnica momenata od N(0, 1). Po

teoremu neprekidnosti (Teorem 7.17), to povlaci trazenu konvergenciju po distribuciji.Po Teoremu 7.14, za |t| < δσ

√n imamo

Mn(t) = E(et Sn−nµ

σ√

n

)= E

(e

tσ√

n

∑ni=1 Yi

)= E

(n∏

i=1

et

σ√

nYi

)= M

(t

σ√n

)n

.

Buduci da jeE(Y1) = 0 i E(Y 2

1 ) = Var(Y1) = σ2,

za |t| < δσ√n vrijedi

M

(t

σ√n

)=∞∑k=0

1

k!

(t

σ√n

)k

E(Y k1 ) = 1 +

t2

2n+∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2.

Stavimo sada

an(t) :=∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2−3/2, |t| < δσ

√n.

Dakle,

Mn(t) = M

(t

σ√n

)n

=

(1 +

t2

2n+

an(t)

n3/2

)n

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 6 / 20

Page 21: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Zelimo pokazati da je limn→∞Mn(t) = et2/2 – funkcija izvodnica momenata od N(0, 1). Po

teoremu neprekidnosti (Teorem 7.17), to povlaci trazenu konvergenciju po distribuciji.Po Teoremu 7.14, za |t| < δσ

√n imamo

Mn(t) = E(et Sn−nµ

σ√

n

)= E

(e

tσ√

n

∑ni=1 Yi

)= E

(n∏

i=1

et

σ√

nYi

)= M

(t

σ√n

)n

.

Buduci da jeE(Y1) = 0 i E(Y 2

1 ) = Var(Y1) = σ2,

za |t| < δσ√n vrijedi

M

(t

σ√n

)=∞∑k=0

1

k!

(t

σ√n

)k

E(Y k1 ) = 1 +

t2

2n+∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2.

Stavimo sada

an(t) :=∞∑k=3

tkE(Y k1 )

k!σknk/2−3/2, |t| < δσ

√n.

Dakle,

Mn(t) = M

(t

σ√n

)n

=

(1 +

t2

2n+

an(t)

n3/2

)n

.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 6 / 20

Page 22: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.3, nastavak

Buduci da je

limn→∞

nan(t)

n3/2= 0, |t| < δ,

po Lemi 8.2 zakljucujemo

limn→∞

Mn(t) = et2

2 , |t| < δ,

sto po Teoremu 7.17 dokazuje tvrdnju.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 7 / 20

Page 23: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.4

Kao izravnu posljedicu Teorema 8.3 imamo tzv. de Moivre-Laplaceov teorem (aproksimacijabinomne slucajne varijable normalnom) . Za n ∈ N neka je Xn ∼ B(n, p), 0 < p < 1. VrijediE(Xn) = np, Var(Xn) = npq i σ(Xn) =

√npq. Nadalje, definirajmo

Yn :=Xn − E(Xn)

σ(Xn)=

Xn − np√npq

, n ∈ N.

Teorem 8.4 (de Moivre-Laplaceov teorem) Za svaki x ∈ R imamo

limn→∞

P(Yn ≤ x) = Φ(x).

Dokaz: Neka je (Zn)n∈N niz nezavisnih Bernoullijevih slucajnih varijabli s parametromp ∈ (0, 1). Tada po Propoziciji 5.27 Xn ima jednaku distribuciju kao Z1 + · · ·+ Zn pa tvrdnjaslijedi izravno iz Teorema 8.3.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 8 / 20

Page 24: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Teorem 8.4

Kao izravnu posljedicu Teorema 8.3 imamo tzv. de Moivre-Laplaceov teorem (aproksimacijabinomne slucajne varijable normalnom) . Za n ∈ N neka je Xn ∼ B(n, p), 0 < p < 1. VrijediE(Xn) = np, Var(Xn) = npq i σ(Xn) =

√npq. Nadalje, definirajmo

Yn :=Xn − E(Xn)

σ(Xn)=

Xn − np√npq

, n ∈ N.

Teorem 8.4 (de Moivre-Laplaceov teorem) Za svaki x ∈ R imamo

limn→∞

P(Yn ≤ x) = Φ(x).

Dokaz: Neka je (Zn)n∈N niz nezavisnih Bernoullijevih slucajnih varijabli s parametromp ∈ (0, 1). Tada po Propoziciji 5.27 Xn ima jednaku distribuciju kao Z1 + · · ·+ Zn pa tvrdnjaslijedi izravno iz Teorema 8.3.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 8 / 20

Page 25: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.1 Centralni granicni teorem; Primjer 8.5

Primjer 8.5 Neka su a, b ∈ R, a < b. Zelimo priblizno odrediti P(a < Xn ≤ b), gdje jeXn ∼ B(n, p) za n ∈ N velik i 0 < p < 1. Znamo da je tocna vrijednost

P(a < Xn ≤ b) =∑

a<k≤b

(n

k

)pkqn−k .

