Plana 8. 1. - Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos · PDF fileUm observador...

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1 Plana 1. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre a medida dos ângulos x em cada caso. a) 2x x r s b) s r 110º 80º x 150º 2. Na figura abaixo podemos dizer que: a) α = β + θ b) θ = β + α c) α + β + θ = 180 d) 180 - θ = α - β e) n.r.a a b q 3. Determine a medida do ângulo externo de um vértice de um triângulo ABC com relação aos ângulos internos. 4. Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes. OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se que AÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY. Y X C B A O 5. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às: a) 12 horas e 15 minutos b) 3 horas e 20 minutos c) 4 horas e 42 minutos 6. Determine a soma de todos os ângulos assinalados na figura abaixo. 7. Calcular o número de diagonais de um pentadecágono. 8. Três polígonos convexos tem lados expressos por três números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número de diagonais de cada um deles. 9. Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A, B, C, D ... de 20 lados. 10. Qual polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados? 11. Determine o número de diagonais que se pode traçar por um dos vértices de um icoságono. 12. Determine o gênero do polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados. 13. Na figura abaixo determine a medida do ângulo x , em função de dos ângulos a, b e c. a b c x 14. Na figura abaixo = = = = = AB AC e BC CD DE EF FA . Calcule a medida do ângulo α. A B C D E F a 15. As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são : a) semi-retas opostas b) semi-retas coincidentes c) semi-retas paralelas ou perpendiculares d) semi-retas que formam um ângulo de 270º 16. Nas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulos assinalados. a b c d e a b c d e f

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Plana

1. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre amedida dos ângulos x em cada caso.

a)

2x

xr

s

b)

s

r

110º

80º

x

150º

2. Na figura abaixo podemos dizer que:a) α = β + θb) θ = β + αc) α + β + θ = 180d) 180 - θ = α - βe) n.r.a

ab

q

3. Determine a medida do ângulo externo de um vértice de umtriângulo ABC com relação aos ângulos internos.

4. Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes.OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se queAÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY.

Y

X

C

B

A

O

5. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de umrelógio às:a) 12 horas e 15 minutosb) 3 horas e 20 minutosc) 4 horas e 42 minutos

6. Determine a soma de todos os ângulos assinalados na figuraabaixo.

7. Calcular o número de diagonais de um pentadecágono.

8. Três polígonos convexos tem lados expressos por trêsnúmeros consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos osângulos internos dos três polígonos, determine o número dediagonais de cada um deles.

9. Determine a medida do ângulo formado pelosprolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A,B, C, D ... de 20 lados.

10. Qual polígono cujo número de diagonais é igual ao númerode lados?

11. Determine o número de diagonais que se pode traçar por umdos vértices de um icoságono.

12. Determine o gênero do polígono cujo número de diagonais éo quádruplo do número de lados.

13. Na figura abaixo determine a medida do ângulo x , emfunção de dos ângulos a, b e c.

a

b cx

14. Na figura abaixo = = = = =AB AC e BC CD DE EF FA . Calculea medida do ângulo α.

A

B

C

D

E

F

a

15. As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamenteperpendiculares são :a) semi-retas opostasb) semi-retas coincidentesc) semi-retas paralelas ou perpendicularesd) semi-retas que formam um ângulo de 270º

16. Nas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulosassinalados.

a

b

cd

e

a

b

c d

e

f

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17. Dado O triângulo ABC, abaixo indicado, construímos apoligonal L =. Determine comprimento de L.

a

b c

60º

60º

60º

60º60º

60º

A

BC

18. Se P é um ponto qualquer da base BC de um triânguloisósceles ABC, a soma das distâncias de P aos ladoscongruentes é constante e igual a :a) à medida da base BCb) à altura relativa a um dos lados congruentesc) a um dos lados congruentesd) não é constantee) distância do baricentro ao vértice A.

19. Na figura a seguir, I é o incentro do triângulo ABC e PQ é

paralelo a BC . Sendo AC 18cm e AB 10cm= = , calcule amedida do perímetro do triângulo APQ.

P QI

B C

A

20. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â, AH é

altura , AD e AE são bissetrizes dos ângulos ∠HAB e ∠HAC.Considere as seguintes afirmações:1) ∠DAE = 45º.2) ∆ ADE é isósceles.3) ∆ BAE é isósceles.4) ∆ CAD é isósceles.Quantas estão certas?a) nenhumab) umac) duasd) trêse) todas

A

B

C

HD

E

21. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado Ox doângulo ∠xOy da figura. Traçamos então:1) AB ⊥ Oy2) AQ // Oy3) OPQ tal que PQ = 2.AOSe ∠POB = 26º, ∠xOy mede:a) 61ºb) 66ºc) 72ºd) 78º

O B

A

P

Q

x

y

22. Em um triângulo ABC, a base BC mede 10cm, Mb e Mc sãopontos médios de AC e AB respectivamente. Determine amedida do segmento MbMc.

23. Na figura abaixo, Q é o ponto médio de AB. QP é paralelo aBC. Sendo AC = 30cm e BC = 20cm, determine a medida dePQ e PO.

24. Suponhamos que três pontos A, B e C do plano representemas posições de três casas construídas numa área de umcondomínio. Um posto policial estará localizado num ponto Psituado à mesma distância das três casas. Em geometria, oponto P é conhecido como :a) Baricentrob) Ortocentroc) Circuncentrod) Incentroe) n.r.a

25. Num triângulo ABC, a altura AS forma com a mediana um

ângulo de 22º. Calcule a medida dos ângulos B e C .

