Physik IV: AtomphysikSommersemester 2005

Hörsaal 2, INF 308Di, Do 9h15 – 11h

Dirk Dubbers, Physikalisches Institutdubbers@physi.uni-heidelberg.de

1.1Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.2Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1. Einleitung

1.1 Inhalt 1.2 Atome1.3 Wdh.: Bohrs Atommodell 1.4 Wdh.: Quantenmechanik

1.3Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.1 Inhalt

Umweltphysik: 5 Doppelstunden, W. Aeschbach-HertigAtomphysik: 16 Doppelstunden, D. Dubbers1. Einleitung2. H-Atom Grundlagen3. H-Atom Einzelheiten4. Wechselwirkung Atom-Licht5. 1 und 2-Elektron Atome6. Viel-Elektronen Atome7. Laser und Spektroskopie8. Kalte Atome9. Moleküle10. Chemische Bindung

Literatur

Empfehlungen:Demtröder Experimentalphysik III: AtomphysikMayer-Kuckuck Atomphysik

In english:Beiser Concepts of Modern Physics, chapters 4, 6, 7, 8Ohanian Modern Physics, chapters 4, 6, 7Pfeffer and Nir Modern Physics, chapters 3, 4.2

Zur Ergänzung:Haken und Wolf Atom- und QuantenphysikAlonso und Finn Physik III: Quantenphysik und statistische Physik

Fortgeschritten:Brandsen und Joachain Physics of atoms and molecules

1.4Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.5Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.2 Atome

Existenz der Atome

"4 Elemente": Erde Wasser Luft Feuer= 4 Aggregatzustände: fest flüssig Gas Plasma

Gesetz der konstanten Proportionen:100g Wasser = 11.1g Wasserstoff + 88.9g Sauerstoff: 1 : 82m3 Wasserdampf = 2m3 Wasserstoff + 1m3 Sauerstoff: 2 : 1

100g Kupferoxid = 79.9g Kupfer + 20.1g Sauerstoff: 1 : 4

Manganoxid = 100g Mangan + 29.1g Sauerstoff ≡ 2 Teile+ 43.7g Sauerstoff = 3 Teile+ 58.4g Sauerstoff = 4 Teile ,

…

1.6Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Atom-Spektren

Prismen-Spektralapparat

Wasserstoff Gasentladung Spektral-Apparat Wasserstoff-Spektrum

1.7Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Gitter-Spektralapparat

Balmerserie im

Wasserstoff-Spektrum

1.8Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Absorptions-Spektrum der Sonne

1.9Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Balmer-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

1311

nRH

Pλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

1211

nRHλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2

111n

RHLλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

1411

nRH

Bλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

111mn

RHLλ

Balmer und Rydberg fandeneine Formel für die 'Wellenzahlen' 1/λdes Wasserstoffspektrums:

Später fanden

Lyman, Paschen, Brackett

weitere Linien bei:

Allgemeine Formel für Wasserstoff-Spektrum:n, m = 1, 2, 3, …

Diverse Spektren

1.10Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.11Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.3 Wdh.: Bohrs AtommodellBohrs Annahmen:

1. Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern2. Der Bahndrehimpuls der Elektronenkreisbahn ist gequantelt:

L = mυr = nħ, n = 1,2,3,...Dies ist identisch mit der Forderung, dass der Bahnumfang 2πr ein n−faches der deBroglie Wellenlänge λ = h/mυ ist:

nλ = 2πr,

dh. dass das Elektron auf seiner Bahn eine stehende Welle bildet.3. Beim Übergang von der n. Bahn zur m. Bahn wird Strahlung der

Frequenz ν emittiert/absorbiert mithν = Em − En

hν

1.12Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Bohr-Radius

+e

r

F-e

me

v

Auf Elektron wirkt:Zentripetalkraft = Coulombkraft:

Einsetzen der Geschwindigkeit (aus Quantisierung des Bahn-Drehimpulses) υ = nħ/mr.

ergibt den Bohrradius für die erste Bahn (n=1, Z=1)r1 ≡ a0 = 4πε0ħ2/me2 = 0.053 nm

