PARAMERI COSMOLOGICI

DETERMINAZIONE DI Ωm E ΩΛ DA

SN 1A & WMAP

Marco Nardini Cosmologia Osservativa

anno accademico 2004-2005

SOMMARIO

• La metrica dell’universo• Da Einstein a Friedman• Distanze nel cosmo• Supernovae 1 A• Candele standard• CMB• Fluttuazioni di temperatura• Osservazione delle anisotropie

LA METRICA DELL’UNIVERSO

La metrica che si usa per descrivere l’universo sotto le ipotesi di omogeneità e isotropia (principio cosmologico) è detta metrica di Robertson-Walker ed è espressa dalla relazione:

dove r, θ, φ sono le coordinate comoventi, t è il tempo proprio, a(t) è il fattore di scala e K il parametro di curvatura che può assumere valori discreti pari a 1, 0, -1.

DA EINSTEIN A FRIEDMAN

Le equazioni di Einstein legano la metrica dello spazio-tempo al

tensore energia-momento della materia-energia.

Dove poniamo :

con p la pressione, ρc2 la densità di energia compresa quella della massa a riposo e uk i tetravettori velocità del fluido.

In generale abbiamo che :

dove

ma nella metrica che stiamo considerando sappiamo che:

gli unici simboli di Christoffel diversi da zero sono:

ritornando dunque ai termini del tensore di Ricci:

la traccia del tensore di Ricci è dunque

infine esplicitando il primo termine del tensore di Einstein

da cui si ottiene la prima equazione di Friedman

sostituendo questa equazione nella formula

si ottiene la seconda equazione di Friedman

Nel caso nelle equazioni di Einstein si tenga conto della presenza di una eventuale costante cosmologica Λ

si riscrivono le equazioni di campo sostituendo al tensore energia-impulso un nuovo tensore efficace che tiene conto della nuova componente repulsiva dovuta alla nuova equazione di stato e al fatto che per costante cosmologica si ha scritto:

con :

In cosmologie con equazione di stato in cui si considera il contributo della costante cosmologica, il contributo di questo termine può essere paragonato a quello di un fluido con pressione negativa. Nel caso le densità di materia e di “dark energy” siano tali per cui q0<0 l’universo vive un fase di accelerazione.Una determinazione precisa dei parametri cosmologici ed in particolare la conoscenza delle densità Ωi caratteristiche delle varie componenti che entrano nell’equazione di stato sono necessarie dunque per comprendere fino in fondo la storia evolutiva del cosmoNegli ultimi anni si sono messi in atto vari progetti volti a tal fine.In particolare in questa sede verranno trattati i seguenti metodi di determinazione.

• studio dei parametri cosmologici usando come candele standard le Supernovae 1A

• Analisi dello spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura del fondo cosmico a microonde (COBE e WMAP)

La legge di Hubble che lega a distanza di un oggetto extragalattico alla sua velocità di recessione e che dipende dal solo parametro H0 è valida solo per oggetti non eccessivamente lontani dall’osservatore ( z<0.1 ). Già da molti decenni però le tecnologie permettono di osservare oggetti extragalattici spingendoci a redshift che raggiungono il valore di 6. Per conoscere la distanza di oggetti a grande z è necessario tener conto del peso che hanno le varie componenti nell’espansione dell’universo.Per oggetti lontani dunque si definisce una quantità detta distanza di luminosità dL che preserva la validità della legge dell’inverso dl quadrato della distanza per la diminuzione dell’intensità emessa da una sorgente puntiforme.

dove L è la potenza emessa da una sorgente posta in un punto P di coordinata r al tempo t e l è la potenza ricevuta da un osservatore posto nel punto P0 ad un tempo t0

Distanze nel cosmo

Il fattore di scala a(t) può essere sviluppato in serie per t prossimi a t0

dove abbiamo definito i parametri riferiti al fattore di scala odierno

3

02

0200000 2

11 ttttHqttHa

COSTANTE DI HUBBLE

PARAMERO DI DECELERAZIONE

Utilizzando questo sviluppo in serie si devono cercare delle equazioni che mettano in relazione delle quantità osservate con i parametri cosmologici.La distanza di luminosità può essere riscritta in funzione delle coordinate ignote della sorgente luminosa r.

