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Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
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4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers 92
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker 92
4.1.1 Radiales Spannungsfeld 92
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke 93
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff 94
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors95
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors 96
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter 99
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß 99
4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite100
4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen 100
4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit 102
4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen 103
4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit 104
4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite 105
4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform 106
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf 107
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf107
4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie 109
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver: 110
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker 111
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 111
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft 111
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H) 112
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft114
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 116
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht 117
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi) 118
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze 118
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes 119
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung 119
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen 120
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE 121
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers 122
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl 125
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand 126
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre 126
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze 126
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand 128
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung 129
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze 129
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4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung 130
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes 130
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes 132
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle 132
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit 132
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes 133
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten Ausfließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke 134
4.6.2.1 Modellbildung 134
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke 134
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung136
4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen 138
4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens 139
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode140
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 142
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 142
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl 146
4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 148
4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz 149
4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h) 151
4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes 152
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung 153
4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens 153
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 158
4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 166
4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz 169
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle 173
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit 174
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle 183
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften 183
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen 184
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos 185
4.8.1 praktische Probleme 185
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut 185
4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut 186
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung187
4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett187
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung 188
4.10 Bunkerverschlüsse 189
4.11 Normsilos 190
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4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers
Gliederung siehe auch Bild F 4.1:
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker
- Gemäß eines „natürlichen“ Fließprofils beim Schwerkraftfluss eines kohäsi-ven Schüttgutes stellt sich je nach der Behälterform das reale Fließprofil ein,
- Wenn die Trichterform dem „natürlichen“ Fließprofil des Schüttgutes ent-spricht, stellt sich Massenfluss ein, ansonsten wird Kernfluss erzeugt.
- siehe dazu noch einmal die Fließprofile für Kern- und Massenfluss und die damit verbundenen Fließprobleme der Schacht- und Brückenbildung, siehe Bilder F 4.2 und F 4.3:
- Daher hier nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, unabhängig von Be-dingungen am oberen Schüttgutniveau im Schaft
4.1.1 Radiales Spannungsfeld
Bild 4.1: Das radiale Spannungsfeld im Trichter → Einführung des folgenden „radialen“ Span-
nungsansatzes • Zylinder- oder Polarkoordinaten r, θ* • in der Trichterspitze alle Spannungen = 0
Eine mittlere Spannung sei mit Mσ ∼ r (Kreismit-
telpunkt) auf einem Fahrstrahl beginnend von der Kegelspitze gegeben:
( ) ( )**bM ,rs,rgr θ⋅θρ⋅⋅=σ (4.1)
Es sei ( )
( )rfs,rf *
b
≠θ≠ρ (4.2)
→ Das ist voraussetzungsgemäß das sog. radiale Spannungsfeld, Bild 4.1.
Man liest eine einfache Gleichung für das Stoffgesetz des stationären Fließens beschrieben mittels des effektiven Fließortes ab, Bild 4.2:
Bild 4.2: Effektiver Fließort
MeR sin σ⋅ϕ=σ (4.3)
eMM
RM1
sin ϕ⋅σ+σ=σ+σ=σ
(4.4)
( )eM1 sin1 ϕ+⋅σ=σ (4.5)
( )*bM sgr θ⋅ρ⋅⋅=σ (4.6)
Für die gegenüber σ1 kleinere Radialspannung σr gilt entsprechend:
r
θ*
θ
σr
ψ σ1
b/2
ϕe
σM σ1
effektiver Fließort
σR
σr
σθ 2ψ
τrθ
ϕe
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ψ⋅σ+σ=σ 2cosRMr (4.7)
und mit MRe /sin σσ=ϕ (4.8) läßt sich σR eliminieren ( )ψ⋅ϕ+⋅σ=σ 2cossin1 eMr
( ) ( )*eb1 ssin1gr θ⋅ϕ+ρ⋅⋅=σ (4.9)
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke
Folgende Kräfte greifen an einer inkrementellen Brücke an, siehe Bild F 4.4:
BBB
F
BBbT
BB1V
BBbG
dhAdhdpdF
dhAadFdhUsincosdF
dhAgdF
⋅⋅=
⋅⋅ρ⋅=⋅⋅δ⋅δ⋅σ′=
⋅⋅⋅ρ=
( )1m2b
UA :.lgal
4b
b4b
UA :.Tr.kon
2b
l2lb
UA :keilf.Tr.
B
B
2
B
B
B
B
+=
=⋅π⋅π⋅
=
=⋅⋅
=
(4.10)
Beim Schlitzauslauf → vertikale, möglichst glatte Stirnseiten tragen nicht (!), so dass das Kräftegleichgewicht ∑ −=↓= VG dFdF0F ergibt:
l2cosdhsinldhbg b1bb ⋅δ⋅⋅δ⋅σ′=⋅⋅⋅⋅ρ (4.11)
Bild 4.3: Auflagerspannung σ1’ der inkrementell klei-nen Dicke dhB. Die Querspannung ist σ2’ = 0.
Diese Auflagerspannung σ1’ an der Trichterwand entspricht einer wirksamen größten Hauptspannung in der Oberfläche einer kohäsiven Schüttgutbrücke:
δ⋅⋅ρ
=σ′2sin
bgb1 (4.12)
Wegen dieser freien Schüttgutoberfläche der Brücke ist die wirksame Quer-spannung σ2’ = 0, d.h., es handelt sich um einen einaxialen Spannungszu-stand. Das obige Kräftegleichgewicht liefert: ∑ ↓= 0dF und damit FTVG dFdFdFdF0 −−−=
BBB
BBbBBB
B1BBb dhA
dhdpdhAadhA
AU
22sindhAg0 ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅−⋅⋅⋅δ
⋅σ′−⋅⋅⋅ρ=
Bb1b dh
dpab
1m2sing0 −ρ⋅−+
⋅δ⋅σ′−⋅ρ=
( )
⋅
⋅ρ−−⋅=
⋅ρδ⋅σ⋅+
Bbb
'1
dhdp
g1
ga1b
g2sin1m (4.13)
Für das erwünschte Versagen oder Fließen einer instabilen Brücke muss die Auflagerspannung größer oder gleich der einaxialen Druckfestigkeit σ1’ ≥ σc
sein, d.h. krit,c'1 σ=σ , und es folgt allgemeingültig für δ = ϕw + θ:
dhB
δ σ´1
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( ) ( )
⋅
⋅ρ−−⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+=
Bbb
wkrit,cmin
dhdp
g1
ga1g
2sin1mb (4.14)
Gewöhnlich wird der quasistationäre Fall a = dv/dt = 0 ohne Fluidgegen-druck dp = 0 betrachtet und es folgt die Dimensionierungsgleichung für die Trichteröffnungsweite, siehe Bild F 4.5:
( ) ( )g
2sin1mb
krit,b
wkrit,cmin ⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.15)
m = 0 keilförmiger Trichter m = 1 konischer Trichter, siehe F 3.1 Schüttec_3.doc - Volumenelement Oft wird die Trichterform auch mit der nach JENIKE grafisch angegebenen Funktion H(θ) berücksichtigt, die hier analytisch angenähert wurde:
( ) ( )
°Θ
⋅+⋅+=θ40
25,011mH (4.16)
( )g
Hb
krit,b
krit,cmin ⋅ρ
σ⋅θ= (4.17)
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff
Wenn b oder d = θ⋅⋅ sinr2 in Gl.(4.15) eingesetzt wird, erhält man die Aufla-gerspannung σ1’ oder, in anderen Worten, die wirksame (oder effektive) größ-te Hauptspannung an der Trichterwand (deshalb der ’-Strich):
( ) δ⋅+θ⋅⋅ρ⋅⋅
=σ2sinm1
singr2 b'1 (4.18)
Bild 4.4: Höhenverlauf der Druckfestigkeit σc einer freien Schüttgutoberfläche → in der Trichterspitze sei 0'
11 =σ=σ vorausgesetzt, d.h. größte Hauptspan-
nung u. wirksame größte Hauptspannung an der Wand sind gleich, → wegen des linearen Verlaufs des radialen Spannungsfeldes gilt dann
( )wϕ+θ=δ und θ⋅⋅= sinr2b ( ) ( ) ( )
θ⋅⋅⋅⋅δ⋅+⋅θ⋅ϕ+⋅⋅⋅
===σσ
sinbgr22sinm1*ssin1bgrffconst e
'1
1 bzw.
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( ) ( ) ( )θ⋅ϕ+
⋅θ⋅θ+φ⋅+=σσ
=sin2sin1*s2sinm1ff e
w'1
1 (4.19)
als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst, dabei ist ( ) ( )we
* ,,f*s ϕϕθ=θ .
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors
→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialglei-chungen 1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ*) und ψ(θ*), siehe auch MOLERUS S.148 (1985)
[ ]e
*e
*
* sin2cos)2sin2cos1(cotsinsm)2sin(2sins
dds
ϕ−ψψ−ψ+⋅θ⋅ϕ⋅⋅+ψ+θ+ψ⋅
=θ
(4.20) mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σr (bzw. Fahrstrahl r) und der größten Hauptspannung σ1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:
[
])sin2(cossins2
1coss)2cos(sincos
)12cos2sin(cot)sin1(sinsm1dd
eee
2*e
*
*ee*
ϕ−ψ⋅ϕ⋅⋅ϕ⋅+ψ+θ⋅ϕ−θ+
+−ψ+ψ⋅θ⋅ϕ+⋅ϕ⋅⋅−−=θψ
(4.21) sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,
[ ][ ])(2cossin1
)(2sinsintan *e
*e
w θψ⋅ϕ−θψ⋅ϕ
−=ϕ (4.22)
die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird. → Für vorgewählte ϕe läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.
Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.(4.48) und (4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7
→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8 und F 4.9 dargestellt
→ Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) mit der Auflagerspannung σ1’ F 4.10
→ entsprechend Gl. (4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach JENIKE1 (1964)
( )we ,,fff ϕϕθ= (4.23)
→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕe) Bild F 4.11 → komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE1 Bull. 123 (1964)
1 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ. Utah, 1964
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4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors
Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE ⇒ Die analytisch vereinfachten Lösungen für das Differentialgleichungssystem
Gl.(4.19) und Bild F 4.11 lauten für den Fließfaktor nach JENIKE1 (effekti-ver Reibungswinkel ϕe in grd):
Konischer Trichter:
für ϕe < 38°: 0298,1ekon 443,65ff −ϕ⋅= (4.24)
für ϕe ≥ 38°: 396,0ekon 462,6ff −ϕ⋅= (4.25)
Keilförmiger Trichter:
für ϕe < 42°: 0298,1ekeil 443,65ff −ϕ⋅= ( 4.26)
für ϕe ≥ 42°: 5078,0ekeil 185,9ff −ϕ⋅= ( 4.27)
für ϕe > 79°: ffkeil = 1 ( 4.28) Verhältnis der größten Hauptspannung zur Wandnormalspannung ⇒ Darüber hinaus soll hier nun in Analogie zum Fließfaktor ff = σ1/σ1’ me-
thodisch vereinfacht das Verhältnis der größten Hauptspannung σ1 in Wandnähe zur - mit Spannungsmeßzellen - messbaren Wandnormalspan-nung σw (= Wandnormaldruck pn nach Abschnitt 5.2 Schüttec_5.doc) herge-leitet werden, Bild 4.5:
ϕe
σM σ1
effektiver Fließort
σR
σw σr 2β
τw
σ
ϕe
θ β
σw τw
σ1
β Wandfließort
ϕw
τ WFO
EFO
Bild 4.5: Spannungsverhältnisse an der Trichterwand
β⋅σ=τ 2sinRw (4.29) β⋅σ+σ=σ 2cosRMw (4.30)
Mit der Gleichung des effektiven Fließortes
eMR sinϕ⋅σ=σ eingesetzt folgt (4.31)
β⋅ϕ⋅σ=τ 2sinsin eMw (4.32)
( )β⋅ϕ+⋅σ=σ 2cossin1 eMw (4.33)
Zur Eliminierung der Mittelpunktspannungen werden beide Gln.(4.32) und (4.33) geteilt. Bei voll mobilisierter Wandreibung gilt:
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β⋅ϕ+β⋅ϕ
=ϕ≤στ
2cossin12sinsintan
e
ew
w
w für Gleichheit folgt (4.34)
β⋅ϕ⋅ϕ+ϕ=β⋅ϕ 2cossintantan2sinsin ewwe
Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheore-me der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt:
e
ww sin
tan2costan2sinϕϕ
=β⋅ϕ−β wcosϕ⋅
e
www sin
sinsin2coscos2sinϕϕ
=ϕ⋅β−ϕ⋅β
( )e
ww sin
sin2sinϕϕ
=ϕ−β bzw.
ϕϕ
+ϕ⋅=βe
ww sin
sinarcsin21 (4.35)
Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnor-malspannung σw und der größten Hauptspannung σ1 in Wandnähe. Deshalb folgt auch aus den Gln.(4.29) und (4.31):
e
e1
e
e121w
sin1sin
sin1sin11
222sin ϕ+ϕ⋅σ
=
ϕ+ϕ−
−σ
=σ−σ
=β
τ (4.36)
Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze www tan σ⋅ϕ=τ
und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten Hauptspannung σ1 zur messbaren Wandnormalspannung σw im Trichter
e
e1w
sin1sin
2sin ϕ+ϕ⋅σ
=β
τ ( )β⋅ϕ
ϕ+τ=σ
2sinsinsin1
e
ew1 ( )
β⋅ϕϕ⋅ϕ+σ
=σ2sinsintansin1
e
wew1
( )
ϕϕ
+ϕ⋅ϕ
ϕ⋅ϕ+=
σσ
e
wwe
we
w
1
sinsinarcsinsinsin
tansin1 (4.37)
als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspan-nung im Auflager einer Brücke '/ff 11 σσ= definiert, z.B.
Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ1/σw an der Wand Wandreibungswinkel ϕw 20° 25° effektiver Reibungswinkel ϕe 40° 45° 50° 40° 45° 50° Gleitwinkel β 26° 25° 23° 33° 31° 29° Spannungsverhältnis σ1/σw 1,18 1,17 1,16 1,30 1,28 1,26
Fließfaktor nach WALKER
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⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors nach WALKER2 (1968) angegeben werden:
• Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ1, gemäß Gl. (4.35)
φφ
+φ⋅=βe
ww sin
sinarcsin21 (4.35)
• und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1
( )( )θ+β⋅ϕ−θ+β⋅ϕ
=2cossin1
2sinsinBe
e (4.38)
( )( )
θ−⋅⋅θ+ϕ
⋅θ+β⋅ϕ−
ϕ+=
tanDB22sin
2cossin1sin1ff w
e
e (4.39)
• nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzel-len für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ff-Werte berechnet.
Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD ⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.(4.39) - zusätzlich die allgemeingültig for-
mulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbil-dung nach ARNOLD, MCLEAN3, ROBERTS4 und ENSTAD5 angege-ben werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12:
• mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σv
( )
+
−⋅⋅ρ
φ+θ⋅σ⋅θ
⋅
⋅⋅⋅ρ=σ
1m1
bgtantan2
tan41
34bg
b
wwm
bv (4.40)
• die Wandnormalspannung σw
( )( ) θ⋅−
β⋅φ+⋅⋅⋅⋅ρ=σ
sin1X22cossin1Ybg e
bw (4.41)
mit der Höhenkoordinate y bzw. θ⋅= tan2yb sowie wiederum mit dem
Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X
φφ
+φ⋅=βe
ww sin
sinarcsin21 (4.35)
Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein.
2 Walker, D.M., An approximated theory for pressures and arching in hoppers, Chem. Engng. Sci. 21 (1966) p. 975-997 3 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255 4 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling, TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980 5 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975) 1273
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( )
+
θθ+β
⋅φ−φ⋅
= 1sin2sin
sin1sin2X
e
em
(4.42)
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )θ+β⋅φ−
θ+β⋅β+θ⋅
°θ+β⋅π
⋅θ+β−⋅= +
+−
m2e
m1m1
mm
sinsin1
sinsinsin180
cos12Y (4.43)
Dabei muss Y > X sein. • die größte Hauptspannung am Auslauf σ1 folgt entsprechend σw
( )( ) )(Fsin1X2
sin1Ybg eb1 θ⋅θ⋅−⋅
φ+⋅⋅⋅⋅ρ=σ (4.44)
• sowie damit der Fließfaktor ff nach ARNOLD u.a. (für X > 1)
( ) ( )( ) )(Fsin1X2
sin1Y1mff e'1
1
θ⋅θ⋅−⋅φ+⋅
⋅+=σσ
= (4.45)
mit m1m
200200
130130)(F
−
θ+°°
⋅
θ+°°
=θ (4.46)
somit ist auch die Funktion H(θ) nach Gl.(4.16):
( )m1m
200200
1301301m
)(F1m)(H
−
°θ+°
⋅
°θ+°
⋅+=θ+
=θ (4.47)
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß
Die Randbedingungen zur Lösung der Gleichungen des radialen Spannungs-feldes entsprechen den Bedingung, ob an der Wand Fließen bzw. Abgleiten oder nicht eintritt, ergibt die Massen- und Kernflußgrenzen6, siehe dazu die Diagramme F 4.6 und F 4.7. Zur Gewährleistung von Massenfluss muss der Trichterwerkstoff glatt sein und steil genug gestaltet werden. Die praktisch immer noch häufig anzutreffen-den 60°-Trichter (30° zur Vertikalen) reichen dazu gewöhnlich nicht aus. Diese Massen- und Kernflussgrenzen lassen sich auch berechnen, und zwar gilt für den maximalen Neigungswinkel des Silotrichters zur Vertikalen6,7 des • konischen Trichters und des
ϕϕ
−ϕ−
ϕ⋅ϕ−
−°≤θe
Ww
e
ekon sin
sinarcsin
sin2sin1
arccos18021 (4.48)
)3bis2(konprak,kon °°−θ=θ (4.49)
6 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ. Utah, 1961 7 Ter Borg, L., Einfluß des Wandmaterials auf das Auslaufverhalten von Schüttgütern aus Si-los, Chem.-Ing.-Techn. 58 (1986) 588 - 590
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Zur Sicherheit wählt man die Grenzen zwischen Massen- und Kernfluß etwa 2° bis 3° niedriger. Wegen zu hoher Bauhöhen sind allerdings bisher Nei-gungswinkel unterhalb von θ = 15° praktisch nicht realisiert worden!
• keilförmigen Trichters für ϕW < ϕe - 3° und θ ≤ 60°:
( )
ϕ⋅⋅°+°
ϕ−⋅
°ϕ−°
°+°≤θ
e
Wekeil 06.0exp131.03.42
173.7
50arctan7.15
15.60 (4.50)
Hier wird kein Sicherheitswert abgezogen.
4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite
4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen
Aus der Gl.(4.15) folgt für die kritischen Druckspannungen am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion mit der Auflagerspannung '
1c σ=σ , bei dem eine
Brücke zerstört wird, Bild 4.6, Bilder F 4.13 und F 4.14: Bild 4.6: Kriterium für die Brü-ckenbildung eines kohäsiven Schüttgutes, siehe Bild F 4.10,
'1c σ>σ Brückenbildung und '1c σ<σ keine Brückenbildung!
• minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken:
( ) ( )
g2sin1m
bkrit,b
wkrit,cmin ⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.15)
m = 0 keilförmiger Trichter m = 1 konischer Trichter, siehe F 4.8
• Mindestschlitzlänge für den keilförmigen Trichter minmin b3l ⋅= (4.51) Keiltrichter mit senkrechten Stirnwänden
minmin b6l ⋅= (4.52) Keiltrichter mit schrägen Stirnwänden, s. F 4.9
• Die Verfestigungsfunktionen, Gln.(4.53) bis (4.55), können als typische Stoffeigenschaftsfunktionen, siehe Bilder F 4.13 und F 4.14, Schüttec_3.doc - sigma_c_sigma_1 und Schüttec_3.doc - sigma_ct_sigma_1 durch lineare Regression der Meßergebnisse approximiert werden:
0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
ist
ist1
ist
istc sin1sin1
sin1sin2sin1sin1
sinsin2σ⋅
ϕ−⋅ϕ+ϕ+⋅ϕ⋅
+σ⋅ϕ−⋅ϕ+
ϕ−ϕ⋅=σ (4.54)
0,ct1t,1ct a σ+σ⋅=σ (4.55)
a1, a1t Anstiege der Verfestigungsfunktionen σc,0, σct,0 Ordinatenabschnitte der Verfestigungsfunktionen für σ1 = 0
Brücken- bildung
keine Brücken σ1’
σc,krit
σ1
σc
σc σ1’
σ1,krit
σ1’ > σc
σc > σ1’
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• Mit dem Fließfaktor ff gemäß Gl.(4.19) bzw. mit der effektiven (wirksa-men) größten Hauptspannung an der Wand σ1’, die einer Auflagerspan-nung der kohäsiven Schüttgutbrücke entspricht:
ff/1'1 σ=σ (4.56)
und der Verfestigungsfunktion Gl. (4.53)
0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)
ist am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σc(σ1) mit der Auflager-spannung Gl.(4.56):
0,c'11c ffa σ+⋅σ⋅=σ bzw. 0,c
'11c ffa σ=⋅σ⋅−σ
und für '1krit,c σ=σ ist 0,ckrit,c1krit,c ffa σ=⋅σ⋅−σ
Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen
ffa1 1
0,ckrit,c ⋅−
σ=σ (4.57)
und die kritische Hauptspannung mit der Gl.(4.56):
ffa1ff
ffff1
0,ckrit,c
'1krit,1 ⋅−
⋅σ=⋅σ=⋅σ=σ (4.58)
Mit Gl. (4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermei-dung von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes
)ffa1(g)(2sin)1m(
b1krit,b
w0,cmin ⋅−⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.59)
oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens (Reibungswinkel ϕst, ϕi, isostatische Zugfestigkeit σ0) ausgedrückt,
( ) ( )( ) ( )[ ]1ff2sinsinsinsin1g
sinsin12sin)1m(2bististkrit,b
0stiWmin −⋅⋅ϕ−ϕ−ϕ⋅ϕ−⋅⋅ρ
σ⋅ϕ⋅ϕ+⋅θ+ϕ⋅+⋅= (4.60)
und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:
)ffa1(g)(2sin)1m(
bt1krit,b
w0,cttmin, ⋅−⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.61)
als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung. • Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
( ) ( )
°Θ
⋅+⋅+=θ40
25,011mH (4.16)
gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. (4.17) auch schreiben:
)ffa1(g)(H
b1krit,b
0,cmin ⋅−⋅⋅ρ
σ⋅θ= (4.62)
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)ffa1(g)(H
b1krit,b
0,cttmin, ⋅−⋅⋅ρ
σ⋅θ= (4.63)
• Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwer-te als die Gln. (4.59) und (4.61) davor.
• Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die kritische Verfestigungsspannung σ1,krit, siehe Gln. (4.58) bzw. (4.83) und Bild 4.6:
( ) ( )w
kritminkrit,bkrit,1 2sin1m
ffbgϕ+θ⋅+
⋅⋅⋅ρ=σ (4.64)
• Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕe(σ1), ϕw(σ1), ρb(σ1), ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)) herausgesucht werden, Bilder F 4.13 und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungs-rechnung noch nicht bekannt ist, sind zwei Iterationen notwendig.
• Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung muß minbb ≥ sein !
Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw. ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc!
4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit
• Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Di-mensionierungsgleichung (4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion ρb(σM,st) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst:
n
0
st,M0,bb 1
σσ
+⋅ρ=ρ (4.65)
Mit der Beziehung (4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Komp-ressionsfunktion ρb(σ1) umgerechnet:
( ) st,M0st,Mstst,Mst,R1 sin σ+σ+σ⋅ϕ=σ+σ=σ (4.66)
( ) st01stst,M sinsin1 ϕ⋅σ−σ=ϕ+⋅σ
Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. (4.65) folgt:
( )( )
( )
n
st0
st01st00,b
n
st0
st010,bb sin1
sinsin1sin1sin1
ϕ+⋅σ
ϕ⋅σ−σ+ϕ+⋅σ⋅ρ=
ϕ+⋅σϕ⋅σ−σ
+⋅ρ=ρ
( ) ( )
n
0st
10
n
st0
1st0st000,bb sin1sin1
sinsin
σ⋅ϕ+
σ+σ=
ϕ+⋅σ
σ+ϕ⋅σ−ϕ⋅σ+σ⋅ρ=ρ
Mit dieser Kompressionsfunktion ρb(σ1) n
0
krit,1n
st0,b
krit,b 1sin11
σσ
+⋅
ϕ+
=ρρ
(4.67)
und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite
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103
)ffa1(g)(2sin)1m(
b1krit,b
w0,cmin ⋅−⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.59)
folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichter-öffnungsweite:
( )n
0
krit,110,b
nstw0,c
min
1)ffa1(g
sin1)(2sin)1m(b
σσ
+⋅⋅−⋅⋅ρ
ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=
Einsetzen der kritischen Hauptspannung Gl. (4.58)
ffa1ff
ffff1
0,ckrit,c
'1krit,1 ⋅−
⋅σ=⋅σ=⋅σ=σ (4.58)
( )
( )
n
01
0,c10,b
nstw0,c
min
ffa1ff
1)ffa1(g
sin1)(2sin)1m(b
σ⋅⋅−
⋅σ+⋅⋅−⋅⋅ρ
ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=
( )( )
( )
n
01
0,c0110,b
nstw0,c
min
ffa1ffffa1
)ffa1(g
sin1)(2sin)1m(b
σ⋅⋅−
⋅σ+σ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ
ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=
( )
( )( ) n
0
0,c01n
1
10,b
nstw0,c
minffffa1
ffa1)ffa1(g
sin1)(2sin)1m(b
σ
⋅σ+σ⋅⋅−⋅
⋅−⋅−
⋅⋅ρ
ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=
Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbil-dung bei beginnendem Fließen ist nun:
( )n
0
0,c1
n110,b
nstw0,c
minff
ffa1)ffa1(g
sin1)(2sin)1m(b
σ⋅σ
+⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ
ϕ+⋅ϕ+θ⋅σ⋅+=
−
(4.68)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
( ) ( )
°Θ
⋅+⋅+=θ40
25,011mH (4.16)
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:
( )n
0
0,c1
n110,b
nst0,c
minff
ffa1)ffa1(g
sin1)(Hb
σ⋅σ
+⋅−⋅⋅−⋅⋅ρ
ϕ+⋅σ⋅θ=
−
(4.69)
4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen
• Im Falle des stationären Fließens sind die größte Hauptspannung und die einaxiale Druckfestigkeit gleich σ1 = σc,st und man erhält die Druckfestigkeit aus dem kohäsiven stationären Fließort, siehe auch Schüttec_3.doc - sig-ma_c_Druckfestigkeit_stationä_Fließen:
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104
0st
stst,c1 sin1
sin2σ⋅
ϕ−ϕ⋅
=σ=σ (4.70)
Bzw. mit der Gl.(4.53) ist auch:
1
0,cst,ckrit,c a1−
σ=σ=σ (4.71)
• Vergleicht man diese Gl.(4.71) mit der Gl.(4.57) folgt, dass der Fließfaktor ff = 1 beim stationären Ausfließen beträgt!