Odredimo pribliznu vrijednost primjenom de Moivre-Laplaceovog teorema. Imamo,

P(a < Xn ≤ b) = P(a− np√npq

<Xn − np√npq

≤ b − np√npq

)= P

(a− np√npq

< Yn ≤b − np√npq

)= P

(Yn ≤

b − np√npq

)− P

(Yn ≤

a− np√npq

)≈ Φ

(b − np√npq

)− Φ

(a− np√npq

).

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 9 / 20

Page 26: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva

Definicija 8.6 Za niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N kazemo da konvergira po vjerojatnostislucajnoj varijabli X ako za svako ε > 0 vrijedi

limn→∞

P(|Xn − X | > ε) = limn→∞

P(ω ∈ Ω : |Xn(ω)− X (ω)| > ε) = 0.

Oznaka je XnP−→ X .

Niz slucajnih vrijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno slucajnoj varijabli X ako

P( limn→∞

Xn = X ) = P(ω ∈ Ω : limn→∞

Xn(ω) = X (ω)) = 1.

Oznaka je Xng.s.−−→ X .

Pokazat cemo kasnije (vidi Teorem 8.11) da konvergencija gotovo sigurno povlacikonvergenciju po vjerojatnosti.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 10 / 20

Page 27: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva

Definicija 8.6 Za niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N kazemo da konvergira po vjerojatnostislucajnoj varijabli X ako za svako ε > 0 vrijedi

limn→∞

P(|Xn − X | > ε) = limn→∞

P(ω ∈ Ω : |Xn(ω)− X (ω)| > ε) = 0.

Oznaka je XnP−→ X .

Niz slucajnih vrijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno slucajnoj varijabli X ako

P( limn→∞

Xn = X ) = P(ω ∈ Ω : limn→∞

Xn(ω) = X (ω)) = 1.

Oznaka je Xng.s.−−→ X .

Pokazat cemo kasnije (vidi Teorem 8.11) da konvergencija gotovo sigurno povlacikonvergenciju po vjerojatnosti.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 10 / 20

Page 28: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva

Definicija 8.6 Za niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N kazemo da konvergira po vjerojatnostislucajnoj varijabli X ako za svako ε > 0 vrijedi

limn→∞

P(|Xn − X | > ε) = limn→∞

P(ω ∈ Ω : |Xn(ω)− X (ω)| > ε) = 0.

Oznaka je XnP−→ X .

Niz slucajnih vrijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno slucajnoj varijabli X ako

P( limn→∞

Xn = X ) = P(ω ∈ Ω : limn→∞

Xn(ω) = X (ω)) = 1.

Oznaka je Xng.s.−−→ X .

Pokazat cemo kasnije (vidi Teorem 8.11) da konvergencija gotovo sigurno povlacikonvergenciju po vjerojatnosti.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 10 / 20

Page 29: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; slabi zakon

Teorem 8.7 (Slabi zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnihvarijabli takvih da je E(Xn) = µ i Var(Xn) = σ2 za svaki n ∈ N. Tada

X1 + · · ·+ Xn

nP−→ µ.

Dokaz: Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Vrijedi E(Sn) = nµ i, zbog nezavisnosti,Var(Sn) = nσ2.

Sada, primjenom Cebisevljeve nejednakosti, imamo

P(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ > ε

)≤ Var(Sn/n)

ε2=

Var(Sn)

n2ε2=

σ2

nε2,

sto tezi u 0 kada n tezi u ∞.

Tvrdnja gornjeg teorema vrijedi i uz sljedecu pretpostavku: neka je (Xn)n∈N niznezavisnih jednako distribuiranih slucajnih varijabli sa (konacnim) zajednickim

ocekivanjem E(Xn) = µ. Tada Sn/nP−→ µ. Taj rezultat poznat je pod imenom Hincinov

slabi zakon velikih brojeva.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 11 / 20

Page 30: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; slabi zakon

Teorem 8.7 (Slabi zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnihvarijabli takvih da je E(Xn) = µ i Var(Xn) = σ2 za svaki n ∈ N. Tada

X1 + · · ·+ Xn

nP−→ µ.

Dokaz: Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Vrijedi E(Sn) = nµ i, zbog nezavisnosti,Var(Sn) = nσ2.