utilizzando l’espansione precedente con un po’ di conti si ottiene lo sviluppo in serie di potenze della distanza di luminosità

questa può anche essere scritta come uno sviluppo in serie della luminosità apparente l (osservabile) in funzione di z (osservabile) della luminosità assoluta L (in genere ignota) e dei due parametri H0 e qo

che in forma osservativamente più comune può essere riscritta come

Riess 2000 riporta la relazione attesa per la distanza di luminosità in una cosmologia di Friedman-Robertson-Walker con ΩM e densità dovuta al termine di costante cosmologica ΩΛ esplicitate

con senn equivalente al seno iperbolico per ΩK>0 e al seno per ΩK<0. Nel caso di ΩK=0 la relazione si riduce a

Nel caso si riesca a trovare una categoria di sorgenti per le quali sia possibile conoscere la luminosità intrinseca indipendentemente dal modello cosmologico usato partendo solo da quantità osservate le relazioni precedenti permettono di determinare una stima dei parametri cosmologici utilizzando soli dati osservati.Tale tipo di sorgenti sono dette

CANDELE STANDARD

gli oggetti di questo tipo che oggi forniscono le migliori stime sono le

SUPERNOVAE 1A

SUPERNOVAE 1A

Le supernovae 1A sono egli eventi di supernova particolarmente brillanti (magnitudine assoluta al picco superiore a -19 usando H0=72 km s-1 Mpc-1) Filippenko et al. 2004, dovuti probabilmente o al raggiungimento della massa di Chandrasekhar da parte di una stella (nana bianca) in accrescimento da parte di una stella compagna o al merging di due nane bianche in un sistema binario particolarmente stretto.Questo tipo di supernova può essere riconosciuto dalla curva di luce che mostra un picco di emissione fra 10 e 15 giorni e dal fatto che nello spettro siano riconoscibili righe dovute alla presenza di elementi pesanti come ad esempio una forte riga di assorbimento associata al Si II a 6150 Ǻ.

CANDELE STANDARD

Le supernovae 1A possono essere giudicate delle ottime candele standard per vari motivi.

• La forma della loro curva di luce ed in particolare l’andamento temporale della decrescita del flusso dopo il raggiungimento del picco correla con la magnitudine assoluta al picco

• La loro elevata luminosità intrinseca permette loro di essere visibili anche a distanze (z anche superiori a 1) più elevate delle altre candele standard.

• Il peso delle correzioni da applicare come l’assorbimento dovuto alla presenza di polveri lungo la linea di vista sia nella nostra galassia (mappe di Schlegel) sia nella galassia ospite non sono tali da inficiare i risultati ottenuti

• Effetti evolutivi e differenze comportamentali in funzione del redshift, seppur al centro degli odierni studi, non provocano una dispersione nella correlazione maggiore della confidenza dei risultati.

• La loro distanza permette di analizzare le caratteristiche della galassia ospite

Una volta individuato un evento è necessario calibrare l’osservazione con una stella di riferimento e poi sottrarre immagini prese a tempi successivi.

A questo punto analizzando lo spettro si può verificare che la sorgente soddisfi le condizioni di selezione e determinare lo z della sorgente

Analizzare l’andamento della curva di luce

Le curve di luce osservate mostrano una evidente dispersione

rinormalizzando tenendo conto della correlazione si vede una sorprendente sovrapposizione delle curve di luce

Analizzando i dati si deve tenere conto del fatto che esistono effetti sistematici indipendenti dalle caratteristiche intrinseche della sorgente e dal modello cosmologico e che dunque rischiano di inficiare la validità dei risultati

• L’osservatore non è fermo rispetto al sistema di riferimento dell’espansione (vedi dipolo nel CMB).

• L’assorbimento dovuto alle polveri presenti nella galassia ospite può avere un’importanza rilevante sia per la riduzione del flusso osservato sia per la distorsione della forma spettrale osservata.