A

SM CB

22º

26. (UFF) O hexágono regular abaixo representado possui ladoigual a L.

M1

M2

M3

M4

M5

M

M

M

M

6

7

8

9

N

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

L

Sabendo-se que os 9 segmentos M1N1, M2N2, M3N3, .....,M9N9 são todos paralelos e dividem o segmento M1N9 em 8 partesiguais, pode-se afirmar que a soma M1N1 + M2N2 + ... + M9N9 éigual a:a) 11 Lb) 12 Lc) 13 Ld) 14 Le) 15 L

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27. (UFRJ) Um poste têm uma lâmpada colocada a 4m dealtura. Um homem de 2m de altura caminha a partir do poste, em linha reta, em direção à porta de um edifício que está auma distância de 28m o poste. Calcule o comprimento dasombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício,no instante em que ele está a 10,5m dessa porta. Suaresposta deve vir acompanhada de um desenho ilustrativo dasituação descrita.

28. (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual aodobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, queformam, entre si, um ângulo reto. Observe a figura, em queBFA = CAB.

Considerando AF = 16 cm e CB = 9 cm, determine:A) as dimensões do cartão;B) o comprimento do vinco AC.

29. (CESGRANRIO) Considere um quadrilátero ABCD. Sendo Mo ponto médio do lado AD e O o ponto de interseção com osegmento MC com a diagonal BD, determine a razão DO/OB.

30. (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQinscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12cm e a alturarelativa a esse lado mede 8cm. Seja x e z os comprimentosde MN e MQ, respectivamente.

CB

A

M N

PQ

a) exprima a altura z do triângulo em função da base x.b) calcule os valores de x e z para as quais a área do

retângulo é a maior possível.

31. (UFF) A figura abaixo representa um quadrado MNPQ delado L. Sabendo-se que J e K são os pontos médios de OM eON, se prolongarmos os segmentos QJ e PK de modo que seencontrem no ponto T, a medida do segmento RS será:a) L/4 d) 4L/3b) L/3 e) 3L/2c) 2L/3

M N

PQ

R S

T

L

32. (UFF) Na figura abaixo, o vértice Q do retângulo PQRC foiobtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA,com a hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC. Sabendoque PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidasdos lados do triângulo ABC.

A B

C

P Q

R M

33. (UFF) Na figura abaixo, os segmentos de reta

AB,BC,CD e DE são tais que AB BC,BC CD e CD DE⊥ ⊥ ⊥

. .

..

.

A B

C D

E

As medidas AB,BC,CD e DE de são, respectivamente,

3m, 4m, 1m e 4m. Determine a medida do segmento AE .

34. (UNICAMP) Um observador O, na mediatriz de umsegmento AB e a uma distância d de AB, vê esse segmentosob um ângulo αααα. O observador afasta-se do segmento aolongo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê osegmento sob o ângulo αααα/2. Expresse a distância x = OO’ emtermos de αααα e d.

35. (UFMG) Observe a figura:

A B

CD

P

Q

R

S

Nessa figura ABCD representa um quadrado de lado 11 e

AP AS CR CQ= = = . O perímetro do quadrilátero PQRS é:

a) 11 3

b) 22 3

c) 11 2

d) 22 2

36. (UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF sãoeqüiláteros.

.

.E

B

A C D F

Sabendo que AB,CD e BE medem, respectivamente, 6m,

4m e 4m, calcule a medida de BE .

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37. A figura abaixo representa um quadrado ABCD e doistriângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado dessestriângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

38. (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:a) 10ºb) 12ºc) 13ºd) 14º

39. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área eseus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se oângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.[Dica: use sen(2x) = 2⋅sen(x)⋅cos(x)]

40. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duasescadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º,

conforme mostra a figura ao lado. Considere 7

tg17

α = e as

distâncias AC = 17 e BC = 5m. Determine:a) O comprimento CDb) A altura CE do prédio.

41. (UFF) Na figura abaixo QRS é equilátero e está inscrito noquadrado MNPQ, de lado L. Pode-se afirmar que o lado dotriângulo mede:

QP

MN R

S

a)L 22

b)

L 33

c)

L 62

d)

( )L 2 6+ e) ( )L 6 2−

42. (Vunesp-SP) Para calcular a distância entre duas árvoressituadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B,um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m damargem, na direção da reta AB, até o ponto C e depoiscaminha em linha reta até o ponto D a 40m de C, do qualainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulosDCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º,que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se

usou a aproximação 6 2, 4≅ .

A

B

C

D

43. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo evê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º com o planohorizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção aoseu objetivo até um ponto B distante 650m de A e agora vê oPão de Açúcar segundo um ângulo de 14º. Qual é a altura doPão de Açúcar em relação ao plano de observação? (tg 14º =0,249, tg 10º = 0,176)

44. As diagonais de um trapézio retângulo medemrespectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o perímetro doquadrilátero convexo cujos vértices são os pontos médios doslados do trapézio.

45. Calcule o valor de x no trapézio abaixo.

14

L

2L

2

46. (CESGRANRIO) Assinale a alternativa que contêm apropriedade diferenciadora do quadrado em relação aosdemais quadriláteros.

a) Todos os ângulos são retosb) Os lados são todos iguaisc) As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.d) As diagonais se cortam ao meio.e) Os lados opostos são paralelos e iguais.

