P Y E 2012 Clase 16Gonzalo Perera1 Repaso de la clase anterior. Teorema Central del Límite...

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Transcript of P Y E 2012 Clase 16Gonzalo Perera1 Repaso de la clase anterior. Teorema Central del Límite...

  • Repaso de la clase anterior.

    Teorema Central del Lmite (TCL)

    Utilizacin del TCL para aproximar algunas distribuciones conocidas (Binomial, Poisson, Binomial Negativa).

    Gonzalo Perera

  • 1) Un corolario del TCL que puede demostrarse sin mayor esfuerzo permite librarse de tener que conocer exactamente el valor de la varianza 2 (que frecuentemente es desconocido) y reemplazarlo por una estimacin emprica de la misma (calculable a partir de los datos). Usaremos mucho este resultado!!!Este Corolario dice:Si X1,..., Xn iid con esperanza y varianza finita 2 , y siMn= (X1+...+ Xn)/n , 2 n= ((X1- Mn)2+...+ (Xn- Mn)2)/n,entonces, para n grande, la distribucin den (Mn - )/ nse puede aproximar por una N(0,1). Algunas primeras observaciones respecto al TCL

    Gonzalo Perera

  • 2) Se puede demostrar (ver libro) que la convergencia a la distribucin normal es uniforme, es decir, si Fn es la distribucin de n (Mn - )/ n y si, como de costumbre, es la distribucin N(0,1), entonces se tiene quelimn sup tR |Fn(t)- (t)|=0(Esto permite aproximar el valor de Fn por la distribucin normal an en puntos mviles)

    Un primer ejemplo de aplicacin del TCL. De dnde surge el margen de error en las encuestas de opinin pblica???Cmo hago para decidir si la proporcin de defectuosos en un lote industrial de gran tamao supera o no una proporcin crtica, a partir de la observacin de la calidad de una muestra elegida al azar dentro del lote???

    Gonzalo Perera

  • En ambos casos se trata de establecer una estimacin de una proporcin p desconocida, pero con especificacin del grado de precisin y certidumbre de tal estimacin.Es decir, queremos ser capaces de decir:p est entre tal y cual valor (obtenidos a partir de una muestra) con determinada probabilidad (nunca tenemos certeza absoluta en una estimacin estadstica)(esto es lo que en la jerga estadstica se llama construr un Intervalo de Confianza (IdC) )

    Gonzalo Perera

  • Ms precisamente, si tenemos X1,..., Xn iid cuya distribucin depende de un parmetro desconocido y tomamos a (0,1) arbitrario (usualmente a = 0.10, a = 0.05 o a = 0.01), un Intervalo de confianza al nivel a para el parmetro desconocido es un intervalo[a(X1,...., Xn), b(X1,....,Xn)](sus extremos dependen de la muestra) tal que P([a(X1,....,Xn), b(X1,....,Xn)]) = 1-a

    Ms en general, si se tiene que

    limn P([a(X1,....,Xn), b(X1,....,Xn)]) = 1-a

    se dice que el intervalo en cuestin es un Intervalo de Confianza asinttico (o aproximado).

    Gonzalo Perera

  • Construiremos entonces un I de C asinttico para la proporcin p en nuestro muestreo.

    Supongamos entonces que muestreamos al azar sin reposicin y con equiprobabilidad una muestra de n artculos y que n, siendo grande, es pequeo en comparacin con el tamao del lote. Podemos entonces plantear el modelo binomial y suponer entonces que:

    si Xi=1 indica que el i-simo artculo muestreado es defectuoso y Xi=0 indica lo contrario, entonces se tiene que,

    X1,..., Xn iid ~ Ber(p)

    Gonzalo Perera

  • Teniendo en cuenta la LFGN, es razonable proponer quea(X1,....,Xn) = Mn - , b(X1,....,Xn) = Mn + ,y el problema es determinar tal que limn P(p[ Mn -, Mn +])=1-aPeroP(p[ Mn - , Mn + ]) = P( |n(Mn - p)/ n | n / n)y, por el TCL (y la tercera observacin posterior) , el ltimo trmino se puede aproximar porP(|N(0,1)| n / n)

    Gonzalo Perera

  • Dado a>0, llamemos za al punto (que se busca en la tabla de la N(0,1)) tal queP(N(0,1)> za )=a(e.g., z0.05=1.645, z0.025=1.96),entonces si se toman / n = z/2se tiene queP( |N(0,1)| n / n) = P( |N(0,1)| z/2) =1- P( |N(0,1)| > z/2) = (por la simetra de la N(0,1)) 1- 2 P(N(0,1) > z/2) = 1-aResulta entonces que un IdC aproximado al nivel para p es[ Mn (n)-1/2 n z/2, Mn +(n)-1/2 n z/2]y adems, en este caso (variables de Bernoulli), puede verificarse quen= [Mn (1-Mn)] 1/2

    Gonzalo Perera

  • Ejemplo concreto:

    Para variar, pongmoslo en el contexto de una encuesta electoral. Si en Uruguay se hace una encuesta a 2500 votantes, entre los cuales un 31% manifiesta su intencin de votar la opcin A, estimar la proporcin del total de votantes uruguayos que prefieren A.Como el total de votantes uruguayos es ms de un milln de personas, el tamao de la muestra (2500), siendo grande, es pequeo en comparacin con el total de votantes. Es aplicable entonces el marco terico anterior, llamando p a la proporcin de votantes de A en Uruguay.Obviamente, aqu Mn es la proporcin de votantes de A en la muestra (0.31).