Sada, primjenom Cebisevljeve nejednakosti, imamo

P(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ > ε

)≤ Var(Sn/n)

ε2=

Var(Sn)

n2ε2=

σ2

nε2,

sto tezi u 0 kada n tezi u ∞.

Tvrdnja gornjeg teorema vrijedi i uz sljedecu pretpostavku: neka je (Xn)n∈N niznezavisnih jednako distribuiranih slucajnih varijabli sa (konacnim) zajednickim

ocekivanjem E(Xn) = µ. Tada Sn/nP−→ µ. Taj rezultat poznat je pod imenom Hincinov

slabi zakon velikih brojeva.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 11 / 20

Page 31: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; slabi zakon

Teorem 8.7 (Slabi zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnihvarijabli takvih da je E(Xn) = µ i Var(Xn) = σ2 za svaki n ∈ N. Tada

X1 + · · ·+ Xn

nP−→ µ.

Dokaz: Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Vrijedi E(Sn) = nµ i, zbog nezavisnosti,Var(Sn) = nσ2. Sada, primjenom Cebisevljeve nejednakosti, imamo

P(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ > ε

)≤ Var(Sn/n)

ε2=

Var(Sn)

n2ε2=

σ2

nε2,

sto tezi u 0 kada n tezi u ∞.

Tvrdnja gornjeg teorema vrijedi i uz sljedecu pretpostavku: neka je (Xn)n∈N niznezavisnih jednako distribuiranih slucajnih varijabli sa (konacnim) zajednickim

ocekivanjem E(Xn) = µ. Tada Sn/nP−→ µ. Taj rezultat poznat je pod imenom Hincinov

slabi zakon velikih brojeva.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 11 / 20

Page 32: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; slabi zakon

Teorem 8.7 (Slabi zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnihvarijabli takvih da je E(Xn) = µ i Var(Xn) = σ2 za svaki n ∈ N. Tada

X1 + · · ·+ Xn

nP−→ µ.

Dokaz: Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn. Vrijedi E(Sn) = nµ i, zbog nezavisnosti,Var(Sn) = nσ2. Sada, primjenom Cebisevljeve nejednakosti, imamo

P(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ > ε

)≤ Var(Sn/n)

ε2=

Var(Sn)

n2ε2=

σ2

nε2,

sto tezi u 0 kada n tezi u ∞.

Tvrdnja gornjeg teorema vrijedi i uz sljedecu pretpostavku: neka je (Xn)n∈N niznezavisnih jednako distribuiranih slucajnih varijabli sa (konacnim) zajednickim

ocekivanjem E(Xn) = µ. Tada Sn/nP−→ µ. Taj rezultat poznat je pod imenom Hincinov

slabi zakon velikih brojeva.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 11 / 20

Page 33: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Lema 8.9 Neka je X slucajna varijabla takva da je E(|X |m) <∞ za neki m ∈ N. Tada jeE(|X |n) <∞ za sve n ≤ m, n ∈ N.

Dokaz: Uocimo prvo da je E(1|X |>1|X |m) ≤ E(|X |m) <∞. Slijedi da je za n ≤ m,

E(|X |n) = E(1|X |≤1|X |n) + E(1|X |>1|X |n) ≤ 1 + E(1|X |>1|X |m) <∞ .

Teorem 8.10 (Jaki zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takvih da je E(Xn) = µ. Tada

X1 + · · ·+ Xn

n

g.s.−−→ µ.

Dokaz: Dokaz provodimo samo za slucaj kada je E(X 41 ) = K <∞. Pretpostavimo prvo

da je µ = 0. Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 12 / 20

Page 34: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Lema 8.9 Neka je X slucajna varijabla takva da je E(|X |m) <∞ za neki m ∈ N. Tada jeE(|X |n) <∞ za sve n ≤ m, n ∈ N.Dokaz: Uocimo prvo da je E(1|X |>1|X |m) ≤ E(|X |m) <∞. Slijedi da je za n ≤ m,

E(|X |n) = E(1|X |≤1|X |n) + E(1|X |>1|X |n) ≤ 1 + E(1|X |>1|X |m) <∞ .

Teorem 8.10 (Jaki zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takvih da je E(Xn) = µ. Tada

X1 + · · ·+ Xn

n

g.s.−−→ µ.

Dokaz: Dokaz provodimo samo za slucaj kada je E(X 41 ) = K <∞. Pretpostavimo prvo

da je µ = 0. Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 12 / 20

Page 35: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Lema 8.9 Neka je X slucajna varijabla takva da je E(|X |m) <∞ za neki m ∈ N. Tada jeE(|X |n) <∞ za sve n ≤ m, n ∈ N.Dokaz: Uocimo prvo da je E(1|X |>1|X |m) ≤ E(|X |m) <∞. Slijedi da je za n ≤ m,

E(|X |n) = E(1|X |≤1|X |n) + E(1|X |>1|X |n) ≤ 1 + E(1|X |>1|X |m) <∞ .