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47. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais,então todos os seus ângulos internos são iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como

exemplo a figura denominada:a) losangob) trapézioc) retângulod) quadrado

48. Decida, em cada item, se as condições dadas são suficientespara que ABCD seja um quadrilátero do tipo indicado.

(a) Paralelogramo.i. Dois pares de lados congruentes;ii. Dois lados opostos congruentes e os outros paralelos;

iii. Dois ângulos adjacentes, ˆ ˆA e D suplementares e AB BD= ;iv. Dois ângulos opostos iguais;v. Todos os pares de ângulos adjacentes suplementares;

(b) Retânguloi. Dois ângulos retos;ii. Três ângulos congruentes;

(c) Losangoi. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;ii. Três lados congruentes;

(d) Quadradoi. Três lados iguais e um ângulo reto;ii. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;iii. Diagonais iguais e perpendiculares;iv. Diagonais iguais perpendiculares e cortando-se ao meio.

(e) Trapézio isóscelesi. Diagonais iguais;ii. Trapézio com diagonais iguais;

49. Seja ABCD um trapézio retângulo tal que P é o ponto deencontro das diagonais. Determine a distância de P ao ladoperpendicular as bases, sabendo que as bases medem 3cm e6cm.

50. Os pontos M, N, P, Q, R E S são médios dos lados AB, BC,CD, ... do hexágono regular ABCDEF. Se AB = 4 cm, ache oraio do círculo inscrito no hexágono MNPQRS.

S

R

Q

P

N

M

F

E D

C

BA

51. (UERJ) Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente,lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos nacircunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se osarcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta tem B’ e C’.

C

B

C' B'A

A medida que está mais próxima do comprimento dosegmento B’C’ é:a) o perímetro do quadrado de lado AC.b) o comprimento da semicircunferência de raio r.c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado AB.

52. (UFF) A figura abaixo representa uma circunferência de

centro O diâmetro PQ = 4 3 cm.

M

N

P QO

Se MN é o lado o hexágono regular inscrito na circunferênciae MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm é:

a) ( )2 3 2 3+

b) ( )2 3 2 3−

c) ( )3 12 3−

d) ( )3 12 3+

e) ( )2 12 3+

53. (UFRRJ) ABCDEFGH é um polígono regular convexo.Sabendo que PE é tangente ao círculo , qual a medida, emgraus, do ângulo α?

a

A B

C

D

E

F

G

H

P

54. (UFRJ) Na figura a seguir:AB é o lado de um octógono regular inscrito.t é tangente.Qual a medida de α?

O

A

B

t

55. (UFF) A figura abaixo representa um triângulo equiláteroFHN de lado L e um hexágono regular . Sabendo que I é oponto médio do lado HN e pertence ao segmento GL, assinalea alternativa que representa o perímetro do quadriláteroFGLM:

F

G

H

I

J K

L

MN

a) 7Lb) 6Lc) 5Ld) 4Le) 3L

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56. (UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado� = 4cm . Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são

congruentes, o valor da medida do segmento YK é:

(A) 32

cm (D) 2cm

(B) 2 3cm (E) 2 2cm

(C) 22

cm

2 cm1 cm

A�= 4 cm

M

N

Z Y

X

LK

J

P

Q

57. (UFF) A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoadadurante a Revolução Industrial, constituindo fatorfundamental para o progresso da indústria e dos meios detransporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motoresde combustão interna que utilizam o mecanismo chamado“biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento derotação de uma polia em movimento de translação de umpistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configuraçõesdistintas desse mecanismo representadas a seguir. Sabendoque OQ1 = OQ2 = r e Q1P1 = Q2P2, onde r é o raio da polia,determine em (II), a distância entre P1 e P2 emfunção de r.

Q

P1

Polia

( I )

60º

Pistao

Q Q

P1

Polia

( II )

60º

Pistao

58. (UFF) Duas réguas de madeira, MN PQe , com 8 cmcada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios,formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa arégua MN e girando-se 180°°°° a régua PQ em torno do seuponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-sedois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).

A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta novaposição é:

(A) 10 (C) 5 2 (E) 6

(B) 5 3 (D) 5

59. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área eseus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se oângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.

60. (UERJ) O decágono da figura abaixo foi dividido em 9partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao doquadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cadatriângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluirque a área do decágono é equivalente a:(A) 14 T + 3 Q(B) 14 T + 2 Q(C) 18 T + 3 Q(D) 18 T + 2 Q

61. (ITA-SP) A diagonal menor de um paralelogramo divide umdos ângulos internos em dois outros α e 2α. Determine arazão entre o lado menor e o maior do paralelogramo.

62. Os postes de energia variam de altura de acordo com aquantidade e espessura dos cabos de transporte de energia.Este ano, nas prévias da eleição, a prefeitura do Rio emacordo com a Light, empresa que distribui energia paracidade, adequou 25% dos postes da zona leste. Em umapesquisa prévia feita pela Light, um de seus funcionáriosverificou que certa rua necessitava de uma mudança depostes, mas esta era toda arborizada. Na esperança de poderfazer a troca dos postes, sem a poda fora do tempo, ofuncionário fez as seguintes medidas para estimar a altura domaior poste possível. Distante 6 metros do mais baixo galhode todas as árvores mediu o ângulo de 22º 30’com o chão.Determine a maior altura de um poste para que não toque o

galho mais baixo da árvore. Considere 2 1 41= , .

