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per Scienze Geologiche

prof. Maurizio Spuriomaurizio.spurio@unibo.it

Parte

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And God Said

and there was light

19. Le equazioni di Maxwell

3

1- Legge di Gauss: le cariche elettriche originano campi elettrici. Linee di forza aperte.

0εq

adE∫ =⋅ rr

2- Non esistono cariche magnetiche isolate. Linee di forza di B sono chiuse

dt

dsdE BΦ−=⋅∫rr

0∫ =⋅ adBrr

+=⋅∫ isdB 0µrr

3- Legge di Faraday: un campo magnetico variabile genera un campo elettrico.

4- Legge di Ampere: le correnti elettriche originano campi magnetici + termine di Maxwell: un campo elettrico variabile genera un campo magnetico.

dt

d EΦ00εµ

All’incirca all’epoca dell’unità d’Italia, le equazioni fondamentali dei processi elettrici e magnetici erano note: mancava un solo termine, aggiunto “per via teorica” da J.C Maxwell. Egli pubblicò l’insieme delle equazioni (1864) che riassumono l’elettromagnetismo e….

4

Il termine di Maxwell

S1 superficie sulla 0isdB µ=⋅∫rr

La legge di Ampere e’ valida solo per correnti stazionarie. Infatti, considerando un circuito con un condensatore, si avrebbe la seguente assurda situazione:

Maxwell realizzò che occorreva inserire un nuovo termine nella legge di Ampere, perché vi fosse compatibilità tra le due situazioni.

S2 superficie sulla0=⋅∫ sdBrr

5

dt

d EΦ= 00Maxwell di Termine εµ

Con l’aggiunta di tale termine, il flusso del campo E all’interno del condensatore:

idt

tdq

dt

d

tqA

A

tqadtE

A

tqtE

E

S

E

00

0020

1)(1

)()()(

)()(

εε

εεε

==Φ

==⋅=Φ= ∫rr

iisdB 00

00 )1

( µε

εµ ==⋅∫rr

Quindi, il nuovo termine permette che il calcolo della circuitazione del campo magnetico abbia lo stesso valore, indipendentemente dalla superficie che viene utilizzata. (Talvolta, il termine di M. viene chiamato corrente di spostamento).

Il termine di Maxwell

6

Oscillazioni elettromagnetiche

Un semplice circuito con capacità e induttanza mostra una interessante proprietà. Supponiamo che inizialmente vi sia una carica qo sul C.Dalla legge alle maglie:

dt

tdqti

dt

tdiL

C

tq )()(;0

)()( ==+

LC

tqti

1

)sin()( 0

=

−=

ϖ

ϖϖLa soluzione:

Come si vede dalla figura, l’energia del sistema oscilla tra energia nel condensatore (= E) ed energia nell’induttore (= B). Il passaggio avviene ciclicamente con periodo:

LCT πϖπ

22 ==

(Matematicamente, il problema e’ identico a quello del sistema con molla (forza elastica) affrontato nel cap. 5.3)

7

Oscillazioni forzate

0)()( =++ Ri

dt

tdiL

C

tq

Nel caso reale, nel circuito e’ presente una certa resistenza: la resistenza dissipa energia smorzando le oscillazioni:

0)(

2

2

=++C

tq

dt

dqR

dt

qdL

La soluzione di questa equazione differenziale e’ (con qo=carica iniziale sul C): (provate a verificare per sostituzione!)

teqtqt

L

R

ϖcos)()( 20

−=

tq(t)

La fem mantiene le oscillazioni periodiche nel circuito, mentre dalla resistenza viene dissipata energia. La cosa interessante, e’ che attraverso un’antenna possono essere emesse onde elettromagnetiche!

Perché il circuito non si smorzi, occorre rifornire di nuovo l’energia dissipata dalla resistenza R, inserendo una femalternata nel circuito.

