5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI...

37
5.1 OSNOVNI POJMOVI Stroga metoda deformacija EA l 0 0 - EA l 0 0 0 12EI (1 + Φ)l 3 6EI (1 + Φ)l 2 0 - 12EI (1 + Φ)l 3 6EI l 2 0 6EI (1 + Φ)l 2 4EI (1 + Φ)l 0 - 6EI (1 + Φ)l 2 2EI l - EA l 0 0 EA l 0 0 0 - 12EI (1 + Φ)l 3 - 6EI (1 + Φ)l 2 0 12EI (1 + Φ)l 3 - 6EI l 2 0 6EI (1 + Φ)l 2 2EI (1 + Φ)l 0 - 6EI (1 + Φ)l 2 4EI l 1 4 2 5 3 6 l y x Brojevima su oznaˇ ceni lokalni stepeni slobode kretanja. (Vaˇ zi za sve.) Proizvoljan poloˇ zaj ˇ stapova Transformacija iz lokalnog u globalni koordinatni sistem K glob = T T K loc T Stroga metoda deformacija sa zanemarenjem deformacije smicanja Gornja matrica krutosti sa Φ = 0 Tehniˇ cka metoda deformacija ˇ Stap aksijalno krut zanemarena poduˇ zna deformacija EI l 3 12 6l -12 6l 6l 4l 2 -6l 2l 2 -12 -6l 12 -6l 6l 2l 2 -6l 4l 2 1 3 2 4 k 1 k 2 k 3 EI l 3 3 0 -3 3l 0 0 0 0 -3 0 3 -3l 3l 0 -3l 3l 2 1 2 3 k 1 k 2 k 3 EI l 3 3 3l -3 0 3l 3l 2 -3l 0 -3 -3l 3 0 0 0 0 0 Poˇ sto su ˇ stapovi horizontalni ili vertikalni, izbje´ ci ´ cemo premnoˇ zavanje sa matricom transformacije Mogu´ ce je formirati i matrice krutosti za ˇ stap sa otpuˇ stenom popreˇ cnom silom, ˇ sto ´ ce biti dato u zadacima 1 3 2 ˇ Stapovi horizontalni ili vertikalni Metoda zaokreta uglova EI l 4 2 2 4 Matrica transformacije T = I Rotacija ostaje nepromijenjena pri rotaciji koordinatnog sistema u ravni pa ovu matricu krutosti nije potrebno premnoˇ zavati sa matricom transformacije 1 2 Proizvoljan poloˇ zaj ˇ stapova 3EI l 1 Metoda krutih rigli, a vertikalnih elastiˇ cnih stubova (ad hoc naziv; ovakav okvir se zove i “smiˇ cu´ ca greda”) 12EI l 3 1 -1 -1 1 Bi´ ce koriˇ steno kod dinamiˇ ckog proraˇ cuna gdje ´ cemo (da bismo smanjili broj stepeni slobode kretanja) pretpostaviti da su grede potpuno krute a stubovi aksijalno kruti. 1 2 ˇ Stap vertikalan kod okvira sa krutom gredom 3EI l 3 1 -1 -1 1 1 2 Reˇ setka EA l c 2 cs -c 2 -cs cs s 2 -cs -s 2 -c 2 -cs c 2 cs -cs -s 2 cs s 2 = c 0 s 0 0 c 0 s EA l 1 -1 -1 1 c s 0 0 0 0 c s u 1 u 2 u 3 u 4 = c 0 s 0 0 c 0 s u n1 u n2 Matrica krutosti ve´ c premnoˇ zena sa matricom transformacije 1 3 2 4 α l c = cos α s = sin α Slika 5.1: Matrice krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu (osim ˇ stapa reˇ setke) za najˇ ceˇ ce sluˇ cajeve idealizacija ravnih linijskih kon- strukcija. Matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu se dobija transformacijom komponentalnih krutosti iz lokalnog u globalni koordinatni sistem dakle premnoˇ zavaju´ ci matricu krutosti sa matricom transformacije: = . U sluˇ caju kad se radi o horizontalnim i vertikalnim ˇ stapovima elementi matrice su 1 i 1 ˇ sto nam omogu´ cava da efikasno (a bez raˇ cunara) formiramo globalnu matricu konstrukcije. U sluˇ caju reˇ setke zbog proizvoljnosti poloˇ zaja ˇ stapova ne moˇ zemo izbje´ ci matricu transformacije ali moˇ zemo unaprijed proraˇ cunati ˇ sto je gore i dato. Biljeˇ ske sa vjeˇ zbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 93

Transcript of 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI...

Page 1: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.1 OSNOVNI POJMOVI

Stroga metodadeformacija

EA

l0 0 −

EA

l0 0

012EI

(1 + Φ)l36EI

(1 + Φ)l20 −

12EI

(1 + Φ)l36EI

l2

06EI

(1 + Φ)l24EI

(1 + Φ)l0 −

6EI

(1 + Φ)l22EI

l

−EA

l0 0

EA

l0 0

0 −12EI

(1 + Φ)l3−

6EI

(1 + Φ)l20

12EI

(1 + Φ)l3−6EI

l2

06EI

(1 + Φ)l22EI

(1 + Φ)l0 −

6EI

(1 + Φ)l24EI

l

1 4

2 5

3 6

l

y

x

Brojevim

asu

oznacenilokalnistep

enislob

odekretanja.(V

aziza

sve.)

Proizvoljan polozaj stapovaTransformacija iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem Kglob = T

TKlocT

Stroga metodadeformacija sa zanemarenjemdeformacije smicanja

Gornja matrica krutosti sa Φ = 0

Tehnicka metodadeformacija

Stap aksijalnokrut ⇔ zanemarenapoduzna deformacija

EI

l3

12 6l −12 6l6l 4l2 −6l 2l2

−12 −6l 12 −6l6l 2l2 −6l 4l2

1 3

2 4

k1 k2 k3

EI

l3

3 0 −3 3l0 0 0 0

−3 0 3 −3l3l 0 −3l 3l2

1 2

3

k1 k2 k3

EI

l3

3 3l −3 03l 3l2 −3l 0−3 −3l 3 00 0 0 0

Posto su stapovi horizontalni ilivertikalni, izbjeci cemo premnozavanjesa matricom transformacije

Moguce je formirati i matricekrutosti za stap sa otpustenompoprecnom silom, sto ce biti datou zadacima

1 3

2

Stapovi horizontalni ili vertikalni

Metoda zaokretauglova

EI

l

[

4 22 4

]

Matrica transformacije T = I

Rotacija ostaje nepromijenjena prirotaciji koordinatnog sistema u ravnipa ovu matricu krutosti nije potrebnopremnozavati sa matricom transformacije

1

2

Proizvoljan polozaj stapova[

3EIl

]

1

Metoda krutihrigli, a vertikalnihelasticnih stubova(ad hoc naziv;ovakav okvirse zove i“smicuca greda”)

12EI

l3

[

1 −1−1 1

]

Bice koristeno kod dinamickog proracunagdje cemo (da bismo smanjili broj stepenislobode kretanja) pretpostaviti da su grede potpunokrute a stubovi aksijalno kruti.

1

2

Stap vertikalankod okvira sakrutom gredom

3EI

l3

[

1 −1−1 1

]

1

2

Resetka

EA

l

c2 cs −c2 −cs

cs s2 −cs −s2

−c2 −cs c2 cs

−cs −s2 cs s2

=

c 0s 00 c

0 s

EA

l

[

1 −1−1 1

] [

c s 0 00 0 c s

]

u1

u2

u3

u4

=

c 0s 00 c

0 s

[

un1

un2

]

Matrica krutosti vec premnozenasa matricom transformacije

1

3

2

4

α

l

c = cosα

s = sinα

Slika 5.1: Matrice krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu (osim stapa resetke) za najcesce slucajeve idealizacija ravnih linijskih kon-strukcija. Matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu se dobija transformacijom komponentalnih krutosti iz lokalnogu globalni koordinatni sistem dakle premnozavajuci matricu krutosti sa matricom transformacije: 𝐾𝑔𝑙𝑜𝑏

𝑒 = 𝑇 𝑇𝐾𝑙𝑜𝑘𝑒 𝑇 . U slucaju kad se

radi o horizontalnim i vertikalnim stapovima elementi matrice 𝑇 su 1 i −1 sto nam omogucava da efikasno (a bez racunara) formiramoglobalnu matricu konstrukcije. U slucaju resetke zbog proizvoljnosti polozaja stapova ne mozemo izbjeci matricu transformacije 𝑇 alimozemo unaprijed proracunati 𝑇 𝑇𝐾𝑙𝑜𝑘

𝑒 𝑇 sto je gore i dato.

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 93

Page 2: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

T •

i T •

k

M•

i M•

k

l

y

x

M•

i M•

k T •

i T •

k

P

a b−P

ab2

l2Pa2b

l2−

Pb2

l3(3a+ b) −

Pa2

l3(a+ 3b)

M

a b−M

b

l2(2a− b) −M

a

l2(2b− a) −6M

ab

l36M

ab

l3

p

pl2

12

pl2

12−

pl

2−

pl

2l

p

pa2

12l2[

2l(3l − 4a) + 3a2] pa3

12l2(4l − 3a)

pa2

2l3

(

2al − a2 −2l3

a

)

pa2

2l3[

(l − a)2 − l3]

a

p−

pl2

20

pl2

30−

7pl

20−

3pl

20l

p−

pa2

60l2(10bl + 3a2)

pa3

60l2(5b+ 2a)

pa

60l3(5a2b− 20al2 − a3

−10abl − 30bl2)

pa3

12l3(a− b− 2l)

a

−EIαt

∆T

hEIαt

∆T

h

Tg

Td

∆T = Td − Tg

T0 = (Td + Tg)/2

Slika 5.2: Evivalentno opterecenje na stapu kruto vezanom na oba kraja

94 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 3: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.2 PRORACUN PRESJECNIH SILA NA KRAJEVIMA STAPOVA

5.1.1 Matematska konvencija o predznakupresjecnih sila

U metodi deformacija koristimo matematsku konvenciju opredznacima presjecnih sila. Pozitivne sile i pomjeranja su datina slici 5.4

y

x

Ti

viTk

vk

Ni

ui

Nk

uk

Mi

ϕi

Mk

ϕk

i k

Slika 5.4: Matematska konvencija o predznacima pomjeranja isila - pozitivni smjerovi.

Dakle ako kao rezultat dobijemo vektor sila⎡⎢⎢⎣𝑇𝑖

𝑀𝑖

𝑇𝑘

𝑀𝑘

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0.00

54.340.00

−54.34

⎤⎥⎥⎦dobili smo konstantan momenat duz stapa.

5.2 Proracun presjecnih sila na krajevima

stapova

Presjecne sile na krajevima stapa proracunavamo sa

𝑓𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒 − 𝑠∙𝑒 (5.1)

gdje je

• 𝑓𝑒 vektor sila na krajevima stapa,

• 𝐾𝑒 matrica krutosti elementa,

• 𝑢𝑒 vektor pomjeranja cvorova stapa,

• 𝑠∙𝑒 vektor ekvivalentng opterecenja na kruto vezanom

stapu dat u tabeli 5.2 za neke najcesce slucajeveopterecenja.

5.2.1 Stap kruto vezan na oba kraja

𝑀𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(4𝜙𝑖 + 2𝜙𝑘 − 6

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(2𝜙𝑖 + 4𝜙𝑘 − 6

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑘𝑖

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(6𝜙𝑖 + 6𝜙𝑘 − 12

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(−6𝜙𝑖 − 6𝜙𝑘 + 12

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑘𝑖

gdje je 𝑘𝑖𝑘 =𝐸𝐼

𝑙𝑖𝑘i 𝑘𝑖𝑘 =

𝐸𝐼

𝑙2𝑖𝑘=𝑘𝑖𝑘𝑙𝑖𝑘

5.2.2 Stap kruto vezan u cvoru 𝑖 a zglobno ucvoru 𝑘

𝑓𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒 − 𝑠∘𝑒 (5.2)

𝑀𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 0

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −𝑘𝑖𝑘(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

𝜙𝑘 = −0.5𝜙𝑖 + 1.5Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘+ 0.25

𝑀∙𝑘𝑖

𝑘𝑖𝑘(5.3)

Vektor 𝑠∙𝑒 predstavlja vektor ekvivalentnog opterecenja na

stapu kruto vezanom na oba kraja, dok sa oznakom 𝑠∘𝑒

oznacavamo evivalentno opterecenje na stapu sa otpustenomnekom vezom, u gornjem slucaju je to zglobna veza u cvoru 𝑘.

𝑠∙𝑒 =

⎡⎢⎢⎣𝑇 ∙𝑖𝑘

𝑀∙𝑖𝑘

𝑇 ∙𝑘𝑖

𝑀∙𝑘𝑖

⎤⎥⎥⎦ 𝑠∘𝑒 =

⎡⎢⎢⎣𝑇 ∘𝑖𝑘

𝑀∘𝑖𝑘

𝑇 ∘𝑘𝑖

𝑀∘𝑘𝑖

⎤⎥⎥⎦Veza izmedu sila na zglobno i kruto vezanom stapu postoji paje za gornji slucaj

𝑀∘𝑖𝑘 =𝑀∙

𝑖𝑘 −1

2𝑀∙

𝑘𝑖

𝑀∘𝑘𝑖 = 0

𝑇 ∘𝑖𝑘 = 𝑇 ∙

𝑖𝑘 − 1.5𝑀∙

𝑘𝑖

𝑙𝑖𝑘

𝑇 ∘𝑘𝑖 = 𝑇 ∙

𝑘𝑖 + 1.5𝑀∙

𝑘𝑖

𝑙𝑖𝑘

5.2.3 Stap kruto vezan u cvoru 𝑘 a zglobno ucvoru 𝑖

𝑀𝑖𝑘 = 0

𝑀𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −𝑘𝑖𝑘(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

𝜙𝑖 = −0.5𝜙𝑘 + 1.5Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘+ 0.25

𝑀∙𝑖𝑘

𝑘𝑖𝑘

Veza izmedu sila na zglobno i kruto vezanom stapu postoji paje za gornji slucaj

𝑀∘𝑖𝑘 = 0

𝑀∘𝑘𝑖 =𝑀∙

𝑘𝑖 −1

2𝑀∙

𝑖𝑘

𝑇 ∘𝑖𝑘 = 𝑇 ∙

𝑖𝑘 − 1.5𝑀∙

𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

𝑇 ∘𝑘𝑖 = 𝑇 ∙

𝑘𝑖 + 1.5𝑀∙

𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 95

Page 4: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

b)

Kuu

c)

K

a)

K

Kukruto = 0

Kudef. = ruTKu > 0, (u 6= 0)

uT

uKuuuu > 0, (uu 6= 0)u

TKu ≥ 0, (u 6= 0)

[

Kuu Kur

Kru Krr

] [

uu

ur

]

=

[

ru

rr

]

uu

ukruto

udef.