Dica use: x 1 cos xtg

2 1 cos x −

= ± +

63. Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela nosentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo emlinha reta, pretende alcançar A (Figura). ConsidereBAX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de Bigual a 9 m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B devefazer com a reta BA para que o encontro seja possível.

64. (Unb-DF) Os lados de um retângulo medem 25m e 25 3 m.Os ângulos formados pela interseção das diagonais são:a) 120º e 60ºb) 150º e 30ºc) 90º e 90ºd) 100º e 80ºe) 110º e 70º

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65. (Cefet-PR) Se na figura abaixo AB mede 9 cm, o segmentoDF mede, em cm:

a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6

66. (UFPB) O ângulo, sob o qual um observador vê o topo deum prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observadorse aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele seaproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre oobservador e o prédio é:

a) 50 m b) 22 m c) 176 m d) 16 m e) 18 m

67. (UFMT) Para determinar a altura de um morro, umtopógrafo adotou o seguinte procedimento:

• Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano verticalque passa por C;• Mediu a distância AB encontrando 162 m;• Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos α β eγ,encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º.A figura ilustra o procedimento descrito. Qual altura do morro (h),em metros, encontrada pelo topógrafo?

68. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, docentro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro,o das horas. Determine a distância entre as extremidades dosponteiros quando o relógio marca 4 horas.

69. (UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo WXYZ,como mostra a figura. Sabendo que AB = 2 e AD = 1,determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja amaior possível.

70. (FEI-SP) Na figura abaixo o raio da circunferência maior é otriplo do raio da menor. A reta s é tangente às duascircunferências. A reta t é tangente às duas circunferências,no mesmo ponto.

Quanto vale cos2α

?

a) 13

b) 12

c) 22

d) 32

e) 23

71. (UFRRJ) Na figura abaixo, sabendo-se que os ângulos  e Êsão ângulos retos, a área do quadrilátero ACED vale:

a) 25,2 cm2

b) 30,5 cm2

c) 40,5 cm2

d) 52,5 cm2

e) 65,5 cm2

72. (UFRRJ) Sendo S1 e S2 as áreas das figuras I e II,respectivamente, podemos afirmar que:

a) 1 2S = S

b) 1 23

S = S4

c) 1 2S = 3S

d) 1 2S = 2 S

e) 1 24

S = S3

73. (UERJ) Observe o paralelogramo ABCD.

a) Calcule 2

BD2

AC + em função de aAB = e b.BC =

b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC .

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74. (UFF 04) A figura a seguir esquematiza uma situação obtidapor meio de um sistema de captação e tratamento deimagens, durante uma partida de vôlei.

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores queestão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, emrelação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q)

de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m PM QN m= = 2 0,e j que

a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m MN m= 1 5,e j e

que cosα =34

. A distância (h) da bola (representada pelo ponto

R) até o chão (h = RT) é:a) 2,5 mb) 3,0 mc) 3,7 md) 4,5 me) 5,2 m

75. (UENF-02) A extremidade A de uma planta aquáticaencontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago(fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca

a superfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do localem que sua projeção ortogonal C, sobre a água, seencontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BCsegmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimentoda planta.

Determine:(A) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra

a raiz da planta;

(B) o comprimento, em cm, do arco �AB .

76. (UFF 02) Uma folha de papel quadrada tem 2 dm de lado(figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-oscoincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC, formando-se o triângulo AEF (figura II).

a) Determine a medida de EF.b) Calcule tg(FÂC).

77. (UFRJ 1998-2) Um arquiteto projetou um salãoquadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em doisambientes I e II através de um segmento de reta passandopelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão,conforme mostra a figura a seguir:

A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambienteII. Calcule a distância entre os pontos A e B.

78. (UFF 03) As manifestações da Geometria na natureza vêmintrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nasproporções do corpo humano e na forma da concha doNautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”,que pode ser obtida por meio da seguinte construçãogeométrica:

No quadrado PQRS representado na figura abaixo,considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculocom centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamentode PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses

lados PTQPFHGIKJ é a razão áurea. O valor desta razão é:

a) 5 1+

b) 5 12+

c) 5 12−

d) 5 2+

e) 5 3+

79. (UFF-01) Unindo-se os pontos médios dos lados de umhexágono regular de perímetro P, obtém-se um outrohexágono regular de perímetro p. A razão P/ p é igual a:

a) 3

b) 12

c) 2 33

d) 32

e) 1

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9

80. (UFF 01) Um pedaço de papel tem a forma do triânguloeqüilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio dolado PR :

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam,conforme ilustrado a seguir.

O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a:a) 9b) 17,5c) 24,5d) 28e) 49

81. (UFRJ 05) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linhareta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a rodapercorrer uma distância maior que 10 m.

82. (UFRJ-02) O objetivo desta questão é que você demonstrea lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando otriângulo da figura abaixo, mostre que2 2 2a b c 2bc cosθ= + − ⋅ ,

A B

C

ab

cθθθθ

83. (UER 03/2q) José deseja construir, com tijolos, um muro dejardim com a forma de uma espiral de dois centros, comomostra a figura abaixo.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolomede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número detijolos necessários para fazer a espiral é:(A) 100(B) 110(C) 120(D) 130

84. (UERJ 03/2q) Um barco navega na direção AB, próximo aum farol P, conforme a figura abaixo.