8

L’arcobaleno di Maxwell

A coronamento della sua opera, Maxwell non solo raggruppo in un set di equazioni tutti i fenomeni elettromagnetici, ma predisse nuovi fenomeni. Il più strabiliante dei quali e’ l’osservazione che la luce non e’ che un fenomeno elettromagnetico. Radiazione EM può essere emessa utilizzando opportunamente circuiti elettrici; la radiazione emessa si muove alla velocità della luce. Le onde radio vennero predette e effettivamente scoperte da H. Hetz (~1880). Stessa tecnologia oggi usata per trasmissioni radio, TV e telefono

9

20. Le onde

10

Proprietà generali delle onde

• Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia, ma non materia.• Le onde meccaniche implicano la perturbazione di un mezzo meccanico (ad es. l’aria per le onde sonore, la terra per i terremoti, l’acqua per le onde…).

• Una perturbazione ondosa può propagarsi in modo parallelo o perpendicolare alla direzione di propaga-zione dell’onda stessa• Nel primo caso, si chiamano onde longitudinali

Esempio di produzione di onde longitudinali

11

Proprietà generali delle onde

• Nei casi generali, sono presenti in una perturbazione sia onde longitudinali che trasversali (es. nei terremoti).• In generale, un’onda è escritta da una funzione che dipende dallo spazio e dal tempo, oltre che da alcuni parametri

Esempio di produzione di onde trasversali

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Ampiezza e lunghezza dell’onda

• Un’onda sposta un mezzo dal suo stato di equilibrio. Lo spostamento massimo rispetto alla posizione di equilibrio è l’ampiezza dell’onda.•La perturbazione che si sposta (verso destra) solleva e abbassa la barca, ma non la spostaLa lunghezza d’onda (λ) è la distanza tra due

massimi (o minimi) consecutivi, ad un certo istante di tempo t. • La lunghezza d’onda la le dimensioni di una lunghezza e, ovviamente, si misura in metri.•Talvolta si definisce il numero d’onda come:

)(m 2 1-

λπ=k

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Frequenza e periodo dell’onda

• In un’onda continua, ogni punto del mezzo si muove di moto oscillatorio • Il periodo T dell’onda è il tempo necessario perché in un dato punto dello spazio si ripresenti la stessa configurazione

)(s 1 1-

T=ν

• Il periodo ha le dimensioni di un tempo e si misura in secondi.• Il reciproco del periodo T si chiama frequenza:

• La frequenza rappresenta quante volte un’onda si ripete in 1 secondo.• Si chiama invece pulsazione (o velocità angolare):

)s(radianti/ 2

T

πω =

14

Velocità dell’onda

• Durante un periodo T, un osservatore in una posizione fissa vede passare davanti a se una intera lunghezza d’onda. • Poiché quindi l’onda percorre uno spazio pari alla lunghezza d’onda λ in un periodo T, la sua velocità di propagazione è:

)(ms 1-λνλ ==T

v

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La matematica della propagazione

)(xfy =

• L’impulso evidenziato (“foto” ad un istante fissato) è descritto da una funzione che descrive lo spostamento y del mezzo perturbato in termini di x

• L’impulso si propaga con una velocità v. Dopo un tempo pari ad un periodo T, il valore dello spostamento y riassume lo stesso valore, ossia:

)( vtxfy ±=• Un caso semplice ed importante è quello di una funzione armonica semplice (= onda descritta dalla funzione seno o coseno). A t=0:

0 tistanteall' )2

sin( == xyy o λπ

• Se vogliamo estendere la validità ad ogni istante di tempo:

)sin( )22

sin( tkxytT

xyy oo ωπλπ ±=±=

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La teoria dell’EM di Maxwell predice l’esistenza di un fenomeno fisico che permette il trasporto di energia con una velocità ben definita e costante, che coincide con la velocità della luce. Non occorre un mezzo per propagare le onde EM. Quindi: la luce altro non è che un fenomeno elettromagnetico. Le proprietà delle onde EM sono: (NB: sono facilmente dimostrabili matematicamente, ma questa è omessa e lasciata facoltativa agli studenti interessati)

