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Repaso de clase anterior

•Distribuciones multivariadas.

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Ejemplo 2: La llamada telefónica.

Supongamos que la duración de distintas llamadas telefónicas son variables iid de distribución exponencial de parámetro λ.Veamos entonces la ocupación de línea de n llamadas consecutivas.

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Método geométrico de cálculo de distribuciones

P(g(X,Y) ≤t)=P((X,Y) C)=

∫C f(X,Y) (u,v)dudv

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P(X+Y≤t)=∫R ∫(-∞,t-v) f(X,Y)(u,v)du dv

Derivando:

fX+Y (t)= ∫R f(X,Y) (t-v,v) dv P y E 2012 Clase 8 Gonzalo Perera 4

Aplicándolo a g(X,Y)=X+Y

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Si X e Y independientes

fX+Y (t)= ∫R fX (t-v) fY(v) dv =

fX * fY (t) (producto de convolución)(pasaje por filtro lineal)

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Paréntesis: La convolución en la Ingeniería1.

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Como se ha dicho, la convolución representa físicamente el pasaje por un filtro lineal.

En efecto si f es una señal que constituye el input de un filtro linealy g es una función característica del filtro, llamada a menudo núcleo, la salida o output es la convolución f*g.

Veremos varios ejemplos de este esquema

FILTROFILTRO

INPUT f Núcleo g

OUTPUT f*g

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Puede demostrarse rigurosamente que f*g=g*f es tan regular como la “mejor” de las dos funciones.

Por ende, si se toma un filtro en el que g tenga infinitas derivadas, AUNQUE f SEA MUY IRREGULAR, f*g

tendra infinitas derivadas.Y como puede verse de la fórmula de convolución, si g

es una densidad muy concetrada en torno al 0, entonces f*g se “parece mucho” a f.

ESTO ES UN CASO MUY IMPORTANTE (los filtros de “suavizado” o “regularización”): dado un input

muy irregular dan un output que es “casi igual”, pero “suave” o “regular”, lo cual ayuda mucho a la

percepción, por ejemplo.

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Veamos un ejemplo:Veamos un ejemplo:

INPUT:f(x)=1 si x (0,1), 0 si no.

NUCLEO: g(x) la densidad de una N(0,0.0025)

OUTPUT:

Queda como ejercicio verificar que

f*g(t)=Φ(20(1-t))- Φ(-20t).

Veamos las gráficas de las 3 funciones

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Aquí se ve claramente que el INPUT celeste al pasar por el NUCLEO AZUL da lugar a un OUPUT BLANCO que es casi igual, pero suavizado, sin discontinuidades ni angulosidades.

Como es difícil de percibir sensorialmente o interpretar racionalmente lo extremadamente irregular, la convolución una de las utilidades que tiene es justamente el aportar FILTROS SUAVIZANTES.

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Paréntesis: Paréntesis: La convolución en la Ingeniería 2.La convolución en la Ingeniería 2.

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En la Ingeniería, la señales suelen pensarse “en el espacio de lasfrecuencias”, esto es descomponiendo una señal como la combinaciones periódicas correspondientes cada una a emitir una vibración en UNA frecuencia básica determinada. Esto es el llamado “análisis espectral” de una señal, que, desde el punto de vista matemático, reposa en el Análisis Armónico, legado por Fourier y otros grandes matemáticos.

El poner más o menos amplificación al emitir, en cada una de las distintas frecuencias básicas da lugar a señales muy distintas. Veamos un ejemplo

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El análisis espectral es muy natural en la Ingeniería, pero no todas las señales tienen espectro discreto como las anteriores: hay muchas que distribuyen su energía en un continuo de frecuencias.

Hay un mecanismo matemático para pasar de la señal en el tiempo a la señal espectral y viceversa.

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Si i es la unidad imaginaria ( i2=-1) y f(t) es la señal en el tiempo, la respresentación espectral

(en el espacio de frecuencias) la da su transformada de Fourier:

T(f)(λ)= ∫R f(t)exp(-i λt)dt

Dejamos como ejercicio para el lector mostrar que

T(f*g)=T(f)T(g).

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Esto significa que, en el espectro (en el espacio de las frecuencias), si llamamos “Función de respuesta” de un filtro lineal a la transformada de Fourier de su núcleo, el esquema del slide 6 se simplifica enormemente

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FILTROFILTRO

Función de respuesta H

INPUT A OUTPUT AH

EL OUTPUT ES SIMPLMENTE EL PRODUCTO DEL INPUT CON LA FUNCION DE RESPUESTA DEL FILTRO

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fn(t)=λ (λt)n-1/(n-1)! exp(- λt), t>0

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Si se suman n variables iid de distribuciónExponencial de parámetro λ, la suma tiene densidad

Retomando: La Distribución de ErlangRetomando: La Distribución de Erlang y el Proceso de Poisson.y el Proceso de Poisson.

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Demostración: Ejercicio(por inducción sobre n y fórmula de la convolución)

fn se llama densidad de ERLANG de orden n y parámetro λ.

(Veremos más adelante una sobresaliente contribución de Agner Erlang a la Teoría de la Probabilidad y a las Telecomunicaciones)

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Continuando el ejemplo, ¿Cuántas llamadas llegan a completarse en

(o,t)?Llamemos L(0,t) a dicha cantidad.

Tenemos T1,…..,Tn, Tn+1 iid y exponenciales de parámetro λ .

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Si En=T1+…+Tn, En+1=En+Tn+1

entonces si n natural, P(L(0,t)=n)=P(En<t, En+1>t)=

(condicionando por En y usando principio de

sustitución)

∫(0,t) fEn (s) P(Tn+1>t-s) ds=

∫(0,t)(λ (λt)n-1/(n-1)!) exp(- λt) exp(- λ(t-s))ds=P y E 2012 Clase 8 Gonzalo Perera 19

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=(λt)n/(n!) exp(- λt),

por lo cual se deduce que:A) L(0,t) tiene distribución de

Poisson de parámetro λt.Además puede verificarse que si

a<b<c entoncesB) L(a,b)y L(b,c) independientes.

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La función aleatoria L(a,b), con a<b se llama PROCESO DE POISSON de parámetro λ.

Juega un rol fundamental en Investigación de Operaciones, Logística, Telecomunicaciones y en la Ingeniería de Performance.

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