P3 ElektronikaI B3M Fermi

Elektronika 1dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof

n, p, J

Kod projektiranja poluvodikih komponenata vano je znati ocijeniti struje koje e tei kroz komponentu u danim uvjetima rada. mora biti poznata koncentracija nositelja naboja uzdu strukture Raspodjelu koncentracija moe se izraunati iz jednadbe kontinuiteta. prouimo upljine u malom volumenu unutar poluvodikog materijaladr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

jednodimenzionalna kontinuitetna jednadba za upljine i za elektrone

p 1 J p ( x) ( x, t ) = + (G R) upljine t q x1 J n ( x) n ( x, t ) = + (G R) elektroni t q x Poissonova jednadba 2 x 2 = q + = = ( N D N A + p n) x s s

dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Fermijeva razina J u poluvodiima nastaje zbog toka e- i p+ n(x,t), p(x,t) iz: jednadbe konitnuiteta Poissonove jednadbe -

na potencijal unutar poluvodia utjee U traimo vezu izmeu i U n(x,t), p(x,t) I I-U karakteristika referentni energetski nivo je Fermijev nivodr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Energije i koncentracije slobodnih nositelja naboja u istom poluvodiu Fermijeva razina u energijskom dijagramu pojasa daje znaenje padu napona i koncenraciji nositelja naboja. Fermi-Dirac funkcija raspodjele Fermijeva razina je energija EF definirana s Fermi-Dirac funkcijom raspodjele

f (E) =

1E EF 1 + e kT

gdje je k Boltzmanova konstanta, T apsolutna temperatura i E energijadr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Funkciju raspodjele izveli su neovisno fiziari Fermi i Dirac 1920.g. f(E) je vjerojatnost da je odreeno kvantno stanje s energijom E zauzeo elektron. Funkcija raspodjele korektno opisuje zauzetost dva stanja na jednom energijskom nivou u skladu s Paulijevim principom iskljuivosti koji kae ako je jedno stanje zauzeto s elektronom drugo stranje moe biti zauzeto jedino s elektronom suprotnog spina.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

1023 stanja/cm3 u vodljivom i valentnom pojasu Si raspodjela energije po energetskim pojasevima blizu rubova pojaseva jeg c ( E )dE = 8 2 h3 * mn3 / 2 E EC dE

E > EC

g v ( E )dE =

8 2 h3

m*3 / 2 EV E dE p

E < EV

dimenzije broj stanja na jedinicu volumena, gusota raspoloivih kvantnih stanja na intervalu energije E i E+dE. f(E) je vjerojatnost da e elektroni zauzeti stanjadr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Gustoa stanja s energijom

Fermi-Dirac-ova raspodjela

E

T EC ED EG EA E-EF (meV) T=300K 0 T=0K 1 f(E)

EV

0

g(E)


broj elektrona u vodljivom pojasun0 =

vrh _ pojasa

f ( E ) g ( E )dE

EC

upljinap0 =

[1 f ( E )]g ( E )dE dno _ pojasaEV


Ravnotena koncentracija elektrona u ovisnosti o Fermijevoj energiji je 2 E F EC n0 = N C F1 / 2 kT gdje je NC efektivna gustoa stanja u vodljivom pojasu* 2mn kT 3 / 2 N C = 2( ) 2 h

Fermi-Diracov integral zamjenom varijabli=E EC kT

F =

jeF1 / 2 ( E F EC ) =

EC

E EC 1 / 2 dE ( kT ) kT EE ( kT F )

=

1+ e

0

1 + e( F ) d

( )1 / 2


E F EC kT

za F< -1 integral se moe aproksimirati s eksponencijalnom funkcijom za F=0 je EF = EC i F1/2=0,6 odnosno n0,7NC za nedegenerirane poluvodie po definiciji je N 2kT

Fermi-Dirac integral poprima oblikF1 / 2 [( E F EC ) / kT ] = e 2E EF C kT e

EC E F kT

primjenom Boltzmannove statistike ravnotena koncentracija jen0 = N C

ili

NC EC E F = kT ln n 0

sva stanja vodljivog pojasa su stisnuta na samo jedno energijsko stanje EC i predstavljena s efektivnom gustoom stanja NC