1. Una onda elettromagnetica è composta da un campo E e B .2. I campi E e B sono tra di loro ortogonali;3. I campi E e B sono sempre perpendicolari alla direzione di avanzamento dell’onda stessa; per questo motivo, la direzione diavanzamento dell’onda è definito dal vettore E×××× B .4. Le intensità dei campi E e B variano sempre come la funzione “seno”, e la loro variazione avviene sempre alla stessa frequenza e in fase

Proprietà delle onde EM

)sin(

)sin(

tkxBB

tkxEE

m

m

ϖϖ

−=

−=rr

rr

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5. Tutte le onde EM nel vuoto, luce compresa, hanno la stessa velocità:

6. Le onde hanno una data frequenza ν e lunghezza d’onda λ, ma il prodotto λν e’ sempre uguale a c7. Il rapporto tra le ampiezze è tale che: E = Bc

s

mc 8

12700

10997.21085.8104

11 ⋅=⋅×⋅

==−−πεµ

18

8. L’onda trasporta energia. La quantità di energia trasportata nell’unità di tempo per unità di area da un’onda è descritta dal vettore di Poynting

Quindi, il flusso di energia per secondo dipende dal quadrato del campo elettrico. Poiché questo varia rapidamente nel tempo, la maggior parte degli strumenti (tra cui i nostri occhi) misurano il valor medio di S. Tale valor medio è chiamato intensità:

BESrrr

×=0

1

µ[ ]2

0

2

0

)(11

tkxsenEc

Ec

S m ϖµµ

−==

[ ] 2

0

____________________22

0

2

0 2

1)(

11mm E

ctkxsenE

cE

cSI

µϖ

µµ=−===

L’intensità di un’onda EM dipende dal quadrato del campo elettrico.NB: oppure, allo stesso modo, dipende dal quadrato del campo magnetico

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1+1=4

)sin(

)sin(

2

1

tEE

tEE

m

m

ϖϖ

rr

rr

=

=

Supponiamo di voler sommare 2 onde EM identiche ed esattamente in “fase” in un certo punto dello spazio (per semplicità, x=0):

Il campo risultante si somma:

)sin(2 tEE mTot ϖrr

=

L’intensità dell’onda risultante diviene:

[ ]1

2

0

_____________________22

0

4

2

4)()2(

1

II

Ec

tsenEc

I mm

=

==µ

ϖµ

NOTA: perché lo studente non deve turbarsi per il cambio di segno?

20

1+1=0

)sin()sin(

)sin(

2

1

tEtEE

tEE

mm

m

ϖπϖϖ

rrr

rr

−=−=

=

Supponiamo di voler sommare le stesse 2 onde EM identiche, ma “sfasate” di 180o :

Il campo risultante si somma:

0=TotEr

L’intensità dell’onda risultante diviene:

0=I

21

1+1=?

)sin(

)sin(

2

1

ϕϖϖ

−=

=

tEE

tEE

m

mrr

rr

Se le onde sono sfasate di un angolo qualsiasi, si puo’ mostrare (usare le formule di prostaferesi) che

L’intensità dell’onda risultante diviene:

140 II ≤≤

Esercizio: trovare la formula esatta per I

22

21. Più veloci della luce?

“Millennium Falcon”

23

Lo spettro elettromagnetico e la luce

La radiazione EM (di cui la luce occupa un piccolo intervallo difrequenze) assume nomi diversi a seconda della sua frequenza.

I meccanismi che la originano sono diversi a seconda della frequenza

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i) Luce visibile

Sensibilità relativa dell’occhio umano alle diverse lunghezze d’onda

L’occhio umano si e’ adattato ad essere sensibile nell’intervallo in cui e’ massima la radiazione solare, λ∈[400-100] nm. La luce viene emessa quando gli elettroni negli atomi cambiano il loro stato di moto, come previsto nel modello di Bohr

La lunghezza d’onda della IR e’ λ∈[0.7 µm-1 mm]. Viene emessa da molecole quando variano il loro stato di moto vibrazionale o rotazionale.

ii) Radiazione infrarossa (IR)

