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u(V)

t1

u(t1)

t(s)

iC(A)

t(s)

Physique PCSI DM5

I- Etude d’un flash d’appareil photographique (D’après Mines Sup 2009)

Le fonctionnement d’un flash électronique

repose sur la génération d’un éclair dans un tube

à décharge. Il s’agit d’un tube de quartz dans

lequel on a placé un gaz raréfié, le xénon, entre

deux électrodes E1 et E2. Ces deux électrodes

sont reliées à un condensateur de capacité C

chargé sous quelques centaines de volts.

Le gaz du tube à décharge n’est a priori pas conducteur.

Cependant, lorsqu’une très haute tension est appliquée entre deux de ses électrodes,

l’ionisation des atomes de xénon qui en résulte abaisse la résistance du tube qui devient

alors équivalent à un conducteur de résistance RT dans lequel le condensateur C peut se décharger.

On utilise le circuit équivalent de la figure ci-dessus pour expliquer la formation d’un éclair dans le tube.

Pout t < 0, K était ouvert (depuis assez longtemps pour qu’un régime permanent soit établi à t = 0-) et à t = 0 on ferme K.

1°) Donner l’expression de la tension u immédiatement après la fermeture de K. On notera (u)t = 0+ cette grandeur.

2°) On veut déterminer l’équation différentielle vérifiée par u pour t > 0

a) Simplifier le circuit grâce à un modèle équivalent de Thévenin.

On donnera E0 en fonction de E, R et RT et R0 en fonction de R et RT.

b) En déduire l’équation différentielle vérifié par u pout t > 0.

Présentation : on mettra un facteur 1 devant le terme dt

du, on utilisera exclusivement les notations de l’énoncé

(interviendront donc dans l’équation différentielle uniquement les termes dt

du, u, R, RT, E et C).

3°) Résoudre cette équation différentielle et donner ainsi l’expression littérale de u : on donnera ici la tension u

exclusivement en fonction de t, E, C, R et RT.

4°) Donner l’expression littérale de iC(t) (en fonction de E, RT, R, C et t).

5°) On donne ci-dessous et ci-contre les graphes u(t) et iC(t), en déduire les valeurs numériques de E, RT et R.

6°) Sur le graphe ci-dessus on peut lire que u (t1) ≈ 125 V pour t1 = 0,20 ms, on veut en déduire la valeur

numérique de C.

a) Donner l’expression littérale de C (simplifiée au maximum) en fonction de R, RT, t1, E et u (t1).

b) Faire l’application numérique et donner ainsi la valeur de C.

c) Maintenant que les valeurs de E, R, RT et C sont connues donner l’expression numérique de u(t).

7°) Donner l’expression littérale de l’énergie ε fournie par le condensateur durant sa décharge partielle. On

exprimera ε en fonction de E, R, RT et C.

R

RT

C

K

E u i

Tube à décharge

contenant du Xénon

iC

R0

C E0 u

iC

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8°) Donner la valeur numérique de ε.

9°) Tracer la trajectoire de phase dt

du en fonction de u(t).

II- Diode Zener

On travaille sur le circuit ci-contre

(circuit α) comportant une diode Zener

Cette diode est un composant non linéaire

dont la caractéristique I(U) est donnée

ci-dessous et plus précisément en annexe

(annexe qui devra être complétée pour trouver

le point de fonctionnement du circuit).

On veut déterminer U et I dans le circuit α.

Pour cela, on va tout d’abord chercher le modèle

équivalent de Thévenin du circuit β.

1°) Par utilisation d’équivalences Thévenin

Norton successives donner le Modèle équivalent

de Thévenin (MET) entre les points A et B du

circuit β.

On dessinera sur la copie les circuits correspondants

aux différentes étapes de la méthode.

Au final on donnera l’expression littérale de E0

(force électromotrice de Thévenin) en fonction de

E, η et R ainsi que R0 (résistance de Thévenin) en fonction de R.