Slika 5.3: a) Deformaciona energija se moze proracunati kao 𝑈 = 12𝑢𝑇𝐾𝑢. Ako nema deformacije nema ni deformacione energije pa

je za nenulte vektore 𝑢 (za nula vektor trivijalno) koji predstavljaju pomjeranje konstrukcije kao kruto tijelo 𝑢𝑇𝐾𝑢 = 0; za vektorekoji predstavljaju deformisanje konstrukcije je 𝑢𝑇𝐾𝑢 > 0; Dakle za matricu 𝐾 postoje nenulti vektori 𝑢 za koje je kvadratna forma𝑢𝑇𝐾𝑢 = 0 i nenulti vektori 𝑢 za koje je kvadratna forma pozitivna 𝑢𝑇𝐾𝑢 sto je po definiciji pozitivno-semidefinitna matrica, a takavsistem jednacina nema jedinstveno rjesenje.b) Uobicajena procedura rjesavanja sistema jednacina: uvrstavanje poznatih pomjeranja 𝑢𝑟 i rjesavanje po nepoznatim pomjeranjima𝑢𝑢. Za svaki nenulti vektor 𝑢𝑢 je 𝑢𝑇

𝑢𝐾𝑢𝑢𝑢𝑢 > 0 posto dio konstrukcije koji odgovara 𝐾𝑢𝑢 ne moze biti pomjeren bez deformisanja. Podefiniciji pozitivno definitne matrice, matrica 𝐾𝑢𝑢 je pozitivno definitna. Determinanta pozitivno definitne matrice je uvijek pozitivna,sto znaci da matrica 𝐾𝑢𝑢 nije singularna sto dalje znaci da sistem 𝐾𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑓𝑢 ima jedinstveno rjesenjec) Druga mogucnost formiranja rjesivog sistema jednacina konstrukcije je apliciranje opruga krutosti 𝑘. Ovdje se ne radi o opruzi sadva stepena slobode kretanja (iako ovdje mozemo zamisliti i takav element, a onda uvrsteno poznato pomjeranje 0 i lokalno statickikondenzovan pa dobijen element sa jednim stepenom slobode kretanja) vec o opruzi sa jednim stepenom slobode kretanja cija jejednacuna ravnoteze 𝑘𝑢 = 𝑓 gdje su 𝑘, 𝑢 i 𝑓 skalari. 𝑘 se ovdje dodaje globalnoj matrici krutosti, naravno, samo na dijagonalni element𝐺𝑙𝑜𝑏𝐾𝑆𝑆𝐾𝑂,𝑆𝑆𝐾𝑂 gdje je 𝑆𝑆𝐾𝑂 stepen slobode kretanja u kojem je aplicirana opruga. Apliciranjem opruga se sprijeci pomjeranjekonstrukcije kao kruto tijelo i dobije pozitivno definitna matrica sistema jednacina.

96 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 5: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

5.3 Zadaci

Zadatak 1 Proracunati ugib u sredini grede na slici 5.5metodom deformacija. Pretpostaviti da je greda aksijalno kruta.

l

g

EI

Slika 5.5

Rjesenje U sredini grede cemo umetnuti cvor. Matrica krutostistapa zglobno vezanog na jednom kraju koji ima dva stepenaslobode kretanja, koja su pomjeranja cvorova okomito na stapje

3𝐸𝐼

𝑙3

[1 −1−1 1

]

1 3

2

1 2

1

Slika 5.6: Obiljezavanje cvorova, stapova i stepeni slobode kre-tanja.

Matrice krutosti stapova sa obiljezenim globalnim stepenimaslobode kretanja:

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 1

03𝐸𝐼

(𝑙/2)3− 3𝐸𝐼

(𝑙/2)3

1 − 3𝐸𝐼

(𝑙/2)33𝐸𝐼

(𝑙/2)3

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 0

13𝐸𝐼

(𝑙/2)3− 3𝐸𝐼

(𝑙/2)3

0 − 3𝐸𝐼

(𝑙/2)33𝐸𝐼

(𝑙/2)3

⎤⎥⎥⎥⎦

𝐾11 =3𝐸𝐼

(𝑙/2)3+

3𝐸𝐼

(𝑙/2)3=

48𝐸𝐼

𝑙3

Opterecenje

𝑇 ∘𝑘𝑖 = 𝑇 ∙

𝑘𝑖 + 1.5𝑀∙

𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘= − 𝑔𝑙

2 · 2 + 1.5−𝑔(𝑙/2)2

12 · 𝑙/2 = −5𝑔𝑙

16

𝑇 ∘𝑖𝑘 = 𝑇 ∙

𝑖𝑘 − 1.5𝑀∙

𝑘𝑖

𝑙𝑖𝑘= − 𝑔𝑙

2 · 2 − 1.5𝑔(𝑙/2)2

12 · 𝑙/2 = −5𝑔𝑙

16

𝑓1 = −5𝑔𝑙

16− 5𝑔𝑙

16= −5𝑔𝑙

8

Postavljamo jednacinu metode deformacija i rjesavamo

𝐾11𝑢1 = 𝑓1 ⇒48𝐸𝐼

𝑙3𝑢1 = −5𝑔𝑙

8⇒ 𝑢1 = − 5𝑔𝑙4

384𝐸𝐼

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 97

Page 6: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Zadatak 2 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresjecne sile za konstrukciju na slici 5.7.𝐸 = 2 · 107𝑘𝑁/𝑚2. Pretpostaviti da su svi stapovi aksijalnokruti.

4m

3m 3m

150kN

100kN

10kN/m

30/50

30/3

0

30/3

0

Slika 5.7

Rjesenje

1

2

1

34

1

2 3 4

5

1 2

3 4

y

x

x

ySlika 5.8: Obiljezavanje cvorova, stapova i stepena slobode

kretanja. Posto se pretpostavlja aksijalna krutost stapova,cvorovi 2 i 4 imaju isti SSK “1” u horizontalnom pravcu, amogucnost vertikalnog pomjeranja cvorova 2 i 4 ne postoji

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 2 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

23𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 3 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

33𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 0 2 4 0

03𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

0

23𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

0

4 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 4 0 0 3

43𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

0 0 0 0 0

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

03𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

33𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐾1,1 =3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

+3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

= 1265.625

𝐾1,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾1,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾2,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 72625.00

𝐾2,4 =−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= −20833.333

𝐾3,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 72625.00

𝐾3,4 =3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= 20833.333

𝐾4,4 =3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

+3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

= 13888.889

Matrica krutosti

𝐾 =

⎡⎢⎢⎣1265.625 2531.250 2531.250 0

72625.000 0 −20833.33372625.000 20833.333

simetricno 13888.889

⎤⎥⎥⎦Vektor sila

Za kruto vezan stap 3

𝑀∙23 = −𝑞 · 𝑙

2

12= −10 · 32

12= −7.5

𝑀∙32 =

𝑞 · 𝑙2

12=

10 · 32

12= 7.5

𝑉 ∙23 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 3

2= −15.0

𝑉 ∙32 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 3

2= −15.0

Za stap 3 zglobno vezan u cvoru 3

𝑀∘23 =𝑀∙

23 − 0.5 ·𝑀∙32 = −7.5− 0.5 · 7.5 = −11.25

𝑀∘32 = 0

𝑉 ∘23 = 𝑉 ∙

23 − 1.5𝑀∙

32

𝑙23= −15− 1.5

7.5

3= −18.75

𝑉 ∘32 = 𝑉 ∙

32 + 1.5𝑀∙

32

𝑙23= −15 + 1.5

7.5

3= −11.25

𝑓 = 𝑓3 +𝑓𝑛 =

⎡⎢⎢⎣0.00

−11.250.00

−11.25

⎤⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎣100.00

0.000.00

−150.00

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣100.00−11.25

0.00−161.25

⎤⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

⎡⎢⎢⎣0.092172−0.0277340.021154−0.084943

⎤⎥⎥⎦

98 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 7: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Proracun rotacija krajeva stapa u cvoru 3

𝜙∘32 = −0.5 · 𝜙23 + 1.5

Δ23

𝑙23+ 0.25 · 𝑀

∙32

𝑘23

𝜙∘34 = −0.5 · 𝜙43 + 1.5

Δ34

𝑙34+ 0.25 · 𝑀

∙34

𝑘34

𝑘23 =𝐸𝐼

𝑙23=

2 · 107 · 0.0031253

= 20833.333

𝑘34 =𝐸𝐼

𝑙34=

2 · 107 · 0.0031253

= 20833.333

Δ23 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖 = −0.084943− 0 = −0.084943Δ34 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖 = 0− (−0.084943) = 0.084943

𝜙∘32 = −0.5 · (−0.027734) + 1.5

−0.0849433

+ 0.25 · 7.5

20833.333

= −0.028514 (5.4)

𝜙∘34 = −0.5 · 0.021154 + 1.5

0.084943

3+ 0.25 · 0

𝑘34

= 0.031894 (5.5)

Uvodenje stepena slobode kretanja u proracun

Sad cemo, da bismo vjezbali metodu deformacija, uvesti stepenslobode kretanja 5 u proracun, kako je prikazano na slici 5.9.U ovom slucaju stap 3 je kruto vezan na oba kraja, dok je stap4 stap sa otpustenim momentom kod cvora 3 cime se ostvarujezglobna veza u cvoru 3.

5

1

2

1

34

1

23

4

5

1 2

3 4

y

x

x

y

Slika 5.9

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 2 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

23𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 3 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

33𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 0 2 4 5

012𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

26𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

4 −12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

56𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 4 0 0 3

43𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

0 0 0 0 0

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

03𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

33𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐾1,1 =3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

+3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

= 1265.625

𝐾1,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾1,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾2,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 93458.333

𝐾2,4 = −6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= −41666.667

𝐾2,5 =2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 41666.667

𝐾3,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 72625.00

𝐾3,4 =3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= 20833.333

𝐾4,4 =12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

+3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

= 34722.222

𝐾4,5 = −6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= −41666.667

𝐾5,5 =4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 83333.333

Matrica krutosti

𝐾 =⎡⎢⎢⎢⎢⎣1265.625 2531.250 2531.250 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.66772625.000 20833.333 0

simetricno 34722.222 −41666.66783333.333

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Vektor sila

Za kruto vezan stap 3

𝑀∙23 = −𝑞 · 𝑙

2

12= −10 · 32

12= −7.5

𝑀∙32 =

𝑞 · 𝑙2

12=

10 · 32

12= 7.5

𝑉 ∙23 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 3

2= −15.0

𝑉 ∙32 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 3

2= −15.0

Globalni vektor sila

𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣100.00−7.500.00

−165.007.50

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣0.092172−0.0277340.021154−0.084943−0.028514

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Zakljucujemo da je

𝑢5 = 𝜙∘32

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 99

Page 8: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

sto je proracunato jednacinom 5.4.

Proracun rotacije kraja stapa 3 u cvoru 3:

Δ34 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖 = 0− (−0.084943) = 0.084943 (5.6)

𝜙∘34 = −0.5 · 𝜙43 + 1.5

Δ34

𝑙34+ 0.25 · 𝑀

∙34

𝑘34

𝜙∘34 = −0.5 · 0.021154 + 1.5

0.084943

3+ 0.25 · 0

𝑘34

= 0.031894 (5.7)

Uvodenje jos jednog stepena slobode kretanja u proracun

Sad cemo, ponovo u svrhu vjezbanja metode deformacija,uvesti stepen slobode kretanja 6 u proracun, kako je prikazanona slici 5.10. Stapovi 3 i 4 su kruto vezani na oba kraja, aliimaju razlicite rotacione stepene slobode kretanja u cvoru 3 iisti vertikalni (4) SSK cime se ostvaruje zglobna veza.

5 6

1

2

1

3

4

1

23

4

5

1 2

3 4

y

x

x

y

Slika 5.10

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 2 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

23𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 3 0 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

33𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 0 2 4 5

012𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

26𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

4 −12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

56𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 4 6 0 3

412𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

66𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

0 −12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

36𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐾1,1 =3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

+3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

= 1265.625

𝐾1,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾1,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

= 2531.25

𝐾2,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 93458.333

𝐾2,4 = −6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= −41666.667

𝐾2,5 =2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 41666.667

𝐾3,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

+4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 93458.333

𝐾3,4 =6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= 41666.667

𝐾3,6 =2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 41666.667

𝐾4,4 =12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

+12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

= 55555.556

𝐾4,5 = −6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= −41666.667

𝐾4,6 =6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

= 41666.667

𝐾5,5 =4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 83333.333

𝐾6,6 =4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

= 83333.333

Matrica krutosti

𝐾 =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.667 093458.333 41666.667 0 41666.667

55555.556 −41666.667 41666.667simetricno 83333.333 0

83333.333

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Globalni vektor sila

𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣100.00−7.500.00

−165.007.500.00

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0.092172−0.0277340.021154−0.084943−0.0285140.031894

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Mozemo zakljuciti da je

𝑢6 = 𝜙∘34

proracunato jednacinama 5.5 i 5.7

100 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 9: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Proracun presjecnih sila na krajevima stapova

Presjecne sile na krajevima stapa proracunavamo sa

𝑓𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒 − 𝑠∙𝑒

U razvijenom obliku mozemo pisati

Za kruto vezan stap

𝑀𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(4𝜙𝑖 + 2𝜙𝑘 − 6

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(2𝜙𝑖 + 4𝜙𝑘 − 6

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑘𝑖

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(6𝜙𝑖 + 6𝜙𝑘 − 12

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(−6𝜙𝑖 − 6𝜙𝑘 + 12

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑘𝑖

gdje je 𝑘𝑖𝑘 =𝐸𝐼

𝑙𝑖𝑘i 𝑘𝑖𝑘 =

𝐸𝐼

𝑙2𝑖𝑘

Za stap kruto vezan u cvoru 𝑖, a zglobno u cvoru 𝑘

𝑀𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 0

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −𝑘𝑖𝑘(3𝜙𝑖 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

Stap zglobno vezan u cvoru 𝑖, a kruto u cvoru 𝑘

𝑀𝑖𝑘 = 0

𝑀𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −𝑘𝑖𝑘(3𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

Na stranici 102 dat je numericki proracun presjecnih sila nakrajevima stapova.