Allgemein für n. Bohrradius, Kernladung Z:rn = a0n2/Z

N.B.: statt Elektronenmasse m: reduzierte Masse µ = mM/(M+m) = m 1836/1837

n=3

n=2

n=1

rn

2

2

0

2

41

rZe

rm

πευ =

1.13Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Energie-Niveaus

Dadurch Quantisierung der EnergieEkin= ½mυ2 = Ze2/8πε0rn= −½Epot= Coulomb-PotenzialEn= Ekin+ Epot= ½Epot= −Ze2/8πε0rn

mit rn= a0n2/Z: Energie des n. Niveaus istEn= −RH Z2/n2

mit Rydberg Konstante (M→∞)RH= e2/8πε0a0 = 13.6 eVd.h. Bindungsenergie H-Atom: E1= − RH

damit Balmerformeln für Übergang En→ Em:En − Em = hν = RH Z2 (1/m2 − 1/n2)

En

Schreibweise: Wenn ohne Leerzeichen:1/abc=1/(abc), √abc=√(abc), etc.

Ekin

rn

En

1.14Physik IV SS 2005 1. Einleitung

typische 'halbklassische' Größen

1. Bohr-Radius a0 ~ ½Å für 1. Bohrsche Bahn Z=1, n=1

wegen Bahndrehimpuls ℓ = mυr = nħ ist:

2. Bahngeschwindigkeit υ = nħ/mr = (e2/4πε0ħc) (cZ/n) = αZ/nmit Feinstruktur-Konstante α= e2/4πε0ħc ≈1/137, s. Kapitel 3.3

Beispiele: Z=1, n=1 υ0/c = α, dh. υ0 ~ 1% der Lichtgeschwindigkeit cZ=80, n=1 υ/c ~ 1

3. Umlaufzeit t0 = a0/υ0 = 2.4·10−17 s

4. Umlauf-Frequenz ω0 = υ0/2πa0 = 6.6·1015 s−1

5. Bindungsenergie RH=½α2 mec2 = 13.6 eV mit mec2 = 511keV

1.15Physik IV SS 2005 1. Einleitung

1.4 Wdh.: Quantenmechanik Lichtwellen (Maxwell, Hertz)elektrisches Feld E:Wellengleichung ∑2E/∑x2 − 1/c2 ∑2E/∑t2 = 0z.B. fortlaufende Welle E = E0 exp(i( k◊x−ωt))Lichtgeschwindigkeit c = ω/k = (e0m0)−½

Betrag Wellenvektor k = 2π/lWellenlänge l

Materiewellen (deBroglie)Wellenfunktion Ψ, z.B. Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt))Impuls p = ħkEnergie Ekin = p2/2m = ħ2k2/2mGesamtenergie E = ħωWellenlänge l = h/p = h/mυ"Dispersion" υ = υ(λ), dh. n = n(λ)

1.16Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Schrödinger-Gleichung

Materiewellen werden durch die Schrödingergleichung beschrieben(nicht relativistisch)

Beispiel laufende Welle Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt)):Es ist: iħ ∑Ψ/∑t = ħω Ψ = EΨ

−iħ ∑Ψ/∑x = ħkxΨ = pxΨdh. entspricht Energieerhaltung

EΨ = (p2/2m + V)Ψ|Ψ(x,t)|2 gibt Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden

Ψ)t,x(VxΨ

mtΨi +

∂∂−=

∂∂

2

22

2h

h

1.17Physik IV SS 2005 1. Einleitung

zeitunabhängige Schrödingergleichung

Potenzial zeitlich konstant V = V(x), "stationäres" Problem:

Produkt-Ansatz stehende Welle Ψ(x,t) = ψ(x) e−iωt,mit: iħ ∂Ψ/∂t = ħω Ψ = EΨ,

d.h. zeitunabhängige Schrödingergleichung für ψ(x), nachdem e−iωt rausgekürzt

andere Schreibweise: ∂2ψ/∂x2 + k2ψ = 0

mit Wellenvektor k(x) = [2m(E−V(x))]½

d.h. Ekin = ħ2k2/2m = E−V

ψψψ EtxVxm

=+∂∂− ),(

2 2

22h

1.18Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Gebundene ZuständeBeispiel : harmonischer Oszillator

En = (n+½)ħω, Hauptquantenzahl n = 0, 1, 2, …

Korrespondenz-prinzip →

1.19Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Energie-Zustände in Potenzialen

V(r) →∞ für r > a V(r) ~ r2 V(r) ~ 1/r

V(r) ~ 1/r

Beispiele: Nukleonen im Kern Atome im Molekül/Festkörper Elektronen im Atom

1.20Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Wellenpakete

2. Satz von Fourier: zeitliches Wellenpaket:ψ(t) = (2π)−½ Ûa(ω) e−iωt dω

hat Frequenzspektrum a(ω) = (2π)−½ Ûψ(t) eiωt dt

ebenso: räumliches Wellenpaket:ψ(x) = (2π)−½ Ûa(k) e−ikx dk

hat Wellenzahlspektrum a(k) = (2π)−½ Ûψ(x) eikx dx

Da Schrödingergleichung linear, ist mit der Welle exp[i(kx−ωt)] auch jede Überlagerung von Wellen zu einem Wellenpaket eine Lösung.

