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Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015

90

4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers 92

4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker 92

4.1.1 Radiales Spannungsfeld 92

4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke 93

4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff 94

4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors95

4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors 96

4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter 99

4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß 99

4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite100

4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen 100

4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit 102

4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen 103

4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit 104

4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite 105

4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform 106

4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf 107

4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf107

4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie 109

4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver: 110

4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker 111

4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 111

4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft 111

4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H) 112

4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft114

4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 116

4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht 117

4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi) 118

4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze 118

4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes 119

4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung 119

4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen 120

4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE 121

4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers 122

4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl 125

4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand 126

4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre 126

4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze 126

4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand 128

4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung 129

4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze 129


91

4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung 130

4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes 130

4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes 132

4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle 132

4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit 132

4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes 133

4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten Ausfließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke 134

4.6.2.1 Modellbildung 134

4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke 134

4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung136

4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen 138

4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens 139

4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode140

4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 142

4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 142

4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl 146

4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 148

4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz 149

4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h) 151

4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes 152

4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung 153

4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens 153

4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 158

4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 166

4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz 169

4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle 173

4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit 174

4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle 183

4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften 183

4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen 184

4.8 Wärmetransportprobleme in Silos 185

4.8.1 praktische Probleme 185

4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut 185

4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut 186

4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung187

4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett187

4.9 Befüllung und Füllstandsmessung 188

4.10 Bunkerverschlüsse 189

4.11 Normsilos 190


92

4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers

Gliederung siehe auch Bild F 4.1:

4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker

- Gemäß eines „natürlichen“ Fließprofils beim Schwerkraftfluss eines kohäsi-ven Schüttgutes stellt sich je nach der Behälterform das reale Fließprofil ein,

- Wenn die Trichterform dem „natürlichen“ Fließprofil des Schüttgutes ent-spricht, stellt sich Massenfluss ein, ansonsten wird Kernfluss erzeugt.

- siehe dazu noch einmal die Fließprofile für Kern- und Massenfluss und die damit verbundenen Fließprobleme der Schacht- und Brückenbildung, siehe Bilder F 4.2 und F 4.3:

- Daher hier nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, unabhängig von Be-dingungen am oberen Schüttgutniveau im Schaft

4.1.1 Radiales Spannungsfeld

Bild 4.1: Das radiale Spannungsfeld im Trichter → Einführung des folgenden „radialen“ Span-

nungsansatzes • Zylinder- oder Polarkoordinaten r, θ* • in der Trichterspitze alle Spannungen = 0

Eine mittlere Spannung sei mit Mσ ∼ r (Kreismit-

telpunkt) auf einem Fahrstrahl beginnend von der Kegelspitze gegeben:

( ) ( )**bM ,rs,rgr θ⋅θρ⋅⋅=σ (4.1)

Es sei ( )

( )rfs,rf *

b

≠θ≠ρ (4.2)

→ Das ist voraussetzungsgemäß das sog. radiale Spannungsfeld, Bild 4.1.

Man liest eine einfache Gleichung für das Stoffgesetz des stationären Fließens beschrieben mittels des effektiven Fließortes ab, Bild 4.2:

Bild 4.2: Effektiver Fließort

MeR sin σ⋅ϕ=σ (4.3)

eMM

RM1

sin ϕ⋅σ+σ=σ+σ=σ

(4.4)

( )eM1 sin1 ϕ+⋅σ=σ (4.5)

( )*bM sgr θ⋅ρ⋅⋅=σ (4.6)

Für die gegenüber σ1 kleinere Radialspannung σr gilt entsprechend:

r

θ*

θ

σr

ψ σ1

b/2

ϕe

σM σ1

effektiver Fließort

σR

σr

σθ 2ψ

τrθ

ϕe


93

ψ⋅σ+σ=σ 2cosRMr (4.7)

und mit MRe /sin σσ=ϕ (4.8) läßt sich σR eliminieren ( )ψ⋅ϕ+⋅σ=σ 2cossin1 eMr

( ) ( )*eb1 ssin1gr θ⋅ϕ+ρ⋅⋅=σ (4.9)

4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke

Folgende Kräfte greifen an einer inkrementellen Brücke an, siehe Bild F 4.4:

BBB

F

BBbT

BB1V

BBbG

dhAdhdpdF

dhAadFdhUsincosdF

dhAgdF

⋅⋅=

⋅⋅ρ⋅=⋅⋅δ⋅δ⋅σ′=

⋅⋅⋅ρ=

( )1m2b

UA :.lgal

4b

b4b

UA :.Tr.kon

2b

l2lb

UA :keilf.Tr.

B

B

2

B

B

B

B

+=

=⋅π⋅π⋅

=

=⋅⋅

=

(4.10)

Beim Schlitzauslauf → vertikale, möglichst glatte Stirnseiten tragen nicht (!), so dass das Kräftegleichgewicht ∑ −=↓= VG dFdF0F ergibt:

l2cosdhsinldhbg b1bb ⋅δ⋅⋅δ⋅σ′=⋅⋅⋅⋅ρ (4.11)

Bild 4.3: Auflagerspannung σ1’ der inkrementell klei-nen Dicke dhB. Die Querspannung ist σ2’ = 0.

Diese Auflagerspannung σ1’ an der Trichterwand entspricht einer wirksamen größten Hauptspannung in der Oberfläche einer kohäsiven Schüttgutbrücke:

δ⋅⋅ρ

=σ′2sin

bgb1 (4.12)

Wegen dieser freien Schüttgutoberfläche der Brücke ist die wirksame Quer-spannung σ2’ = 0, d.h., es handelt sich um einen einaxialen Spannungszu-stand. Das obige Kräftegleichgewicht liefert: ∑ ↓= 0dF und damit FTVG dFdFdFdF0 −−−=

BBB

BBbBBB

B1BBb dhA

dhdpdhAadhA

AU

22sindhAg0 ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅−⋅⋅⋅δ

⋅σ′−⋅⋅⋅ρ=

Bb1b dh

dpab

1m2sing0 −ρ⋅−+

⋅δ⋅σ′−⋅ρ=

( )

⋅

⋅ρ−−⋅=

⋅ρδ⋅σ⋅+

Bbb

'1

dhdp

g1

ga1b

g2sin1m (4.13)

Für das erwünschte Versagen oder Fließen einer instabilen Brücke muss die Auflagerspannung größer oder gleich der einaxialen Druckfestigkeit σ1’ ≥ σc

sein, d.h. krit,c'1 σ=σ , und es folgt allgemeingültig für δ = ϕw + θ:

dhB

δ σ´1


94

( ) ( )

⋅

⋅ρ−−⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+=

Bbb

wkrit,cmin

dhdp

g1

ga1g

2sin1mb (4.14)

Gewöhnlich wird der quasistationäre Fall a = dv/dt = 0 ohne Fluidgegen-druck dp = 0 betrachtet und es folgt die Dimensionierungsgleichung für die Trichteröffnungsweite, siehe Bild F 4.5:

( ) ( )g

2sin1mb

krit,b

wkrit,cmin ⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.15)

m = 0 keilförmiger Trichter m = 1 konischer Trichter, siehe F 3.1 Schüttec_3.doc - Volumenelement Oft wird die Trichterform auch mit der nach JENIKE grafisch angegebenen Funktion H(θ) berücksichtigt, die hier analytisch angenähert wurde:

( ) ( )

°Θ

⋅+⋅+=θ40

25,011mH (4.16)

( )g

Hb

krit,b

krit,cmin ⋅ρ

σ⋅θ= (4.17)

4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff

Wenn b oder d = θ⋅⋅ sinr2 in Gl.(4.15) eingesetzt wird, erhält man die Aufla-gerspannung σ1’ oder, in anderen Worten, die wirksame (oder effektive) größ-te Hauptspannung an der Trichterwand (deshalb der ’-Strich):

( ) δ⋅+θ⋅⋅ρ⋅⋅

=σ2sinm1

singr2 b'1 (4.18)

Bild 4.4: Höhenverlauf der Druckfestigkeit σc einer freien Schüttgutoberfläche → in der Trichterspitze sei 0'

11 =σ=σ vorausgesetzt, d.h. größte Hauptspan-

nung u. wirksame größte Hauptspannung an der Wand sind gleich, → wegen des linearen Verlaufs des radialen Spannungsfeldes gilt dann

( )wϕ+θ=δ und θ⋅⋅= sinr2b ( ) ( ) ( )

θ⋅⋅⋅⋅δ⋅+⋅θ⋅ϕ+⋅⋅⋅

===σσ

sinbgr22sinm1*ssin1bgrffconst e

'1

1 bzw.


95

( ) ( ) ( )θ⋅ϕ+

⋅θ⋅θ+φ⋅+=σσ

=sin2sin1*s2sinm1ff e

w'1

1 (4.19)

als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst, dabei ist ( ) ( )we

* ,,f*s ϕϕθ=θ .

4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors

→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialglei-chungen 1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ*) und ψ(θ*), siehe auch MOLERUS S.148 (1985)

[ ]e

*e

*

* sin2cos)2sin2cos1(cotsinsm)2sin(2sins

dds

ϕ−ψψ−ψ+⋅θ⋅ϕ⋅⋅+ψ+θ+ψ⋅

=θ

(4.20) mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σr (bzw. Fahrstrahl r) und der größten Hauptspannung σ1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:

[

])sin2(cossins2

1coss)2cos(sincos

)12cos2sin(cot)sin1(sinsm1dd

eee

2*e

*

*ee*

ϕ−ψ⋅ϕ⋅⋅ϕ⋅+ψ+θ⋅ϕ−θ+

+−ψ+ψ⋅θ⋅ϕ+⋅ϕ⋅⋅−−=θψ

(4.21) sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,

[ ][ ])(2cossin1

)(2sinsintan *e

*e

w θψ⋅ϕ−θψ⋅ϕ

−=ϕ (4.22)

die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird. → Für vorgewählte ϕe läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.

Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.(4.48) und (4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7

→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8 und F 4.9 dargestellt

→ Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) mit der Auflagerspannung σ1’ F 4.10

→ entsprechend Gl. (4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach JENIKE1 (1964)

( )we ,,fff ϕϕθ= (4.23)

→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕe) Bild F 4.11 → komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE1 Bull. 123 (1964)

1 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ. Utah, 1964


96

4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors

Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE ⇒ Die analytisch vereinfachten Lösungen für das Differentialgleichungssystem

Gl.(4.19) und Bild F 4.11 lauten für den Fließfaktor nach JENIKE1 (effekti-ver Reibungswinkel ϕe in grd):

Konischer Trichter:

für ϕe < 38°: 0298,1ekon 443,65ff −ϕ⋅= (4.24)

für ϕe ≥ 38°: 396,0ekon 462,6ff −ϕ⋅= (4.25)

Keilförmiger Trichter:

für ϕe < 42°: 0298,1ekeil 443,65ff −ϕ⋅= ( 4.26)

für ϕe ≥ 42°: 5078,0ekeil 185,9ff −ϕ⋅= ( 4.27)

für ϕe > 79°: ffkeil = 1 ( 4.28) Verhältnis der größten Hauptspannung zur Wandnormalspannung ⇒ Darüber hinaus soll hier nun in Analogie zum Fließfaktor ff = σ1/σ1’ me-

thodisch vereinfacht das Verhältnis der größten Hauptspannung σ1 in Wandnähe zur - mit Spannungsmeßzellen - messbaren Wandnormalspan-nung σw (= Wandnormaldruck pn nach Abschnitt 5.2 Schüttec_5.doc) herge-leitet werden, Bild 4.5:

ϕe

σM σ1

effektiver Fließort

σR

σw σr 2β

τw

σ

ϕe

θ β

σw τw

σ1

β Wandfließort

ϕw

τ WFO

EFO

Bild 4.5: Spannungsverhältnisse an der Trichterwand

β⋅σ=τ 2sinRw (4.29) β⋅σ+σ=σ 2cosRMw (4.30)

Mit der Gleichung des effektiven Fließortes

eMR sinϕ⋅σ=σ eingesetzt folgt (4.31)

β⋅ϕ⋅σ=τ 2sinsin eMw (4.32)

( )β⋅ϕ+⋅σ=σ 2cossin1 eMw (4.33)

Zur Eliminierung der Mittelpunktspannungen werden beide Gln.(4.32) und (4.33) geteilt. Bei voll mobilisierter Wandreibung gilt:


97

β⋅ϕ+β⋅ϕ

=ϕ≤στ

2cossin12sinsintan

e

ew

w

w für Gleichheit folgt (4.34)

β⋅ϕ⋅ϕ+ϕ=β⋅ϕ 2cossintantan2sinsin ewwe

Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheore-me der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt:

e

ww sin

tan2costan2sinϕϕ

=β⋅ϕ−β wcosϕ⋅

e

www sin

sinsin2coscos2sinϕϕ

=ϕ⋅β−ϕ⋅β

( )e

ww sin

sin2sinϕϕ

=ϕ−β bzw.

ϕϕ

+ϕ⋅=βe

ww sin

sinarcsin21 (4.35)

Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnor-malspannung σw und der größten Hauptspannung σ1 in Wandnähe. Deshalb folgt auch aus den Gln.(4.29) und (4.31):

e

e1

e

e121w

sin1sin

sin1sin11

222sin ϕ+ϕ⋅σ

=

ϕ+ϕ−

−σ

=σ−σ

=β

τ (4.36)

Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze www tan σ⋅ϕ=τ

und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten Hauptspannung σ1 zur messbaren Wandnormalspannung σw im Trichter

e

e1w

sin1sin

2sin ϕ+ϕ⋅σ

=β

τ ( )β⋅ϕ

ϕ+τ=σ

2sinsinsin1

e

ew1 ( )

β⋅ϕϕ⋅ϕ+σ

=σ2sinsintansin1

e

wew1

( )

ϕϕ

+ϕ⋅ϕ

ϕ⋅ϕ+=

σσ

e

wwe

we

w

1

sinsinarcsinsinsin

tansin1 (4.37)

als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspan-nung im Auflager einer Brücke '/ff 11 σσ= definiert, z.B.

Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ1/σw an der Wand Wandreibungswinkel ϕw 20° 25° effektiver Reibungswinkel ϕe 40° 45° 50° 40° 45° 50° Gleitwinkel β 26° 25° 23° 33° 31° 29° Spannungsverhältnis σ1/σw 1,18 1,17 1,16 1,30 1,28 1,26

Fließfaktor nach WALKER


98

⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors nach WALKER2 (1968) angegeben werden:

• Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ1, gemäß Gl. (4.35)

φφ

+φ⋅=βe

ww sin

sinarcsin21 (4.35)

• und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1

( )( )θ+β⋅ϕ−θ+β⋅ϕ

=2cossin1

2sinsinBe

e (4.38)

( )( )

θ−⋅⋅θ+ϕ

⋅θ+β⋅ϕ−

ϕ+=

tanDB22sin

2cossin1sin1ff w

e

e (4.39)

• nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzel-len für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ff-Werte berechnet.

Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD ⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.(4.39) - zusätzlich die allgemeingültig for-

mulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbil-dung nach ARNOLD, MCLEAN3, ROBERTS4 und ENSTAD5 angege-ben werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12:

• mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σv

( )

+

−⋅⋅ρ

φ+θ⋅σ⋅θ

⋅

⋅⋅⋅ρ=σ

1m1

bgtantan2

tan41

34bg

b

wwm

bv (4.40)

• die Wandnormalspannung σw

( )( ) θ⋅−

β⋅φ+⋅⋅⋅⋅ρ=σ

sin1X22cossin1Ybg e

bw (4.41)

mit der Höhenkoordinate y bzw. θ⋅= tan2yb sowie wiederum mit dem

Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X

φφ

+φ⋅=βe

ww sin

sinarcsin21 (4.35)

Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein.

2 Walker, D.M., An approximated theory for pressures and arching in hoppers, Chem. Engng. Sci. 21 (1966) p. 975-997 3 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255 4 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling, TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980 5 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975) 1273


99

( )

+

θθ+β

⋅φ−φ⋅

= 1sin2sin

sin1sin2X

e

em

(4.42)

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )θ+β⋅φ−

θ+β⋅β+θ⋅

°θ+β⋅π

⋅θ+β−⋅= +

+−

m2e

m1m1

mm

sinsin1

sinsinsin180

cos12Y (4.43)

Dabei muss Y > X sein. • die größte Hauptspannung am Auslauf σ1 folgt entsprechend σw

( )( ) )(Fsin1X2

sin1Ybg eb1 θ⋅θ⋅−⋅

φ+⋅⋅⋅⋅ρ=σ (4.44)

• sowie damit der Fließfaktor ff nach ARNOLD u.a. (für X > 1)

( ) ( )( ) )(Fsin1X2

sin1Y1mff e'1

1

θ⋅θ⋅−⋅φ+⋅

⋅+=σσ

= (4.45)

mit m1m

200200

130130)(F

−

θ+°°

⋅

θ+°°

=θ (4.46)

somit ist auch die Funktion H(θ) nach Gl.(4.16):

( )m1m

200200

1301301m

)(F1m)(H

−

°θ+°

⋅

°θ+°

⋅+=θ+

=θ (4.47)

4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter

4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß

Die Randbedingungen zur Lösung der Gleichungen des radialen Spannungs-feldes entsprechen den Bedingung, ob an der Wand Fließen bzw. Abgleiten oder nicht eintritt, ergibt die Massen- und Kernflußgrenzen6, siehe dazu die Diagramme F 4.6 und F 4.7. Zur Gewährleistung von Massenfluss muss der Trichterwerkstoff glatt sein und steil genug gestaltet werden. Die praktisch immer noch häufig anzutreffen-den 60°-Trichter (30° zur Vertikalen) reichen dazu gewöhnlich nicht aus. Diese Massen- und Kernflussgrenzen lassen sich auch berechnen, und zwar gilt für den maximalen Neigungswinkel des Silotrichters zur Vertikalen6,7 des • konischen Trichters und des

ϕϕ

−ϕ−

ϕ⋅ϕ−

−°≤θe

Ww

e

ekon sin

sinarcsin

sin2sin1

arccos18021 (4.48)

)3bis2(konprak,kon °°−θ=θ (4.49)

6 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ. Utah, 1961 7 Ter Borg, L., Einfluß des Wandmaterials auf das Auslaufverhalten von Schüttgütern aus Si-los, Chem.-Ing.-Techn. 58 (1986) 588 - 590


100

Zur Sicherheit wählt man die Grenzen zwischen Massen- und Kernfluß etwa 2° bis 3° niedriger. Wegen zu hoher Bauhöhen sind allerdings bisher Nei-gungswinkel unterhalb von θ = 15° praktisch nicht realisiert worden!

• keilförmigen Trichters für ϕW < ϕe - 3° und θ ≤ 60°:

( )

ϕ⋅⋅°+°

ϕ−⋅

°ϕ−°

°+°≤θ

e

Wekeil 06.0exp131.03.42

173.7

50arctan7.15

15.60 (4.50)

Hier wird kein Sicherheitswert abgezogen.

4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite

4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen

Aus der Gl.(4.15) folgt für die kritischen Druckspannungen am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion mit der Auflagerspannung '

1c σ=σ , bei dem eine

Brücke zerstört wird, Bild 4.6, Bilder F 4.13 und F 4.14: Bild 4.6: Kriterium für die Brü-ckenbildung eines kohäsiven Schüttgutes, siehe Bild F 4.10,

'1c σ>σ Brückenbildung und '1c σ<σ keine Brückenbildung!

• minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken:

( ) ( )

g2sin1m

bkrit,b

wkrit,cmin ⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.15)

m = 0 keilförmiger Trichter m = 1 konischer Trichter, siehe F 4.8

• Mindestschlitzlänge für den keilförmigen Trichter minmin b3l ⋅= (4.51) Keiltrichter mit senkrechten Stirnwänden

minmin b6l ⋅= (4.52) Keiltrichter mit schrägen Stirnwänden, s. F 4.9

• Die Verfestigungsfunktionen, Gln.(4.53) bis (4.55), können als typische Stoffeigenschaftsfunktionen, siehe Bilder F 4.13 und F 4.14, Schüttec_3.doc - sigma_c_sigma_1 und Schüttec_3.doc - sigma_ct_sigma_1 durch lineare Regression der Meßergebnisse approximiert werden:

0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 0

ist

ist1

ist

istc sin1sin1

sin1sin2sin1sin1

sinsin2σ⋅

ϕ−⋅ϕ+ϕ+⋅ϕ⋅

+σ⋅ϕ−⋅ϕ+

ϕ−ϕ⋅=σ (4.54)

0,ct1t,1ct a σ+σ⋅=σ (4.55)

a1, a1t Anstiege der Verfestigungsfunktionen σc,0, σct,0 Ordinatenabschnitte der Verfestigungsfunktionen für σ1 = 0

Brücken- bildung

keine Brücken σ1’

σc,krit

σ1

σc

σc σ1’

σ1,krit

σ1’ > σc

σc > σ1’


101

• Mit dem Fließfaktor ff gemäß Gl.(4.19) bzw. mit der effektiven (wirksa-men) größten Hauptspannung an der Wand σ1’, die einer Auflagerspan-nung der kohäsiven Schüttgutbrücke entspricht:

ff/1'1 σ=σ (4.56)

und der Verfestigungsfunktion Gl. (4.53)

0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)

ist am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σc(σ1) mit der Auflager-spannung Gl.(4.56):

0,c'11c ffa σ+⋅σ⋅=σ bzw. 0,c

'11c ffa σ=⋅σ⋅−σ

und für '1krit,c σ=σ ist 0,ckrit,c1krit,c ffa σ=⋅σ⋅−σ

Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen

ffa1 1

0,ckrit,c ⋅−

σ=σ (4.57)

und die kritische Hauptspannung mit der Gl.(4.56):

ffa1ff

ffff1

0,ckrit,c

'1krit,1 ⋅−

⋅σ=⋅σ=⋅σ=σ (4.58)

Mit Gl. (4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermei-dung von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes

)ffa1(g)(2sin)1m(

b1krit,b

w0,cmin ⋅−⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.59)

oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens (Reibungswinkel ϕst, ϕi, isostatische Zugfestigkeit σ0) ausgedrückt,

( ) ( )( ) ( )[ ]1ff2sinsinsinsin1g

sinsin12sin)1m(2bististkrit,b

0stiWmin −⋅⋅ϕ−ϕ−ϕ⋅ϕ−⋅⋅ρ

σ⋅ϕ⋅ϕ+⋅θ+ϕ⋅+⋅= (4.60)

und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:

)ffa1(g)(2sin)1m(

bt1krit,b

w0,cttmin, ⋅−⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.61)

als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung. • Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)

( ) ( )

°Θ

⋅+⋅+=θ40

25,011mH (4.16)

gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. (4.17) auch schreiben:

)ffa1(g)(H

b1krit,b

0,cmin ⋅−⋅⋅ρ

σ⋅θ= (4.62)


102

)ffa1(g)(H

b1krit,b

0,cttmin, ⋅−⋅⋅ρ

σ⋅θ= (4.63)

• Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwer-te als die Gln. (4.59) und (4.61) davor.

• Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die kritische Verfestigungsspannung σ1,krit, siehe Gln. (4.58) bzw. (4.83) und Bild 4.6:

( ) ( )w

kritminkrit,bkrit,1 2sin1m

ffbgϕ+θ⋅+

⋅⋅⋅ρ=σ (4.64)

• Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕe(σ1), ϕw(σ1), ρb(σ1), ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)) herausgesucht werden, Bilder F 4.13 und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungs-rechnung noch nicht bekannt ist, sind zwei Iterationen notwendig.

• Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung muß minbb ≥ sein !

Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw. ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc!

4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit

• Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Di-mensionierungsgleichung (4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion ρb(σM,st) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst:

n

0

st,M0,bb 1

σσ

+⋅ρ=ρ (4.65)

Mit der Beziehung (4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Komp-ressionsfunktion ρb(σ1) umgerechnet:

( ) st,M0st,Mstst,Mst,R1 sin σ+σ+σ⋅ϕ=σ+σ=σ (4.66)

( ) st01stst,M sinsin1 ϕ⋅σ−σ=ϕ+⋅σ

Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. (4.65) folgt:

( )( )

( )

n

st0

st01st00,b

n

st0

st010,bb sin1

sinsin1sin1sin1

ϕ+⋅σ

ϕ⋅σ−σ+ϕ+⋅σ⋅ρ=

ϕ+⋅σϕ⋅σ−σ

+⋅ρ=ρ

( ) ( )

n

0st

10

n

st0

1st0st000,bb sin1sin1

sinsin

σ⋅ϕ+

σ+σ=

ϕ+⋅σ

σ+ϕ⋅σ−ϕ⋅σ+σ⋅ρ=ρ

Mit dieser Kompressionsfunktion ρb(σ1) n

0

krit,1n

st0,b

krit,b 1sin11

σσ

+⋅

ϕ+

=ρρ

(4.67)

und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite


103

)ffa1(g)(2sin)1m(

b1krit,b

w0,cmin ⋅−⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.59)

folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichter-öffnungsweite:

( )n

0

krit,110,b

nstw0,c

min

1)ffa1(g

sin1)(2sin)1m(b

σσ

+⋅⋅−⋅⋅ρ

ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=

Einsetzen der kritischen Hauptspannung Gl. (4.58)

ffa1ff

ffff1

0,ckrit,c

'1krit,1 ⋅−

⋅σ=⋅σ=⋅σ=σ (4.58)

( )

( )

n

01

0,c10,b

nstw0,c

min

ffa1ff

1)ffa1(g

sin1)(2sin)1m(b

σ⋅⋅−

⋅σ+⋅⋅−⋅⋅ρ

ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=

( )( )

( )

n

01

0,c0110,b

nstw0,c

min

ffa1ffffa1

)ffa1(g

sin1)(2sin)1m(b

σ⋅⋅−

⋅σ+σ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ

ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=

( )

( )( ) n

0

0,c01n

1

10,b

nstw0,c

minffffa1

ffa1)ffa1(g

sin1)(2sin)1m(b

σ

⋅σ+σ⋅⋅−⋅

⋅−⋅−

⋅⋅ρ

ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=

Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbil-dung bei beginnendem Fließen ist nun:

( )n

0

0,c1

n110,b

nstw0,c

minff

ffa1)ffa1(g

sin1)(2sin)1m(b

σ⋅σ

+⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ

ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=

−

(4.68)

Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)

( ) ( )

°Θ

⋅+⋅+=θ40

25,011mH (4.16)

gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:

( )n

0

0,c1

n110,b

nst0,c

minff

ffa1)ffa1(g

sin1)(Hb

σ⋅σ

+⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ

ϕ+⋅σ⋅θ=

−

(4.69)

4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen

• Im Falle des stationären Fließens sind die größte Hauptspannung und die einaxiale Druckfestigkeit gleich σ1 = σc,st und man erhält die Druckfestigkeit aus dem kohäsiven stationären Fließort, siehe auch Schüttec_3.doc - sig-ma_c_Druckfestigkeit_stationä_Fließen:


104

0st

stst,c1 sin1

sin2σ⋅

ϕ−ϕ⋅

=σ=σ (4.70)

Bzw. mit der Gl.(4.53) ist auch:

1

0,cst,ckrit,c a1−

σ=σ=σ (4.71)

• Vergleicht man diese Gl.(4.71) mit der Gl.(4.57) folgt, dass der Fließfaktor ff = 1 beim stationären Ausfließen beträgt!