-47.5

-47.5 -447.5

-447.5

M

-

-

11.875

11.875

-30.833

-0.833

149.167

149.167

-111.875

-111.875

T

-

+

-30.833

-30.833

-11.875

-11.875

-11.875

-149.167

-149.167

N

--

Slika 5.11: Dijagrami presjecnih sila

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 101

Page 10: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Stap 1

𝑀21 = 3375.0 ·(3 · (−0.027734)− 3

−0.0921724

)= −47.5

𝑀12 = 0

𝑇21 = 843.75

(3 · (−0.027734)− 3

−0.0921724

)= −11.875

𝑇12 = −843.75(3 · (−0.027734)− 3

−0.0921724

)= 11.875

Stap 2

𝑀23 = 20833.333

(4 · (−0.027734) + 2 · (−0.028514)− 6

−0.0849433

)− (−7.5) = 47.50

𝑀32 = 20833.333

(2 · (−0.027734) + 4 · (−0.028514)− 6

−0.0849433

)− 7.5 = 0.00

𝑇23 = 6944.444

(6 · (−0.027734) + 6 · (−0.028514)− 12

−0.0849433

)− (−15.0) = 30.833

𝑇32 = 6944.444

(−6 · (−0.027734)− 6 · (−0.028514) + 12

−0.0849433

)− (−15.0) = −0.833

Stap 3

𝑀34 = 20833.333

(4 · 0.031894 + 2 · 0.021154− 6

−(−0.084943)3

)= 0.00

𝑀43 = 20833.333

(2 · 0.031894 + 4 · 0.021154− 6

−(−0.084943)3

)= −447.50

𝑇34 = 6944.444

(6 · 0.031894 + 6 · 0.021154− 12

−(−0.084943)3

)= −149.167

𝑇43 = 6944.444

(−6 · 0.031894− 6 · 0.021154 + 12

−(−0.084943)3

)= 149.167

Stap 4

𝑀45 = 3375.0 ·(3 · 0.021154− 3

−0.0921724

)= 447.50

𝑀54 = 0

𝑇45 = 843.75

(3 · 0.021154− 3

−0.0921724

)= 111.875

𝑇54 = −843.75(3 · 0.021154− 3

−0.0921724

)= −111.875

102 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 11: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Zadatak 3 Zglob u cvoru 3 na konstrukciji iz prethodnogzadatka ukrutiti vezom krutosti 𝑐𝑀 = 5000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 kakoje prikazano na slici 5.12. Proracunati pomjeranja cvorova,presjecne sile i nacrtati dijagrame presjecnih sila.𝐸 = 2 · 107𝑘𝑁/𝑚2.

4m

3m 3m

150kN

100kN

10kN/m

30/50

30/3

0

30/3

0

cM = 5000kNm

rad

3

Slika 5.12

Rjesenje Obiljezicemo stepene slobode kretanja kao u prethod-nom zadatku

5 6

1

2

1

3

4

1

2

3

4

5

1 2

3 4

cM = 5000kNm

rad

y

x

x

y

Slika 5.13

Matrica krutosti opruge je[

𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

]Sa slike 5.13 vidimo

da opruga povezuje SSK 5 i 6 pa cemo sljedecu matricu dodatimatrici krutosti konstrukcije koju smo proracunali u prethod-nom zadatku

⎡⎣5 6

5 5000 −5000

6 −5000 5000

⎤⎦pa dobijamo

𝐾 =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.667 0

93458.333 41666.667 0 41666.667

55555.556 −41666.667 41666.667

simetricno83333.333+5000.000

0-5000.000

83333.333+5000.000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Globalni vektor sila ostaje isti kao u prethodnom zadatku

𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣100.00−7.500.00

−165.007.500.00

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0.092172−0.0156450.009065−0.039863−0.0105500.013930

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Sila u opruzi

𝑓𝑜𝑝𝑟 =

[5000 −5000−5000 5000

]·[−0.0105500.013930

]=

[−122.401122.401

]

74.974.9

122.4

-325.1

-325.1

M

-

-

18.73

18.73

-30.833

-0.833

149.167

149.167

-81.27

-81.27

T

-

+

-30.833

-30.833

18.73

18.73

18.73

-149.167

-149.167

N

--

Slika 5.14: Dijagrami presjecnih sila

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 103

Page 12: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Zadatak 4 Konstrukciju iz prethodnog zadatka proracunati saelasticnim osloncima umjesto krutih, prema slici 5.15.

5 6

1

2

1

3

48 10

7

8

9

10

1

2

3

4

5

1 2

3 4

cM = 5000kNm

rad

c1 = 3 · 104kN/m c5 = 2 · 104kN/m

y

x

x

y

Slika 5.15

Rjesenje Na slici 5.15 su takoder dati stepeni slobode kretanja.Mozemo primijetiti da smo u cvorovima 1 i 5 uveli dodatnestepene slobode kretanja 7, 8 i 9, 10. Uvodeci stepen slobodekretanja 8 u cvoru 1, a zadrzavajuci pretpostavku o aksijalnojkrutost stapova, cvor 2 takode dobija mogucnost pomjeranja 8.Isto vazi i za cvor 4 i SSK 10.

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 2 7 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

23𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

7 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 3 9 0

13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

33𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

0

9 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠

3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠

0

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 8 2 4 5

812𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

26𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

4 −12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

56𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 4 6 10 3

412𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

−12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

66𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

10 −12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

12𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

36𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

2𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

−6𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔

4𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Vektor sila

𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

100.00−7.50

0−165.00

7.5000

−15.0000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijamo

𝑢 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0.098800−0.0169720.008249−0.044748−0.0117940.0130310.000639−0.0010280.004042−0.007458

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

76.6376.63

124.126

-323.374

-323.374

M

-

-

19.16

19.16

-30.833

-0.833

149.167

149.167

-80.844

-80.844

T

-

+

-30.833

-30.833

19.156

19.156

19.156

-149.167

-149.167

N

--

Slika 5.16: Dijagrami presjecnih sila

104 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 13: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0 −632.813 0 −632.813 0

93458.333 0 −41666.667 41666.667 0 −2531.250 41666.667 0 0

93458.333 41666.667 0 41666.667 0 0 −2531.250 −41666.667

55555.556 −41666.667 41666.667 0 −27777.778 0 −27777.778

88333.333 −5000.000 0 41666.667 0 0

88333.333 0 0 0 −41666.667

30632.813 0 0 0

simetricno 57777.778 0 0

20632.813 0

47777.778

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 105

Page 14: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Zadatak 5 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresjecne sile za konstrukciju na slici 5.17

50kN

6m

2m

4m

3m

50kN

10kN/m

30/40

30/40

30/30

30/30

30/30

30/30

Slika 5.17

∆1 ∆1

∆2 ∆2

1 2

3 4

34

12

5

6

1 2

34

56

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

Y

X

Slika 5.18: Obiljezavanje stepeni slobode kretanja

Rjesenje

Postavljanjem Takabejevih jednacina

Pomjeranja koja se traze

• Rotacije cvorova 𝜙3, 𝜙4, 𝜙5, 𝜙6

• Translatorna pomjeranja Δ1,Δ2

Takabejeve jednacine

Stap kruto vezan na oba kraja

Tik Tki

Mik Mki

i k

EI

l

Slika 5.19

𝑀𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(2𝜙𝑖 + 𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 + 2𝜙𝑘 − 3

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∙

𝑘𝑖

𝑇𝑖𝑘 = 𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 + 𝜙𝑘 − 2

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = 𝑘𝑖𝑘

(−𝜙𝑖 − 𝜙𝑘 + 2

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∙

𝑘𝑖

gdje je 𝑘𝑖𝑘 =2𝐸𝐼

𝑙𝑖𝑘, 𝑘𝑖𝑘 =

6𝐸𝐼

𝑙2𝑖𝑘, 𝑘𝑖𝑘 =

3𝑘𝑖𝑘𝑙𝑖𝑘

Stap sa oslobodenim momentom na kod cvora 𝑖

Tik Tki

Mki

i k

EI

l

Slika 5.20

𝑀𝑖𝑘 = 0

𝑀𝑘𝑖 = 1.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑘𝑖

𝑇𝑖𝑘 = 0.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −0.5𝑘𝑖𝑘(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

Stap sa oslobodenim momentom na kod cvora 𝑘

Tik Tki

Mik

i k

EI

l

Slika 5.21

𝑀𝑖𝑘 = 1.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 0

𝑇𝑖𝑘 = 0.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −0.5𝑘𝑖𝑘(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

106 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 15: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Postavljanje Takabejevih jednacina ravnoteze

Rotacija cvora 3

𝑀31 = 1.5 · 10125(𝜙3 −

−Δ1

4

)− 20

𝑀34 = 1.5 · 16000(𝜙3)− (−55.555)𝑀35 = 13500 [2𝜙3 + 𝜙5 − (−Δ2)− (−7.5)]

𝑀31 = 15187.5 · 𝜙3 +3796.875 ·Δ1 − 20.00

𝑀34 = 24000.0 · 𝜙3 +55.555

𝑀35 = 27000.0 · 𝜙3+13500.000 · 𝜙5 + 13500 ·Δ2 + 7.5∑𝑘=1,4,5

𝑀3𝑘 = 0

66187.5·𝜙3+13500·𝜙5+3796.875·Δ1+13500·Δ2+43.055 = 0

Rotacija cvora 4

𝑀42 = 10125 [2𝜙4 − 0.75(−Δ1)]

𝑀46 = 13500 [2𝜙4 + 𝜙6 − (−Δ2)]

𝑀42 = 20250 · 𝜙4 +7593.75 ·Δ1

𝑀46 = 27000 · 𝜙4+13500 · 𝜙6 + 13500 ·Δ2∑𝑘=2,6

𝑀4𝑘 = 0

47250 · 𝜙4 + 13500 · 𝜙6 + 7593.75 ·Δ1 + 13500 ·Δ2 = 0

Rotacija cvora 5

𝑀53 = 13500 [𝜙3 + 2𝜙5 − (−Δ2)− 7.5]

𝑀56 = 16000 (2𝜙5 + 𝜙6)

𝑀53 = 13500 · 𝜙3+27000 · 𝜙5 + 13500 ·Δ2 − 7.5

𝑀56 = 32000 · 𝜙5+16000 · 𝜙6∑𝑘=3,6

𝑀5𝑘 = 0

59000 · 𝜙5 + 13500 · 𝜙3 + 16000 · 𝜙6 + 13500 ·Δ2 − 7.5 = 0

Rotacija cvora 6

𝑀65 = 16000 (𝜙5 + 2𝜙6)

𝑀64 = 13500 [𝜙4 + 2𝜙6 − (−Δ2)]

𝑀65 = 16000 · 𝜙5+32000 · 𝜙6

𝑀64 = 13500 · 𝜙4+27000 · 𝜙6 + 13500 ·Δ2∑𝑘=4,5

𝑀6𝑘 = 0

59000 · 𝜙6 + 13500 · 𝜙4 + 16000 · 𝜙5 + 13500 ·Δ2 = 0

Pomjeranje Δ1

𝑇31 = −0.5 · 7593.75(𝜙3 −

−Δ1

4

)− (−25)

𝑇42 = 7593.75

(−𝜙4 + 2

−Δ1

4

)

𝑇31 = −3796.875 · 𝜙3 − 949.21875Δ1 + 25

𝑇42 = −7593.750 · 𝜙4 − 3796.875 ·Δ1∑𝑇𝐼 = 𝑇31 + 𝑇42 + 𝑃 = 0

−3796.875 · 𝜙3 − 7593.750 · 𝜙4 − 4746.094Δ1 = −105

Pomjeranje Δ2

𝑇53 = 13500

(−𝜙3 − 𝜙5 + 2

−Δ2

3

)− (−15)

𝑇64 = 13500

(−𝜙6 − 𝜙4 + 2

−Δ2

3

)

𝑇53 = −13500 · 𝜙3 − 13500 · 𝜙5 − 9000Δ2 + 15

𝑇64 = −13500 · 𝜙6 − 13500 · 𝜙4 − 9000Δ2∑𝑇𝐼𝐼 = 𝑇53 + 𝑇64 + 𝑃 = 0

−13500·𝜙3−13500·𝜙4−13500·𝜙5−13500·𝜙6−18000Δ2 = −65

Konacno mozemo napisati sistem jednacina

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 Δ1 Δ2

66187.5 0 13500 0 3796.875 135000 47250 0 13500 7593.75 13500

13500 0 59000 16000 0 135000 13500 16000 59000 0 13500

3796.875 7593.75 0 0 4746.094 013500 13500 13500 13500 0 18000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜙3

𝜙4

𝜙5

𝜙6

Δ1

Δ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−43.055

07.50

10565

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Rjesenjem sistema jednacina dobijaju se pomjeranja⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜙3

𝜙4

𝜙5

𝜙6

Δ1

Δ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−0.0079122−0.0149656−0.0032522−0.00121220.05239810.0241177

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (5.8)

Sad cemo istu konstrukciju rijesiti koristeci Scilab. U prvomkoraku implementiracemo matrice krutosti stapova (kruto izglobno vezan) i odgovarajuce vektore opterecenja, a zatimcemo formirati skriptu kojom cemo proracunati konstrukciju.