(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática,1990.)

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, daembarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB.Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegadorverifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulode 60º com a mesma direção AB.

Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre aembarcação e o farol será equivalente, em metros, a:a) 500

b) 500 3c) 1000

d) 1000 3

85. (UERJ 01)

A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triânguloseqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

86. (UERJ 04) Considere o ângulo segundo o qual umobservador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele seaproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais100 m, como mostra o esquema abaixo.

A altura da torre, em metros, equivale a:(A) 96(B) 98(C) 100(D) 102

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1. Áreas1.1 Quadriláteros

Quadrados

L

L

Área: L2

Retângulos

Altura (h)

Base (B)

Área: B⋅⋅⋅⋅hParalelogramos

=

b

hAltura (h)

Base (b)

Área é igual a área do retângulo. ∴∴∴∴Área: B⋅⋅⋅⋅h

Trapézios

x12h h

b

B

B

b

Base (B)

Base (b)

=

Área é igual a área do paralelogramo. ∴∴∴∴Área: B⋅⋅⋅⋅h

Losangos

D2

D2

==d

dd

D

Área: D d2⋅

1.2 Triláteros

Triângulos

x12=

Área é igual a metade da área de um paralelogramo.

Área: b h2⋅

1.2.2 Fórmula trigonométrica

c b

CB

A

a

h

ˆh c.senB= ⇒⇒⇒⇒ Área: ˆa c senB

2⋅ ⋅

1.2.2 Triângulos Particulares

Triângulos Retângulos

bc

a

h

CB

A

A B

C

c

ba

Área: a⋅⋅⋅⋅h Área: b⋅⋅⋅⋅c

Triângulos Equiláteros

=L 3

h2

L2

Lh

L

L Lh

Área: 2L 34

1.3 Triângulos Inscritos

ha

c

ba

O

E

D

C

B

A

aABC

a

a ABC

a hA

2h b

Como ADC ~ ABE,c 2R

b c a b ch . Logo A

2R 4R

⋅=

∆ ∆ ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅⇒ = =

ABCa b c

A4R⋅ ⋅

=

1.4 Triângulos Circunscritos

bc

a CB

A

r

r

rO

ABC BOC AOC AOB

ABC

ABC

A A A A

a r b r c r (a b c) rA

2 2 2 2(a b c)

Como p= A p r2

= + +

⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅= + + =

+ +∴ = ⋅

1.5 Fórmula de Heron

( ) ( ) ( )A p p a p b p c= − − −

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1.6 Polígonos Regulares Convexos

L

L L

L

L

L

a

Área = p⋅⋅⋅⋅a

Aplicações: A fórmula da área dos polígonos regulares convexosS = p⋅⋅⋅⋅a, tem três aplicações:

(i) Cálculo da área em função do lado;(ii) Cálculo da área em função do raio;(iii) Cálculo da área em função do apótema;

Ex1. No caso do hexágono regular, p=3L e R 3

a2

= ∴23L 3

S2

=

Ex2. No caso do decágono regular, temos:

( )

2

R 5 1p 5L 5

2

R 10 2 5 5R 10 2 5a S

4 4

−= = ⋅

+ −= ∴ =

1.6.1 Expressão trigonométrica da área dos polígonosregulares

Temos a fórmula:S = p⋅⋅⋅⋅a

Supondo n o número de lados do polígono, sabemos que(ver 7.3)

n180

L 2R senn

= ⋅

donde,

( )180n 2R sen 1802p nR sen2 n

⋅ ⋅= = ⋅

e,

n180

a R cosn

=

Substituindo (2) e (3) em (1), temos para um polígonoregular de n lados , a fórmula geral:

2n

180 180S n R sen cos

n n

= ⋅ ⋅ ⋅

1.7 Círculos

C1

r

O

Área: 2rπSetor Circular

C1

r

a

Área: ( )2r r r r

em graus360 180 2 2

α αα

π π ⋅= ⋅ =

Segmento Circular

C1

r

ha

Área: Área do setor – Área do triângulo isósceles

( )r hr r hS

2 2 2

−⋅ ⋅= − =

��

Expressão trigonométrica da área do segmento( )r r sen

Como h r sen S2

αα

− ⋅= ⋅ ⇒ =

Coroa Circular

C2

C1

Área: ( )2 2R r

2

π −

Trapézio circular

C2

C1

r

Área: ( )

( )2 2R r

em graus360

αα

π −

°

1.8 Relação entre as áreas de polígonos semelhantes

A

B

C

D

E

A'

B'

C'

D'E'

As áreas de duas figuras planas semelhantes sãoproporcionais ao quadrado da ração de semelhança.

2Sr

S '=

O resultado vale para quaisquer figuras planassemelhantes, todavia vamos demonstrar aqui somente o casoparticular referente aos polígonos semelhantes.

Dem.: Observemos inicialmente que todo polígono pode serdecomposto em triângulos. Portanto, basta demonstrarmos oresultado somente para triângulos.