• Es wird nun angenommen, dass sich eine gleichmäßige Spannungsvertei-lung über dem Querschnitt einer stationär fließenden Brücke einstellt, d.h., die größte Hauptspannung in der Brücke entspricht auch der wirksamen Hauptspannung an der Trichterwand σ1 = σ1’.

• Für die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens ist damit,

)a1(g)(2sin)1m(

b1krit,b

w0,cstmin, −⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.72)

oder mit der Gl.(4.70):

)sin1(g)(2sinsin)1m(2b

stkrit,b

w0ststmin, ϕ−⋅⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅ϕ⋅+⋅= (4.73)

Diese minimale Öffnungsweite bmin,st fällt etwas kleiner aus als das bmin für das beginnende Ausfließen. D.h. während des ständigen Ausfließens würde auch eine etwas kleinere Trichteröffnungsweite ausreichen, um die Brü-ckenbildung zu vermeiden. Das dürfte die bekannte Überdimensionierung mit der JENIKE-Methode erklären.

• Damit entfallen die Iterationen zur Ermittlung der Fließkennwerte ϕe(σ1), ϕw(σ1) und des Fließfaktors ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)).

4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit

• Die Schüttgutdichte ρb(σ1) beim stationären Ausfließen (etwas geringer als beim beginnenden Fließen) muß für σM,st = σc,st/2 gefunden werden:

n

0

st,c0,bst,bb 2

1

σ⋅

σ+⋅ρ=ρ=ρ ( 4.74)

mit der Gl.(4.70) folgt einfach:

0st

stst,c1 sin1

sin2σ⋅

ϕ−ϕ⋅

=σ=σ (4.70)

n

st0,b

n

st

stst0,b

n

st

st0,bst,b sin1

1sin1

sinsin1sin1

sin1

ϕ−

⋅ρ=

ϕ−

ϕ+ϕ−⋅ρ=

ϕ−

ϕ+⋅ρ=ρ

( ) nst0,bst,b sin1 −ϕ−⋅ρ=ρ (4.75)


105

• Zur Übung und Überprüfung der Gleichheit der Verwendung der Kompres-sionsfunktion ρb(σ1) Gl.(4.67):

n

0

krit,1n

st0,b

krit,b 1sin11

σσ

+⋅

ϕ+

=ρρ

, (4.67)

Für σc,st = σ1 ist n

st

st

n

st

n

0

st,cn

st0,b

krit,b

sin1sin21

sin111

sin11

ϕ−ϕ⋅

+⋅

ϕ+

=

σσ

+⋅

ϕ+

=ρρ

n

st

st

n

st

n

st

stst

n

st0,b

krit,b

sin1sin1

sin11

sin1sin2sin1

sin11

ϕ−ϕ+

ϕ+

=

ϕ−

ϕ⋅+ϕ−

ϕ+

=ρρ

Das gleicht wieder der Beziehung (4.75): ( ) n

st0,bkrit,b sin1 −ϕ−⋅ρ=ρ q.e.d! (4.75)

• Setzt man Gl. (4.75) in Gl. (4.72) ein, ist die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens:

( ))a1(g

sin1)(2sin)1m(b

10,b

nstw0,c

stmin, −⋅⋅ρϕ−⋅ϕ+θ⋅σ⋅+

= (4.76)

Bzw. mit der Gl. (4.73) folgt:

n1st0,b

w0ststmin, )sin1(g

)(2sinsin)1m(2b −ϕ−⋅⋅ρϕ+θ⋅σ⋅ϕ⋅+⋅

= (4.77)

Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)

( ) ( )

°Θ

⋅+⋅+=θ40

25,011mH (4.16)

gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:

( ))a1(g

sin1)(Hb

10,b

nst0,c

stmin, −⋅⋅ρϕ−⋅σ⋅θ

= (4.78)

4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite

Bei feuchten kohäsiven Schüttgütern mit innerer Partikelporosität (z.B. feine Rohbraunkohle) kann man einen nichtlinearen Verlauf der charakteristischen Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) verbunden mit einer starken Zunahme der einaxialen Druckfestigkeit insbesondere bei großen Verfestigungsspannungen σ1 messen, siehe Bild 4.7. Dies kann praktisch zur Brückenbildung und zu Verstopfungen am Übergang zwischen Schaftauslauf und Trichtereinlauf führen. Entsprechend der Dimensionierungsgleichung (4.15) einer minimalen Trichter-öffnungsweite zur Vermeidung der Bildung kohäsiver Brücken muss man hier die die maximale Abmessung des oberen Trichtereinlaufes beschränken:


106

( ) ( )g

2sin1mb

max,krit,b

wmax,krit,cmax ⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.79)

Bild 4.7: Nichtlinearer Ver-lauf der Verfestigungsfunk-tion σc = f(σ1)

Das bedeutet, dass der Schaftdurchmesser kleiner als diese maximale obere Trichtereinlaufweite sein muss D ≤ bmax, um Brückenbildung und Verstopfun-gen am Übergang zwischen Siloschaft und -trichter zu vermeiden.

4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform

Berechnung der Trichterhöhe

TrH2bDtan

⋅−

=θ

θ⋅−

=tan2

bDHTr (4.80)

Bild 4.8 und F 4.8: Höhe eines Pyramiden-stumpf-Trichters HTr

Kehlneigung bei Trichtern mit Rechteckquerschnitt Bild 4.9: Kehlneigung ( )maxKehle θ≤θ !!!

222

)unten( 2bB

2lLDiagonale

−

+

−

=

Bild 4.10: Wandneigungen, siehe F 4.9

Tr1Wand H2

lLtan⋅−

=θ

Tr2Wand H2

bBtan⋅−

=θ

und

D/2

b/2

θ HTr

L

l

b B

• θ

Diagonale

Kehle θ

HTr

σc = f(σ1)

σ1‘ = σ1/ff

σc

σ1‘

σ1,krit,max σ1

σc,krit,max


107

( ) ( )

2Wand

22

Tr tan2bB

tan2bBlLH

θ−

=θ−+−

=

( ) ( )222WandbBlL

bBtantan−+−

−θ=θ ( 4.81)

Für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche d.h. B = L und b = l folgt:

θ=θ tan

21arctanWand ( 4.82)

4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf

Das =̂ dem maximalen Druck, wobei die Richtung infolge ständiger Umorien-tierung hier nicht die Rolle spielen soll, → grafisch ablesen aus σc(σ1) -Diagramm ⇒ siehe σ1,krit Gl.(4.64) → analytisch wie folgt: krit,c

'11 ffff σ⋅=σ⋅=σ

→ Einsetzen der Dimensionierungsgleichung (4.15) und für den ausgeführten Auslauf der Breite b ist:

( ) ( )W

krit,b1 2sin1m

ffbgϕ+θ⋅+

⋅⋅⋅ρ=σ (4.83)

• für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3 ausreichend bemessen,

• Mittelpunktsspannung σM,st am Auslauf:

( ) ( ) ( )θ+ϕ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ

≈ϕ+

σ⋅ϕ−σ=σ

Wst

krit,b

st

0st1st,M 2sinsin11m

bffgsin1

sin (4.84)

• maximal möglicher Vertikaldruck beim Fließen pv,max ≈ σ1 und • (minimaler) Horizontaldruck 1E2min,hp σ⋅λ=σ≈ mit dem Horizontaldruck-

verhältnis für Entleeren (glatte Wand ϕw ≈ 0) e

eE sin1

sin1ϕ+ϕ−

≈λ , siehe 4.2.1

4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf

• Für die Berechnung der dichte- und ortsabhängigen Verfestigungsspan-nung wird die größte Hauptspannung σ1 beim Ausfließen aus dem Trichter ausgewählt, die beim passiven Spannungsfeld im Wesentlichen auf die Wand gerichtet ist. Dazu müssen die Gl.(4.83) und die Kompressionsfunkti-on Gl.(4.67) geschickt miteinander kombiniert werden:

( ) ( )W

krit,b1 2sin1m

ffbgϕ+θ⋅+

⋅⋅⋅ρ=σ (4.83)


108 n

0

krit,1n

st0,b

krit,b 1sin11

σσ

+⋅

ϕ+

=ρρ

(4.67)

( ) ( ) ( )Wn

st

0,bn

0

11 2sinsin11m

ffbg1

ϕ+θϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ

σσ

+=σ

( ) ( ) ( )1

2sinsin11mffbg

11W0

nst

0,bn

0

1

0

1 +ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ

σσ

+=σσ

+

( ) ( ) ( )

n

0

1

W0n

st

0,bn1

0

1 12sinsin11m

ffbg1

−−

σσ

++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ=

σσ

+

( ) ( ) ( )n1

1n

0

1

W0n

st

0,b

0

1 12sinsin11m

ffbg1

−−

σσ

++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ=

σσ

+ (4.85)

Also ist σ1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:

( ) ( ) ( ) 0

n11

n

0

1

W0n

st

0,b01 1

2sinsin11mffbg

σ−

σσ

++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρσ=σ

−−

(4.86)

Gl.(4.86) läßt sich wegen σ1,i+1 = f(σ1,i) nur iterativ lösen. Für σ1 > σ0 und da

( ) ( ) ( ) ( )W0n

st

0,bn

01 2sinsin11mffbg

/11

ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ

<σσ+

ist, kann σ1= f(b) ana-

lytisch berechnet werden:

( ) ( ) ( )n1

1

W0n

st

0,b01 2sinsin11m

ffbg −

ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ

σ≈σ (4.87)

• Für ρb = f(b) setzt man Gl.(4.85) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein

( ) ( ) ( )

n1n

n

0

1

W0n

st

0,bn

0

1 12sinsin11m

ffbg1

−−

σσ

++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ=

σσ

+

und es folgt mit der Gl.(4.83) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung ρb,i+1= f(b, ρb,i):

( )( ) ( )

n1n

n

0

b1

W0n

st

0,bn

st0,b

b )b,(12sinsin11m

ffbgsin11 −−

σρσ

++ϕ+θσϕ++

⋅⋅⋅ρ

ϕ+

=ρρ

(4.88) Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ1 = 0, es folgt:

( )nst

0,bb sin1

)0b(ϕ+

ρ==ρ (4.89)

Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/1 n01 →σσ+ − :


109

( ) ( )n1

n

W0

0,bn

st

n

st0,b

b

2sin1mffbg

sin11

sin11 −

ϕ+θ⋅σ⋅+⋅⋅⋅ρ

ϕ+

ϕ+

≈ρρ

( ) ( )n1

n

W0

0,bn1

n

st

n

st0,b

b

2sin1mffbg

sin11

sin11

2

−−

ϕ+θ⋅σ⋅+⋅⋅⋅ρ

ϕ+

ϕ+

≈ρρ

Mit den Exponenten: n1

nn1

nnnn1

)n1(nnnn1

n 2222

−=

−−+

=−

−⋅+=+

−

Die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(b) ist am Trichterauslauf:

( ) ( ) ( )n1

n

W0st

0,b

0,b

b

2sinsin11mffbg −

ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+

⋅⋅⋅ρ≈

ρρ

(4.90)

Wegen n1n

b b −∝ρ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver

deutlich mit der Auslaufbreite zu. Abweichend von Gl.(4.89) ist ρb(b=0)=0.

4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie

1. Massenfluß (Vermeidung einer stabilen Brückenbildung) • Vorauswahl von ϕe in der Nähe des erwarteten )()( 1

'11c σσ=σσ - Schnitt-

punktes für ff ≈ 1, d.h. etwa ( ) kPa5...31m

bgkrit,bkrit,1 ≈

+⋅⋅ρ

≈σ

⇒ liefert minimale Öffnungsweite einer möglichen Trichtereinschnürung bmin,st während des stationären Fließens, siehe Bild F 4.13,

• Maximale Trichterneigungswinkel θ = f(Wandreibungswinkel ϕw, ef-fektiver Reibungswinkel ϕe), F 4.6 und F 4.7

• kohäsionsloses Schüttgut, Bild F 4.5: quadratisch: kd5b omin ⋅⋅= (4.91)

kreisförmig: k08,1d5b o min ⋅⋅⋅= (4.92)

Schlitzbreite: 3d5b o min ⋅⋅= (4.93)

do ≈ d95 obere Stück- oder Partikelgröße k = 0,6...1,4 Partikelform abhängiger Parameter, k↑ wenn Kantigkeit↑

• kohäsives Schüttgut: • Vorauswahl ff = f(ϕe) F 4.11 anhand σc = f(σ1), F 4.13

• Auflagerspannung einer Schüttgutbrücke ff1'

1σ=σ mit dem Fließfaktor

( )θϕϕ= ,,fff We F 4.11

• bmin ausrechnen, F 4.5 • HTr berechnen, F 4.8 und F 4.9 • bmin,st berechnen, siehe Bild F 4.13 • Zeiteinfluß → siehe Bild F 4.15 • Anordnung von Austraghilfen → siehe Bild F 4.16


110

4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:

geg.: g/m5,5A ,m3d %,3,0X 2m,S50W =µ==

Bestimmung der Trichterneigung θ: °=ϕ 30W F 4.6 → θ = 14°-2° = 12° kon. Trichter °≈ϕ 55e F 4.7 → θ = 20° keilf. Trichter

Berechnung der Mindestaustragweite für Massenfluß, F 4.5 und F 4.11: für °≈ϕ 55e gewählt: ff = 1,3 kon. Trichter

ff = 1,2 keilf. Trichter ( ) Trichterkonischer m22,1

s/m81,9m/kg33312302sinkPa0,22b 23min =

⋅°+°⋅⋅

=

( ) Trichterer keilförmig m56,0s/m81,9m/kg338

20302sinkPa9,1b 23min =⋅

°+°⋅=

numerisch ausgewertet: °=ϕ 31W → θ = 12,4° kon. Tr.

θ = 20,9° keilf. Tr. bmin = 1,13 m kon. Tr. für ff = 1,37 bmin = 0,54 m keilf. Tr. für ff = 1,25 bmin,st für stationäres Fließen in einem konischen Trichter, ff = 1:

°=ϕ 37i , ϕst = 45°, σ0 = 0,355 kPa, ρb,0 = 297 kg/m³, n = 0,1

kPa714,1kPa355,045sin145sin2

sin1sin2

0st

stst,c =⋅

°−°⋅

=σ⋅ϕ−ϕ⋅

=σ

31,0

3n

st0,bst,b m/kg336

45sin11m/kg297

sin11

=

°−⋅=

ϕ−

⋅ρ=ρ

m04,1s/m81,9m/kg336

)3112(2sinkPa714,1)11(g

)(2sin)1m(b 23

b

wst,cstmin, =

⋅+⋅⋅+

=⋅ρ

ϕ+θ⋅σ⋅+=

Bestimmung der Trichterhöhe:

Tr. keilf. m01,320tan2

56,075,2H

Tr. kon. m6,312tan2

22,175,2H

Tr

Tr

=°⋅

−=

=°⋅

−=

und Wandneigung eines Pyramidenstumpfes:

°=

°=θ 6,812tan

21arctanWand

sowie der größten Hauptspannung im Auslauf:

Tr. keilf. kPa28,2kPa9,12,1

Tr. kon. kPa6,2kPa0,23,1

krit1,

krit,1

=⋅=σ

=⋅=σ


111

4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker

− Vermeidung einer stabilen Schachtbildung! → Bilder F 4.17 und F 4.18 − Kennwertefunktionen → siehe Bild F 4.19 − Gewöhnlich ist der Durchmesser konische Trichter zur Vermeidung der

Schachtbildung bS,min > bmin,Brücke; somit ist keine Berücksichtigung der Brü-ckenbildung notw.!

− Beachte: Beim keilförmigen Trichter entspricht bS,min ≡ dS,min der Diago-nalen des Schlitzauslaufes; deshalb muss die kritische Schlitzbreite bS,min zur Vermeidung der Brückenbildung überprüft werden, also:

Brückemin,2

min,S2

min,Smin,S bldb ≥−= (4.94)

und mit lS,min = 3.bS,min gemäß Gl.(4.51) folgt 2

min,S2

min,S2

min,S2

min,S2

min,S2

min,S b7b6blbd ⋅=⋅+=+=

Brückemin,min,Smin,Smin,S bd38,07/db ≥⋅== (4.95)

− Trotzdem kann in mangelhaft ausgelegten Kernflußbunkern selbstverständ-lich auch Brückenbildung auftreten, z.B. → Standard-Baustellensilos für Zement oder Kalkmehl.

4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft

4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft

− Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement der Dicke dy → Voraussetzung: pv = const. über den Durchmesser D des Schaftes

ρb = const. F 4.20

( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ−⋅⋅+⋅−⋅+=↑=∑ (4.96)

vFh pp ⋅λ= (4.97)

hww ptanp ⋅ϕ= (4.98)

λF Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λF = 0 ... 1, wobei gilt: λF = 0 Festkörper λF = 1 iso- oder hydrostatischer Zustand (Flüssigkeit)

gpAUtan

dydp

bvwFv ⋅ρ=⋅⋅ϕ⋅λ+ (4.99)

Lösung: als gemeinsame Übung:

vwFbv p

AUtang

dydp

⋅⋅ϕ⋅λ−⋅ρ= 63

vb

v

Hpg

dydp

−⋅ρ=

Mit einer charakteristischen Höhe:

UtanAH

wF63 ⋅ϕ⋅λ= (4.100)


112

Trennung der Variablen: v63bv

63 pHgdydpH −⋅⋅ρ=⋅

Integration für H = 0 sei pv = pv,0: ∫∫ =−⋅⋅ρ

⋅H

0

p

p v63b

v63 dy

pHgdpH

v

0,v

( ) HpHglnH v

0,v

p

pv63b63 =−⋅⋅ρ⋅−

( ) ( )63

0,v63bv63b HHpHglnpHgln −=−⋅⋅ρ−−⋅⋅ρ

630,v63b

v63b

HH

pHgpHgln −=

−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ und

−=

−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ

630,v63b

v63b

HHexp

pHgpHg

−⋅+

−−⋅⋅⋅ρ=

630,v

6363bv H

HexppHHexp1Hgp (4.101)

Für pv,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung8:

−−⋅⋅⋅ρ=

6363bv H

Hexp1Hgp ( 4.102)

Bild 4.11: Vertikaldruckverlauf pv über der Behälterhöhe H Es ist ( ) 63bv HgHp ⋅⋅ρ=∞→∞

und für H = H63 ist 37,01)1exp(1 −=−−

( ) 63b63v Hg63,0HHp ⋅⋅ρ⋅==

z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:

4D

D4D

UA 2

=⋅π⋅

⋅π= (4.103)

⋅ϕ⋅λ⋅−−⋅

ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ

=DHtan4exp1

tan4Dgp wF

wF

bv (4.104)

• für Silos ist pv ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem Durchmesser aber großer Höhe,

• für Flüssigkeitstanks ist pv ∼ H, da Hgpv ⋅⋅ρ= , → man baut gedrungene

Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.

4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H)

Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der Vertikaldruck pv ≈ σiso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte je-doch ph = λ.pv). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren 8 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049

pv∞

0,63.pv∞

Hgb ⋅⋅ρ

H H63

pv


113

Wandreibungswiderstandes pw →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der Füllhöhe H zu:

( ) Hgisobiso ⋅⋅σρ=σ (4.105)

In diese Gl.(4.105) wird die Kompressionsfunktion ρb = f(σiso) mit dem isosta-tischen Druck, Gl.(4.106), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:

n

0

iso

n

ist

i

0,b

b 1sinsin

sin

σσ

+⋅

ϕ+ϕ

ϕ=

ρρ (4.106)

0

n

0

iso

n

ist

i0,biso :Hg1

sinsinsin

σ⋅⋅

σσ

+⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅ρ=σ

1Hg1sinsin

sinn

0

iso

n

ist

i

0

0,b

0

iso +⋅⋅

σσ

+⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

σρ

=σσ

n

0

iso

n

0

iso

n

ist

i

0

0,b

0

iso 1:1Hg1sinsin

sin1

σσ

++⋅⋅

σσ

+⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

σρ

=σσ

+

n

0

iso

n

ist

i

0

0,bn1

0

iso 1Hgsinsin

sin1−−

σσ

++⋅⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

σρ

=

σσ

+

n11

n

0

iso

n

ist0

0,b

0

iso 1Hgsin/sin1

11−−

σσ

++⋅⋅

ϕϕ+

⋅σρ

=σσ

+ (4.107)

Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σiso(H) ist damit für ein kompressibles Pulver:

( ) 0

n11

n

0

ison

ist0

0,b0iso 1

sin/sin1Hg

σ−

σσ

++ϕϕ+⋅σ

⋅⋅ρ⋅σ=σ

−−

(4.108)

Gl.(4.108) läßt sich wegen σiso,i+1 = f(σiso,i) nur iterativ lösen. Häufig ist σiso > σ0 und deshalb ist der Term ( ) n

0iso /1 −σσ+ klein gegenüber

dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhen-abhängigkeit des isostatischen Druckes σiso = f(H) auch analytisch berechnen kann:

( )n1

1

nist0

0,b0iso sin/sin1

Hg −

ϕϕ+⋅σ⋅⋅ρ

⋅σ≈σ (4.109)

Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.107) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.106) ein

n1n

n

0

iso

n

ist0

0,bn

0

iso 1Hgsin/sin1

11−−

σσ

++⋅⋅

ϕϕ+

⋅σρ

=

σσ

+

und mit der Gl.(4.105) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhen-abhängigkeit der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als Iterationsgleichung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):


114

n1n

n

0

b

n

ist

i

0

0,bn

ist

i

0,b

b Hg1Hgsinsin

sinsinsin

sin −−

σ⋅⋅ρ

++⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

σρ

⋅

ϕ+ϕ

ϕ=

ρρ

(4.110) Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt

0,b

n

ist

ib sinsin

sin)0H( ρ⋅

ϕ+ϕ

ϕ==ρ (4.111)

siehe auch Gl.(4.106) für σiso = 0. Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/Hg1 n

0b →σ⋅⋅ρ+ − :

n1n

n

ist

i

0

0,bn

ist

i

0,b

b Hgsinsin

sinsinsin

sin −

⋅⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

σρ

⋅

ϕ+ϕ

ϕ≈

ρρ

n1n

0

0,bn1

n

ist

i

n

ist

i

0,b

b Hgsinsin

sinsinsin

sin2

−−

⋅⋅

σρ

⋅

ϕ+ϕ

ϕ⋅

ϕ+ϕ

ϕ≈

ρρ


nn1

nnnn1

)n1(nnnn1

n 2222

−=

−−+

=−

−⋅+=+

−

Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D < 1,5:

n1n

0

0,b

ist

i

0,b

b Hgsinsin

sin −

σ

⋅⋅ρ⋅

ϕ+ϕϕ

≈ρρ (4.112)

Wegen n1n

b H −∝ρ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver

deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.111) ist durch die Ver-einfachung ρb(H=0) = 0.

4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft

Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung wird der Vertikaldruck pv bzw. die größte Hauptspannung σ1 bei Füllen ausge-wählt, denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse des vertikalen Schaftes pv = σ1. Dazu müssen die Gl.(4.104) und die Kompres-sionsfunktion Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden:

−−⋅⋅⋅ρ=

6363bv H

Hexp1Hgp (4.104)

n

0

krit,1n

st0,b

krit,b 1sin11

σσ

+⋅

ϕ+

=ρρ

(4.67)

Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.104) gilt mit pv ≈ σ1:

( )

−−

ϕ+⋅⋅ρ

σ

+=63

nst

630,bn

0

vv H

Hexp1sin1

Hgp1p


115

( )1

HHexp1

sin1Hgp1p1

63n

st0

630,bn

0

v

0

v +

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

σ

+=σ

+

( )

n

0

v

63n

st0

630,bn1

0

v p1HHexp1

sin1Hgp1

−−

σ

++

−−

ϕ+⋅σ

⋅⋅ρ=

σ

+

( )n1

1n

0

v

63n

st0

630,b

0

v p1HHexp1

sin1Hgp1

−−

σ

++

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

=

σ

+ (4.113)

Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes pv(H) ist somit für ein kompressib-les Pulver:

( ) 0

n11

n

0

v

63n

st0

630,b0v

p1HHexp1

sin1Hg

p σ−

σ

++

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

σ=−−

(4.114)

Gl.(4.114) läßt sich wegen pv,i+1 = f(pv,i) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos pv >> σ0 und deshalb ist der rechte Term ( ) n

0v /p1 −σ+ klein gegenüber dem

linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Füll-druckes pv = f(H) auch analytisch berechnen kann:

( )n1

1

63n

st0

630,b0v H

Hexp1sin1

Hgp

−

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

⋅σ≈ (4.115)

Der Horizontaldruck ist dann wegen ph = λ.pv:

( )n1

1

63n

st0

630,b00h H

Hexp1sin1

Hgp

−

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

⋅σ⋅λ≈ (4.116)

Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.113) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein

( )n1

nn

0

v

63n

st0

630,bn

0

v p1HHexp1

sin1Hgp1

−−

σ

++

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

=

σ

+

und es folgt mit pv(ρb, H), Gl. (4.104), die Höhenabhängigkeit der Schüttgut-dichte eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsglei-chung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):

( )

n1n

n

0

bv

63n

st0

630,bn

st0,b

b )H,(p1HHexp1

sin1Hg

sin11 −−

σρ

++

−−

ϕ+σ

⋅⋅ρ

ϕ+

=ρρ

(4.117) Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt

( )nst

0,bb sin1

)0H(ϕ+

ρ==ρ (4.118)

siehe auch Gl. (4.67) für pv = σ1 = 0.