Takode cemo uvesti dodatne stepene slobode kretanja kakobismo dobili sva pomjeranja, reakcije i presjecne sile koristecijedinstvenu kompaktnu formu proracuna. Da pojasnimo ovo,dakle u prethodnoj sekciji smo za stapove 3 i 5 koji imajuotpusten momenat u cvoru 𝑘 koristili kondenzovanu matricukrutosti pa rotacija kraja stapa 𝜙𝑘 kod cvora 𝑘 nije figuri-rala u globalnom sistemu jednacina, vec rotaciju kraja stapamoramo proracunati naknadno koristeci jednakost 5.3, dokcemo u sljedecem uvesti stepene slobode kretanja 7 i 8 (vidjetisliku 5.22) a onda stapove 3 i 5 posmatrati kao kruto vezane.Zglobna veza izmedu stapa 5 i ostalih stapova u cvoru 4 jepostignuta time sto ostali stapovi imaju razlicit stepen slobodekretanja u cvoru 4 (SSK 2)

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 107

Page 16: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

5 5

6 6

1 28

3 4

9

9

9

11

11

11

7 1310 12

34

12

5

6

1

2

34

56

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

Y

X

Slika 5.22: Obiljezavanje stepeni slobode kretanja. Stapovi suaksijalno kruti.

Listing 5.1: Formiranje matrice krutosti u lokalnom koordinatnomsistemu, Greda2D4x4.sci

1 function rezultat = Greda2D4x4(idx, koordinate, elementi,presjek)

2 // Greda2D4x4 - Matrica krutosti ravnog grednog stapa3

4 Em = presjek(1);5 I = presjek(2);6

7 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);8 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);9 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);

10 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);11

12 duzina = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);13

14 km12 = 12 * Em * I / duzina^3;15 km6= km12 * duzina / 2;16 km4= km6 * duzina / 1.5;17 km2= km4 / 2;18

19 rezultat = [20 km12 km6 -km12 km621 km6 km4 -km6 km222 -km12 -km6 km12 -km623 km6 km2 -km6 km4];24 endfunction

Listing 5.2: Vektor ekvivalentnog opterecenja od ravnomjernoraspodjeljenog opterecenja, RavnomjernoOpt.sci

25 function rezultat = RavnomjernoOpt(idx, koordinate, elementi,p)

26 // RavnomjernoOpt - Vektor ekvivalentnog opterecenja na gredi27 // od ravnomjernog opterecenja28

29 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);30 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);31 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);32 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);33

34 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);35

36 rezultat = [37 p*d/238 p*d^2/1239 p*d/240 -p*d^2/12];41

42 endfunction

Listing 5.3: Vektor ekvivalentnog opterecenja od koncentricne sileokomito na gredu, KoncOpt.sci

43 function rezultat = KoncOpt(idx, koordinate, elementi, P, a)44 // KoncOpt - Vektor ekvivalentnog opterecenja na gredi

45 // od koncentricne sile okomito na gredu46

47 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);48 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);49 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);50 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);51

52 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);53 b = d - a;54

55 rezultat = [56 P*b*b*(3*a+b)/(d^3)57 P*a*b*b/d^258 P*a*a*(3*b+a)/(d^3)59 -P*a*a*b/d^260 ];61 endfunction

Sa ovim mozemo napisati sljedecu skriptu

Listing 5.4: Proracun konstrukcije, Zadatak5.sce

62 // Tehnicka metoda deformacija63 // Zadatak 564 // ***********************************************************65 clear;66 clc;67 exec('./Greda2D4x4.sci', -1);68 exec('./RavnomjernoOpt.sci', -1);69 exec('./KoncOpt.sci', -1);70

71 // ******************* ULAZNI PODACI *************************72 // duzina m; sila kN;73

74 // E I75 presjekG = [3*10^7, 0.3*0.4^3/12];76 presjekS = [3*10^7, 0.3^4/12];77

78 // Koordinate cvorova79 koordinate = [80 0 081 6 082 0 483 6 484 0 785 6 7];86

87 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima88 elementi =[89 2 490 4 691 1 392 3 593 3 494 5 6];95

96 SSKEL = [97 5 2 12 1398 6 4 5 299 5 1 10 7

100 6 3 5 1101 9 1 11 8102 9 3 11 4];103

104 Kels = hypermat([4 4 size(elementi,'r')]);105 Fels = hypermat([4 1 size(elementi,'r')]);106

107 Kels(:,:,1) = Greda2D4x4(1, koordinate, elementi, presjekS);108 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);109 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);110 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);111

112 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekG);113 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);114

115

116 Fels(:,:,3) = RavnomjernoOpt(3, koordinate, elementi, 10);117 Fels(:,:,4) = RavnomjernoOpt(4, koordinate, elementi, 10);118 Fels(:,:,5) = KoncOpt(5, koordinate, elementi, -50, 2);119

120 // ********************** RJESAVANJE *************************121

122 KGlob = zeros(13, 13);

108 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 17: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

123 FGlob = zeros(13, 13);124

125 for i=1:size(elementi, 'r')126

127 Kel = Kels(:,:,i);128

129 adresa = SSKEL(i,:);130

131 for j = 1:4132 for k = 1:4133 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then134 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..135 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);136 end137 end // for k138 end // for j139

140 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja141 Fel = Fels(:,:, i);142

143 for j = 1:4144 if (adresa(j) ˜= 0) then145 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);146 end147 end // for j148 end // for i149

150 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********151

152 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) + 50;153

154 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************155

156 // Nema pomjeranja fiksnih oslonaca pa se za rjesavanje157 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice158 // krutosti i odgovarajuci vektor sila159

160 K11 = KGlob(1:8,1:8);161 F1 = FGlob(1:8,1);162

163 // rjesenje164 U1 = K11 “ F1;165

166 UGlob = zeros(13, 13);167 UGlob(1:8, 1) = U1(1:8, 1);168

169 mprintf(”“n================== REZULTATI PRORACUNA”);170 mprintf(”“n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA”);171 mprintf(”“n“%15.6f”, UGlob(1:13,1));172

173 // ************* PRORACUN REAKCIJA ***************************174

175 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;176

177 mprintf(”“n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA”);178 mprintf(”“n“%11.2f”, Reakc(1:13,1));179

180

181 // **************** POST PROCESSING **************************182 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***183

184 for i = 1:size(elementi,'r')185 mprintf('“n============================ STAP %d', i);186

187 adresa = SSKEL(i,:);188

189 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja190 for j = 1:4191 if adresa(j) ˜= 0 then192 u( j ) = UGlob( adresa(j) );193 else194 u( j ) = 0;195 end;196 end // for j197

198 // printanje vektora pomjeranja po stapovima199 mprintf(”“nVektor pomjeranja”);200 mprintf(”“n“%15.6f”, u(1:4,1));201

202 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati203 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje204 // lokalni sistem nije zarotiran pa je

205 // u.l = T' * U.g206

207 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja208 Ke = Kels(:,:,i);209 Fe = Fels(:,:,i);210

211 // proracun vektora sila na stapu212 f = Ke * u - Fe;213

214 mprintf(”“nVektor Sila”);215 mprintf(”“n“%11.2f”, f(1:4,1));216

217 end // for i

Listing 5.5: Rezultat proracuna

218 ================== REZULTATI PRORACUNA219 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA220 -0.007912221 -0.014966222 -0.003252223 -0.001212224 0.052398225 0.076516226 -0.016352227 0.004651228 0.000000229 0.000000230 0.000000231 0.000000232 0.000000233 ============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA234 0.00235 0.00236 0.00237 0.00238 -0.00239 -0.00240 0.00241 -0.00242 -24.77243 -34.70244 74.77245 -85.30246 246.37247 ============================ STAP 1248 Vektor pomjeranja249 0.052398250 -0.014966251 0.000000252 0.000000253 Vektor Sila254 85.30255 94.85256 -85.30257 246.37258 ============================ STAP 2259 Vektor pomjeranja260 0.076516261 -0.001212262 0.052398263 -0.014966264 Vektor Sila265 -1.34266 90.83267 1.34268 -94.85269 ============================ STAP 3270 Vektor pomjeranja271 0.052398272 -0.007912273 0.000000274 -0.016352275 Vektor Sila276 -5.30277 58.78278 -34.70279 0.00280 ============================ STAP 4281 Vektor pomjeranja282 0.076516283 -0.003252

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 109

Page 18: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

284 0.052398285 -0.007912286 Vektor Sila287 51.34288 123.47289 -81.34290 75.56291 ============================ STAP 5292 Vektor pomjeranja293 0.000000294 -0.007912295 0.000000296 0.004651297 Vektor Sila298 10.94299 -134.34300 39.06301 -0.00302 ============================ STAP 6303 Vektor pomjeranja304 0.000000305 -0.003252306 0.000000307 -0.001212308 Vektor Sila309 -35.72310 -123.47311 35.72312 -90.83

Pomjeranja Δ1 i Δ2 u rezultatu 5.8 predstavljaju relativno pom-jeranje cvorova stapa, dok je rezultat na liniji 225 apsolutnopomjeranje cvora sto mozemo i provjeriti

Δ2 = 0.0241177 𝑢6−𝑢5 = 0.076516−0.052398 = 0.024118

110 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 19: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Zadatak 6 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresjecne sile za konstrukciju na slici 5.23

3m 3m 3m

4m

4m

30kN

p = 6kN/m

30/50 30/50 30/50

30/50 30/50 30/50

30/50

30/30

30/30

30/30

30/30

30/30

30/30

Slika 5.23

Rjesenje

1 2 3

4 5 6

7

8 10

12

13

9 11

12 3 4

56 7 8

910

1

2 3

4

5 5 5 5

6 6

7

7

7

x

y

x

y

y

x

Y

X

Slika 5.24

a) Rjesavanje direktnim asembliranjem matrica krutosti

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 7 1

03𝐸𝐼

𝑙30 −3𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2

0 0 0 0 0

7 −3𝐸𝐼

𝑙30

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙2

13𝐸𝐼

𝑙20 −3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 7 1 0 0

73𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

13𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

0 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 0 2 7 0

03𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

23𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

7 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

5 7 0 0 3

73𝐸𝐼

𝑙30 −3𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2

0 0 0 0 0

0 −3𝐸𝐼

𝑙30

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙2

33𝐸𝐼

𝑙20 −3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

6 0 3 0 0

03𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

33𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

0 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

7 0 0 7 4

03𝐸𝐼

𝑙30 −3𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2

0 0 0 0 0

7 −3𝐸𝐼

𝑙30

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙2

43𝐸𝐼

𝑙20 −3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

8 5 2 0 0

53𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

23𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

0 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

9 6 0 5 2

63𝐸𝐼

𝑙30 −3𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2

0 0 0 0 0

5 −3𝐸𝐼

𝑙30

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙2

23𝐸𝐼

𝑙20 −3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

10 5 0 0 1

53𝐸𝐼

𝑙30 −3𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2

0 0 0 0 0

0 −3𝐸𝐼

𝑙30

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙2

13𝐸𝐼

𝑙20 −3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

11 6 4 5 0

63𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

43𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

5 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

12 5 3 0 0

53𝐸𝐼

𝑙33𝐸𝐼

𝑙2−3𝐸𝐼

𝑙30

33𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙−3𝐸𝐼

𝑙20

0 −3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙23𝐸𝐼

𝑙30

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

3𝐸𝐼𝐺/𝑙𝐺 = 3 · 3 · 107 · 0.003125 = 93750

3𝐸𝐼𝐺/𝑙2𝐺 = 3 · 3 · 107 · 0.0031252 = 31250

3𝐸𝐼𝐺/𝑙3𝐺 = 3 · 3 · 107 · 0.0031253 = 10416.67

3𝐸𝐼𝑆/𝑙𝑆 = 3 · 3 · 107 · 0.000675 = 15187.5

3𝐸𝐼𝑆/𝑙2𝑆 = 3 · 3 · 107 · 0.0006752 = 3796.88

3𝐸𝐼𝑆/𝑙3𝑆 = 3 · 3 · 107 · 0.0006753 = 949.22

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 111

Page 20: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

202687.50 0 0 0 3796.88 0 0

124125.00 0 0 0 3796.88 −31250.00

202687.50 0 3796.88 0 31250.00

108937.50 −3796.88 3796.88 −31250.00

4746.1 −1898.44 0

simetricno 1898.44 0

52083.34

ϕ2 ϕ5 ϕ7 ϕ10 u1 u2 u3

ϕ2

ϕ5

ϕ7

ϕ10

u1

u2

u3

=

0

0

6.75

6.75

30.00

0

−18.00

Slika 5.25: Sistem jednacina

𝐾11 =3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝑆𝑙𝑆

= 202687.5

𝐾12 = 0

𝐾13 = 0

𝐾14 = 0

𝐾15 =3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆

= 3796.88

𝐾16 = 0

𝐾17 = −3𝐸𝐼𝐺𝑙2𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙2𝐺

= 0

𝐾22 =3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝑆𝑙𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙𝑆

= 124125

𝐾23 = 0

𝐾24 = 0

𝐾25 =3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆− 3𝐸𝐼𝑆

𝑙2𝑆= 0

𝐾26 =3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆

= 3796.88

𝐾27 = −3𝐸𝐼𝐺𝑙2𝐺

= −31250

𝐾33 =3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝑆𝑙𝑆

= 202687.5

𝐾34 = 0

𝐾35 =3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆

= 3796.88

𝐾36 = 0

𝐾37 =3𝐸𝐼𝐺𝑙2𝐺

= 31250

𝐾44 =3𝐸𝐼𝐺𝑙𝐺

+3𝐸𝐼𝑆𝑙𝑆

= 108937.5

𝐾45 = −3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆

= −3796.88

𝐾46 =3𝐸𝐼𝑆𝑙2𝑆

= 3796.88

𝐾47 = −3𝐸𝐼𝐺𝑙2𝐺

= −31250

𝐾55 =3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

= 4746.1

𝐾56 = −3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆− 3𝐸𝐼𝑆

𝑙3𝑆= −1898.44

𝐾57 = 0

𝐾66 =3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

+3𝐸𝐼𝑆𝑙3𝑆

= 1898.44

𝐾67 = 0

𝐾77 =3𝐸𝐼𝐺𝑙3𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙3𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙3𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙3𝐺

+3𝐸𝐼𝐺𝑙3𝐺

= 52083.35

Rjesenje sistema jednacina

𝑢 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−0.0002197−0.0006170−0.0000602−0.00023220.01173080.0134291−0.0008190

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Sad cemo rijesiti ovaj sistem postavljanjem Takabejevihjednacina i uporediti rezultate, a nakon toga cemo odreditipresjecne sile po stapovima.