• Es wird nun angenommen, dass sich eine gleichmäßige Spannungsvertei-lung über dem Querschnitt einer stationär fließenden Brücke einstellt, d.h., die größte Hauptspannung in der Brücke entspricht auch der wirksamen Hauptspannung an der Trichterwand σ1 = σ1’.
• Für die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens ist damit,
)a1(g)(2sin)1m(
b1krit,b
w0,cstmin, −⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.72)
oder mit der Gl.(4.70):
)sin1(g)(2sinsin)1m(2b
stkrit,b
w0ststmin, ϕ−⋅⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅ϕ⋅+⋅= (4.73)
Diese minimale Öffnungsweite bmin,st fällt etwas kleiner aus als das bmin für das beginnende Ausfließen. D.h. während des ständigen Ausfließens würde auch eine etwas kleinere Trichteröffnungsweite ausreichen, um die Brü-ckenbildung zu vermeiden. Das dürfte die bekannte Überdimensionierung mit der JENIKE-Methode erklären.
• Damit entfallen die Iterationen zur Ermittlung der Fließkennwerte ϕe(σ1), ϕw(σ1) und des Fließfaktors ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)).
4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit
• Die Schüttgutdichte ρb(σ1) beim stationären Ausfließen (etwas geringer als beim beginnenden Fließen) muß für σM,st = σc,st/2 gefunden werden:
n
0
st,c0,bst,bb 2
1
σ⋅
σ+⋅ρ=ρ=ρ ( 4.74)
mit der Gl.(4.70) folgt einfach:
0st
stst,c1 sin1
sin2σ⋅
ϕ−ϕ⋅
=σ=σ (4.70)
n
st0,b
n
st
stst0,b
n
st
st0,bst,b sin1
1sin1
sinsin1sin1
sin1
ϕ−
⋅ρ=
ϕ−
ϕ+ϕ−⋅ρ=
ϕ−
ϕ+⋅ρ=ρ
( ) nst0,bst,b sin1 −ϕ−⋅ρ=ρ (4.75)
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105
• Zur Übung und Überprüfung der Gleichheit der Verwendung der Kompres-sionsfunktion ρb(σ1) Gl.(4.67):
n
0
krit,1n
st0,b
krit,b 1sin11
σσ
+⋅
ϕ+
=ρρ
, (4.67)
Für σc,st = σ1 ist n
st
st
n
st
n
0
st,cn
st0,b
krit,b
sin1sin21
sin111
sin11
ϕ−ϕ⋅
+⋅
ϕ+
=
σσ
+⋅
ϕ+
=ρρ
n
st
st
n
st
n
st
stst
n
st0,b
krit,b
sin1sin1
sin11
sin1sin2sin1
sin11
ϕ−ϕ+
ϕ+
=
ϕ−
ϕ⋅+ϕ−
ϕ+
=ρρ
Das gleicht wieder der Beziehung (4.75): ( ) n
st0,bkrit,b sin1 −ϕ−⋅ρ=ρ q.e.d! (4.75)
• Setzt man Gl. (4.75) in Gl. (4.72) ein, ist die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens:
( ))a1(g
sin1)(2sin)1m(b
10,b
nstw0,c
stmin, −⋅⋅ρϕ−⋅ϕ+θ⋅σ⋅+
= (4.76)
Bzw. mit der Gl. (4.73) folgt:
n1st0,b
w0ststmin, )sin1(g
)(2sinsin)1m(2b −ϕ−⋅⋅ρϕ+θ⋅σ⋅ϕ⋅+⋅
= (4.77)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
( ) ( )
°Θ
⋅+⋅+=θ40
25,011mH (4.16)
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:
( ))a1(g
sin1)(Hb
10,b
nst0,c
stmin, −⋅⋅ρϕ−⋅σ⋅θ
= (4.78)
4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite
Bei feuchten kohäsiven Schüttgütern mit innerer Partikelporosität (z.B. feine Rohbraunkohle) kann man einen nichtlinearen Verlauf der charakteristischen Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) verbunden mit einer starken Zunahme der einaxialen Druckfestigkeit insbesondere bei großen Verfestigungsspannungen σ1 messen, siehe Bild 4.7. Dies kann praktisch zur Brückenbildung und zu Verstopfungen am Übergang zwischen Schaftauslauf und Trichtereinlauf führen. Entsprechend der Dimensionierungsgleichung (4.15) einer minimalen Trichter-öffnungsweite zur Vermeidung der Bildung kohäsiver Brücken muss man hier die die maximale Abmessung des oberen Trichtereinlaufes beschränken:
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106
( ) ( )g
2sin1mb
max,krit,b
wmax,krit,cmax ⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+= (4.79)
Bild 4.7: Nichtlinearer Ver-lauf der Verfestigungsfunk-tion σc = f(σ1)
Das bedeutet, dass der Schaftdurchmesser kleiner als diese maximale obere Trichtereinlaufweite sein muss D ≤ bmax, um Brückenbildung und Verstopfun-gen am Übergang zwischen Siloschaft und -trichter zu vermeiden.
4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform
Berechnung der Trichterhöhe
TrH2bDtan
⋅−
=θ
θ⋅−
=tan2
bDHTr (4.80)
Bild 4.8 und F 4.8: Höhe eines Pyramiden-stumpf-Trichters HTr
Kehlneigung bei Trichtern mit Rechteckquerschnitt Bild 4.9: Kehlneigung ( )maxKehle θ≤θ !!!
222
)unten( 2bB
2lLDiagonale
−
+
−
=
Bild 4.10: Wandneigungen, siehe F 4.9
Tr1Wand H2
lLtan⋅−
=θ
Tr2Wand H2
bBtan⋅−
=θ
und
D/2
b/2
θ HTr
L
l
b B
• θ
Diagonale
Kehle θ
HTr
σc = f(σ1)
σ1‘ = σ1/ff
σc
σ1‘
σ1,krit,max σ1
σc,krit,max
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( ) ( )
2Wand
22
Tr tan2bB
tan2bBlLH
θ−
=θ−+−
=
( ) ( )222WandbBlL
bBtantan−+−
−θ=θ ( 4.81)
Für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche d.h. B = L und b = l folgt:
θ=θ tan
21arctanWand ( 4.82)
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf
Das =̂ dem maximalen Druck, wobei die Richtung infolge ständiger Umorien-tierung hier nicht die Rolle spielen soll, → grafisch ablesen aus σc(σ1) -Diagramm ⇒ siehe σ1,krit Gl.(4.64) → analytisch wie folgt: krit,c
'11 ffff σ⋅=σ⋅=σ
→ Einsetzen der Dimensionierungsgleichung (4.15) und für den ausgeführten Auslauf der Breite b ist:
( ) ( )W
krit,b1 2sin1m
ffbgϕ+θ⋅+
⋅⋅⋅ρ=σ (4.83)
• für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3 ausreichend bemessen,
• Mittelpunktsspannung σM,st am Auslauf:
( ) ( ) ( )θ+ϕ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ
≈ϕ+
σ⋅ϕ−σ=σ
Wst
krit,b
st
0st1st,M 2sinsin11m
bffgsin1
sin (4.84)
• maximal möglicher Vertikaldruck beim Fließen pv,max ≈ σ1 und • (minimaler) Horizontaldruck 1E2min,hp σ⋅λ=σ≈ mit dem Horizontaldruck-
verhältnis für Entleeren (glatte Wand ϕw ≈ 0) e
eE sin1
sin1ϕ+ϕ−
≈λ , siehe 4.2.1
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf
• Für die Berechnung der dichte- und ortsabhängigen Verfestigungsspan-nung wird die größte Hauptspannung σ1 beim Ausfließen aus dem Trichter ausgewählt, die beim passiven Spannungsfeld im Wesentlichen auf die Wand gerichtet ist. Dazu müssen die Gl.(4.83) und die Kompressionsfunkti-on Gl.(4.67) geschickt miteinander kombiniert werden:
( ) ( )W
krit,b1 2sin1m
ffbgϕ+θ⋅+
⋅⋅⋅ρ=σ (4.83)
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108 n
0
krit,1n
st0,b
krit,b 1sin11
σσ
+⋅
ϕ+
=ρρ
(4.67)
( ) ( ) ( )Wn
st
0,bn
0
11 2sinsin11m
ffbg1
ϕ+θϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ
σσ
+=σ
( ) ( ) ( )1
2sinsin11mffbg
11W0
nst
0,bn
0
1
0
1 +ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ
σσ
+=σσ
+
( ) ( ) ( )
n
0
1
W0n
st
0,bn1
0
1 12sinsin11m
ffbg1
−−
σσ
++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ=
σσ
+
( ) ( ) ( )n1
1n
0
1
W0n
st
0,b
0
1 12sinsin11m
ffbg1
−−
σσ
++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ=
σσ
+ (4.85)
Also ist σ1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:
( ) ( ) ( ) 0
n11
n
0
1
W0n
st
0,b01 1
2sinsin11mffbg
σ−
σσ
++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρσ=σ
−−
(4.86)
Gl.(4.86) läßt sich wegen σ1,i+1 = f(σ1,i) nur iterativ lösen. Für σ1 > σ0 und da
( ) ( ) ( ) ( )W0n
st
0,bn
01 2sinsin11mffbg
/11
ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ
<σσ+
ist, kann σ1= f(b) ana-
lytisch berechnet werden:
( ) ( ) ( )n1
1
W0n
st
0,b01 2sinsin11m
ffbg −
ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+⋅⋅⋅ρ
σ≈σ (4.87)
• Für ρb = f(b) setzt man Gl.(4.85) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
( ) ( ) ( )
n1n
n
0
1
W0n
st
0,bn
0
1 12sinsin11m
ffbg1
−−
σσ
++ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ=
σσ
+
und es folgt mit der Gl.(4.83) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung ρb,i+1= f(b, ρb,i):
( )( ) ( )
n1n
n
0
b1
W0n
st
0,bn
st0,b
b )b,(12sinsin11m
ffbgsin11 −−
σρσ
++ϕ+θσϕ++
⋅⋅⋅ρ
ϕ+
=ρρ
(4.88) Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ1 = 0, es folgt:
( )nst
0,bb sin1
)0b(ϕ+
ρ==ρ (4.89)
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/1 n01 →σσ+ − :
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109
( ) ( )n1
n
W0
0,bn
st
n
st0,b
b
2sin1mffbg
sin11
sin11 −
ϕ+θ⋅σ⋅+⋅⋅⋅ρ
ϕ+
ϕ+
≈ρρ
( ) ( )n1
n
W0
0,bn1
n
st
n
st0,b
b
2sin1mffbg
sin11
sin11
2
−−
ϕ+θ⋅σ⋅+⋅⋅⋅ρ
ϕ+
ϕ+
≈ρρ
Mit den Exponenten: n1
nn1
nnnn1
)n1(nnnn1
n 2222
−=
−−+
=−
−⋅+=+
−
Die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(b) ist am Trichterauslauf:
( ) ( ) ( )n1
n
W0st
0,b
0,b
b
2sinsin11mffbg −
ϕ+θ⋅σ⋅ϕ+⋅+
⋅⋅⋅ρ≈
ρρ
(4.90)
Wegen n1n
b b −∝ρ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Auslaufbreite zu. Abweichend von Gl.(4.89) ist ρb(b=0)=0.
4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie
1. Massenfluß (Vermeidung einer stabilen Brückenbildung) • Vorauswahl von ϕe in der Nähe des erwarteten )()( 1
'11c σσ=σσ - Schnitt-
punktes für ff ≈ 1, d.h. etwa ( ) kPa5...31m
bgkrit,bkrit,1 ≈
+⋅⋅ρ
≈σ
⇒ liefert minimale Öffnungsweite einer möglichen Trichtereinschnürung bmin,st während des stationären Fließens, siehe Bild F 4.13,
• Maximale Trichterneigungswinkel θ = f(Wandreibungswinkel ϕw, ef-fektiver Reibungswinkel ϕe), F 4.6 und F 4.7
• kohäsionsloses Schüttgut, Bild F 4.5: quadratisch: kd5b omin ⋅⋅= (4.91)
kreisförmig: k08,1d5b o min ⋅⋅⋅= (4.92)
Schlitzbreite: 3d5b o min ⋅⋅= (4.93)
do ≈ d95 obere Stück- oder Partikelgröße k = 0,6...1,4 Partikelform abhängiger Parameter, k↑ wenn Kantigkeit↑
• kohäsives Schüttgut: • Vorauswahl ff = f(ϕe) F 4.11 anhand σc = f(σ1), F 4.13
• Auflagerspannung einer Schüttgutbrücke ff1'
1σ=σ mit dem Fließfaktor
( )θϕϕ= ,,fff We F 4.11
• bmin ausrechnen, F 4.5 • HTr berechnen, F 4.8 und F 4.9 • bmin,st berechnen, siehe Bild F 4.13 • Zeiteinfluß → siehe Bild F 4.15 • Anordnung von Austraghilfen → siehe Bild F 4.16
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110
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:
geg.: g/m5,5A ,m3d %,3,0X 2m,S50W =µ==
Bestimmung der Trichterneigung θ: °=ϕ 30W F 4.6 → θ = 14°-2° = 12° kon. Trichter °≈ϕ 55e F 4.7 → θ = 20° keilf. Trichter
Berechnung der Mindestaustragweite für Massenfluß, F 4.5 und F 4.11: für °≈ϕ 55e gewählt: ff = 1,3 kon. Trichter
ff = 1,2 keilf. Trichter ( ) Trichterkonischer m22,1
s/m81,9m/kg33312302sinkPa0,22b 23min =
⋅°+°⋅⋅
=
( ) Trichterer keilförmig m56,0s/m81,9m/kg338
20302sinkPa9,1b 23min =⋅
°+°⋅=
numerisch ausgewertet: °=ϕ 31W → θ = 12,4° kon. Tr.
θ = 20,9° keilf. Tr. bmin = 1,13 m kon. Tr. für ff = 1,37 bmin = 0,54 m keilf. Tr. für ff = 1,25 bmin,st für stationäres Fließen in einem konischen Trichter, ff = 1:
°=ϕ 37i , ϕst = 45°, σ0 = 0,355 kPa, ρb,0 = 297 kg/m³, n = 0,1
kPa714,1kPa355,045sin145sin2
sin1sin2
0st
stst,c =⋅
°−°⋅
=σ⋅ϕ−ϕ⋅
=σ
31,0
3n
st0,bst,b m/kg336
45sin11m/kg297
sin11
=
°−⋅=
ϕ−
⋅ρ=ρ
m04,1s/m81,9m/kg336
)3112(2sinkPa714,1)11(g
)(2sin)1m(b 23
b
wst,cstmin, =
⋅+⋅⋅+
=⋅ρ
ϕ+θ⋅σ⋅+=
Bestimmung der Trichterhöhe:
Tr. keilf. m01,320tan2
56,075,2H
Tr. kon. m6,312tan2
22,175,2H
Tr
Tr
=°⋅
−=
=°⋅
−=
und Wandneigung eines Pyramidenstumpfes:
°=
°=θ 6,812tan
21arctanWand
sowie der größten Hauptspannung im Auslauf:
Tr. keilf. kPa28,2kPa9,12,1
Tr. kon. kPa6,2kPa0,23,1
krit1,
krit,1
=⋅=σ
=⋅=σ
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111
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker
− Vermeidung einer stabilen Schachtbildung! → Bilder F 4.17 und F 4.18 − Kennwertefunktionen → siehe Bild F 4.19 − Gewöhnlich ist der Durchmesser konische Trichter zur Vermeidung der
Schachtbildung bS,min > bmin,Brücke; somit ist keine Berücksichtigung der Brü-ckenbildung notw.!
− Beachte: Beim keilförmigen Trichter entspricht bS,min ≡ dS,min der Diago-nalen des Schlitzauslaufes; deshalb muss die kritische Schlitzbreite bS,min zur Vermeidung der Brückenbildung überprüft werden, also:
Brückemin,2
min,S2
min,Smin,S bldb ≥−= (4.94)
und mit lS,min = 3.bS,min gemäß Gl.(4.51) folgt 2
min,S2
min,S2
min,S2
min,S2
min,S2
min,S b7b6blbd ⋅=⋅+=+=
Brückemin,min,Smin,Smin,S bd38,07/db ≥⋅== (4.95)
− Trotzdem kann in mangelhaft ausgelegten Kernflußbunkern selbstverständ-lich auch Brückenbildung auftreten, z.B. → Standard-Baustellensilos für Zement oder Kalkmehl.
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft
− Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement der Dicke dy → Voraussetzung: pv = const. über den Durchmesser D des Schaftes
ρb = const. F 4.20
( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ−⋅⋅+⋅−⋅+=↑=∑ (4.96)
vFh pp ⋅λ= (4.97)
hww ptanp ⋅ϕ= (4.98)
λF Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λF = 0 ... 1, wobei gilt: λF = 0 Festkörper λF = 1 iso- oder hydrostatischer Zustand (Flüssigkeit)
gpAUtan
dydp
bvwFv ⋅ρ=⋅⋅ϕ⋅λ+ (4.99)
Lösung: als gemeinsame Übung:
vwFbv p
AUtang
dydp
⋅⋅ϕ⋅λ−⋅ρ= 63
vb
v
Hpg
dydp
−⋅ρ=
Mit einer charakteristischen Höhe:
UtanAH
wF63 ⋅ϕ⋅λ= (4.100)
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112
Trennung der Variablen: v63bv
63 pHgdydpH −⋅⋅ρ=⋅
Integration für H = 0 sei pv = pv,0: ∫∫ =−⋅⋅ρ
⋅H
0
p
p v63b
v63 dy
pHgdpH
v
0,v
( ) HpHglnH v
0,v
p
pv63b63 =−⋅⋅ρ⋅−
( ) ( )63
0,v63bv63b HHpHglnpHgln −=−⋅⋅ρ−−⋅⋅ρ
630,v63b
v63b
HH
pHgpHgln −=
−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ und
−=
−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ
630,v63b
v63b
HHexp
pHgpHg
−⋅+
−−⋅⋅⋅ρ=
630,v
6363bv H
HexppHHexp1Hgp (4.101)
Für pv,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung8:
−−⋅⋅⋅ρ=
6363bv H
Hexp1Hgp ( 4.102)
Bild 4.11: Vertikaldruckverlauf pv über der Behälterhöhe H Es ist ( ) 63bv HgHp ⋅⋅ρ=∞→∞
und für H = H63 ist 37,01)1exp(1 −=−−
( ) 63b63v Hg63,0HHp ⋅⋅ρ⋅==
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:
4D
D4D
UA 2
=⋅π⋅
⋅π= (4.103)
⋅ϕ⋅λ⋅−−⋅
ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ
=DHtan4exp1
tan4Dgp wF
wF
bv (4.104)
• für Silos ist pv ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem Durchmesser aber großer Höhe,
• für Flüssigkeitstanks ist pv ∼ H, da Hgpv ⋅⋅ρ= , → man baut gedrungene
Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H)
Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der Vertikaldruck pv ≈ σiso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte je-doch ph = λ.pv). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren 8 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049
pv∞
0,63.pv∞
Hgb ⋅⋅ρ
H H63
pv
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113
Wandreibungswiderstandes pw →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der Füllhöhe H zu:
( ) Hgisobiso ⋅⋅σρ=σ (4.105)
In diese Gl.(4.105) wird die Kompressionsfunktion ρb = f(σiso) mit dem isosta-tischen Druck, Gl.(4.106), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:
n
0
iso
n
ist
i
0,b
b 1sinsin
sin
σσ
+⋅
ϕ+ϕ
ϕ=
ρρ (4.106)
0
n
0
iso
n
ist
i0,biso :Hg1
sinsinsin
σ⋅⋅
σσ
+⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅ρ=σ
1Hg1sinsin
sinn
0
iso
n
ist
i
0
0,b
0
iso +⋅⋅
σσ
+⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
σρ
=σσ
n
0
iso
n
0
iso
n
ist
i
0
0,b
0
iso 1:1Hg1sinsin
sin1
σσ
++⋅⋅
σσ
+⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
σρ
=σσ
+
n
0
iso
n
ist
i
0
0,bn1
0
iso 1Hgsinsin
sin1−−
σσ
++⋅⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
σρ
=
σσ
+
n11
n
0
iso
n
ist0
0,b
0
iso 1Hgsin/sin1
11−−
σσ
++⋅⋅
ϕϕ+
⋅σρ
=σσ
+ (4.107)
Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σiso(H) ist damit für ein kompressibles Pulver:
( ) 0
n11
n
0
ison
ist0
0,b0iso 1
sin/sin1Hg
σ−
σσ
++ϕϕ+⋅σ
⋅⋅ρ⋅σ=σ
−−
(4.108)
Gl.(4.108) läßt sich wegen σiso,i+1 = f(σiso,i) nur iterativ lösen. Häufig ist σiso > σ0 und deshalb ist der Term ( ) n
0iso /1 −σσ+ klein gegenüber
dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhen-abhängigkeit des isostatischen Druckes σiso = f(H) auch analytisch berechnen kann:
( )n1
1
nist0
0,b0iso sin/sin1
Hg −
ϕϕ+⋅σ⋅⋅ρ
⋅σ≈σ (4.109)
Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.107) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.106) ein
n1n
n
0
iso
n
ist0
0,bn
0
iso 1Hgsin/sin1
11−−
σσ
++⋅⋅
ϕϕ+
⋅σρ
=
σσ
+
und mit der Gl.(4.105) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhen-abhängigkeit der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als Iterationsgleichung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):
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114
n1n
n
0
b
n
ist
i
0
0,bn
ist
i
0,b
b Hg1Hgsinsin
sinsinsin
sin −−
σ⋅⋅ρ
++⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
σρ
⋅
ϕ+ϕ
ϕ=
ρρ
(4.110) Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt
0,b
n
ist
ib sinsin
sin)0H( ρ⋅
ϕ+ϕ
ϕ==ρ (4.111)
siehe auch Gl.(4.106) für σiso = 0. Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/Hg1 n
0b →σ⋅⋅ρ+ − :
n1n
n
ist
i
0
0,bn
ist
i
0,b
b Hgsinsin
sinsinsin
sin −
⋅⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
σρ
⋅
ϕ+ϕ
ϕ≈
ρρ
n1n
0
0,bn1
n
ist
i
n
ist
i
0,b
b Hgsinsin
sinsinsin
sin2
−−
⋅⋅
σρ
⋅
ϕ+ϕ
ϕ⋅
ϕ+ϕ
ϕ≈
ρρ
Mit den Exponenten: n1
nn1
nnnn1
)n1(nnnn1
n 2222
−=
−−+
=−
−⋅+=+
−
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D < 1,5:
n1n
0
0,b
ist
i
0,b
b Hgsinsin
sin −
σ
⋅⋅ρ⋅
ϕ+ϕϕ
≈ρρ (4.112)
Wegen n1n
b H −∝ρ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.111) ist durch die Ver-einfachung ρb(H=0) = 0.
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft
Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung wird der Vertikaldruck pv bzw. die größte Hauptspannung σ1 bei Füllen ausge-wählt, denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse des vertikalen Schaftes pv = σ1. Dazu müssen die Gl.(4.104) und die Kompres-sionsfunktion Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden:
−−⋅⋅⋅ρ=
6363bv H
Hexp1Hgp (4.104)
n
0
krit,1n
st0,b
krit,b 1sin11
σσ
+⋅
ϕ+
=ρρ
(4.67)
Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.104) gilt mit pv ≈ σ1:
( )
−−
ϕ+⋅⋅ρ
σ
+=63
nst
630,bn
0
vv H
Hexp1sin1
Hgp1p
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115
( )1
HHexp1
sin1Hgp1p1
63n
st0
630,bn
0
v
0
v +
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
σ
+=σ
+
( )
n
0
v
63n
st0
630,bn1
0
v p1HHexp1
sin1Hgp1
−−
σ
++
−−
ϕ+⋅σ
⋅⋅ρ=
σ
+
( )n1
1n
0
v
63n
st0
630,b
0
v p1HHexp1
sin1Hgp1
−−
σ
++
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
=
σ
+ (4.113)
Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes pv(H) ist somit für ein kompressib-les Pulver:
( ) 0
n11
n
0
v
63n
st0
630,b0v
p1HHexp1
sin1Hg
p σ−
σ
++
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
σ=−−
(4.114)
Gl.(4.114) läßt sich wegen pv,i+1 = f(pv,i) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos pv >> σ0 und deshalb ist der rechte Term ( ) n
0v /p1 −σ+ klein gegenüber dem
linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Füll-druckes pv = f(H) auch analytisch berechnen kann:
( )n1
1
63n
st0
630,b0v H
Hexp1sin1
Hgp
−
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
⋅σ≈ (4.115)
Der Horizontaldruck ist dann wegen ph = λ.pv:
( )n1
1
63n
st0
630,b00h H
Hexp1sin1
Hgp
−
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
⋅σ⋅λ≈ (4.116)
Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.113) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
( )n1
nn
0
v
63n
st0
630,bn
0
v p1HHexp1
sin1Hgp1
−−
σ
++
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
=
σ
+
und es folgt mit pv(ρb, H), Gl. (4.104), die Höhenabhängigkeit der Schüttgut-dichte eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsglei-chung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):
( )
n1n
n
0
bv
63n
st0
630,bn
st0,b
b )H,(p1HHexp1
sin1Hg
sin11 −−
σρ
++
−−
ϕ+σ
⋅⋅ρ
ϕ+
=ρρ
(4.117) Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt
( )nst
0,bb sin1
)0H(ϕ+
ρ==ρ (4.118)
siehe auch Gl. (4.67) für pv = σ1 = 0.