Seja a b c h

ra ' b ' c ' h '

= = = =

Pela fórmula da área do triângulo a razão entre as áreasS e S’ é dada por:

2

b hS b h b h2 r

b ' h 'S ' b ' h ' b ' h '2

⋅⋅

= = = ⋅ =⋅ ⋅

Portanto, 2Sr

S '= .

(1)

(2)

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1.8.1 O Teorema de Pitágoras

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa deum triângulo retângulo é equivalente a soma das áreas dosquadrados construídos sobre os catetos.

S1

2

3

S

S

a

b c

1 2 3S S S= +

Generalização. Se, sobre os lados do um triângulo retânguloconstroem-se figuras semelhantes, a área figura construída sobrea hipotenusa é equivalente a soma das áreas das outras duasfiguras.

S1

2

3

S

S

a

b c

Dem.: De acordo com as relações entre as áreas, temos:2 2

322 2

1 1

SS b c

S Sa a= =

Somando, membro a membro, temos:2 2

2 32

12 2 2

2 2 2 2 32 2

1

1 2 3

S S b cS a

S S b c acomo a b c 1

S a aS S S

+ +=

+ += + ⇒ = = =

∴ = +

Exemplo ResolvidoConstruindo-se semicircunferências sobre os lados de

um triângulo retângulo, a soma das áreas de duas lúnulas é iguala área do triângulo.

Pelo que acabamos de ver 1 2 3S S S= + . Denotemos porST a área do triângulo.

Vamos dar um a demonstração visual:

23

SS

ST

L

L

1

2

( )2 3 TS S S+ +

( )2 3 t 1

1 t 1

t

S S S S

S S S

S

+ + − =

+ − =

Exercícios

1. (PUC) Se E é o ponto médio do lado AB do quadrado ABCDda figura abaixo, e se AB = 12, então a área do triângulo BDEvale:

A E B

CD

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

2. (UNI-RIO) Uma fábrica quer imprimir o seu logotipo emtodas as folhas de papel que usa, conforme o modelo abaixo,no qual as medidas estão expressas em centímetros. A áreado papel ocupada pelo logotipo será de:

4

21

1

1

1 1 1

1

2

1

a) 15 cm2 d) 18 cm2

b) 16 cm2 e) 19 cm2

c) 17 cm2

3. (UNI-RIO) Uma placa de cerâmica com uma decoraçãosimétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada apararevestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placaé um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachuradaé:

5cm

a) 900 125π−

b) ( )900 4 π−

c) 500 900π −

d) 500 225π −

e) ( )225 4 π−

4. (UNIFICADO) ABCD é um paralelogramo e M é o pontomédio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramoem quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreasde I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:a) 10, 8, 4 e 2.b) 10, 9, 3 e 2.c) 12, 6, 4 e 2.d) 16, 4, 3 e 1.e) 17, 4, 2 e 1.

I

II

III

IV

A B

CD

M

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5. (UFF) Considere uma folha de papel em forma de retânguloRSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 dobrasnessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caiasobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontosmédios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A Segunda éfeita de modo que o ponto P também caia sobre o segmentoMN, conforme figura 3.

dobra

dobra

Q

M

U T

R

P

P

M

S

U T

R

U T

SR12cm

30cm

N N

A área do triângulo MPQ é:

a) 18 2 cm2 b) 30 cm2

c) 45 cm2d) 36 2 cm2

e) 45 3 cm2

6. (UERJ 03) Uma folha de papel retangular, como a da figura1, de dimensões 8cm x 14cm, é dobrada como indicado nafigura 2.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB,em cm2, é igual a:(A) 112 (B) 88 (C) 64 (D) 24

7. (CESGRANRIO) A reta EF, inclinada 30º relativamente aolado DC, divide o quadrado ABCD da figura em dois trapéziosde mesma área.

30º

A B

CD

E

F

Então a razão DE

AEé igual a :

a)

3 36

b)

2 32

c)

3 2 33

d)

2 32

e)

36

8. (UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezesde forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre adiagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemosos quatro ângulos assinalados na figura.

abc

d

a) Determine as medidas dos ângulos a, b, c, e d.b) Calcule a razão entre a área sombreada e a área do

quadrado.

9. (PUC) Um pentágono é formado de um quadrado e de umtriângulo isósceles de base coincidente com um lado doquadrado. Sabendo que o perímetro do pentágono é 140dm eo lado do triângulo é 5/6 do lado do quadrado calcule a áreado pentágono.

10. (UERJ) Observe a figura abaixo (ABCD), que sugere umquadrado de lado a, onde M e N são respectivamente ospontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dossegmentos AM e BN. Utilizando os dados resolva os itens a eb.

a

A B

D

N

M

F

C

a) Demonstra que o ângulo AFN é reto.b) Calcule a área do triângulo AFN em função de a.

11. (PUC) Os pontos A, B, C, D, E, E dividem em seis partesiguais o círculo de raio R. Determine a área achurada.

A

B

C

D

E

F

12. (FUVEST) Na figura são dados: AB = BC = CD = DE = 1 eEF = FG = 2. Calcule a área hachurada.

AB

C

D E FG

13. (UFRJ) A figura ao lado mostra dois arcos de circunferênciade centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais. Calcule arazão entre as áreas das regiões hachuradas e nãohachuradas.

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14. (PUC) Calcule a área da região limitada pela circunferênciade raio r e pelas tangentes à circunferência.