Fotografie infrarosse

L’ IR viene avvertito come calore radiante. Tutti gli oggetti caldi emettono IR

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iii) Microonde

Comprese in un intervallo λ∈[1 mm-1 m]. Sono emesse da oscillatori EM in circuiti elettrici. Una radiazione di microonde ci giunge anche dall’Universo come “relitto fossile” del Big Bang.

iv) Onde radio

Sono caratterizzate da λ> 1 m. Sono prodotte in circuiti elettrici oscillanti; scegliendo accuratamente la geometria del circuito, si puo’controllare la distribuzione spaziale della radiazione emessa

Cassiopea emette onde Radio

Il Radiotelescopio del CNR a Medicina

I ricevitori devono avere dimensioni della λda ricevere. Le onde radio sono tra i piu’importanti metodi d’indagine in Astronomia

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v) Ultravioletto (UV)

Il Sole visto in UV

Lampade UV

A lunghezze d’onda piu’ piccole del visibile, incontriamo l’ UV con λ∈[1 nm-400 nm]. Come il visibile, sono prodotte da transizio-ni atomiche degli atomi piùesterni, e sono piu’ energetiche.

vi) Raggi X (XR)

I RX hanno λ∈[0.01 nm-10 nm]. Sono prodotti dalle transizioni degli elettroni più fortemente legati negli atomi (interni). La lunghezza d’onda corrisponde alla distanza tipica degli atomi nei solidi; tale radiazione e’ altamente penetrante e viene largamente utilizzata per la diagnostica medica e per lo studio dei materiali solidi.

RX al polmone

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vii) Raggi γ

I Rγ hanno λ<0.001 nm, e corrispondono alla radiazione EM piu’energetica che si conosca. Puo’ essere emessa da transizioni nei nuclei (normalmente, radioattività) oppure dal decadimento di particelle elementari. L’esposizione ai Rγ e’ estremamente pericolosa, in quanto altamente penetrante.

Un getto di γ da una Galassia lontana

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Polarizzazione

In generale, un’onda EM può essere la risultante di più onde. In molti casi, quando le sorgenti non sono coerenti, il risultato è un’onda in con campi elettrici orientati a caso.L’onda si dice non polarizzata.

Nel caso in cui il meccanismo che produce l’onda (ad es., un trasmettitore TV) mantiene costante la direzione del campo elettrico delle onde prodotte, l’onda si dice polarizzata. Il piano contenente il campo E si dice piano di oscillazione (o polarizzazione) dell’onda

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Un metodo di polarizzazione (nel visibile)

Un’onda non polarizzata si polarizza quando passa una lamina polariz-zante (ad es. polaroid). Le molecole della lamina sono tali che il campo elettrico dell’onda EM disposto in una certa direzione può compiere lavoro sugli elettroni delle catene molecolari.

Vi sono altri metodi di polarizzare

Se θ è l’angolo tra il vettore E e la direzione di polarizzazione:

θ

θ2

0 cos

cos

II

EEy

=

=

30

I “fotoni” e la fisica moderna

La fisica moderna ha modificato la visione classica della radiazione EM. Quest’ultima e’ ancora utile per lo studio di certi fenomeni (propagazione delle onde, interferenza, diffrazione…) ma non più sufficiente per altri fenomeni (effetto fotoelet-trico, Compton, interazione tra radiazione EM e particelle elementari). In questo caso, si utilizza il concetto di fotone

I fotoni vengono emessi dall'atomo quando gli e- saltano da un livello orbitale ad un altro: gli e- con questi salti irradiano od assorbono energia non in continuazione, ma in quantità determinate (discrete) dette "quanti di energia". Anche il fotone, come le altre particelle, in alcune esperienze si comporta come se fosse un corpuscolo, in altre come se fosse un’onda.

Nel modello di Bohr, l’energia Eγ del fotone corrisponde alla differenza tra le energie nei diversi livelli: Eγγγγ = hνννν = (Ef-Ei).ν rappresenta la “frequenza” del fotone. Come nella teoria classica, frequenza e lunghezza d’onda sono legate dalla relazione c=λνλνλνλν

31

Nota: useremo molto il “visibile”, giusto per la particolarità che lo vediamo!