Teorem 8.10 (Jaki zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takvih da je E(Xn) = µ. Tada

X1 + · · ·+ Xn

n

g.s.−−→ µ.

Dokaz: Dokaz provodimo samo za slucaj kada je E(X 41 ) = K <∞. Pretpostavimo prvo

da je µ = 0. Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 12 / 20

Page 36: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Lema 8.9 Neka je X slucajna varijabla takva da je E(|X |m) <∞ za neki m ∈ N. Tada jeE(|X |n) <∞ za sve n ≤ m, n ∈ N.Dokaz: Uocimo prvo da je E(1|X |>1|X |m) ≤ E(|X |m) <∞. Slijedi da je za n ≤ m,

E(|X |n) = E(1|X |≤1|X |n) + E(1|X |>1|X |n) ≤ 1 + E(1|X |>1|X |m) <∞ .

Teorem 8.10 (Jaki zakon velikih brojeva) Neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takvih da je E(Xn) = µ. Tada

X1 + · · ·+ Xn

n

g.s.−−→ µ.

Dokaz: Dokaz provodimo samo za slucaj kada je E(X 41 ) = K <∞. Pretpostavimo prvo

da je µ = 0. Za n ∈ N stavimo Sn := X1 + · · ·+ Xn.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 12 / 20

Page 37: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl .

Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j . Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 38: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl . Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j . Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 39: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl . Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j .

Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 40: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl . Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j . Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 41: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl . Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j . Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 42: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Racunamo

E(S4n ) = E((X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)(X1 + · · ·+ Xn)).

Kada razvijemo desnu stranu dobit cemo clanove sljedeceg tipa: X 4i , X 3

i Xj , X2i X

2j , X 2

i XjXk iXiXjXkXl . Zbog nezavisnosti imamo

E(X 3i Xj ) = E(X 3

i )E(Xj ) = 0

E(X 2i XjXk ) = E(X 2

i )E(Xj )E(Xk ) = 0

E(XiXjXkXl ) = E(Xi )E(Xj )E(Xk )E(Xl ) = 0.

Nadalje, za dani i imat cemo(4

4

)= 1 clanova oblika X 4

i te za dani par i 6= j imat cemo(4

2

)= 6

clanova oblika X 2i X

2j . Dakle,

E(S4n ) = nE(X 4

i ) + 6(n

2

)E(X 2

i X2j ) = nK + 6

(n2

)E(X 2

i )E(X 2j )

= nK + 6(n

2

)E(X 2

1 )2.

Iz0 ≤ Var(X 2

1 ) = E(X 41 )− E(X 2

1 )2

zakljucujemo da jeE(X 2

1 )2 ≤ K .

Dakle,E(S4

n ) ≤ nK + 3n(n − 1)K .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 13 / 20

Page 43: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Podijelimo s n4 i dobivamo

E(S4n

n4

)≤

K

n3+

3K

n2, n ∈ N.

Sada zakljucujemo

E

( ∞∑n=1

S4n

n4

)!

=∞∑n=1

E(S4n

n4

)≤∞∑n=1

(K

n3+

3K

n2

)<∞.

Specijalno, imamo

P

( ∞∑n=1

S4n

n4<∞

)= 1,

iz cega zakljucujemo da je

P(

limn→∞

S4n

n4= 0

)= P

(lim

n→∞

Sn

n= 0

)= 1.

Neka je sada µ ∈ R. Za n ∈ N stavimo Yn := Xn − µ. Tada je (Yn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takav da E(Yn) = 0. Primjenom gornjeg dokaza zakljucujemo

P(

limn→∞

X1 + · · ·+ Xn

n= µ

)= P

(lim

n→∞

(X1 − µ) + · · ·+ (Xn − µ)

n= 0

)= P

(lim

n→∞

Y1 + · · ·+ Yn

n= 0

)= 1.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 14 / 20

Page 44: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Podijelimo s n4 i dobivamo

E(S4n

n4

)≤

K

n3+

3K

n2, n ∈ N.

Sada zakljucujemo

E

( ∞∑n=1

S4n

n4

)!

=∞∑n=1

E(S4n

n4

)≤∞∑n=1

(K

n3+

3K

n2

)<∞.

Specijalno, imamo

P

( ∞∑n=1

S4n

n4<∞

)= 1,

iz cega zakljucujemo da je

P(

limn→∞

S4n

n4= 0

)= P

(lim

n→∞

Sn

n= 0

)= 1.