60º

P

B

A

O

15. (ASSOCIADO) Na figura abaixo, os três círculos têm raio 1 esão tangentes dois a dois. Calcule a área delimitada pelosarcos AB, BC e CA.

A

BC

16. (UENF) Considere o teorema de Pitágoras: em todo triânguloretângulo , a soma dos quadrados das medidas dos catetos éigual ao quadrado da medida da hipotenusa. Observe a figuraabaixo, onde as indicações com os traços determinam oslados que têm as mesmas medidas:

T1

T2

T3

Baseando-se no teorema de Pitágoras, demonstre que a soma dasáreas dos triângulos T1 e T2 é igual a área do triângulo T3.

17. (UFRJ) O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdivididoem 100 quadrados elementares iguais.

Determine a área sombreada correspondente as letras da siglaUFRJ se:a) a área da letra U é a unidade de área.b) A área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área.

18. (UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir desemicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S1/S2,a razão entre as áreas hachuradas.

AC D E

B

S1

S2

19. (UFF) A figura representa uma circunferência de raio 2cm.Sabendo que os segmentos congruentes PM e QN sãoperpendiculares ao diâmetro AB e que a medida de OM é 1cmdetermine a área da região assinalada.

M N OA B

P Q

20. (UFRJ)

2 2

45º

4cm

13cm

cm

Calcule a área e a altura do trapézio representado acima.

(UFRJ 03) Na figura abaixo, os círculos C1, C2 e C3 estãoinscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente.Sabendo-se que o ângulo AGˆD é reto e que a área de C1 é iguala 1, calcule a soma das áreas de C2 e de C3.

21. (UFRJ 04) A figura a seguir representa a planta de umterreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados40m, 50m, 35m, 45m, e 40m. em toda volta deste terreno foiconstruída uma calçada de 2m de largura (ou seja: adistância de qualquer ponto da borda desta calçada aoterreno é exatamente 2m)

Determine a área total da calçada.

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(UERJ-2003) O logotipo de uma empresa é formado por duascircunferências concêntricas e tangentes a uma elipse, comomostra a figura abaixo. A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixomenor mede 8 unidades. A área da região por ela limitada é dadapor πab, em que a e b são as medidas dos deus semi-eixos.Calcule a área da região definida pela cor cinza.

87. (UFF 01) Para a encenação de uma peça teatral, ospatrocinadores financiaram a construção de uma arenacircular com 10 m de raio. O palco ocupará a regiãorepresentada pela parte hachurada na figura a seguir:

Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, aárea do palco, em m2 , vale:

a) 75 3 50

3+ π

b) 25 3

c) 50 2

2+ π

d) 5 2 10

3+ π

e) 100π

88. (UFF 02) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estãodivididos em três partes iguais, medindo 1cm cada um dossegmentos MU, UT,TQ, NR, RS e SP. Unindo-se os pontos N eT, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se afigura:

M U T Q

N R PS

Calcule a área da região sombreada na figura acima.

89. (UFF) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, distando30 cm uma da outra e a reta t é perpendicular às duas,distando 25 cm do ponto M.

Determine a área do retângulo MNPQ em função de α

(0 < α < 45º).

90. (UFF 01) As circunferências de centro O e O’ possuem,ambas, 1cm de raio e se interceptam nos pontos P e P’,conforme mostra a figura.

Determine a área da região hachurada.

91. (UFF 97) Determine a área da região hachurada nafigura abaixo, sabendo que todas as circunferências têm raior.

(UERJ 04) Na tirinha abaixo, considere A1 a área inscrita nacircunferência que representa o acelerador americano e A2 a áreainscrita naquela que representa o suíço. Observe que A1 é menordo que A2.

(Adaptado de CARUSO, F. & DAOU, L. Tirinhas de física, vol. 6. Rio de Janeiro, 2002.)

De acordo com os dados da tirinha, a razãoAA1

2corresponde, aproximadamente, a:

(A) 0,167 (B) 0,060 (C) 0,046 (D) 0,023

92. (UERJ 01/2q) Um fertilizante de larga utilização é o nitratode amônio, de fórmula NH NO4 3. Para uma determinadacultura, o fabricante recomenda a aplicação de 1 L de soluçãode nitrato de amônio de concentração 0 5 1, mol L⋅ − por m2 deplantação. A figura abaixo indica as dimensões do terreno queo agricultor utilizará para o plantio.

A massa de nitrato de amônio, em quilogramas, que oagricultor deverá empregar para fertilizar sua cultura, de acordocom a recomendação do fabricante, é igual a:(A) 120(B) 150(C) 180(D) 200

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93. (UERJ 02/2q) Um professor de matemática fez, com suaturma, a seguinte demonstração:- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-ocompletamente com um pedaço de barbante, de modoque o comprimento do barbante coincidisse com operímetro do CD;

- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de1 metro de comprimento, formou uma circunferênciamaior que a primeira, concêntrica com o CD.

Veja as figuras abaixo.

Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio dacircunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x.Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à doraio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores,chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou aseguinte relação entre essas diferenças, x e y:(A) x y+ = −π 1

(B) x y+ = −π 2

(C) y x− = −π 2

(D) y x− = −π 1

94. (UFF 2000-G) Paulo deve colorir um painel quadrado, comum círculo centrado, usando as cores azul, verde e cinza,conforme indica a figura.

