Ο χρυσός αριθμός φ

Ο αγαπημένος αριθμός του σύμπαντος

ΡΙΓΑΝΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ

2

Ποιος είναι ο αριθμός φ και ποιο το χαρακτηριστικό του;

• Ο αριθμός φ=1.618033988749… είναι ο λεγόμενος «χρυσός αριθμός» .

• Το ασύλληπτο χαρακτηριστικό του είναι ο ρόλος του ως θεμελιώδους δομικού στοιχείου στη φύση. Τα πάντα διέπονται από αναλογίες που συντείνουν με τρομακτική ακρίβεια προς το φ.

Το Σύμπαν λοιπόν τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία γι΄ αυτό τον αριθμό με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία…

3

Πώς προκύπτει ο αριθμός φ;

• Η ακολουθία 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610… είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonachi και έχει το εξής χαρακτηριστικό:

Το άθροισμα δυο διαδοχικών αριθμών μας δίνει τον επόμενο, αλλά και τα πηλίκα των γειτονικών αριθμών προσεγγίζουν το φ με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε στους μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας.

• Αλλιώς, ο χρυσός αριθμός υπολογίζεται ως φ=1 5

2

+

)n R∈(Λύση της εξίσωσης 1( ) n nf x x x += + , όπου

4

Η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες…

Β Γ

Τα χρυσά ορθογώνια σχηματίζουν μια καμπύλη που υπάρχει παντού στη φύση.

Α

Ο αριθμός φ αντλεί τον ορισμό του από τη λεγόμενη «χρυσή τομή». Χρυσή τομή είναι το σημείο εκείνο (Γ), τέτοιο ώστε : ( ) ( )

1.618...( ) ( )

ΑΒ ΑΓ= =ΑΓ ΒΓ

(χρυσή αναλογία)

5

Με τον ίδιο τρόπο, το ορθογώνιο του σχήματος καλείται «χρυσό» και έχει μια υπέροχη ιδιότητα:

Αν αφαιρέσουμε από τη μια πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο απομένει ένα καινούριο ορθογώνιο που είναι επίσης χρυσό, κοκ… Ενώνοντας με μια καμπύλη τις κορυφές των ορθογωνίων σχηματίζεται έλικα!

Αυτή ακριβώς η έλικα υπάρχει παντού στη φύση! Για παράδειγμα:• στο κέλυφος των σαλιγκαριών• στο όστρακο των ναυτίλων •στην ιδιόμορφη ελικοειδή διάταξη που σχηματίζεται από τους σπόρους των ηλίανθων

6

Η θεία αναλογία στη φύση…

•Στα φυτά Στην περίπτωση του τριαντάφυλλου τα

πέταλα απέχουν περίπου 222.5 μοίρες. Διαιρώντας τις 360 μοίρες με τις 222.5 προκύπτει ο αριθμός φ!

• Στον άνθρωπο Διαιρώντας το ύψος μας με την απόσταση

από τον αφαλό μας έως το πάτωμα προκύπτει ο αριθμός φ, όπως και αν διαιρέσουμε το μήκος του προσώπου μας με την απόσταση μεταξύ των ματιών και του πηγουνιού.

7

Η θεία αναλογία στη φύση…

• Στο DNA Για κάθε πλήρη κύκλο της διπλής έλικας

του DNA, το μήκος της έλικας (34 argstroms) προς το πλάτος (21 argstroms) μας δίνει τον αριθμό φ.

Και πολλά άλλα εντυπωσιακά παραδείγματα…

8

• Νέα συμπεράσματα αποκαλύπτουν ότι το σχήμα του σύμπαντος είναι ένα δωδεκάεδρο με πλευρές σε σχήμα πενταγώνου, όλες βασισμένες στη χρυσή αναλογία.

• Ακόμη και οι σχετικές αποστάσεις των 10 πλανητών και των μεγαλύτερων αστεροειδών προσεγγίζουν το φ!

Το 1.618 στο… Σύμπαν!

9

Το 1.618 στο… Σύμπαν!

• Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις μαύρες τρύπες της θεωρίας της σχετικότητας. Οι μαύρες τρύπες εναλλάσσονται μεταξύ δύο καταστάσεων.

• Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται μια μαύρη τρύπα κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την ταχύτητα περιστροφής. Στην εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας αυτής περιέχεται και κάποια σταθερά, ο αριθμός του Σύμπαντος φ!

10

Γεωμετρικές παρατηρήσεις του φ στον Άρη

Το 1976 το Viking 1 φθάνει στον ‘κόκκινο’ πλανήτη. Στέλνει φωτογραφίες απ΄ την περιοχή

Κυδωνία. Παρατηρούμε τα χρυσά ορθογώνια να

επαναλαμβάνονται στην επιφάνεια. Το αξιοσημείωτο είναι το πρόσωπο στο πάνω-δεξιό ορθο-

γώνιο και τηρεί την απόλυτη αναλογία του φ.

11

Άλλες εφαρμογές του φ…• Στην αρχιτεκτονική Με σκοπό την ομορφιά και την

ισορροπία των σχεδίων, οι Έλληνες στηρίχθηκαν στη θεία αναλογία για την κατασκευή του Παρθενώνα.

• Στην τέχνη Με τον ίδιο σκοπό, η θεία αναλογία

χρησιμοποιήθηκε εκτενώς απ ΄τον Leonardo Da Vinci στα σχέδια του.

12

Βιβλιογραφία

Περιοδικό Science illustrated (τεύχος 1-Απρίλιος 2005)

Κώδικας Da Vinci (Dan Brown) http://goldennumber.net http://www.aadm.com/cydonia/Cydonia.htm http://images.google.com.gr