ndaaaaah.blogspot.com

MateriLINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

CONTOH

A. Persamaan Lingkaran1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0)

dan Berjari-jari r .

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, makaOP =√OP’)2+(PP’)2Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = yr = √x2+y2r2 = x2 + y2x2 + y2 = r2

Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r.

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :AP = √(AP’)2 + (PP’)2r2 = √(x – a)2 + (y – b)2r2 = (x – a)2 + (y – b)2(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :(x – a)2 + (y – b)2 = r2 Back

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk baku persamaan lingkaran :● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :L ≡ x2+y2 = r2● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalahL ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)atauAx2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0

Back

2. Menentukan Pusat dan Jari-jari LingkaranCara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalahL ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C4 4 4 4L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C4 4 4 4

Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :● Pusat lingkaran di (-A)B● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C4 4

Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalahr = √(-3)2 + 52 = √34r2 = 34Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2x2 + y2 = 34Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalahL ≡ x2 + y2 = 34

Contoh :

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25Persamaan lingkarannya :(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0Penyelesaian :L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Thank You

ndaaaaah.blogspot.com