A

B

Cinza

Azul

Azul

.Verde Verde

.Sabe-se que a medida do lado do quadrado é 2m e que

a do segmento AB é 1m.Determine:a) o raio do círculo;b) a área, em m2, a ser colorida de azul.

95. (UERJ 04) Unindo-se os pontos médios dos lados dotriângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A’B’C’ , comomostra a figura.

Se S e S’ são, respectivamente, as áreas de ABC e A’B’C’, a razãoSS′

equivale a:

a) 4b) 2

c) 3

d) 32

Trigonometria

1. Enquanto um edifício projeta uma sombra de 18 m, umbastão de comprimento 1 m, colocado verticalmente ao lado doedifício, projeta uma sombra de 30 cm. Determine a altura doedifício.

2. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, em certomomento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distânciamáxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar docentro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé,continuar totalmente na sombra.

3. Dê o produto das tangentes de dois ângulos internos de umtriângulo retângulo.

4. Considerando o triângulo ABC retângulo em A, com os dados

que estão na figura calcule a soma ˆˆtgB tgC+ . Dê a resposta naforma de numeral decimal.

A

B

C

5

13

5. Uma rampa faz um ângulo α com a horizontal. É dada tgα = 0,8. Para um carrinho atingir altura de 4m em relação ao solo, quanto deve caminhar sobre a rampa, a Partir de O?

6. No quadrilátero ABCD os ângulos A e B são retos e é dada

=5ˆtgC6 . Os lados AB e BC têm medida a e 2a . Obtenha a área

e o perímetro do quadrilátero em função de a.

A B

C

D

a

2a

7. Na figura as retas r e s passam pela origem O(0,0). Qual ovalor de cos(α+γ) - senβ?

gb

a

x

y

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8. No triângulo ABC retângulo em A, a hipotenusa mede 6cm,cos B = 3/5 e cos C = 4/5. Determine as medidas dos lados b e c.

c

bA

B

C

6

9. Um disco voador foi visto na vertical sobre o centro da cidadede Garça(SP). No mesmo instante, o objeto foi visto da cidade deGália (SP), a 12 Km de Garça, sob um ângulo de 37º. A que alturado solo, aproximadamente, estava o disco voador? São dados sen37º = 0,6 e cos 37º = 0,8.

Galia12KmGarça

37º

10. A média aritmética de tg 30º e tg 60º é menor ou maior quetg 45º?

11. Determine o valor da expressão

2 2 2

tg45º cos45º sen30º cos60º

cos 30º cos 60º cos 45º

⋅ − ⋅

+ +

12. Qual a medida do ângulo α assinalado na figura?

( 0,3 )

(3 ,0)3

a

13. Na figura o segmento BC mede 5cm, obtenha a medida dosegmento AD.

A

45º 60ºD C B

14. De acordo com as indicações que estão na figura ao lado,obtenha o valor de y.

A B

C

M

y

30º 1

3

15. No triângulo retângulo ABC da figura, BC mede 52m, M éponto médio de AC e a medida de B é 30º. Calcule a área doretângulo destacado.

C

BA

M

16. No triângulo ABC da figura, os segmentos AD e AB sãocongruentes e têm medida igual a 6cm. Calcule:a) a área do trapézio ABED.b) A área do triângulo ABC.

C

D E

BA30º

17. De acordo com a figura, responda:a) Qual o valor de tg α?b) O triângulo ABC é equilátero?c) Qual o valor de senα - cosα?

a

-2

-2 2

1

2

1

-1

18. Para medir a largura AC de um rio, um técnico usou oseguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver amargem na margem oposta do rio o coqueiro C, de forma que oângulo ABC fosse de 60º, determinou o ponto D noprolongamento de CA de forma que o ângulo CBD fosse de 90º.Medindo AD obteve 40m e pôde achar a largura do rio. Determineessa largura. (Admita AB e DC perpendiculares)

D

C

B A

Page 18: Plana 8. 1. - Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos · PDF fileUm observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º com o

18

19. Calcule x indicado na figura abaixo.

100m

60º30º

x

20. (UFF) Considerando que as semi-retas r e s da figura sãoperpendiculares, qual o valor da expressão

( )( )

( )( )

+ ++

+ +

sen a c sen b c

cos b d cos a d

d

c b

a

s

r

21. Um avião está voando em reta horizontal à altura 1 emrelação a um observador O, situado na projeção horizontal datrajetória. No instante to, é visto sob ângulo α de 30° e, noinstante t1, sob ângulo β de 60°.

O?

αααα

ββββ

1

A distância percorrida entre os instantes to e t1 é

a) 3

3c)

3

32

b) 13 − d) 2

13 −

22. (UERJ 01/2q) Em um parque de diversões há um brinquedoque tem como modelo um avião. Esse brinquedo está ligado, porum braço AC, a um eixo central giratório CD, como ilustra a figuraabaixo:

Enquanto o eixo gira com uma velocidade angular de móduloconstante, o piloto dispõe de um comando que pode expandir oucontrair o cilindro hidráulico BD, fazendo o ângulo θ variar, paraque o avião suba ou desça.

A medida do raio r da trajetória descrita pelo ponto A, em funçãodo ângulo θ, equivale a:(A) 6 sen θ(B) 4 sen θ(C) 3 sen θ(D) 2 sen θ

23. (UFRJ 03) Determine, em função de θ, o perímetro dafigura ABD, obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o setorcircular BCD (de centro em C, raio 1 e ângulo θ).