1.21Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Unschärferelationdie Unschärferelation:

∆k ∆x ≥ 1 Wellenzahl und Position∆ω ∆t ≥ 1 Frequenz und Zeit

ist eine aus der Elektrotechnik wohlbekannte Eigenschaft der Fouriertrafo:kurzes Wellenpaket hat breites Frequenzspektrumlanges Wellenpaket hat schmales Frequenzspektrum

Unschärferelation der Quantenmechanik: mit E = ħω, p = ħk

∆p ∆x ≥ ħ Impuls und Position∆E ∆t ≥ ħ Energie und Zeit∆N ∆φ ≥ 2π Teilchenzahl und Phase

1.22Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Berechnung des SchwankungsquadratsKlassisches (nicht qu.-mech.) Beispiel:Maxwell Geschwindigkeitsverteilung f(υ):mittlere Geschwindigkeit ‚υÚ = Ûυ f(υ) dυmittlere quadratische Geschwindigkeit ‚υ2Ú = Ûυ2 f(υ) dυmittlere quadratische Abweichung ∆υ2 = ‚(υ − ‚υÚ)2Ú = ‚υ2 − 2υ‚υÚ + ‚υÚ2Ú

= ‚υ2Ú − ‚υÚ2

entsprechend ist in der Quantenmechanik, mit Wahrscheinlichkeitsverteilung |ψ(x)|2:

‚xÚ = Ûx |ψ(x)|2 dx (= Ûψ*(x) x ψ(x) dx )‚x2Ú = Ûx2 |ψ(x)|2 dx (= Ûψ*(x) x2 ψ(x) dx )‚pÚ = iħÛψ*(x) (∂ψ(x)/∂x) dx (= Ûψ*(x) ∂/∂x ψ(x) dx )

und ∆x, ∆p in Unschärferelation ist def. als: (∆x)2 = ‚x2Ú - ‚xÚ2(∆p)2 = ‚p2Ú - ‚pÚ2

f(υ)

υ

1.23Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Interferenz

wenn wir wissen, wo Teilchen langgeht:

keine Interferenz: Intensität I = |ψ|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 = I1 + I2

wenn wir nicht wissen, wo Teilchen langgeht:

Interferenz: I = |ψ|2 = |ψ1 + ψ2|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + |ψ1||ψ2| cos(∆φ)

1.24Physik IV SS 2005 1. Einleitung

Naturkonstanten1. Lichtgeschwindigkeit c = 3.0 108 m/s2. Planck Wirkungsqu. h = 4.1 ÿ10−15 eV·s hc = 1240 eV·nm, ħc=hc/2π3. Elementarladung e = 1.60ÿ10−19 C FSK α=e2/4πe0ħc = 1/137.04. Elektronmasse mec2 = 511 keV mp = 1836 me ~ 1 GeV5. Bohr Magneton µB = 0.58ÿ10−4 eV/T µN = µB/18366. Boltzmann Konstante k = 0.86ÿ10−4 eV/K, T = 300 K: kT = 25 meV7. Avogadrozahl NA = 6.0ÿ1023/mol

Beispiele:für 2.: Licht mit hν=1eV: λ = hc/hν = 1240eV nm/1eV = 1.24 µm3.: zwei Ladungen im Abstand r=1nm: Epot=e2/4πe0r=α ħc/r=1240eV/2π/137=1.44eV3.: Bohr's Radius a0=4πe0ħ2/me2·c2/c2= ħc/αmc2=1240eVnm137/2π/511keV=0.05nm4.: Elektron mit Ekin=1keV: υ/c = (mυ2/mc2)½ = 2½·1keV/512keV ~ 6% (für υ<<c)5.+ 6.: Elektron (g=2): Polarisation ≈ gµBB/2kT =7% bei B=1T, T=10K3.+ 7.: 1 eV/Teilchen · 6·1023 Teilchen/Mol · 1.60ÿ10−19J/eV = 96 kJ/mol

1.25Physik IV SS 2005 1. Einleitung