32

Riflessione e rifrazione

Quando un’onda incide su un mezzo diverso da quello precedente, parte dell’onda viene riflessae parte viene rifratta.Riferendoci alla foro, possiamo definire l’angolo di incidenza, l’angolo di riflessione e l’anglo di rifrazione. Esistono relazioni tra questi:

Legge della Riflessione:

Legge della Rifrazione (legge di Snell):

Dove n1, n2 sono costanti adimensionali chiamate indici di rifrazione, che dipendono solo dalle sostanze utilizzate

1'

1 θθ =

2211 sinsin θθ nn =

33

Indici di rifrazione di alcuni materiali

Notate cosa succede!

34

Dispersione cromatica

• L’indice di rifrazione di un mezzo dipende da come la luce si propaga nel mezzo. Poiché la luce bianca non è che la sovrapposizione di molte onde EM a diverse lunghezze d’onda, può anche succedere che la velocità con cui l’onda nel mezzo si propaga dipenda dalla sua lunghezza d’onda.• Questo effetto si chiama dispersione cromatica.

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Riflessione totale

• Consideriamo ora una sorgente in un mezzo con n1>n2 (ad es., luce che vuole passare dal vetro all’aria). In tal caso, esiste un angolo di incidenza tale che :

• Questo angolo, chiamato angolo critico è tale che tutta la luce che incide sulla superficie di separazione con angoli maggiori di θc non riesce ad essere rifratta, ed è solo riflessa all’interno del mezzo.• Applicazioni!

20

21 )90sin(sin nnn c ==θ

1

2arcsinn

nc =θ

36

Cosa notate di strano?

Manet: Bar delle Folies Bergères

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Specchi piani

•Per vedere un oggetto con i nostri occhi, occorre che l’oggetto riflettaparte della luce che lo colpisce. Il nostro occhio può percepire immagini.• Questo, possono essere classificate come immagini reali o virtuali. •Immagine reale: quando i fotoni sono prodotti dall’oggetto stesso (lampada), o sono stati “rimbalzati” dall’oggetto stesso (libro illuminato)• Uno specchio riflette tutta la luce incidente, e può formare immagini virtuali (sono in posizione errata).• Legge dello specchio piano:

pi −=

Convenzione: definisce una immagine virtuale, passano solo i prolungamenti dei raggi

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Specchi sferici

• In uno specchio concavo, la luce parallela incidente viene concentrata in un unico punto (fuoco) reale F, dalla stessa parte dello specchio da cui provengono i raggi.• In uno specchio convesso, la luce parallela incidente sembra divergere da un fuoco virtuale in F, dalla parte opposta da quella di provenienza dei raggi. f = distanza focale• Esercizio: dimostrare che , dove r= raggio di curvatura specchio

2

rf =

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Immagini negli specchi sferici

• Formiamo le immagini di un oggetto facendo riflettere alcuni raggi luminosi, ricordando che: • raggi paralleli all’asse passano per il fuoco (e viceversa);• l’angolo di riflessione è uguale a quello d’incidenza• Le immagini reali si formano dalla stessa parte dello specchio dove è posto l’oggetto, mentre quelle virtuali dalla parte opposta

p

i

ab

dem ==

ca

cd

ab

de =

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Leggi degli specchi sferici

Chiamando: • f= distanza focale• p= distanza dell’oggetto dallo specchio• i= distanza dell’immagine dallo specchio;

fip

111 =+

La dimensione trasversale di un oggetto risulta in generale diverso dall’originale. L’ingrandimento trasversale m è dato dalla relazione:

p

im −=

(Dim: vedere pagina precedente)

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Lenti sottili

• Una lente è un oggetto trasparente con due superfici rifrangenti i cui assi centrali coincidono. Se i raggi sono inizialmente paralleli all’asse ed essa li fa convergere, essa è detta convergente. Nel caso contrario, è detta divergente.