112 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 21: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

b) Rjesavanje postavljanjem Takabejevih jednacina

1 2 3

4 5 6

7

8 10 12 13

9 11

12 3 4

56 7 8

910

ϕ2

ϕ5 ϕ7

ϕ10

∆1

∆2

∆3

x

y

y

x

Y

X

Slika 5.26

Pomjeranja koja se traze

• Rotacije cvorova 𝜙2, 𝜙5, 𝜙7, 𝜙10

• Translatorna pomjeranja Δ1,Δ2,Δ3

Takabejeve jednacine

Tik Tki

Mki

i k

EI

l

Slika 5.27

𝑀𝑖𝑘 = 0

𝑀𝑘𝑖 = 1.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑘𝑖

𝑇𝑖𝑘 = 0.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −0.5𝑘𝑖𝑘(𝜙𝑘 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

gdje je 𝑘𝑖𝑘 =2𝐸𝐼

𝑙𝑖𝑘, 𝑘𝑖𝑘 =

6𝐸𝐼

𝑙2𝑖𝑘, 𝑘𝑖𝑘 =

3𝑘𝑖𝑘𝑙𝑖𝑘

Tik Tki

Mik

i k

EI

l

Slika 5.28

𝑀𝑖𝑘 = 1.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)−𝑀∘

𝑖𝑘

𝑀𝑘𝑖 = 0

𝑇𝑖𝑘 = 0.5𝑘𝑖𝑘

(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑖𝑘

𝑇𝑘𝑖 = −0.5𝑘𝑖𝑘(𝜙𝑖 −

Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘

)− 𝑇 ∘

𝑘𝑖

Postavljanje jednacina ravnoteze

Rotacija cvora 2

𝑀21 = 93750.0·𝜙2 − 31250 ·Δ3

𝑀26 = 15187.5·𝜙2 − 3796.875 ·Δ1

𝑀23 = 93750.0·𝜙2 − 31250 · (−Δ3)∑𝑘=1,3,6

𝑀2𝑘 = 202687.5 · 𝜙2 − 3796.875 ·Δ1 = 0

Rotacija cvora 5

𝑀51 = 15187.5·𝜙5 − 3796.875 ·Δ1

𝑀56 = 93750.0·𝜙5 − 31250 ·Δ3

𝑀59 = 15187.5·𝜙5 − 3796.875 ·Δ2∑𝑘=1,6,9

𝑀5𝑘 = 0

124125 · 𝜙5 − 3796.875 ·Δ1 − 3796.875 ·Δ2 − 31250 ·Δ3 = 0

Rotacija cvora 7

𝑀76 = 93750.0·𝜙7 − 31250 · (−Δ3) + 6.75

𝑀73 = 15187.5·𝜙7 − 3796.875 ·Δ1

𝑀78 = 93750.0·𝜙7∑𝑘=6,3,8

𝑀7𝑘 = 0

202687.5 · 𝜙7 − 3796.875 ·Δ1 + 31250 ·Δ3 = −6.75

Rotacija cvora 10

𝑀10−9 = 93750.0·𝜙10 − 31250 · (−Δ3) + 6.75

𝑀10−6 = 15187.5·𝜙10 − 3796.875 ·Δ2∑𝑘=9,6

𝑀10−𝑘 = 0

108937.5 · 𝜙10 − 3796.875 ·Δ2 + 31250 ·Δ3 = −6.75

Relativno pomjeranje Δ1

𝑇51 = −3796.875·𝜙5 + 949.219 ·Δ1

𝑇62 = −3796.875·𝜙2 + 949.219 ·Δ1

𝑇73 = −3796.875·𝜙7 + 949.219 ·Δ1

𝑇84 = 0∑𝑖,𝑘

𝑇𝑖𝑘 = 0

2847.657 ·Δ1−3796.875 ·𝜙2−3796.875 ·𝜙5−3796.875 ·𝜙7 = 30

Relativno pomjeranje Δ2

𝑇95 = −3796.875·𝜙5 + 949.219 ·Δ2

𝑇10−6 = −3796.875·𝜙10 + 949.219 ·Δ2

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 113

Page 22: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

202687.50 0 0 0 −3796.88 0 0

0 124125.00 0 0 −3796.88 −3796.88 −31250.00

0 0 202687.50 0 −3796.88 0 31250.00

0 0 0 108937.50 0 −3796.88 −31250.00

−3796.88 −3796.88 −3796.88 0 2847.66 0 0

0 −3796.88 0 −3796.88 0 1898.44 0

0 −31250.00 31250.00 −31250.00 0 0 52083.34

ϕ2 ϕ5 ϕ7 ϕ10 ∆1 ∆2 ∆3

ϕ2

ϕ5

ϕ7

ϕ10

∆1

∆2

∆3

=

0

0

−6.75

−6.75

30.00

0

18.00

∑𝑖,𝑘

𝑇𝑖𝑘 = 0

1898.438 ·Δ2 − 3796.875 · 𝜙5 − 3796.875 · 𝜙10 = 0

Relativno pomjeranje Δ3

𝑇10−9 = −31250·𝜙10 + 10416.667 ·Δ3 − 11.25

𝑇65 = −31250·𝜙5 + 10416.667 ·Δ3

𝑇21 = −31250·𝜙2 + 10416.667 ·Δ3

𝑇23 = 31250· 𝜙2 − 10416.667 · (−Δ3)

𝑇67 = 31250· 𝜙7 − 10416.667 · (−Δ3)− 6.75

∑𝑖,𝑘

𝑇𝑖𝑘 = 0

52083.335 ·Δ3 − 31250 · 𝜙5 + 31250 · 𝜙7 − 31250 · 𝜙10 = 18

4.99

46.19

32.25

37.98

5.6235.17

2.92

41.2

2.92

43.63

M

+

-

-

+

Slika 5.29: Dijagram momenata

-1.66

15.4

10.75

3.66

21.66

1.88

-8.79

0.73

-10.3

-0.73

-10.91

-8.03

9.97

T

Slika 5.30: Dijagram poprecnih sila

114 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 23: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Zadatak 7 Konstrukciju na slici 5.31 proracunati koristecimetodu deformacija. Za gredne elemente pretpostaviti da suaksijalno kruti.

a) Odrediti moguce stepene slobode kretanja,

b) Proracunati pomjeranja u prethodno definisanim stepen-ima slobode kretanja. Proracunati takode i rotaciju krajagrede 𝜙𝑔.

c) Proracunati presjecne sile na krajevima elemenata i nacr-tati dijagrame presjecnih sila.

3m

3√

2

2m

5m4m3√

2

2m

10kN/m

c = 104kN/m

Grede

EI = 5 · 104kNm2

EA = ∞

Zatega

EA = 3 · 104kN

ϕg

Slika 5.31Rjesenje

a) Stepeni slobode kretanja su oznaceni na slici 5.32

5

3 42

1

1

2 3

4

1 2

x

y

y

x

y

x

x

y

x

y

Slika 5.32

b) Proracun pomjeranja

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 1

0 𝑐2 𝑐𝑠 −𝑐2 −𝑐𝑠

0 𝑐𝑠 𝑠2 −𝑐𝑠 −𝑠2

0 −𝑐2 −𝑐𝑠 𝑐2 𝑐𝑠

1 −𝑐𝑠 −𝑠2 𝑐𝑠 𝑠2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝐸𝐴

𝑙1

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 0 0 2

13𝐸𝐼

𝑙320 −3𝐸𝐼

𝑙32

3𝐸𝐼

𝑙22

0 0 0 0 0

0 −3𝐸𝐼

𝑙320

3𝐸𝐼

𝑙32−3𝐸𝐼

𝑙22

23𝐸𝐼

𝑙220 −3𝐸𝐼

𝑙22

3𝐸𝐼

𝑙2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 0 2 0 0

03𝐸𝐼

𝑙33

3𝐸𝐼

𝑙23−3𝐸𝐼

𝑙330

23𝐸𝐼

𝑙23

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙230

0 −3𝐸𝐼

𝑙33−3𝐸𝐼

𝑙23

3𝐸𝐼

𝑙330

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 0 2 0 0

03𝐸𝐼

𝑙34

3𝐸𝐼

𝑙24−3𝐸𝐼

𝑙340

23𝐸𝐼

𝑙24

3𝐸𝐼

𝑙4−3𝐸𝐼

𝑙240

0 −3𝐸𝐼

𝑙34−3𝐸𝐼

𝑙24

3𝐸𝐼

𝑙340

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐾11 =𝐸𝐴

𝑙1𝑠2 +

3𝐸𝐼

𝑙32+ 104 = 104 · 1

2+

15

64· 104 + 104 =

111

64· 104

𝐾12 =3𝐸𝐼

𝑙22=

15

16· 104

𝐾22 =3𝐸𝐼

𝑙2+

3𝐸𝐼

𝑙3+

3𝐸𝐼

𝑙4=

47

4· 104

pa dobijamo

𝐾 = 104 ·

⎡⎣ 1.7344 0.9375

0.9375 11.75

⎤⎦Globalni vektor sila

Stap 2

Za kruto vezan stap

𝑀∙2 = −𝑞 · 𝑙

2

12= −10 · 42

12= −13.333

𝑀∙3 =

𝑞 · 𝑙2

12=

10 · 42

12= 13.333

𝑉 ∙2 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 4

2= −20.0

𝑉 ∙3 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 4

2= −20.0

Za stap 2 zglobno vezan u cvoru 2

𝑀∘2 = 0

𝑀∘3 =𝑀∙

3 − 0.5 ·𝑀∙2 = 13.333− 0.5 · (−13.333) = 20.0

𝑉 ∘2 = 𝑉 ∙

2 − 1.5𝑀∙

2

𝑙2= −20.0− 1.5

−13.3334

= −15.0

𝑉 ∘3 = 𝑉 ∙

3 + 1.5𝑀∙

2

𝑙2= −20.0 + 1.5

−13.3334

= −25.0

Vektor sila stapa 2 za globalni sistem jednacina, formiran naosnovu globalnih stepeni slobode kretanja

𝑓2 =

[−15.020.0

]Stap 3

Za kruto vezan stap

𝑀∙3 = −𝑞 · 𝑙

2

12= −10 · 52

12= −20.8333

𝑀∙4 =

𝑞 · 𝑙2

12=

10 · 52

12= 20.8333

𝑉 ∙3 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 5

2= −25.0

𝑉 ∙4 = −𝑞 · 𝑙

2= −10 · 5

2= −25.0

Za stap 3 zglobno vezan u cvoru 4

𝑀∘3 =𝑀∙

3 − 0.5 ·𝑀∙4 = −20.8333− 0.5 · (20.8333) = −31.25

𝑀∘4 = 0

𝑉 ∘3 = 𝑉 ∙

3 − 1.5𝑀∙

4

𝑙3= −25.0− 1.5

20.8333

5= −31.25

𝑉 ∘4 = 𝑉 ∙

4 + 1.5𝑀∙

4

𝑙3= −25.0 + 1.5

20.8333

5= −18.75

Vektor sila stapa 3 za globalni sistem jednacina, formiran naosnovu globalnih stepeni slobode kretanja

𝑓3 =

[0

−31.25

]Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 115

Page 24: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Konacno dobijamo globalni vektor sila

𝑓 =

[−15.020.0

]+

[0

−31.25

]=

[−15

−11.25

]Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

[−0.000850−0.000028

]Rotacija grede 2 u cvoru 2

𝜙2 = −0.5𝜙3 + 1.5Δ23

𝑙2+ 0.25

𝑀∙23

𝑘23

Δ23 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖 = 0− (−0.000850) = 0.000850

𝑘23 =𝐸𝐼

𝑙2=

5 · 104

4= 1.25 · 104

𝜙2 = −0.5 · (−0.000028) + 1.50.000850

4+ 0.25

−13.3331.25 · 104

= 0.000066

Uvodenje stepena slobode kretanja 3

Druga mogucnost za proracun rotacije grede 2 u cvoru 2 jeuvodenje stepena slobode kretanja 3, koje ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja, kako je prikazano na slici 5.33 U ovomslucaju za stap 2 koristimo matricu krutosti stapa kruto vezanogna oba kraja. Primijetimo da iako postoji SSK 3 u cvoru 2 stap 1nema odgovarajuci SSK i ne doprinosti rotacionoj krutosti (SSK3) u cvoru 2

5

3 42

1

1

2 3

4

1 23

x

y

y

x

y

x

x

y

x

y

Slika 5.33

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 1

0 𝑐2 𝑐𝑠 −𝑐2 −𝑐𝑠

0 𝑐𝑠 𝑠2 −𝑐𝑠 −𝑠2

0 −𝑐2 −𝑐𝑠 𝑐2 𝑐𝑠

1 −𝑐𝑠 −𝑠2 𝑐𝑠 𝑠2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝐸𝐴

𝑙1

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 3 0 2

112𝐸𝐼

𝑙32

6𝐸𝐼

𝑙22−12𝐸𝐼

𝑙32

6𝐸𝐼

𝑙22

36𝐸𝐼

𝑙22

4𝐸𝐼

𝑙2−6𝐸𝐼

𝑙22

2𝐸𝐼

𝑙2

0 −12𝐸𝐼

𝑙32−6𝐸𝐼

𝑙22

12𝐸𝐼

𝑙32−6𝐸𝐼

𝑙22

26𝐸𝐼

𝑙22

2𝐸𝐼

𝑙2−6𝐸𝐼

𝑙22

4𝐸𝐼

𝑙2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 0 2 0 0

03𝐸𝐼

𝑙33

3𝐸𝐼

𝑙23−3𝐸𝐼

𝑙330

23𝐸𝐼

𝑙23

3𝐸𝐼

𝑙3−3𝐸𝐼

𝑙230

0 −3𝐸𝐼

𝑙33−3𝐸𝐼

𝑙23

3𝐸𝐼

𝑙330

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 0 2 0 0

03𝐸𝐼

𝑙34

3𝐸𝐼

𝑙24−3𝐸𝐼

𝑙340

23𝐸𝐼

𝑙24

3𝐸𝐼

𝑙4−3𝐸𝐼

𝑙240

0 −3𝐸𝐼

𝑙34−3𝐸𝐼

𝑙24

3𝐸𝐼

𝑙340

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝐾11 =𝐸𝐴

𝑙1𝑠2 +

12𝐸𝐼

𝑙32+ 104 =

104 · 12+

60

64· 104 + 104 =

156

64· 104

𝐾12 =6𝐸𝐼

𝑙22=

30

16· 104

𝐾13 =6𝐸𝐼

𝑙22=

30

16· 104

𝐾22 =4𝐸𝐼

𝑙2+

3𝐸𝐼

𝑙3+

3𝐸𝐼

𝑙4= 13 · 104

𝐾23 =2𝐸𝐼

𝑙2=

5

2104

𝐾33 =4𝐸𝐼

𝑙2= 5 · 104

pa dobijamo

𝐾 = 104 ·

⎡⎢⎣ 2.4375 1.875 1.875

13.000 2.500

simetricno 5.000

⎤⎥⎦Globalni vektor sila

𝑓 =

⎡⎣ −20.00013.333−13.333

⎤⎦+

⎡⎣ 0−31.25

0

⎤⎦ =

⎡⎣ −20.000−17.917−13.333

⎤⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja

𝑢 =

⎡⎣ −0.000850−0.0000280.000066

⎤⎦odakle mozemo zakljuciti da je 𝑢3 = 𝜙2 koje je proracunato uprethodnoj sekciji.

c) Presjecne sile na krajevima elemenata

Stap 1Transformacija pomjeranja cvora ��𝑛 iz globalnog koordinatnogsistema u lokalni koordinatni sistem (vektor pomjeranja 𝑢𝑒

𝑛).