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116
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( ) 0/p1 n0v →σ+ − :
( )n1
n
63n
st0
630,bn
st0,b
b
HHexp1
sin1Hg
sin11 −
−−
ϕ+⋅σ
⋅⋅ρ⋅
ϕ+
=ρρ
n1n
630
630,bn1
n
st
n
st0,b
b
HHexp1
Hgsin11
sin11
2
−−
−−
σ⋅⋅ρ
⋅
ϕ+
ϕ+
=ρρ
Mit den Exponenten: n1
nn1
nnnn1
)n1(nnnn1
n 2222
−=
−−+
=−
−⋅+=+
−
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D > 1,5:
( )n1
n
63st0
630,b
0,b
b
HHexp1
sin1Hg −
−−
ϕ+⋅σ⋅⋅ρ
≈ρρ
(4.119)
Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füll-höhe zu. Abweichend von Gl.(4.118) ist durch die Vereinfachung ρb(H=0) = 0.
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ
(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit pv = ph und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:
1pp0
v
h <λ=< (4.120)
(2) Voraussetzung pv = σ1 und ph = σ2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der Achse des Schaftes erfüllt!
Es ist 21
21
M
Resin
σ+σσ−σ
=σσ
=ϕ (4.8)
e221e1 sinsin ϕ⋅σ−σ−=σ−ϕσ ( ) ( )e2e1 sin1sin1 ϕ+⋅σ=ϕ−⋅σ
im aktiven Spannungszustand pv ≈ σ1 bzw. ph ≈ σ2, siehe Bild F 4.21
v
h
e
e
1
2
pp
sin1sin1
≈ϕ+ϕ−
=λ=σσ
(4.121)
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven Spannungszustand
( ) ( )w2
e2
w2
w2
w2
sinsinsin-1= wenn sin1sin1
ϕ−ϕ⋅ϕ∆∆+ϕ+∆−ϕ−
=λ (4.122)
Liefert kleine λ und großes pv → daher Verwendung von gewöhnlich λ(3) für Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.
(4) Um einen großen Horizontaldruck ph (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Ver-wendung eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes
)sin1(2,1 e0 ϕ−⋅=λ (4.123)
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117
Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet (siehe dazu die Baustatik).
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht
Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszu-standes Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüt-tec_3.doc - Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialglei-chung erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen (stehenden) Schachtwand nx(ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransfor-mation jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers bS (JENIKE 1961, MOLERUS 1985)9,10:
12/b
xn2
Sx ≥
= (4.124)
( ) ( )
( ) 1n2sin
sin2cos4
sin1n12cossinsin1
dnd
xi
ix
ii
x −ψ
⋅ϕ−ψ⋅
ϕ+⋅+ψ⋅ϕ−ϕ−=
ψ (4.125)
Mit der Randbedingung
0)1n( x ==ψ , (4.126)
die aber wegen 00
...
...1n
2sin......)1n(
dnd
xx
x
⋅=−ψ
⋅==ψ singulär ist. Für den stabilen
Schacht mit seiner Druckfestigkeit σc kann auch folgende Grenzwertbetrach-tung angestellt werden:
ψ=
−ψ
⋅=σ⋅⋅⋅ρ
<→→
x1n
x1n
c
Sb
dndlim
1n2sinlim
21
4bg0
xx
(4.127)
und der nun formell in der Funktion G(ϕi) kurz gefaßt werden soll:
( )
ψ⋅=ϕ
→x
1ni dndlim4G
x
(4.128)
Für die Gln.(4.125) und (4.128) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche abgrenzen, siehe Bild F 4.22:
1) 31sin0 i ≤ϕ≤ , d.h. °≤ϕ≤ 5,190 i
Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.
9 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ. Utah, 1961 10 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik, S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985
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118
( ) 0dndlim4G
x1ni
x
=
ψ⋅=ϕ
→ (4.129)
Es sind keine stabilen Schächte möglich!
2) 21sin
31
i ≤ϕ≤ , d.h. °≤ϕ≤° 305,19 i
Mit der Transformation ζ = 1/nx, wobei für 1 ≤ nx < ∞ der Wertebereich 0 ≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen
i
i1 sin2
sin1cosϕϕ−
=ψ und (4.130)
1sin2sin3cos2sin1
ddlim ii
2
i2
i0
1
−ϕ+ϕ⋅ϕϕ+
−=ζψ
ψ→ψ→ζ
(4.131)
läßt sich die transformierte Differentialgleichung ( ) ( )
( ) ψ⋅ϕ−ψ⋅−ζζ
ϕ+⋅ζ+ψ⋅ϕ−ϕ−=
ζψ 2sin
sin2cos)1(4sin12cossinsin1
dd
i
iii (4.132)
numerisch lösen.
3) 1sin21
i<ϕ≤ , d.h. °<ϕ≤° 9030 i
Mit den adäquaten Startbedingungen
1sin2 i2 −ϕ⋅=ζ und (4.133)
( ) ( ) ( )4sin8sinsinsin11sin28
cosddlim ii
2i
ii
i
24i
2
−ϕ⋅+ϕ−ϕ⋅ϕ−⋅−ϕ⋅⋅
ϕ=
ζψ
ϕ−
π→ψ
ζ→ζ (4.134)
läßt sich die transformierte Differentialgleichung (4.132) ebenfalls nume-risch lösen.
Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕi) zusammengefasst und im Bild F 4.22 aufgetragen worden.
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi)
Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.(4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion G(ϕi) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕi in grd): Für ϕi < 19,5°: G(ϕi) = 1 (4.135) Für ϕi ≥ 19,5°: 2143,0)(G ii −ϕ⋅≈ϕ (4.136)
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze
Siehe auch Bild F 4.17: • Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen wKFKF 90 ϕ>θ−°=α muss
größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel. Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der
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119
geneigten Trichterwand bildet, → Bild F 4.2 Kernfluß, schraffierter Bereich im Volumenelement 8.
• Nach JENIKE11 (Bull. 123, S. 68. Gl.(20)) ist der Trichterneigungswinkel zur Vertikalen θKF einschließlich eines Sicherheitsabzuges:
WKF 65 ϕ−°≤θ (4.137)
• Zur Vermeidung des nicht entleerbaren Restgutes (Bild F 4.2) muss der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen αKF = 90° - θKF für ein kohäsives Schüttgut deutlich größer sein als der Rutschwinkel auf einer glatten Wand (≈ kinematischer Wandreibungswinkel φW) bzw. der Rutsch- oder Böschungswinkel der rauen Wand (≈ effektiver innerer Reibungswinkel φe). Deshalb kann man mit einem gewissen Sicherheitszuschlag von etwa 10° (freifließendes Schüttgut12) bis 25° (kohäsives Schüttgut) folgende Be-reiche für die Auslegung des Trichterneigungswinkels bei Kernfluß nutzen:
°+ϕ≤θ−°≤°°+ϕ 159025...10 eKFw (4.138)
Bild 4.12: Horizontaldruckspitze bei Bildung eines stabilen Kern-flusstrichters
Grenzwinkel und Grenzhöhe des Kernflußtrichters im Schaft: • θG,KF näherungsweise wie bei Massenfluß ermitteln, siehe F 4.6 und F 4.7 • Trichterhöhe bei der eine Spannungsspitze (sog. „Switch load“) des Hori-
zontaldruckes ph möglich ist:
KF,G
SminSKF,G tan2
)boderb()BoderD(Hθ⋅
−= (4.139)
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes
Ziel: Vermeidung einer stabilen Schachtbildung im Trichter und Schaft.
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung
Auslegungsmethode: 1) freifließendes Schüttgut bS,min = f(do) → wie Massenfluß, siehe Gl.(4.93)
11 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, p. 68, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ. Utah, 1964 12 Schulze, D., Pulver und Schüttgüter: Fließeigenschaften und Handhabung, S. 311, Springer Berlin, 2006
ph
ph θG, KF
HG, KF D oder B
bS
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120
2) kohäsives Schüttgut Aus der Gl.(4.127) folgt dann auch, siehe F 4.17
( ) ( )g
bzw. Gb
krit,b
iti1krit,cmin,S ⋅ρ
ϕϕ⋅σσ= (4.140)
G(innerer Reibungswinkel ϕi bzw. ϕit) siehe Funktion im Bild F 4.22 σ1 ≈ pv = f(ϕe, ϕw, ρb, Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe am Auslauf) nach
Gl.( 4.102) Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Fülldrücke13 Berechnungsmethode liegt auf der sicheren Seite, da größte Hauptspan-
nung σ1 in vertikaler Richtung in Bezug zur geringeren quergerichteten Ringspannung und der daraus resultierenden Druckfestigkeit des Schach-tes σc,krit gebracht wird. D.h. Verfestigung in vertikaler Richtung, Bruch aber in horizontaler Umfangsgrichtung → man beachte die Anisotro-pie14 kohäsiver Schüttgüter!
Das kann jedoch zu einer Überdimensionierung führen.
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen
Um deshalb eine Überdimensionierung zu vermeiden, wird neuerdings die Anisotropie zwischen der Richtung der Verfestigungsspannung und der Richtung der wirksamen Druckspannung innerhalb der ringförmigen Oberfläche eines Schachtes berücksichtigt15!
Die größte Hauptspannung σ1 wirkt beim Füllen und Verfestigen nähe-rungsweise in vertikaler Richtung. Nahezu horizontal wirkt dagegen die kleinere Hauptspannung σ2, siehe F 4.18.
Nach dem anschließenden konzentrischen Fließen innerhalb einer nähe-rungsweise zylindrischen Fließzone wirkt die effektive größte Haupt-spannung σ1’’ nahezu in horizontaler Umfangs- oder Ringrichtung am Rand (Oberfläche) der stabilen verfestigten Schachtwand.
Neu: Berechnung der Ringdruckspannung σ1’’ ≈ ph = f(ϕe, ϕw, ρb, Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe), d.h. Abschätzung des Seiten- oder Hori-zontaldruckes des Schachtes mit den Gln.(4.97) und ( 4.102).
Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Ringdruckspan-nung nach dem Füllen im verfestigten zylindrischen Schacht
Mit dieser Ringdruckspannung σ1’’ wird die kritische Druckfestigkeit σc,krit,Aniso mittels der Verfestigungsfunktion Gl.(4.53) berechnet:
13 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling, TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 3.30, Univ. Newcastle, 1980 14 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003 15 Ittershagen, T., Schwedes, J. and A. Kwade, Investigation of anisotropic behaviour of bulk solids, p. 48-61 , Proceedings RELPOWFLO IV, Tromsö 2008
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121
0,c11Aniso,krit,c ''a σ+σ⋅=σ ( 4.141)
Der Ringdruck σ1’’ ≥ σc,krit,Aniso muss mindestens der Festigkeit entspre-chen, um den Schacht zum Einsturz zu bringen!
( ) ( )g
bzw. G''b
krit,b
iti1Aniso,krit,cAnisomin,,S ⋅ρ
ϕϕ⋅σσ= (4.142)
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE
Voraussetzung: Gültigkeit des radialen Spannungsfeldes im Schacht, das unabhängig von der Füllhöhe H ist. Durch das vorherige Ausfließen einer Teilmenge des Schüttgutes im konvergenten Fließkanal sollte sich dieses passive radiale Spannungsfeld eingestellt haben.
Die Ringspannung σ1’’(Druckspannung) an der Schachtoberfläche16 ist:
d
11 ff
'' σ=σ (4.143)
σ1’’ kennzeichnet die wirksame größte Hauptspannung am Rand der trich-terförmigen rauen Wand des kohäsiven Pulvers als Folge des konvergen-ten Fließens, siehe Bild F 4.18 Mitte. Wegen der freien Schüttgutoberflä-che ist die Querspannung σ2’’ = 0, d.h. es entsteht wiederum ein einaxialer Spannungszustand.
Der dimensionslose Fließfaktor der Schachtbildung11 ist:
( ) 7,1Gsin4sin1ff i
e
ed ≥ϕ⋅
ϕ⋅ϕ+
= (4.144)
Es ist ffd > ff, als Mindestwert wird gewöhnlich ffd ≥ 1,7 gesetzt! Berechnung von σc,krit wie beim Massenfluß, d.h. die Versagens- oder
Fließbedingung für einen instabilen Schacht lautet σ1’’ ≥ σc: Der Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion 0,c11c a σ+σ⋅=σ Gl.(4.53), des
kohäsiven Pulvers mit der Ringspannungsfunktion, Gl.(4.143), ist:
d1
0,ckrit,c ffa1 ⋅−
σ=σ (4.145)
Und gemäß Gln.(4.59) und (4.140), Bilder F 4.17 und F 4.22 ( )
( )d1krit,b
i0,cmin,S ffa1g
Gb
⋅−⋅⋅ρϕ⋅σ
= (4.146)
Diese Berechnungsmethode liegt eher auf der unsicheren Seite. Beispiel Kalzitpulver geg.: kreisrundes Silo Di = 2,75 m und H = 12 m
16 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 1205, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003
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ww -65= 2590 ϕ°θ→°+ϕ=θ−° °θ→°=ϕ 35= 30w
→ meist für hohes v1 p=σ vorgewählt → °°+ϕ≈ϕ 3...1ste in der Nähe von ϕst gewählt
°≈ϕ→°°°°≈ϕ 47 ...31+ 46oder 44 ee Horizontaldruckverhältnis →→λ Füllen F aktives Spannungsfeld
( )( )
168,0sin1sin1
462,0sinsinsin1
w2
w2
F
w2
e2
w2
=∆+ϕ+∆−ϕ−
=λ
=ϕ−ϕϕ−=∆
1. Variante: über Vertikaldruckberechnung
m 09,7tan4
DHFw
63 =λ⋅ϕ⋅
=
( )[ ]kPa 84,23p
HHexp1Hgp
v
6363bv
=−−⋅⋅⋅ρ=
( ) 2,3G .const37 ii =ϕ→=°≈ϕ F 4.22
kPa 7,9=kPa 1,3+kPa 84,23277,0a 0,c11c ⋅=σ+σ⋅=σ
( )m 14,6
sm 81,9mkg 4203,2kPa 9,7
gG
b 23b
ikrit,cmin =
⋅⋅
=⋅ρ
ϕ⋅σ=
bmin = 6.14 m ⇒ damit >> Di und praktisch unsinnig groß!! → Vermeidung von Kernfluß bzw. Schachtbildung durch Massenfluß notw. 2.Variante: mittels ffd-Berechnung
( ) ( )
( )m 4,2
sm 81,9mkg 3723,2kPa 74,2
gb
kPa 74,21,90,277-1
kPa 3,1ffa1
9,137G47sin447sin1G
sin4sin1ff
23b
ikrit,cmin
d1
0,ckrit,c
iie
ed
=⋅⋅
=⋅ρϕσ⋅σ
=
=⋅
=⋅−
σ=σ
=°=ϕ⋅°⋅°+
=ϕ⋅ϕ⋅ϕ+
=
bmin = 2,4 m → im Allgemeinen bmin (pv) > bmin(ffd) → ansonsten Massenfluß auch damit notw.! Trichterhöhe:
m 25,035tan2
m 2,4- m 75,2tan2
bDHTr =°⋅
=θ⋅
−=
Größter Druck: kPa 5,2=kPa 74,29,1ff krit,cd1 ⋅=σ⋅=σ
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers
− Durch Imperfektionen der Schaftwände infolge geringfügiger lokaler
lt vorgewähkPa 25 fürmkg 420
1
3b
≈σ=ρ
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123
• vertikaler Einschnürungen, • hervorstehender Bolzen, Schrauben, Kanten oder Schweißnähte oder • umfänglicher radialer Unrundheiten (Exzentrizitäten)
können auch im schlanken Siloschaft Verstopfungen infolge der Bildung stabiler kohäsiver Schüttgutpfropfen infolge zu hoher Füllhöhen, verfesti-gender Vertikaldrücke und resultierender Schüttgutfestigkeiten auftreten.
− Zur Vermeidung dieser Verstopfungen im imperfekten Schaft wird ein ge-wisses konvergentes Fließen mit seitlicher Verdichtung und Konsolidation angenommen. Es gilt also eine stabile Brückenbildung zu vermeiden, F 4.23
− Mit Hilfe der Kombination der Dimensionierungsgleichung (4.15) zur Ver-meidung einer stabilen Brücken bei Massenfluss
( )0=für
g2sin2
Dbb
wkrit,cminmin θ
⋅ρθ+ϕ⋅σ⋅
=≅ (4.15)
und der linearen Verfestigungsfunktion kohäsiver Schüttgüter, F 4.10,
0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)
folgt:
g2sin2
ga2sin2D
b
0,cw
b
11w
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=⋅ρ
σ⋅⋅ϕ−
Darin wird die JANSSEN-Gleichung für das dominante (globale!) aktive Spannungsfeld des Schaftes bei vertikaler Verdichtung eingesetzt:
⋅ϕ⋅λ⋅−−
ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ
==σDHtan4exp1
tan4Dgp w
w
bv1 (4.104)
g2sin2
DHtan4exp1
tan4Dg
ga2sin2D
b
0,cww
w
b
b
1w
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=
⋅ϕ⋅λ⋅−−
ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ
⋅⋅ρ
⋅ϕ−
g2sin2
DHtan4exp1
tan22sinaDD
b
0,cww
w
w1
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=
⋅ϕ⋅λ⋅−−
ϕ⋅λ⋅ϕ⋅
⋅−
Mit WWW cossin22sin ϕ⋅ϕ⋅=ϕ und W
WW cos
sintanϕϕ
=ϕ folgt:
g2sin2
DHtan4exp1
cossin2
cossin2aDDb
0,cww
w
w
Ww1
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=
⋅ϕ⋅λ⋅−−
ϕϕ
⋅λ⋅
ϕϕ⋅⋅⋅−
g2sin2
DHtan4exp1cosaDD
b
0,cww
W2
1
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=
⋅ϕ⋅λ⋅−−
λϕ⋅
⋅−
g2sin2
DHtan4exp1cosa1D
b
0,cww
W2
1
⋅ρσ⋅ϕ⋅
=
⋅ϕ⋅λ⋅−−
λϕ⋅
−⋅
Somit folgt ein Schaftdurchmesser D ≥ Dmin:
⋅ϕ⋅λ⋅−−
λϕ⋅
−⋅⋅ρ
σ⋅ϕ⋅=
minw
w2
1b
0,cwmin
DHtan4exp1cosa1g
2sin2D (4.147)
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124
als Iterationsgleichung mit dem Startwert Dmin,0 = A/U bzw. bmin,kon. Wenn der {...}-Klammer-Ausdruck negativ wird, bedeutet dies Brückenbil-dung, d.h. die Füllhöhe H muß bei gegebenen Schaftdurchmesser D begrenzt werden, um die Verfestigungsspannung zu vermindern. D.h., die obige Gl.(4.147) muß nach H umgestellt werden:
λϕ⋅⋅⋅ρ
ϕ⋅σ⋅−
−⋅ϕ⋅λ⋅
−=<
w2
1
b
w0,c
wmax cosa
Dg2sin2
11ln
tan4DHH (4.148)
− beide Gln.(4.147) und (4.148) liegen auf der sicheren Seite. Berechnungsbeispiel Kalksteinmehl: → Dmin,0 = bmin für kon. Tr. als Startwert nehmen, d.h.
( )[ ]{ } =−−−=
⋅°⋅⋅−−⋅−
=
m22,1/656,4exp1237,115465,0D
m22,1m1230tan168,04exp1237,11
5465,0D
1min,
1min,
{ } 209,0− z Konvergenkeine beendet, Iteration ⇒
→ Dafür Dmin,0 = DSchaft = 2,75 m nehmen und die Höhe H von 12 m auf 10 m verkürzen:
( )[ ]{ }
{ } z! Konvergenkeine 0,211- Dm 00,1D
m 44,8m 75,2/m 88,3exp1237,11
m 5465,0D
min,3
2min,
1min,
⇒
=
=−−⋅−
=
Daher Brückenbildung im Schaft möglich! → Begrenzung der Füllhöhe notwendig:
°⋅⋅⋅°⋅⋅
⋅°⋅⋅
−=
167,0/30cos0,277m 2,759,81m/s kg/m 420
sin60kPa 1,32-1-1ln
30tan168,04m 75,2H 2
23
H= 7,32 m als Füllhöhenbegrenzung numerisches Ergebnis H = 7,49 m
→ gewöhnlich auf der sicheren Seite, d.h. größere Füllhöhen sind möglich ⇒ müssen aber praktisch überprüft werden ⇒ weitere Erfahrungen mit der Anwendung noch notwendig!
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4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl
geg. Bunkerschaft: D = 2,75 m H = 12 m Dmin < 0 → Brückenbildung, dafür Hmax = 7,32 m Tabelle 4.2: Auslegungswerte für ein Kalksteinmehl Bunkertrichter: θ
grd ff bzw. G(ϕi)
bmin m
Htr m
σ1 o. pv kPa
Kernfluß
über pv num.
35 32,6
3,2 3,33
6,14 6,0
Unsinn -2,55
23,8 21,55
über ffd num.
35 34,5
1,9 1,92
2,4 2,38
0,25 0,27
5,2 5,04
Massenfluß
kon. Tr. num.
12 12,4
1,3 1,37
1,22 1,13
3,6 3,68
2,6 2,65
keilf. Tr. num.
20 20,9
1,2 1,25
0,56 0,54
3,01 2,9
2,28 2,24
Diskussion der techn. Realisierbarkeit der Werte der Tabelle 4.2 anhand eines Normsilos, siehe auch Bild F 4.37 → sehr problematisch θ < 15° → riesige Trichterhöhen notwendig !!!
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126
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze
Das Kräftegleichgewicht beinhaltet das Schüttgutgewicht als treibende Kraft, den Reibungswiderstand und die Trägheitskraft17:
Bild 4.13: Kräfte an einem steifen Schüttgut-Blockelement mit seiner Masse mb auf einer um den Winkel α geneigten Wand oder Schurre.
∑ −−α⋅⋅== TRbx FFsingm0F (4.149)
∑ +α⋅⋅−== Nby Fcosgm0F (4.150)
Aus letzterem und ersterem folgen:
α⋅⋅= cosgmF bN (4.151)
RbbT FsingmxmF −α⋅⋅=⋅=
Für den Fall dass der Neigungswinkel der Schurre größer ist als der Wandrei-bungswinkel α ≥ ϕW (Gleitreibung auf der Schurrenwand), folgt mit dem Stoffgesetz für die Gleitreibung eines kohäsiven Schüttgutes18 - hier für den allgemeinen Fall einschließlich einer gewissen Wandadhäsion FA (für ein kohä-sionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut ist FA = 0):
( ) ( )ANWANWR FFtanFFF +⋅ϕ=+⋅µ=
( )
⋅α
+⋅⋅α⋅ϕ=+⋅α⋅ϕ=gmcos
F1gmcostanFgmcostanFb
AbWAbWR (4.152)
⋅α
+⋅⋅⋅α⋅ϕ−α⋅⋅=⋅gmcos
F1gmcostansingmxmb
AbWbb
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Schurre:
17 Tomas, freifließendes Schüttgut, hergeleitet 2011 18 Tomas, kohäsives Schüttgut, ergänzt 5_2013
α
mb.g
FN α
FR
x
y mb
.g.sinα
α
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127
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅=gmcos
F1costansingxb
AW (4.153)
Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz erhält man aus dem Bewegungsgesetz, Gl. (4.153), indem man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt18
vdxdt = (4.154)
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅=⋅gmcos
F1costansingdxdvv
b
AW (4.155)
und in den Grenzen zwischen v = 0 bis v sowie von x = 0 bis x integriert:
∫∫ ⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅=⋅x
0b
AW
v
0
dxgmcos
F1costansingdvv
xgmcos
F1costansing2v
b
AW
2
⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅=
Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz ist also:
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅=gmcos
F1costansinxg2vb
AW (4.156)
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration der Gl.(4.153) mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:
∫∫ ⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅==t
0b
AW
v
0
dtgmcos
F1costansingvxd
tgmcos
F1costansingvb
AW ⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅= (4.157)
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:
∫∫ ⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅=t
0b
AW
x
0
dttgmcos
F1costansingdx
2t
gmcosF1costansingx
2
b
AW ⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅= (4.158)
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅
⋅=
gmcosF1costansing
x2t
b
AW
2
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅
⋅=
gmcosF1costansing
x2t
b
AW
(4.159)
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128
und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.157), liefert wiede-rum das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:
⋅α
+αϕ−α
⋅⋅
⋅α
+αϕ−α=
gmcosF1costansing
x2gmcos
F1costansingv
b
AW
b
AW
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅
=
gmcosF1costansing
gmcosF1costansingx2
v
b
AW
2
b
AW
2
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅⋅⋅=gmcos
F1costansinxg2vb
AW (4.156)
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand
Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß
Bild 4.13 mit xhsin =α
⋅α
+⋅α⋅ϕ−α⋅α
⋅⋅=gmcos
F1costansinsin
hg2vb
AW
⋅α
+⋅αϕ
−⋅⋅⋅=gmcos
F1tan
tan1hg2vb
AW (4.160)
FA = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also der Neigungswinkel der Schurren α > φw werden, damit Fließen oder Glei-ten einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!
FA > 0: 1gmcos
F1tan
tan
b
AW <
⋅α
+⋅αϕ , 1
tantan
gmcosF
Wb
A −ϕα
<⋅α
Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist: ( )
W
W
W
W
W
W
Wb
A
sinsin
sinsincos
sincossincos
tansin
gmF
ϕϕ−α
=ϕ
ϕ⋅α−
ϕϕ⋅α
=α−ϕα
<
( ) Wb
AW sin
gmFsin ϕ⋅>ϕ−α ,
ϕ⋅>ϕ−α W
b
AW sin
gmFarcsin
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Schurrenneigungswinkel groß genug ist18:
ϕ⋅+ϕ>α W
b
AW sin
gmFarcsin (4.161)
Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei ver-gleichsweise flach geneigten Trichterwänden θKF = 90° - α im Kernflußre-
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129
gime, siehe Bild 4.14. Außerdem geht die allgemeine Gl.(4.161) für FA = 0 in die vorstehende Bedingung Wϕ>α über.