• Una lente produce una immagine perché flette i raggi; • può flettere i raggi solo se il suo indice di rifrazione n è diverso da quello dell’ambiente che la circonda

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Immagini create da lenti sottili

• L’immagine reale si forma dalla parte opposta rispetto l’oggetto;• l’immagine reale si forma dalla stessa parte rispetto l’oggetto; • Nel caso di lente sottile (spessore piccolo rispetto a p ed i), si può dimostrare che la relazione tra posizione dell’oggetto p e immagine i è:

fip

111 =+

−−=

21

11)1(

1 :ove

rrn

f

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Lente d’ingrandimento

•L’occhio può mettere a fuoco sulla retina un oggetto con precisione se questo si trova tra una distanza molto grande e un “punto prossimo”. •Se l’oggetto è più vicino del punto prossimo, l’immagine è sfocata.• La lente convergente permette permette di avere l’immagine di un oggetto più lontana, ad un angolo θ’ maggiore

ϑϑθ /m '=L’ingrandimento angolare mθ:

Poiché (a):

Ed inoltre:

Si ha:

cm) 25/(h≈ϑfh /' ≈ϑ

f/cm 25m ≈θ

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Microscopio

• Un microscopio è un dispositivo composto da due lenti convergenti;• ingrandisce in maniera significativa oggetti di piccole dimensioni.• Consiste di un obiettivo, con distanza focale fob, e di un oculare con distanza focale foc

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Microscopio

• L’oggetto da osservare viene posto appena più lontano del primopunto focale dell’obiettivo, in maniera tale che p ∼ f• La distanze tra le lenti viene regolata in maniera che l’immagine ingrandita, capovolta e reale si formi vicino al fuoco dell’oculare•Poiché l’ingrandimento della lente corrisponde a: m=-i/p; Chiamando s la distanza tra il secondo fuoco dell’obiettivo, e il primo dell’oculare:

obfspi //m −=−=

• L’immagine è collocata all’interno del punto focale F1’ dell’oculare, che funge da lente di’ingrandimento e procuce una immagine I’, virtuale.

ocob ff

s cm 25mmM −≈⋅= θ

•L’ingrandimento complessivo dello strumento è dato quindi

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23. Interferenza

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Luce: onde o corpuscoli?

• Le leggi dell’ottica geometrica utilizzano l’assunzione che la luce si propaghi in linea retta, come un proiettile (teoria corpuscolare, principale sostenitore: Newton)• Nel 1678, Huygens per primo avanzò una teoria ondulatoria della luce• La teoria spiega le leggi della riflessione, rifrazione e prevede i fenomeni dell’interferenza e della diffrazione.

Principio di Huygens: tutti i punti di un fronte d’onda fungono da sorgenti di onde elementari sferiche secondarie. Dopo un tempo t, la nuova posizione del fronte sarà la tangente superficiale a queste onde secondarie.

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La legge della rifrazione

• Assumiamo che la luce sia un onda di lunghezza λ1 nel mezzo 1. Si assumono inoltre velocità dell’onda differenti nei due mezzi 1 e 2.• Il tempo (λ1/v1) per percorrere il tratto “ec” deve essere uguale al tempo (λ2/v2) per percorrere il tratto “hg” . Uguagliando i tempi:

2

1

2

1

v

v=λλ

• Considerando i triangoli hce e hcg si ha:

)(per sin 11 hce

hc

λθ = )(per sin 22 hcg

hc

λθ =

• da cui:

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

/

/

sin

sin

n

n

nc

nc

v

v ====λλ

θθ

avendo definito l’indice di rifrazione n=c/v

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Esperimento sull’interferenza

•Nel 1801 T. Young fornì la prima prova determinate sulla natura ondulatoria della luce, mostrando che esse potevano interferire.