��𝑛 =

[𝑐 −𝑠𝑠 𝑐

]𝑢𝑒

𝑛 ⇒ 𝑢𝑒𝑛 =

[𝑐 𝑠−𝑠 𝑐

]��𝑛

gdje je

��𝑛 =

[��𝑛𝑥

��𝑛𝑦

], 𝑢𝑒

𝑛 =

[𝑢𝑒𝑛𝑥

𝑢𝑒𝑛𝑦

]

(𝛼 = −45∘)

116 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 25: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Pomjeranje cvora 2 u lokalnom koordinatnom sistemu stapa 1

𝑢12 =

[𝑢12𝑥

𝑢12𝑦

]=

√2

2

[1 −11 1

] [0

−0.000850

]=

[0.000601−0.000601

]Vektor pomjeranja cvorova stapa 1 u lokalnom koordinatnomsistemu

𝑢1 =

[𝑢11𝑥

𝑢12𝑥

]=

[0

0.000601

]𝑓1 = 𝐾1𝑢1 = 104 ·

[1 −1−1 1

] [0

0.000601

]=

[−6.016.01

]Stap 2

𝑓2 = 𝐾2𝑢2 − 𝑠∙2

=5 · 104

64·

⎡⎢⎢⎣12 24 −12 2424 64 −24 32−12 −24 12 −2424 32 −24 64

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣−0.0008500.000066

0−0.000028

⎤⎥⎥⎦−⎡⎢⎢⎣−20.000−13.333−20.00013.333

⎤⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎣12.74

027.26−29.02

⎤⎥⎥⎦Sad cemo za vjezbu proracunati vektor sila stapa 2 koristecirezultat dobijen u prvoj sekciji kad smo stap 2 posmatrali kaozglobno vezan u cvoru 2, dakle rotacija 𝜙2 je izbacena statickomkondenzacijom i vektor pomjeranja stapa je⎡⎣ 𝑣2𝑣3𝜙3

⎤⎦

𝑓2 = 𝐾2𝑢2 − 𝑠∘2

=5 · 104

64·

⎡⎣ 3 −3 12−3 3 −1212 −12 48

⎤⎦⎡⎣ −0.0008500−0.000028

⎤⎦−⎡⎣ −15.0−25.0

20.0

⎤⎦=

⎡⎣ 12.7427.25−29.02

⎤⎦Stap 3

𝑓3 = 𝐾3𝑢3 − 𝑠∘3

=3 · 5 · 104

125·

⎡⎢⎢⎣1 5 −1 05 25 −5 0−1 −5 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

0−0.000028

00

⎤⎥⎥⎦−⎡⎢⎢⎣−31.25−31.25−18.751

0

⎤⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎣31.0830.4118.92

0

⎤⎥⎥⎦Stap 4

𝑓4 = 𝐾4𝑢4 − 𝑠∘4

=3 · 5 · 104

27·

⎡⎢⎢⎣1 3 −1 03 9 −3 0−1 −3 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

0−0.000028

00

⎤⎥⎥⎦−⎡⎢⎢⎣

0000

⎤⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎣−0.467−1.4000.467

0

⎤⎥⎥⎦

1.4

-30.41

-29.01

M

+

-

+

0.47

31.08

18.92

12.74

27.26

T

+

-

+

-58.34

3.78 3.784.25

6.01

6.01

N

-

+

+

Slika 5.34

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 117

Page 26: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Zadatak 8 Proracunati pomjeranja, reakcije i presjecne sile nakonstrukciji sa slike 5.35 primjenom metode deformacija. Pret-postaviti da su svi stapovi aksijalno kruti.

4m 6m

3.5m

3m

12kN/m

4kN/m

S S S

S S

G G

G

E = 3 · 107kN/m2

G : 30× 50cmS : 40× 40cm

80kN

Slika 5.35

Rjesenje Stepeni slobode kretanja su dati na slici 5.36. Sa pret-postavkom o aksijalnoj krutosti stapova cvorovi 4, 5 i 6 imajuisti stepen slobode kretanja u 𝑋 pravcu 6, a cvorovi 7 i 8 imajuisti SSK 7. Posto su i stubovi aksijalno kruti nijedan cvor nemamogucnost pomjeranja u pravcu 𝑌 .

1 2 3

4 5

6

7 8

1 2

3

4 5 6

7 8

8

1 2 3

4 5

6 6 6

7 7

x

y

x

y

y

x

Y

X

Slika 5.36

Primjetimo da su stapovi 1 i 2 na isti nacin vezani, medutim usvrhu vjezbanja, za stap 1 cemo koristiti matricu krutosti ele-menta kojem je oslobadanje momenta na kraju stapa uzeto uobzir statickom kondenzacijom sistema jednacina nakon cegarotacioni SSK kod cvora 𝑗 (na stapu sa cvorovima 𝑖− 𝑗) ne fig-urira u sistemu jednacina. (Isto i za stap 7). Za stap 2 cemokoristiti matricu krutosti elementa kruto vezanog na oba krajapa cemo zato kod cvora 2 imati SSK 8 koji ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja 𝑢𝑛, vidjeti jednacinu 5.9 Za stap 3 cemo ko-ristiti istu matricu krutosti kao za stap 2 medutim posto je stap3 ukljesten kod cvora 3,[

𝐾𝑛𝑛 𝐾𝑛𝑝

𝐾𝑝𝑛 𝐾𝑝𝑝

] [𝑢𝑛

𝑢𝑝

]=

[𝐹 𝑝

𝐹 𝑛

](5.9)

𝑢𝑛 - vektor nepoznatih pomjeranja𝑢𝑝 - vektor poznatih pomjeranja u osloncima𝐹 𝑝 - vektor poznatih sila𝐹 𝑛 - vektor nepoznatih sila - reakcije

njegovo rotaciono pomjeranje kod cvora 3 ulazi u vektor poz-natih pomjeranja 𝑢𝑝, a kako su sva poznata pomjeranja 𝑢𝑝 = 0formiramo samo matricu 𝐾𝑛𝑛 koja odgovara vektoru nepoz-natih pomjeranja tako da nismo ni obiljezili stepene slobodekretanja koji odgovaraju poznatim pomjeranjima.

Iz globalnog sistema jednacina 5.9, uvrstavajuci poznata pom-jeranja dobijamo redukovani sistem

𝐾𝑛𝑛 · 𝑢𝑛 +𝐾𝑛𝑝 · 0 = 𝐹 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 = 𝐾−1𝑛𝑛𝐹 𝑝

Listing 5.6: Matrica krutosti stapa sa otpustenim momentom u cvoru𝑘, Greda2DTiMi Tk.sci

313 function rezultat = Greda2DTiMi˙Tk(idx, koordinate, elementi,presjek)

314 // Greda2DTiMi˙Tk - Matrica krutosti ravnog grednog315 // aksijalno krutog stapa316 // cvorovi i-k ; u cvoru k otpusten momenat317

318 Em = presjek(1);319 I = presjek(2);320

321 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);322 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);323 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);324 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);325

326 duzina = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);327

328 km3 = 3 * Em * I / duzina^3;329 km3L2 = km3 * duzina;330 km3L = km3L2 * duzina;331

332 rezultat = [333 km3 km3L2 -km3 0334 km3L2 km3L -km3L2 0335 -km3 -km3L2 km3 0336 0 0 0 0];337

338 endfunction

Listing 5.7: Vektor ekvivalentnog opterecenja od ravnomjernoraspodjeljenog opterecenja na gredi sa otpustenim momentomkod cvora 𝑘, RavnomjernoOptTiMi Tk.sci

339 function rezultat = RavnomjernoOptTiMi˙Tk(idx, koordinate,elementi, p)

340 // RavnomjernoOptTiMi˙Tk - Vektor341 // ekvivalentnog opterecenja na gredi342 // sa otpustenim momentom na suprotnom cvoru343 // od ravnomjernog opterecenja344

345 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);346 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);347 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);348 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);349

350 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);351

352 Mki = -p*d^2/12;353

354 rezultat = [355 p*d/2 - 1.5*Mki/d356 p*d^2/12 - Mki/2357 p*d/2 + 1.5*Mki/d358 0];359

360 endfunction

Konacno mozemo napisati sljedecu skriptu za proracun kon-strukcije

Listing 5.8: Proracun pomjeranja primjenom tehnicke metode defor-macija, Zadatak8.sce

118 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 27: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

361 // Zadatak 8362 // ***********************************************************363 clear;364 clc;365 exec('./Greda2D4x4.sci', -1);366 exec('./Greda2DTiMi˙Tk.sci', -1);367 exec('./RavnomjernoOpt.sci', -1);368 exec('./RavnomjernoOptTiMi˙Tk.sci', -1);369

370 // ******************* ULAZNI PODACI *************************371 // duzina m; sila kN;372

373 // E I374 presjekG = [3*10^7, 0.3*0.5^3/12];375 presjekS = [3*10^7, 0.4^4/12];376

377 // Koordinate cvorova378 koordinate = [379 0 0380 4 0381 10 0382 0 3.5383 4 3.5384 10 3.5385 4 6.5386 10 6.5];387

388 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima389 elementi =[390 1 4391 2 5392 3 6393 5 7394 6 8395 7 8396 4 5397 5 6];398

399 SSKEL = [400 6 1 0 0401 6 2 0 8402 6 3 0 0403 7 4 6 2404 7 5 6 3405 0 4 0 5406 0 1 0 0407 0 2 0 3];408

409 Kels = hypermat([4 4 size(elementi,'r')]);410 Fels = hypermat([4 1 size(elementi,'r')]);411

412 Kels(:,:,1)=Greda2DTiMi˙Tk(1, koordinate, elementi, presjekS);413 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);414 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);415 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);416 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekS);417 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);418 Kels(:,:,7)=Greda2DTiMi˙Tk(7, koordinate, elementi, presjekG);419 Kels(:,:,8) = Greda2D4x4(8, koordinate, elementi, presjekG);420

421 Fels(:,:,5) = RavnomjernoOpt(5, koordinate, elementi, -4.0);422 Fels(:,:,7)=RavnomjernoOptTiMi˙Tk(7,koordinate,elementi,-12);423

424 // ********************** RJESAVANJE *************************425

426 KGlob = zeros(8, 8);427 FGlob = zeros(8, 8);428

429 for i=1:size(elementi, 'r')430

431 Kel = Kels(:,:,i);432 adresa = SSKEL(i,:);433

434 for j = 1:4435 for k = 1:4436 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then437 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..438 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);439 end440 end // for k441 end // for j442

443 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja444 Fel = Fels(:,:, i);445

446 for j = 1:4447 if (adresa(j) ˜= 0) then448 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);449 end450 end // for j451

452 end // for i453

454 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********455

456 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;457

458 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************459

460 UGlob = KGlob “ FGlob;461

462 mprintf(”“n================== REZULTATI PRORACUNA”);463 mprintf(”“n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA”);464 mprintf(”“n“%15.6f”, UGlob(:,1));

Listing 5.9: Globalni vektor pomjeranja, Zadatak2.sce

465 ================== REZULTATI PRORACUNA466 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA467 0.000438468 0.000489469 0.000914470 0.000247471 0.000066472 -0.005032473 -0.006425474 0.001912

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 119

Page 28: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Proracun reakcija 5.37

1 2 3

4 5

6

7 8

1 2

3

4 5 6

7 8

8

12

3

4 5

6 6 6

7 7

9

10 11

12

14

13

15

10 11

11

14

14

x

y

x

y

y

x

Y

X

Slika 5.37

Listing 5.10: Zadatak 8A, Zadatak8A.sce

475 // Zadatak 8A476 // ***********************************************************477 clear;478 clc;479 exec('./Greda2D4x4.sci', -1);480 exec('./Greda2DTiMi˙Tk.sci', -1);481 exec('./RavnomjernoOpt.sci', -1);482 exec('./RavnomjernoOptTiMi˙Tk.sci', -1);483

484 // ******************* ULAZNI PODACI *************************485 // duzina m; sila kN;486

487 // E I488 presjekG = [3*10^7, 0.3*0.5^3/12];489 presjekS = [3*10^7, 0.4^4/12];490

491 // Koordinate cvorova492 koordinate = [493 0 0494 4 0495 10 0496 0 3.5497 4 3.5498 10 3.5499 4 6.5500 10 6.5];501

502 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima503 elementi =[504 1 4505 2 5506 3 6507 5 7508 6 8509 7 8510 4 5511 5 6];512