Neka je sada µ ∈ R. Za n ∈ N stavimo Yn := Xn − µ. Tada je (Yn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takav da E(Yn) = 0. Primjenom gornjeg dokaza zakljucujemo

P(

limn→∞

X1 + · · ·+ Xn

n= µ

)= P

(lim

n→∞

(X1 − µ) + · · ·+ (Xn − µ)

n= 0

)= P

(lim

n→∞

Y1 + · · ·+ Yn

n= 0

)= 1.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 14 / 20

Page 45: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Podijelimo s n4 i dobivamo

E(S4n

n4

)≤

K

n3+

3K

n2, n ∈ N.

Sada zakljucujemo

E

( ∞∑n=1

S4n

n4

)!

=∞∑n=1

E(S4n

n4

)≤∞∑n=1

(K

n3+

3K

n2

)<∞.

Specijalno, imamo

P

( ∞∑n=1

S4n

n4<∞

)= 1,

iz cega zakljucujemo da je

P(

limn→∞

S4n

n4= 0

)= P

(lim

n→∞

Sn

n= 0

)= 1.

Neka je sada µ ∈ R. Za n ∈ N stavimo Yn := Xn − µ. Tada je (Yn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takav da E(Yn) = 0. Primjenom gornjeg dokaza zakljucujemo

P(

limn→∞

X1 + · · ·+ Xn

n= µ

)= P

(lim

n→∞

(X1 − µ) + · · ·+ (Xn − µ)

n= 0

)= P

(lim

n→∞

Y1 + · · ·+ Yn

n= 0

)= 1.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 14 / 20

Page 46: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.2 Zakoni velikih brojeva; jaki zakon

Podijelimo s n4 i dobivamo

E(S4n

n4

)≤

K

n3+

3K

n2, n ∈ N.

Sada zakljucujemo

E

( ∞∑n=1

S4n

n4

)!

=∞∑n=1

E(S4n

n4

)≤∞∑n=1

(K

n3+

3K

n2

)<∞.

Specijalno, imamo

P

( ∞∑n=1

S4n

n4<∞

)= 1,

iz cega zakljucujemo da je

P(

limn→∞

S4n

n4= 0

)= P

(lim

n→∞

Sn

n= 0

)= 1.

Neka je sada µ ∈ R. Za n ∈ N stavimo Yn := Xn − µ. Tada je (Yn)n∈N niz nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli takav da E(Yn) = 0. Primjenom gornjeg dokaza zakljucujemo

P(

limn→∞

X1 + · · ·+ Xn

n= µ

)= P

(lim

n→∞

(X1 − µ) + · · ·+ (Xn − µ)

n= 0

)= P

(lim

n→∞

Y1 + · · ·+ Yn

n= 0

)= 1.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 14 / 20

Page 47: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).

Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N. Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Specijalno, zbog

neprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 48: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).

Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N. Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Specijalno, zbog

neprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 49: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).

Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N. Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Specijalno, zbog

neprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 50: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N.

Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Specijalno, zbog

neprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 51: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N. Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0.

Specijalno, zbogneprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 52: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

U ovom odjeljku diskutiramo vrste konvergencija slucajnih varijabli i njihov odnos. Usljedecem teoremu opravdavamo nazive “jaki” i “slabi” zakon velikih brojeva.

Teorem 8.11 Konvergencija gotovo sigurno povlaci konvergenciju po vjerojatnosti.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira gotovo sigurno prema slucajnojvarijabli X . Sve slucajne varijable definirane su na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Fiksirajmo ε > 0 i, za n ∈ N, definirajmo An(ε) := |Xn − X | > ε. Ocito, An(ε) ∈ F zan ∈ N. Nadalje, za n ∈ N stavimo Bn(ε) := ∪k≥nAk(ε) i

B(ε) := ∩n∈NBn(ε) = lim supn→∞

An(ε) = |Xn − X | > ε b.m.p..

Buduci da Xng.s.−−→ X , zakljucujemo da P(B(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Specijalno, zbog

neprekidnosti vjerojatnosti s obzirom na nerastuce nizove dogadaja, imamolimn→∞ P(Bn(ε)) = 0 za svaki ε > 0. Medutim, kako je An(ε) ⊆ Bn(ε) za n ∈ N, imamo

limn→∞ P(An(ε)) = 0 za svaki ε > 0, tj. XnP−→ X .

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 15 / 20

Page 53: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

Napomenimo da opcenito konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti nisu ekvivalentne.Naime, neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).

Pretpostavimo, nadalje, da je

Xn ∼(

0 11− 1/n 1/n

), n ∈ N .