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung
→ Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“ Bild F 4.24
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze
Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand18,
(1) der Schurrenneigungswinkel α → φB in den Böschungswinkel, (2) der kinematische Wandreibungswinkel φw → φst in den stationären
(inneren) Reibungswinkel und (3) die Wandhaftung FA → FH0,b = σ0
.Ab geht in die Haftkraft unverfestigter Partikelkontakte des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe auch Schüttec_3.doc#sigma0. Der Term FH0,b/mbg wird ausgedrückt durch die Schichthöhe h0 des Blockelementes (σ0 isostatische Zugfes-tigkeit des unverfestigten Schüttgutes, ρb,0 Schüttdichte der lockeren Packung):
00,b
0
0b
0b0
b
b0
b
b,0H
hghgmhA
gmA
gmF
⋅⋅ρσ
=⋅⋅⋅σ
=⋅σ
= (4.162)
Gemäß Schüttec_3.doc#Haftkraftverhältnis_Abschätzung läßt sich das auch als Verhältnis der Haftkraft/Gewichtskraft eines einzelnen Parti-kels mit seiner Anzahl np in einer angenommenen Wirkungskette inter-pretieren, mit FH0/FG,p = 1 bis 108, siehe Tabelle 3.1 in Schüttec_3.pdf:
( )2
2
p,G
0H3
s
0H
p
b,0Hp d
m100FF
gd6/F
gmF
n µ≈=
⋅⋅π⋅ρ≈= (4.163)
Analog zur Gl.(4.153) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung:
ρ⋅ϕσ
+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅=00,bB
0BstB ghcos
1costansingx (4.164)
Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz erhält durch Integration des Bewe-gungsgesetzes (4.164), siehe auch Gln.(4.156) und (4.160):
ρ⋅ϕσ
+⋅ϕϕ
−⋅⋅⋅=00,bB
0
B
st
ghcos1
tantan1hg2v (4.165)
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.(4.157):
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130
tghcos
1costansingv00,bB
0BstB ⋅
ρ⋅ϕσ
+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅= (4.166)
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:
2t
ghcos1costansingx
2
00,bB
0BstB ⋅
ρ⋅ϕσ
+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅= (4.167)
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion:
ρ⋅ϕσ
+⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅
⋅=
00,bB
0BstB ghcos
1costansing
x2t (4.168)
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Bö-schungswinkel groß genug ist, siehe auch Herleitung der Gl.(4.161):
ϕ⋅
ρσ
+ϕ>ϕ st00,b
0stB sin
gharcsin (4.169)
Diese Fließbedingung läßt sich ebenfalls für das erforderliche Fließen am Rand der rauen Schüttgutwand der inneren Kernflusszone des Silos eines ver-gleichsweise flach geneigten Trichters θKF = 90° - φB anwenden, Bild 4.14:
Bild 4.14: Schüttgutreibung an geneigten Wän-den im Kernflußsilo, innere Reibung zwischen Fließ- und Totzone und an der raue Wand im resultierenden Schüttguttrichter des Flachbodens (links), Wandreibung an der flachen Wand (rechts, wie auf einer Schurre).
Darüber hinaus geht die allgemeine Gl.(4.169) für FH0,b = 0 in die vorstehende Bedingung stB ϕ>ϕ über.
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes
Man beachte, dass für α = 90° aus der Bewegungsgleichung eines Schüttgut-Blockelementes auf einer geneigten Schurre, Gl.(4.153), die Gesetze des freien Falls folgen:
a) Bewegungsgleichung:
Fließzone tote
Zone
ϕB
α = ϕ
w
ΘKF
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131
gx = (4.170)
b) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
tgv ⋅= (4.171)
c) Geschwindigkeits-Weg-Gesetz mit dt = dx/v:
gdxdvv =⋅ xg
2v2
⋅= (4.172)
xg2v ⋅⋅= (4.173)
d) Weg-Zeit-Gesetz:
2tgx
2
⋅= (4.174)
e) Zeit-Weg-Funktion:
gx2t ⋅
= (4.175)
Diese kinematischen Gesetze müssen nun im folgenden Abschnitt 4.6 für den ungleich komplizierteren und komplexeren Fall des gleichmäßig beschleunig-ten, reibungsbehafteten Ausfließens eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter hergeleitet werden:
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132
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes
Neben den technologischen Reservefunktionen und Störreserven dienen Schüttgutbehälter, wie z.B. Befülltrichter, Bunker oder Silos, der Vergleich-mäßigung von Mengenströmen, Partikelgrößenverteilungen, Dichten und che-misch-mineralogischer Zusammensetzungen. Um also für die mengenmäßige Vergleichmäßigung den Aufwand an Fördertechnik und Automatisierungstech-nik (Dosiertechnik) zu minimieren, muss die zu erwartende Schwankungsbreite des Massenstroms resultierend aus den möglichen Veränderungen der Schütt-guteigenschaften geklärt werden. Speicher sollen bekanntlich Schwankungen glätten und nicht noch mehr Störungen hervorrufen, als ohnehin in einer ver-fahrenstechnischen Anlage auftreten.
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit
Für das stationäre Ausfließen von Flüssigkeiten (= viskose Reibung!) aus Tanks gilt mit der Energiestrombilanz (Leistungsbilanz) bezogen auf den Mas-senstrom m , svw. spezifische Energiebilanz oder BERNOULLI-Gleichung (u Fluidgeschwindigkeit, p statischer Druck, y Höhenkoordinate):
.constygp2
u
l
2
=⋅+ρ
+ (4.176)
Bild 4.15: Ausströmen einer Flüs-sigkeit aus einem Tank
2l
222
1l
121 ygp
2uygp
2u
⋅+ρ
+=⋅+ρ
+ (4.177)
und der Volumenstrombilanz
2211 AuAu ⋅=⋅ (4.178)
21
22
222
22l
21
l
121
AAuuyg2p2yg2p2
2u ⋅
−=⋅⋅−ρ⋅
−⋅⋅+ρ⋅
+
y1
h
y2
y u2
p1
A2
A1
g
p2
u1
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133
( ) ( )21
22
l21212 A/A1
/pp2yyg2u−
ρ−⋅+−⋅⋅= (4.179)
Da nun ∆y = y1 – y2 = h die Behälterfüllhöhe darstellt, der Auslaufquerschnitt A2 << A1 viel kleiner als der Tankquerschnitt ist und oft Druckausgleich p1 = p2 herrscht, folgt die TORRICELLIsche Ausflußformel:
hg2u2 ⋅⋅= (4.180)
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes
Für das stationäre Ausfließen von Schüttgütern (COULOMB-Reibung!) aus Trichtern gilt jedoch entsprechend des radialen Spannungsfeldes, siehe auch Bild 4.1 sowie die Gln.(4.1) und (4.9),
)H(f)b(fvstat ≠= (4.181)
die Unabhängigkeit von der Füllhöhe H im Schaft. Diese physikalische Tat-sache und die einfache Abhängigkeit der stationären Auslaufgeschwindigkeit vstat von der Trichterauslaufbreite b begründete die jahrtausendlange stabile Funktionsweise der Zeitmessungen mittels Sanduhren (Stundengläser). Wenn man nun gemäß Gl.(4.190) die Trichterhöhe
θ⋅=
tan2bh (4.190)
einsetzt in Gl.(4.180), folgt eine einfache Basisgleichung
θ⋅
=tan
bgvstat (4.182)
für die nachfolgenden Modellbetrachtungen. Eine Durchsicht der sehr umfangreichen Literatur zum Ausfließen von Schütt-gütern (Überblick bei SCHWEDES [1]), zeigte, daß nur Johanson [3] den Fließeigenschaften kohäsiver Schüttgüter Bedeutung beimaß. Für die überwie-gend kohäsionslosen Schüttgüter berücksichtigen Beverloo [2] die Partikelkollisionen, Keller und Gjâcev [4] die Instationarität sowie Carleton [5] und Crewdson [6] den Luftwiderstand feiner Partikeln, Bild F 4.25. Im Folgenden wird ein allgemeingültiges Prozessmodell sowohl für das gleichmäßig beschleunigte (instationäre) als auch für das stationäre Ausflie-ßen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter vorge-stellt, in dem die wesentlichen Stoffeigenschafts-, Prozess- und Apparate-größen gleichermaßen als verfahrenstechnische Prozesseinheit Berücksichti-gung finden.
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134
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten Ausflie-ßens einer kohäsiven Schüttgutbrücke
• Beim Ausfließen eines feinkörnigen Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter dehnt sich dieses aufgrund der abnehmender Spannungen zur Trichterspitze hin aus (Dilatanz), siehe Bild 4.4. Dadurch wird ein Unter-druck in den Porenräumen der Schüttgutbrücke erzeugt, der eine Fluid-strömung entgegen der Austragsrichtung durch das Gut hindurch bewirkt.
• Außerdem muss man häufig gegen einen leichten Überdruck der Umge-bung oder Unterdruck innerhalb des geschlossenen Behälters austragen - man denke dabei an die Blasenbildung und Luftrückströmung beim Ausgie-ßen von Getränken aus geschlossenen Flaschen.
4.6.2.1 Modellbildung
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke
Das Kräftegleichgewicht der Gewichtskraft FG, Trägheitskraft FT und Aufla-gerkraft FV einer gleichmäßig beschleunigten, dynamischen Brücke eines kohäsiven Schüttgutes unter Berücksichtigung der Fluid-Widerstandkraft FF einer Fluidgegenströmung durch das fließende Schüttgutbett innerhalb des Trichters liefert (dhB inkrementelle Schicht- oder Brückenhöhe, F 4.4:
BBbG dhAgdF ⋅⋅⋅ρ= (4.183)
BB1V dhUsincosdF ⋅⋅δ⋅δ⋅σ′= (4.184)
dtg*dvdFdhAadF GBBbT ⋅
⋅=⋅⋅ρ⋅= (4.185)
BBB
F dhAdhdpdF ⋅⋅= (4.186)
∑ ↓= 0dF und damit FTVG dFdFdFdF0 −−−=
Einsetzen der obigen Gln.(4.183) bis (4.186 liefert:
BBB
BBbBBB
B1BBb dhA
dhdpdhAadhA
AU
22sindhAg0 ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅−⋅⋅⋅δ
⋅σ′−⋅⋅⋅ρ=
Für σ1’ = σc,krit und δ = θ + ϕw ist bekanntlich, siehe Gl. (4.15):
( )g
2sin)1m(b
b
wkrit,cmin ⋅ρ
θ+ϕ⋅σ⋅+= (4.15)
Einsetzen:
Bb1b dh
dpab
1m2sing0 −ρ⋅−+
⋅δ⋅σ′−⋅ρ= g
1b ⋅ρ
⋅
Bb
min
dhdp
g1
ga1
bb
⋅⋅ρ
−−= (4.187)
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135
Die vertikale Beschleunigung a = dv*/dt der Schüttgutströmung aus der Ruhe-lage, z.B. durch Öffnung des Schiebers oder kurzzeitige Brückenbildung, setzt sich sowohl aus dem Anteil (1) durch die Querschnittsverengung des Trichters, svw. Trichterkonvergenz
∂A/∂h, als auch aus (2) der Bremswirkung infolge der reinen Trägheitswirkung der dynamischen
Schüttgutbrücke (Anlaufvorgang) ∂v/∂t zusammen
dtA
AV
AtVdt
)t,h(A)t(Vd
dt)t,h(dva 2 ∂
∂⋅−
⋅∂∂
=
==
, (4.188)
mit: vhA
th
hA
tA
⋅∂∂
=∂∂⋅
∂∂
=∂∂
wobei der Volumenstrom im gesamten Trichter konstant bleibt, d.h. für die Kontinuitätsbedingung wird näherungsweise ein inkompressibles Schüttgut ρb ≈ const. angenommen, )h(f)t(V ≠ . Einsetzen liefert:
dhAdAv
dtdvv
dhdA
AV
dtdva 2
2 ⋅⋅−=⋅⋅−=
(4.189)
Nebenrechnungen: θ⋅⋅= tanh2b (4.190)
θ⋅⋅
θπ=π
θ=
tanh2l=bl= A
tanhb4
= A
tanh4b= A
222
222
(4.191)
Bild 4.16: Trichtergeometrie
Wenn die Höhenkoordinate h von oben beginnend angesetzt wird, nimmt die Trichterquerschnittsfläche A nach unten ab. Diese Flächenabnahme dA/dh muß dann mit einem - Vorzeichen versehen werden. Aus Bild 4.16 folgt für einen quadratischen Auslauf
btan4
h2
tanh4tanh8=
dhdA
A1
22
2 θ⋅−=−=
θθ
−⋅ ,
runden Auslauf
btan4
h2
tanytany2=
dhdA
A1
22
2 θ⋅−=−=
θπθπ
−⋅
und schlitzförmigen Auslauf:
btan2
h1
tanyl2tanl2=
dhdA
A1 θ⋅
−=−=θθ
−⋅ (4.192)
Allgemeingültig liest man aus den obigen Gln.(4.192) nun mit dem Trichter-formfaktor m ab:
btan)1m(2
h1m
dhdA
A1 θ⋅+⋅
−=+
−=⋅ (4.193)
b/2
θ
x
y, h
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136
Damit folgt schließlich für die Beschleunigung des beginnenden Fließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Trichter:
2vb
tan)1m(2dtdva ⋅
θ++= (4.194)
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ≠ f(x) wird hier über dem Trichterquerschnitt als konstant vorausgesetzt, siehe Bild 4.16. Eingesetzt in Gl.(4.187) ergibt sich nun die folgende Bewegungsgleichung als inhomogene, nichtlineare Differen-tialgleichung erster Ordnung für die Auslaufgeschwindigkeit v(t) des begin-nenden Fließens der kohäsiven Schüttgutbrücke:
−⋅=
ρ+⋅
θ⋅+⋅+
bb1g1
dhdpv
btan)1m(2
dtdv min
bB
2 (4.195)
Wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckverlustes während der Durchströmung der fließenden Schüttgutbrücke (-bettes) dp/dhB = f(ur) ist mit der Relativgeschwindigkeit vuur
−= für ein ruhenden Fluid u = 0 vur
= :
−=⋅
⋅ρ
⋅θ+
+θ+
+b
b1gvudh/dp
tan)1m(2b1
btan)1m(2
dtdv min2
2rb
B (4.196)
Der Term (1- bmin/b) erfasst den Fließwiderstand bzw. die Trägheitswirkung einer kohäsiven Brücke in dem konvergenten Fließkanal, d.h. die Behinderung des Trichterausflusses aufgrund der kohäsiven Schüttguteigenschaften. Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Brückenbildung bmin ist im Wesentlichen ein der Trichtergeometrie äquivalentes Eigenschaftsmaß der inneren Haftkräfte innerhalb des kohäsiven Schüttgutes.
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung
Der Druckverlust dp/dhB der nach unten fließenden, statistisch homogen durchströmten Schüttgutbrücke hängt selbstverständlich von der Durch-strömungsgeschwindigkeit der Luft in den Poren uε und damit von der Austragsgeschwindigkeit v ab. Infolge der Druckabnahme dehnt sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen aus (Dilatanz). In den Poren der Brücke wird ein Unterdruck erzeugt. Deshalb wird Luft „ansaugt“ und folglich das Fließen der Schüttgutbrücke durch diese Luftgegenströmung abgebremst. Wenn sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen durch ein umgebendes ruhen-des Fluid hindurchbewegt wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwi-schen Fluid und Brücke ur (kein Schlupf und zusätzliche Anströmung u = 0) der Brückenaustraggeschwindigkeit v entsprechen:
vvuur
≅−= , (4.197)
Folglich sind alle nachfolgenden Kennzahlen mit der Relativgeschwindigkeit ur zu bilden. Anstelle dessen kann auch strömungsdynamisch analog die ho-mogene Durchströmung einer ruhenden Brücke v = 0 betrachtet werden:
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137
uvuur
≅−= (4.198)
Somit ist der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit (Leerrohrgeschwindigkeit) u und der mittleren Geschwindigkeit εu der durch-
strömten Kanäle des Durchmessers dε, wie folgt darstellbar:
ε=ε /uu (4.199) Die mittlere Porengröße εd wird als hydraulischer Durchmesser mittlerer cha-
rakteristischer zylindrischer Kanäle dh, siehe Schüttec_3.doc – hydraulischer-Durchmesser Gl.(3.142), modelliert:
)1(3d2d ST
ε−⋅⋅ε⋅
=ε (4.200)
Dabei ist dST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten Schüttgutbrücke, Gl.(1.70) MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:
∫−
==−
o
u
1d
d3
3,1ST
)d(d)d(qd
1M
1d (4.201)
Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (= Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströ-mungsproblem der Partikelschüttung auszudrücken19 (ρf Fluiddichte)
2f
,W
uA/F2
Euε
εε ⋅ρ
⋅= (4.202)
FW,ε Widerstandskraft in den Kanälen Mit der homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche AA ⋅ε=ε
und der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form des Po-rendurchmessers Vε/Aε ⇒ dε folgt mit dem Druckverlust der Schüttschicht (In-dex B für eine Schüttgutbrücke oder Festbett)
( )( ) ε⋅ε⋅ρ
⋅⋅= ε
2rf
BB /u
ddh/dp2Eu (4.203)
und mit der Gl.(4.200):
( ))1(u3ddh/dp4Eu 2
rf
ST2
BB ε−⋅⋅ρ⋅
⋅ε⋅⋅= (4.204)
Der Druckverlust des Festbettes ist somit:
BST
2
2rf
B
Eud4
)1(u3dhdp
⋅⋅ε⋅
ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)
Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl und somit vom mittleren Porendurchmesser dε ab20, Gl. (4.200):
19 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 10, Chapman, London 1993
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138
f2
fr
f
fSTr
2)1(du3d)/u(
Reη⋅ε⋅
ε−⋅ρ⋅⋅⋅=
ηρ⋅⋅ε
= ε (4.206)
ηf dynamische Fluidviskosität oder mit ff /ρη=υ kinematische Fluidviskosität
Der Durchströmungswiderstand Eu = f(Re) wird nun wie folgt quantifiziert:
4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen
Für die im Allgemeinen laminaren bis turbulenten Durchströmungsbedingun-gen beim Ausfließen muss Re < 104 erfüllt sein (man beachte die Analogie, bei der Umströmung soll Re < 2⋅105 sein). Nach MOLERUS21 (1982) folgt für das Festbett Schüttec_3.doc - Druckverlust_Festbett_Molerus
1,095,0
5,1
95,095,0
2
B Re891,0
ad4,0
ad12,01
Re4
ad
21
ad692,01
Re24Eu ⋅
++
⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅=
(4.207)
für die Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis), siehe dazu das Würfelzellenmodell ../VO_MVT_Neu/MVT_e_1neu.doc#a_phis
3
3
95,0 195,01
ad
ε−−ε−
=
mit (4.208)
( ) 95,013max =ε− d.h. (1-ε)max = 0,8574 (4.209)
und für eine homogene Wirbelschicht (expandierendes Festbett) Der Druckverlust läßt sich in diesem Falle aus der um den statischen Auf-trieb verminderten Gewichtskraft der schwebenden Schüttung berechnen:
( ) g)1(dh
dpfsWS
WS
⋅ρ−ρ⋅ε−= , (4.210)
wobei die Feststoffdichte wesentlich größer als die Fluid- oder gewöhnlich Gasdichte ρs >> ρf ist:
( ) ggdh
dpWS,bfs
s
WS,b
WS
⋅ρ≈⋅ρ−ρ⋅ρ
ρ= (4.211)
ρb,WS Schüttgutdichte im Wirbelschichtzustand (Index WS) Damit ist die EULER-Zahl im Wirbelschichtzustand
( )2rf
ST2
fsWS u3
dg4Eu⋅ρ⋅
⋅ε⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.212)
Es folgt Schüttec_3.doc - Druckverlust_Wirbelschicht_Molerus:
20 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 17, Chapman, London 1993 21 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 27, Chapman, London 1993
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139
1,0
5,12
WS Re907,0
ad4,0
ad07,01
Re4
ad
21
ad341,01
Re24Eu ⋅++
⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅=
(4.213) mit der Porositätsfunktion (Verhältnis Partikelgröße-Oberflächenabstand)
3
3
9,0 19,01
ad
ε−−ε−
=
und (4.214)
( ) 9,013max =ε− d.h. (1-ε)max = 0,729 (4.215)
Man beachte insbesondere die physikalische Plausibilität dieser Durchströ-mungsgleichungen, die andere Modelle (z.B. ERGUN-Gleichung oder Gln. in der FLUENT-Software) leider nicht bieten können, d.h. als Grenzwert der ex-pandierenden Wirbelschicht (Flugstaubwolke) muss sich der Widerstand der Umströmung der Einzelpartikel (ideal glatte Kugeln) WWS1
cEulim =
→ε ergeben:
4,0Re4
Re24cEu)1(Eu WKugelWS ++====ε , (4.216)
wobei sich die folgenden Einflüsse auf die Durchströmungs- bzw. Umströ-mungsbedingungen abgrenzen lassen: ⇒ { }...Re
24 ⋅ Term für laminare Durchströmung, Re < 1…10,
⇒ { }...Re
4 ⋅ Übergangsterm und
⇒ 0,4 + ... Term für turbulente Durchströmung, Allerdings muss hier Re < 104 erfüllt sein (bei Umströmung Re < 2⋅105).
4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens
Aus der Bewegungsgleichung (4.196) und unter Berücksichtigung des zusätzli-chen Widerstandes infolge eines äußeren Überdruckes dpa, Gl.(4.279),
ρ
−−=⋅
⋅ρθ+
+θ+
+gdH/dp
bb1gv
udh/dp
tan)1m(2b1
btan)1m(2
dtdv
b
amin22rb
B
(4.217) sowie mit den Gln.(4.198) und (4.205)
)u(Eud4
)1(u3dhdp
rBST
2
2rf
B
⋅⋅ε⋅
ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)
)u(Eud4
)1(3udh/dp
rBST
2b
f2rb
B ⋅⋅ε⋅ρ⋅ε−⋅ρ⋅
=⋅ρ
und sbs
b
b
11ρ
=ρ⋅ρ
ρ=
ρε−
ST2
s
rBf2rb
B
d4)u(Eu3
udh/dp
⋅ε⋅ρ⋅⋅ρ⋅
=⋅ρ
(4.218)
folgt die allgemeine Bewegungsgleichung (Differentialgleichung erster Ord-nung) des beginnenden, gleichmäßig beschleunigten und instationären Aus-fließens kohäsiver Schüttgüter aus einem konvergenten Trichter:
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140
( )
ρ
−−⋅=⋅
θ+ρε
⋅ρ⋅⋅+⋅
θ⋅++
gdH/dp
bb1gv
tan)1m(d8)t(vEub31
btan)1m(2
dtdv
b
amin2
s2
ST
Bf
(4.219) Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich diese Dif-ferentialgleichung (4.219) bequem umstellen:
( )
θ⋅+⋅ρ⋅ε⋅⋅
⋅ρ⋅⋅+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅⋅=
tan)1m(d8vEub31tan)1m(2
gdH/dp
bb
1bg)b(v
s2
ST
stBf
b
astmin,
st (4.220)
Für das stationäre Fließen sollte nun statt bmin die etwas kleinere minimale Öffnungsweite des stationäres Ausfließen bmin,st gemäß Gl. (4.72) eingesetzt werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite von exakt b = bmin,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich vst = 0. Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender Druckdifferenz dp/(dhB
.ρb.u2) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit
der EULER-Zahl EuB(vst) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflus-ses berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben. Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl. (4.219), lässt sich wegen der komplizierten nichtlinearen Abhängigkeit von den Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten EuB = Re(v(t)), Gl.(4.207), nur numerisch lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode
Gleichung (4.219) wird unter Verwendung von Gl.(4.248) umgeschrieben
( ) [ ]
ρ
−−⋅+⋅+⋅⋅−⋅
θ⋅+−==
gdH/dp
bb1g)t(vc1
b/dk1btan)1m(2)t,v(f
dtdv
b
amin2Eu
b
(4.221)
mit dem Parameter cEu, EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:
( )θ⋅+⋅ρ⋅ε⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ρ⋅
=tan)1m(d8
b/dk1b)))t(v(Re(Eu3cs
2ST
bBfEu (4.222)
1,03
35,1
3
3
2
3
3
3
3
B
Re891,0
195,014,0
195,0112,01
Re4
195,01
21
195,01692,01
Re24Eu
⋅
ε−−ε−
++
ε−−ε−
⋅+⋅
⋅+
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+⋅=
(4.223)
f
fSTd)t(vReη⋅ε
ρ⋅⋅= (4.224)
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141
Für festzulegende Startwerte t0, v0, Endwerte tmax, sowie der Anzahl der Funk-tionswerte n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1 Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)
n/th max= (4.225)
α⋅= h:h (4.226) htt k1k +=+ (4.227)
wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k0(k) bis k3(k) in k = 1 ... n Schritten gelöst:
h)kv,ht(fk
h)k5,0v,h5,0t(fk
h)k5,0v,h5,0t(fk
h)v,t(fk
)k(2kk)k(3
)k(1kk)k(2
)k(0kk)k(1
kk)k(0
⋅++=
⋅⋅+⋅+=
⋅⋅+⋅+=
⋅=
(4.228)
Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der
Schranke 1,0...01,0kkkk
)k(0)k(1
)k(1)k(2 <−
− (4.229)
geregelt. Die Funktionswerte der Auslaufgeschwindigkeit sind dann:
[ ]3210k1k kk2k2k61vv +⋅+⋅+⋅+=+ (4.230)
Programmausschnitt mit RUNGE-KUTTA-Algorithmus aus Borland-PAS-CAL-Unit „SZTr.Pas“ der eigenen Berechnungssoftware „SZNeu.Exe“ zur Auswertung von Scherzellenmeßergebnissen und Bunkerdimensionierung22: with TR[k]^ do begin {Variablenvektor mit Index k} alfa:=0.9; {selbst kontrollierende Schrittweite 0<alfa<1} h:=tmax/nt; h:=h/alfa; x:=t; yapprox:=v1; repeat {Lösungsalgorithmus nach RUNGE-KUTTA} h:=h*alfa; xmid:=x+h/2; k0:=fv(x,yapprox)*h; k1:=fv(xmid,yapprox+k0/2)*h; k2:=fv(xmid,yapprox+k1/2)*h; k3:=fv(x+h,yapprox+k2)*h; if abs(k1-k0)<0.1E-37 then k0:=0.1E-20*k1; {Schutz vor Absturz} until abs((k2-k1)/(k1-k0))<10*epsilon; x:=x+h; {regelt Rechenaufwand und Anpassungsgüte mit epsilon=0.001}
22 In: Tomas, J., Winter, M., Bremerstein, J., 8/1992, ergänzt 4/2013
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
142
t:=x; yapprox:=yapprox+(k0+2*k1+2*k2+k3)/6; v1:=yapprox; …
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung
Aus didaktischen Gründen werden zunächst die mathematisch einfacheren Nä-herungslösungen für die turbulente Durchströmung bevorzugt. Anschließend folgen die analytischen Lösungen für die laminare Durchströmung.
