PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacionalsites.poli.usp.br/d/pme2556/PME2556_aula4.pdf ·...

PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacional

Aula 4 – Advecção e Difusão em Regime Permanente

4.1 Advecção e Difusão em Regime Permanente

∫∫∫∀

∀+∂∂Γ= dSdAnx

dAnu j

S jj

S

j φφφρ

4.1 Exemplo: Escoamento Unidimensional sem fontes

{( )Pvizinho

vizinhosD

facevizinhos

C

x x

yynu φφφρ −

∆∆Γ=∆ ∑∑ 43421

dAnx

dAnu j

S jj

S

j ∫∫ ∂∂Γ= φφρ

4.1 Exemplo: Escoamento Unidimensional

• C: fluxo de massa através da face, chamado de coeficiente de convecção ou advecção.

• D: coeficiente de difusão

Problema: avaliar φ nas faces!

{( )Pvizinho

vizinhosD

facevizinhos

C

x x

yynu φφφρ −

∆∆Γ=∆ ∑∑ 43421

4.2 Método de Diferenças Centradas

( )32

2

2

22

1

2 ee

e

e

eeP xo

x

x

x

x∆+

∆−∂∂+

∆−∂∂+= φφφφ

( )32

2

2

22

1

2 ee

e

e

eeE xo

x

x

x

x∆+

∆+∂∂+

∆+∂∂+= φφφφ

Somando: ( )2

2xoEP

e ∆++

=φφφ


Analogamente: ( )2

2xoWP

w ∆++= φφφ

Isso significa que o método de Diferenças Centradas aplicado ao termo advectivo éum método de 2ª ordem.


{( )Pvizinho

vizinhosD

facevizinhos

C

x x

yynu φφφρ −

∆∆Γ=∆ ∑∑ 43421

Resulta: ( ) ( ) ( ) ( )PWwPEeWPw

EPe DD

CC φφφφφφφφ −+−=+++22

x

yDDDyuCCyuCC wewe ∆

∆Γ===∆−=−=∆== ρρ

Com:


( ) ( ) ( ) ( )PWPEWPEP DDCC φφφφφφφφ −+−=+−+22

Resulta: { W

a

E

a

Pa

WE

P

CD

CDD φφφ

++

−=321321 22

2

Problema: Para altos Re, C>>D e o coeficiente aE se torna negativo, com duas consequências: (1) viola-se o princípio das soluções limitadas (boundedness);(2) o módulo do coeficiente aP se torna menor que a soma dos módulos dos coeficientes aE e aW, violando o princípio da estabilidade pois o sistema linear não satisfaz mais o critério de Scarborough.


Condição para termos coeficientes positivos:

2202

≤Γ

∆⇒≤⇒≥−

xu

D

CCD

ρ

Γ∆xuρ

É chamado de N°de Peclet ( Pe), Logo:

2≤Pe

4.2 Método de Diferenças CentradasEfeito do número de Peclet:

Figura adaptada de Apsley, D., CFD Lecture Notes, University of Manchester, Spring 2007.


Observando a solução exata do problema de advecção-difusão unidimensional sem fontes, observamos que o principal problema é que o método de diferenças centradas não tem a propriedade do transporte: a maior parte do domínio éinfluenciada pelo valor de φ à montante.

4.3 Método da Interpolação à Montante (“upwind method”)

Neste método, se leva em conta o sentido da corrente, de forma a satisfazer o princípio do transporte:


Problema: como todos os termos da expansão de Taylor são desprezados, temos um métodos de 1ª ordem.

( )xoPe ∆+=φφ

( )32

2

2

22

1

2 ee

e

e

eeP xo

x

x

x

x∆+

∆−∂∂+

∆−∂∂+= φφφφ


Voltando ao problema de advecção-difusão unidimensional:

{( )Pvizinho

vizinhosD

facevizinhos

C

x x

yynu φφφρ −

∆∆Γ=∆ ∑∑ 43421

Resulta:

x

yDDDyuCCyuCC wewe ∆

∆Γ===∆−=−=∆== ρρCom:

( ) ( )PWwPEeWwPe DDCC φφφφφφ −+−=+


( ) ( )PWwPEeWwPe DDCC φφφφφφ −+−=+

( ) ( )PWPEWP DDCC φφφφφφ −+−=−

{ W

a

Ea

P

a WEP

DCDDC φφφ

++=

+ 321321 2

Resulta:

Que resulta:


O método upwind produz coeficientes positivos, o que satisfaz os critérios de valores limitados (“boundedness”) e estabilidade: note que agora o médulo de aP é igual à soma dos módulos de aE e aW, satisfazendo o critério de Scarborough.