• Correzione degli effetti dovuti all’atmosfera (per le osservazioni da terra)

• Effetti di selezione• Differenze di calibrazione (esiste spesso disomogeneità

nell’acquisizione di dati presi da telescopi diversi e usando stelle di calibrazione diverse)

Correggendo per gli effetti dovuti al’assorbimento da polveri la dispersione passa da 0.42 a 0.15 magnitudini.Per dare un’idea dell’importanza di questo tipo di correzione si noti che la deviazione che porta a calcolare l’accelerazione è dell’ordine di 0.25 magnitudini (Filippenko 2004). La prima dava una stima della costante di hubble a H0=58±8, Quella corretta restituisce una stima di H0=65±2. Le ultime stime che tengono conto anche di altri eventi non inseriti in questa imagine hanno portato la più recente stima a H0=72 km s-1

(Filippenko 2004)Filippenko 2004

Dai dati definitivamente analizzati si può infine tracciare il diagramma di Hubble e determinare i parametri cercati

Le supernovae a basso redshift hanno permesso di fissare una stima della costante di hubble H0 mentre i fit tenendo conto delle supernovae più lontane fino a z=0.9 e successivamente inserendo anche un evento a z≈1.7 hanno reso possibile una stima delle densità di materia e di “dark energy” vincolando anche il segno del parametro di decelerazione.

Filippenko 2004

Filippeko 2004

RISULTATIImponendo universo piatto

CMBLa radiazione cosmica di fondo a microonde CMB è l’immagine della superficie di ultimo scattering fra fotone e elettrone avvenuto al tempo della ricombinazione fra protoni ed elettroni.

Lo spettro della CMB al momento dell’emissione è uno spettro di corpo nero. Essendo la quantità I/3 un invariante di Lorenz lo spettro da noi osservato a z=0 è ancora uno spero di corpo nero praticamente perfetto.

Si può dimostrare che l’effetto dell’espansione sullo spettro di un corpo nero è quello di ridurre la temperatura osservata di un fattore (1+z) rispetto a quella emessa mantenendo inalterata la natura termica dello spettro.

Lo spettro della CMB misurato dal satellite COBE mostra come i dati osservati. Si può notare l’assoluta consistenza dei dati osservati con la curva teorica di un corpo nero avente una temperatura di 2.726 k.

FLUTTUAZIONI DI TEMPEATURA

Una volta ottenuta una mappa di temperatura del cielo è necessario sviluppare questo campo di fluttuazioni sulla base delle armoniche sferiche.

dove con è indicato il vettore unitario che identifica la direzione nella volta celeste.Sfruttando l’ortonormalità delle armoniche sferichepossiamo invertire la relazione ottenendo

La funzione di correlazione a due punti C(θ) per le fluttuazioni di temperatura misurate nelle direzioni definite rispettivamente dai versori q1 e q2 che formano fra di loro un anglo θ può essere scritta come

e invertendo

dove Pl(cosθ) sono i polinomi di Legendre.Queste sono relazioni esatte. Consideriamo il comportamento medio, si puo’ scrivere

Dove con i Cl indichiamo lo spettro angolare di potenza delle fluttuazioni definito come il valore quadratico medio dei coefficienti al

m. Questo ci mostra la dimensione media delle fluttuazioni su una scala angolare θ≈1/l

I modelli cosmologici predicono con accuratezza la forma dello spettro di potenza delle fluttuazioni in funzione di un gran numero di parametri fra cui: la costante di Hubble h, la forma dello spettro delle perturbazioni primordiali, la densità totale della materia Ω0m, la densità di materia barionica Ω0b, la densità massa-energia “dark energy” Ω0, il parametro che rappresenta la curvatura della geometria definito come ΩK=1-Ωom-Ω0.E’ dunque possibile ricavare il valore di tali parametri confrontando i dati osservati con le curve predette dai modelli verificandone poi la consistenza. L’alto numero di parametri rende necessaria una misura estremamente accurata dello spettro di frequenza.

Spettro delle fluttuazioni di temperatura predetto sovrapposto ai dati ottenuti da vari esperimenti

Come si vede, le osservazioni hanno fornito una stima dello spettro fino a valori di l superiori a 1000 con un apporto fondamentale di informazione dato da WMAP per la determinazione della forma del primo picco.