116

Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/p1 n0v →σ+ − :

( )n1

n

63n

st0

630,bn

st0,b

b

HHexp1

sin1Hg

sin11 −

−−

ϕ+⋅σ

⋅⋅ρ⋅

ϕ+

=ρρ

n1n

630

630,bn1

n

st

n

st0,b

b

HHexp1

Hgsin11

sin11

2

−−

−−

σ⋅⋅ρ

⋅

ϕ+

ϕ+

=ρρ


nn1

nnnn1

)n1(nnnn1

n 2222

−=

−−+

=−

−⋅+=+

−

Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D > 1,5:

( )n1

n

63st0

630,b

0,b

b

HHexp1

sin1Hg −

−−

ϕ+⋅σ⋅⋅ρ

≈ρρ

(4.119)

Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füll-höhe zu. Abweichend von Gl.(4.118) ist durch die Vereinfachung ρb(H=0) = 0.

4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ

(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit pv = ph und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:

1pp0

v

h <λ=< (4.120)

(2) Voraussetzung pv = σ1 und ph = σ2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der Achse des Schaftes erfüllt!

Es ist 21

21

M

Resin

σ+σσ−σ

=σσ

=ϕ (4.8)

e221e1 sinsin ϕ⋅σ−σ−=σ−ϕσ ( ) ( )e2e1 sin1sin1 ϕ+⋅σ=ϕ−⋅σ

im aktiven Spannungszustand pv ≈ σ1 bzw. ph ≈ σ2, siehe Bild F 4.21

v

h

e

e

1

2

pp

sin1sin1

≈ϕ+ϕ−

=λ=σσ

(4.121)

(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven Spannungszustand

( ) ( )w2

e2

w2

w2

w2

sinsinsin-1= wenn sin1sin1

ϕ−ϕ⋅ϕ∆∆+ϕ+∆−ϕ−

=λ (4.122)

Liefert kleine λ und großes pv → daher Verwendung von gewöhnlich λ(3) für Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.

(4) Um einen großen Horizontaldruck ph (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Ver-wendung eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes

)sin1(2,1 e0 ϕ−⋅=λ (4.123)


117

Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet (siehe dazu die Baustatik).

4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht

Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszu-standes Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüt-tec_3.doc - Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialglei-chung erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen (stehenden) Schachtwand nx(ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransfor-mation jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers bS (JENIKE 1961, MOLERUS 1985)9,10:

12/b

xn2

Sx ≥

= (4.124)

( ) ( )

( ) 1n2sin

sin2cos4

sin1n12cossinsin1

dnd

xi

ix

ii

x −ψ

⋅ϕ−ψ⋅

ϕ+⋅+ψ⋅ϕ−ϕ−=

ψ (4.125)

Mit der Randbedingung

0)1n( x ==ψ , (4.126)

die aber wegen 00

...

...1n

2sin......)1n(

dnd

xx

x

⋅=−ψ

⋅==ψ singulär ist. Für den stabilen

Schacht mit seiner Druckfestigkeit σc kann auch folgende Grenzwertbetrach-tung angestellt werden:

ψ=

−ψ

⋅=σ⋅⋅⋅ρ

<→→

x1n

x1n

c

Sb

dndlim

1n2sinlim

21

4bg0

xx

(4.127)

und der nun formell in der Funktion G(ϕi) kurz gefaßt werden soll:

( )

ψ⋅=ϕ

→x

1ni dndlim4G

x

(4.128)

Für die Gln.(4.125) und (4.128) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche abgrenzen, siehe Bild F 4.22:

1) 31sin0 i ≤ϕ≤ , d.h. °≤ϕ≤ 5,190 i

Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.

9 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ. Utah, 1961 10 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik, S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985


118

( ) 0dndlim4G

x1ni

x

=

ψ⋅=ϕ

→ (4.129)

Es sind keine stabilen Schächte möglich!

2) 21sin

31

i ≤ϕ≤ , d.h. °≤ϕ≤° 305,19 i

Mit der Transformation ζ = 1/nx, wobei für 1 ≤ nx < ∞ der Wertebereich 0 ≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen

i

i1 sin2

sin1cosϕϕ−

=ψ und (4.130)

1sin2sin3cos2sin1

ddlim ii

2

i2

i0

1

−ϕ+ϕ⋅ϕϕ+

−=ζψ

ψ→ψ→ζ

(4.131)

läßt sich die transformierte Differentialgleichung ( ) ( )

( ) ψ⋅ϕ−ψ⋅−ζζ

ϕ+⋅ζ+ψ⋅ϕ−ϕ−=

ζψ 2sin

sin2cos)1(4sin12cossinsin1

dd

i

iii (4.132)

numerisch lösen.

3) 1sin21

i<ϕ≤ , d.h. °<ϕ≤° 9030 i

Mit den adäquaten Startbedingungen

1sin2 i2 −ϕ⋅=ζ und (4.133)

( ) ( ) ( )4sin8sinsinsin11sin28

cosddlim ii

2i

ii

i

24i

2

−ϕ⋅+ϕ−ϕ⋅ϕ−⋅−ϕ⋅⋅

ϕ=

ζψ

ϕ−

π→ψ

ζ→ζ (4.134)

läßt sich die transformierte Differentialgleichung (4.132) ebenfalls nume-risch lösen.

Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕi) zusammengefasst und im Bild F 4.22 aufgetragen worden.

4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi)

Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.(4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion G(ϕi) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕi in grd): Für ϕi < 19,5°: G(ϕi) = 1 (4.135) Für ϕi ≥ 19,5°: 2143,0)(G ii −ϕ⋅≈ϕ (4.136)

4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze

Siehe auch Bild F 4.17: • Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen wKFKF 90 ϕ>θ−°=α muss

größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel. Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der


119

geneigten Trichterwand bildet, → Bild F 4.2 Kernfluß, schraffierter Bereich im Volumenelement 8.

• Nach JENIKE11 (Bull. 123, S. 68. Gl.(20)) ist der Trichterneigungswinkel zur Vertikalen θKF einschließlich eines Sicherheitsabzuges:

WKF 65 ϕ−°≤θ (4.137)

• Zur Vermeidung des nicht entleerbaren Restgutes (Bild F 4.2) muss der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen αKF = 90° - θKF für ein kohäsives Schüttgut deutlich größer sein als der Rutschwinkel auf einer glatten Wand (≈ kinematischer Wandreibungswinkel φW) bzw. der Rutsch- oder Böschungswinkel der rauen Wand (≈ effektiver innerer Reibungswinkel φe). Deshalb kann man mit einem gewissen Sicherheitszuschlag von etwa 10° (freifließendes Schüttgut12) bis 25° (kohäsives Schüttgut) folgende Be-reiche für die Auslegung des Trichterneigungswinkels bei Kernfluß nutzen:

°+ϕ≤θ−°≤°°+ϕ 159025...10 eKFw (4.138)

Bild 4.12: Horizontaldruckspitze bei Bildung eines stabilen Kern-flusstrichters

Grenzwinkel und Grenzhöhe des Kernflußtrichters im Schaft: • θG,KF näherungsweise wie bei Massenfluß ermitteln, siehe F 4.6 und F 4.7 • Trichterhöhe bei der eine Spannungsspitze (sog. „Switch load“) des Hori-

zontaldruckes ph möglich ist:

KF,G

SminSKF,G tan2

)boderb()BoderD(Hθ⋅

−= (4.139)

4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes

Ziel: Vermeidung einer stabilen Schachtbildung im Trichter und Schaft.

4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung

Auslegungsmethode: 1) freifließendes Schüttgut bS,min = f(do) → wie Massenfluß, siehe Gl.(4.93)

11 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, p. 68, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ. Utah, 1964 12 Schulze, D., Pulver und Schüttgüter: Fließeigenschaften und Handhabung, S. 311, Springer Berlin, 2006

ph

ph θG, KF

HG, KF D oder B

bS


120

2) kohäsives Schüttgut Aus der Gl.(4.127) folgt dann auch, siehe F 4.17

( ) ( )g

bzw. Gb

krit,b

iti1krit,cmin,S ⋅ρ

ϕϕ⋅σσ= (4.140)

G(innerer Reibungswinkel ϕi bzw. ϕit) siehe Funktion im Bild F 4.22 σ1 ≈ pv = f(ϕe, ϕw, ρb, Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe am Auslauf) nach

Gl.( 4.102) Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Fülldrücke13 Berechnungsmethode liegt auf der sicheren Seite, da größte Hauptspan-

nung σ1 in vertikaler Richtung in Bezug zur geringeren quergerichteten Ringspannung und der daraus resultierenden Druckfestigkeit des Schach-tes σc,krit gebracht wird. D.h. Verfestigung in vertikaler Richtung, Bruch aber in horizontaler Umfangsgrichtung → man beachte die Anisotro-pie14 kohäsiver Schüttgüter!

Das kann jedoch zu einer Überdimensionierung führen.

4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen

Um deshalb eine Überdimensionierung zu vermeiden, wird neuerdings die Anisotropie zwischen der Richtung der Verfestigungsspannung und der Richtung der wirksamen Druckspannung innerhalb der ringförmigen Oberfläche eines Schachtes berücksichtigt15!

Die größte Hauptspannung σ1 wirkt beim Füllen und Verfestigen nähe-rungsweise in vertikaler Richtung. Nahezu horizontal wirkt dagegen die kleinere Hauptspannung σ2, siehe F 4.18.

Nach dem anschließenden konzentrischen Fließen innerhalb einer nähe-rungsweise zylindrischen Fließzone wirkt die effektive größte Haupt-spannung σ1’’ nahezu in horizontaler Umfangs- oder Ringrichtung am Rand (Oberfläche) der stabilen verfestigten Schachtwand.

Neu: Berechnung der Ringdruckspannung σ1’’ ≈ ph = f(ϕe, ϕw, ρb, Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe), d.h. Abschätzung des Seiten- oder Hori-zontaldruckes des Schachtes mit den Gln.(4.97) und ( 4.102).

Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Ringdruckspan-nung nach dem Füllen im verfestigten zylindrischen Schacht

Mit dieser Ringdruckspannung σ1’’ wird die kritische Druckfestigkeit σc,krit,Aniso mittels der Verfestigungsfunktion Gl.(4.53) berechnet:

13 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling, TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 3.30, Univ. Newcastle, 1980 14 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003 15 Ittershagen, T., Schwedes, J. and A. Kwade, Investigation of anisotropic behaviour of bulk solids, p. 48-61 , Proceedings RELPOWFLO IV, Tromsö 2008


121

0,c11Aniso,krit,c ''a σ+σ⋅=σ ( 4.141)

Der Ringdruck σ1’’ ≥ σc,krit,Aniso muss mindestens der Festigkeit entspre-chen, um den Schacht zum Einsturz zu bringen!

( ) ( )g

bzw. G''b

krit,b

iti1Aniso,krit,cAnisomin,,S ⋅ρ

ϕϕ⋅σσ= (4.142)

4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE

Voraussetzung: Gültigkeit des radialen Spannungsfeldes im Schacht, das unabhängig von der Füllhöhe H ist. Durch das vorherige Ausfließen einer Teilmenge des Schüttgutes im konvergenten Fließkanal sollte sich dieses passive radiale Spannungsfeld eingestellt haben.

Die Ringspannung σ1’’(Druckspannung) an der Schachtoberfläche16 ist:

d

11 ff

'' σ=σ (4.143)

σ1’’ kennzeichnet die wirksame größte Hauptspannung am Rand der trich-terförmigen rauen Wand des kohäsiven Pulvers als Folge des konvergen-ten Fließens, siehe Bild F 4.18 Mitte. Wegen der freien Schüttgutoberflä-che ist die Querspannung σ2’’ = 0, d.h. es entsteht wiederum ein einaxialer Spannungszustand.

Der dimensionslose Fließfaktor der Schachtbildung11 ist:

( ) 7,1Gsin4sin1ff i

e

ed ≥ϕ⋅

ϕ⋅ϕ+

= (4.144)

Es ist ffd > ff, als Mindestwert wird gewöhnlich ffd ≥ 1,7 gesetzt! Berechnung von σc,krit wie beim Massenfluß, d.h. die Versagens- oder

Fließbedingung für einen instabilen Schacht lautet σ1’’ ≥ σc: Der Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion 0,c11c a σ+σ⋅=σ Gl.(4.53), des

kohäsiven Pulvers mit der Ringspannungsfunktion, Gl.(4.143), ist:

d1

0,ckrit,c ffa1 ⋅−

σ=σ (4.145)

Und gemäß Gln.(4.59) und (4.140), Bilder F 4.17 und F 4.22 ( )

( )d1krit,b

i0,cmin,S ffa1g

Gb

⋅−⋅⋅ρϕ⋅σ

= (4.146)

Diese Berechnungsmethode liegt eher auf der unsicheren Seite. Beispiel Kalzitpulver geg.: kreisrundes Silo Di = 2,75 m und H = 12 m

16 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 1205, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003


122

ww -65= 2590 ϕ°θ→°+ϕ=θ−° °θ→°=ϕ 35= 30w

→ meist für hohes v1 p=σ vorgewählt → °°+ϕ≈ϕ 3...1ste in der Nähe von ϕst gewählt

°≈ϕ→°°°°≈ϕ 47 ...31+ 46oder 44 ee Horizontaldruckverhältnis →→λ Füllen F aktives Spannungsfeld

( )( )

168,0sin1sin1

462,0sinsinsin1

w2

w2

F

w2

e2

w2

=∆+ϕ+∆−ϕ−

=λ

=ϕ−ϕϕ−=∆

1. Variante: über Vertikaldruckberechnung

m 09,7tan4

DHFw

63 =λ⋅ϕ⋅

=

( )[ ]kPa 84,23p

HHexp1Hgp

v

6363bv

=−−⋅⋅⋅ρ=

( ) 2,3G .const37 ii =ϕ→=°≈ϕ F 4.22

kPa 7,9=kPa 1,3+kPa 84,23277,0a 0,c11c ⋅=σ+σ⋅=σ

( )m 14,6

sm 81,9mkg 4203,2kPa 9,7

gG

b 23b

ikrit,cmin =

⋅⋅

=⋅ρ

ϕ⋅σ=

bmin = 6.14 m ⇒ damit >> Di und praktisch unsinnig groß!! → Vermeidung von Kernfluß bzw. Schachtbildung durch Massenfluß notw. 2.Variante: mittels ffd-Berechnung

( ) ( )

( )m 4,2

sm 81,9mkg 3723,2kPa 74,2

gb

kPa 74,21,90,277-1

kPa 3,1ffa1

9,137G47sin447sin1G

sin4sin1ff

23b

ikrit,cmin

d1

0,ckrit,c

iie

ed

=⋅⋅

=⋅ρϕσ⋅σ

=

=⋅

=⋅−

σ=σ

=°=ϕ⋅°⋅°+

=ϕ⋅ϕ⋅ϕ+

=

bmin = 2,4 m → im Allgemeinen bmin (pv) > bmin(ffd) → ansonsten Massenfluß auch damit notw.! Trichterhöhe:

m 25,035tan2

m 2,4- m 75,2tan2

bDHTr =°⋅

=θ⋅

−=

Größter Druck: kPa 5,2=kPa 74,29,1ff krit,cd1 ⋅=σ⋅=σ

4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers

− Durch Imperfektionen der Schaftwände infolge geringfügiger lokaler

lt vorgewähkPa 25 fürmkg 420

1

3b

≈σ=ρ


123

• vertikaler Einschnürungen, • hervorstehender Bolzen, Schrauben, Kanten oder Schweißnähte oder • umfänglicher radialer Unrundheiten (Exzentrizitäten)

können auch im schlanken Siloschaft Verstopfungen infolge der Bildung stabiler kohäsiver Schüttgutpfropfen infolge zu hoher Füllhöhen, verfesti-gender Vertikaldrücke und resultierender Schüttgutfestigkeiten auftreten.

− Zur Vermeidung dieser Verstopfungen im imperfekten Schaft wird ein ge-wisses konvergentes Fließen mit seitlicher Verdichtung und Konsolidation angenommen. Es gilt also eine stabile Brückenbildung zu vermeiden, F 4.23

− Mit Hilfe der Kombination der Dimensionierungsgleichung (4.15) zur Ver-meidung einer stabilen Brücken bei Massenfluss

( )0=für

g2sin2

Dbb

wkrit,cminmin θ

⋅ρθ+ϕ⋅σ⋅

=≅ (4.15)

und der linearen Verfestigungsfunktion kohäsiver Schüttgüter, F 4.10,

0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)

folgt:

g2sin2

ga2sin2D

b

0,cw

b

11w

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=⋅ρ

σ⋅⋅ϕ−

Darin wird die JANSSEN-Gleichung für das dominante (globale!) aktive Spannungsfeld des Schaftes bei vertikaler Verdichtung eingesetzt:

⋅ϕ⋅λ⋅−−

ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ

==σDHtan4exp1

tan4Dgp w

w

bv1 (4.104)

g2sin2

DHtan4exp1

tan4Dg

ga2sin2D

b

0,cww

w

b

b

1w

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=

⋅ϕ⋅λ⋅−−

ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ

⋅⋅ρ

⋅ϕ−

g2sin2

DHtan4exp1

tan22sinaDD

b

0,cww

w

w1

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=

⋅ϕ⋅λ⋅−−

ϕ⋅λ⋅ϕ⋅

⋅−

Mit WWW cossin22sin ϕ⋅ϕ⋅=ϕ und W

WW cos

sintanϕϕ

=ϕ folgt:

g2sin2

DHtan4exp1

cossin2

cossin2aDDb

0,cww

w

w

Ww1

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=

⋅ϕ⋅λ⋅−−

ϕϕ

⋅λ⋅

ϕϕ⋅⋅⋅−

g2sin2

DHtan4exp1cosaDD

b

0,cww

W2

1

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=

⋅ϕ⋅λ⋅−−

λϕ⋅

⋅−

g2sin2

DHtan4exp1cosa1D

b

0,cww

W2

1

⋅ρσ⋅ϕ⋅

=

⋅ϕ⋅λ⋅−−

λϕ⋅

−⋅

Somit folgt ein Schaftdurchmesser D ≥ Dmin:

⋅ϕ⋅λ⋅−−

λϕ⋅

−⋅⋅ρ

σ⋅ϕ⋅=

minw

w2

1b

0,cwmin

DHtan4exp1cosa1g

2sin2D (4.147)


124

als Iterationsgleichung mit dem Startwert Dmin,0 = A/U bzw. bmin,kon. Wenn der {...}-Klammer-Ausdruck negativ wird, bedeutet dies Brückenbil-dung, d.h. die Füllhöhe H muß bei gegebenen Schaftdurchmesser D begrenzt werden, um die Verfestigungsspannung zu vermindern. D.h., die obige Gl.(4.147) muß nach H umgestellt werden:

λϕ⋅⋅⋅ρ

ϕ⋅σ⋅−

−⋅ϕ⋅λ⋅

−=<

w2

1

b

w0,c

wmax cosa

Dg2sin2

11ln

tan4DHH (4.148)

− beide Gln.(4.147) und (4.148) liegen auf der sicheren Seite. Berechnungsbeispiel Kalksteinmehl: → Dmin,0 = bmin für kon. Tr. als Startwert nehmen, d.h.

( )[ ]{ } =−−−=

⋅°⋅⋅−−⋅−

=

m22,1/656,4exp1237,115465,0D

m22,1m1230tan168,04exp1237,11

5465,0D

1min,

1min,

{ } 209,0− z Konvergenkeine beendet, Iteration ⇒

→ Dafür Dmin,0 = DSchaft = 2,75 m nehmen und die Höhe H von 12 m auf 10 m verkürzen:

( )[ ]{ }

{ } z! Konvergenkeine 0,211- Dm 00,1D

m 44,8m 75,2/m 88,3exp1237,11

m 5465,0D

min,3

2min,

1min,

⇒

=

=−−⋅−

=

Daher Brückenbildung im Schaft möglich! → Begrenzung der Füllhöhe notwendig:

°⋅⋅⋅°⋅⋅

⋅°⋅⋅

−=

167,0/30cos0,277m 2,759,81m/s kg/m 420

sin60kPa 1,32-1-1ln

30tan168,04m 75,2H 2

23

H= 7,32 m als Füllhöhenbegrenzung numerisches Ergebnis H = 7,49 m

→ gewöhnlich auf der sicheren Seite, d.h. größere Füllhöhen sind möglich ⇒ müssen aber praktisch überprüft werden ⇒ weitere Erfahrungen mit der Anwendung noch notwendig!


125

4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl

geg. Bunkerschaft: D = 2,75 m H = 12 m Dmin < 0 → Brückenbildung, dafür Hmax = 7,32 m Tabelle 4.2: Auslegungswerte für ein Kalksteinmehl Bunkertrichter: θ

grd ff bzw. G(ϕi)

bmin m

Htr m

σ1 o. pv kPa

Kernfluß

über pv num.

35 32,6

3,2 3,33

6,14 6,0

Unsinn -2,55

23,8 21,55

über ffd num.

35 34,5

1,9 1,92

2,4 2,38

0,25 0,27

5,2 5,04

Massenfluß

kon. Tr. num.

12 12,4

1,3 1,37

1,22 1,13

3,6 3,68

2,6 2,65

keilf. Tr. num.

20 20,9

1,2 1,25

0,56 0,54

3,01 2,9

2,28 2,24

Diskussion der techn. Realisierbarkeit der Werte der Tabelle 4.2 anhand eines Normsilos, siehe auch Bild F 4.37 → sehr problematisch θ < 15° → riesige Trichterhöhen notwendig !!!


126

4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand

4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre

4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze

Das Kräftegleichgewicht beinhaltet das Schüttgutgewicht als treibende Kraft, den Reibungswiderstand und die Trägheitskraft17:

Bild 4.13: Kräfte an einem steifen Schüttgut-Blockelement mit seiner Masse mb auf einer um den Winkel α geneigten Wand oder Schurre.

∑ −−α⋅⋅== TRbx FFsingm0F (4.149)

∑ +α⋅⋅−== Nby Fcosgm0F (4.150)

Aus letzterem und ersterem folgen:

α⋅⋅= cosgmF bN (4.151)

RbbT FsingmxmF −α⋅⋅=⋅=

Für den Fall dass der Neigungswinkel der Schurre größer ist als der Wandrei-bungswinkel α ≥ ϕW (Gleitreibung auf der Schurrenwand), folgt mit dem Stoffgesetz für die Gleitreibung eines kohäsiven Schüttgutes18 - hier für den allgemeinen Fall einschließlich einer gewissen Wandadhäsion FA (für ein kohä-sionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut ist FA = 0):

( ) ( )ANWANWR FFtanFFF +⋅ϕ=+⋅µ=

( )

⋅α

+⋅⋅α⋅ϕ=+⋅α⋅ϕ=gmcos

F1gmcostanFgmcostanFb

AbWAbWR (4.152)

⋅α

+⋅⋅⋅α⋅ϕ−α⋅⋅=⋅gmcos

F1gmcostansingmxmb

AbWbb

Daraus folgt die Bewegungsgleichung des Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Schurre:

17 Tomas, freifließendes Schüttgut, hergeleitet 2011 18 Tomas, kohäsives Schüttgut, ergänzt 5_2013

α

mb.g

FN α

FR

x

y mb

.g.sinα

α


127

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅=gmcos

F1costansingxb

AW (4.153)

Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz erhält man aus dem Bewegungsgesetz, Gl. (4.153), indem man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt18

vdxdt = (4.154)

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅=⋅gmcos

F1costansingdxdvv

b

AW (4.155)

und in den Grenzen zwischen v = 0 bis v sowie von x = 0 bis x integriert:

∫∫ ⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅=⋅x

0b

AW

v

0

dxgmcos

F1costansingdvv

xgmcos

F1costansing2v

b

AW

2

⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅=

Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz ist also:

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅=gmcos

F1costansinxg2vb

AW (4.156)

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration der Gl.(4.153) mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:

∫∫ ⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅==t

0b

AW

v

0

dtgmcos

F1costansingvxd

tgmcos

F1costansingvb

AW ⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅= (4.157)

Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:

∫∫ ⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅=t

0b

AW

x

0

dttgmcos

F1costansingdx

2t

gmcosF1costansingx

2

b

AW ⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅= (4.158)

Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅

⋅=

gmcosF1costansing

x2t

b

AW

2

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅

⋅=

gmcosF1costansing

x2t

b

AW

(4.159)


128

und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.157), liefert wiede-rum das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:

⋅α

+αϕ−α

⋅⋅

⋅α

+αϕ−α=

gmcosF1costansing

x2gmcos

F1costansingv

b

AW

b

AW

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅

=

gmcosF1costansing

gmcosF1costansingx2

v

b

AW

2

b

AW

2

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅=gmcos

F1costansinxg2vb

AW (4.156)

4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand

Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß

Bild 4.13 mit xhsin =α

⋅α

+⋅α⋅ϕ−α⋅α

⋅⋅=gmcos

F1costansinsin

hg2vb

AW

⋅α

+⋅αϕ

−⋅⋅⋅=gmcos

F1tan

tan1hg2vb

AW (4.160)

FA = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also der Neigungswinkel der Schurren α > φw werden, damit Fließen oder Glei-ten einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!