513 SSKEL = [514 6 1 9 0515 6 2 12 8516 6 3 13 15517 7 4 6 2518 7 5 6 3519 11 4 14 5520 10 1 11 0521 11 2 14 3];522

523 Kels = hypermat([4 4 size(elementi,'r')]);524 Fels = hypermat([4 1 size(elementi,'r')]);525

526 Kels(:,:,1)=Greda2DTiMi˙Tk(1, koordinate, elementi, presjekS);527 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);528 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);529 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);530 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekS);531 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);532 Kels(:,:,7)=Greda2DTiMi˙Tk(7, koordinate, elementi, presjekG);533 Kels(:,:,8) = Greda2D4x4(8, koordinate, elementi, presjekG);534

535 Fels(:,:,5) = RavnomjernoOpt(5, koordinate, elementi, -4.0);536 Fels(:,:,7)=RavnomjernoOptTiMi˙Tk(7,koordinate,elementi,-12);537

538 // ********************** RJESAVANJE *************************539 KGlob = zeros(15, 15);540 FGlob = zeros(15, 15);541

542 for i=1:size(elementi, 'r')543 Kel = Kels(:,:,i);544 adresa = SSKEL(i,:);545

546 for j = 1:4547 for k = 1:4548 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then549 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..550 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);551 end552 end // for k553 end // for j554

555 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja556 Fel = Fels(:,:, i);557

558 for j = 1:4559 if (adresa(j) ˜= 0) then560 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);561 end562 end // for j563 end // for i564

565 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********566

567 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;568

569 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************570 // Nema pomjeranja oslonaca pa se za rjesavanje571 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice572 // krutosti i odgovarajuci vektor sila573

574 K11 = KGlob(1:8,1:8);575 F1 = FGlob(1:8,1);576

577 // RJESENJE SISTEMA JEDNACINA578 U1 = K11 “ F1;579

580 UGlob = zeros(15, 15);581 UGlob(1:8, 1) = U1(1:8, 1);582

583 mprintf(”“n================== REZULTATI PRORACUNA”);584 mprintf(”“n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA”);585 mprintf(”“n“%15.6f”, UGlob(1:15,1));586

587 // ************* PRORACUN REAKCIJA ***************************588

589 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;590

591 mprintf(”“n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA”);592 mprintf(”“n%11.2f”, Reakc(1:15,1));593

594 // **************** POST PROCESSING **************************595 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***596 for i = 1:size(elementi,'r')597 mprintf('“n============================ STAP %d', i);598

599 adresa = SSKEL(i,:);600

601 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja602 for j = 1:4603 if adresa(j) ˜= 0 then604 u( j ) = UGlob( adresa(j) );605 else606 u( j ) = 0;607 end;

120 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 29: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

608 end // for j609

610 // printanje vektora pomjeranja po stapovima611 mprintf(”“nVektor pomjeranja”);612 mprintf(”“n%15.6f”, u(1:4,1));613

614 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati615 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje616 // lokalni sistem nije zarotiran617 // (jer smo tako formirali SSKEL polje)618 // pa je u.l = T' * U.g619

620 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja621 Ke = Kels(:,:,i);622 Fe = Fels(:,:,i);623

624 // proracun vektora sila na stapu625 f = Ke * u - Fe;626

627 mprintf(”“nVektor Sila”);628 mprintf(”“n“%11.2f”, f(1:4,1));629 end // for i

Listing 5.11: Rezultat proracuna, Zadatak8A.sce

630 ================== REZULTATI PRORACUNA631 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA632 0.000438633 0.000489634 0.000914635 0.000247636 0.000066637 -0.005032638 -0.006425639 0.001912640 0.000000641 0.000000642 0.000000643 0.000000644 0.000000645 0.000000646 0.000000647 ============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA648 0.00649 -0.00650 0.00651 0.00652 0.00653 0.00654 -0.00655 0.00656 15.66657 37.71658 37.11659 14.87660 61.47661 -26.81662 -124.30663 ============================ STAP 1664 Vektor pomjeranja665 -0.005032666 0.000438667 0.000000668 0.000000669 Vektor Sila670 -15.66671 -54.82672 15.66673 0.00674 ============================ STAP 2675 Vektor pomjeranja676 -0.005032677 0.000489678 0.000000679 0.001912680 Vektor Sila681 -14.87682 -52.03683 14.87684 0.00685 ============================ STAP 3686 Vektor pomjeranja

687 -0.005032688 0.000914689 0.000000690 0.000000691 Vektor Sila692 -61.47693 -90.85694 61.47695 -124.30696 ============================ STAP 4697 Vektor pomjeranja698 -0.006425699 0.000247700 -0.005032701 0.000489702 Vektor Sila703 -8.20704 -17.47705 8.20706 -7.13707 ============================ STAP 5708 Vektor pomjeranja709 -0.006425710 0.000066711 -0.005032712 0.000914713 Vektor Sila714 8.20715 -11.81716 3.80717 18.41718 ============================ STAP 6719 Vektor pomjeranja720 0.000000721 0.000247722 0.000000723 0.000066724 Vektor Sila725 4.88726 17.47727 -4.88728 11.81729 ============================ STAP 7730 Vektor pomjeranja731 0.000000732 0.000438733 0.000000734 0.000000735 Vektor Sila736 37.71737 54.82738 10.29739 0.00740 ============================ STAP 8741 Vektor pomjeranja742 0.000000743 0.000489744 0.000000745 0.000914746 Vektor Sila747 21.93748 59.16749 -21.93750 72.44

Primijetimo da se i za elemente kojima je otpusten momenat nakraju printa vektor 4× 1 iako takav stap ima 3 stepena slobodekretanja. Potrebno je znati dakle da vrijednost na liniji 668 nepredstavlja rotaciju kraja stapa, vec cemo u ovakvom slucajumorati proracunati rotaciju kraja stapa kako slijedi.

𝜙𝑘 = −0.5𝜙𝑖 + 1.5Δ𝑖𝑘

𝑙𝑖𝑘+ 0.25

𝑀∙𝑘𝑖

𝑘𝑖𝑘, (Δ𝑖𝑘 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖)

= −0.5 · 0.000438 + 1.5 · 0− (−0.005032)3.5

= 0.001938 (5.10)

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 121

Page 30: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Ovo bismo morali uraditi na svakom mjestu gdje smo statickomkondenzacijom izbacili stepen slobode kretanja. U sljedecojvjezbi cemo formirati sistem jednacina tako sto cemo uvesti ste-pen slobode kretanja na svako mjesto gdje zelimo proracunatipomjeranje na konstrukciji. Stepeni slobode kretanja su dati naslici 5.38. Mozemo vidjeti da smo definisali SSK 10 da bismoosigurali razlicito pomjeranje kraja stapa 7 od ostalih stapovavezanih u cvoru 5 cime modeliramo zglobnu vezu stapa 7. Uovom slucaju za stap 7 koristimo matricu kruto vezanog stapana oba kraja.

Proracun svih pomjeranja 5.38

1 2 3

4 5

6

7 8

1 2

3

45

6

7 8

11

129 8

14

13

16

15

17

1

6

12210

6

14

6

316

7

414

7

516

x

y

x

y

y

x

Y

X

Slika 5.38

Listing 5.12: Zadatak 8B, Zadatak8B.sce

751 // Zadatak 8B752 // ***********************************************************753 clear;754 clc;755 exec('./Greda2D4x4.sci', -1);756 exec('./RavnomjernoOpt.sci', -1);757

758 // ******************* ULAZNI PODACI *************************759 // duzina m; sila kN;760

761 // E I762 presjekG = [3*10^7, 0.3*0.5^3/12];763 presjekS = [3*10^7, 0.4^4/12];764

765 // Koordinate cvorova766 koordinate = [767 0 0768 4 0769 10 0770 0 3.5771 4 3.5772 10 3.5773 4 6.5774 10 6.5];775

776 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima777 elementi =[778 1 4779 2 5780 3 6781 5 7782 6 8783 7 8784 4 5785 5 6];786

787 SSKEL = [

788 6 1 11 9789 6 2 13 8790 6 3 15 17791 7 4 6 2792 7 5 6 3793 14 4 16 5794 12 1 14 10795 14 2 16 3];796

797 Kels = hypermat([4 4 size(elementi,'r')]);798 Fels = hypermat([4 1 size(elementi,'r')]);799

800 Kels(:,:,1) = Greda2D4x4(1, koordinate, elementi, presjekS);801 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);802 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);803 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);804 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekS);805 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);806 Kels(:,:,7) = Greda2D4x4(7, koordinate, elementi, presjekG);807 Kels(:,:,8) = Greda2D4x4(8, koordinate, elementi, presjekG);808

809 Fels(:,:,5) = RavnomjernoOpt(5, koordinate, elementi, -4.0);810 Fels(:,:,7) = RavnomjernoOpt(7, koordinate, elementi, -12.0);811

812 // ********************** RJESAVANJE *************************813 KGlob = zeros(17, 17);814 FGlob = zeros(17, 17);815

816 for i=1:size(elementi, 'r')817

818 Kel = Kels(:,:,i);819 adresa = SSKEL(i,:);820

821 for j = 1:4822 for k = 1:4823 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then824 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..825 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);826 end827 end // for k828 end // for j829

830 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja831 Fel = Fels(:,:, i);832 for j = 1:4833 if (adresa(j) ˜= 0) then834 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);835 end836 end // for j837 end // for i838

839 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********840

841 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;842

843 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************844 // Nema pomjeranja oslonaca pa se za rjesavanje845 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice846 // krutosti i odgovarajuci vektor sila847

848 K11 = KGlob(1:10,1:10);849 F1 = FGlob(1:10,1);850

851 // rjesenje852 U1 = K11 “ F1;853

854 UGlob = zeros(17, 17);855 UGlob(1:10, 1) = U1(1:10, 1);856

857 mprintf(”“n================== REZULTATI PRORACUNA”);858 mprintf(”“n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA”);859 mprintf(”“n“%15.6f”, UGlob(1:17,1));860

861 // ************* PRORACUN REAKCIJA ***************************862

863 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;864

865 mprintf(”“n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA”);866 mprintf(”“n%11.2f”, Reakc(1:17,1));867

868 // **************** POST PROCESSING **************************869 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***

122 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 31: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

870

871 for i = 1:size(elementi,'r')872 mprintf('“n============================ STAP %d', i);873

874 adresa = SSKEL(i,:);875

876 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja877 for j = 1:4878 if adresa(j) ˜= 0 then879 u( j ) = UGlob( adresa(j) );880 else881 u( j ) = 0;882 end;883 end // for j884

885 // printanje vektora pomjeranja po stapovima886 mprintf(”“nVektor pomjeranja”);887 mprintf(”“n%15.6f”, u(1:4,1));888

889 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati890 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje891 // lokalni sistem nije zarotiran892 // (jer smo tako formirali SSKEL polje)893 // pa je u.l = T' * U.g894

895 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja896 Ke = Kels(:,:,i);897 Fe = Fels(:,:,i);898

899 // proracun vektora sila na stapu900 f = Ke * u - Fe;901

902 mprintf(”“nVektor Sila”);903 mprintf(”“n“%11.2f”, f(1:4,1));904 end // for i

Listing 5.13: Rezultat proracuna - Zadatak 8B, Zadatak8B.sce

905 ================== REZULTATI PRORACUNA906 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA907 0.000438908 0.000489909 0.000914910 0.000247911 0.000066912 -0.005032913 -0.006425914 0.001912915 0.001937916 -0.000049917 0.000000918 0.000000919 0.000000920 0.000000921 0.000000922 0.000000923 0.000000924 ============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA925 -0.00926 0.00927 0.00928 0.00929 -0.00930 0.00931 -0.00932 0.00933 0.00934 -0.00935 15.66936 37.71937 14.87938 37.11939 61.47940 -26.81941 -124.30942 ============================ STAP 1943 Vektor pomjeranja944 -0.005032945 0.000438946 0.000000947 0.001937948 Vektor Sila

949 -15.66950 -54.82951 15.66952 0.00953 ============================ STAP 2954 Vektor pomjeranja955 -0.005032956 0.000489957 0.000000958 0.001912959 Vektor Sila960 -14.87961 -52.03962 14.87963 0.00964 ============================ STAP 3965 Vektor pomjeranja966 -0.005032967 0.000914968 0.000000969 0.000000970 Vektor Sila971 -61.47972 -90.85973 61.47974 -124.30975 ============================ STAP 4976 Vektor pomjeranja977 -0.006425978 0.000247979 -0.005032980 0.000489981 Vektor Sila982 -8.20983 -17.47984 8.20985 -7.13986 ============================ STAP 5987 Vektor pomjeranja988 -0.006425989 0.000066990 -0.005032991 0.000914992 Vektor Sila993 8.20994 -11.81995 3.80996 18.41997 ============================ STAP 6998 Vektor pomjeranja999 0.000000

1000 0.0002471001 0.0000001002 0.0000661003 Vektor Sila1004 4.881005 17.471006 -4.881007 11.811008 ============================ STAP 71009 Vektor pomjeranja1010 0.0000001011 0.0004381012 0.0000001013 -0.0000491014 Vektor Sila1015 37.711016 54.821017 10.291018 -0.001019 ============================ STAP 81020 Vektor pomjeranja1021 0.0000001022 0.0004891023 0.0000001024 0.0009141025 Vektor Sila1026 21.931027 59.161028 -21.931029 72.44

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 123

Page 32: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

Jednacinom 5.10 smo u prethodnom postupku proracunalirotaciju kraja stapa 1 i dobili 𝜙𝑘 = 0.001938, dok smo sad uveliSSK 9 pa je pomjeranje 𝑢9 = 0.001937 dato na liniji 915

124 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 33: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Zadatak 9 Formirati matricu krutosti makroelementaprikazanog na slici 5.39. Makroelement treba da ima stepeneslobode kretanja naznacene na slici 5.39. Takode, uzeti u obziri poznata pomjeranja cvorova u osloncima.

𝐸 = 3.0 · 107𝑘𝑁/𝑚2

𝐴 = 2.0𝑚2

𝐼 = 1.667 · 10−1𝑚4

4

31

2

3m 3m

2m

4m

Slika 5.39

Rjesenje Formiracemo matricu krutosti konstrukcije a ondastatickom kondenzacijom dobiti matricu krutosti izrazenupreko trazenih stepeni slobode kretanja. Na slici 5.40 data jenumeracija cvorova, stapova i SSK.