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Be-schleunigungsphase, d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangs-bereiches der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm dp/(dhB
.ρb.ur
2) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten Widerstandsbeiwert cW bei der Partikelumströmung, Gl.(4.216), siehe auch ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf. Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnitts-weisen Konstanz der Eulerzahl EuB ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung (4.217) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammen-hänge der Auslaufdynamik Klarheit zu verschaffen:
ρ
−−=⋅
⋅ρθ+
+θ+
+gdH/dp
bb1gv
udh/dp
tan)1m(2b1
btan)1m(2
dtdv
b
amin22rb
B
(4.217) Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoff-wert (Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst für dv/dt = 0 berechnet:
ρ
−−=⋅
⋅ρθ+
+⋅θ+
+
=
gdH/dp
bb1gv
udh/dp
tan)1m(2b1
btan)1m(20
dtdv
b
amin2st2
rb
B
⋅ρ
⋅θ⋅+⋅
+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅=
2b
B
b
amin
2st
udh/dp
tan)1m(2b1
btan)1m(2
gdH/dp
bb1g
v
Im Vergleich zur Gl.(4.220) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit in einer etwas veränderten Schreibweise:
⋅ρ⋅
θ⋅+⋅+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅⋅=
2st,rb
Bst,r
b
amin
st
udh/)u(dp
tan)1m(2b1tan)1m(2
gdH/dp
bb1gb
v (4.231)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
143
Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung (4.217) umgeformt
22rb
B
b
amin vudh/dp
btan)1m(2
gdH/dp
bb1g
dt)t(dv
⋅
⋅ρ
+θ+
−
ρ
−−⋅= ,
mit dem Druckverlust bei stationärer Durchströmung 2st,rb
Bst,r
udh/)u(dp
⋅ρ erweitert
22rb
B
2st,rb
Bst,r
2st,rb
Bst,r
2
b
amin vudh/dp
udh/)u(dp
udh/)u(dp
vb
tan)1m(2gdH/dp
bb1g
dt)t(dv
⋅⋅ρ
⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅
θ+−
ρ
−−⋅= ,
der rechte Term dp(ur,st)....v2 wird mittels der umgeformten Gl.(4.231) ersetzt
ρ
−−⋅=⋅ρ
+θ⋅+⋅
gdH/dp
bb1
vg
udh/)u(dp
btan)1m(2
b
amin2st
2st,rb
Bst,r
btan)1m(2
gdH/dp
bb1
vg
udh/)u(dp
b
amin2st
2st,rb
Bst,r θ⋅+⋅−
ρ
−−⋅=⋅ρ
, (4.232)
umformen der rechten Terme
2
b
amin2st
2st,rb
Bst,r
2rb
B
2 vb
tan)1m(2gdH/dp
bb1
vg
udh/)u(dp
udh/dp
vb
tan)1m(2...dt
)t(dv⋅
θ⋅+⋅−
ρ
−−⋅⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅
θ+−=
2st
2
b
amin
2st,rb
Bst,r
2rb
B
2
2st,rb
Bst,r
2rb
B
vv
gdH/dp
bb1g
udh/)u(dp
udh/dp
v
udh/)u(dp
udh/dp
1b
tan)1m(2...dt
)t(dv⋅
ρ
−−⋅⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅θ+
−=
2
2st,rb
Bst
2rb
B
2st
2
b
amin
2st,rb
Bst
2rb
B
b
amin v
udh/dpudh/dp
1b
tan)1m(2vv
gdH/dp
bb1g
udh/dpudh/dp
gdH/dp
bb1g
dt)t(dv
⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅θ+
−⋅
ρ
−−⋅
⋅ρ
⋅ρ−
ρ
−−⋅=
ausklammern und es folgt eine erweiterte allgemeine Bewegungsgleichung, die wie die Differentialgleichungen (4.217) oder (4.219) nur numerische lös-bar ist, siehe Abschnitt 4.6.2.3:
2
2st,rb
Bst
2rb
B
2st
2
2st,rb
Bst
2rb
B
b
amin v
udh/dpudh/dp
1b
tan)1m(2vv
udh/dpudh/dp
1gdH/dp
bb1g
dt)t(dv
⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅θ+
−
⋅
⋅ρ
⋅ρ−⋅
ρ
−−⋅=
(4.233) Für eine analytische Lösung wird vereinfachend der Druckverlust als ab-schnittsweise konstant angenommen, so dass dessen Verhältnis ≈ 1 ist
1u
dh/)u(dpudh/dp
2st,rb
Bst,r2rb
B →⋅ρ⋅ρ
(4.234)
Dies liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung:
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144
−⋅
ρ
−−⋅= 2st
2
b
amin
vv1
gdH/dp
bb1g
dt)t(dv (4.235)
Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ vst
∫∫==
⋅
ρ
−−⋅=−
t
0tb
amin2st
v
0v22
st
dtgdH/dp
bb1
vg
vvdv (4.236)
auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung23:
−
−+
⋅⋅
=
−+
⋅⋅
=−∫
= st
st
s
s
st
v
0st
st
st
v
0v22
st vvln
vvvvln
v21
vvvvln
v21
vvdv
Die rechte Seite der Integralgleichung (4.360) ergibt:
tgdH/dp
bb1
vgdt
gdH/dp
bb1
vg
b
amin2st
t
0tb
amin2st
⋅
ρ
−−⋅=⋅
ρ
−−⋅ ∫=
Beide Integrale ergeben zusammen:
tgdH/dp
bb1
vg
vvvvln
v21
b
amin2sts
s
st
⋅
ρ
−−⋅=
−+
⋅⋅
Auflösen nach v:
tgdH/dp
bb1
vg2
vvvvln
b
amin
stst
st ⋅
ρ
−−⋅⋅
=
−+
⋅
ρ
−−⋅⋅
=−+ t
gdH/dp
bb1
vg2exp
vvvv
b
amin
stst
st
( )
⋅
ρ
−−⋅⋅
⋅−=+ tgdH/dp
bb1
vg2expvvvv
b
amin
ststst
stb
amin
stst
b
amin
st
vtgdH/dp
bb1
vg2expvt
gdH/dp
bb1
vg2expvv −
⋅
ρ
−−=
⋅
ρ
−−+
−
⋅
ρ
−−=
⋅
ρ
−−+ 1tgdH/dp
bb1
vg2expvt
gdH/dp
bb1
vg2exp1v
b
amin
stst
b
amin
st
Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit:
1tgdH/dp
bb1
vg2exp
1tgdH/dp
bb1
vg2exp
v)t(v
b
amin
st
b
amin
stst
+
⋅
ρ
−−⋅⋅
−
⋅
ρ
−−⋅⋅
⋅=
Dies lässt sich mit der tanh-Funktion24 deutlich übersichtlicher gestalten:
( )( ) ( ) 1y1mitxtanh
1x2exp1x2expy <<−=
+−
= (4.237)
23 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991. 24 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Ver-lagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
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145
Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergen-ten Trichter:
⋅
ρ
−−⋅⋅
⋅= tgdH/dp
bb1
vg2tanhv)t(v
b
amin
stst
mit der für die tanh-Funktion typischen Relaxationszeit t76, siehe Gl.(4.242),
ρ
−−⋅=
gdH/dp
bb1g
vt
b
amin
st76 , (4.238)
( ) ( )76st t/ttanhvtv ⋅= (4.239)
und mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.(4.231):
⋅ρ
⋅θ⋅+⋅
+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅⋅=
2rb
B
b
amin
st
udh/dp
tan)1m(2b1tan)1m(2
gdH/dp
bb1gb
v (4.231)
Die tanh-Funktion ist typisch für diesen von der Schwerkraft getriebenen aber von der Luftdurchströmung und Pulverkohäsion behinderten Auslaufprozess. Anstieg und charakteristische Auslaufzeiten Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.235) berechnen:
=−⋅
ρ
−−⋅==
2st
2
b
amin
0v v0v1
gdH/dp
bb1g
dt)t(dv (4.235)
ρ
−−⋅= ∗= g
dH/dpb
b1gdtdv
b
amin
0v (4.240)
und entspricht damit dem Anstieg, Gl.(4.324), bei laminarer Durchströmung. Mit Hilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.239) ergibt sich bei t = 0,
wenn xcosh
1'yxtanhy 2=→= , ( )
ss v,76
s2
v,76
s
0t tv
0cosh1
tv
dt)t(dv
=⋅==
,
ρ
−−⋅== ∗= g
dH/dpb
b1gtv
dt)t(dv
b
amin
v,76
s
0t s
(4.241)
ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt. Die kennzeichnende Relaxationszeit t76 ist mit den Gln.(4.238) und (4.231):
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146
⋅ρ
⋅θ+
+⋅θ+
ρ
−−⋅⋅
ρ
−−=
2rb
B
b
amin
b
amin76
udh/dp
tan)1m(2b1tan)1m(2
gdH/dp
bb1gb
gdH/dp
bb1g
1t
⋅ρθ+
+⋅
ρ
−−⋅θ+=
2rb
B
b
amin76
udh/dp
tan)1m(2b1
gdH/dp
bb1gtan)1m(2
bt (4.242)
Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t76 die tanh-Funktion
( ) stst76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅== (4.243)
ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für
( ) stst7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅= (4.244) ( ) stst7699 v995,03tanhv)t3t(v ⋅=⋅=⋅= (4.245)
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht. Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom
dV und der Massestrom dm sind mit der Gl.(4.239) für die Auslaufgeschwin-
digkeit (Ad Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρb,krit = f(σ1,krit) Schütt-gutdichte am Auslauf, siehe Abschnitt 4.1.4.2.2):
( ) ( )76stddd t/ttanhvAtvA)t(V ⋅⋅=⋅= , (4.246)
( ) ( )76stdkrit,bdkrit,bd t/ttanhvAtvA)t(m ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ= (4.247)
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl
In einer früheren Arbeit des Autors25 wurde zusätzlich die Behinderung des Schüttgutstromes durch Kollisionsereignisse gröberer Partikel mit der Wand am Rand des Trichterauslaufes berücksichtigt:
( )b/dk1b:b b⋅−⋅= (4.248)
kb = 1 ... 3 Kollisionskonstante, abhängig von der Partikelform d ≈ d95 obere Stück- oder Partikelgröße, siehe auch Dimensionierungs-
gleichung (4.93) zur Vermeidung des Verkeilens der Auslauf-öffnung durch grobe Stücke
Diese Partikel-Wand-Kollisionen erzeugen eine gewisse „Einschnürung“ des ausgetragenen Partikelstromes am Auslauf (siehe auch BEVERLOO 1961). Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst ist dann für stationäres Fließen
25 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wech-selwirkungskräfte zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranla-gen, S. 114, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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147
( ) ( )( )
θ⋅+⋅ε⋅⋅ρ⋅
⋅−⋅⋅⋅ρ⋅+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅
⋅−⋅⋅
=
tan1md8b/dk1Eub31tan1m2
gdH/dp
bb
1bdk1bg
v
2STs
bBf
b
astmin,b
st (4.249)
und der Relaxationszeit t76 für das beginnende Fließen:
( )( )( )
Θ+ερ
⋅−⋅ρ+
ρ
−−⋅Θ+
⋅−⋅=
tan1md8b/dk1Eub31
gdH/dp
bb
1gtan)1m(2
b/dk1bt
2STs
bBf
b
astmin,
b76
(4.250)
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Gl.(4.239) folgen die entsprechenden Auslaufvolumen- und -massenströme:
)t(vA)t(V dd ⋅= (4.251)
)t(vA)t(m dbd ⋅⋅ρ= (4.252)
⋅⋅=
76stdd t
ttanhvA)t(V (4.253)
⋅⋅⋅ρ=
76stdbd t
ttanhvA)t(m (4.254)
Infolge der Partikel-Wand-Kollisionen grober Partikel wird der Auslaufstrom etwas eingeschnürt. Deshalb werden die Dimensionen der Auslauffläche Ad jeweils um den Betrag ( )b/dk1 b ⋅− reduziert und zwar für die
• kreisförmige Trichteröffnung:
22
dd bbdk1
4A ⋅
⋅−⋅
π= (4.255)
• quadratische Trichteröffnung:
22
dd bbdk1A ⋅
⋅−= ( 4.256)
• und schlitzförmige Trichteröffnung (Schlitzlänge l):
lldk1b
bdk1A ddd ⋅
⋅−⋅⋅
⋅−= ( 4.257)
Die berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes eines kohäsiven, teilweise nicht fluidisierbaren Kalk-steinpulvers (Gruppe-C Verhalten nach GELDART) im Bild 4.17 dargestellt:
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148
Bild 4.17: Berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit v eines konischen (bmin = 1,127 m, b = 1,14 m, lAd = 0) und keilförmigen (bmin = 0,5378 m, b = 0,538 m, lAd = 1,614 m) Trichters in Abhängigkeit von der Zeit t für ein kohä-sives Kalksteinpulver (d50 = 3 µm) Je geringer der Unterschied zwischen der ausgeführten Öffnungsweite b des großtechnischen Silos und der aufgrund der Fließeigenschaften des Schüttgutes ermittelten minimalen Öffnungsweite bmin ist, desto größer ist die Zeitspanne zum Erreichen des stationären Fließens im Auslauf und desto störanfälliger wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.
4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
Mit der Bewegungsgleichung (4.235) für turbulente Durchströmung:
−⋅
ρ
−−⋅= 2st
2
b
amin
vv1
gdH/dp
bb1g
dt)t(dv (4.235)
erhält man eine neue elegante Formulierung, wenn man das Zeitinkrement dt durch das Weg- oder Höheninkrement dh/v, Gln.(4.154) & (4.172), ersetzt26:
vdhdt = (4.258)
−⋅
ρ
−−⋅=⋅= 2st
2
b
amin
vv1
gdH/dp
bb1g
dh)h(dv)h(v
dt)t(dv (4.259)
26 Tomas, neu hergeleitet 12/2013 bis 1/2014
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149
Diese Differentialgleichung(4.259) wird nach Trennung der Variablen gemäß der bekannten Lösung des Grundintegrals Nr. 61 umformt27
∫∫∫===
ρ
−−⋅=−⋅
⋅=−⋅ h
0hb
aminv
0v22
st
2st
v
0v2st
2 dhgdH/dp
bb1g
vvdvvv
v/v1dvv (4.260)
mit ( )2222 xaln
21
xadxx
−⋅−=−⋅
∫ .
Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v und a = vst2. Mit der Anfangs-
bedingung v(h=0) = 0 wird zunächst nur die linke Seite der Integralgleichung (4.260) gelöst:
( ) ( ) ( )2st
2st22
st
2st
v
0
22st
2st
v
022
st
2st vln
2vvvln
2vvvln
2v
vvdvvv ⋅+−⋅−=−⋅−=−⋅
⋅ ∫
( ) ( )[ ]
−⋅−=
−⋅−=−−⋅−= 2
st
22st
2st
22st
2st2
st22
st
2st
vv1ln
2v
vvvln
2vvlnvvln
2v
Die Integration beider Seiten der Integralgleichung (4.260) ergibt zusammen:
hgdH/dp
bb1g
vv1ln
2v
b
amin2st
22st ⋅
ρ
−−⋅=
−⋅−
ρ
−−⋅⋅⋅
−=
−
gdH/dp
bb1
vhg2
vv1ln
b
amin2st
2st
2
ρ
−−⋅⋅⋅
−=−gdH/dp
bb1
vhg2exp
vv1
b
amin2st
2st
2
ρ
−−⋅⋅⋅
−−⋅=gdH/dp
bb1
vhg2exp1v)h(v
b
amin2st
st
Mit den Gln.(4.238) und (4.266) für t76 und hR,76 läßt sich das Argument der e-Funktion vereinfachen:
⋅−−⋅=
76,Rst h
h2exp1v)h(v (4.261)
Diese übersichtliche Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des be-schleunigten Ausfließens im turbulenten NEWTON’schen Durchströmungsbe-reich ist bequem analytisch auswertbar.
4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.16, muss die Zeit-funktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.(4.239), erneut integriert werden:
⋅==
76st t
ttanhvdt
)t(dh)t(v , (4.262)
27 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1078, 7. Aufl., Ver-lag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
150
Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföff-nung betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Aus-laufgeschwindigkeit vst, Gl.(4.249), und der Zeitparamer t76, Gl.(4.250), als mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe gilt gemäß Bild 4.16:
)tan2/(bh θ⋅= bzw. (4.80)
θ⋅⋅= tanh2b (4.190) ) Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
∫∫==
⋅==
t
0t 76st
)t(h
0h
dttttanhv)t(hdh (4.263)
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:
76t/tx = abgeleitet: 76t/dtdx = d.h.: dxtdt 76 ⋅=
( ) ( )( )∫∫∫ ⋅=⋅=
dx
xcoshxsinhtdxxtanhtdt
tttanh 767676
( )( )∫ dxxcoshxsinh entspricht dem Integralkern28 f’(x)/f(x), also: ∫
′dx
)x(f)x(f .
Die Substitution ( )xcoshu =
ergibt abgeleitet: ( ) dxxsinhdu ⋅= d.h.: ( )xsinhdudx =
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu: ( )
( ) ulntu
dutxsinh
duu
xsinhtdttttanh 76767676
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅⋅=
Das rückwärtige Einsetzen liefert (siehe auch Grundintegral Nr. 43629): t
0t7676
u
1u76
t
0t 76 ttcoshlnt)xcosh(lntdt
tttanh
==
=
⋅=⋅=
∫
( )
−
⋅=
∫=
0coshlnttcoshlntdt
tttanh
7676
t
0t 76
⋅=
∫= 76
76
t
0t 76 ttcoshlntdt
tttanh (4.264)
Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgü-ter aus einem konvergenten Trichter im Bereich turbulenter Durchströmung:
⋅=
⋅⋅=
7676,R
7676st t
tcoshlnhttcoshlntv)t(h , (4.265)
28 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968. 29 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1101,
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151
wobei sich mit Hilfe der Gl.(4.238) der charakteristische Relaxationsweg hR,76 ergibt:
ρ
−−⋅=⋅=
gdH/dp
bb1g
vtvh
b
amin
2st
76st76,R (4.266)
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten oder beginnenden Ausfließens ermitteln:
( ) 76,R76st76st76 h433,0tv433,01coshlntv)t(h ⋅=⋅⋅=⋅⋅= (4.267)
7696 t2t ⋅= , d.h. 76,R76st96 h33,1tv33,1)t(h ⋅=⋅⋅= (4.268)
7699 t3t ⋅= , d.h. 76,R76st99 h31,2tv31,2)t(h ⋅=⋅⋅= (4.269)
4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h)
Wenn eine Trichterfüllhöhe h(td) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Aus-laufzeit td durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.265), die zugehörige Umkehrfunktion berechnet werden:
⋅⋅=
7676st t
tcoshlntv)t(h (4.265)
=
⋅ 7676st t
tcoshtv
hexp (4.270)
Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken30:
+=
−+==
)xexp(1)xexp(
21
2)xexp()xexp()xcosh(y (4.271)
+⋅=
+
)xexp(1)xexp()xexp(
21
)xexp(1)xexp(
21
)xexp(1)x2exp(
21)xcosh(y +⋅==
Damit folgt aus der Gl.(4.265): ( ) ( )
⋅
+=
−+
=⋅ )t/texp(2
1t/t2expln2
)t/texp(t/texplntv)t(h
76d
76d76d76d
76st
d
( ))t/texp(21t/t2exp
tv)t(hexp
76d
76d
76st
d
⋅+
=
⋅
( ) 1t/t2exp)t/texp(tv)t(hexp2 76d76d76st
d +=⋅
⋅
⋅
Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( )76d t/texp
30 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91
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152
( ) 01)t/texp(tv)t(hexp2t/t2exp 76d76st
d76d =+⋅
⋅
⋅− (4.272)
mit ihrer Lösung:
( ) 1tv
)t(h2exptv)t(hexpt/texp
76st
d
76st
d76d −
⋅
⋅+
⋅
= (4.273)
Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:
( )
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+⋅
⋅
=
76st
d
76st
d
76st
d76d
tv)t(h2exp
1tv
)t(h2exp1
tv)t(hexpt/texp
( )
⋅
⋅−−+⋅
⋅
=76st
d
76st
d76d tv
)t(h2exp11tv)t(hexpt/texp
⋅
⋅−−+⋅
⋅
⋅=76st
d
76st
d76d tv
)t(h2exp11tv)t(hexplntt
⋅
⋅−−+⋅+
⋅⋅=
76st
d76
76st
d76d tv
)t(h2exp11lnttv)t(htt
Daraus ergibt sich mit der Gl.(4.266) für hR,76 eine vergleichsweise übersichtli-che Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(h*):
⋅−−+⋅+=
76,R
*
76st
*
d hh2exp11lnt
vht (4.274)
Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Dynamik (kleine Auslaufzeit) t76, und kurze Relaxationswege hR,76 kann der letzte Term in der Gl.(4.274) ver-nachlässigt werden. Unter der Bedingung
2hh
76,R
*
> , (4.275)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, ergibt sich wegen 198,0)4exp(1 ≈=−− :
2lntvht 76
st
*
d ⋅+≈ (4.276)
4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes
Zur Überprüfung der Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des Aus-fließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke im turbulenten Durchströmungsbe-reich kann auch in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.239),
⋅=
76st t
ttanhv)t(v (4.239)
die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.270):
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153
⋅
=
76st76 tvhexp
ttcosh (4.270)
Die tanh-Funktion, Gl.(4.239), lässt sich mit der cosh-Funktion ausdrücken30:
−⋅=−
⋅
⋅=
⋅= −−
76
2st
76
2
76
1st
76st t
tcosh1v1ttcosh
ttcoshv
tttanhv)t(v
Einsetzen der Gl.(4.270) liefert wiederum die Geschwindigkeits-Weg-Funk-tion während des Ausfließens im turbulenten Durchströmungsbereich – q.e.d.:
⋅−−⋅=
76,Rst h
h2exp1v)h(v (4.261)
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung
Die feinen adhäsiven Partikel der somit kohäsiven Pulver werden gewöhn-lich laminar umströmt, Re < 0,25 - 1, und es gilt das STOKES-Gesetz für die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,St, siehe ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.-doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES bzw. ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf:
η⋅⋅ρ−ρ
=18
gd)(v2
fsSt,s (4.277)
bzw. der relevante Partikelgrößenbereich ( 1Re/dv Stfs =≤ηρ⋅⋅ )
3
fsf
St2
St g)(Re18d
⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅
≤ . (4.278)
Beispielsweise liegt dieser Grenzwert für die Sedimentation von Quarzpartikel (ρs = 2650 kg/m3) in ruhender Luft (ρf = 1,2 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s) bei dSt < 57 µm. Damit dürfte für die Durchströmung der Poren einer feinen Pulverschicht auch die laminare Durchströmung zutreffen. Deren Durchströmungswider-stand wird entweder mit Ansätzen nach DARCY, CARMAN und KOZENY u.a., oder - wie nachfolgend beschrieben - nach MOLERUS quantifiziert. Mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.219) werden nun die Geschwindigkeits-Zeit-, Geschwindigkeits-Weg- und Weg-Zeit-Gesetze des gleichmäßig be-schleunigten Ausfließens einer kohäsiven Brücke aus einem konvergenten Trichter bei deren laminarer Durchströmung analytisch hergeleitet:
4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens
Das Kräftegleichgewicht an einer kohäsiven Schüttgutbrücke mit Berücksichti-gung der Druckverluste in der Schüttung infolge Dilatanz und Bettausdeh-nung dp und äußerem Überdruck dpa (siehe Diss. SCHEIBE31) liefert: 31 Scheibe, M., Die Fördercharakteristik einer Zellenradschleuse unter Berücksichtigung der Wechselwirkung von Silo und Austragorgan, Diss. TU Bergakademie Freiberg 1997
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154
( )
ρ+
−−⋅⋅⋅ρ=θ+ϕ⋅σ⋅+ ∗
gdH/dpdh/dp
ga1bg2sin)1m(
b
aBbwst,c (4.279)
Die gesamte Beschleunigung eines dynamischen Scheibenelementes einer ko-häsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Auslauftrichter besteht nach Gl.(4.194) aus zwei Anteilen, siehe Bild F 4.4:
2vb
tan)1m(2dtdva ⋅
θ++= ∗ (4.194)
dv/dt Auslaufbeschleunigung infolge Trägheitswirkung der Masse der Schüttgutbrücke
2vb
tan)1m(2⋅θ+
∗ Geschwindigkeitszunahme infolge Trichterkonvergenz,
d.h. Abnahme der Brückenquerschnittsfläche bei kon-stantem Volumenstrom .constV=
Die Mindestweite einer stationären Brücke ergibt sich gemäß der allgemeinen Auslegungsgleichung für die instationäre oder beginnende Brückenbildung ohne Fluiddurchströmung Gl.(4.15)
( )g
2sin)1m(b
b
wst,cstmin, ⋅ρ
θ+ϕ⋅σ⋅+= , (4.72)
wobei bbb minstmin, =< kleiner ist als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b
σc,st Druckfestigkeit des stationären Fließortes, d.h. für ff = 1 bzw. σ1 = σc,stat folgt aus der allgemeinen Druckfestigkeitsfunktion )(f 1c σ=σ
Gl.(4.53) im Falle einer linearen Pulvereigenschaftsfunktion 0,c11c a σ+σ⋅=σ (4.53)
1
0,cstat,ckrit,c a1−
σ=σ=σ (4.70)
Die Weite b* einer stationären Brücke analog der allg. Auslegungsgleichung für die instationäre Brückenbildung nach Gl. (4.14) unter Berücksichtigung der Fluiddurchströmung (ρb,B < ρb Dichte des durchströmten Bettes)
( ) ( )( )B,bb
wst,c
b
aBb
wst,c
g2sin)1m(
gdH/dpdh/dp1g
2sin)1m(b
ρ−ρ⋅θ+ϕ⋅σ⋅+
≈
⋅ρ+
−⋅⋅ρ
θ+ϕ⋅σ⋅+=∗ , (4.280)
wobei allerdings hier auch b* > b ≥ bmin größer sein kann als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b. Dies bedeutet ein Aufwärtswandern der stationären Brücke im Trichter infolge: dpa/dH Zusatzdruckverlust über der gesamten Silohöhe H ⇒ bei Anlie-
gen eines äußeren Überdruckes dpa dp/dhB Druckunterschied durch ⇒ Auflockerung des Schüttgutes im
Trichter durch Spannungsabnahme: vu= Die Auslaufgeschwindigkeit des Schüttgutes v sei betragsmäßig
gleich der Leerrohrgeschwindigkeit des Fluides u
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155
22
K
fB
B
u1d
Eu43
dhdp
⋅εε−
⋅ρ
⋅⋅= (4.205)
dK > dST Der charakteristische Durchmesser der inhomogenen Durch-strömungskanäle bei kohäsiven kanalbildenden Schüttgütern gemäß Wirbelschichtverhalten der C-Gruppe nach GELDART ist wesentlich größer als ein hydraulische Durchmesser dh, der sich über den oberflächengleichwertigen Durchmesser der Parti-kel dST nach Gl.(4.200) berechnen läßt.