NC =4,07x1019cm-3 za Si NC = 4,21x1017cm-3 za GaAsdr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Usporedba tonog rjeenja FD relacije i aproksimiranog rjeenja MB relacije

10 5

E F EC kT

FermiDiracova raspodjela

vodljivi pojas

0 -1 -5

MaxwellBoltzmanonnova statistika10-4 10-2 1 102

valentni pojas

-10

n0/NC


za upljinep0 = NV e

E F EV kT

ili

N E F EV = kT ln V p 0

gdje je NV (2,31x1019cm-3 za Si; 9,51x1018cm-3 GaAs) efektivna gustoa stanja u valentnom pojasuNV = 2( 2m* kT p h2 )3 / 2

aproksimacija vrijedi zaE F EV > 2kT

za poluvodi koji je nedegenerativan Paulijev princip i Fermi-Diracova raspodjela za degenerativan poluvodidr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Fermijeve razine u dijagramu energijskih pojasa Poznamo li poloaj Fermijeve razine u odnosu na rub energijskih pojaseva moemo izraunati koncentracije n0 i p0. Unoenjem EF u dijagram energija lake e se odrediti koncentracija nositelja naboja u poluvodiu i tip poluvodia. EF blie rubu vodljivog pojasa, EC - n-tip poluvodia EF blie valentnom pojasu, EV - p-tip poluvodia


n0 =

vrh _ pojasa

f ( E ) g ( E )dE

EC

p0 =

EV

dno _ pojasa

[1 f ( E )]g ( E )dEintrinsini Si

Energija elektrona


gustoa stanja

Koncentracija slobodnih nositelja naboja


n0 =

vrh _ pojasa

f ( E ) g ( E )dE

EC

p0 =

EV

dno _ pojasa

[1 f ( E )]g ( E )dE

n-tipFermiDiracova raspodjela gustoa stanja g(E) koncentracija slobodnih nositelja naboja

Energija elektrona

n0 =

vrh _ pojasa

f ( E ) g ( E )dE

EC

p0 =

EV

dno _ pojasa

[1 f ( E )]g ( E )dEp-tip

Energija elektrona


Gustoa stanja

Koncentracija slobodnih nositelja naboja

Odreivanje Fermijeve razine u intrnisinom materijalu u Si energijski rascjep iznosi EG = 1,12 eV 43kT na 300 K, na sobnoj temperaturi U materijalu bez narinutog napona Poissonova jednadba prelazi u jednadbu neutralnosti naboja. U intrinsinom poluvodiu nema prisutnih primjesa stoga Poissonova jednadba poprima oblik

n0=p0dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

izjednaimo li jednadbe za koncentracije slobodnih nositelja naboja dobijemon0 = p0 = ni* 2mn kT 2 3 / 2 E F EC 2m* kT p e kT = 2 3/ 2 E E V F e kT

h

h

E F EC EV E F m* p kT = e kT m* n

3/ 2

* 3 mp 2 E F ( EC + EV ) = ln * 2 mn * EC + EV 3 m p + ln E F = E Fi = * 2 4 mn dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

ako je EV referentna energija i

EC = EV + EG

EG 3kT EFi = + ln * 2 4 mn

m* p

gdje je efektivna masa gustoe stanja za elektrone i upljine* mn = 1,38 m0 = 1,38 9,110 31 kg = 12,558 10 31 kg

m* = 0,946 m0 = 0,946 9,110 31 kg = 8,6086 10 31 kg p Fermijeva razina u istom Si pomaknuta prema rubu valentnog pojasa za 0,0073 eV ispod sredine zabranjenog pojasa.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

intrinsinu koncentraciju nositelja ni i uz pretpostavku n0p0= ni2 moemo izrazitiE Fi EC ni = N C e kT