Interferenza di onde in acqua Schema di un possibile esperi-

mento d’interferenza di luceFigura di max e mind’interferenza

50

Posizione dei max e min d’interferenza

• Le onde in S1 e S2 hanno la stessa fase (hanno max o minimo allo stesso istante di tempo). Quando arrivano in P possono avere fase diversa a causa della differenza di cammino ∆∆∆∆L.• Ciò che accade in ciascun punto dello schermo è determinato dalla differenza di cammino ∆∆∆∆L dei raggi che arrivano nel punto

cammino) di a(differenz

sinθdL =∆

51

Posizione dei max e min d’interferenza

•Se ∆∆∆∆L =0, allora i due raggi arriverebbero esattamente nel punto esattamente presentando la stessa intensità del campo E (in fase);• Perché la funzione che descrive il campo E è una funzione armonica che riassume lo stesso valore dopo un numero intero di lunghezzed’onda, la condizione perché le onde siano in fase diviene: ∆∆∆∆L = mλ ,

,....2,1,0con , sin

(intero)sin

====∆

mmd

dL

λθλθ

•Esercizio: Considerate una luce gialla monocromatica con λ=546 nm. Sullo schermo, distante D=55 cm, la distanza tra due massimi consecutivi è ∆y= 2.5 mm. Determinare la distanza tra le fenditure.[R: 0.12 mm]

Si noti che le figure d’interferenza permettono di stimare piccole distanze, nel caso dell’esercizio tra due fenditure.

52

Intensità dei max d’interferenza

• Possiamo calcolare il valore dell’intensità luminosa nei maxd’interferenza. [Ricordate da cosa dipende l’intensità di un’onda EM?]

• La prima onda trasporta un campo elettrico pari a:• La seconda onda trasporta un campo elettrico pari a:dove φ è la fase relativa dovuto alla differenza di cammino.

)sin(E 01 tE ϖrr

=

)sin(E 01 φϖ += tErr

• Usiamo la convenzione detta dei vettori di fase. La somma dei due vettori fornisce un nuovo vettore di modulo pari a(notate in figura che φ=2β)• L’intensità dell’onda EM dipende dal quadrato del campo elettrico risultante, per cui:

)2

cos(2E 0

φE=

)2

(cos4I 20

φI=

53

Intensità dei max d’interferenza

• Gli strumenti ottici (tra cui i nostri occhi) sono degli strumenti sensibili talvolta a valori medi. Se le frange sono sufficientemente distanti, noi osserviamo massimi e minimi. • I max hanno intensità “1+1=4”, mentre i minimi hanno “1+1=0”• Tuttavia, se le frange sono troppo vicine, noi mischiamo i max e min, mediando la funzione , per cui abbiamo la “familiare” versione “1+1=2”

002

0 22

14)

2(cos4I III =⋅== φ

54

24. Diffrazione

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Differenza tra interferenza e diffrazione?

• Nessuna differenza! Si tratta dello stesso fenomeno fisico. Semplicemente, nella Diffrazione si assume che le possibili sorgenti che interferiscono tra di loro siano molto numerose.• Normalmente, non vediamo figure di diffrazione perché la luce visibile bianca non è coerente .

• La luce bianca può essere scomposta nei suoi “colori fondamentali” usando un prisma, e sfruttando il fatto che il valore dell’indice di rifrazione cambia al variare della frequenza della radiazione (dispersione cromatica)

56

Minimi di diffrazione

•Si puo’ facilmente mostrare che la condizione perché le onde siano in controfase (=distruttive) è che la differenza di cammino ottico:

:ossia 2

sin2

λϑ =a

,...3,2,1con , sin == mma λϑ

Minimi di diffrazione

57

Intensità della diffrazione

•Il calcolo dell’intensità della figura di D dovuta ad una singola fenditura è piuttosto complicato, e dipende dal valore della larghezza “a” dell’apertura e dalla lunghezza d’onda λ della radiazione incidente.