2°) Applications numériques R = 12 Ω, E = 24 V et η = 5,0 A

Déterminer les valeurs numériques de E0, R0 et η0.

3°) Sur l’annexe (à rendre avec la copie) faire apparaître le point de fonctionnement du circuit α et en déduire les

valeurs de U et I. On détaillera la démarche.

4°) On note pzener la puissance reçue par la diode Zener. Sachant que cette diode dissipe une puissance maximale

de 2,0 Watt, est-elle détruite dans ce circuit ?

5°) Donner l’énergie consommée par la diode en 2,0 jours de fonctionnement.

III- Circuit du second ordre (D’après Oral CCP 2007)

On travaille sur le circuit ci-contre.

Le condensateur est initialement déchargé,

à t = 0 (instant initial), on ferme l’interrupteur K.

1°) Donner l’équation différentielle vérifiée par

la tension u pour t > 0.

Présentation : on mettra un facteur 1 devant ²dt

u²d

2°) On veut mettre cette équation différentielle sous la forme canonique :

D

η R

R

R R

2R

E

A

B

Circuit β

R0

E0

A

B Modèle équivalent de Thévenin

I

U

I

U

Caractéristique de la

diode Zener

dio

de p

assa

nte

en d

irect

diode bloquée

dio

de

pa

ssa

nte

en i

nve

rse

D

η R

R

R R

2R

E

A

B

Circuit α

U I

C

R

E R

K

u

L

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=ω+ωξ+ u².dt

du...2

²dt

u²d00 « second membre » où ω0 est la pulsation propre de ce circuit et ξ est son facteur

d’amortissement.

Donner les expressions littérales de ξ, ω0 et « second membre » en fonction des constantes du problème (c'est-à-

dire en fonction de grandeurs parmi les suivantes R, L, C et E).

3°) On travaille à présent avec la forme canonique pour déterminer l’expression mathématique de u(t).

Sachant que ξ =2

3 déterminer l’expression littérale générale de u(t) (définie à deux constantes près que nous

noteront A et B). u sera donc donné ici en fonction de ω0, t, E et des constantes A et B.

4°) Déterminer les conditions initiales du problème (on justifiera les réponses) : ( ) +=0tu et +=

0tdt

du.

5°) En déduire les expressions littérales des constantes A et B et en déterminer ainsi l’expression complète de u(t).

On donnera ici u exclusivement en fonction de E, t et ω0.

6°) Donner l’expression littérale en fonction de ω0 uniquement des deux durées caractéristique τr (temps de

relaxation) et T (pseudo période) associées à la tension u(t).

7°) En déduire le nombre N de pseudo-périodes observables.

8°) Esquisser la courbe u(t).

9°) On donne quelques valeurs de u en fonction du temps dans le tableau ci-dessous, en déduire les valeurs

numériques de ω0 et E :

t (ms) 0,2 0,30 0,40 0,50 0,60 0,61 0,63 0,65 0,70 1,00 1,50 2,00 3,00

u (V) 3,2328 4,3308 4,8186 4,9845 5,0206 5,0212 5,0217 5,0212 5,0180 5,00119 4,99998 5,00000 5,00000

10°) Sachant qu’au final (t →+∞) l’énergie stockée dans le condensateur est de ε = 12,5.10-6J = 12,5 µJ

Donner les valeurs numériques de C et L.

11°) On veut à présent la valeur numérique de R. Montrer que R vérifie une équation polynomiale du second ordre

que l’on écrira sous la forme :

R² + α.R + β = 0 où α et β sont des réels dont on donnera la valeur numérique approchée.

12°) Donner en valeurs approchées les deux solutions de cette équation et en déduire ainsi les deux valeurs de R

possibles.

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Annexe

U (V)

Caractéristique d’une diode Zener Echelles : Abscisses : 1cm = 0,5V Ordonnées : 1 cm =0,2 A

O

I (A)

U I

+1 - 1

-0,2

+0,2