EV E Fi pi = NV e kTEV EC ni pi = N C NV e kT


Budui je ni=pi slijedi EG ni = ( N C NV )1 / 2 e 2kT

odnosno iz omjera n0/nin 0 p 0 = n i2E F E Fi n0 = ni e kTE Fi E F p0 = ni e kT

n0 E F E Fi = kT ln n i E Fi E F = kT ln p0 ni


na 300 K za Si koristi se vrijednost

ni = 1,25 1010 cm 3EG = 1,12eVN C = 4,07 1019 cm 3 NV19 cm 3 = 2,31 10


Fermijeva razina u ekstrinsinim materijalima Poluvodi je homogen i bez elekrinog polja, stoga Poissonova jednadba prelazi u jednadbu neutralnog naboja+ = q( p0 + N D n0 N A ) = 0

odnosno

p0 +

+ ND

= n0 +

NA


Fermijeva razina u ekstrinsinim materijalima iz n0p0=ni2 slijedi p0=ni2/n0 i uvrtenjem u jednadbu+ p 0 + N D = n0 + N A

slijedi

2 + n0 + ( N A N D )n0 ni2 = 02 + p0 + ( N D N A ) p0 ni2 = 0

od kud jen0 =+ + ( N D N A ) + ( N D N A ) 2 + 4n i2

2dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Fermijeva razina u ekstrinsinim materijalima odnosno

p0 =

+ + ( N A N D ) + ( N A N D ) 2 + 4ni2

2


Fermijeva razina u ekstrinsinim materijalima kod poznate koncentracije ioniziranih primjesa ND+= ND, NA- = NA Za n-tip materijalaNC E C kT ln + ND E F = ili + ND E + kT ln Fi ni


Fermijeva razina u ekstrinsinim materijalima Za p-tip materijala

NV EV + kT ln NA E F = ili NA E kT ln Fi ni dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Fermijeva razina kod nepoznate koncentracije ioniziranih primjesa kod niskih temperatura i dubokih primjesa EC-ED> 2kT lokalizirano donorsko stanje ED moe dati samo jedan elektron, stoga je funkcija raspodjele zauzetosti energijskog stanja donora s elektronimaf (ED ) = 1 1+ 1 ( E D E F ) / kT e 2dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

ND+ znai vjerojatnost da je donorsko stanje prazno+ ND 1 = 1 f (ED ) = ND 1 + 2 e ( E F E D ) / kT

osnovno stanje degeneracije = 2 jer donorska razina moe primiti samo jedan elektron s oba spina

Fermijeva razina kod nepoznate koncentracije ioniziranih primjesa kod niskih temperatura i dubokih primjesa EA-EV> 2kT lokalizirano akceptorsko stanje EA moe primiti samo jedan elektron takvog spina koji e se ispravno spariti s nesparenim elektronom neionizirane primjese. Funkcija raspodjele zauzetosti energijskog stanja zbog akceptora koji primaju elektron je1 + 2e ( E A EF ) / kTdr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

f (EA ) =

1

zbog strukture valentnog pojasa koji je dvostruko degenerirani valentni pojas kod k=0, korektni izraz za NA- jeN N A A

=

1 1 + 4 e ( E A E F ) / kT

Struktrua indirektnih energijskih pojaseva - Si i indirektni rekombinacijski prijelazi

EG dvostruki valentni pojas degeneracija faktor 2 kod NA-

Struktura indirektnih energijskih pojaseva - Si i indirektni rekombinacijski prijelazi putem zamki u sredini energijskog rascjepa

Struktura direktnih energijskih pojaseva - GaAs i direktni rekombinacijski prijelazi

Quasi-Fermi razine Fermi-Dirac i Maxwell-Boltzmann funkcije raspodjele mogu se koristiti samo u uvjetima termike ravnotee Koncept primjenjiv i na podruje izvan ravnotee u poluvodiima kad postoji: nadkoncentracija nositelja, vanjsko elektrino polje ili struje.

izraz kvazi izvan termike ravnoteedr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

U neravnotenim uvjetima

n, p ovise o vanjskim uvjetima: jaina ionizirajueg zraenja, narinuti napon na spoj izmeu n-tipa i p-tipa


injekcija elektrona

p-tip

n-n0

x EC Enerija eEFi EF EV

EFn EFp


n>n0 dosadanji izrazi dali bi manje vrijednosti n,p jednostruka kvazi-Fermijeva razina ne moe tono opisati koncentraciju n i p dvije kvazi-Fermiejve razine: kvazi-Fermijeva razina elektrona EFn koja se odnosi na ukupnu koncentraciju elekrona kvazi-Fermijeva razina upljina EFp, koja se odnosi na ukupnu koncentraciju upljinadr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Za nedegenerirane poluvodie te su jednadbe