Uzmimo proizvoljan ε > 0. Imamo,

P(|Xn| > ε) = P(Xn > ε, Xn = 1) =

1n, ε ≤ 1

0, ε > 1,

sto pokazuje da XnP−→ 0.

Kada bi niz (Xn)n∈N konvergirao gotovo sigurno, onda bi zbog Teorema 8.11 konvergiraog.s prema nuli. Pokazimo da je to nemoguce. Za n ∈ N stavimo An := Xn > 1/2. Tadaimamo

∞∑n=1

P(An) =∞∑n=1

1

n=∞.

Sada Lema 2.17 (Borel-Cantelli) implicira da

P(

lim supn→∞

An

)= 1,

tj. Xn > 1/2 za beskonacno mnogo n ∈ N na dogadaju vjerojatnosti 1. To pokazuje da Xnn∈Nne konvergira prema 0 gotovo sigurno,

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 16 / 20

Page 54: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

Napomenimo da opcenito konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti nisu ekvivalentne.Naime, neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Pretpostavimo, nadalje, da je

Xn ∼(

0 11− 1/n 1/n

), n ∈ N .

Uzmimo proizvoljan ε > 0. Imamo,

P(|Xn| > ε) = P(Xn > ε, Xn = 1) =

1n, ε ≤ 1

0, ε > 1,

sto pokazuje da XnP−→ 0.

Kada bi niz (Xn)n∈N konvergirao gotovo sigurno, onda bi zbog Teorema 8.11 konvergiraog.s prema nuli. Pokazimo da je to nemoguce. Za n ∈ N stavimo An := Xn > 1/2. Tadaimamo

∞∑n=1

P(An) =∞∑n=1

1

n=∞.

Sada Lema 2.17 (Borel-Cantelli) implicira da

P(

lim supn→∞

An

)= 1,

tj. Xn > 1/2 za beskonacno mnogo n ∈ N na dogadaju vjerojatnosti 1. To pokazuje da Xnn∈Nne konvergira prema 0 gotovo sigurno,

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 16 / 20

Page 55: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

Napomenimo da opcenito konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti nisu ekvivalentne.Naime, neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Pretpostavimo, nadalje, da je

Xn ∼(

0 11− 1/n 1/n

), n ∈ N .

Uzmimo proizvoljan ε > 0. Imamo,

P(|Xn| > ε) = P(Xn > ε, Xn = 1) =

1n, ε ≤ 1

0, ε > 1,

sto pokazuje da XnP−→ 0.

Kada bi niz (Xn)n∈N konvergirao gotovo sigurno, onda bi zbog Teorema 8.11 konvergiraog.s prema nuli. Pokazimo da je to nemoguce.

Za n ∈ N stavimo An := Xn > 1/2. Tadaimamo

∞∑n=1

P(An) =∞∑n=1

1

n=∞.

Sada Lema 2.17 (Borel-Cantelli) implicira da

P(

lim supn→∞

An

)= 1,

tj. Xn > 1/2 za beskonacno mnogo n ∈ N na dogadaju vjerojatnosti 1. To pokazuje da Xnn∈Nne konvergira prema 0 gotovo sigurno,

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 16 / 20

Page 56: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti

Napomenimo da opcenito konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti nisu ekvivalentne.Naime, neka je (Xn)n∈N niz nezavisnih slucajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P).Pretpostavimo, nadalje, da je

Xn ∼(

0 11− 1/n 1/n

), n ∈ N .

Uzmimo proizvoljan ε > 0. Imamo,

P(|Xn| > ε) = P(Xn > ε, Xn = 1) =

1n, ε ≤ 1

0, ε > 1,

sto pokazuje da XnP−→ 0.

Kada bi niz (Xn)n∈N konvergirao gotovo sigurno, onda bi zbog Teorema 8.11 konvergiraog.s prema nuli. Pokazimo da je to nemoguce. Za n ∈ N stavimo An := Xn > 1/2. Tadaimamo

∞∑n=1

P(An) =∞∑n=1

1

n=∞.

Sada Lema 2.17 (Borel-Cantelli) implicira da

P(

lim supn→∞

An

)= 1,

tj. Xn > 1/2 za beskonacno mnogo n ∈ N na dogadaju vjerojatnosti 1. To pokazuje da Xnn∈Nne konvergira prema 0 gotovo sigurno,

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 16 / 20

Page 57: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

Konvergencija po distribuciji najslabija je od tri konvergencije koje smo spomenuli u ovomkolegiju.

