Dr. Ali PINARBAŞI

1

1- Akışkan Üzerine uygulanan kayma doğurabilecek en ufak bir kuvvet ile devamlı olarak deforme olan madde şeklidir. Buna göre akışkan, statik halde veya deformasyon olmadığı zaman kayma gerilemesi taşımaz. Newton tipi akışkanlarda sürtme gerilmesi deformasyon hızı ile orantılıdır.

2- Viskozite Viskozite akışkanın iç sürtünmelerini ifade eden özelliğidir. Viskozitesi sıfır olan akışkan mükemmel akışkan olarak adlandırılır. Akışkanların viskoziteleri sıcaklıkla değişmektedir. Sıvıların viskoziteleri sıcaklıkla azalır, gazların ise artmaktadır.

3-Kohezyon ve Adhezyon Kohezyon sıvının kendi partikülleri arasındaki çekme kuvvetidir. Adhezyon ise sıvı ile bir katı cismin yüzeyi arasındaki çekme kuvvetidir.

4- Kılcallık Sıvı, gaz ve katı cismin ortak noktasında serbest sıvı yüzeyinin durumu da yüzeysel gerilme ile ilgilidir. Örneğin serbest sıvı yüzeyinin katı cidarı kestiği noktada üç faz birleşmektedir. Bu noktada serbest sıvı yüzeyine çizilen teğet katı cidarla α açısı yapar. Üç maddenin birbirlerine göre yüzeysel gerilme kuvvetleri tespit edilirse α açısı belirlenmiş olur. Eğer α açısı 900’den küçük olursa sıvı ıslatmayan sıvı, 900’den büyük olursa sıvı ıslatan sıvı adını alır. Yani adhezyon kuvveti, kohezyon kuvvetinden büyükse sıvı ıslatan sıvıdır. (Su, cam örneğinde olduğu gibi)

5- Piyezometrik Enerji Akışkanın sahip olduğu basınç ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır.

zPP+=

γγ

*

6- Akışkanın sahip olduğu ivme Akışkan partikülünün ivmesi, hızının değişim oranıdır. Bir noktadaki partikülün ivmesi (konvektif) ve Lokal ivme diye adlandırılabilen iki ivmenin toplamıdır. Konvektif ivme uzayda hızın noktadan noktaya değişmesinden, lokal ivme ise noktadaki hızın zamanla değişmesinden doğar. Daimi (zamana bağlı değişimi olmayan) yani sürekli harekette ikinci ivme terimi sıfır olur.

Lagrange yaklaşımında ivme: Akışkan partikülünün hızı, sadece zamanın bir fonksiyonudur.

Euler yaklaşımında ivme: Hız zaman ve uzayın fonksiyonu olduğundan;

Dr. Ali PINARBAŞI

2

Burada ilk terim olan, tV ∂∂ / lokal ivme olarak adlandırılır ve verilen bir noktada hızın zamanla olan değişimini karakterize eder. Akış unsteady ise lokal ivme vardır. İkinci terim VV ∇. ise konvektif ivme olarak adlandırılır. Akış alanındaki hızın uzaysal gradyanı olarak adlandırılır. Konvektif ivme, akışın non-üniform olduğu yani hızın akım çizgisi boyunca değişimi sözkonusu ise vardır.

7- Akım Çizgisi Akım çizgileri üzerindeki bütün noktalardaki teğetleri hız vektörü ile çakışan eğrilerdir. Yani eğriler hız vektörünün

zarflarıdır. Herhangi bir M(x,y,z) noktasında akışkan parçacığının hız vektörü bileşenleri; ),,,(),,,(),,,( tzyxwtzyxvtzyxu

olsun. M noktasında birim teğet vektörü ise;

=

dsdz

dsdy

dsdxt ,, olduğundan;

dzkdyjdxidlwkvjuiVdlV ++=++==∧ 0

0)()( =++∧++ dzkdyjdxiwkvjui

buradan, Akım çizgisinin diferansiyel denklemi;

0=+−== udyvdxveyawdz

vdy

udx

Akışkanın debisi ise; vdxudydQ −=

8- Momentum, Navier-Stokes, Euler Denklemi Momentum: Eğer çevre sistem üzerine net bir F kuvveti etki ediyorsa; Newton’un ikinci hareket kanunu gereği;

( ) ( )iniioutiiCV

VmVmdV ρV t

F ∑ ⋅−∑ ⋅+

∫ ⋅

∂∂

=∑

olur.