...),ff,d(fd cSTK ε= noch zu bestimmende Funktion der Durchströmungs-
kanäle, wobei als erste Näherung STK d100d ⋅≈ eine brauchbare Abschätzung liefert;
Besser ist die Messung des Fluidisierverhaltens und daraus entweder mit einer modifizierten HAGEN-POISEUILLE-Gleichung (3.134) Schüttec_3.doc - Druckverlust_Schüttung_HAGEN die Abschätzung des Kanaldurchmessers dK,
ε⋅η
⋅∆⋅=
up
h32db
bK (4.281)
oder mit einer Berechnungsmethode nach SCHEIBE31, Gl.(4.284): Am Punkt der sog. Mindest- oder Minimalfluidisation, das ist bei der Hysterese der erste gemeinsame Punkt beider Druckverlustkurven, siehe Bild 4.18, dp(u↑) = dp(u↓) (4.282)
( ) )u(f.constdh/dp WSb ≠= (4.283)
ist der Druckverlust weitestgehend konstant und unabhängig von der Durch-strömungsgeschwindigkeit uL < umin ≤ u. Aus Gl.(4.289) folgt der charakteristische Kanaldurchmessers dK,min:
( ) min2minmin,WSB
minminmin,K u
dh/dp)1()(B18d ⋅
ε⋅ε−⋅ε⋅η⋅
= (4.284)
Bild 4.18: Hysterese des gewichtsbezogenen Druckverlustes in Abhängigkeit von der Leerrohrgeschwindigkeit für kohäsive Pulver
1
WSWS hgp⋅⋅ρ
∆
u
uL umin
Übergangs-bereich
kanalbildende Wirbelschicht
Lockerungspunkt
Minimalfluidisation Haft-kräfte
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156
Die Minimalfluidisationsgeschwindigkeit umin ≈ u* entspricht näherungsweise der Leerrohrgeschwindigkeit am Punkt des sog. „freien Fließens“, siehe Bild F 3.39 im Kapitel Schüttec_3.doc - Fluidisierbarkeit. Für die Wirbelschicht- oder Fließdichte ρWS* am Punkt der Minimalfluidisation bzw. des sog. „freien Flie-ßens“ läßt sich die gleiche Annäherung treffen.
*/1/1 s*WSsmin,WSmin ε=ρρ−≈ρρ−=ε (4.285)
Ausgehend von Gl.(4.207) sei die EULER-Zahl des laminar durchströmten Festbettes
)(BRe24
ad
21
ad692,01
Re24Eu
2
95,095,0B ε⋅≡
⋅+
⋅+⋅= (4.286)
mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströ-mung, der gegenüber der Partikelumströmung eine deutliche Zunahme des Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt
⋅+
⋅+=ε
2
95,095,0 ad
21
ad692,01)(B (4.287)
und mit der Porositätsfunktion der Festbettes (Index B):
3
3
95,0 195,01
ad
ε−−ε−
=
(4.208)
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+=ε
2
3
3
3
3
B 195,01
21
195,01692,01)(B (4.288)
Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl [alt(< 5/2010): Re = dK.u.ρf/η]
f2
fr
f
fSTr
2)1(du3d)/u(Re
η⋅ε⋅ε−⋅ρ⋅⋅⋅
=η
ρ⋅⋅ε= ε (4.206)
und Gl.(4.288) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl. (4.205):
BST
2
2rf
B
Eud4
)1(u3dhdp
⋅⋅ε⋅
ε−⋅⋅ρ⋅= (4.205)
2r2
ST
f
frSTST2
2rf
B
u1dud
2443
Re)(B24
d4)1(u3
dhdp
⋅εε−
⋅ρ
⋅ρ⋅⋅η⋅ε⋅
⋅=ε⋅
⋅⋅ε⋅
ε−⋅⋅ρ⋅=
r2STB
ud
)1()(B18dhdp
⋅ε⋅
ε−⋅ε⋅η⋅= . (4.289)
Mit dem Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke Gl.(4.279) und der mi-nimale Trichteröffnungsweite Gl. (4.15) folgt die Beschleunigung:
ρ+
−−= ∗ gdH/dpdh/dp
bb1ga
b
aBmin . (4.290)
Einsetzen der Gl. (4.194) für die Beschleunigung in die Gl.(4.290) ergibt:
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157
2vb
tan)1m(2dtdva ⋅
θ++= ∗ (4.194)
ρ+
−−=⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dpdh/dp
bb1gv
btan)1m(2
dtdv
b
aBmin2
Damit folgt eine weitere allgemeine Bewegungsgleichung für das beginnende Ausfließen eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter:
ρ
−−=ρ
+⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dp
bb1gdh/dpv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
b
B2 (4.291)
Der Druckverlustterm der laminare Durchströmung der kohäsiven Schüttgut-brücke als „Festbett“ ist gemäß der Gl.(4.289)
r2STbbB
ud
)1()(B181dhdp
⋅ε⋅⋅ρ
ε−⋅ε⋅η⋅=
ρ⋅
mit der Packungsdichtefunktion des Festbettes bzw. der Wirbelschicht:
( ) fsbfs
b
b
11ρ−ρ
=ρ⋅ρ−ρ
ρ=
ρε− (4.292)
folgen
( ) r2STfsbB
ud
)(B181dhdp
⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅=
ρ⋅ (4.293)
Der Druckverlust lässt sich auch mit Hilfe des mikroskopischen Beitrages der Partikelumströmung als stationäre Sinkgeschwindigkeit der Einzelpartikel
η⋅⋅ρ−ρ
=18
gd)(v2
fsSt,s (4.277)
und des makroskopischen Widerstandes der Packung als Porositätsfunktion B(ε)/ε ausdrücken:
( ) rSt,s
r2STfsbB
u)(Bv
gu)(Bgd
g181dhdp
⋅εε
⋅=⋅εε
⋅⋅⋅ρ−ρ
⋅η⋅=
ρ⋅
( ) St,s2STfs v
gd
18=
⋅ρ−ρη⋅ (4.294)
rSt,sbB
u)(Bv
g1dhdp
⋅εε
⋅=ρ⋅ (4.295)
Wenn man ruhende Luft u = 0 voraussetzt, sind die relative Anströmge-schwindigkeit des Fluides ru (im Leerrohr) und die Auslaufgeschwindigkeit v des Schüttgutes vuur
−= betragsmäßig gleich ur = v und es folgt die Diffe-
rentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbettes, siehe Bild F 4.26 (beachte dK ≡ dST und wegen Re = f(ur/ε) folgt nun ε statt ε2):
( )
ρ
−−=⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅+⋅
θ++ ∗∗ g
dH/dpb
b1gvd
)(B18vb
tan)1m(2dtdv
b
amin2STfs
2 (4.296)
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158
bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.277):
ρ
−−=⋅ε⋅ε⋅
+⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dp
bb1gv
v)(Bgv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
St,s
2 (4.297)
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v ⇒ vst ergibt sich aus der Gl.(4.296) für dv/dt = 0 mittels Lösung der quadratischen Gleichung:
( ) 0gdH/dp
bb1gv
d)(B18v
btan)1m(2
b
aminst2
STfs
2st =
ρ
−−−⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅+⋅
θ+∗∗
( ) 0gdH/dp
bb1
tan)1m(2bgv
dtan)1m(2)(Bb18v
b
aminst2
STfs
2st =
ρ
−−⋅θ+
⋅−⋅
ε⋅⋅ρ−ρ⋅θ+ε⋅⋅η⋅
+ ∗
∗∗
( ) ( )
ρ
−−⋅θ+
⋅+
ερ−ρ⋅θ+
ε⋅⋅η⋅+
ερ−ρ⋅θ+ε⋅⋅η⋅
−= ∗
∗∗∗
gdH/dp
bb1
tan)1m(2bg
dtan)1m(2)(Bb9
dtan)1m(2)(Bb9v
b
amin
2
2STfs
2STfs
st
( ) ( )
ερ−ρε⋅η⋅
−
ρ
−−⋅θ+⋅
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅⋅
θ+= ∗∗
∗
2STfsb
amin
2
2STfs
st d)(B9
gdH/dp
bb1
btan)1m(2g
d)(B9
tan)1m(2bv
Nur die positive Wurzel liefert sinnvolle positive Werte der stationären Aus-laufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm einem reziproken Zeitparameter t76,lam Gl.(4.314). Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke
( )
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−⋅
θ+=
∗
2STfslam,76
lam,st d)(B9
t1
tan)1m(2bv , (4.298)
bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.294), ist:
ε⋅⋅ε⋅
−⋅θ+
=∗
St,slam,76lam,st v2
)(Bgt
1tan)1m(2
bv (4.299)
Zur Lösung der Differentialgleichung (4.296) werden die Variablen getrennt
( )2
2STfsb
amin vb
tan)1m(2vd
)(B18gdH/dp
bb1g
dtdv
⋅θ+
−⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−
ρ
−−= ∗∗
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:
( )∫∫ =
⋅θ+
−ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−
ρ
−− ∗∗
t
0
v
0 22STfsb
amin
dtv
btan)1m(2v
d)(B18
gdH/dp
bb1g
dv (4.300)
Für eine bequem zu handhabende, analytische Lösung der obigen Integralglei-chung (4.300) ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig. Zwei Lösungsvari-anten sollen hier anschließend vorgestellt werden:
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159
Lösungsvariante 1: Die linke Seite der Gl.(4.300) entspricht dem Grundintegral Nr. 40 gemäß BRONSTEIN32, dessen eine Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens hyperbolicus) Artanh(x) der tanh(x)-Funktion enthält:
0ac4bwennac4bbax2tanhAr
ac4b2
cbxaxdx 2
222 >−
−
+⋅
−−=
++∫ (4.301)
Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:
∗
θ+−=
btan)1m(2a (4.302)
( ) ε⋅ε⋅
−=ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−=
St,s2STfs v
)(Bgd
)(B18b (4.303)
ρ
−−= ∗ gdH/dp
bb1gc
b
amin (4.304)
Da a negativ ist, werden beide Terme positiv und die obige Bedingung 0ac4b2 >− ist erfüllt:
( ) 0gdH/dp
bb1g
btan)1m(8
d)(B18
b
amin
2
2STfs
>
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅∗∗ (4.305)
Die Integration ergibt also: v
022
v
02 ac4b
bav2tanhArac4b
2cbvav
dv
−
+⋅
−−=
++∫
−−
−
+⋅
−−=
++∫ ac4bbtanhAr
ac4bbav2tanhAr
ac4b2
cbvavdv
222
v
02 ,
wobei 1x1Bereichimx1x1ln
21)xtanh(Ar <<−
−+
⋅= ist.
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen die Lösung:
tac4b
btanhArac4bbav2tanhAr
ac4b2
222=
−−
−
+⋅
−− (4.306)
ac4b2t
ac4bbtanhAr
ac4bbav2tanhAr 2
22−⋅−=
−−
−
+
Umformen mit der Summe der Artanh-Funktionen, siehe BRONSTEIN33
−−
=−zx1zxtanhAr)ztanh(Ar)xtanh(Ar (4.307)
und mit dem Parameter f ist die Nebenrechnung:
ac4bf 2 −= (4.308)
32 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Ver-lagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 1076, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008. 33 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 94.
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160
⋅+
−
−+
=
−−
−
+
fb
fbav21
fb
fbav2
tanhArac4b
btanhArac4bbav2tanhAr
22
Das Argument der Artanh-Funktion wird umgeformt:
( ) ( ) ( ) bbav2ffav2
fbbav2f
fav2
fbbav21
fbbav2
2
2
2
2⋅+−
⋅=
⋅+−=
⋅+−
−+
und es folgt für beide Seiten der Lösungsgleichung (4.306):
( ) f2t
bbav2ffav2tanhAr 2 ⋅−=
⋅+−
⋅ (4.309)
Umformen in eine tanh-Funktion:
( )
⋅−=
⋅+−⋅ f
2ttanh
bbav2ffav2
2
Vorzeichenwechsel des Argumentes der tanh-Funktion gemäß BRONSTEIN34
)xtanh()xtanh( −=− (4.310)
( )
⋅−=
⋅+−⋅ f
2ttanh
bbav2ffav2
2 ,
Umstellen nach v = f(t):
( )
⋅⋅⋅+−
⋅⋅=⋅− f
2ttanhbbav2f
2ttanhffav2 2
⋅⋅−
⋅⋅=⋅−
⋅⋅⋅ f
2ttanhbf
2ttanhffav2f
2ttanhbav2 22
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅−
⋅⋅⋅⋅ f
2ttanhbf
2ttanhffa2f
2ttanhba2v 22
( )
⋅⋅−=
−
⋅⋅⋅⋅ f
2ttanhbfff
2ttanhba2v 22
( )
−
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=ff
2ttanhba2
f2ttanhbf
v
22
(4.311)
Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c
∗
θ+−=
btan)1m(2a (4.302)
( ) ε⋅ε⋅
−=ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−=
St,s2STfs v
)(Bgd
)(B18b (4.303)
ρ
−−= ∗ gdH/dp
bb1gc
b
amin (4.304)
34 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 90.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
161
ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an: ac4bf 2 −= (4.308)
( )
ρ
−−⋅θ+
⋅+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅= ∗∗ g
dH/dpb
b1gb
tan)1m(24d
)(B18fb
amin
2
2STfs
(4.312)
Daraus folgt die Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam der beschleunigten Bewegung für die laminare Durchströmung, siehe auch Gl.(4.242):
( )
ρ
−−⋅θ+
⋅+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅==
∗∗ gdH/dp
bb1g
btan)1m(24
d)(B18
2f2t
b
amin
2
2STfs
lam,76 (4.313)
mit
( )
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
d)(B9
1t
b
amin
2
2STfs
lam,76 (4.314)
bzw. mit der Gl.(4.294) lässt sich auch schreiben:
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ε⋅
=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
v2)(Bg
1t
b
amin
2
St,s
lam,76 (4.315)
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:
( ) ( )
−
⋅⋅
⋅−−
=
−
⋅⋅
⋅−
=
lam,76lam,76
lam,76
22
lam,76
lam,76
22
t2
tttanhba2
tttanhbac4b
ft
ttanhba2
tttanhbf
v
lam,76lam,76
lam,76
lam,76lam,76
lam,76
t2
tttanhb
tttanhc2
t2
tttanhba2
tttanhac4
v−
⋅
⋅−
=
−
⋅⋅
⋅−
=
( ) lam,76lam,762STfs
lam,76b
amin
lam,76lam,76
lam,76
t2
tttanh
d)(B18
tttanh
gdH/dp
bb1g2
t2
tttanhb
tttanhc2
v−
⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
−
⋅
ρ
−−−
=
−
⋅
⋅−
=∗
Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der Differentialgleichung (4.296) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konver-genten Trichter bei laminarer Durchströmung:
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162
( ) lam,76lam,762STfs
lam,76b
amin
t1
tttanh
d)(B9
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(v+
⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
bzw. (4.316)
lam,76lam,76St,s
lam,76b
amin
t1
tttanh
v2)(Bg
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(v+
⋅
ε⋅⋅ε⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
(4.317)
Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.(4.288), stammt von der modifizierten EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett:
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+=ε
2
3
3
3
3
195,01
21
195,01692,01)(B (4.318)
Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindig-keit eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohä-siven Brücke angegeben, siehe Gl.(4.299):
ε⋅⋅ε⋅
−⋅θ+
=∗
St,slam,76lam,st v2
)(Bgt
1tan)1m(2
bv (4.299)
Durch Umstellen der Gl. (4.299) folgt ebenfalls die Relaxationszeit t76,lam:
ε⋅⋅ε⋅
−=⋅θ+
∗St,slam,76
lam,st v2)(Bg
t1v
btan)1m(2
lam,76St,slam,st t
1v2
)(Bgvb
tan)1m(2=
ε⋅⋅ε⋅
+⋅θ+
∗
ε⋅⋅ε⋅
+⋅θ+
=
∗St,s
lam,st
lam,76
v2)(Bgv
btan)1m(2
1t (4.319)
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.317), ergeben sich die zugehöri-gen Auslaufvolumen- und -massenströme:
)t(vA)t(V dd ⋅= (4.251)
)t(vA)t(m dbd ⋅⋅ρ= (4.252)
Diese neuen Rechenergebnisse vervollständigen die früheren Herleitungen35.
Lösungsvariante 2: Als 2. Lösungsmöglichkeit des Grundintegrales(4.300), siehe Grundintegral Nr. 40 gemäß BRONSTEIN32 oder Formelsammlung36,
35 Tomas, J., Modellierung..., S. 128, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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163
0ac4bwennac4bbax2ac4bbax2ln
ac4b1
cbxaxdx 2
2
2
22 >−
−++
−−+⋅
−=
++∫
(4.320) ergibt die Integration:
v
02
2
2
v
02 ac4bbav2
ac4bbav2lnac4b
1cbvav
dv
−++
−−+⋅
−=
++∫
−+
−−−
−++
−−+
−=
++∫ ac4bbac4bbln
ac4bbav2ac4bbav2ln
ac4b1
cbvavdv
2
2
2
2
2
v
02
−−
−+⋅
−++
−−+⋅
−=
ac4bbac4bb
ac4bbav2ac4bbav2ln
ac4b1
2
2
2
2
2
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen:
tac4bbac4bb
ac4bbav2ac4bbav2ln
ac4b1
2
2
2
2
2=
−−
−+⋅
−++
−−+⋅
−
Mit einer zweckmäßigen Nebenrechnung (Vorsicht bei den Umrechnungen!): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ac4bbac4bbvac4bba2
ac4bbac4bbvac4bba2ac4bbac4bb
ac4bbav2ac4bbav2
222
222
2
2
2
2
−−⋅−++⋅−−⋅
−+⋅−−+⋅−+⋅=
−−
−+⋅
−++
−−+
mit ( )( ) 2222 sqssqqsqsqsq −=−−+=+− d.h.
( ) ( ) ac4ac4bbac4bbac4bb 2222 =+−=−+⋅−−
( )( )
( )( )
( )( ) c2vac4bb
c2vac4bbac4vac4bba2ac4vac4bba2
ac4bbvac4bba2ac4bbvac4bba2
2
2
2
2
222
222
+⋅−−
+⋅−+=
+⋅−−⋅
+⋅−+⋅=
+−+⋅−−⋅
+−+⋅−+⋅=
Das Integral ergibt: ( )( )
+⋅−−
+⋅−+⋅
−=
++∫ c2vac4bbc2vac4bbln
ac4b1
cbvavdv
2
2
2
v
02 (4.321)
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen: ( )( ) t
c2vac4bbc2vac4bbln
ac4b1
2
2
2=
+⋅−−
+⋅−+⋅
−
Auflösen nach v mit dem Parameter ac4bf 2 −= nach Gl.(4.308):
( )( ) ft
c2vfbc2vfbln ⋅=
+⋅−+⋅+ (4.322)
( )( ) ( )ftexp
c2vfbc2vfb
⋅=+⋅−+⋅+
( ) ( )[ ] ( )ftexpc2vfbc2vfb ⋅⋅+⋅−=+⋅+ ( ) ( ) ( ) ( ) c2ftexpc2ftexpvfbvfb −⋅⋅=⋅⋅⋅−−⋅+
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1ftexpc2ftexpfbfbv −⋅⋅=⋅⋅−−+⋅ ( )[ ]
( ) ( ) ( )ftexpfbfb1ftexpc2v
⋅⋅−−+−⋅⋅
=
36 Papula, L. Mathematische Formelsammlung, S. 441, Vieweg, Wiesbaden 2003.
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164 ( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]ftexp1b1ftexpf1ftexpc2
ftexpbbftexpff1ftexpc2v
⋅−⋅++⋅⋅−⋅⋅
=⋅⋅−+⋅⋅+
−⋅⋅=
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit ( )[ ]( )[ ] 1
1
1ftexp1ftexp
−
−
+⋅+⋅ liefert:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) f
1ftexp1ftexpb
1ftexp1ftexpc2
1ftexpftexp1bf
1ftexp1ftexpc2
v+
+⋅−⋅
⋅−
+⋅−⋅
⋅=
+⋅⋅−
⋅+
+⋅−⋅
⋅=
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument 2/ft ⋅
( )( ) ( )xtanh
1x2exp1x2exp=
+− folgt (4.237)
( )( )( )( )
( )( )
( )( )
2f2/fttanh
2b
2/fttanhcf2/fttanhb
2/fttanhc2
f1ftexp1ftexpb
1ftexp1ftexpc2
v+⋅⋅−
⋅⋅=
+⋅⋅−⋅⋅
=+
+⋅−⋅
⋅−
+⋅−⋅
⋅=
( )( )
2f2/fttanh
2b
2/fttanhcv+⋅⋅−
⋅⋅= (4.323)
Jetzt müssen wiederum die Koeffizienten f, b und c
( ) ε⋅ε⋅
−=ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−=
St,s2STfs v
)(Bgd
)(B18b (4.303)
ρ
−−= ∗ gdH/dp
bb1gc
b
amin (4.304)
ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Die charakteristi-sche Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam ergibt bei laminarer Durch-strömung:
( )
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅==
∗∗ gdH/dp
bb1g
btan)1m(2
d)(B9
1f2t
b
amin
2
2STfs
lam,76 (4.313)
und ist wiederum identisch mit der Gl. (4.314) der Lösungsvariante 1:
( )
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
d)(B9
1t
b
amin
2
2STfs
lam,76 (4.314)
Das ergibt wiederum ein der Gl.(4.316), siehe auch Variante 1, identisches Ge-schwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d.