Teorem 8.12 Konvergencija po vjerojatnosti povlaci konvergenciju po distribuciji.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira po vjerojatnosti prema slucajnoj varijabliX , koje su definirane na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P). Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom,funkcije distribucije od (Xn)n∈N i X . Neka je x ∈ CF . Tada, za svaki n ∈ N i ε > 0 vrijedi

Fn(x) = P(Xn ≤ x) = P(Xn ≤ x , X ≤ x + ε) + P(Xn ≤ x , X > x + ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(X − Xn > ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(|X − Xn| > ε).

Dakle,lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε).

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 17 / 20

Page 58: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

Konvergencija po distribuciji najslabija je od tri konvergencije koje smo spomenuli u ovomkolegiju.

Teorem 8.12 Konvergencija po vjerojatnosti povlaci konvergenciju po distribuciji.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira po vjerojatnosti prema slucajnoj varijabliX , koje su definirane na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P). Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom,funkcije distribucije od (Xn)n∈N i X . Neka je x ∈ CF . Tada, za svaki n ∈ N i ε > 0 vrijedi

Fn(x) = P(Xn ≤ x) = P(Xn ≤ x , X ≤ x + ε) + P(Xn ≤ x , X > x + ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(X − Xn > ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(|X − Xn| > ε).

Dakle,lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε).

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 17 / 20

Page 59: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

Konvergencija po distribuciji najslabija je od tri konvergencije koje smo spomenuli u ovomkolegiju.

Teorem 8.12 Konvergencija po vjerojatnosti povlaci konvergenciju po distribuciji.

Dokaz: Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N konvergira po vjerojatnosti prema slucajnoj varijabliX , koje su definirane na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P). Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom,funkcije distribucije od (Xn)n∈N i X . Neka je x ∈ CF . Tada, za svaki n ∈ N i ε > 0 vrijedi

Fn(x) = P(Xn ≤ x) = P(Xn ≤ x , X ≤ x + ε) + P(Xn ≤ x , X > x + ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(X − Xn > ε)

≤ P(X ≤ x + ε) + P(|X − Xn| > ε).

Dakle,lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε).

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 17 / 20

Page 60: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

S druge strane,

F (x − ε) = P(X ≤ x − ε)

= P(X ≤ x − ε, Xn ≤ x) + P(X ≤ x − ε, Xn > x)

≤ P(Xn ≤ x) + P(Xn − X > ε)

≤ P(Xn ≤ x) + P(|X − Xn| > ε).

Sada imamo,F (x − ε) ≤ lim inf

n→∞Fn(x).

Konacno, kako je

F (x − ε) ≤ lim infn→∞

Fn(x) ≤ lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε),

pustajuci ε u 0 i uzimajuci u obzir da je F neprekidna u x slijedi tvrdnja.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 18 / 20

Page 61: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

S druge strane,

F (x − ε) = P(X ≤ x − ε)

= P(X ≤ x − ε, Xn ≤ x) + P(X ≤ x − ε, Xn > x)

≤ P(Xn ≤ x) + P(Xn − X > ε)

≤ P(Xn ≤ x) + P(|X − Xn| > ε).

Sada imamo,F (x − ε) ≤ lim inf

n→∞Fn(x).

Konacno, kako je

F (x − ε) ≤ lim infn→∞

Fn(x) ≤ lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε),

pustajuci ε u 0 i uzimajuci u obzir da je F neprekidna u x slijedi tvrdnja.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 18 / 20

Page 62: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.12

S druge strane,

F (x − ε) = P(X ≤ x − ε)

= P(X ≤ x − ε, Xn ≤ x) + P(X ≤ x − ε, Xn > x)

≤ P(Xn ≤ x) + P(Xn − X > ε)

≤ P(Xn ≤ x) + P(|X − Xn| > ε).

Sada imamo,F (x − ε) ≤ lim inf

n→∞Fn(x).

Konacno, kako je

F (x − ε) ≤ lim infn→∞

Fn(x) ≤ lim supn→∞

Fn(x) ≤ F (x + ε),

pustajuci ε u 0 i uzimajuci u obzir da je F neprekidna u x slijedi tvrdnja.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 18 / 20

Page 63: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Kao i u slucaju konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti, konvergencije povjerojatnosti i po distribuciji nisu ekvivalentne. Neka je

X ∼(

0 11/2 1/2

)te neka je Xn = X za n ∈ N. Nadalje, stavimo Y = 1− X . Ocito (Xn)n∈N konvergira podistribuciji ka Y . S druge strane za n ∈ N i 0 < ε < 1 imamo

P(|Xn − Y | > ε) = P(|2X − 1| > ε) = 1.