E Fn = E Fi

n + kT ln ni

E Fp = E Fi

p kT ln ni


Difuzija elektrona od kontakta injekcije stvara difuzijsku struju gradijent EFn Potraimo li diferencijal jednadbe za koncentraciju elektrona dobijemo Gradijent intrinsine kvazi-Fermijeve razine kao i gradijent potencijalne energije ovisi o elektrinom polju1 dE Fi = q dxdr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

dn n dE Fn dE Fi = dx dx dx kT

iz Einsteinove relacije i transportne jednadbe za elektroneD= kT qdx

J n = q n n + qDn dn

slijedi

dE Fn J n = n n dxJ p = n p dE Fp dx

opisuju gibanje nositelja difuzijom i driftomdr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

kad postoji gradijent kvazi-Fermijeve razine u energijskom dijagramu tee struja. Kad je sustav u termikoj ravnotei, dvije kvazi-Fermijeve razine prelaze u jednu, ravnu Fermijevu razinu. To korisimo za opis energijskog dijagrama poluvodikih komponenata.


Ponovimo Fermi-Diracova funkcija je funkcija raspodjele koja opisuje vjerojatnost da je elektron zauzeo neko kvantno stanje u vodljivom ili valentnom pojasu. Energija na kojoj je vjerojatnost tono zove se Fermijeva energija. Koncentracija nositelja naboja i Fermijeva enegija u termikoj ravnotei su tono odreene i meusobno ovisne. Ukoliko je poznata ravnotena koncentracija nositelja naboja moe se izraunati Fermijeva energija i obrnuto. Kod nedegeneriranih materijala je Fermijeva energija udaljena od ruba vodljivog odnosno valentnog pojasa za vie od 2kT. U tim uvjetima se Fermi-Diracova statistika svodi na MaxwellBoltzmannovu statistiku i koncentracija nositelja eksponencijalno ovisi o poloajuFermijeve energije, gdje konstanta proporcionalnosti efektivna gustoa stanja NC, NV.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

U energijskom dijagramu prikazana razina Fermijeve energije olakava predodbu o priblinoj koncentraciji i tipu primjesa u poluvodiu. Za isti, intrinsini poluvodi Fermijeva energija je priblino na polovici zabranjenog energijskog rascjepa, pomaknuta je prema rubu valentnog pojasa zbog razlike u efektivnoj masi vezanoj uz gustoe energijskih stanja u vodljivom i valentnom pojasu mn*, mp*. Razina Fermijeve energije u n-tipu Si pomaknuta je prema rubu vodlivog pojasa. Razina Fermijeve energije u p-tipu Si pomaknuta je prema rubu valentnog pojasa.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Funkcija raspodjele za zauzetost stanja primjesa je razliita s obzirom na Fermi-Diracovu raspodjelu ali sadri Fermijevu razinu. Poznajemo li Fermijevu razinu moemo izraunati koncentraciju ioniziranih primjesa. Poloaj kvazi-Fermijeve energije elektrona, odnosno upljina, koji je povezan s neravnotenim uvjetima poput narinutog napona, odreuje ukupnu (ravnotenu i prekomjernu) koncentraciju elektrona odnosno upljina. Gradijent kvazi-Fermijevih razina direktno je povezan sa strujom elektrona ili upljina.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

Literatura P.Biljanovi, Poluvodiki elektroniki elementi, kolska knjiga Zagreb, 2004. J. Furlan, Osnove nelineranih elementov, Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani, Ljubljana 1981. D.L. Pulfrey, N. G. Tarr, Introduction to Microelectronic Devices, Prentice-Hall International Edition, NJ 1989. S. M.Sze,K.K. Ng, Physics of Semicondutor Devices, J.Wiley &Sons, Inc.2007.dr.sc.Vera Gradinik, izv.prof.

P3 ElektronikaI B3M Fermi

Documents

Transcript of P3 ElektronikaI B3M Fermi