FA > 0: 1gmcos

F1tan

tan

b

AW <

⋅α

+⋅αϕ , 1

tantan

gmcosF

Wb

A −ϕα

<⋅α

Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist: ( )

W

W

W

W

W

W

Wb

A

sinsin

sinsincos

sincossincos

tansin

gmF

ϕϕ−α

=ϕ

ϕ⋅α−

ϕϕ⋅α

=α−ϕα

<

( ) Wb

AW sin

gmFsin ϕ⋅>ϕ−α ,

ϕ⋅>ϕ−α W

b

AW sin

gmFarcsin

Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Schurrenneigungswinkel groß genug ist18:

ϕ⋅+ϕ>α W

b

AW sin

gmFarcsin (4.161)

Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei ver-gleichsweise flach geneigten Trichterwänden θKF = 90° - α im Kernflußre-


129

gime, siehe Bild 4.14. Außerdem geht die allgemeine Gl.(4.161) für FA = 0 in die vorstehende Bedingung Wϕ>α über.

4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung

→ Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“ Bild F 4.24

4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze

Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand18,

(1) der Schurrenneigungswinkel α → φB in den Böschungswinkel, (2) der kinematische Wandreibungswinkel φw → φst in den stationären

(inneren) Reibungswinkel und (3) die Wandhaftung FA → FH0,b = σ0

.Ab geht in die Haftkraft unverfestigter Partikelkontakte des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe auch Schüttec_3.doc#sigma0. Der Term FH0,b/mbg wird ausgedrückt durch die Schichthöhe h0 des Blockelementes (σ0 isostatische Zugfes-tigkeit des unverfestigten Schüttgutes, ρb,0 Schüttdichte der lockeren Packung):

00,b

0

0b

0b0

b

b0

b

b,0H

hghgmhA

gmA

gmF

⋅⋅ρσ

=⋅⋅⋅σ

=⋅σ

= (4.162)

Gemäß Schüttec_3.doc#Haftkraftverhältnis_Abschätzung läßt sich das auch als Verhältnis der Haftkraft/Gewichtskraft eines einzelnen Parti-kels mit seiner Anzahl np in einer angenommenen Wirkungskette inter-pretieren, mit FH0/FG,p = 1 bis 108, siehe Tabelle 3.1 in Schüttec_3.pdf:

( )2

2

p,G

0H3

s

0H

p

b,0Hp d

m100FF

gd6/F

gmF

n µ≈=

⋅⋅π⋅ρ≈= (4.163)

Analog zur Gl.(4.153) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung:

ρ⋅ϕσ

+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅=00,bB

0BstB ghcos

1costansingx (4.164)

Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz erhält durch Integration des Bewe-gungsgesetzes (4.164), siehe auch Gln.(4.156) und (4.160):

ρ⋅ϕσ

+⋅ϕϕ

−⋅⋅⋅=00,bB

0

B

st

ghcos1

tantan1hg2v (4.165)

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.(4.157):


130

tghcos

1costansingv00,bB

0BstB ⋅

ρ⋅ϕσ

+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅= (4.166)

Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:

2t

ghcos1costansingx

2

00,bB

0BstB ⋅

ρ⋅ϕσ

+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅= (4.167)

Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion:

ρ⋅ϕσ

+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅

⋅=

00,bB

0BstB ghcos

1costansing

x2t (4.168)

4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung

Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Bö-schungswinkel groß genug ist, siehe auch Herleitung der Gl.(4.161):

ϕ⋅

ρσ

+ϕ>ϕ st00,b

0stB sin

gharcsin (4.169)

Diese Fließbedingung läßt sich ebenfalls für das erforderliche Fließen am Rand der rauen Schüttgutwand der inneren Kernflusszone des Silos eines ver-gleichsweise flach geneigten Trichters θKF = 90° - φB anwenden, Bild 4.14:

Bild 4.14: Schüttgutreibung an geneigten Wän-den im Kernflußsilo, innere Reibung zwischen Fließ- und Totzone und an der raue Wand im resultierenden Schüttguttrichter des Flachbodens (links), Wandreibung an der flachen Wand (rechts, wie auf einer Schurre).

Darüber hinaus geht die allgemeine Gl.(4.169) für FH0,b = 0 in die vorstehende Bedingung stB ϕ>ϕ über.

4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes

Man beachte, dass für α = 90° aus der Bewegungsgleichung eines Schüttgut-Blockelementes auf einer geneigten Schurre, Gl.(4.153), die Gesetze des freien Falls folgen:

a) Bewegungsgleichung:

Fließzone tote

Zone

ϕB

α = ϕ

w

ΘKF


131

gx = (4.170)

b) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

tgv ⋅= (4.171)

c) Geschwindigkeits-Weg-Gesetz mit dt = dx/v:

gdxdvv =⋅ xg

2v2

⋅= (4.172)

xg2v ⋅⋅= (4.173)

d) Weg-Zeit-Gesetz:

2tgx

2

⋅= (4.174)

e) Zeit-Weg-Funktion:

gx2t ⋅

= (4.175)

Diese kinematischen Gesetze müssen nun im folgenden Abschnitt 4.6 für den ungleich komplizierteren und komplexeren Fall des gleichmäßig beschleunig-ten, reibungsbehafteten Ausfließens eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter hergeleitet werden:


132

4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes

Neben den technologischen Reservefunktionen und Störreserven dienen Schüttgutbehälter, wie z.B. Befülltrichter, Bunker oder Silos, der Vergleich-mäßigung von Mengenströmen, Partikelgrößenverteilungen, Dichten und che-misch-mineralogischer Zusammensetzungen. Um also für die mengenmäßige Vergleichmäßigung den Aufwand an Fördertechnik und Automatisierungstech-nik (Dosiertechnik) zu minimieren, muss die zu erwartende Schwankungsbreite des Massenstroms resultierend aus den möglichen Veränderungen der Schütt-guteigenschaften geklärt werden. Speicher sollen bekanntlich Schwankungen glätten und nicht noch mehr Störungen hervorrufen, als ohnehin in einer ver-fahrenstechnischen Anlage auftreten.

4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle

4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit

Für das stationäre Ausfließen von Flüssigkeiten (= viskose Reibung!) aus Tanks gilt mit der Energiestrombilanz (Leistungsbilanz) bezogen auf den Mas-senstrom m , svw. spezifische Energiebilanz oder BERNOULLI-Gleichung (u Fluidgeschwindigkeit, p statischer Druck, y Höhenkoordinate):

.constygp2

u

l

2

=⋅+ρ

+ (4.176)

Bild 4.15: Ausströmen einer Flüs-sigkeit aus einem Tank

2l

222

1l

121 ygp

2uygp

2u

⋅+ρ

+=⋅+ρ

+ (4.177)

und der Volumenstrombilanz

2211 AuAu ⋅=⋅ (4.178)

21

22

222

22l

21

l

121

AAuuyg2p2yg2p2

2u ⋅

−=⋅⋅−ρ⋅

−⋅⋅+ρ⋅

+

y1

h

y2

y u2

p1

A2

A1

g

p2

u1


133

( ) ( )21

22

l21212 A/A1

/pp2yyg2u−

ρ−⋅+−⋅⋅= (4.179)

Da nun ∆y = y1 – y2 = h die Behälterfüllhöhe darstellt, der Auslaufquerschnitt A2 << A1 viel kleiner als der Tankquerschnitt ist und oft Druckausgleich p1 = p2 herrscht, folgt die TORRICELLIsche Ausflußformel:

hg2u2 ⋅⋅= (4.180)

4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes

Für das stationäre Ausfließen von Schüttgütern (COULOMB-Reibung!) aus Trichtern gilt jedoch entsprechend des radialen Spannungsfeldes, siehe auch Bild 4.1 sowie die Gln.(4.1) und (4.9),

)H(f)b(fvstat ≠= (4.181)

die Unabhängigkeit von der Füllhöhe H im Schaft. Diese physikalische Tat-sache und die einfache Abhängigkeit der stationären Auslaufgeschwindigkeit vstat von der Trichterauslaufbreite b begründete die jahrtausendlange stabile Funktionsweise der Zeitmessungen mittels Sanduhren (Stundengläser). Wenn man nun gemäß Gl.(4.190) die Trichterhöhe

θ⋅=

tan2bh (4.190)

einsetzt in Gl.(4.180), folgt eine einfache Basisgleichung

θ⋅

=tan

bgvstat (4.182)

für die nachfolgenden Modellbetrachtungen. Eine Durchsicht der sehr umfangreichen Literatur zum Ausfließen von Schütt-gütern (Überblick bei SCHWEDES [1]), zeigte, daß nur Johanson [3] den Fließeigenschaften kohäsiver Schüttgüter Bedeutung beimaß. Für die überwie-gend kohäsionslosen Schüttgüter berücksichtigen Beverloo [2] die Partikelkollisionen, Keller und Gjâcev [4] die Instationarität sowie Carleton [5] und Crewdson [6] den Luftwiderstand feiner Partikeln, Bild F 4.25. Im Folgenden wird ein allgemeingültiges Prozessmodell sowohl für das gleichmäßig beschleunigte (instationäre) als auch für das stationäre Ausflie-ßen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter vorge-stellt, in dem die wesentlichen Stoffeigenschafts-, Prozess- und Apparate-größen gleichermaßen als verfahrenstechnische Prozesseinheit Berücksichti-gung finden.


134

4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten Ausflie-ßens einer kohäsiven Schüttgutbrücke

• Beim Ausfließen eines feinkörnigen Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter dehnt sich dieses aufgrund der abnehmender Spannungen zur Trichterspitze hin aus (Dilatanz), siehe Bild 4.4. Dadurch wird ein Unter-druck in den Porenräumen der Schüttgutbrücke erzeugt, der eine Fluid-strömung entgegen der Austragsrichtung durch das Gut hindurch bewirkt.

• Außerdem muss man häufig gegen einen leichten Überdruck der Umge-bung oder Unterdruck innerhalb des geschlossenen Behälters austragen - man denke dabei an die Blasenbildung und Luftrückströmung beim Ausgie-ßen von Getränken aus geschlossenen Flaschen.

4.6.2.1 Modellbildung

4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke

Das Kräftegleichgewicht der Gewichtskraft FG, Trägheitskraft FT und Aufla-gerkraft FV einer gleichmäßig beschleunigten, dynamischen Brücke eines kohäsiven Schüttgutes unter Berücksichtigung der Fluid-Widerstandkraft FF einer Fluidgegenströmung durch das fließende Schüttgutbett innerhalb des Trichters liefert (dhB inkrementelle Schicht- oder Brückenhöhe, F 4.4:

BBbG dhAgdF ⋅⋅⋅ρ= (4.183)

BB1V dhUsincosdF ⋅⋅δ⋅δ⋅σ′= (4.184)

dtg*dvdFdhAadF GBBbT ⋅

⋅=⋅⋅ρ⋅= (4.185)

BBB

F dhAdhdpdF ⋅⋅= (4.186)

∑ ↓= 0dF und damit FTVG dFdFdFdF0 −−−=

Einsetzen der obigen Gln.(4.183) bis (4.186 liefert:

BBB

BBbBBB

B1BBb dhA

dhdpdhAadhA

AU

22sindhAg0 ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅−⋅⋅⋅δ

⋅σ′−⋅⋅⋅ρ=

Für σ1’ = σc,krit und δ = θ + ϕw ist bekanntlich, siehe Gl. (4.15):

( )g

2sin)1m(b

b

wkrit,cmin ⋅ρ

θ+ϕ⋅σ⋅+= (4.15)

Einsetzen:

Bb1b dh

dpab

1m2sing0 −ρ⋅−+

⋅δ⋅σ′−⋅ρ= g

1b ⋅ρ

⋅

Bb

min

dhdp

g1

ga1

bb

⋅⋅ρ

−−= (4.187)


135

Die vertikale Beschleunigung a = dv*/dt der Schüttgutströmung aus der Ruhe-lage, z.B. durch Öffnung des Schiebers oder kurzzeitige Brückenbildung, setzt sich sowohl aus dem Anteil (1) durch die Querschnittsverengung des Trichters, svw. Trichterkonvergenz

∂A/∂h, als auch aus (2) der Bremswirkung infolge der reinen Trägheitswirkung der dynamischen

Schüttgutbrücke (Anlaufvorgang) ∂v/∂t zusammen

dtA

AV

AtVdt

)t,h(A)t(Vd

dt)t,h(dva 2 ∂

∂⋅−

⋅∂∂

=

==

, (4.188)

mit: vhA

th

hA

tA

⋅∂∂

=∂∂⋅

∂∂

=∂∂

wobei der Volumenstrom im gesamten Trichter konstant bleibt, d.h. für die Kontinuitätsbedingung wird näherungsweise ein inkompressibles Schüttgut ρb ≈ const. angenommen, )h(f)t(V ≠ . Einsetzen liefert:

dhAdAv

dtdvv

dhdA

AV

dtdva 2

2 ⋅⋅−=⋅⋅−=

(4.189)

Nebenrechnungen: θ⋅⋅= tanh2b (4.190)

θ⋅⋅

θπ=π

θ=

tanh2l=bl= A

tanhb4

= A

tanh4b= A

222

222

(4.191)

Bild 4.16: Trichtergeometrie

Wenn die Höhenkoordinate h von oben beginnend angesetzt wird, nimmt die Trichterquerschnittsfläche A nach unten ab. Diese Flächenabnahme dA/dh muß dann mit einem - Vorzeichen versehen werden. Aus Bild 4.16 folgt für einen quadratischen Auslauf

btan4

h2

tanh4tanh8=

dhdA

A1

22

2 θ⋅−=−=

θθ

−⋅ ,

runden Auslauf

btan4

h2

tanytany2=

dhdA

A1

22

2 θ⋅−=−=

θπθπ

−⋅

und schlitzförmigen Auslauf:

btan2

h1

tanyl2tanl2=

dhdA

A1 θ⋅

−=−=θθ

−⋅ (4.192)

Allgemeingültig liest man aus den obigen Gln.(4.192) nun mit dem Trichter-formfaktor m ab:

btan)1m(2

h1m

dhdA

A1 θ⋅+⋅

−=+

−=⋅ (4.193)

b/2

θ

x

y, h


136

Damit folgt schließlich für die Beschleunigung des beginnenden Fließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Trichter:

2vb

tan)1m(2dtdva ⋅

θ++= (4.194)

Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ≠ f(x) wird hier über dem Trichterquerschnitt als konstant vorausgesetzt, siehe Bild 4.16. Eingesetzt in Gl.(4.187) ergibt sich nun die folgende Bewegungsgleichung als inhomogene, nichtlineare Differen-tialgleichung erster Ordnung für die Auslaufgeschwindigkeit v(t) des begin-nenden Fließens der kohäsiven Schüttgutbrücke:

−⋅=

ρ+⋅

θ⋅+⋅+

bb1g1

dhdpv

btan)1m(2

dtdv min

bB

2 (4.195)

Wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckverlustes während der Durchströmung der fließenden Schüttgutbrücke (-bettes) dp/dhB = f(ur) ist mit der Relativgeschwindigkeit vuur

−= für ein ruhenden Fluid u = 0 vur

= :

−=⋅

⋅ρ

⋅θ+

+θ+

+b

b1gvudh/dp

tan)1m(2b1

btan)1m(2

dtdv min2

2rb

B (4.196)

Der Term (1- bmin/b) erfasst den Fließwiderstand bzw. die Trägheitswirkung einer kohäsiven Brücke in dem konvergenten Fließkanal, d.h. die Behinderung des Trichterausflusses aufgrund der kohäsiven Schüttguteigenschaften. Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Brückenbildung bmin ist im Wesentlichen ein der Trichtergeometrie äquivalentes Eigenschaftsmaß der inneren Haftkräfte innerhalb des kohäsiven Schüttgutes.

4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung

Der Druckverlust dp/dhB der nach unten fließenden, statistisch homogen durchströmten Schüttgutbrücke hängt selbstverständlich von der Durch-strömungsgeschwindigkeit der Luft in den Poren uε und damit von der Austragsgeschwindigkeit v ab. Infolge der Druckabnahme dehnt sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen aus (Dilatanz). In den Poren der Brücke wird ein Unterdruck erzeugt. Deshalb wird Luft „ansaugt“ und folglich das Fließen der Schüttgutbrücke durch diese Luftgegenströmung abgebremst. Wenn sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen durch ein umgebendes ruhen-des Fluid hindurchbewegt wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwi-schen Fluid und Brücke ur (kein Schlupf und zusätzliche Anströmung u = 0) der Brückenaustraggeschwindigkeit v entsprechen:

vvuur

≅−= , (4.197)

Folglich sind alle nachfolgenden Kennzahlen mit der Relativgeschwindigkeit ur zu bilden. Anstelle dessen kann auch strömungsdynamisch analog die ho-mogene Durchströmung einer ruhenden Brücke v = 0 betrachtet werden:


137

uvuur

≅−= (4.198)

Somit ist der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit (Leerrohrgeschwindigkeit) u und der mittleren Geschwindigkeit εu der durch-

strömten Kanäle des Durchmessers dε, wie folgt darstellbar:

ε=ε /uu (4.199) Die mittlere Porengröße εd wird als hydraulischer Durchmesser mittlerer cha-

rakteristischer zylindrischer Kanäle dh, siehe Schüttec_3.doc – hydraulischer-Durchmesser Gl.(3.142), modelliert:

)1(3d2d ST

ε−⋅⋅ε⋅

=ε (4.200)

Dabei ist dST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten Schüttgutbrücke, Gl.(1.70) MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:

∫−

==−

o

u

1d

d3

3,1ST

)d(d)d(qd

1M

1d (4.201)

Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (= Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströ-mungsproblem der Partikelschüttung auszudrücken19 (ρf Fluiddichte)

2f

,W

uA/F2

Euε

εε ⋅ρ

⋅= (4.202)

FW,ε Widerstandskraft in den Kanälen Mit der homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche AA ⋅ε=ε

und der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form des Po-rendurchmessers Vε/Aε ⇒ dε folgt mit dem Druckverlust der Schüttschicht (In-dex B für eine Schüttgutbrücke oder Festbett)

( )( ) ε⋅ε⋅ρ

⋅⋅= ε

2rf

BB /u

ddh/dp2Eu (4.203)

und mit der Gl.(4.200):

( ))1(u3ddh/dp4Eu 2

rf

ST2

BB ε−⋅⋅ρ⋅

⋅ε⋅⋅= (4.204)

Der Druckverlust des Festbettes ist somit:

BST

2

2rf

B

Eud4

)1(u3dhdp

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)

Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl und somit vom mittleren Porendurchmesser dε ab20, Gl. (4.200):

19 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 10, Chapman, London 1993


138

f2

fr

f

fSTr

2)1(du3d)/u(

Reη⋅ε⋅

ε−⋅ρ⋅⋅⋅=

ηρ⋅⋅ε

= ε (4.206)

ηf dynamische Fluidviskosität oder mit ff /ρη=υ kinematische Fluidviskosität

Der Durchströmungswiderstand Eu = f(Re) wird nun wie folgt quantifiziert:

4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen

Für die im Allgemeinen laminaren bis turbulenten Durchströmungsbedingun-gen beim Ausfließen muss Re < 104 erfüllt sein (man beachte die Analogie, bei der Umströmung soll Re < 2⋅105 sein). Nach MOLERUS21 (1982) folgt für das Festbett Schüttec_3.doc - Druckverlust_Festbett_Molerus

1,095,0

5,1

95,095,0

2

B Re891,0

ad4,0

ad12,01

Re4

ad

21

ad692,01

Re24Eu ⋅

++

⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

(4.207)

für die Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis), siehe dazu das Würfelzellenmodell ../VO_MVT_Neu/MVT_e_1neu.doc#a_phis

3

3

95,0 195,01

ad

ε−−ε−

=

mit (4.208)

( ) 95,013max =ε− d.h. (1-ε)max = 0,8574 (4.209)

und für eine homogene Wirbelschicht (expandierendes Festbett) Der Druckverlust läßt sich in diesem Falle aus der um den statischen Auf-trieb verminderten Gewichtskraft der schwebenden Schüttung berechnen:

( ) g)1(dh

dpfsWS

WS

⋅ρ−ρ⋅ε−= , (4.210)

wobei die Feststoffdichte wesentlich größer als die Fluid- oder gewöhnlich Gasdichte ρs >> ρf ist:

( ) ggdh

dpWS,bfs

s

WS,b

WS

⋅ρ≈⋅ρ−ρ⋅ρ

ρ= (4.211)

ρb,WS Schüttgutdichte im Wirbelschichtzustand (Index WS) Damit ist die EULER-Zahl im Wirbelschichtzustand

( )2rf

ST2

fsWS u3

dg4Eu⋅ρ⋅

⋅ε⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.212)

Es folgt Schüttec_3.doc - Druckverlust_Wirbelschicht_Molerus:

20 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 17, Chapman, London 1993 21 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 27, Chapman, London 1993


139

1,0

5,12

WS Re907,0

ad4,0

ad07,01

Re4

ad

21

ad341,01

Re24Eu ⋅++

⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

(4.213) mit der Porositätsfunktion (Verhältnis Partikelgröße-Oberflächenabstand)

3

3

9,0 19,01

ad

ε−−ε−

=

und (4.214)

( ) 9,013max =ε− d.h. (1-ε)max = 0,729 (4.215)

Man beachte insbesondere die physikalische Plausibilität dieser Durchströ-mungsgleichungen, die andere Modelle (z.B. ERGUN-Gleichung oder Gln. in der FLUENT-Software) leider nicht bieten können, d.h. als Grenzwert der ex-pandierenden Wirbelschicht (Flugstaubwolke) muss sich der Widerstand der Umströmung der Einzelpartikel (ideal glatte Kugeln) WWS1

cEulim =

→ε ergeben:

4,0Re4

Re24cEu)1(Eu WKugelWS ++====ε , (4.216)

wobei sich die folgenden Einflüsse auf die Durchströmungs- bzw. Umströ-mungsbedingungen abgrenzen lassen: ⇒ { }...Re

24 ⋅ Term für laminare Durchströmung, Re < 1…10,

⇒ { }...Re

4 ⋅ Übergangsterm und

⇒ 0,4 + ... Term für turbulente Durchströmung, Allerdings muss hier Re < 104 erfüllt sein (bei Umströmung Re < 2⋅105).

4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens

Aus der Bewegungsgleichung (4.196) und unter Berücksichtigung des zusätzli-chen Widerstandes infolge eines äußeren Überdruckes dpa, Gl.(4.279),

ρ

−−=⋅

⋅ρθ+

+θ+

+gdH/dp

bb1gv

udh/dp

tan)1m(2b1

btan)1m(2

dtdv

b

amin22rb

B

(4.217) sowie mit den Gln.(4.198) und (4.205)

)u(Eud4

)1(u3dhdp

rBST

2

2rf

B

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)

)u(Eud4

)1(3udh/dp

rBST

2b

f2rb

B ⋅⋅ε⋅ρ⋅ε−⋅ρ⋅

=⋅ρ

und sbs

b

b

11ρ

=ρ⋅ρ

ρ=

ρε−

ST2

s

rBf2rb

B

d4)u(Eu3

udh/dp

⋅ε⋅ρ⋅⋅ρ⋅

=⋅ρ

(4.218)

folgt die allgemeine Bewegungsgleichung (Differentialgleichung erster Ord-nung) des beginnenden, gleichmäßig beschleunigten und instationären Aus-fließens kohäsiver Schüttgüter aus einem konvergenten Trichter:


140

( )

ρ

−−⋅=⋅

θ+ρε

⋅ρ⋅⋅+⋅

θ⋅++

gdH/dp

bb1gv

tan)1m(d8)t(vEub31

btan)1m(2

dtdv

b

amin2

s2

ST

Bf

(4.219) Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich diese Dif-ferentialgleichung (4.219) bequem umstellen:

( )

θ⋅+⋅ρ⋅ε⋅⋅

⋅ρ⋅⋅+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅⋅=

tan)1m(d8vEub31tan)1m(2

gdH/dp

bb

1bg)b(v

s2

ST

stBf

b

astmin,

st (4.220)

Für das stationäre Fließen sollte nun statt bmin die etwas kleinere minimale Öffnungsweite des stationäres Ausfließen bmin,st gemäß Gl. (4.72) eingesetzt werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite von exakt b = bmin,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich vst = 0. Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender Druckdifferenz dp/(dhB

.ρb.u2) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit

der EULER-Zahl EuB(vst) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflus-ses berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben. Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl. (4.219), lässt sich wegen der komplizierten nichtlinearen Abhängigkeit von den Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten EuB = Re(v(t)), Gl.(4.207), nur numerisch lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:

4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode

Gleichung (4.219) wird unter Verwendung von Gl.(4.248) umgeschrieben

( ) [ ]

ρ

−−⋅+⋅+⋅⋅−⋅

θ⋅+−==

gdH/dp

bb1g)t(vc1

b/dk1btan)1m(2)t,v(f

dtdv

b

amin2Eu

b

(4.221)

mit dem Parameter cEu, EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:

( )θ⋅+⋅ρ⋅ε⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ρ⋅

=tan)1m(d8

b/dk1b)))t(v(Re(Eu3cs

2ST

bBfEu (4.222)

1,03

35,1

3

3

2

3

3

3

3

B

Re891,0

195,014,0

195,0112,01

Re4

195,01

21

195,01692,01

Re24Eu

⋅

ε−−ε−

++

ε−−ε−

⋅+⋅

⋅+

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+⋅=

(4.223)

f

fSTd)t(vReη⋅ε

ρ⋅⋅= (4.224)


141

Für festzulegende Startwerte t0, v0, Endwerte tmax, sowie der Anzahl der Funk-tionswerte n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1 Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)

n/th max= (4.225)

α⋅= h:h (4.226) htt k1k +=+ (4.227)

wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k0(k) bis k3(k) in k = 1 ... n Schritten gelöst:

h)kv,ht(fk

h)k5,0v,h5,0t(fk

h)k5,0v,h5,0t(fk

h)v,t(fk

)k(2kk)k(3

)k(1kk)k(2

)k(0kk)k(1

kk)k(0

⋅++=

⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅+=

⋅=

(4.228)

Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der

Schranke 1,0...01,0kkkk

)k(0)k(1

)k(1)k(2 <−

− (4.229)

geregelt. Die Funktionswerte der Auslaufgeschwindigkeit sind dann:

[ ]3210k1k kk2k2k61vv +⋅+⋅+⋅+=+ (4.230)

Programmausschnitt mit RUNGE-KUTTA-Algorithmus aus Borland-PAS-CAL-Unit „SZTr.Pas“ der eigenen Berechnungssoftware „SZNeu.Exe“ zur Auswertung von Scherzellenmeßergebnissen und Bunkerdimensionierung22: with TR[k]^ do begin {Variablenvektor mit Index k} alfa:=0.9; {selbst kontrollierende Schrittweite 0<alfa<1} h:=tmax/nt; h:=h/alfa; x:=t; yapprox:=v1; repeat {Lösungsalgorithmus nach RUNGE-KUTTA} h:=h*alfa; xmid:=x+h/2; k0:=fv(x,yapprox)*h; k1:=fv(xmid,yapprox+k0/2)*h; k2:=fv(xmid,yapprox+k1/2)*h; k3:=fv(x+h,yapprox+k2)*h; if abs(k1-k0)<0.1E-37 then k0:=0.1E-20*k1; {Schutz vor Absturz} until abs((k2-k1)/(k1-k0))<10*epsilon; x:=x+h; {regelt Rechenaufwand und Anpassungsgüte mit epsilon=0.001}

22 In: Tomas, J., Winter, M., Bremerstein, J., 8/1992, ergänzt 4/2013


142

t:=x; yapprox:=yapprox+(k0+2*k1+2*k2+k3)/6; v1:=yapprox; …

4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung

Aus didaktischen Gründen werden zunächst die mathematisch einfacheren Nä-herungslösungen für die turbulente Durchströmung bevorzugt. Anschließend folgen die analytischen Lösungen für die laminare Durchströmung.