    Gonzalo Perera

  • Resulta entonces que el IdC asinttico al nivel 5% para p es[ 0.31 (2500)-1/2(0.31x(1-0.31))1/2 1.96, 0.31 + (2500)-1/2 (0.31x(1-0.31 ))1/2 1.96 ] =[ 0.31 0.01813, 0.31 + 0.01813],o sea, 31% 2%!!!(De aqu vienen los famosos 2% y similares de los que tanto nos hablan cada cinco aos!!)

    Gonzalo Perera

  • Test de Hiptesis.

    Hay un inmensa variedad de situaciones en la vida cotidiana y en la prctica profesional que requieren la toma de decisiones frente a un marco de incertidumbre, en el que no podemos tener certeza absoluta de que nuestras conclusiones son ciertas.Por ejemplo:

    Gonzalo Perera

  • En una fbrica, la proporcin de defectuosos en el lote no puede superar un nivel crtico p0, pues de hacerlo, nuestros clientes nos presentarn reclamos (los famosos claim), perderemos mercado y/o prestigio, etc. Para controlar la calidad de nuestra produccin, tomamos una muestra de artculos de nuestro lote y debemos decidir, a partir de lo observado en la muestra, si la proporcin de defectuosos en el lote supera o no el valor crtico p0. Ya no se trata de estimar la proporcin de defectuosos, sino directamente de decidir si es o no mayor que un cierto valor, exponindonos, por nuestros posibles errores, a muy distintos riesgos (por un lado dejar de vender un lote apto, por otro vender un lote malo).

    Gonzalo Perera

  • En una obra vial, urbanstica o portuaria, debemos dimensionar una estructura; segn distintas mediciones de los esfuerzos a la que la misma se ver sometida, debemos decidir cunto material, de qu calidad, etc., debemos emplear para que la estructura tenga la resistencia requerida. Aqu nuevamente hay dos errores posibles : sobrestimar los materiales requeridos (con las consecuentes prdidas econmicas) o subestimarlos (con la consecuente prdida de seguridad). Obsrvese en este ejemplo de qu distinta naturaleza son las consecuencias de los dos posibles errores: cmo se comparan los dlares de ms que se gastan si uno se equivoca en sobreestimar los requerimientos, con las vidas humanas que se pueden perder si la obra no es suficientemente segura???

    Gonzalo Perera

  • Nos consta fehacientemente que hay profesionales universitarios que en ocasiones han cuantificado el valor de las prdidas humanas en trminos estrictamente econmicos, calculando pagos por seguros, indemnizaciones, etc. y as han comparado cunto les dola cada error, llegando a asumir riesgos de seguridad muy considerables (con consecuencias trgicas) en pos de un mayor rdito econmico.

    Cunto vale el sufrimiento ajeno para un profesional es un buen medidor de su sensibilidad y de cul es su tica profesional. No podemos aqu concentrarnos a reflexionar sobre este tipo de problemtica, pero bien merecen tanta o ms atencin que cualquier curso de Fsica, Matemtica o Computacin y sera muy deseable que la reflexin tica, profunda, autntica y autocrtica nos acompaara en cada paso de nuestra vida profesional.

    Gonzalo Perera

  • En un control ambiental o sanitario, debemos inspeccionar la calidad del agua (para consumo como agua potable o , en otro ejemplo, las aguas de las playas para baos) o del aire, con el objeto de decidir si satisface los requerimientos de calidad que habilitan a su utilizacin. Nuevamente hay dos errores posibles de muy distinto tenor!!Un ejemplo ms cotidiano de decisin frente a incertidumbre: cmo decidir, a partir de la muestra de haber conocido a otra persona durante un cierto tiempo , si esa deslumbrante y encantadora damisela o si ese dulce y seductor caballero son la pareja perfecta o si se transformarn al cabo de alguos aos en una arpa malhumorada de ruleros o en un oso grun en pantuflas??(Si alguno de ustedes descubre el mtodo perfecto para resolver este problema, tiene el Premio Nobel y la gratitud de la Humanidad asegurados!!)

    Gonzalo Perera

  • Podramos seguir agregando una larga lista de ejemplos de las ms diversas ramas de la Ingeniera donde siempre nos encontramos con: La necesidad de decidir entre distintas hiptesis cul es la correcta, disponiendo de informacin estadstica, por lo que no hay ninguna posibilidad de resolver con absoluta certeza La existencia de dos errores posibles de decisin, que a menudo tiene consecuencias de muy distinta naturaleza (lo cual a menudo afecta a cuestiones muy profundas de tica profesional)

    Analizaremos ahora en ms detalle un ejemplo: un caso muy simplificado de reconstruccin de una imagen.

    Gonzalo Perera

  • Imaginemos que alguien (el Emisor) nos manda una imagen, la que, durante su transmisin, es afectada por interferencias, por ruido, de manera tal que nosotros (el Receptor), cuando vemos en nuestra pantalla la imagen que recibimos, lo que nos encontramos es la superposicin de la imagen recibida con todo el ruido que se incorpor durante su transmisin.

    Naturalmente, debemos tener en el receptor algn tipo de filtro que saque el ruido y deje en nuestra pantalla solamente la imagen original enviada; la pregunta es cmo se hace eso, cmo se hace para que el receptor aprenda a distinguir, dentro de lo que ve, lo que es ruido y debe ignorar, de lo que es seal emitida que debe guardar!!!!

    Gonzalo Perera

  • En una primera aproximacin muy simplificada, supongamos qu