Listing 5.14: Formiranje matrice krutosti u lokalnom koordinatnomsistemu, Greda2D.sce

1030 function rezultat = Greda2D(x1,y1,x2,y2,Em,A,I)1031 // Greda2D - Matrica krutosti ravnog grednog stapa1032

1033 duzina = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);1034

1035 ka = Em * A / duzina;1036 km12 = 12 * Em * I / duzina^3;1037 km6= km12 * duzina / 2;1038 km4= km6 * duzina / 1.5;1039 km2= km4 / 2;1040

1041 rezultat = [1042 ka 0 0 -ka 0 01043 0 km12 km6 0 -km12 km61044 0 km6 km4 0 -km6 km21045 -ka 0 0 ka 0 01046 0 -km12 -km6 0 km12 -km61047 0 km6 km2 0 -km6 km4];1048 endfunction

Listing 5.15: Formiranje matrice transformacije, Transformacija.sce

1049 function rezultat = Transformacija(x1,y1,x2,y2)1050 // Transformacija - Matrica transformacije ravnog grednog

stapa1051

1052 duzina = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);1053

1054 c = (x2 - x1)/duzina;1055 s = (y2 - y1)/duzina;1056

1057 rezultat = [1058 c s 0 0 0 01059 -s c 0 0 0 01060 0 0 1 0 0 01061 0 0 0 c s 01062 0 0 0 -s c 01063 0 0 0 0 0 1];1064 endfunction

4

31

2

5 6

7

89

10

11

12

1 2

3

1

3

2

4

Slika 5.40

Listing 5.16: Proracun matrice krutosti makroelementa,StatKond.sce

1065 // Zadatak 91066 // ***********************************************************1067

1068 exec('./Greda2D.sce', -1);1069 exec('./Transformacija.sce', -1);1070

1071 // ******************* ULAZNI PODACI *************************1072 // duzina m; sila kN1073

1074 E = 3*10^7;1075 A = 2;1076 I = 0.1667;1077

1078 // Koordinate cvorova1079 cvor = [1080 -3 21081 3 21082 0 01083 0 -4];1084

1085 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima1086 stap =[1087 1 31088 3 21089 3 4];1090

1091 // Stepeni slobode kretanja po cvorovima1092 SSK = [1093 1 2 51094 3 4 61095 7 8 91096 10 11 12];1097

1098 // ********************* RJESENJE ****************************1099

1100 KGlob = zeros(12, 12);1101

1102 for i = 1:size(stap,'r') // size(stap,'r') = BrojStapova1103

1104 ni = stap(i, 1);1105 nj = stap(i, 2);1106

1107 x1 = cvor(ni, 1);1108 y1 = cvor(ni, 2);1109

1110 x2 = cvor(nj, 1);1111 y2 = cvor(nj, 2);1112

1113 Ke = Greda2D(x1, y1, x2, y2, E, A, I);1114 T = Transformacija(x1, y1, x2, y2);1115 Kg = T` * Ke * T;1116

1117 adresa(1) = SSK(ni, 1);1118 adresa(2) = SSK(ni, 2);1119 adresa(3) = SSK(ni, 3);1120 adresa(4) = SSK(nj, 1);1121 adresa(5) = SSK(nj, 2);1122 adresa(6) = SSK(nj, 3);

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 125

Page 34: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

1123

1124 for j = 1:61125 for k = 1:61126 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..1127 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kg(j, k);1128 end // for k1129 end // for j1130

1131 end //for i za sve stapove1132

1133 //Staticka kondenzacija za izrazavanje matrice krutosti1134 //preko prva cetiri stepena slobode kretanja1135 KStub = KGlob(1:4,1:4) - KGlob(1:4,5:9) * inv(KGlob(5:9,5:9))

* KGlob(5:9,1:4)

Rezultat proracuna je matrica krutosti makroelementa:

Listing 5.17: Rezultat - matrica krutosti makroelementa.

1136 3761215.817 -2399657.769 -3439458.914 -1999650.4451137 -2399657.769 1838708.033 1999650.445 1281100.9381138 -3439458.914 1999650.445 3761215.817 2399657.7691139 -1999650.445 1281100.938 2399657.769 1838708.033

126 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 35: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

Zadatak 10 Odrediti reakcije, pomjeranja cvorova i presjecnesile za konstrukciju prikazanu na slici 5.41. Kako su karakter-istike materijala i poprecnog presjeka stapova stuba iste kao uprethodnom zadatku, pri formiranju matrice krutosti sistemane proracunavati matrice krutosti stapova stuba vec iskoristitimatricu krutosti makroelementa iz prethodnog zadatka.

Rjesenje Numeracija cvorova, stapova i SSK je data na slici5.42.

Na liniji 1239 unijeli smo matricu krutosti makro elementaproracunatu u prethodnom zadatku. Na liniji 1245 formiramopolja stepeni slobode kretanja stubova, a zatim na liniji 1249formiramo petlju kojom dodajemo matrice krutosti makroele-menata (stubova) globalnoj matrici krutosti.

Listing 5.18: Proracun vektora ekvivalentnog opterecenja na gred-nom elementu od ravnomjerno raspodjeljenog opterecenja pocijelom stapu, JednolikoGreda2D.sce

1140 function rezultat = JednolikoGreda2D(x1,y1,x2,y2,p)1141 // JednolikoGreda2D - Vektor ekvivalentnog opterecenja na

gredi1142 // od ravnomjernog opterecenja1143

1144 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);1145

1146 rezultat = [0 p*d/2 p*d^2/12 0 p*d/2 -p*d^2/12];1147 endfunction

Sa ovim mozemo napisati proceduru koja formira globalnu ma-tricu krutosti i vektor opterecenja konstrukcije prikazane naslici 5.41

Listing 5.19: Formiranje globalne matrice krutosti i vektoraopterecenja za konstrukciju na slici 5.41, Most.sce

1148 // Zadatak 10 ************************************************1149 clear;1150 clc;1151

1152 exec('./Greda2D.sce', -1);1153 exec('./JednolikoGreda2D.sce', -1);1154 exec('./Transformacija.sce', -1);1155

1156 // ********************* ULAZNI PODACI ***********************1157 // duzina m; sila kN;1158

1159 E = 3*10^7;1160 A = 1;1161 I = 0.02083;1162

1163 // Koordinate cvorova1164 cvor = [1165 0 01166 10 01167 16 01168 32 01169 38 01170 48 0];1171

1172 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima1173 stap =[1174 1 21175 2 31176 3 41177 4 51178 5 6];1179

1180 // Opterecenje po stapovima1181 p = [1182 -351183 -351184 -351185 -351186 -35];1187

1188 // Stepeni slobode kretanja po cvorovima1189 SSK = [1190 16 17 11191 2 3 41192 5 6 7

1193 8 9 101194 11 12 131195 14 18 15];1196

1197 // ********************* RJESAVANJE **************************1198

1199 KGlob = zeros(18, 18);1200 FGlob = zeros(18, 18);1201

1202 for i = 1:size(stap,'r') // size(stap,'r') = BrojStapova1203

1204 ni = stap(i, 1);1205 nj = stap(i, 2);1206

1207 x1 = cvor(ni, 1);1208 y1 = cvor(ni, 2);1209

1210 x2 = cvor(nj, 1);1211 y2 = cvor(nj, 2);1212

1213 Ke = Greda2D(x1, y1, x2, y2, E, A, I);1214 T = Transformacija(x1, y1, x2, y2);1215 Kg = T` * Ke * T;1216

1217 F = JednolikoGreda2D(x1, y1, x2, y2, p(i));1218

1219 adresa(1) = SSK(ni, 1);1220 adresa(2) = SSK(ni, 2);1221 adresa(3) = SSK(ni, 3);1222 adresa(4) = SSK(nj, 1);1223 adresa(5) = SSK(nj, 2);1224 adresa(6) = SSK(nj, 3);1225

1226 for j = 1:61227 for k = 1:61228 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..1229 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kg(j, k);1230 end // for k1231

1232 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + F(j);1233 end // for j1234

1235 end //for i za sve stapove1236

1237 // Matrica krutosti stubova je vec proracunata1238 // u prethodnom zadatku1239 KStub = [1240 3761215.8 -2399657.8 -3439458.9 -1999650.41241 -2399657.8 1838708.0 1999650.4 1281100.91242 -3439458.9 1999650.4 3761215.8 2399657.81243 -1999650.4 1281100.9 2399657.8 1838708.0];1244 // Dodavanje matrice krutosti stubova1245 SSK˙STUB = [1246 2 3 5 61247 8 9 11 12];1248

1249 for i = 1:2 //stuba1250 for j = 1:41251 for k = 1:41252 KGlob( SSK˙STUB(i,j), SSK˙STUB(i,k) ) = ..1253 KGlob( SSK˙STUB(i,j), SSK˙STUB(i,k) ) + KStub(j, k);1254 end // for k1255 end // for j1256 end1257

1258 // ******* DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA ***********1259 FGlob(6,1) = FGlob(6,1) -500;1260

1261 // ************ RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA *****************1262

1263 // Nema pomjeranja fiksnih oslonaca pa se za rjesavanje1264 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice1265 // krutosti i odgovarajuci vektor sila1266

1267 K11 = KGlob(1:15,1:15);1268 F1 = FGlob(1:15,1);1269

1270 // rjesenje1271 U1 = K11 “ F1;1272

1273 UGlob = zeros(18, 18);1274 UGlob(1:15, 1) = U1(1:15, 1);

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 127

Page 36: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5. METODA DEFORMACIJA

p = 35kN/mF = 500kN

10m 6m 16m 6m 10m

2m

4m

G

G

G

G

G

S1 S2

G :

E = 3 · 107kN/m2

A = 1.0m2

I = 0.02083m4

S1,2 :

E = 3 · 107kN/m2

A = 2.0m2

I = 0.1667m4

Slika 5.41

16

17

2

3

5

6

8

9

11

12

14

181 4 7 10 13 15

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

Slika 5.42

1275

1276 mprintf(”“n================== REZULTATI PRORACUNA”);1277 mprintf(”“n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA”);1278 mprintf(”“n%15.6f”, UGlob(1:18,1));1279

1280 // ************ PRORACUN REAKCIJA ****************************1281

1282 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;1283

1284 mprintf(”“n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA”);1285 mprintf(”“n%11.2f”, Reakc(16:18,1));1286

1287

1288 // *************** POST PROCESSING ***************************1289

1290 for i = 1:size(stap,'r') // size(stap,'r') = BrojStapova1291 mprintf('“n============================ STAP %d', i);1292 ni = stap(i, 1);1293 nj = stap(i, 2);1294

1295 x1 = cvor(ni, 1);1296 y1 = cvor(ni, 2);1297

1298 x2 = cvor(nj, 1);1299 y2 = cvor(nj, 2);1300

1301 adresa(1) = SSK(ni, 1);1302 adresa(2) = SSK(ni, 2);1303 adresa(3) = SSK(ni, 3);1304 adresa(4) = SSK(nj, 1);1305 adresa(5) = SSK(nj, 2);1306 adresa(6) = SSK(nj, 3);1307

1308 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja1309 for j = 1:61310 u( j ) = UGlob( adresa(j) );1311 end // for j1312

1313 // printanje vektora pomjeranja po stapovima1314 mprintf(”“nVektor pomjeranja”);1315 mprintf(”“n%15.6f”, u(1:6,1));1316

1317 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora1318 // transformisati iz globalnog u lokalni1319 // koordinatni sistem, ali ovdje lokalni1320 // sistem nije zarotiran pa je u = T' * Ug1321

1322 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja1323 Ke = Greda2D(x1, y1, x2, y2, E, A, I);1324 F = JednolikoGreda2D(x1, y1, x2, y2, p(i));

1325

1326 // proracun vektora sila na stapu1327 f = Ke * u - F;1328

1329 mprintf(”“nVektor Sila”);1330 mprintf(”“n%11.2f”, f(1:6,1));1331

1332

1333 end // for i

Dobija se rjesenje za globalni vektor pomjeranja i reakcija

𝑢𝑔𝑙𝑜𝑏 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−0.0015980.0001000.0004340.0009920.000264−0.001045−0.0019820.000171−0.0002130.0018550.000244−0.000111−0.0011690.0002440.0017680.0000000.0000000.000000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

𝑟𝑔𝑙𝑜𝑏 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

−300.35149.04153.38

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(5.11)

Kao i vektori pomjeranja i sila po stapovima

128 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

Page 37: 5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.

5.3 ZADACI

-259.62 -569.82

-623.79

-216.23M

T

+

-

+

-

+-149.04

200.96

-53.3

156.7

-276.63

283.37

-172.93

37.07

-196.62

153.38

Slika 5.43

Vektor Stap 1 Stap 2 Stap 3

𝑢𝑖 0.000000 0.000100 0.000264𝑣𝑖 0.000000 0.000434 -0.001045𝜙𝑖 -0.001598 0.000992 -0.001982𝑢𝑗 0.000100 0.000264 0.000171𝑣𝑗 0.000434 -0.001045 -0.000213𝜙𝑗 0.000992 -0.001982 0.001855

𝑁𝑖 -300.35 -818.79 174.12𝑇𝑖 149.04 53.30 276.63𝑀𝑖 0.00 259.62 569.82𝑁𝑗 300.35 818.79 -174.12𝑇𝑗 200.96 156.70 283.37𝑀𝑗 -259.62 -569.82 -623.79

Tablica 5.1: Rezultat proracuna po stapovima

Vektor Stap 4 Stap 5

𝑢𝑖 0.000171 0.000244𝑣𝑖 -0.000213 -0.000111𝜙𝑖 0.001855 -0.001169𝑢𝑗 0.000244 0.000244𝑣𝑗 -0.000111 0.000000𝜙𝑗 -0.001169 0.001768

𝑁𝑖 -363.21 -0.00𝑇𝑖 172.93 196.62𝑀𝑖 623.79 216.23𝑁𝑗 363.21 0.00𝑇𝑗 37.07 153.38𝑀𝑗 -216.23 0.00

Tablica 5.2: Rezultat proracuna po stapovima

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 129