4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Be-schleunigungsphase, d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangs-bereiches der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm dp/(dhB

.ρb.ur

2) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten Widerstandsbeiwert cW bei der Partikelumströmung, Gl.(4.216), siehe auch ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf. Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnitts-weisen Konstanz der Eulerzahl EuB ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung (4.217) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammen-hänge der Auslaufdynamik Klarheit zu verschaffen:

ρ

−−=⋅

⋅ρθ+

+θ+

+gdH/dp

bb1gv

udh/dp

tan)1m(2b1

btan)1m(2

dtdv

b

amin22rb

B

(4.217) Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoff-wert (Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst für dv/dt = 0 berechnet:

ρ

−−=⋅

⋅ρθ+

+⋅θ+

+

=

gdH/dp

bb1gv

udh/dp

tan)1m(2b1

btan)1m(20

dtdv

b

amin2st2

rb

B

⋅ρ

⋅θ⋅+⋅

+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅=

2b

B

b

amin

2st

udh/dp

tan)1m(2b1

btan)1m(2

gdH/dp

bb1g

v

Im Vergleich zur Gl.(4.220) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit in einer etwas veränderten Schreibweise:

⋅ρ⋅

θ⋅+⋅+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅⋅=

2st,rb

Bst,r

b

amin

st

udh/)u(dp

tan)1m(2b1tan)1m(2

gdH/dp

bb1gb

v (4.231)


143

Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung (4.217) umgeformt

22rb

B

b

amin vudh/dp

btan)1m(2

gdH/dp

bb1g

dt)t(dv

⋅

⋅ρ

+θ+

−

ρ

−−⋅= ,

mit dem Druckverlust bei stationärer Durchströmung 2st,rb

Bst,r

udh/)u(dp

⋅ρ erweitert

22rb

B

2st,rb

Bst,r

2st,rb

Bst,r

2

b

amin vudh/dp

udh/)u(dp

udh/)u(dp

vb

tan)1m(2gdH/dp

bb1g

dt)t(dv

⋅⋅ρ

⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅

θ+−

ρ

−−⋅= ,

der rechte Term dp(ur,st)....v2 wird mittels der umgeformten Gl.(4.231) ersetzt

ρ

−−⋅=⋅ρ

+θ⋅+⋅

gdH/dp

bb1

vg

udh/)u(dp

btan)1m(2

b

amin2st

2st,rb

Bst,r

btan)1m(2

gdH/dp

bb1

vg

udh/)u(dp

b

amin2st

2st,rb

Bst,r θ⋅+⋅−

ρ

−−⋅=⋅ρ

, (4.232)

umformen der rechten Terme

2

b

amin2st

2st,rb

Bst,r

2rb

B

2 vb

tan)1m(2gdH/dp

bb1

vg

udh/)u(dp

udh/dp

vb

tan)1m(2...dt

)t(dv⋅

θ⋅+⋅−

ρ

−−⋅⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅

θ+−=

2st

2

b

amin

2st,rb

Bst,r

2rb

B

2

2st,rb

Bst,r

2rb

B

vv

gdH/dp

bb1g

udh/)u(dp

udh/dp

v

udh/)u(dp

udh/dp

1b

tan)1m(2...dt

)t(dv⋅

ρ

−−⋅⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅θ+

−=

2

2st,rb

Bst

2rb

B

2st

2

b

amin

2st,rb

Bst

2rb

B

b

amin v

udh/dpudh/dp

1b

tan)1m(2vv

gdH/dp

bb1g

udh/dpudh/dp

gdH/dp

bb1g

dt)t(dv

⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅θ+

−⋅

ρ

−−⋅

⋅ρ

⋅ρ−

ρ

−−⋅=

ausklammern und es folgt eine erweiterte allgemeine Bewegungsgleichung, die wie die Differentialgleichungen (4.217) oder (4.219) nur numerische lös-bar ist, siehe Abschnitt 4.6.2.3:

2

2st,rb

Bst

2rb

B

2st

2

2st,rb

Bst

2rb

B

b

amin v

udh/dpudh/dp

1b

tan)1m(2vv

udh/dpudh/dp

1gdH/dp

bb1g

dt)t(dv

⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅θ+

−

⋅

⋅ρ

⋅ρ−⋅

ρ

−−⋅=

(4.233) Für eine analytische Lösung wird vereinfachend der Druckverlust als ab-schnittsweise konstant angenommen, so dass dessen Verhältnis ≈ 1 ist

1u

dh/)u(dpudh/dp

2st,rb

Bst,r2rb

B →⋅ρ⋅ρ

(4.234)

Dies liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung:


144

−⋅

ρ

−−⋅= 2st

2

b

amin

vv1

gdH/dp

bb1g

dt)t(dv (4.235)

Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ vst

∫∫==

⋅

ρ

−−⋅=−

t

0tb

amin2st

v

0v22

st

dtgdH/dp

bb1

vg

vvdv (4.236)

auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung23:

−

−+

⋅⋅

=

−+

⋅⋅

=−∫

= st

st

s

s

st

v

0st

st

st

v

0v22

st vvln

vvvvln

v21

vvvvln

v21

vvdv

Die rechte Seite der Integralgleichung (4.360) ergibt:

tgdH/dp

bb1

vgdt

gdH/dp

bb1

vg

b

amin2st

t

0tb

amin2st

⋅

ρ

−−⋅=⋅

ρ

−−⋅ ∫=

Beide Integrale ergeben zusammen:

tgdH/dp

bb1

vg

vvvvln

v21

b

amin2sts

s

st

⋅

ρ

−−⋅=

−+

⋅⋅

Auflösen nach v:

tgdH/dp

bb1

vg2

vvvvln

b

amin

stst

st ⋅

ρ

−−⋅⋅

=

−+

⋅

ρ

−−⋅⋅

=−+ t

gdH/dp

bb1

vg2exp

vvvv

b

amin

stst

st

( )

⋅

ρ

−−⋅⋅

⋅−=+ tgdH/dp

bb1

vg2expvvvv

b

amin

ststst

stb

amin

stst

b

amin

st

vtgdH/dp

bb1

vg2expvt

gdH/dp

bb1

vg2expvv −

⋅

ρ

−−=

⋅

ρ

−−+

−

⋅

ρ

−−=

⋅

ρ

−−+ 1tgdH/dp

bb1

vg2expvt

gdH/dp

bb1

vg2exp1v

b

amin

stst

b

amin

st

Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit:

1tgdH/dp

bb1

vg2exp

1tgdH/dp

bb1

vg2exp

v)t(v

b

amin

st

b

amin

stst

+

⋅

ρ

−−⋅⋅

−

⋅

ρ

−−⋅⋅

⋅=

Dies lässt sich mit der tanh-Funktion24 deutlich übersichtlicher gestalten:

( )( ) ( ) 1y1mitxtanh

1x2exp1x2expy <<−=

+−

= (4.237)

23 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991. 24 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Ver-lagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.


145

Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergen-ten Trichter:

⋅

ρ

−−⋅⋅

⋅= tgdH/dp

bb1

vg2tanhv)t(v

b

amin

stst

mit der für die tanh-Funktion typischen Relaxationszeit t76, siehe Gl.(4.242),

ρ

−−⋅=

gdH/dp

bb1g

vt

b

amin

st76 , (4.238)

( ) ( )76st t/ttanhvtv ⋅= (4.239)

und mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.(4.231):

⋅ρ

⋅θ⋅+⋅

+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅⋅=

2rb

B

b

amin

st

udh/dp

tan)1m(2b1tan)1m(2

gdH/dp

bb1gb

v (4.231)

Die tanh-Funktion ist typisch für diesen von der Schwerkraft getriebenen aber von der Luftdurchströmung und Pulverkohäsion behinderten Auslaufprozess. Anstieg und charakteristische Auslaufzeiten Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.235) berechnen:

=−⋅

ρ

−−⋅==

2st

2

b

amin

0v v0v1

gdH/dp

bb1g

dt)t(dv (4.235)

ρ

−−⋅= ∗= g

dH/dpb

b1gdtdv

b

amin

0v (4.240)

und entspricht damit dem Anstieg, Gl.(4.324), bei laminarer Durchströmung. Mit Hilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.239) ergibt sich bei t = 0,

wenn xcosh

1'yxtanhy 2=→= , ( )

ss v,76

s2

v,76

s

0t tv

0cosh1

tv

dt)t(dv

=⋅==

,

ρ

−−⋅== ∗= g

dH/dpb

b1gtv

dt)t(dv

b

amin

v,76

s

0t s

(4.241)

ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt. Die kennzeichnende Relaxationszeit t76 ist mit den Gln.(4.238) und (4.231):


146

⋅ρ

⋅θ+

+⋅θ+

ρ

−−⋅⋅

ρ

−−=

2rb

B

b

amin

b

amin76

udh/dp

tan)1m(2b1tan)1m(2

gdH/dp

bb1gb

gdH/dp

bb1g

1t

⋅ρθ+

+⋅

ρ

−−⋅θ+=

2rb

B

b

amin76

udh/dp

tan)1m(2b1

gdH/dp

bb1gtan)1m(2

bt (4.242)

Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t76 die tanh-Funktion

( ) stst76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅== (4.243)

ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für

( ) stst7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅= (4.244) ( ) stst7699 v995,03tanhv)t3t(v ⋅=⋅=⋅= (4.245)

mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht. Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom

dV und der Massestrom dm sind mit der Gl.(4.239) für die Auslaufgeschwin-

digkeit (Ad Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρb,krit = f(σ1,krit) Schütt-gutdichte am Auslauf, siehe Abschnitt 4.1.4.2.2):

( ) ( )76stddd t/ttanhvAtvA)t(V ⋅⋅=⋅= , (4.246)

( ) ( )76stdkrit,bdkrit,bd t/ttanhvAtvA)t(m ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ= (4.247)

4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl

In einer früheren Arbeit des Autors25 wurde zusätzlich die Behinderung des Schüttgutstromes durch Kollisionsereignisse gröberer Partikel mit der Wand am Rand des Trichterauslaufes berücksichtigt:

( )b/dk1b:b b⋅−⋅= (4.248)

kb = 1 ... 3 Kollisionskonstante, abhängig von der Partikelform d ≈ d95 obere Stück- oder Partikelgröße, siehe auch Dimensionierungs-

gleichung (4.93) zur Vermeidung des Verkeilens der Auslauf-öffnung durch grobe Stücke

Diese Partikel-Wand-Kollisionen erzeugen eine gewisse „Einschnürung“ des ausgetragenen Partikelstromes am Auslauf (siehe auch BEVERLOO 1961). Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst ist dann für stationäres Fließen

25 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wech-selwirkungskräfte zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranla-gen, S. 114, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991


147

( ) ( )( )

θ⋅+⋅ε⋅⋅ρ⋅

⋅−⋅⋅⋅ρ⋅+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅

⋅−⋅⋅

=

tan1md8b/dk1Eub31tan1m2

gdH/dp

bb

1bdk1bg

v

2STs

bBf

b

astmin,b

st (4.249)

und der Relaxationszeit t76 für das beginnende Fließen:

( )( )( )

Θ+ερ

⋅−⋅ρ+

ρ

−−⋅Θ+

⋅−⋅=

tan1md8b/dk1Eub31

gdH/dp

bb

1gtan)1m(2

b/dk1bt

2STs

bBf

b

astmin,

b76

(4.250)

Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Gl.(4.239) folgen die entsprechenden Auslaufvolumen- und -massenströme:

)t(vA)t(V dd ⋅= (4.251)

)t(vA)t(m dbd ⋅⋅ρ= (4.252)

⋅⋅=

76stdd t

ttanhvA)t(V (4.253)

⋅⋅⋅ρ=

76stdbd t

ttanhvA)t(m (4.254)

Infolge der Partikel-Wand-Kollisionen grober Partikel wird der Auslaufstrom etwas eingeschnürt. Deshalb werden die Dimensionen der Auslauffläche Ad jeweils um den Betrag ( )b/dk1 b ⋅− reduziert und zwar für die

• kreisförmige Trichteröffnung:

22

dd bbdk1

4A ⋅

⋅−⋅

π= (4.255)

• quadratische Trichteröffnung:

22

dd bbdk1A ⋅

⋅−= ( 4.256)

• und schlitzförmige Trichteröffnung (Schlitzlänge l):

lldk1b

bdk1A ddd ⋅

⋅−⋅⋅

⋅−= ( 4.257)

Die berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes eines kohäsiven, teilweise nicht fluidisierbaren Kalk-steinpulvers (Gruppe-C Verhalten nach GELDART) im Bild 4.17 dargestellt:


148

Bild 4.17: Berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit v eines konischen (bmin = 1,127 m, b = 1,14 m, lAd = 0) und keilförmigen (bmin = 0,5378 m, b = 0,538 m, lAd = 1,614 m) Trichters in Abhängigkeit von der Zeit t für ein kohä-sives Kalksteinpulver (d50 = 3 µm) Je geringer der Unterschied zwischen der ausgeführten Öffnungsweite b des großtechnischen Silos und der aufgrund der Fließeigenschaften des Schüttgutes ermittelten minimalen Öffnungsweite bmin ist, desto größer ist die Zeitspanne zum Erreichen des stationären Fließens im Auslauf und desto störanfälliger wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.

4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz

Mit der Bewegungsgleichung (4.235) für turbulente Durchströmung:

−⋅

ρ

−−⋅= 2st

2

b

amin

vv1

gdH/dp

bb1g

dt)t(dv (4.235)

erhält man eine neue elegante Formulierung, wenn man das Zeitinkrement dt durch das Weg- oder Höheninkrement dh/v, Gln.(4.154) & (4.172), ersetzt26:

vdhdt = (4.258)

−⋅

ρ

−−⋅=⋅= 2st

2

b

amin

vv1

gdH/dp

bb1g

dh)h(dv)h(v

dt)t(dv (4.259)

26 Tomas, neu hergeleitet 12/2013 bis 1/2014


149

Diese Differentialgleichung(4.259) wird nach Trennung der Variablen gemäß der bekannten Lösung des Grundintegrals Nr. 61 umformt27

∫∫∫===

ρ

−−⋅=−⋅

⋅=−⋅ h

0hb

aminv

0v22

st

2st

v

0v2st

2 dhgdH/dp

bb1g

vvdvvv

v/v1dvv (4.260)

mit ( )2222 xaln

21

xadxx

−⋅−=−⋅

∫ .

Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v und a = vst2. Mit der Anfangs-

bedingung v(h=0) = 0 wird zunächst nur die linke Seite der Integralgleichung (4.260) gelöst:

( ) ( ) ( )2st

2st22

st

2st

v

0

22st

2st

v

022

st

2st vln

2vvvln

2vvvln

2v

vvdvvv ⋅+−⋅−=−⋅−=−⋅

⋅ ∫

( ) ( )[ ]

−⋅−=

−⋅−=−−⋅−= 2

st

22st

2st

22st

2st2

st22

st

2st

vv1ln

2v

vvvln

2vvlnvvln

2v

Die Integration beider Seiten der Integralgleichung (4.260) ergibt zusammen:

hgdH/dp

bb1g

vv1ln

2v

b

amin2st

22st ⋅

ρ

−−⋅=

−⋅−

ρ

−−⋅⋅⋅

−=

−

gdH/dp

bb1

vhg2

vv1ln

b

amin2st

2st

2

ρ

−−⋅⋅⋅

−=−gdH/dp

bb1

vhg2exp

vv1

b

amin2st

2st

2

ρ

−−⋅⋅⋅

−−⋅=gdH/dp

bb1

vhg2exp1v)h(v

b

amin2st

st

Mit den Gln.(4.238) und (4.266) für t76 und hR,76 läßt sich das Argument der e-Funktion vereinfachen:

⋅−−⋅=

76,Rst h

h2exp1v)h(v (4.261)

Diese übersichtliche Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des be-schleunigten Ausfließens im turbulenten NEWTON’schen Durchströmungsbe-reich ist bequem analytisch auswertbar.

4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz

Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.16, muss die Zeit-funktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.(4.239), erneut integriert werden:

⋅==

76st t

ttanhvdt

)t(dh)t(v , (4.262)

27 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1078, 7. Aufl., Ver-lag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008


150

Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföff-nung betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Aus-laufgeschwindigkeit vst, Gl.(4.249), und der Zeitparamer t76, Gl.(4.250), als mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe gilt gemäß Bild 4.16:

)tan2/(bh θ⋅= bzw. (4.80)

θ⋅⋅= tanh2b (4.190) ) Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:

∫∫==

⋅==

t

0t 76st

)t(h

0h

dttttanhv)t(hdh (4.263)

Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:

76t/tx = abgeleitet: 76t/dtdx = d.h.: dxtdt 76 ⋅=

( ) ( )( )∫∫∫ ⋅=⋅=

dx

xcoshxsinhtdxxtanhtdt

tttanh 767676

( )( )∫ dxxcoshxsinh entspricht dem Integralkern28 f’(x)/f(x), also: ∫

′dx

)x(f)x(f .

Die Substitution ( )xcoshu =

ergibt abgeleitet: ( ) dxxsinhdu ⋅= d.h.: ( )xsinhdudx =

Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu: ( )

( ) ulntu

dutxsinh

duu

xsinhtdttttanh 76767676

∫∫∫ ⋅=⋅=⋅⋅=

Das rückwärtige Einsetzen liefert (siehe auch Grundintegral Nr. 43629): t

0t7676

u

1u76

t

0t 76 ttcoshlnt)xcosh(lntdt

tttanh

==

=

⋅=⋅=

∫

( )

−

⋅=

∫=

0coshlnttcoshlntdt

tttanh

7676

t

0t 76

⋅=

∫= 76

76

t

0t 76 ttcoshlntdt

tttanh (4.264)

Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgü-ter aus einem konvergenten Trichter im Bereich turbulenter Durchströmung:

⋅=

⋅⋅=

7676,R

7676st t

tcoshlnhttcoshlntv)t(h , (4.265)

28 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968. 29 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1101,


151

wobei sich mit Hilfe der Gl.(4.238) der charakteristische Relaxationsweg hR,76 ergibt:

ρ

−−⋅=⋅=

gdH/dp

bb1g

vtvh

b

amin

2st

76st76,R (4.266)

Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten oder beginnenden Ausfließens ermitteln:

( ) 76,R76st76st76 h433,0tv433,01coshlntv)t(h ⋅=⋅⋅=⋅⋅= (4.267)

7696 t2t ⋅= , d.h. 76,R76st96 h33,1tv33,1)t(h ⋅=⋅⋅= (4.268)

7699 t3t ⋅= , d.h. 76,R76st99 h31,2tv31,2)t(h ⋅=⋅⋅= (4.269)

4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h)

Wenn eine Trichterfüllhöhe h(td) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Aus-laufzeit td durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.265), die zugehörige Umkehrfunktion berechnet werden:

⋅⋅=

7676st t

tcoshlntv)t(h (4.265)

=

⋅ 7676st t

tcoshtv

hexp (4.270)

Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken30:

+=

−+==

)xexp(1)xexp(

21

2)xexp()xexp()xcosh(y (4.271)

+⋅=

+

)xexp(1)xexp()xexp(

21

)xexp(1)xexp(

21

)xexp(1)x2exp(

21)xcosh(y +⋅==

Damit folgt aus der Gl.(4.265): ( ) ( )

⋅

+=

−+

=⋅ )t/texp(2

1t/t2expln2

)t/texp(t/texplntv)t(h

76d

76d76d76d

76st

d

( ))t/texp(21t/t2exp

tv)t(hexp

76d

76d

76st

d

⋅+

=

⋅

( ) 1t/t2exp)t/texp(tv)t(hexp2 76d76d76st

d +=⋅

⋅

⋅

Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( )76d t/texp

30 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91


152

( ) 01)t/texp(tv)t(hexp2t/t2exp 76d76st

d76d =+⋅

⋅

⋅− (4.272)

mit ihrer Lösung:

( ) 1tv

)t(h2exptv)t(hexpt/texp

76st

d

76st

d76d −

⋅

⋅+

⋅

= (4.273)

Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:

( )

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+⋅

⋅

=

76st

d

76st

d

76st

d76d

tv)t(h2exp

1tv

)t(h2exp1

tv)t(hexpt/texp

( )

⋅

⋅−−+⋅

⋅

=76st

d

76st

d76d tv

)t(h2exp11tv)t(hexpt/texp

⋅

⋅−−+⋅

⋅

⋅=76st

d

76st

d76d tv

)t(h2exp11tv)t(hexplntt

⋅

⋅−−+⋅+

⋅⋅=

76st

d76

76st

d76d tv

)t(h2exp11lnttv)t(htt

Daraus ergibt sich mit der Gl.(4.266) für hR,76 eine vergleichsweise übersichtli-che Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(h*):

⋅−−+⋅+=

76,R

*

76st

*

d hh2exp11lnt

vht (4.274)

Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Dynamik (kleine Auslaufzeit) t76, und kurze Relaxationswege hR,76 kann der letzte Term in der Gl.(4.274) ver-nachlässigt werden. Unter der Bedingung

2hh

76,R

*

> , (4.275)

die auch in vielen Fällen erfüllt wird, ergibt sich wegen 198,0)4exp(1 ≈=−− :

2lntvht 76

st

*

d ⋅+≈ (4.276)

4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes

Zur Überprüfung der Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des Aus-fließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke im turbulenten Durchströmungsbe-reich kann auch in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.239),

⋅=

76st t

ttanhv)t(v (4.239)

die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.270):


153

⋅

=

76st76 tvhexp

ttcosh (4.270)

Die tanh-Funktion, Gl.(4.239), lässt sich mit der cosh-Funktion ausdrücken30:

−⋅=−

⋅

⋅=

⋅= −−

76

2st

76

2

76

1st

76st t

tcosh1v1ttcosh

ttcoshv

tttanhv)t(v

Einsetzen der Gl.(4.270) liefert wiederum die Geschwindigkeits-Weg-Funk-tion während des Ausfließens im turbulenten Durchströmungsbereich – q.e.d.:

⋅−−⋅=

76,Rst h

h2exp1v)h(v (4.261)

4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung

Die feinen adhäsiven Partikel der somit kohäsiven Pulver werden gewöhn-lich laminar umströmt, Re < 0,25 - 1, und es gilt das STOKES-Gesetz für die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,St, siehe ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.-doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES bzw. ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf:

η⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s (4.277)

bzw. der relevante Partikelgrößenbereich ( 1Re/dv Stfs =≤ηρ⋅⋅ )

3

fsf

St2

St g)(Re18d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅

≤ . (4.278)

Beispielsweise liegt dieser Grenzwert für die Sedimentation von Quarzpartikel (ρs = 2650 kg/m3) in ruhender Luft (ρf = 1,2 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s) bei dSt < 57 µm. Damit dürfte für die Durchströmung der Poren einer feinen Pulverschicht auch die laminare Durchströmung zutreffen. Deren Durchströmungswider-stand wird entweder mit Ansätzen nach DARCY, CARMAN und KOZENY u.a., oder - wie nachfolgend beschrieben - nach MOLERUS quantifiziert. Mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.219) werden nun die Geschwindigkeits-Zeit-, Geschwindigkeits-Weg- und Weg-Zeit-Gesetze des gleichmäßig be-schleunigten Ausfließens einer kohäsiven Brücke aus einem konvergenten Trichter bei deren laminarer Durchströmung analytisch hergeleitet:

4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens

Das Kräftegleichgewicht an einer kohäsiven Schüttgutbrücke mit Berücksichti-gung der Druckverluste in der Schüttung infolge Dilatanz und Bettausdeh-nung dp und äußerem Überdruck dpa (siehe Diss. SCHEIBE31) liefert: 31 Scheibe, M., Die Fördercharakteristik einer Zellenradschleuse unter Berücksichtigung der Wechselwirkung von Silo und Austragorgan, Diss. TU Bergakademie Freiberg 1997


154

( )

ρ+

−−⋅⋅⋅ρ=θ+ϕ⋅σ⋅+ ∗

gdH/dpdh/dp

ga1bg2sin)1m(

b

aBbwst,c (4.279)

Die gesamte Beschleunigung eines dynamischen Scheibenelementes einer ko-häsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Auslauftrichter besteht nach Gl.(4.194) aus zwei Anteilen, siehe Bild F 4.4:

2vb

tan)1m(2dtdva ⋅

θ++= ∗ (4.194)

dv/dt Auslaufbeschleunigung infolge Trägheitswirkung der Masse der Schüttgutbrücke

2vb

tan)1m(2⋅θ+

∗ Geschwindigkeitszunahme infolge Trichterkonvergenz,

d.h. Abnahme der Brückenquerschnittsfläche bei kon-stantem Volumenstrom .constV=

Die Mindestweite einer stationären Brücke ergibt sich gemäß der allgemeinen Auslegungsgleichung für die instationäre oder beginnende Brückenbildung ohne Fluiddurchströmung Gl.(4.15)

( )g

2sin)1m(b

b

wst,cstmin, ⋅ρ

θ+ϕ⋅σ⋅+= , (4.72)

wobei bbb minstmin, =< kleiner ist als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b

σc,st Druckfestigkeit des stationären Fließortes, d.h. für ff = 1 bzw. σ1 = σc,stat folgt aus der allgemeinen Druckfestigkeitsfunktion )(f 1c σ=σ

Gl.(4.53) im Falle einer linearen Pulvereigenschaftsfunktion 0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)

1

0,cstat,ckrit,c a1−

σ=σ=σ (4.70)

Die Weite b* einer stationären Brücke analog der allg. Auslegungsgleichung für die instationäre Brückenbildung nach Gl. (4.14) unter Berücksichtigung der Fluiddurchströmung (ρb,B < ρb Dichte des durchströmten Bettes)

( ) ( )( )B,bb

wst,c

b

aBb

wst,c

g2sin)1m(

gdH/dpdh/dp1g

2sin)1m(b

ρ−ρ⋅θ+ϕ⋅σ⋅+

≈

⋅ρ+

−⋅⋅ρ

θ+ϕ⋅σ⋅+=∗ , (4.280)

wobei allerdings hier auch b* > b ≥ bmin größer sein kann als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b. Dies bedeutet ein Aufwärtswandern der stationären Brücke im Trichter infolge: dpa/dH Zusatzdruckverlust über der gesamten Silohöhe H ⇒ bei Anlie-

gen eines äußeren Überdruckes dpa dp/dhB Druckunterschied durch ⇒ Auflockerung des Schüttgutes im

Trichter durch Spannungsabnahme: vu= Die Auslaufgeschwindigkeit des Schüttgutes v sei betragsmäßig

gleich der Leerrohrgeschwindigkeit des Fluides u


155

22

K

fB

B

u1d

Eu43

dhdp

⋅εε−

⋅ρ

⋅⋅= (4.205)

dK > dST Der charakteristische Durchmesser der inhomogenen Durch-strömungskanäle bei kohäsiven kanalbildenden Schüttgütern gemäß Wirbelschichtverhalten der C-Gruppe nach GELDART ist wesentlich größer als ein hydraulische Durchmesser dh, der sich über den oberflächengleichwertigen Durchmesser der Parti-kel dST nach Gl.(4.200) berechnen läßt.