( ) lam,76lam,762STfs
lam,76b
amin
t1
tttanh
d)(B9
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(v+
⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
(4.316)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
165
Anstieg und charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich bequem mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.296) berechnen:
( )2
2STfsb
amin
0v
vb
tan)1m(2vd
)(B18gdH/dp
bb1g
dtdv
⋅θ+
−⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−
ρ
−−⋅= ∗∗=
(4.296)
ρ
−−⋅= ∗= g
dH/dpb
b1gdtdv
b
amin
0v (4.324)
Darüber hinaus erfordert die Ermittlung des Anstieges der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.316), bei t = 0 etwas mehr Rechenaufwand:
mit 2N'NZN'Z'y
NZy ⋅−⋅
=→= xcosh
1'yxtanhy 2=→= 1)0xcosh( ==
( )
( ) ( )2
lam,762STfs
2lam,76
2STfs
2b
amin
lam,76
0t
t10tanh
d)(B9
)0(cosh1
t1
d)(B9)0(Z)0(N
)0(cosh1
gdH/dp
bb1
tg
dtdv
+⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
ερ−ρεη
−
ρ
−−=
∗
=
ρ
−−=
−
ρ
−−= ∗
∗
= gdH/dp
bb1g
t1
0t
1)0(cosh
1gdH/dp
bb1
tg
dtdv
b
amin2
lam,76
lam,762
b
amin
lam,76
0t
und liefert erwartungsgemäß ein der Gl.(4.324) identisches Ergebnis:
ρ
−−⋅= ∗= g
dH/dpb
b1gdtdv
b
amin
0t
(4.324)
Es ergibt sich wie bei der turbulenten Durchströmung, Gl.(4.241), ebenfalls ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt. Die charakteristischen Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum:
( ) lam,762STfs
b
amin
lam,76
t1
d)(B84,6
gdH/dp
bb1g76,0
)tt(v+
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
ρ
−−⋅⋅==
∗
(4.325)
( ) lam,762STfs
b
amin
lam,76
t1
d)(B676,8
gdH/dp
bb1g964,0
)t2t(v+
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
ρ
−−⋅⋅=⋅=
∗
(4.326)
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166
( ) lam,762STfs
b
amin
lam,76
t1
d)(B955,8
gdH/dp
bb1g995,0
)t3t(v+
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
ρ
−−⋅⋅=⋅=
∗
(4.327)
4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
Wir beginnen diese Herleitung mit der Umformung der Bewegungsgleichung (4.297) für laminare Durchströmung:
ρ
−−⋅=⋅ε⋅ε⋅
+⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dp
bb1gv
v)(Bgv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
St,s
2 (4.297)
Eine elegante Formulierung des Bewegungsgesetzes wird erhalten, wenn man wiederum das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dh/v ersetzt26:
vdhdt = (4.258)
ρ
−−⋅=⋅ε⋅ε⋅
+⋅θ+
+⋅ ∗∗ gdH/dp
bb1gv
v)(Bgv
btan)1m(2
dhdvv
b
amin
St,s
2 (4.328)
Trennung der Variablen liefert:
vv
)(Bgvb
tan)1m(2gdH/dp
bb1g
dhdvv
St,s
2
b
amin ⋅ε⋅ε⋅
−⋅θ+
−
ρ
−−⋅=⋅ ∗∗ (4.329)
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für h = 0 ist v = 0, wird integriert:
( )∫∫ =
⋅θ+
−ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−
ρ
−−
⋅
∗∗
h
0
v
0 22STfsb
amin
dhv
btan)1m(2v
d)(B18
gdH/dp
bb1g
dvv (4.330)
Für eine analytische Lösung der obigen Integralgleichung(4.330) ist wiederum rechnerischer Aufwand notwendig: Die linke Seite entspricht dem Grundintegral Nr. 44 gemäß BRONSTEIN37,
( ) ∫∫ ++−++⋅=
++⋅
cbxaxdx
a2bcbxaxln
a21
cbxaxdxx
22
2 (4.331)
dass das Grundintegral Nr. 40, Gl.(4.320)
0ac4bfürac4bbax2ac4bbax2ln
ac4b1
cbxaxdx 2
2
2
22 >−
−++
−−+⋅
−=
++∫ (4.320)
und mit Parameter ac4bf 2 −= nach Gl.(4.308) seine Lösung enthält: ( )( )
+⋅−+⋅+
⋅=++∫ c2vfb
c2vfblnf1
cbvavdvv
02 (4.321)
37 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1077, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008
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167
Wegen der notwendigen Umrechnungen wird die ln-Funktion gegenüber der Artanh-Funktion der Gl. (4.301) bevorzugt. Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:
∗
θ+−=
btan)1m(2a (4.302)
( ) ε⋅ε⋅
−=ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅−=
St,s2STfs v
)(Bgd
)(B18b (4.303)
ρ
−−= ∗ gdH/dp
bb1gc
b
amin (4.304)
Beide Teilintegrale ergeben zusammen für x = v:
( ) ∫∫ ++−++⋅=
++⋅
cbvavdv
a2bcbvavln
a21
cbvavdxv
22
2
( )( )
+⋅−+⋅+
⋅−
++⋅=
++⋅
∫= c2vfb
c2vfblnfb
ccbvavln
a21
cbvavdvv 2v
0v2 (4.332)
Beide Seiten der Integralgleichung(4.330) ergeben zusammen: ( )( ) h
c2vfbc2vfbln
fb
ccbvavln
a21 2
=
+⋅−+⋅+
⋅−
++⋅
( )( ) ha2
c2vfbc2vfbln
fb
ccbvavln
2
⋅=
+⋅−+⋅+
⋅−
++
Diese Gleichung ist explizit nicht nach v = f(h) auflösbar. Physikalisch ist es sinnvoll, nach einem handhabbaren Ausdruck der Auslaufgeschwindigkeit der Iterationsgleichung umzustellen:
( )( )
+++⋅−=
+⋅−+⋅+
⋅c
cbvavlnha2c2vfbc2vfbln
fb 2
( )( )
++⋅+
⋅⋅−=
+⋅−+⋅+
ccbvavln
bf
bhfa2
c2vfbc2vfbln
2
( )( )
+++⋅−⋅=
+⋅−+⋅+
ccbvavlnha2
bf
c2vfbc2vfbln
2
Mit dem zusammengefassten Argument z folgt
+++⋅−⋅=
ccbvavlnha2
bfz
2
(4.333)
( )( ) ( )zexp
c2vfbc2vfb=
+⋅−+⋅+ ( ) ( )[ ] ( )zexpc2vfbc2vfb ⋅+⋅−=+⋅+
( ) ( ) ( ) ( ) c2zexpc2zexpvfbvfb −⋅=⋅⋅−−⋅+ ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1zexpc2zexpfbfbv −⋅=⋅−−+⋅
( )[ ]( ) ( ) ( )zexpfbfb
1zexpc2v⋅−−+−⋅
= (4.334)
( )[ ]( ) ( )
( )[ ]( )[ ] ( )[ ]zexp1b1zexpf
1zexpc2zexpbbzexpff
1zexpc2v−⋅++⋅
−⋅=
⋅−+⋅+−⋅
=
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
168
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit ( )[ ]( )[ ] 1
1
1zexp1zexp
−
−
++ liefert:
( )( )
( )( )
( )( )( )( ) f
1zexp1zexpb
1zexp1zexpc2
1zexpzexp1bf
1zexp1zexpc2
v+
+−
⋅−
+−
⋅=
+−
⋅+
+−
⋅=
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument z
( )( ) ( )xtanh
1x2exp1x2exp=
+− folgt (4.237)
( )( )( )( )
( )( )
( )( )
2f2/ztanh
2b
2/ztanhcf2/ztanhb
2/ztanhc2
f1zexp1zexpb
1zexp1zexpc2
v+⋅−
⋅=
+⋅−⋅
=+
+−
⋅−
+−
⋅=
( )( )
2f2/ztanh
2b
2/ztanhcv+⋅−
⋅= ( 4.335)
Schrittweises Einsetzen der Parameter a, b, c, f und z, siehe Gln.(4.302)-(4.304), (4.313) und (4.333), liefert:
( )
( )lam,76St,s
b
amin
t12/ztanh
v2)(Bg
2/ztanhgdH/dp
bb1g
v+⋅
ε⋅⋅ε⋅
⋅
ρ
−−⋅=
∗
(4.336)
Das Argument z gemäß Gl.(4.333) ergibt eingesetzt:
+⋅+⋅+⋅−⋅= 1v
cbv
calnha2
bfz 2 (4.333)
mit )(Btg
v2
v)(Btg
2bf
lam,76
St,s
St,s
lam,76 ε⋅⋅ε⋅⋅
−=
ε⋅ε⋅⋅
−=
+
ρ
−−⋅
⋅ε⋅ε⋅
−+
ρ
−−⋅⋅
⋅θ+−+⋅
θ+⋅
ε⋅⋅ε⋅⋅
−=
∗∗∗
∗ 1
gdH/dp
bb1g
vv
)(Bg
gdH/dp
bb1bg
vtan)1m(2lnhb
tan)1m(4)(Btg
v2z
b
amin
St,s
b
amin
2
lam,76
St,s
( )[ ]
+⋅
θ+⋅
ε⋅⋅ε⋅⋅
−= ∗ )0(lam,76
St,s v'vlnhb
tan)1m(4)(Btg
v2z (4.337)
Mit einer effektiven Geschwindigkeit v‘:
( ) 1
gdH/dp
bb1v
v)(B
gdH/dp
bb1bg
vtan)1m(2v'v
b
aminSt,s
)0(
b
amin
2)0(
)0( +
ρ
−−⋅ε⋅
⋅ε−
ρ
−−⋅⋅
⋅θ+−=
∗∗∗
(4.338)
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169
( )[ ]
( )[ ]lam,76
)0(lam,76
St,s
St,s
)0(lam,76
St,s
b
amin
t1v'vlnh
btan)1m(4
)(Btgv
tanhv2
)(Bg
v'vlnhb
tan)1m(4)(Btg
vtanh
gdH/dp
bb1g
v+
+⋅
θ+⋅
ε⋅⋅ε⋅
−⋅ε⋅⋅
ε⋅
+⋅
θ+⋅
ε⋅⋅ε⋅
−⋅
ρ
−−
=
∗
∗∗
Wegen )xtanh()xtanh( −=− (4.310)
folgt eine recht komplexe Geschwindigkeits-Weg-Funktion (4.339) v = f(h), die nur iterativ lösbar ist. Die Indizes (0) und (1) kennzeichnen die Vorgänger- und Nachfolgewerte:
( )[ ]
( )[ ]lam,76
)0(lam,76
St,s
St,s
)0(lam,76
St,s
b
amin
)1(
t1v'vlnh
btan)1m(4
)(Btgv
tanhv2
)(Bg
v'vlnhb
tan)1m(4)(Btg
vtanh
gdH/dp
bb1g
)h(v−
+⋅
θ+⋅
ε⋅ε⋅
⋅ε⋅ε⋅
+⋅
θ+ε⋅
ε⋅⋅
ρ
−−
=
∗
∗∗
(4.339)
4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.(4.316), erneut integriert werden
( ) lam,76lam,762STfs
lam,76b
amin
t1
tttanh
d)(B9
tttanh
gdH/dp
bb1g
dt)t(dh)t(v
+
⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
⋅
ρ
−−⋅
==∗
, (4.340)
und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
( )∫∫=
∗
= +
⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
⋅
ρ
−−⋅
==t
0t
lam,76lam,762STfs
lam,76b
amin)t(h
0h
dt
t1
tttanh
d)(B9
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(hdh (4.341)
Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.(4.304), und b’, siehe auch Gl.(4.303), umgeschrieben
2/bd
)1()(B9'b 2STb
−=ε⋅⋅ρ
ε−⋅ε⋅η⋅= (4.342)
( )( )∫
= +⋅=
t
0t
lam,76lam,76
lam,76 dt
'bt1t/ttanh
t/ttanh'b
c)t(h (4.343)
Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege er-scheint ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren. Variante 1:
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170
Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralglei-chung (4.343) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vor-nehmen, und zwar wird zur Abschätzung angenommen38, dass
( )lam,76lam,76
t/ttanh'bt
1>> sei. (4.344)
Damit folgt: ( ) ( )∫∫
==
⋅⋅=⋅≈t
0tlam,76lam,76
t
0t
lam,76
lam,76 dtt/ttanhtcdt
'bt1
t/ttanh'b
c)t(h
Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für tur-bulente Umströmung Gl.(4.265)
( )
⋅=∫
= 7676
t
0t76 t
tcoshlntdtt/ttanh (4.265)
ergibt sich mit den Gln. (4.304) und (4.314):
ρ
−−= ∗ gdH/dp
bb1gc
b
amin
⋅
ρ
−−⋅⋅=
⋅⋅≈ ∗
lam,76b
amin2lam,76
lam,76
2lam,76 t
tcoshlngdH/dp
bb1tg
ttcoshlntc)t(h
Die angenäherte Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten Trichter im laminaren Durchströmungsbereich lautet:
⋅
ρ
−−⋅⋅≈ ∗lam,76b
amin2lam,76 t
tcoshlngdH/dp
bb1tg)t(h (4.345)
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.345), lassen sich folgende charakteristi-sche Auslaufhöhen ermitteln:
ρ
−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp
bb1tg433,0)t(h
b
amin2lam,76lam,76 (4.346)
lam,7696 t2t ⋅= , d.h.
ρ
−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp
bb1tg33,1)t(h
b
amin2lam,7696 (4.347)
lam,7699 t3t ⋅= , d.h.
ρ
−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp
bb1tg31,2)t(h
b
amin2lam,7699 (4.348)
Variante 2: MATLAB39 bietet für diese schwierige Integralgleichung (4.343)
38 ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht. 39 MATLAB, The Math Works Inc., Version 7, siehe auch: Beucher, O., MATLAB und Simulink, Pearson Studium, München 2008
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171
( )( )∫
= +⋅=
t
0t
lam,76lam,76
lam,76 dt
'bt1t/ttanh
t/ttanh'b
c)t(h (4.343)
folgende komplizierte analytische Lösung an:
⋅+
⋅
−
⋅⋅
+
⋅
⋅⋅⋅
+
+
−
+
⋅
⋅−
+
−
⋅
⋅−=
'bt1
tttanhln
1'bt
11'bt
1'bt
1t'b/c
1t
ttanhln1
'bt12
t'b/c1
tttanhln
1'bt
12
t'b/c)t(h
lam,76lam,76
lam,76lam,76
lam,76lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
(4.349) Die Koeffizienten lassen sich zusammenfassen:
( )'bt12tc
'bt'bt1
2
t'b/c
1'bt
12
t'b/c
lam,76
2lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
⋅−⋅
=
⋅⋅−
⋅=
−
⋅
⋅
( )'bt12tc
'bt'bt1
2
t'b/c
1'bt
12
t'b/c
lam,76
2lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
lam,76
⋅+⋅
=
⋅⋅+
⋅=
+
⋅
⋅
22lam,76
2lam,76
22lam,76
22lam,76
2
22lam,76
2
lam,76lam,76
lam,76
lam,76
'bt1tc
'bt'bt1
'bc
1'bt
1'bc
1'bt
11'bt
1'bt'b
tc
⋅−⋅
=
⋅⋅−
=
−
⋅
=
−
⋅⋅
+
⋅
⋅⋅⋅
Umordnen der Terme und mit Gl.(4.304) für c:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
⋅
+⋅⋅−
⋅+
+−⋅⋅+
⋅−+⋅
⋅−⋅
−=
'bt1t/ttanhln
'bt1tc
1t/ttanhln'bt12
tc1t/ttanhln
'bt12tc
)t(h
lam,76lam,7622
lam,76
2lam,76
lam,76lam,76
2lam,76
lam,76lam,76
2lam,76
( )
( )
+
−
−
−
+
−
−
+
⋅=
'bt12
1t
ttanhln
'bt12
1t
ttanhln
'bt1'bt
1t
ttanhlntc)t(h
lam,76
lam,76
lam,76
lam,7622
lam,76
lam,76lam,762lam,76
Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:
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172
( ) ( )
−
⋅
+−
+
⋅
−
−
+
⋅
−
ρ
−−⋅⋅=∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
'bt1
tttanhln
'bt11
gdH/dp
bb
1tg)t(h
lam,76lam,76lam,76lam,76
lam,76lam,7622
lam,76b
amin2lam,76
(4.350) Das kann man auch wie folgt schreiben:
( ) ( )
−
−
+
−
+
ρ
−−⋅⋅=
+−
−
∗
'bt121
lam,76
'bt121
lam,76
'bt11
lam,76lam,76b
amin2lam,76
lam,76lam,76
22lam,76
1t
ttanhln1t
ttanhln
'bt1
tttanhln
gdH/dp
bb1tg)t(h
( ) ( )
−
⋅
+
+
⋅
ρ
−−=+−
−
∗'bt12
1
lam,76
'bt121
lam,76
'bt11
lam,76lam,76
b
amin2lam,76
lam,76lam,76
22lam,76
1t
ttanh1t
ttanh
'bt1
tttanh
lngdH/dp
bb1gt)t(h
(4.351) Mit den Gln.(4.314) und (4.342) lautet der dimensionslose Parameter 'bt lam,76 :
( )
( )
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
d)(B9
d)(B9
'bt
b
amin
2
2STfs
2STfs
lam,76 (4.352)
Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine gewisse Eleganz nicht absprechen. Variante 3:
Lösungsversuch für: ( )
( )∫= +
⋅=t
0t lam,76
lam,76 dtet/ttanh
t/ttanh'b
c)t(h
Mit 'bt
1elam,76
= , t76,lam = t* und der Substitution:
( )*)t/ttanhu = abgeleitet: *)t/t(cosh*t
dtdu 2=
( )( ) eu
duu*)t/t(cosh*te*t/ttanh
*t/ttanh 2
+⋅⋅
=+
mit *)t(t(tanh1
1*)t/tcosh(2−
= siehe BRONSTEIN S. 91
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173 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )euu1u1duu*t
euu1duu*t
eu*)t/t(tanh1duu*t
e*t/ttanh*t/ttanh
22 +⋅+⋅−⋅⋅
=+⋅−
⋅⋅=
+⋅−⋅⋅
=+
( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +⋅+⋅−
=+
dueuu1u1
u*tdte*t/ttanh
*t/ttanh
mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:
( ) ( ) ( ) xcC
xbB
xaA
xcxbxa1
++
++
+=
+⋅+⋅+
( )( ) ( ) ( ) ( )
++
++
+−−=
+ ∫ ∫∫∫ duuc
uCduub
uBduua
uA*tdte*t/ttanh
*t/ttanh
und mit dem Grundintegral S. 1074: ( )baxlnab
axdx
baxx
2 +−=+∫
….ggf. später ausrechnen (lassen)…
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle
Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter lautet
ρ
−−=ρ
+⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dp
bb1gdh/dpv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
b
2 (4.291)
und für laminare Durchströmung
( )
ρ
−−=⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅+⋅
θ++ ∗∗ g
dH/dpb
b1gvd
)(B18vb
tan)1m(2dtdv
b
amin2STfs
2 (4.296)
Für den Fall das der entgegen gerichteten Fluidstrom bei laminarer Durchströ-mung während des Ausfließens eine homogene Auflockerung bewirkt, muss die EULER-Zahl einer Wirbelschicht Gl.(4.213)
⋅+⋅+⋅=
2
WS ad
21
ad341,01
Re24Eu (4.213)
und die zur Gl.(4.318) analoge Funktion B(ε)WS benutzt werden:
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+=ε
2
3
3
3
3
WS 19,01
21
19,01341,01)(B (4.353)
Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulver-schicht in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit bmin → Dmin und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dpa = 0 folgt aus der Gl. (4.296) die Differentialgleichung:
( )
−=⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
+D
D1gvd)(B18
dtdv min
2STfs
WS (4.354)
Für ein reibungsfreies freifließendes Schüttgut ist näherungsweise Dmin ≈ 0:
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174
( ) gvd)(B18
dtdv
2STfs
WS =⋅ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅+ (4.355)
Für die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt mit ε→1 und deshalb B(ε)WS = 1
( ) gvd
18dtdv
2STfs
=⋅⋅ρ−ρη⋅
+
Mit der stationären Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.45) in ../VO_MVT_Neu/MVT_-e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES ist (dST = d):
η⋅⋅⋅ρ−ρ
=18
gd)(v2
fsSt,s (4.277)
( ) ( )
−⋅=⋅⋅
⋅ρ−ρη⋅
−=⋅⋅ρ−ρη⋅
−=St,s
2STfs
2STfs v
v1gvgg
d18gv
d18g
dtdv
Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedi-mentation feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe dazu Gl.(4.59) im Manuskript ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Partikel-beschleunigung_Stokes:
−⋅=
St,svv1g
dt)t(dv
(4.356)
Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simulta-nen Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der Sedimentation mikroskopisch kleiner Partikel vergleichen und umrechnen. Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit
Die experimentelle Überprüfung bisheriger Modellgleichungen wurde gewöhn-lich mit Hilfe der Messung der Auslaufzeit td in Abhängigkeit vom Speicher- bzw. Füllvolumens des Bunkers VFüll vorgenommen. Daraus wurden Durchsatz und die Auslaufgeschwindigkeiten ermittelt. Der beschleunigte instationäre Anlaufvorgang blieb bisher (außer mit Einschränkungen bei Johanson /3/ und Keller /4/) unberücksichtigt40. Im Folgenden soll deshalb die Auslaufzeit des beginnenden Ausfließens in Abhängigkeit von den Fließeigenschaften der Schüttgüter hergeleitet werden. Ausgangspunkt ist die allgemeine Formulierung eines Modells verfahrenstech-nischer Prozesse in Form einer Komponentenmassenbilanz /63, 64/ für beliebi-ge Stoffsysteme:
40 Tomas, J., Modellierung…, S. 135ff, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
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175
Änderung der in einem Volumenelement gespeicherten Masse einer be-liebigen Komponente i = Gesamtzufluss dieser Komponente – Gesamt-abfluss + durch Reaktion (oder andere Quellen) entstandene Kompo-nentenmasse – Senken der Komponente i
Damit folgt die Gesamtmassenbilanz des Speicherbehälters:
dAFüll mmm
dtdm
−=∆= (4.357)
Die zeitliche Änderung der Speichermasse mFüll ist gleich der Differenz zwi-schen dem Aufgabe- oder Einlaufmassenstromes Am und dem Auslaufmassen-strom dm . Bei angenommen konstanter Schüttgutdichte ρb lässt sich damit die
zeitliche Änderung des Füllvolumens VF bestimmen:
dAF VV
dtdV −= (4.358)
In diese einfache Differentialgleichung (4.358) wird die Zeitfunktion des Aus-laufvolumenstromes gemäß Gl.(4.251) eingesetzt:
⋅⋅−=
76stdA
F
tttanhvA)t(V
dt)t(dV (4.359)
Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei ständigem Zu- und Abfluss. Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bun-kers mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.359) integriert werden. Dazu werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:
- für t = 0 ist VF = VF,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers, - nach der Auslaufzeit t = td hat der Bunker einen Mindestfüllstand VF =
VF,min, - der Einlaufstrom wird 0VA = gesetzt, d.h., der Bunker wird diskonti-
nuierlich (satzweise) befüllt. Damit folgt die Integralgleichung
∫∫ −=−=dmin,F
max,F
t
0dmax,Fmin,F
V
V
dt)t(VVVdV (4.360)
und mit der Gl.(4.251) folgt für die rechte Seite:
∫∫
⋅⋅=
dd t
0 76std
t
0d dt
tttanhvAdt)t(V (4.361)
Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslauf-stromes Gl. (4.263)
∫∫==
⋅==
t
0t 76st
)t(h
0h
dttttanhv)t(hdh (4.362)
und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 gelöst worden, siehe dazu den Lösungs-weg der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.265):
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176
⋅⋅=
7676st t
tcoshlntv)t(h (4.265)
Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funk-tion berechnen:
)t(hAVVV ddFmin,Fmax,F ∆⋅=∆=− (4.363)
⋅⋅⋅=∆
76
d76stddF t
tcoshlntvA)t(V (4.364)
Diese Gleichung muss nun für ΔVF(td) ≡ VF(td) nach der Auslaufzeit td umge-stellt werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.5 angewandt wor-den. Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:
( ) ( )
⋅
+=
−+
=⋅⋅ )t/texp(2
1t/t2expln2
)t/texp(t/texplntvA)t(V
76d
76d76d76d
76std
dF
( ))t/texp(21t/t2exp
tvAVexp
76d
76d
76std
F
⋅+
=
⋅⋅
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )76d t/texp umgewandelt:
( ) 01)t/texp(tvA
Vexp2t/t2exp 76d76std
F76d =+⋅
⋅⋅
⋅− (4.365)
mit ihrer Lösung:
( ) 1tvA
V2exptvA
Vexpt/texp76std
F
76std
F76d −
⋅⋅
⋅+
⋅⋅
= (4.366)
Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:
( )
⋅⋅
⋅
−
⋅⋅
⋅
+⋅
⋅⋅
=
76std
F
76std
F
76std
F76d
tvAV2exp
1tvA
V2exp1
tvAVexpt/texp
( )
⋅⋅
⋅−−+⋅
⋅⋅
=76std
F
76std
F76d tvA
V2exp11tvA
Vexpt/texp
⋅⋅
⋅−−+⋅
⋅⋅
⋅=76std
F
76std
F76d tvA
V2exp11tvA
Vexplntt
⋅⋅
⋅−−+⋅+
⋅⋅⋅=
76std
F76
76std
F76d tvA
V2exp11lnttvA
Vtt
Daraus ergibt sich analog zur Funktion td = f(h*), Gl.(4.274), wiederum eine
⋅−−+⋅+=
76,R
*
76st
*
d hh2exp11lnt
vht (4.274)
vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(VF):
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177
⋅⋅
−−+⋅+⋅
=76,Rd
F76
std
Fd hA
V2exp11lntvA
Vt (4.367)
mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit
⋅ρ
⋅θ⋅+⋅
+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅⋅=
2rb
B
b
amin
st
udh/dp
tan)1m(2b1tan)1m(2
gdH/dp
bb1gb
v , (4.231)
der charakteristischen Relaxationszeit t76
⋅ρθ⋅+⋅
+⋅
ρ
−−⋅θ+=
2rb
B
b
amin76
udh/dp
tan)1m(2b1
gdH/dp
bb1gtan)1m(2
bt (4.238)
und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:
ρ
−−⋅=⋅=
gdH/dp
bb1g
vtvh
b
amin
2st
76st76,R (4.266)
Anhand der Gl. (4.367) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Aus-laufzeit aus einem Anteil beim stationären Fließen und einem instationären Anteil infolge des beginnenden (beschleunigten) Ausfließens zusammensetzt. Für große Füllmengen VF, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslauf-zeit) t76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst kann der letzte Term in der Gl. (4.367) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
2hA
V
76,Rd
F >⋅
, (4.368)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 198,0)4exp(1 ≈=−− und damit
2lntvA
Vt 76std
Fd ⋅+
⋅≈ (4.369)
Der Term VF/(Ad.vst) entspricht der mittleren Verweilzeit tV,st während des
stationären Ausfließens:
st,Vst
F
std
F tVV
vAV
==⋅
(4.370)
2lnttt 76st,Vd ⋅+≈ (4.371)
Diese Abschätzung lässt sich auch als Beweis der Plausibilität der rechnerisch sehr aufwändigen Herleitung auffassen. Beim praktischen Bunkerbetrieb mit Massenfluss bestimmen die Auslaufzeit td, wobei hier die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst des Austraggerätes einzu-setzen ist, und die Lagerzeit tL bei Stillstand der Abförderung die mittlere Ver-weilzeit tV,m des Schüttgutes (siehe auch Abschnitt 2).