Al variare di Ω0m la curva sale o scende contemporaneamente nei primi due massimi mentre all’aumentare di Ω0b il primo picco aumenta mentre scende il secondo. Misurando dunque l’altezza del primo picco e il rapporto fra le altezze dei dei primi due si possono stimare i valori della densità totale di materia e della densità di materia barionica. La scala del primo picco corrisponde alla scala di massa che entra nell’orizzonte al momento della ricombinazione.Nell’ipotesi di universo piatto si può stimare con un semplice calcolo

con lunghezza comovente

quindi

sia 0 la scala odierna, la scala alla ricombinazione sarà

il rapporto fra la scala dell’orizzonte alla ricombinazione e quella attuale è

In uno scenario di universo piatto ci si aspetta che il primo picco sia centrato su un valore di l≈200, nel caso di universo aperto l’angolo corrispondente all’orizzonte alla ricombinazione sarà minore spostando il picco verso l maggiori. Una valutazione accurata delle previsioni teoriche confrontate con le osservazioni di WMAP permette di ottenere la migliore odierna stima della densità totale dell’universo e una stima della densità di materia.

Questi risultati sono consistenti con un modello di universo piatto (ΩK=0) e con i risultati ottenuti con le supernovae 1a (Ω0m=0.27 e Ω=0.73).E’ oggi possibile escludere una cosmologia con Ω0m=1

Spergel et al. 2003

OSSERVAZIONE DELLE ANISOTROPIE

Al fine di studiare le anisotropie della radiazione cosmica di fondo è necessario valutare i fattori che possono intervenire sulla radiazione prima di essere osservata diminuendone il grado di isotropia.

In primo luogo è necessario tener conto del moto relativo dell’osservatore rispetto al sistema di riferimento del fluido comovente. Nel caso di un osservatore terrestre la velocità totale è quella risultante dalla combinazione dei moti della terra nel sistema solare, del sistema solare all’interno della Via Lattea e della velocità che la nostra galassia possiede all’interno della buca di potenziale dell’ammasso di cui fa parte. Tale moto provoca una rottura della simmetria sferica individuando una direzione preferenziale. Tale evento si traduce in un contributo di dipolo (l=1) nello spettro di potenza delle fluttuazioni. Già le mappe di COBE e poi di WMAP rappresentano in modo molto evidente il peso di questo effetto come mostrato in figura.

Il dipolo non è dovuto ad un spostamento doppler della radiazione in quanto l’effetto netto della variazione dell’energia dei fotoni e del differeziale della frequenza fanno si’ che la temperatura osservata da un osservatore in moto sia invariata.

Il dipolo è dovuto invece ad un aumento del flusso di fotoni lungo la direzione del moto contemporaneo ad una diminuzione dell’angolo solido.

Nel riquadro centrale della figura si può facilmente notare il peso del termine di dipolo nell’isotropia del CMB a ΔT=3.353mK.

L’ultimo riquadro in basso mostra l’immagine ripulita dall’effetto del dipolo. Si mostra essere necessaria una correzione per eliminare il contributo dovuto a sorgenti diverse.

Il contributo della galassia e dellle altre sorgenti radio viene ripulito mappando la radiazione a varie frequenze e combinando poi le immagini per ottenere infine una rappresentazione precisa della CMB

• anisotropie di quadrupolo (l=2): possibilmente dovute alla presenza di perturbazioni su scala dell’orizzonte cosmologico

• effetto Sachs-Wolfe: una non omogenea distribuzione di materia sulla superice di ultimo scattering con conseguente variazione locale dei potenziali gravitazionali provoca effetti di shift gravitazionale sui fotoni.

• effetto Sunyaev-Zeldovich: interazione compton inverso dei fotoni del CMB con gli elettroni altamente energetici presenti nel plasma caldo dell’ICM. I fotoni a bassa energia vengono riprocessati e riemessi ad alte frequenze (tipicamente si osservano con telescopi X).

• shift gravitazionale in prossimità di ammassi (integrated Sachs-Wolfe effect).

• Una eventuale reionizzazione del cosmo porterebbe ad avere una riduzione del segnale in funzione dell’andamento e del valore della profondità ottica incontrata dai fotoni.

RISULTATI COMBINATI

REFERENCES

• Riess, A.G., 2000, Pubblication of the Astronomical Society of the Pacific, 112,1284

• Riess, A.G., Strolger, L.G., Tonry, J., et al., 2004, ApJ, 607,665• Filippenko, A.V., 2004, astro-ph, 0410609• Spergel, D.N., Verde, L., Peiris, H.V., et al, 2003, ApJ, 148, 175• Introduzione alla cosmologia, F. Lucchin• Gravitation and Cosmology, S. Weinberg• Cosmological Physics, J.A. Peacock