...),ff,d(fd cSTK ε= noch zu bestimmende Funktion der Durchströmungs-

kanäle, wobei als erste Näherung STK d100d ⋅≈ eine brauchbare Abschätzung liefert;

Besser ist die Messung des Fluidisierverhaltens und daraus entweder mit einer modifizierten HAGEN-POISEUILLE-Gleichung (3.134) Schüttec_3.doc - Druckverlust_Schüttung_HAGEN die Abschätzung des Kanaldurchmessers dK,

ε⋅η

⋅∆⋅=

up

h32db

bK (4.281)

oder mit einer Berechnungsmethode nach SCHEIBE31, Gl.(4.284): Am Punkt der sog. Mindest- oder Minimalfluidisation, das ist bei der Hysterese der erste gemeinsame Punkt beider Druckverlustkurven, siehe Bild 4.18, dp(u↑) = dp(u↓) (4.282)

( ) )u(f.constdh/dp WSb ≠= (4.283)

ist der Druckverlust weitestgehend konstant und unabhängig von der Durch-strömungsgeschwindigkeit uL < umin ≤ u. Aus Gl.(4.289) folgt der charakteristische Kanaldurchmessers dK,min:

( ) min2minmin,WSB

minminmin,K u

dh/dp)1()(B18d ⋅

ε⋅ε−⋅ε⋅η⋅

= (4.284)

Bild 4.18: Hysterese des gewichtsbezogenen Druckverlustes in Abhängigkeit von der Leerrohrgeschwindigkeit für kohäsive Pulver

1

WSWS hgp⋅⋅ρ

∆

u

uL umin

Übergangs-bereich

kanalbildende Wirbelschicht

Lockerungspunkt

Minimalfluidisation Haft-kräfte


156

Die Minimalfluidisationsgeschwindigkeit umin ≈ u* entspricht näherungsweise der Leerrohrgeschwindigkeit am Punkt des sog. „freien Fließens“, siehe Bild F 3.39 im Kapitel Schüttec_3.doc - Fluidisierbarkeit. Für die Wirbelschicht- oder Fließdichte ρWS* am Punkt der Minimalfluidisation bzw. des sog. „freien Flie-ßens“ läßt sich die gleiche Annäherung treffen.

*/1/1 s*WSsmin,WSmin ε=ρρ−≈ρρ−=ε (4.285)

Ausgehend von Gl.(4.207) sei die EULER-Zahl des laminar durchströmten Festbettes

)(BRe24

ad

21

ad692,01

Re24Eu

2

95,095,0B ε⋅≡

⋅+

⋅+⋅= (4.286)

mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströ-mung, der gegenüber der Partikelumströmung eine deutliche Zunahme des Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt

⋅+

⋅+=ε

2

95,095,0 ad

21

ad692,01)(B (4.287)

und mit der Porositätsfunktion der Festbettes (Index B):

3

3

95,0 195,01

ad

ε−−ε−

=

(4.208)

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

B 195,01

21

195,01692,01)(B (4.288)

Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl [alt(< 5/2010): Re = dK.u.ρf/η]

f2

fr

f

fSTr

2)1(du3d)/u(Re

η⋅ε⋅ε−⋅ρ⋅⋅⋅

=η

ρ⋅⋅ε= ε (4.206)

und Gl.(4.288) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl. (4.205):

BST

2

2rf

B

Eud4

)1(u3dhdp

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)

2r2

ST

f

frSTST2

2rf

B

u1dud

2443

Re)(B24

d4)1(u3

dhdp

⋅εε−

⋅ρ

⋅ρ⋅⋅η⋅ε⋅

⋅=ε⋅

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅=

r2STB

ud

)1()(B18dhdp

⋅ε⋅

ε−⋅ε⋅η⋅= . (4.289)

Mit dem Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke Gl.(4.279) und der mi-nimale Trichteröffnungsweite Gl. (4.15) folgt die Beschleunigung:

ρ+

−−= ∗ gdH/dpdh/dp

bb1ga

b

aBmin . (4.290)

Einsetzen der Gl. (4.194) für die Beschleunigung in die Gl.(4.290) ergibt:


157

2vb

tan)1m(2dtdva ⋅

θ++= ∗ (4.194)

ρ+

−−=⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dpdh/dp

bb1gv

btan)1m(2

dtdv

b

aBmin2

Damit folgt eine weitere allgemeine Bewegungsgleichung für das beginnende Ausfließen eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter:

ρ

−−=ρ

+⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dp

bb1gdh/dpv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

b

B2 (4.291)

Der Druckverlustterm der laminare Durchströmung der kohäsiven Schüttgut-brücke als „Festbett“ ist gemäß der Gl.(4.289)

r2STbbB

ud

)1()(B181dhdp

⋅ε⋅⋅ρ

ε−⋅ε⋅η⋅=

ρ⋅

mit der Packungsdichtefunktion des Festbettes bzw. der Wirbelschicht:

( ) fsbfs

b

b

11ρ−ρ

=ρ⋅ρ−ρ

ρ=

ρε− (4.292)

folgen

( ) r2STfsbB

ud

)(B181dhdp

⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅=

ρ⋅ (4.293)

Der Druckverlust lässt sich auch mit Hilfe des mikroskopischen Beitrages der Partikelumströmung als stationäre Sinkgeschwindigkeit der Einzelpartikel

η⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s (4.277)

und des makroskopischen Widerstandes der Packung als Porositätsfunktion B(ε)/ε ausdrücken:

( ) rSt,s

r2STfsbB

u)(Bv

gu)(Bgd

g181dhdp

⋅εε

⋅=⋅εε

⋅⋅⋅ρ−ρ

⋅η⋅=

ρ⋅

( ) St,s2STfs v

gd

18=

⋅ρ−ρη⋅ (4.294)

rSt,sbB

u)(Bv

g1dhdp

⋅εε

⋅=ρ⋅ (4.295)

Wenn man ruhende Luft u = 0 voraussetzt, sind die relative Anströmge-schwindigkeit des Fluides ru (im Leerrohr) und die Auslaufgeschwindigkeit v des Schüttgutes vuur

−= betragsmäßig gleich ur = v und es folgt die Diffe-

rentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbettes, siehe Bild F 4.26 (beachte dK ≡ dST und wegen Re = f(ur/ε) folgt nun ε statt ε2):

( )

ρ

−−=⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅+⋅

θ++ ∗∗ g

dH/dpb

b1gvd

)(B18vb

tan)1m(2dtdv

b

amin2STfs

2 (4.296)


158

bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.277):

ρ

−−=⋅ε⋅ε⋅

+⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dp

bb1gv

v)(Bgv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

St,s

2 (4.297)

4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v ⇒ vst ergibt sich aus der Gl.(4.296) für dv/dt = 0 mittels Lösung der quadratischen Gleichung:

( ) 0gdH/dp

bb1gv

d)(B18v

btan)1m(2

b

aminst2

STfs

2st =

ρ

−−−⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅+⋅

θ+∗∗

( ) 0gdH/dp

bb1

tan)1m(2bgv

dtan)1m(2)(Bb18v

b

aminst2

STfs

2st =

ρ

−−⋅θ+

⋅−⋅

ε⋅⋅ρ−ρ⋅θ+ε⋅⋅η⋅

+ ∗

∗∗

( ) ( )

ρ

−−⋅θ+

⋅+

ερ−ρ⋅θ+

ε⋅⋅η⋅+

ερ−ρ⋅θ+ε⋅⋅η⋅

−= ∗

∗∗∗

gdH/dp

bb1

tan)1m(2bg

dtan)1m(2)(Bb9

dtan)1m(2)(Bb9v

b

amin

2

2STfs

2STfs

st

( ) ( )

ερ−ρε⋅η⋅

−

ρ

−−⋅θ+⋅

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅⋅

θ+= ∗∗

∗

2STfsb

amin

2

2STfs

st d)(B9

gdH/dp

bb1

btan)1m(2g

d)(B9

tan)1m(2bv

Nur die positive Wurzel liefert sinnvolle positive Werte der stationären Aus-laufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm einem reziproken Zeitparameter t76,lam Gl.(4.314). Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke

( )

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−⋅

θ+=

∗

2STfslam,76

lam,st d)(B9

t1

tan)1m(2bv , (4.298)

bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.294), ist:

ε⋅⋅ε⋅

−⋅θ+

=∗

St,slam,76lam,st v2

)(Bgt

1tan)1m(2

bv (4.299)

Zur Lösung der Differentialgleichung (4.296) werden die Variablen getrennt

( )2

2STfsb

amin vb

tan)1m(2vd

)(B18gdH/dp

bb1g

dtdv

⋅θ+

−⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−

ρ

−−= ∗∗

und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:

( )∫∫ =

⋅θ+

−ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−

ρ

−− ∗∗

t

0

v

0 22STfsb

amin

dtv

btan)1m(2v

d)(B18

gdH/dp

bb1g

dv (4.300)

Für eine bequem zu handhabende, analytische Lösung der obigen Integralglei-chung (4.300) ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig. Zwei Lösungsvari-anten sollen hier anschließend vorgestellt werden:


159

Lösungsvariante 1: Die linke Seite der Gl.(4.300) entspricht dem Grundintegral Nr. 40 gemäß BRONSTEIN32, dessen eine Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens hyperbolicus) Artanh(x) der tanh(x)-Funktion enthält:

0ac4bwennac4bbax2tanhAr

ac4b2

cbxaxdx 2

222 >−

−

+⋅

−−=

++∫ (4.301)

Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:

∗

θ+−=

btan)1m(2a (4.302)

( ) ε⋅ε⋅

−=ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−=

St,s2STfs v

)(Bgd

)(B18b (4.303)

ρ

−−= ∗ gdH/dp

bb1gc

b

amin (4.304)

Da a negativ ist, werden beide Terme positiv und die obige Bedingung 0ac4b2 >− ist erfüllt:

( ) 0gdH/dp

bb1g

btan)1m(8

d)(B18

b

amin

2

2STfs

>

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅∗∗ (4.305)

Die Integration ergibt also: v

022

v

02 ac4b

bav2tanhArac4b

2cbvav

dv

−

+⋅

−−=

++∫

−−

−

+⋅

−−=

++∫ ac4bbtanhAr

ac4bbav2tanhAr

ac4b2

cbvavdv

222

v

02 ,

wobei 1x1Bereichimx1x1ln

21)xtanh(Ar <<−

−+

⋅= ist.

Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen die Lösung:

tac4b

btanhArac4bbav2tanhAr

ac4b2

222=

−−

−

+⋅

−− (4.306)

ac4b2t

ac4bbtanhAr

ac4bbav2tanhAr 2

22−⋅−=

−−

−

+

Umformen mit der Summe der Artanh-Funktionen, siehe BRONSTEIN33

−−

=−zx1zxtanhAr)ztanh(Ar)xtanh(Ar (4.307)

und mit dem Parameter f ist die Nebenrechnung:

ac4bf 2 −= (4.308)

32 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Ver-lagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 1076, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008. 33 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 94.


160

⋅+

−

−+

=

−−

−

+

fb

fbav21

fb

fbav2

tanhArac4b

btanhArac4bbav2tanhAr

22

Das Argument der Artanh-Funktion wird umgeformt:

( ) ( ) ( ) bbav2ffav2

fbbav2f

fav2

fbbav21

fbbav2

2

2

2

2⋅+−

⋅=

⋅+−=

⋅+−

−+

und es folgt für beide Seiten der Lösungsgleichung (4.306):

( ) f2t

bbav2ffav2tanhAr 2 ⋅−=

⋅+−

⋅ (4.309)

Umformen in eine tanh-Funktion:

( )

⋅−=

⋅+−⋅ f

2ttanh

bbav2ffav2

2

Vorzeichenwechsel des Argumentes der tanh-Funktion gemäß BRONSTEIN34

)xtanh()xtanh( −=− (4.310)

( )

⋅−=

⋅+−⋅ f

2ttanh

bbav2ffav2

2 ,

Umstellen nach v = f(t):

( )

⋅⋅⋅+−

⋅⋅=⋅− f

2ttanhbbav2f

2ttanhffav2 2

⋅⋅−

⋅⋅=⋅−

⋅⋅⋅ f

2ttanhbf

2ttanhffav2f

2ttanhbav2 22

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅−

⋅⋅⋅⋅ f

2ttanhbf

2ttanhffa2f

2ttanhba2v 22

( )

⋅⋅−=

−

⋅⋅⋅⋅ f

2ttanhbfff

2ttanhba2v 22

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅−

=ff

2ttanhba2

f2ttanhbf

v

22

(4.311)

Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c

∗

θ+−=

btan)1m(2a (4.302)

( ) ε⋅ε⋅

−=ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−=

St,s2STfs v

)(Bgd

)(B18b (4.303)

ρ

−−= ∗ gdH/dp

bb1gc

b

amin (4.304)

34 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 90.


161

ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an: ac4bf 2 −= (4.308)

( )

ρ

−−⋅θ+

⋅+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅= ∗∗ g

dH/dpb

b1gb

tan)1m(24d

)(B18fb

amin

2

2STfs

(4.312)

Daraus folgt die Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam der beschleunigten Bewegung für die laminare Durchströmung, siehe auch Gl.(4.242):

( )

ρ

−−⋅θ+

⋅+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅==

∗∗ gdH/dp

bb1g

btan)1m(24

d)(B18

2f2t

b

amin

2

2STfs

lam,76 (4.313)

mit

( )

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

d)(B9

1t

b

amin

2

2STfs

lam,76 (4.314)

bzw. mit der Gl.(4.294) lässt sich auch schreiben:

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ε⋅

=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

v2)(Bg

1t

b

amin

2

St,s

lam,76 (4.315)

Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:

( ) ( )

−

⋅⋅

⋅−−

=

−

⋅⋅

⋅−

=

lam,76lam,76

lam,76

22

lam,76

lam,76

22

t2

tttanhba2

tttanhbac4b

ft

ttanhba2

tttanhbf

v

lam,76lam,76

lam,76

lam,76lam,76

lam,76

t2

tttanhb

tttanhc2

t2

tttanhba2

tttanhac4

v−

⋅

⋅−

=

−

⋅⋅

⋅−

=

( ) lam,76lam,762STfs

lam,76b

amin

lam,76lam,76

lam,76

t2

tttanh

d)(B18

tttanh

gdH/dp

bb1g2

t2

tttanhb

tttanhc2

v−

⋅

ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅

−

⋅

ρ

−−−

=

−

⋅

⋅−

=∗

Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der Differentialgleichung (4.296) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konver-genten Trichter bei laminarer Durchströmung:


162


lam,76b

amin

t1

tttanh

d)(B9

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(v+

⋅


⋅

ρ

−−⋅

=∗

bzw. (4.316)

lam,76lam,76St,s

lam,76b

amin

t1

tttanh

v2)(Bg

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(v+

⋅

ε⋅⋅ε⋅

⋅

ρ

−−⋅

=∗

(4.317)

Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.(4.288), stammt von der modifizierten EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett:

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

195,01

21

195,01692,01)(B (4.318)

Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindig-keit eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohä-siven Brücke angegeben, siehe Gl.(4.299):

ε⋅⋅ε⋅

−⋅θ+

=∗

St,slam,76lam,st v2

)(Bgt

1tan)1m(2

bv (4.299)

Durch Umstellen der Gl. (4.299) folgt ebenfalls die Relaxationszeit t76,lam:

ε⋅⋅ε⋅

−=⋅θ+

∗St,slam,76

lam,st v2)(Bg

t1v

btan)1m(2

lam,76St,slam,st t

1v2

)(Bgvb

tan)1m(2=

ε⋅⋅ε⋅

+⋅θ+

∗

ε⋅⋅ε⋅

+⋅θ+

=

∗St,s

lam,st

lam,76

v2)(Bgv

btan)1m(2

1t (4.319)

Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.317), ergeben sich die zugehöri-gen Auslaufvolumen- und -massenströme:

)t(vA)t(V dd ⋅= (4.251)

)t(vA)t(m dbd ⋅⋅ρ= (4.252)

Diese neuen Rechenergebnisse vervollständigen die früheren Herleitungen35.

Lösungsvariante 2: Als 2. Lösungsmöglichkeit des Grundintegrales(4.300), siehe Grundintegral Nr. 40 gemäß BRONSTEIN32 oder Formelsammlung36,

35 Tomas, J., Modellierung..., S. 128, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991


163

0ac4bwennac4bbax2ac4bbax2ln

ac4b1

cbxaxdx 2

2

2

22 >−

−++

−−+⋅

−=

++∫

(4.320) ergibt die Integration:

v

02

2

2

v

02 ac4bbav2

ac4bbav2lnac4b

1cbvav

dv

−++

−−+⋅

−=

++∫

−+

−−−

−++

−−+

−=

++∫ ac4bbac4bbln

ac4bbav2ac4bbav2ln

ac4b1

cbvavdv

2

2

2

2

2

v

02

−−

−+⋅

−++

−−+⋅

−=

ac4bbac4bb

ac4bbav2ac4bbav2ln

ac4b1

2

2

2

2

2

Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen:

tac4bbac4bb

ac4bbav2ac4bbav2ln

ac4b1

2

2

2

2

2=

−−

−+⋅

−++

−−+⋅

−

Mit einer zweckmäßigen Nebenrechnung (Vorsicht bei den Umrechnungen!): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ac4bbac4bbvac4bba2

ac4bbac4bbvac4bba2ac4bbac4bb

ac4bbav2ac4bbav2

222

222

2

2

2

2

−−⋅−++⋅−−⋅

−+⋅−−+⋅−+⋅=

−−

−+⋅

−++

−−+

mit ( )( ) 2222 sqssqqsqsqsq −=−−+=+− d.h.

( ) ( ) ac4ac4bbac4bbac4bb 2222 =+−=−+⋅−−

( )( )

( )( )

( )( ) c2vac4bb

c2vac4bbac4vac4bba2ac4vac4bba2

ac4bbvac4bba2ac4bbvac4bba2

2

2

2

2

222

222

+⋅−−

+⋅−+=

+⋅−−⋅

+⋅−+⋅=

+−+⋅−−⋅

+−+⋅−+⋅=

Das Integral ergibt: ( )( )

+⋅−−

+⋅−+⋅

−=

++∫ c2vac4bbc2vac4bbln

ac4b1

cbvavdv

2

2

2

v

02 (4.321)

Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen: ( )( ) t

c2vac4bbc2vac4bbln

ac4b1

2

2

2=

+⋅−−

+⋅−+⋅

−

Auflösen nach v mit dem Parameter ac4bf 2 −= nach Gl.(4.308):

( )( ) ft

c2vfbc2vfbln ⋅=

+⋅−+⋅+ (4.322)

( )( ) ( )ftexp

c2vfbc2vfb

⋅=+⋅−+⋅+

( ) ( )[ ] ( )ftexpc2vfbc2vfb ⋅⋅+⋅−=+⋅+ ( ) ( ) ( ) ( ) c2ftexpc2ftexpvfbvfb −⋅⋅=⋅⋅⋅−−⋅+

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1ftexpc2ftexpfbfbv −⋅⋅=⋅⋅−−+⋅ ( )[ ]

( ) ( ) ( )ftexpfbfb1ftexpc2v

⋅⋅−−+−⋅⋅

=

36 Papula, L. Mathematische Formelsammlung, S. 441, Vieweg, Wiesbaden 2003.


164 ( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]ftexp1b1ftexpf1ftexpc2

ftexpbbftexpff1ftexpc2v

⋅−⋅++⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅−+⋅⋅+

−⋅⋅=

Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit ( )[ ]( )[ ] 1

1

1ftexp1ftexp

−

−

+⋅+⋅ liefert:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) f

1ftexp1ftexpb

1ftexp1ftexpc2

1ftexpftexp1bf

1ftexp1ftexpc2

v+

+⋅−⋅

⋅−

+⋅−⋅

⋅=

+⋅⋅−

⋅+

+⋅−⋅

⋅=

Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument 2/ft ⋅

( )( ) ( )xtanh

1x2exp1x2exp=

+− folgt (4.237)

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

2f2/fttanh

2b

2/fttanhcf2/fttanhb

2/fttanhc2

f1ftexp1ftexpb

1ftexp1ftexpc2

v+⋅⋅−

⋅⋅=

+⋅⋅−⋅⋅

=+

+⋅−⋅

⋅−

+⋅−⋅

⋅=

( )( )

2f2/fttanh

2b

2/fttanhcv+⋅⋅−

⋅⋅= (4.323)

Jetzt müssen wiederum die Koeffizienten f, b und c

( ) ε⋅ε⋅

−=ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−=

St,s2STfs v

)(Bgd

)(B18b (4.303)

ρ

−−= ∗ gdH/dp

bb1gc

b

amin (4.304)

ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Die charakteristi-sche Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam ergibt bei laminarer Durch-strömung:

( )

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅==

∗∗ gdH/dp

bb1g

btan)1m(2

d)(B9

1f2t

b

amin

2

2STfs

lam,76 (4.313)

und ist wiederum identisch mit der Gl. (4.314) der Lösungsvariante 1:

( )

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

d)(B9

1t

b

amin

2

2STfs

lam,76 (4.314)

Das ergibt wiederum ein der Gl.(4.316), siehe auch Variante 1, identisches Ge-schwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d.


lam,76b

amin

t1

tttanh

d)(B9

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(v+

⋅


⋅

ρ

−−⋅

=∗

(4.316)


165

Anstieg und charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich bequem mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.296) berechnen:

( )2

2STfsb

amin

0v

vb

tan)1m(2vd

)(B18gdH/dp

bb1g

dtdv

⋅θ+

−⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−

ρ

−−⋅= ∗∗=

(4.296)

ρ

−−⋅= ∗= g

dH/dpb

b1gdtdv

b

amin

0v (4.324)

Darüber hinaus erfordert die Ermittlung des Anstieges der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.316), bei t = 0 etwas mehr Rechenaufwand:

mit 2N'NZN'Z'y

NZy ⋅−⋅

=→= xcosh

1'yxtanhy 2=→= 1)0xcosh( ==

( )

( ) ( )2

lam,762STfs

2lam,76

2STfs

2b

amin

lam,76

0t

t10tanh

d)(B9

)0(cosh1

t1

d)(B9)0(Z)0(N

)0(cosh1

gdH/dp

bb1

tg

dtdv

+⋅


ερ−ρεη

−

ρ

−−=

∗

=

ρ

−−=

−

ρ

−−= ∗

∗

= gdH/dp

bb1g

t1

0t

1)0(cosh

1gdH/dp

bb1

tg

dtdv

b

amin2

lam,76

lam,762

b

amin

lam,76

0t

und liefert erwartungsgemäß ein der Gl.(4.324) identisches Ergebnis:

ρ

−−⋅= ∗= g

dH/dpb

b1gdtdv

b

amin

0t

(4.324)

Es ergibt sich wie bei der turbulenten Durchströmung, Gl.(4.241), ebenfalls ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt. Die charakteristischen Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum:

( ) lam,762STfs

b

amin

lam,76

t1

d)(B84,6

gdH/dp

bb1g76,0

)tt(v+


ρ

−−⋅⋅==

∗

(4.325)