Ldm,V ttt += (4.372)
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178
Zur Berechnung der Auslaufzeit td des instationären Auslaufprozesses bei la-minarer Durchströmung muss die Auslaufgeschwindigkeits-Zeit-Funktion
lam,76lam,76St,s
lam,76b
amin
t1
tttanh
v2)(Bg
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(v+
⋅
ε⋅⋅ε⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
(4.317)
in das Integral der Gl.(4.360) eingesetzt werden:
∫⋅=−dt
0dmin,Fmax,F dt)t(vAVV (4.360)
Dieses Integral Gl.(4.343) wurde schon im Abschnitt 4.6.2.5.4 gerechnet,
( )( )∫
= +⋅=
t
0t
lam,76lam,76
lam,76 dt
'bt1t/ttanh
t/ttanh'b
c)t(h (4.343)
um die Weg-Zeit-Funktion, Gln.(4.350) und (4.352), zu erhalten:
( ) ( )
−
⋅
+−
+
⋅
−
−
+
⋅
−
ρ
−−⋅⋅= ∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
'bt1
tttanhln
'bt11
gdH/dp
bb
1tg)t(h
lam,76lam,76lam,76lam,76
lam,76lam,7622
lam,76b
amin2lam,76
(4.350)
( )
( )
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ρ−ρ
ε⋅η⋅
ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅
=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
d)(B9
d)(B9
'bt
b
amin
2
2STfs
2STfs
lam,76 (4.352)
( ) ( )
−
⋅
+−
+
⋅
−
−
+
⋅
−
ρ
−−⋅⋅⋅=∆ ∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
'bt1
tttanhln
'bt11
gdH/dp
bb1tgAV
lam,76lam,76lam,76lam,76
lam,76lam,7622
lam,76b
amin2lam,76dF
(4.373) Allerdings ist hier die Berechnung der Umkehrfunktion td = f(VF), wie bei-spielsweise von der Gl.(4.363) zur Gl.(4.367), auf analytischem Wege nicht mehr möglich, d.h. es müssen Iterationsrechnungen durchgeführt werden:
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179
( ) ( )
−
⋅
+−
+
⋅
−
−
+
⋅
−=
ρ
−−⋅⋅⋅
∆
∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
'bt1
tttanhln
'bt11
gdH/dp
bb1tgA
V
lam,76lam,76lam,76lam,76
lam,76lam,7622
lam,76
b
amin2lam,76d
F
( ) ( )
−
⋅
++
+
⋅
−
+
ρ
−−⋅⋅⋅
∆=
+
⋅
−∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
gdH/dp
bb1tgA
V'bt
1t
ttanhln'bt1
1
lam,76lam,76lam,76lam,76
b
amin2lam,76d
F
lam,76lam,7622
lam,76
…usw. Diese Rechnung lässt sich für laminare Umströmung näherungsweise auch mit der Gl. (4.367) durchführen. Allerdings sind die charakteristischen Auslaufzeiten t76 des beginnenden Aus-fließens oftmals so gering (siehe Tab. 9.3)41, dass die Berücksichtigung des instationären Anteils bei Messungen der Auslaufzeiten in den meisten Fällen praktisch nicht notwendig ist. Eine Ausnahme bilden hierbei die beschleunigten Auslauf- und Füllvorgänge in schnell laufenden Verpackungsmaschinen (s. Bild 9.2 ebenda). Die wesentlichen Prozessgrößen zur Modellierung der Dynamik des instatio-nären Auslaufverhaltens kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern während ihrer homogenen Durchströmung wurden in der Tabelle 4.3 und in den Folien F 4.27 und F 4.28 zusammengefasst:
41 Tomas, J., Modellierung…, S. 129, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
180
Tabelle 4.3: Das beschleunigte Ausfließen kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern bei homogener Durchströmung (TOMAS 1991, 2010) Prozessgrößen Laminare Durchströmung Turbulente Durchströmung Reynolds-Zahlen 10...1Re/d)/u(Re B,St,kritfr ≈<ηρ⋅⋅ε= (4.206) 4
B,N,kritfr 10Re/d)/u(Re ≈<ηρ⋅⋅ε= (4.206)
Stationäre Sink-geschwindig-keiten
η⋅⋅ρ−ρ
=18
gd)(v2
fsSt,s für Partikelumströmung
(4.277)
fW
fsN,s c3
gd)(4vρ⋅⋅
⋅⋅ρ−ρ⋅= für Partikelumströmung
(4.374)
Partikelgrößen-bereiche 3
fsf
St2
St g)(Re18d
⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅
≤ für Partikelumströmung ReSt ≈ 1 (4.278)
3
fsf
2N
2W
N g)(4Rec3d
⋅ρ−ρ⋅ρ⋅⋅η⋅⋅
≥ für Partikelumströmung ReN = 103 (4.375)
Durchströmungs-widerstände nach Molerus [8]
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+=ε
2
3
3
3
3
WS 19,01
21
19,01341,01)(B
(4.353)
1,03
35,1
3
3
2
3
3
3
3
B
Re891,0
195,014,0
195,0112,01
Re4
195,01
21
195,01692,01
Re24Eu
⋅
ε−−ε−
++
ε−−ε−
⋅+⋅
⋅+
ε−−ε−
⋅+ε−−
ε−⋅+⋅=
(4.223)
Bewegungs-gleichungen
ρ
−−=⋅ε⋅ε⋅
+⋅θ+
+ ∗∗ gdH/dp
bb1gv
v)(Bgv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
St,s
2 (4.297)
ρ
−−=ρ
+⋅θ+
+gdH/dp
bb1gdh/dpv
btan)1m(2
dtdv
b
amin
b
B2 (4.291)
Auslaufge-schwindigkeits-Zeit-Gesetze
lam,76lam,76St,s
lam,76b
amin
t1
tttanh
v2)(Bg
tttanh
gdH/dp
bb1g
)t(v+
⋅
ε⋅⋅ε⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
(4.317)
⋅=
76st t
ttanhv)t(v (4.239)
Stationäre Auslauf-geschwindigkeiten
ε⋅⋅ε⋅
−⋅θ+
=∗
St,slam,76st v2
)(Bgt
1tan)1m(2
bv (4.299)
⋅ρ
⋅θ⋅+⋅
+⋅θ⋅+⋅
ρ
−−⋅⋅=
2rb
B
b
amin
st
udh/dp
tan)1m(2b1tan)1m(2
gdH/dp
bb1gb
v
(4.231)
Charakteristische Relaxations- und Auslaufzeiten
ρ
−−⋅θ+
+
ε⋅⋅ε⋅
=
∗∗ gdH/dp
bb1
btan)1m(g2
v2)(Bg
1t
b
amin
2
St,s
lam,76 (4.315)
⋅ρ
⋅θ+
+⋅
ρ
−−⋅θ+=
2rb
B
b
amin76
udh/dp
tan)1m(2b1
gdH/dp
bb1gtan)1m(2
bt (4.238)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
181
Anstiege der Ge-schwindigkeits-Zeit-Gesetze*
ρ
−−⋅= ∗= g
dH/dpb
b1gdtdv
b
amin
0v
(4.324)
ρ
−−⋅=== g
dH/dpb
b1gtv
dt)t(dv
b
amin
v,76
s
0t s
wobei *bb ≡ (4.241)
Charakteristische Auslaufgeschwin-digkeiten
lam,76St,s
b
amin
lam,76
t1
v)(Bg38,0
gdH/dp
bb1g76,0
)tt(v+
ε⋅ε⋅⋅
ρ
−−⋅⋅==
∗
lam,76St,s
b
amin
lam,76
t1
v)(Bg482,0
gdH/dp
bb1g964,0
)t2t(v+
ε⋅ε⋅⋅
ρ
−−⋅⋅=⋅=
∗
(4.325) (4.326)
( ) sts76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅==
( ) sts7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅=
(4.243) (4.244)
Auslaufgeschwin-digkeits-Weg-Gesetze
( )[ ]
( )[ ]lam,76
)0(lam,76
St,s
St,s
)0(lam,76
St,s
b
amin
)1(
t1v'vlnh
btan)1m(4
)(Btgv
tanhv2
)(Bg
v'vlnhb
tan)1m(4)(Btg
vtanh
gdH/dp
bb1g
)h(v−
+⋅
θ+⋅
ε⋅ε⋅
⋅ε⋅ε⋅
+⋅
θ+ε⋅
ε⋅⋅
ρ
−−
=
∗
∗∗
(4.339)
⋅−−⋅=
76,Rst h
h2exp1v)h(v mit
Relaxationsweg 76st76,R tvh ⋅=
(4.261) (4.266)
Differential-gleichungen
lam,76lam,76St,s
lam,76b
amin
t1
tttanh
v2)(Bg
tttanh
gdH/dp
bb1g
dt)t(dh
+
⋅
ε⋅⋅ε⋅
⋅
ρ
−−⋅
=∗
(4.340)
⋅=
76st t
ttanhvdt
)t(dh (4.262)
Weg-Zeit-Gesetze
( ) ( )
−
⋅
+−
+
⋅
−
−
+
⋅
−
ρ
−−⋅⋅= ∗
1t
ttanhln'bt12
11t
ttanhln'bt12
1
'bt1
tttanhln
'bt11
gdH/dp
bb
1tg)t(h
lam,76lam,76lam,76lam,76
lam,76lam,7622
lam,76b
amin2lam,76
(4.350)
⋅=
7676,R t
tcoshlnh)t(h (4.265)
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182
Charakteristische Auslaufhöhen
ρ
−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp
bb1tg433,0)t(h
b
amin2lam,76lam,76
ρ
−−⋅⋅⋅≈ ∗ gdH/dp
bb1tg33,1)t(h
b
amin2lam,7696
(4.346) (4.347)
ρ
−−⋅
⋅=⋅=
gdH/dp
bb1g
v433,0h433,0)t(h
b
amin
2st
7676
76,R96 h33,1)t(h ⋅=
(4.267) (4.268)
Auslaufzeiten nur numerisch lösbar -
⋅⋅
−−+⋅+⋅
=76,Rd
F76
std
Fd hA
V2exp11lntvA
Vt (4.367)
* ergänzt 6/2015
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183
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle
Diese Modelle lassen sich mit dem Flüssigkeitsbrückenmodell [7]
( ) ( )( ) W
l
s
is
ilgwmin Xsin1dbg
sin2sin1m35b
b⋅
ρρ
⋅φ−⋅⋅⋅⋅ρ
φ⋅σ⋅Θ+φ⋅+⋅= (4.376)
(m Trichterformfaktor, σlg Grenzflächenspannung, φi inneren Reibungswinkel, ρl Flüssigkeitsdichte, XW Wassergehalt) kombinieren und anhand Meßdaten von Johanson [3] bei Vernachlässigung von Anlaufvorgängen und Luftwider-stand überprüfen: ...................... Zusätze:
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von der ausge-führten Öffnungsweite b eines konischen Trichters (m = 1) und des Feuchtegehalts XW des Eisenerzkonzentrates; err. - errechnet mit Gl. (4.249) V = a ⋅ vs; gem. - gemessen [3]
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von ausgeführ-ten Öffnungsweite b eines Trichters (m = 0) und des Feuchtegehal-tes XW des Eisenerzkonzentrates; errechnet mit Gl. (4.249) V = A ⋅vs; gem. - gemessen
In Anbetracht der Komplexität der Problemstellung und der Stochastik des Fließverhaltens des feinkörnigen Eisenerzes (d ≈ d50 ≈ 400 µm angenommen, ρs = 5200 kg⋅m-3, ρb = 2510 kg⋅m-3, φi = 33°, ff = 1,3 [3]) kann die Anpassung als gut eingeschätzt werden. .........................
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften
Generell lassen sich im Term bmin/b bzw. bmin,st/b die gemessenen oder die mit den Haftkraftmodellen [7] abgeschätzten Fließeigenschaften der Schüttgüter berücksichtigen (φst stationärer innerer Reibungswinkel, σ0 dreiaxiale Zugfes-tigkeit der unverfestigten Partikelkontakte, φw Wandreibungswinkel, ρb Schütt-gutdichte, siehe auch Schüttec_3.doc#sigma_c_sigma_1):
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]1ff2sinsinsinsin1bg
sinsin12sin1m2b
b
ististb
0stiwmin
−⋅⋅φ−φ−φ⋅φ−⋅⋅⋅ρσ⋅φ⋅φ+⋅Θ+φ⋅+
= ( 4.377)
( ) ( )( ) n1
st0,b
w0ststmin,
sin1bg2sinsin1m2
bb
−φ−⋅⋅⋅ρΘ+φ⋅σ⋅φ⋅+⋅
= ( 4.378)
Hinsichtlich des Einflusses des instationären Anlaufvorganges soll auch auf den Beitrag von Keller [4] verwiesen werden, bzw. siehe auch [7]. Ein Vergleich mit Meßwerten für freifließenden Sand [5] zeigt, daß ab etwa Partikelgrößen d < 500 µm der Luftwiderstand bei der voraussetzungsgemäß laminaren Durchströmung zunehmend in Rechnung gestellt werden muß, Bild
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184
F 4.29 (Stationärer Austragsvolumenstrom vs in Abhängigkeit von der Parti-kelgröße d für Sand; errechnet mit Gl.(4.296); gemessen [5] konischer Massen-flußtrichter kb = 3, ε = 1, ffc > 10) Die Vorteile der vorgestellten Modelle gegenüber bisher bekannten sind ihre vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beschreibung der instationären Fließgeschwindigkeit kohäsiver Güter bei der Wirkung eines Luftwiderstandes in senkrechten Rohren bzw. Schurren [7] oder hinsichtlich der Auslegung von Dosier- und Portioniergeräten. [1] Neddermann, R. M., u.a.: Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 11, 1597-1609;
Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 12; 1691-1709; Chem. Engng. Sci. 38 (1983) 1, 189-195.
[2] Beverloo, W. A., u.a.: Chem. Engng. Sci. 15 (1961) 260-269. [3] Johanson, J. R.: Trans. Amer. Inst. Min. Metallurg. Petrol. Engrs. 232
(1965) 3, 69-79. [4] Keller, H., u. Gjacek, L. V.: Freiberger Forsch.-H., Reihe A 703 (1985)
129-139. [5] Carleton, A. J.: Powder Technology 6 (1972) 91-96. [6] Crewdson, J. B., u.a.: Powder Technology 16 (1977) 197-207. [7] Tomas, J.: Dissertation B, Bergakademie Freiberg 1991. [8] Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, Hei-
delberg, New York 1982. [9] Kache, G., Verbesserung des Schwerkraftflusses kohäsiver Pulver durch
Schwingungseintrag, docupoint Verlag, Magdeburg 2010
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen
⇒ siehe Bilder F 4.30, F 4.31
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
185
Zusatzkapitel:
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos
4.8.1 praktische Probleme
• Nachtrocknung von Schüttgütern, die aus Trocknern eingefüllt werden, in den Silos verbunden mit Brüdenkondensation an den kalten Wänden,
• dem folgen Aufbau von Anbackungen oder Verhärtungen von Schüttgütern mit leichtlöslichen Inhaltsstoffen,
• oder Ansammlung größerer kondensierter Wassermengen am Auslauf; • Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Wandnormaldruck) notwendig
bei Abkühlung (Kontraktion) der Wand
TEl
)T(lE)T(Ep l0
T,n ∆⋅α⋅=∆⋅=ε⋅=∆ ( 4.379)
und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwechsel - eine Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wand-kontraktion die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgu-tes;
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut
Gewöhnlich ist hier ein scharfer Unterschied zwischen der Wandtemperatur Tw und der Guttemperatur an der Wand zu beobachten. Stark vereinfacht lassen sich die möglichen Temperaturdifferenzen über eine quasi-stationäre Wärmebi-lanz aus dem von einer Quelle abfließenden Wärmestrom (Wärmedurchgang zwischen Schüttgut und Außenwand) abschätzen:
TAkQdtdQ
∆⋅⋅−=−≈ , ( 4.380)
mit dem Durchgangswiderstand als Summe der Teilwiderstände
gbgb,ww
w
aw,g
11s1k1
++ α+
α+
λ+
α= ( 4.381)
αg,aw Wärmeübergangskoeffizient, Außenluft - Außenwand, ≈ 23 W/(m2 K) (siehe MARTENS 1987)
λw Wärmeleitkoeffizient der Wand, ≈ (30...60) W/(m K) für Stahl αw,b+g Wärmeübergangskoeffizient, Schüttgut und Porenluft - Innenwand, αb+g Wärmeeindringkoeffizient in das Schüttgut (und Porenluft), Problematisch sind die Wärmeübergangskoeffizienten von Schüttgut und Po-renluft (jeweils parallel geschaltet) zur Innenwand und im Inneren der Schüt-tung. Wenn nur der Anteil der Porenluft betrachtet wird, läßt sich etwa αw,g ≈ 8 W/(m2 K) abschätzen (siehe MARTENS 1987).
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
186
4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut
Es soll hier auf ein zweckmäßiges Modell von TSOTSAS (1988) zurückgegrif-fen werden: Für die modifizierte freie Weglänge der Gasmoleküle zwischen den Partikel-Wand-Kontaktflächen gilt:
−⋅
λ⋅
π⋅
γγ−
⋅=
MRc2pM
TR222lg,p
gmod,g ( 4.382)
M Molmasse des Gases R allgemeine Gaskonstante T Temperatur γ Anpassungskoeffizient (sog. Akkomodationskoeffizient), 1-γ ist der
Anteil an Gasmolekülen mit vollelastischer Wandreflexion ohne mole-kulare Energieübertragung, ≈ 0,9
cp,g spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck, ≈1,006 J/(g K) für Luft
Der lokale Wärmeübertragungskoeffizient im Partikel-Wand-Kontakt (Index pwk,lok) ist definitionsgemäß mit der KNUDSEN-Zahl lokmod,g a/lKn = :
( )Kn1ala lok
g
mod,glok
glok,pwk +⋅
λ=
+λ
=α ( 4.383)
Bei großen lokalen Partikelabständen alok und kleinen KNUDSEN-Zahlen (Kn < 1, Kontinuumsbereich) überwiegen die Molekülkollisionen; bei kleinen Partikelabständen und großen KNUDSEN-Zahlen (KNUDSEN-Bereich) die Molekül-Wand-Kollisionen. Nach Integration unter Berücksichtigung der Kugel-Platte-Kontaktgeometrie wird erhalten:
( )( )
−
++⋅
++
λ=α 1
dl2d1ln
ddl2
1d
4
rmod,g
rmod,ggpwk ( 4.384)
dr mittlere Rauhigkeitsabmessung d Partikelgröße Für den Wärmeübertragungskoeffizienten zwischen Wand und Schüttung gilt nun mit Berücksichtigung der Wärmestrahlung αrad:
HFpwkradrmod,g
gHFHFpwkwb d/)dl(22
d/2)1( ϕ⋅α≈α+
+⋅+
λ⋅ϕ−+ϕ⋅α=α ( 4.385)
ϕHF Bedeckungsgrad der Heizfläche mit Schüttgut, ≈ 0,8 Der zweite Summand berücksichtigt die Wärmeleitung von der Wand an die zweite Partikelschicht.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
187
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung
Mit dem sog. Plattenmodell nach KRISCHER (siehe TSOTSAS 1988) läßt sich insbesondere der Einfluß der Porosität ε der Schüttung dar-stellen. Es gilt für parallel )kk( 21+ und in Reihe ...)/1k/1( 1+ geschal-
tete Durchflußkoeffizienten kk oder reziprok für die Wider-stände 1/kk der festen und Porengasphase:
1
g
II
g
Ig
b 1
−
λλξ
+
λλξ−
=λλ mit ( 4.386)
g
s
g
I )1(λλ⋅ε−+ε=
λλ und ( 4.387)
1
g
sg
II 1
−
λλε−
+ε=λλ ( 4.388)
ξ Anteil der Reihenschaltung (= Maximalwiderstand), ≈ 0,2 gute Anpas-sung, 1-ξ = Anteil der Parallelschaltung (= Minimalwiderstand)
λs Wärmeleitfähigkeit des Feststoffpartikels, ≈ 1,2 W/(m K) für Silikate u.ä. mineralische Stoffe
λg Wärmeleitfähigkeit des Gases, ≈ 0,245 W/(m K) für Luft T = 273 K, wobei 6/7
g MT −⋅∝λ
Problematisch für praktische Aufgaben ist allerdings hier die Quantifizierung des Anteiles ξ.
4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett
Für den instationären Energietransport innerhalb der ruhenden Schüttung (Festbett) gilt in Zylinderkoordinaten:
( )[ ] ( )yTcm
yq
rqr
r1
dtdTcc1 g,p0
yrg,pgs,ps ∂
∂−
∂∂
−∂
∂⋅−=⋅ρ⋅ε+ρ⋅ε−
( 4.389)
mit den kinetischen Ansätzen für die Wärmestromdichten q in radialer und
axialer Richtung
rTq rr ∂∂
Λ−= ( 4.390) und yTq axy ∂∂
Λ−= ( 4.391)
211ges kk1
k1
k1
++= bzw.
1
1
2
1
21
1
1
ges
kk1
11kk
k1k
k
−
−
++=
+
+=
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
188
Λr, Λax radialer und axialer Transportkoeffizient (effektive Wärmeleit-fähigkeit)
erhält man die allgemeine Bilanz
( )[ ]yTcu
yT
rT
rT
r1
dtdTcc1 g,pg02
2
ax2
2
rg,pgs,ps ∂∂
ρ−∂∂⋅Λ+
∂∂
+∂∂⋅⋅Λ=⋅ρ⋅ε+ρ⋅ε−
( 4.392) sowie analog dazu für den Stofftransport in der Gasphase
ycu
ycD
rc
rc
r1D
dtdc
02
2
ax2
2
r ∂∂
−∂∂⋅+
∂∂
+∂∂⋅⋅=⋅ε ( 4.393)
Dr, Dax radialer und axialer Dispersionskoeffizient Die gewöhnlich unter Beachtung bestimmter Randbedingungen numerisch ge-löst werden. Vereinfachend gilt für den zeitlich gemittelten Wärmeübergang aus Messungen in einer Schüttung, siehe TSOTSAS S. 167 ff:
tc
2T
q bb,pbb ⋅π
λρ⋅=
∆=α
( 4.394)
t Kontaktzeit cp,b spezifische Wärmekapazität der Schüttung ρb Schüttgutdichte λb wirksame Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, z.B. nach Gl.( 4.386)
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung
Befülleinrichtungen Die Einspeisung von Schüttgütern in Bunker geschieht gewöhnlich durch Ab-wurf von Stetigförderern. Bei geringeren Füllständen sollte das Gut als Folge der Abwurfparabel nicht auf die Bunkerwand auftreffen, da dann dort starker Verschleiß auftreten kann. Weiterhin können größere Abwurfhöhen infolge der kinetischen Energie der fallenden Partikeln zu einer erhöhten Schüttgutverfes-tigung führen. Den in Abschnitt 1.4 Schüttec_1.doc beschriebenen Entmischungserscheinun-gen am aufgeworfenen Schüttgutkegel kann einerseits durch reversierbaren Bandabwurf, wobei das Schüttgut lagenweise eingespeichert wird, oder ande-rerseits durch Mehrpunktbeschickung mittels einfacher Einbauten begegnet werden. Dadurch entstehen mehrere kleinere Schüttgutkegel, und die Entmischungen halten sich Grenzen, siehe Bild F 4.32.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
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Bunkerfüllstandsmessung Im Zusammenhang mit der Automatisierung verfahrenstechnischer Prozesse kommt der Bunkerfüllstandsmessung wachsende Bedeutung zu. Vielfach ge-nügen Grenzstandsmessungen. Es kann aber auch ein periodisches oder konti-nuierliches Messen des tatsächlichen Füllstandes erforderlich sein. In Abgängigkeit von der Art des Bunkers, den Schüttguteigenschaften und von meßtechnischen Erfordernissen ist eine größere Zahl von Meßmethoden und -geräten entwickelt worden, Bild F 4.33: 1) Die wahrscheinlich genaueste Messung wird erreicht, wenn der gesamte
Bunker auf Druckmeßdosen gestellt wird, wodurch das Bunkergesamtge-wicht unmittelbar gemessen wird.
2) Die einfachste Methode ist das Ausloten der Füllhöhe entweder elektrome-chanisch oder von Hand.
3) Elektromechanische Drehflügelgeräte werden als Grenzschalter zur Voll- oder Leeranzeige benutzt. Diese einfache Meßmethode ist sehr robust und preiswert, Bild F 4.34.
4) Zur Grenzstandsüberwachung dienen auch Membranschalter, die in der Silowand eingesetzt auf den Schüttgutdruck ansprechen.
5) Bei der konduktiven Füllstandsmessung dienen Sonden zur Signalisierung von Grenzzuständen elektrisch leitfähiger Schüttgüter.
6) Bei der kapazitiven Messung bilden eine in den Behälter eingebaute Stab-sonde oder eingehängte Teilsonde mit der Behälterwand einen Kondensa-tor.
7) Die Absorption von β- oder γ-Strahlen kann für alle Schüttgüter zur Kon-trolle von Grenzfüllständen oder zur kontinuierlichen radiometrischen Mes-sung benutzt werden. Diese Methoden sind unempfindlich, aber ver-gleichsweise aufwendig und kostspielig.
8) Die Echolotung mit Ultraschall bietet sich zu Kontrolle von Grenzzustän-den sowie zur kontinuierlichen Messung von Füllständen feinkörniger und auch belüfteter Schüttgüter an.
4.10 Bunkerverschlüsse
− wesentliche Bauarten, Bild F 4.35 a) waagerechter Flachschieber b) senkrechter Flachschieber c) waagerechter Drehschieber d) Doppeldrehschieber e) Kugelbahn f) Drehklappe
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g) Austragschurre mit Klauenhebelverschluß h) Stauverschluß mit Schwenkschurre
− Anwendung
• a) bis f) für mittel- bis feinkörnige Schüttgüter, z.B. Zement, Sand, Kies • e) Kugelhahn für feinkörnige Güter in Druck- bzw. pneumatische Förder-
anlagen (Richtpreis 23000.- DM!) • g) und h) für grobstückiges Gut, z. B. Rohhaufwerke
− Beispiel: Absperrschieber mit Handrad bzw. Elektroantrieb, F 4.36 − grundsätzliche Forderungen
• keine Steuerung des Massenstromes durch halbgeöffnete Schieber, Klap-pen oder Hähne bei kohäsiven Gütern ⇒ Kernflußgefahr!, d.h. kein "Wasserhahn-Prinzip"
• Verschlüsse vollständig öffnen bzw. schließen • Mengenstromsteuerung bzw. -regelung ist Aufgabe der Austrags- bzw.
Dosiergeräte!
4.11 Normsilos
kurze Diskussion der Abmessungen und Einzelheiten siehe Bild F 4.37 ....