Teorem 8.13 Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N, definiranih na vjerojatnosnom prostoru

(Ω,F ,P), konvergira po distribuciji ka c ∈ R. Tada, XnP−→ c.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 19 / 20

Page 64: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Kao i u slucaju konvergencija gotovo sigurno i po vjerojatnosti, konvergencije povjerojatnosti i po distribuciji nisu ekvivalentne. Neka je

X ∼(

0 11/2 1/2

)te neka je Xn = X za n ∈ N. Nadalje, stavimo Y = 1− X . Ocito (Xn)n∈N konvergira podistribuciji ka Y . S druge strane za n ∈ N i 0 < ε < 1 imamo

P(|Xn − Y | > ε) = P(|2X − 1| > ε) = 1.

Teorem 8.13 Neka niz slucajnih varijabli (Xn)n∈N, definiranih na vjerojatnosnom prostoru

(Ω,F ,P), konvergira po distribuciji ka c ∈ R. Tada, XnP−→ c.

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 19 / 20

Page 65: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Dokaz: Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom, funkcije distribucije od (Xn)n∈N i c. Neka jeε > 0 proizvoljan.

Za n ∈ N imamo

P(|Xn − c| > ε) = P(Xn > c + ε) + P(Xn < c − ε)

≤ 1− P (Xn ≤ c + ε) + P(Xn ≤ c − ε

2

)= 1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

).

Buduci da su c + ε i c − ε/2 tocke neprekidnosti od F (jedina tocka prekida od F je c –F = 1[c,∞)), iz pretpostavke da (Xn)n≥1 konvergira po distribuciji prema c slijedilimn→∞ Fn(c + ε) = F (c + ε) = 1 te limn→∞ Fn(c − ε/2) = F (c − ε/2) = 0.Zakljucujemo da je

limn→∞

P(|Xn − c| > ε) ≤ limn→∞

1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

)= 0

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 20 / 20

Page 66: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Dokaz: Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom, funkcije distribucije od (Xn)n∈N i c. Neka jeε > 0 proizvoljan. Za n ∈ N imamo

P(|Xn − c| > ε) = P(Xn > c + ε) + P(Xn < c − ε)

≤ 1− P (Xn ≤ c + ε) + P(Xn ≤ c − ε

2

)= 1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

).

Buduci da su c + ε i c − ε/2 tocke neprekidnosti od F (jedina tocka prekida od F je c –F = 1[c,∞)), iz pretpostavke da (Xn)n≥1 konvergira po distribuciji prema c slijedilimn→∞ Fn(c + ε) = F (c + ε) = 1 te limn→∞ Fn(c − ε/2) = F (c − ε/2) = 0.Zakljucujemo da je

limn→∞

P(|Xn − c| > ε) ≤ limn→∞

1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

)= 0

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 20 / 20

Page 67: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Dokaz: Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom, funkcije distribucije od (Xn)n∈N i c. Neka jeε > 0 proizvoljan. Za n ∈ N imamo

P(|Xn − c| > ε) = P(Xn > c + ε) + P(Xn < c − ε)

≤ 1− P (Xn ≤ c + ε) + P(Xn ≤ c − ε

2

)= 1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

).

Buduci da su c + ε i c − ε/2 tocke neprekidnosti od F (jedina tocka prekida od F je c –F = 1[c,∞)), iz pretpostavke da (Xn)n≥1 konvergira po distribuciji prema c slijedilimn→∞ Fn(c + ε) = F (c + ε) = 1 te limn→∞ Fn(c − ε/2) = F (c − ε/2) = 0.

Zakljucujemo da je

limn→∞

P(|Xn − c| > ε) ≤ limn→∞

1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

)= 0

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 20 / 20

Page 68: Poglavlje 8: Centralni grani cni teoremi i zakoni velikih ...

8.3 Konvergencije u vjerojatnosti; Teorem 8.13

Dokaz: Oznacimo s (Fn)n∈N i F , redom, funkcije distribucije od (Xn)n∈N i c. Neka jeε > 0 proizvoljan. Za n ∈ N imamo

P(|Xn − c| > ε) = P(Xn > c + ε) + P(Xn < c − ε)

≤ 1− P (Xn ≤ c + ε) + P(Xn ≤ c − ε

2

)= 1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

).

Buduci da su c + ε i c − ε/2 tocke neprekidnosti od F (jedina tocka prekida od F je c –F = 1[c,∞)), iz pretpostavke da (Xn)n≥1 konvergira po distribuciji prema c slijedilimn→∞ Fn(c + ε) = F (c + ε) = 1 te limn→∞ Fn(c − ε/2) = F (c − ε/2) = 0.Zakljucujemo da je

limn→∞

P(|Xn − c| > ε) ≤ limn→∞

1− Fn(c + ε) + Fn

(c − ε

2

)= 0

SLS & ZV Vjerojatnost Zagreb, 18.01.2021 20 / 20