( ) lam,762STfs

b

amin

lam,76

t1

d)(B676,8

gdH/dp

bb1g964,0

)t2t(v+


ρ

−−⋅⋅=⋅=

∗

(4.326)


166

( ) lam,762STfs

b

amin

lam,76

t1

d)(B955,8

gdH/dp

bb1g995,0

)t3t(v+


ρ

−−⋅⋅=⋅=

∗

(4.327)

4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz

Wir beginnen diese Herleitung mit der Umformung der Bewegungsgleichung (4.297) für laminare Durchströmung:

ρ

−−⋅=⋅ε⋅ε⋅

+⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dp

bb1gv

v)(Bgv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

St,s

2 (4.297)

Eine elegante Formulierung des Bewegungsgesetzes wird erhalten, wenn man wiederum das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dh/v ersetzt26:

vdhdt = (4.258)

ρ

−−⋅=⋅ε⋅ε⋅

+⋅θ+

+⋅ ∗∗ gdH/dp

bb1gv

v)(Bgv

btan)1m(2

dhdvv

b

amin

St,s

2 (4.328)

Trennung der Variablen liefert:

vv

)(Bgvb

tan)1m(2gdH/dp

bb1g

dhdvv

St,s

2

b

amin ⋅ε⋅ε⋅

−⋅θ+

−

ρ

−−⋅=⋅ ∗∗ (4.329)

und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für h = 0 ist v = 0, wird integriert:

( )∫∫ =

⋅θ+

−ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−

ρ

−−

⋅

∗∗

h

0

v

0 22STfsb

amin

dhv

btan)1m(2v

d)(B18

gdH/dp

bb1g

dvv (4.330)

Für eine analytische Lösung der obigen Integralgleichung(4.330) ist wiederum rechnerischer Aufwand notwendig: Die linke Seite entspricht dem Grundintegral Nr. 44 gemäß BRONSTEIN37,

( ) ∫∫ ++−++⋅=

++⋅

cbxaxdx

a2bcbxaxln

a21

cbxaxdxx

22

2 (4.331)

dass das Grundintegral Nr. 40, Gl.(4.320)

0ac4bfürac4bbax2ac4bbax2ln

ac4b1

cbxaxdx 2

2

2

22 >−

−++

−−+⋅

−=

++∫ (4.320)

und mit Parameter ac4bf 2 −= nach Gl.(4.308) seine Lösung enthält: ( )( )

+⋅−+⋅+

⋅=++∫ c2vfb

c2vfblnf1

cbvavdvv

02 (4.321)

37 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1077, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008


167

Wegen der notwendigen Umrechnungen wird die ln-Funktion gegenüber der Artanh-Funktion der Gl. (4.301) bevorzugt. Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:

∗

θ+−=

btan)1m(2a (4.302)

( ) ε⋅ε⋅

−=ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅−=

St,s2STfs v

)(Bgd

)(B18b (4.303)

ρ

−−= ∗ gdH/dp

bb1gc

b

amin (4.304)

Beide Teilintegrale ergeben zusammen für x = v:

( ) ∫∫ ++−++⋅=

++⋅

cbvavdv

a2bcbvavln

a21

cbvavdxv

22

2

( )( )

+⋅−+⋅+

⋅−

++⋅=

++⋅

∫= c2vfb

c2vfblnfb

ccbvavln

a21

cbvavdvv 2v

0v2 (4.332)

Beide Seiten der Integralgleichung(4.330) ergeben zusammen: ( )( ) h

c2vfbc2vfbln

fb

ccbvavln

a21 2

=

+⋅−+⋅+

⋅−

++⋅

( )( ) ha2

c2vfbc2vfbln

fb

ccbvavln

2

⋅=

+⋅−+⋅+

⋅−

++

Diese Gleichung ist explizit nicht nach v = f(h) auflösbar. Physikalisch ist es sinnvoll, nach einem handhabbaren Ausdruck der Auslaufgeschwindigkeit der Iterationsgleichung umzustellen:

( )( )

+++⋅−=

+⋅−+⋅+

⋅c

cbvavlnha2c2vfbc2vfbln

fb 2

( )( )

++⋅+

⋅⋅−=

+⋅−+⋅+

ccbvavln

bf

bhfa2

c2vfbc2vfbln

2

( )( )

+++⋅−⋅=

+⋅−+⋅+

ccbvavlnha2

bf

c2vfbc2vfbln

2

Mit dem zusammengefassten Argument z folgt

+++⋅−⋅=

ccbvavlnha2

bfz

2

(4.333)

( )( ) ( )zexp

c2vfbc2vfb=

+⋅−+⋅+ ( ) ( )[ ] ( )zexpc2vfbc2vfb ⋅+⋅−=+⋅+

( ) ( ) ( ) ( ) c2zexpc2zexpvfbvfb −⋅=⋅⋅−−⋅+ ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1zexpc2zexpfbfbv −⋅=⋅−−+⋅

( )[ ]( ) ( ) ( )zexpfbfb

1zexpc2v⋅−−+−⋅

= (4.334)

( )[ ]( ) ( )

( )[ ]( )[ ] ( )[ ]zexp1b1zexpf

1zexpc2zexpbbzexpff

1zexpc2v−⋅++⋅

−⋅=

⋅−+⋅+−⋅

=


168

Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit ( )[ ]( )[ ] 1

1

1zexp1zexp

−

−

++ liefert:

( )( )

( )( )

( )( )( )( ) f

1zexp1zexpb

1zexp1zexpc2

1zexpzexp1bf

1zexp1zexpc2

v+

+−

⋅−

+−

⋅=

+−

⋅+

+−

⋅=

Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument z

( )( ) ( )xtanh

1x2exp1x2exp=

+− folgt (4.237)

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

2f2/ztanh

2b

2/ztanhcf2/ztanhb

2/ztanhc2

f1zexp1zexpb

1zexp1zexpc2

v+⋅−

⋅=

+⋅−⋅

=+

+−

⋅−

+−

⋅=

( )( )

2f2/ztanh

2b

2/ztanhcv+⋅−

⋅= ( 4.335)

Schrittweises Einsetzen der Parameter a, b, c, f und z, siehe Gln.(4.302)-(4.304), (4.313) und (4.333), liefert:

( )

( )lam,76St,s

b

amin

t12/ztanh

v2)(Bg

2/ztanhgdH/dp

bb1g

v+⋅

ε⋅⋅ε⋅

⋅

ρ

−−⋅=

∗

(4.336)

Das Argument z gemäß Gl.(4.333) ergibt eingesetzt:

+⋅+⋅+⋅−⋅= 1v

cbv

calnha2

bfz 2 (4.333)

mit )(Btg

v2

v)(Btg

2bf

lam,76

St,s

St,s

lam,76 ε⋅⋅ε⋅⋅

−=

ε⋅ε⋅⋅

−=

+

ρ

−−⋅

⋅ε⋅ε⋅

−+

ρ

−−⋅⋅

⋅θ+−+⋅

θ+⋅

ε⋅⋅ε⋅⋅

−=

∗∗∗

∗ 1

gdH/dp

bb1g

vv

)(Bg

gdH/dp

bb1bg

vtan)1m(2lnhb

tan)1m(4)(Btg

v2z

b

amin

St,s

b

amin

2

lam,76

St,s

( )[ ]

+⋅

θ+⋅

ε⋅⋅ε⋅⋅

−= ∗ )0(lam,76

St,s v'vlnhb

tan)1m(4)(Btg

v2z (4.337)

Mit einer effektiven Geschwindigkeit v‘:

( ) 1

gdH/dp

bb1v

v)(B

gdH/dp

bb1bg

vtan)1m(2v'v

b

aminSt,s

)0(

b

amin

2)0(

)0( +

ρ

−−⋅ε⋅

⋅ε−

ρ

−−⋅⋅

⋅θ+−=

∗∗∗

(4.338)


169

( )[ ]

( )[ ]lam,76

)0(lam,76

St,s

St,s

)0(lam,76

St,s

b

amin

t1v'vlnh

btan)1m(4

)(Btgv

tanhv2

)(Bg

v'vlnhb

tan)1m(4)(Btg

vtanh

gdH/dp

bb1g

v+

+⋅

θ+⋅

ε⋅⋅ε⋅

−⋅ε⋅⋅

ε⋅

+⋅

θ+⋅

ε⋅⋅ε⋅

−⋅

ρ

−−

=

∗

∗∗

Wegen )xtanh()xtanh( −=− (4.310)

folgt eine recht komplexe Geschwindigkeits-Weg-Funktion (4.339) v = f(h), die nur iterativ lösbar ist. Die Indizes (0) und (1) kennzeichnen die Vorgänger- und Nachfolgewerte:

( )[ ]

( )[ ]lam,76

)0(lam,76

St,s

St,s

)0(lam,76

St,s

b

amin

)1(

t1v'vlnh

btan)1m(4

)(Btgv

tanhv2

)(Bg

v'vlnhb

tan)1m(4)(Btg

vtanh

gdH/dp

bb1g

)h(v−

+⋅

θ+⋅

ε⋅ε⋅

⋅ε⋅ε⋅

+⋅

θ+ε⋅

ε⋅⋅

ρ

−−

=

∗

∗∗

(4.339)

4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz

Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.(4.316), erneut integriert werden


lam,76b

amin

t1

tttanh

d)(B9

tttanh

gdH/dp

bb1g

dt)t(dh)t(v

+

⋅


⋅

ρ

−−⋅

==∗

, (4.340)

und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:

( )∫∫=

∗

= +

⋅


⋅

ρ

−−⋅

==t

0t

lam,76lam,762STfs

lam,76b

amin)t(h

0h

dt

t1

tttanh

d)(B9

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(hdh (4.341)

Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.(4.304), und b’, siehe auch Gl.(4.303), umgeschrieben

2/bd

)1()(B9'b 2STb

−=ε⋅⋅ρ

ε−⋅ε⋅η⋅= (4.342)

( )( )∫

= +⋅=

t

0t

lam,76lam,76

lam,76 dt

'bt1t/ttanh

t/ttanh'b

c)t(h (4.343)

Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege er-scheint ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren. Variante 1:


170

Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralglei-chung (4.343) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vor-nehmen, und zwar wird zur Abschätzung angenommen38, dass

( )lam,76lam,76

t/ttanh'bt

1>> sei. (4.344)

Damit folgt: ( ) ( )∫∫

==

⋅⋅=⋅≈t

0tlam,76lam,76

t

0t

lam,76

lam,76 dtt/ttanhtcdt

'bt1

t/ttanh'b

c)t(h

Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für tur-bulente Umströmung Gl.(4.265)

( )

⋅=∫

= 7676

t

0t76 t

tcoshlntdtt/ttanh (4.265)

ergibt sich mit den Gln. (4.304) und (4.314):

ρ

−−= ∗ gdH/dp

bb1gc

b

amin

⋅

ρ

−−⋅⋅=

⋅⋅≈ ∗

lam,76b

amin2lam,76

lam,76

2lam,76 t

tcoshlngdH/dp

bb1tg

ttcoshlntc)t(h

Die angenäherte Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten Trichter im laminaren Durchströmungsbereich lautet:

⋅

ρ

−−⋅⋅≈ ∗lam,76b

amin2lam,76 t

tcoshlngdH/dp

bb1tg)t(h (4.345)

Mit dieser Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.345), lassen sich folgende charakteristi-sche Auslaufhöhen ermitteln:

ρ

−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp

bb1tg433,0)t(h

b

amin2lam,76lam,76 (4.346)

lam,7696 t2t ⋅= , d.h.

ρ

−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp

bb1tg33,1)t(h

b

amin2lam,7696 (4.347)

lam,7699 t3t ⋅= , d.h.

ρ

−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp

bb1tg31,2)t(h

b

amin2lam,7699 (4.348)

Variante 2: MATLAB39 bietet für diese schwierige Integralgleichung (4.343)

38 ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht. 39 MATLAB, The Math Works Inc., Version 7, siehe auch: Beucher, O., MATLAB und Simulink, Pearson Studium, München 2008


171

( )( )∫

= +⋅=

t

0t

lam,76lam,76

lam,76 dt

'bt1t/ttanh

t/ttanh'b

c)t(h (4.343)

folgende komplizierte analytische Lösung an:

⋅+

⋅

−

⋅⋅

+

⋅

⋅⋅⋅

+

+

−

+

⋅

⋅−

+

−

⋅

⋅−=

'bt1

tttanhln

1'bt

11'bt

1'bt

1t'b/c

1t

ttanhln1

'bt12

t'b/c1

tttanhln

1'bt

12

t'b/c)t(h

lam,76lam,76

lam,76lam,76

lam,76lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

(4.349) Die Koeffizienten lassen sich zusammenfassen:

( )'bt12tc

'bt'bt1

2

t'b/c

1'bt

12

t'b/c

lam,76

2lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

⋅−⋅

=

⋅⋅−

⋅=

−

⋅

⋅

( )'bt12tc

'bt'bt1

2

t'b/c

1'bt

12

t'b/c

lam,76

2lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

lam,76

⋅+⋅

=

⋅⋅+

⋅=

+

⋅

⋅

22lam,76

2lam,76

22lam,76

22lam,76

2

22lam,76

2

lam,76lam,76

lam,76

lam,76

'bt1tc

'bt'bt1

'bc

1'bt

1'bc

1'bt

11'bt

1'bt'b

tc

⋅−⋅

=

⋅⋅−

=

−

⋅

=

−

⋅⋅

+

⋅

⋅⋅⋅

Umordnen der Terme und mit Gl.(4.304) für c:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )

⋅

+⋅⋅−

⋅+

+−⋅⋅+

⋅−+⋅

⋅−⋅

−=

'bt1t/ttanhln

'bt1tc

1t/ttanhln'bt12

tc1t/ttanhln

'bt12tc

)t(h

lam,76lam,7622

lam,76

2lam,76

lam,76lam,76

2lam,76

lam,76lam,76

2lam,76

( )

( )

+

−

−

−

+

−

−

+

⋅=

'bt12

1t

ttanhln

'bt12

1t

ttanhln

'bt1'bt

1t

ttanhlntc)t(h

lam,76

lam,76

lam,76

lam,7622

lam,76

lam,76lam,762lam,76

Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:


172

( ) ( )

−

⋅

+−

+

⋅

−

−

+

⋅

−

ρ

−−⋅⋅=∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

'bt1

tttanhln

'bt11

gdH/dp

bb

1tg)t(h

lam,76lam,76lam,76lam,76

lam,76lam,7622

lam,76b

amin2lam,76

(4.350) Das kann man auch wie folgt schreiben:

( ) ( )

−

−

+

−

+

ρ

−−⋅⋅=

+−

−

∗

'bt121

lam,76

'bt121

lam,76

'bt11

lam,76lam,76b

amin2lam,76

lam,76lam,76

22lam,76

1t

ttanhln1t

ttanhln

'bt1

tttanhln

gdH/dp

bb1tg)t(h

( ) ( )

−

⋅

+

+

⋅

ρ

−−=+−

−

∗'bt12

1

lam,76

'bt121

lam,76

'bt11

lam,76lam,76

b

amin2lam,76

lam,76lam,76

22lam,76

1t

ttanh1t

ttanh

'bt1

tttanh

lngdH/dp

bb1gt)t(h

(4.351) Mit den Gln.(4.314) und (4.342) lautet der dimensionslose Parameter 'bt lam,76 :

( )

( )

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅


=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

d)(B9

d)(B9

'bt

b

amin

2

2STfs

2STfs

lam,76 (4.352)

Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine gewisse Eleganz nicht absprechen. Variante 3:

Lösungsversuch für: ( )

( )∫= +

⋅=t

0t lam,76

lam,76 dtet/ttanh

t/ttanh'b

c)t(h

Mit 'bt

1elam,76

= , t76,lam = t* und der Substitution:

( )*)t/ttanhu = abgeleitet: *)t/t(cosh*t

dtdu 2=

( )( ) eu

duu*)t/t(cosh*te*t/ttanh

*t/ttanh 2

+⋅⋅

=+

mit *)t(t(tanh1

1*)t/tcosh(2−

= siehe BRONSTEIN S. 91


173 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )euu1u1duu*t

euu1duu*t

eu*)t/t(tanh1duu*t

e*t/ttanh*t/ttanh

22 +⋅+⋅−⋅⋅

=+⋅−

⋅⋅=

+⋅−⋅⋅

=+

( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +⋅+⋅−

=+

dueuu1u1

u*tdte*t/ttanh

*t/ttanh

mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:

( ) ( ) ( ) xcC

xbB

xaA

xcxbxa1

++

++

+=

+⋅+⋅+

( )( ) ( ) ( ) ( )

++

++

+−−=

+ ∫ ∫∫∫ duuc

uCduub

uBduua

uA*tdte*t/ttanh

*t/ttanh

und mit dem Grundintegral S. 1074: ( )baxlnab

axdx

baxx

2 +−=+∫

….ggf. später ausrechnen (lassen)…

4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle

Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter lautet

ρ

−−=ρ

+⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dp

bb1gdh/dpv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

b

2 (4.291)

und für laminare Durchströmung

( )

ρ

−−=⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅+⋅

θ++ ∗∗ g

dH/dpb

b1gvd

)(B18vb

tan)1m(2dtdv

b

amin2STfs

2 (4.296)

Für den Fall das der entgegen gerichteten Fluidstrom bei laminarer Durchströ-mung während des Ausfließens eine homogene Auflockerung bewirkt, muss die EULER-Zahl einer Wirbelschicht Gl.(4.213)

⋅+⋅+⋅=

2

WS ad

21

ad341,01

Re24Eu (4.213)

und die zur Gl.(4.318) analoge Funktion B(ε)WS benutzt werden:

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

WS 19,01

21

19,01341,01)(B (4.353)

Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulver-schicht in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit bmin → Dmin und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dpa = 0 folgt aus der Gl. (4.296) die Differentialgleichung:

( )

−=⋅


+D

D1gvd)(B18

dtdv min

2STfs

WS (4.354)

Für ein reibungsfreies freifließendes Schüttgut ist näherungsweise Dmin ≈ 0:


174

( ) gvd)(B18

dtdv

2STfs

WS =⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅+ (4.355)

Für die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt mit ε→1 und deshalb B(ε)WS = 1

( ) gvd

18dtdv

2STfs

=⋅⋅ρ−ρη⋅

+

Mit der stationären Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.45) in ../VO_MVT_Neu/MVT_-e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES ist (dST = d):

η⋅⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s (4.277)

( ) ( )

−⋅=⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

−=⋅⋅ρ−ρη⋅

−=St,s

2STfs

2STfs v

v1gvgg

d18gv

d18g

dtdv

Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedi-mentation feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe dazu Gl.(4.59) im Manuskript ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Partikel-beschleunigung_Stokes:

−⋅=

St,svv1g

dt)t(dv

(4.356)

Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simulta-nen Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der Sedimentation mikroskopisch kleiner Partikel vergleichen und umrechnen. Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.

4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit

Die experimentelle Überprüfung bisheriger Modellgleichungen wurde gewöhn-lich mit Hilfe der Messung der Auslaufzeit td in Abhängigkeit vom Speicher- bzw. Füllvolumens des Bunkers VFüll vorgenommen. Daraus wurden Durchsatz und die Auslaufgeschwindigkeiten ermittelt. Der beschleunigte instationäre Anlaufvorgang blieb bisher (außer mit Einschränkungen bei Johanson /3/ und Keller /4/) unberücksichtigt40. Im Folgenden soll deshalb die Auslaufzeit des beginnenden Ausfließens in Abhängigkeit von den Fließeigenschaften der Schüttgüter hergeleitet werden. Ausgangspunkt ist die allgemeine Formulierung eines Modells verfahrenstech-nischer Prozesse in Form einer Komponentenmassenbilanz /63, 64/ für beliebi-ge Stoffsysteme:

40 Tomas, J., Modellierung…, S. 135ff, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991


175

Änderung der in einem Volumenelement gespeicherten Masse einer be-liebigen Komponente i = Gesamtzufluss dieser Komponente – Gesamt-abfluss + durch Reaktion (oder andere Quellen) entstandene Kompo-nentenmasse – Senken der Komponente i

Damit folgt die Gesamtmassenbilanz des Speicherbehälters:

dAFüll mmm

dtdm

−=∆= (4.357)

Die zeitliche Änderung der Speichermasse mFüll ist gleich der Differenz zwi-schen dem Aufgabe- oder Einlaufmassenstromes Am und dem Auslaufmassen-strom dm . Bei angenommen konstanter Schüttgutdichte ρb lässt sich damit die

zeitliche Änderung des Füllvolumens VF bestimmen:

dAF VV

dtdV −= (4.358)

In diese einfache Differentialgleichung (4.358) wird die Zeitfunktion des Aus-laufvolumenstromes gemäß Gl.(4.251) eingesetzt:

⋅⋅−=

76stdA

F

tttanhvA)t(V

dt)t(dV (4.359)

Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei ständigem Zu- und Abfluss. Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bun-kers mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.359) integriert werden. Dazu werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:

- für t = 0 ist VF = VF,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers, - nach der Auslaufzeit t = td hat der Bunker einen Mindestfüllstand VF =

VF,min, - der Einlaufstrom wird 0VA = gesetzt, d.h., der Bunker wird diskonti-

nuierlich (satzweise) befüllt. Damit folgt die Integralgleichung

∫∫ −=−=dmin,F

max,F

t

0dmax,Fmin,F

V

V

dt)t(VVVdV (4.360)

und mit der Gl.(4.251) folgt für die rechte Seite:

∫∫

⋅⋅=

dd t

0 76std

t

0d dt

tttanhvAdt)t(V (4.361)

Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslauf-stromes Gl. (4.263)

∫∫==

⋅==

t

0t 76st

)t(h

0h

dttttanhv)t(hdh (4.362)

und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 gelöst worden, siehe dazu den Lösungs-weg der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.265):


176

⋅⋅=

7676st t

tcoshlntv)t(h (4.265)

Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funk-tion berechnen:

)t(hAVVV ddFmin,Fmax,F ∆⋅=∆=− (4.363)

⋅⋅⋅=∆

76

d76stddF t

tcoshlntvA)t(V (4.364)

Diese Gleichung muss nun für ΔVF(td) ≡ VF(td) nach der Auslaufzeit td umge-stellt werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.5 angewandt wor-den. Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:

( ) ( )

⋅

+=

−+

=⋅⋅ )t/texp(2

1t/t2expln2

)t/texp(t/texplntvA)t(V

76d

76d76d76d

76std

dF

( ))t/texp(21t/t2exp

tvAVexp

76d

76d

76std

F

⋅+

=

⋅⋅

Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )76d t/texp umgewandelt:

( ) 01)t/texp(tvA

Vexp2t/t2exp 76d76std

F76d =+⋅

⋅⋅

⋅− (4.365)

mit ihrer Lösung:

( ) 1tvA

V2exptvA

Vexpt/texp76std

F

76std

F76d −

⋅⋅

⋅+

⋅⋅

= (4.366)

Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:

( )

⋅⋅

⋅

−

⋅⋅

⋅

+⋅

⋅⋅

=

76std

F

76std

F

76std

F76d

tvAV2exp

1tvA

V2exp1

tvAVexpt/texp

( )

⋅⋅

⋅−−+⋅

⋅⋅

=76std

F

76std

F76d tvA

V2exp11tvA

Vexpt/texp

⋅⋅

⋅−−+⋅

⋅⋅

⋅=76std

F

76std

F76d tvA

V2exp11tvA

Vexplntt

⋅⋅

⋅−−+⋅+

⋅⋅⋅=

76std

F76

76std

F76d tvA

V2exp11lnttvA

Vtt

Daraus ergibt sich analog zur Funktion td = f(h*), Gl.(4.274), wiederum eine

⋅−−+⋅+=

76,R

*

76st

*

d hh2exp11lnt

vht (4.274)

vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(VF):


177

⋅⋅

−−+⋅+⋅

=76,Rd

F76

std

Fd hA

V2exp11lntvA

Vt (4.367)

mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit

⋅ρ

⋅θ⋅+⋅

+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅⋅=

2rb

B

b

amin

st

udh/dp

tan)1m(2b1tan)1m(2

gdH/dp

bb1gb

v , (4.231)

der charakteristischen Relaxationszeit t76

⋅ρθ⋅+⋅

+⋅

ρ

−−⋅θ+=

2rb

B

b

amin76

udh/dp

tan)1m(2b1

gdH/dp

bb1gtan)1m(2

bt (4.238)

und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:

ρ

−−⋅=⋅=

gdH/dp

bb1g

vtvh

b

amin

2st

76st76,R (4.266)

Anhand der Gl. (4.367) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Aus-laufzeit aus einem Anteil beim stationären Fließen und einem instationären Anteil infolge des beginnenden (beschleunigten) Ausfließens zusammensetzt. Für große Füllmengen VF, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslauf-zeit) t76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst kann der letzte Term in der Gl. (4.367) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung

2hA

V

76,Rd

F >⋅

, (4.368)

die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 198,0)4exp(1 ≈=−− und damit

2lntvA

Vt 76std

Fd ⋅+

⋅≈ (4.369)

Der Term VF/(Ad.vst) entspricht der mittleren Verweilzeit tV,st während des

stationären Ausfließens:

st,Vst

F

std

F tVV

vAV

==⋅

(4.370)

2lnttt 76st,Vd ⋅+≈ (4.371)

Diese Abschätzung lässt sich auch als Beweis der Plausibilität der rechnerisch sehr aufwändigen Herleitung auffassen. Beim praktischen Bunkerbetrieb mit Massenfluss bestimmen die Auslaufzeit td, wobei hier die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst des Austraggerätes einzu-setzen ist, und die Lagerzeit tL bei Stillstand der Abförderung die mittlere Ver-weilzeit tV,m des Schüttgutes (siehe auch Abschnitt 2).