Deficiência do método upwind: exemplo usando convecção pura multidimensional.

0=∫ dAnu j

S

jφρ

1=ρ


Para cada célula, temos:

0=∆−∆+∆−∆ xvxvyuyu snwe φρφρφρφρ

0=∆−∆+∆−∆ xvxvyuyu SPWP φρφρφρφρ

2SW

P

φφφ +=Com os dados numéricos:

Que resulta, pelo método upwind:

4.3 Método da Interpolação à Montante (“upwindmethod”)

Resulta: Ao invés de:

4.3 Método da Interpolação à Montante (“upwindmethod”)

A suavização dos gradientes, conhecida por difusão falsa ou numérica, é o principal problema do método upwind.

4.4 Sumário – Métodos de Diferenças Centradas e de Interpolação à Montante (upwind)

• O método de diferenças centradas tem 2ª ordem de precisão, mas para Pe>2 viola os princípios do transporte, valores limitados e estabilidade. Portanto, exige malhas muito finas.

• O método upwind satisfaz o princípio do transporte, limita os valores e favorece a estabilidade. No entanto, seu erro de 1ª ordem faz surgir o fenômeno de difusão falsa ou numérica.

4.5 Métodos de ordem superior que levam em conta a direção do escoamento

Interpolação à montante de 2ª ordem (2nd orderupwind ou Linear Upwind)

)1()(2

2xox

x UUf ∆+∆

∂∂+= φφφ

)2()( 2xoxx U

UUU ∆+∆∂∂−= φφφ

)3()( xoxx

UUU

U

∆+∆−

=∂∂ φφφ

)4()(2

1

2

3 2xoUUUf ∆+−= φφφ

Podemos escrever:

De (2) obtemos:

Substituindo (3) em (1):

Interpolação à montante de 3ª ordem (QUICK –Quadratic Upwind Interpolation for Convective

Kinematics)

Podemos escrever:

)1()(86

1

42

1

24

3

3

32

2

2

xox

x

x

x

x

xUUU

Uf ∆+∆∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+= φφφφφ

)2()(6

1

2

1 433

32

2

2

xoxx

xx

xx

UUUUD ∆+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+= φφφφφ

)3()(6

1

2

1 433

32

2

2

xoxx

xx

xx

UUUUUU ∆+∆

∂∂−∆

∂∂+∆

∂∂−= φφφφφ


Kinematics)

De (1), (2) e (3) resulta:

)4()(2

2xoxx

UUD

U

∆+∆−

=∂∂ φφφ

)5()(2 2

22

2

xoxx

UUUD

U

∆+∆

+−=

∂∂ φφφφ


Kinematics)

Substituindo (4) e (5) em (1):

)(8

36 3xoUUDUf ∆+

−+=

φφφφ

Aplicação de Métodos de Ordem Superior

∫∫∫∀

∀+∂∂Γ= dSdAnx

dAnu j

S jjfaces

S

j φφφρ

( )4444444 34444444 21

b

jorderupperupwind

S

jj

S jjupwind

S

j dAnudSdAnx

dAnu ∫ ∫∫∫∀

−+∀+∂∂Γ= φφρφφρ φ

Em geral, para favorecer a estabilidade da solução dos sistemas lineares, o efeito de métodos de ordem superior é deferido ao termo fonte, ou seja, f nas faces é calculado por um método upwind de 1ª ordem e a correção para o método de ordem superior é colocada no carregamento do sistema linear (deferredcorrection method). Assim, temos:

Que fica:

Bibliografia

Versteeg, H,K; Malalasekera, W., “Anintroduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method”, 2nd Edition, Pearson Education Limited, 2007.

Maliska, C.R., “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional, LTC editora, 1995.

Apsley, D., CFD Lecture Notes, University ofManchester, Spring 2007.

PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacionalsites.poli.usp.br/d/pme2556/PME2556_aula4.pdf ·...

Documents

Transcript of PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacionalsites.poli.usp.br/d/pme2556/PME2556_aula4.pdf ·...