58

Diffrazione attraverso un foro circolare

• E’ un caso interessante, perché è quello a cui si può ricondurre quello di una lente d’ingrandimento o obiettivo di microscopio. • La figura di D. prodotta da una apertura circolaredi diametro “d” mostra dei massimi che si distribuiscono ad anello. Il primo minimo è:

d

λθ 22.1sin =

•La formula è importante quando si vogliono risolvere, ossia distinguere, due oggetti puntiformi lontani la cui distanza angolare è piccola. • Il criterio di Raylaigh permette di decidere se due oggetti sono risolvibili, quando la distanza angolare delle 2 sorgenti è tale che il massimo centrale della 1a sorgente coincida col primo minimo della figura di diffrazione. Secondo tale criterio i due oggetti devono essere separati

dR

λϑ 22.1arcsin=

59

Potere risolutivo

• Foto: immagini di stelle ottenute con telescopi. Nel primo caso (a) sono così vicine che non si possono risolvere, mentre in (c) la loro separazione soddisfa il criterio di Rayleigh

60

Interferenza/diffrazione da 2 fenditure

(a) Intensità delle frange d’interferenza che verrebbero prodotte da due fenditure di larghezza molto piccola.(b) Intensità per la figura di D. da una fenditura di larghezza “d”(c) Intensità delle frange d’interferenza formate da 2 fenditure di larghezza “d”.

61

Reticoli di diffrazione

•Uno degli strumenti più utili è il reticolo di diffrazione.•E’ un dispositivo dotato di un numero N molto grande di incisioni, che possono essere anche migliaia/mm• Si ha un massimo d’intensità se:

I raggi uscenti dalle fenditure di un reticolo hanno differenza di cammino pari a: dsinθ

Andamento dell’intensità prodotta da un reticolo di diffrazione con molte fenditure. Le frange chiare su uno schermo si chiamano righe. Il valore di m si chiama ordine,

λθ md =sin

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Diffrazione dei raggi X

• I raggi X sono radiazioni EM aventi lunghezza d’ordine dell’ordine di ∼0.1 nm (10-10 m), ossia ∼5000 volte più piccole del visibile.• Vengono prodotti quando elettroni di alta energia emessi da un filamento F vengono frenati da un bersaglio

• Perché i RX vengano diffratti, occorre un reticolo che abbia un “passo” dell’ordine della lunghezza d’onda, ossia di circa (10-10 m);• questa corrisponde alla distanza tra i nuclei atomici in un reticolo cristallino!• I RX servono per studiare la struttura tridimensionale dei cristalli.

• Quando i RX colpiscono un cristallo, i raggi vengono diffusi dal cristallo stesso: in alcune direzioni, si ha una interferenza costruttiva/distruttiva delle onde, generando massimi/minimi d’intensità

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Diffrazione dei raggi X

• Si può considerare che i max siano il risultato di diffusione da parte di piani di riflessione paralleli (o piani cristallini), costituiti da atomi del cristallo stesso.

• Ad es. nel caso di NaClla distanza interplanare d funge da passo del reticolo

• Si noti che la diffe-renza di cammino è

1,2,3..m ,sin2 == λθ md

Legge di Bragg

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Cristallografia a raggi X

•La cristallografia a raggi X è una tecnica della cristallografia in cui l'immagine, prodotta dalla diffrazione dei raggi X attraverso lospazio del reticolo atomico in un cristallo, viene registrata e quindi analizzata per rivelare la natura del reticolo. In genere, questo porta a determinare il materiale e la struttura molecolare di una sostanza.

•Lo spazio nel reticolo cristallino può essere determinato con lalegge di Bragg. Gli elettroni che circondano gli atomi, piuttosto che i nuclei degli atomi stessi, sono le particelle che interagiscono fisicamente con i fotoni dei raggi X. Questa tecnica è ampiamente usata in chimica e biochimica per determinare le strutture di un'immensa varietà di molecole, compresi composti inorganici, DNA e proteine. La diffrazione dei raggi X è comunemente eseguita con singoli cristalli o, laddove essi non siano presenti, con prove costituite da polvere microcristallina del materiale. L’analisi della diffrazione della polvere microcristallina richiede una differente apparecchiatura, fornisce meno informazioni ed è meno chiara..

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Raccolta dei dati di diffrazione

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Diffrazione di oggetti semplici

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Reticoli di oggetti più complessi

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Altri reticoli e loro pattern di diffrazione