Ldm,V ttt += (4.372)


178

Zur Berechnung der Auslaufzeit td des instationären Auslaufprozesses bei la-minarer Durchströmung muss die Auslaufgeschwindigkeits-Zeit-Funktion

lam,76lam,76St,s

lam,76b

amin

t1

tttanh

v2)(Bg

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(v+

⋅

ε⋅⋅ε⋅

⋅

ρ

−−⋅

=∗

(4.317)

in das Integral der Gl.(4.360) eingesetzt werden:

∫⋅=−dt

0dmin,Fmax,F dt)t(vAVV (4.360)

Dieses Integral Gl.(4.343) wurde schon im Abschnitt 4.6.2.5.4 gerechnet,

( )( )∫

= +⋅=

t

0t

lam,76lam,76

lam,76 dt

'bt1t/ttanh

t/ttanh'b

c)t(h (4.343)

um die Weg-Zeit-Funktion, Gln.(4.350) und (4.352), zu erhalten:

( ) ( )

−

⋅

+−

+

⋅

−

−

+

⋅

−

ρ

−−⋅⋅= ∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

'bt1

tttanhln

'bt11

gdH/dp

bb

1tg)t(h


lam,76lam,7622

lam,76b

amin2lam,76

(4.350)

( )

( )

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅


=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

d)(B9

d)(B9

'bt

b

amin

2

2STfs

2STfs

lam,76 (4.352)

( ) ( )

−

⋅

+−

+

⋅

−

−

+

⋅

−

ρ

−−⋅⋅⋅=∆ ∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

'bt1

tttanhln

'bt11

gdH/dp

bb1tgAV


lam,76lam,7622

lam,76b

amin2lam,76dF

(4.373) Allerdings ist hier die Berechnung der Umkehrfunktion td = f(VF), wie bei-spielsweise von der Gl.(4.363) zur Gl.(4.367), auf analytischem Wege nicht mehr möglich, d.h. es müssen Iterationsrechnungen durchgeführt werden:


179

( ) ( )

−

⋅

+−

+

⋅

−

−

+

⋅

−=

ρ

−−⋅⋅⋅

∆

∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

'bt1

tttanhln

'bt11

gdH/dp

bb1tgA

V


lam,76lam,7622

lam,76

b

amin2lam,76d

F

( ) ( )

−

⋅

++

+

⋅

−

+

ρ

−−⋅⋅⋅

∆=

+

⋅

−∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

gdH/dp

bb1tgA

V'bt

1t

ttanhln'bt1

1


b

amin2lam,76d

F

lam,76lam,7622

lam,76

…usw. Diese Rechnung lässt sich für laminare Umströmung näherungsweise auch mit der Gl. (4.367) durchführen. Allerdings sind die charakteristischen Auslaufzeiten t76 des beginnenden Aus-fließens oftmals so gering (siehe Tab. 9.3)41, dass die Berücksichtigung des instationären Anteils bei Messungen der Auslaufzeiten in den meisten Fällen praktisch nicht notwendig ist. Eine Ausnahme bilden hierbei die beschleunigten Auslauf- und Füllvorgänge in schnell laufenden Verpackungsmaschinen (s. Bild 9.2 ebenda). Die wesentlichen Prozessgrößen zur Modellierung der Dynamik des instatio-nären Auslaufverhaltens kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern während ihrer homogenen Durchströmung wurden in der Tabelle 4.3 und in den Folien F 4.27 und F 4.28 zusammengefasst:

41 Tomas, J., Modellierung…, S. 129, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991


180

Tabelle 4.3: Das beschleunigte Ausfließen kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern bei homogener Durchströmung (TOMAS 1991, 2010) Prozessgrößen Laminare Durchströmung Turbulente Durchströmung Reynolds-Zahlen 10...1Re/d)/u(Re B,St,kritfr ≈<ηρ⋅⋅ε= (4.206) 4

B,N,kritfr 10Re/d)/u(Re ≈<ηρ⋅⋅ε= (4.206)

Stationäre Sink-geschwindig-keiten

η⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s für Partikelumströmung

(4.277)

fW

fsN,s c3

gd)(4vρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= für Partikelumströmung

(4.374)

Partikelgrößen-bereiche 3

fsf

St2

St g)(Re18d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅

≤ für Partikelumströmung ReSt ≈ 1 (4.278)

3

fsf

2N

2W

N g)(4Rec3d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅⋅η⋅⋅

≥ für Partikelumströmung ReN = 103 (4.375)

Durchströmungs-widerstände nach Molerus [8]

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

WS 19,01

21

19,01341,01)(B

(4.353)

1,03

35,1

3

3

2

3

3

3

3

B

Re891,0

195,014,0

195,0112,01

Re4

195,01

21

195,01692,01

Re24Eu

⋅

ε−−ε−

++

ε−−ε−

⋅+⋅

⋅+

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+⋅=

(4.223)

Bewegungs-gleichungen

ρ

−−=⋅ε⋅ε⋅

+⋅θ+

+ ∗∗ gdH/dp

bb1gv

v)(Bgv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

St,s

2 (4.297)

ρ

−−=ρ

+⋅θ+

+gdH/dp

bb1gdh/dpv

btan)1m(2

dtdv

b

amin

b

B2 (4.291)

Auslaufge-schwindigkeits-Zeit-Gesetze

lam,76lam,76St,s

lam,76b

amin

t1

tttanh

v2)(Bg

tttanh

gdH/dp

bb1g

)t(v+

⋅

ε⋅⋅ε⋅

⋅

ρ

−−⋅

=∗

(4.317)

⋅=

76st t

ttanhv)t(v (4.239)

Stationäre Auslauf-geschwindigkeiten

ε⋅⋅ε⋅

−⋅θ+

=∗

St,slam,76st v2

)(Bgt

1tan)1m(2

bv (4.299)

⋅ρ

⋅θ⋅+⋅

+⋅θ⋅+⋅

ρ

−−⋅⋅=

2rb

B

b

amin

st

udh/dp

tan)1m(2b1tan)1m(2

gdH/dp

bb1gb

v

(4.231)

Charakteristische Relaxations- und Auslaufzeiten

ρ

−−⋅θ+

+

ε⋅⋅ε⋅

=

∗∗ gdH/dp

bb1

btan)1m(g2

v2)(Bg

1t

b

amin

2

St,s

lam,76 (4.315)

⋅ρ

⋅θ+

+⋅

ρ

−−⋅θ+=

2rb

B

b

amin76

udh/dp

tan)1m(2b1

gdH/dp

bb1gtan)1m(2

bt (4.238)


181

Anstiege der Ge-schwindigkeits-Zeit-Gesetze*

ρ

−−⋅= ∗= g

dH/dpb

b1gdtdv

b

amin

0v

(4.324)

ρ

−−⋅=== g

dH/dpb

b1gtv

dt)t(dv

b

amin

v,76

s

0t s

wobei *bb ≡ (4.241)

Charakteristische Auslaufgeschwin-digkeiten

lam,76St,s

b

amin

lam,76

t1

v)(Bg38,0

gdH/dp

bb1g76,0

)tt(v+

ε⋅ε⋅⋅

ρ

−−⋅⋅==

∗

lam,76St,s

b

amin

lam,76

t1

v)(Bg482,0

gdH/dp

bb1g964,0

)t2t(v+

ε⋅ε⋅⋅

ρ

−−⋅⋅=⋅=

∗

(4.325) (4.326)

( ) sts76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅==

( ) sts7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅=

(4.243) (4.244)

Auslaufgeschwin-digkeits-Weg-Gesetze

( )[ ]

( )[ ]lam,76

)0(lam,76

St,s

St,s

)0(lam,76

St,s

b

amin

)1(

t1v'vlnh

btan)1m(4

)(Btgv

tanhv2

)(Bg

v'vlnhb

tan)1m(4)(Btg

vtanh

gdH/dp

bb1g

)h(v−

+⋅

θ+⋅

ε⋅ε⋅

⋅ε⋅ε⋅

+⋅

θ+ε⋅

ε⋅⋅

ρ

−−

=

∗

∗∗

(4.339)

⋅−−⋅=

76,Rst h

h2exp1v)h(v mit

Relaxationsweg 76st76,R tvh ⋅=

(4.261) (4.266)

Differential-gleichungen

lam,76lam,76St,s

lam,76b

amin

t1

tttanh

v2)(Bg

tttanh

gdH/dp

bb1g

dt)t(dh

+

⋅

ε⋅⋅ε⋅

⋅

ρ

−−⋅

=∗

(4.340)

⋅=

76st t

ttanhvdt

)t(dh (4.262)

Weg-Zeit-Gesetze

( ) ( )

−

⋅

+−

+

⋅

−

−

+

⋅

−

ρ

−−⋅⋅= ∗

1t

ttanhln'bt12

11t

ttanhln'bt12

1

'bt1

tttanhln

'bt11

gdH/dp

bb

1tg)t(h


lam,76lam,7622

lam,76b

amin2lam,76

(4.350)

⋅=

7676,R t

tcoshlnh)t(h (4.265)


182

Charakteristische Auslaufhöhen

ρ

−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp

bb1tg433,0)t(h

b

amin2lam,76lam,76

ρ

−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp

bb1tg33,1)t(h

b

amin2lam,7696

(4.346) (4.347)

ρ

−−⋅

⋅=⋅=

gdH/dp

bb1g

v433,0h433,0)t(h

b

amin

2st

7676

76,R96 h33,1)t(h ⋅=

(4.267) (4.268)

Auslaufzeiten nur numerisch lösbar -

⋅⋅

−−+⋅+⋅

=76,Rd

F76

std

Fd hA

V2exp11lntvA

Vt (4.367)

* ergänzt 6/2015


183

4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle

Diese Modelle lassen sich mit dem Flüssigkeitsbrückenmodell [7]

( ) ( )( ) W

l

s

is

ilgwmin Xsin1dbg

sin2sin1m35b

b⋅

ρρ

⋅φ−⋅⋅⋅⋅ρ

φ⋅σ⋅Θ+φ⋅+⋅= (4.376)

(m Trichterformfaktor, σlg Grenzflächenspannung, φi inneren Reibungswinkel, ρl Flüssigkeitsdichte, XW Wassergehalt) kombinieren und anhand Meßdaten von Johanson [3] bei Vernachlässigung von Anlaufvorgängen und Luftwider-stand überprüfen: ...................... Zusätze:

Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von der ausge-führten Öffnungsweite b eines konischen Trichters (m = 1) und des Feuchtegehalts XW des Eisenerzkonzentrates; err. - errechnet mit Gl. (4.249) V = a ⋅ vs; gem. - gemessen [3]

Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von ausgeführ-ten Öffnungsweite b eines Trichters (m = 0) und des Feuchtegehal-tes XW des Eisenerzkonzentrates; errechnet mit Gl. (4.249) V = A ⋅vs; gem. - gemessen

In Anbetracht der Komplexität der Problemstellung und der Stochastik des Fließverhaltens des feinkörnigen Eisenerzes (d ≈ d50 ≈ 400 µm angenommen, ρs = 5200 kg⋅m-3, ρb = 2510 kg⋅m-3, φi = 33°, ff = 1,3 [3]) kann die Anpassung als gut eingeschätzt werden. .........................

4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften

Generell lassen sich im Term bmin/b bzw. bmin,st/b die gemessenen oder die mit den Haftkraftmodellen [7] abgeschätzten Fließeigenschaften der Schüttgüter berücksichtigen (φst stationärer innerer Reibungswinkel, σ0 dreiaxiale Zugfes-tigkeit der unverfestigten Partikelkontakte, φw Wandreibungswinkel, ρb Schütt-gutdichte, siehe auch Schüttec_3.doc#sigma_c_sigma_1):

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]1ff2sinsinsinsin1bg

sinsin12sin1m2b

b

ististb

0stiwmin

−⋅⋅φ−φ−φ⋅φ−⋅⋅⋅ρσ⋅φ⋅φ+⋅Θ+φ⋅+

= ( 4.377)

( ) ( )( ) n1

st0,b

w0ststmin,

sin1bg2sinsin1m2

bb

−φ−⋅⋅⋅ρΘ+φ⋅σ⋅φ⋅+⋅

= ( 4.378)

Hinsichtlich des Einflusses des instationären Anlaufvorganges soll auch auf den Beitrag von Keller [4] verwiesen werden, bzw. siehe auch [7]. Ein Vergleich mit Meßwerten für freifließenden Sand [5] zeigt, daß ab etwa Partikelgrößen d < 500 µm der Luftwiderstand bei der voraussetzungsgemäß laminaren Durchströmung zunehmend in Rechnung gestellt werden muß, Bild


184

F 4.29 (Stationärer Austragsvolumenstrom vs in Abhängigkeit von der Parti-kelgröße d für Sand; errechnet mit Gl.(4.296); gemessen [5] konischer Massen-flußtrichter kb = 3, ε = 1, ffc > 10) Die Vorteile der vorgestellten Modelle gegenüber bisher bekannten sind ihre vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beschreibung der instationären Fließgeschwindigkeit kohäsiver Güter bei der Wirkung eines Luftwiderstandes in senkrechten Rohren bzw. Schurren [7] oder hinsichtlich der Auslegung von Dosier- und Portioniergeräten. [1] Neddermann, R. M., u.a.: Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 11, 1597-1609;

Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 12; 1691-1709; Chem. Engng. Sci. 38 (1983) 1, 189-195.

[2] Beverloo, W. A., u.a.: Chem. Engng. Sci. 15 (1961) 260-269. [3] Johanson, J. R.: Trans. Amer. Inst. Min. Metallurg. Petrol. Engrs. 232

(1965) 3, 69-79. [4] Keller, H., u. Gjacek, L. V.: Freiberger Forsch.-H., Reihe A 703 (1985)

129-139. [5] Carleton, A. J.: Powder Technology 6 (1972) 91-96. [6] Crewdson, J. B., u.a.: Powder Technology 16 (1977) 197-207. [7] Tomas, J.: Dissertation B, Bergakademie Freiberg 1991. [8] Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, Hei-

delberg, New York 1982. [9] Kache, G., Verbesserung des Schwerkraftflusses kohäsiver Pulver durch

Schwingungseintrag, docupoint Verlag, Magdeburg 2010

4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen

⇒ siehe Bilder F 4.30, F 4.31


185

Zusatzkapitel:

4.8 Wärmetransportprobleme in Silos

4.8.1 praktische Probleme

• Nachtrocknung von Schüttgütern, die aus Trocknern eingefüllt werden, in den Silos verbunden mit Brüdenkondensation an den kalten Wänden,

• dem folgen Aufbau von Anbackungen oder Verhärtungen von Schüttgütern mit leichtlöslichen Inhaltsstoffen,

• oder Ansammlung größerer kondensierter Wassermengen am Auslauf; • Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Wandnormaldruck) notwendig

bei Abkühlung (Kontraktion) der Wand

TEl

)T(lE)T(Ep l0

T,n ∆⋅α⋅=∆⋅=ε⋅=∆ ( 4.379)

und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwechsel - eine Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wand-kontraktion die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgu-tes;

4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut

Gewöhnlich ist hier ein scharfer Unterschied zwischen der Wandtemperatur Tw und der Guttemperatur an der Wand zu beobachten. Stark vereinfacht lassen sich die möglichen Temperaturdifferenzen über eine quasi-stationäre Wärmebi-lanz aus dem von einer Quelle abfließenden Wärmestrom (Wärmedurchgang zwischen Schüttgut und Außenwand) abschätzen:

TAkQdtdQ

∆⋅⋅−=−≈ , ( 4.380)

mit dem Durchgangswiderstand als Summe der Teilwiderstände

gbgb,ww

w

aw,g

11s1k1

++ α+

α+

λ+

α= ( 4.381)

αg,aw Wärmeübergangskoeffizient, Außenluft - Außenwand, ≈ 23 W/(m2 K) (siehe MARTENS 1987)

λw Wärmeleitkoeffizient der Wand, ≈ (30...60) W/(m K) für Stahl αw,b+g Wärmeübergangskoeffizient, Schüttgut und Porenluft - Innenwand, αb+g Wärmeeindringkoeffizient in das Schüttgut (und Porenluft), Problematisch sind die Wärmeübergangskoeffizienten von Schüttgut und Po-renluft (jeweils parallel geschaltet) zur Innenwand und im Inneren der Schüt-tung. Wenn nur der Anteil der Porenluft betrachtet wird, läßt sich etwa αw,g ≈ 8 W/(m2 K) abschätzen (siehe MARTENS 1987).


186

4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut

Es soll hier auf ein zweckmäßiges Modell von TSOTSAS (1988) zurückgegrif-fen werden: Für die modifizierte freie Weglänge der Gasmoleküle zwischen den Partikel-Wand-Kontaktflächen gilt:

−⋅

λ⋅

π⋅

γγ−

⋅=

MRc2pM

TR222lg,p

gmod,g ( 4.382)

M Molmasse des Gases R allgemeine Gaskonstante T Temperatur γ Anpassungskoeffizient (sog. Akkomodationskoeffizient), 1-γ ist der

Anteil an Gasmolekülen mit vollelastischer Wandreflexion ohne mole-kulare Energieübertragung, ≈ 0,9

cp,g spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck, ≈1,006 J/(g K) für Luft

Der lokale Wärmeübertragungskoeffizient im Partikel-Wand-Kontakt (Index pwk,lok) ist definitionsgemäß mit der KNUDSEN-Zahl lokmod,g a/lKn = :

( )Kn1ala lok

g

mod,glok

glok,pwk +⋅

λ=

+λ

=α ( 4.383)

Bei großen lokalen Partikelabständen alok und kleinen KNUDSEN-Zahlen (Kn < 1, Kontinuumsbereich) überwiegen die Molekülkollisionen; bei kleinen Partikelabständen und großen KNUDSEN-Zahlen (KNUDSEN-Bereich) die Molekül-Wand-Kollisionen. Nach Integration unter Berücksichtigung der Kugel-Platte-Kontaktgeometrie wird erhalten:

( )( )

−

++⋅

++

λ=α 1

dl2d1ln

ddl2

1d

4

rmod,g

rmod,ggpwk ( 4.384)

dr mittlere Rauhigkeitsabmessung d Partikelgröße Für den Wärmeübertragungskoeffizienten zwischen Wand und Schüttung gilt nun mit Berücksichtigung der Wärmestrahlung αrad:

HFpwkradrmod,g

gHFHFpwkwb d/)dl(22

d/2)1( ϕ⋅α≈α+

+⋅+

λ⋅ϕ−+ϕ⋅α=α ( 4.385)

ϕHF Bedeckungsgrad der Heizfläche mit Schüttgut, ≈ 0,8 Der zweite Summand berücksichtigt die Wärmeleitung von der Wand an die zweite Partikelschicht.


187

4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung

Mit dem sog. Plattenmodell nach KRISCHER (siehe TSOTSAS 1988) läßt sich insbesondere der Einfluß der Porosität ε der Schüttung dar-stellen. Es gilt für parallel )kk( 21+ und in Reihe ...)/1k/1( 1+ geschal-

tete Durchflußkoeffizienten kk oder reziprok für die Wider-stände 1/kk der festen und Porengasphase:

1

g

II

g

Ig

b 1

−

λλξ

+

λλξ−

=λλ mit ( 4.386)

g

s

g

I )1(λλ⋅ε−+ε=

λλ und ( 4.387)

1

g

sg

II 1

−

λλε−

+ε=λλ ( 4.388)

ξ Anteil der Reihenschaltung (= Maximalwiderstand), ≈ 0,2 gute Anpas-sung, 1-ξ = Anteil der Parallelschaltung (= Minimalwiderstand)

λs Wärmeleitfähigkeit des Feststoffpartikels, ≈ 1,2 W/(m K) für Silikate u.ä. mineralische Stoffe

λg Wärmeleitfähigkeit des Gases, ≈ 0,245 W/(m K) für Luft T = 273 K, wobei 6/7

g MT −⋅∝λ

Problematisch für praktische Aufgaben ist allerdings hier die Quantifizierung des Anteiles ξ.

4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett

Für den instationären Energietransport innerhalb der ruhenden Schüttung (Festbett) gilt in Zylinderkoordinaten:

( )[ ] ( )yTcm

yq

rqr

r1

dtdTcc1 g,p0

yrg,pgs,ps ∂

∂−

∂∂

−∂

∂⋅−=⋅ρ⋅ε+ρ⋅ε−

( 4.389)

mit den kinetischen Ansätzen für die Wärmestromdichten q in radialer und

axialer Richtung

rTq rr ∂∂

Λ−= ( 4.390) und yTq axy ∂∂

Λ−= ( 4.391)

211ges kk1

k1

k1

++= bzw.

1

1

2

1

21

1

1

ges

kk1

11kk

k1k

k

−

−

++=

+

+=


188

Λr, Λax radialer und axialer Transportkoeffizient (effektive Wärmeleit-fähigkeit)

erhält man die allgemeine Bilanz

( )[ ]yTcu

yT

rT

rT

r1

dtdTcc1 g,pg02

2

ax2

2

rg,pgs,ps ∂∂

ρ−∂∂⋅Λ+

∂∂

+∂∂⋅⋅Λ=⋅ρ⋅ε+ρ⋅ε−

( 4.392) sowie analog dazu für den Stofftransport in der Gasphase

ycu

ycD

rc

rc

r1D

dtdc

02

2

ax2

2

r ∂∂

−∂∂⋅+

∂∂

+∂∂⋅⋅=⋅ε ( 4.393)

Dr, Dax radialer und axialer Dispersionskoeffizient Die gewöhnlich unter Beachtung bestimmter Randbedingungen numerisch ge-löst werden. Vereinfachend gilt für den zeitlich gemittelten Wärmeübergang aus Messungen in einer Schüttung, siehe TSOTSAS S. 167 ff:

tc

2T

q bb,pbb ⋅π

λρ⋅=

∆=α

( 4.394)

t Kontaktzeit cp,b spezifische Wärmekapazität der Schüttung ρb Schüttgutdichte λb wirksame Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, z.B. nach Gl.( 4.386)

4.9 Befüllung und Füllstandsmessung

Befülleinrichtungen Die Einspeisung von Schüttgütern in Bunker geschieht gewöhnlich durch Ab-wurf von Stetigförderern. Bei geringeren Füllständen sollte das Gut als Folge der Abwurfparabel nicht auf die Bunkerwand auftreffen, da dann dort starker Verschleiß auftreten kann. Weiterhin können größere Abwurfhöhen infolge der kinetischen Energie der fallenden Partikeln zu einer erhöhten Schüttgutverfes-tigung führen. Den in Abschnitt 1.4 Schüttec_1.doc beschriebenen Entmischungserscheinun-gen am aufgeworfenen Schüttgutkegel kann einerseits durch reversierbaren Bandabwurf, wobei das Schüttgut lagenweise eingespeichert wird, oder ande-rerseits durch Mehrpunktbeschickung mittels einfacher Einbauten begegnet werden. Dadurch entstehen mehrere kleinere Schüttgutkegel, und die Entmischungen halten sich Grenzen, siehe Bild F 4.32.


189

Bunkerfüllstandsmessung Im Zusammenhang mit der Automatisierung verfahrenstechnischer Prozesse kommt der Bunkerfüllstandsmessung wachsende Bedeutung zu. Vielfach ge-nügen Grenzstandsmessungen. Es kann aber auch ein periodisches oder konti-nuierliches Messen des tatsächlichen Füllstandes erforderlich sein. In Abgängigkeit von der Art des Bunkers, den Schüttguteigenschaften und von meßtechnischen Erfordernissen ist eine größere Zahl von Meßmethoden und -geräten entwickelt worden, Bild F 4.33: 1) Die wahrscheinlich genaueste Messung wird erreicht, wenn der gesamte

Bunker auf Druckmeßdosen gestellt wird, wodurch das Bunkergesamtge-wicht unmittelbar gemessen wird.

2) Die einfachste Methode ist das Ausloten der Füllhöhe entweder elektrome-chanisch oder von Hand.

3) Elektromechanische Drehflügelgeräte werden als Grenzschalter zur Voll- oder Leeranzeige benutzt. Diese einfache Meßmethode ist sehr robust und preiswert, Bild F 4.34.

4) Zur Grenzstandsüberwachung dienen auch Membranschalter, die in der Silowand eingesetzt auf den Schüttgutdruck ansprechen.

5) Bei der konduktiven Füllstandsmessung dienen Sonden zur Signalisierung von Grenzzuständen elektrisch leitfähiger Schüttgüter.

6) Bei der kapazitiven Messung bilden eine in den Behälter eingebaute Stab-sonde oder eingehängte Teilsonde mit der Behälterwand einen Kondensa-tor.

7) Die Absorption von β- oder γ-Strahlen kann für alle Schüttgüter zur Kon-trolle von Grenzfüllständen oder zur kontinuierlichen radiometrischen Mes-sung benutzt werden. Diese Methoden sind unempfindlich, aber ver-gleichsweise aufwendig und kostspielig.

8) Die Echolotung mit Ultraschall bietet sich zu Kontrolle von Grenzzustän-den sowie zur kontinuierlichen Messung von Füllständen feinkörniger und auch belüfteter Schüttgüter an.

4.10 Bunkerverschlüsse

− wesentliche Bauarten, Bild F 4.35 a) waagerechter Flachschieber b) senkrechter Flachschieber c) waagerechter Drehschieber d) Doppeldrehschieber e) Kugelbahn f) Drehklappe


190

g) Austragschurre mit Klauenhebelverschluß h) Stauverschluß mit Schwenkschurre

− Anwendung

• a) bis f) für mittel- bis feinkörnige Schüttgüter, z.B. Zement, Sand, Kies • e) Kugelhahn für feinkörnige Güter in Druck- bzw. pneumatische Förder-

anlagen (Richtpreis 23000.- DM!) • g) und h) für grobstückiges Gut, z. B. Rohhaufwerke

− Beispiel: Absperrschieber mit Handrad bzw. Elektroantrieb, F 4.36 − grundsätzliche Forderungen

• keine Steuerung des Massenstromes durch halbgeöffnete Schieber, Klap-pen oder Hähne bei kohäsiven Gütern ⇒ Kernflußgefahr!, d.h. kein "Wasserhahn-Prinzip"

• Verschlüsse vollständig öffnen bzw. schließen • Mengenstromsteuerung bzw. -regelung ist Aufgabe der Austrags- bzw.

Dosiergeräte!

4.11 Normsilos

kurze Diskussion der Abmessungen und Einzelheiten siehe Bild F 4.37 ....

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