[ ]ivme Yoğunluk kuvvet viskoz

hacimde Birimkuvveti Basınç

hacimde BirimkuvvetiAğırlık

için hacim Birim×=

+

+

Kartezyen koordinatlarda 3 yönde momentum denklemini yazacak olursak;

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⋅zuw

yuv

xuu

tuρ

zτ

yτ

xτ

xPgρ zxyxxx

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−⋅zvw

yvv

xvu

tvρ

zτ

yτ

xτ

yPgρ yzyyxy

y

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⋅zww

ywv

xwu

twρ

zτ

yτ

xτ

zPgρ zzyzxz

z

Dr. Ali PINARBAŞI

3

Navier-Stokes: Newtonian bir akışkan için viskoz gerilmeler, elemanın gerilmesi ve viskozite katsayısı orantılıdır. Sıkıştırılamaz akış için üç boyutlu viskoz akış denkleminde oluşan kayma gerilmelerinin açık ifadeleri;

xuµ 2τ xx ∂

∂= ,

yvµ 2τ yy ∂

∂= ,

zwµ 2τ zz ∂

∂=

∂∂

+∂∂

==xv

yuµττ yxxy ,

∂∂

+∂∂

==zu

xwµττ zxxz ,

∂∂

+∂∂

==yw

zvµττ zyyz

Newtonian akışkan için sabit yoğunluk ve viskozite durumunda diferansiyel momentum denklemi yeniden düzenlenirse;

dtduρ

zu

yu

xuµ

xPgρ 2

2

2

2

2

2

x =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−⋅

dtdvρ

zv

yv

xvµ

yPgρ 2

2

2

2

2

2

y =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−⋅

dtdwρ

zw

yw

xwµ

zPgρ 2

2

2

2

2

2

z =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−⋅

Denklem takımları elde edilir ve Navier-Stokes denklemleri olarak bilinir. Euler Denklemi: Sürtünmesiz akış kabul ettiğimiz takdirde 0τ ij = olacaktır ve yukarıda verilen denklemimizde

yeniden düzenleme yaparsak;

dtdVρPgρ =∇−⋅

denklemi elde edilir ve Inviscid akış için Euler Denklemi olarak anılır.

9-Toplam, Dinamik ve Statik Basınç

Dinamik basınç: Akışkanın hızından dolayı sahip olduğu basınçtır. Hareket halindeki akışkanın durdurulması durumunda momentum kaybından dolayı akışı engelleyen cisim üzerine uygulayacağı basınçtır. Statik Basınç: Akışkanın kendi iç basıncıdır. Toplam Basınç: Statik basınç ile Dinamik basıncın toplamına denir.

2

2VPPPP stDystT ρ+=+=

10- Difüzör (Yayıcı) Bir yayıcı kesiti yavaş artan bir borudan ibarettir. Hızların bütün kesitte üniform kabul edilmesi ve sürtünmesiz akış kabulüyle:

gVP

gVP BBAA

22

2*2*+=+

γγ yazılabilir

Süreklilik denklemi yardımıyla AA.VA=AB.VB eşitliğinden;

)(2

22**BAAB VVPP −=−

ρ bağıntısından basıncın B kesitinde artmış olduğu görülür. Bir başka ifadeyle kinetik enerji

basınç enerjisine dönüşmüştür. Eğer giriş ve çıkış kesit hızları üniform yayılmamış ise Bernoulli denklemimiz;

BABBBAAA VPVP −++=+ ζραρα2*2*

22

Dr. Ali PINARBAŞI

4

hale dönüşür ve bu dönüşümün yani yayıcının verimi ise: Basınç enerjisinin kinetik enerjiye olan oranıdır.

)(2

)(2

122

**

22BBAA

AB

BBAA

ABd

VV

PP

VV ααρααρζ

η−

−=

−−=

Dairesel kesitli bir yayıcının verimi 2θ koniklik açısına ve difüzör boyuna bağlı olarak değişir. Çok küçük açılarda giriş ve çıkış hızları arasındaki fark çok küçük olup, bunun yanında yük kaybı büyüktür. Yani yük kaybı, transformasyona uğrayan enerji miktarından büyük olabilir. Dolayısıyla yayıcı içinde basınç azalması olur buda negatif verimle adlandırılabilir. Başka bir ifadeyle bir konik boru ancak belirli bir θmin açısından sonra gerçek bir difüzör işlevi görür. 2θ açısı arttıkça verim artar ve 70-80 civarında maximumdan geçer, bundan sonra azalmaya başlar. Bunun sebebi cidardan ayrılmayla açıklanabilir. 400’den sonra cidardan ayrılma tam olduğu için artık cidarın durumu verime tesir etmez ve takriben sabit kalır.

11- Durma Noktasındaki Basınç: Sıkıştırılamayan akışkanlar halinde durma noktasındaki basınç, statik ile dinamik basınçların toplamı idi. Gazlar için ise akım hareketi içine konmuş katı bir cisim etrafındaki akışı göz önüne alacak olursak ve akımı izantropik yani sürtmesiz olduğu kabul edilirse;

2121

22

2

22

1

1

1 VPkkVP

kk

+−

=+− ρρ

2 noktası durma noktası kabul edilirse V2=0 olur dolayısıyla;

2

1)(2

1

1

1

2

2 VkkPP −

=−ρρ

kkPP

2

2

1

1

ρρ=

bağıntısı yardımıyla;

211

21

11

1

2

1

1 Vkk

PPP k −

=

−

−

ρ

elde edilir. Buradan da;

cV

MSayısıMachveP

kc 1

1

1 ==ρ

yerine yazılırsa;

22

1

1

1

2

21

211 MkcVk

PP k

k

−=

−=−

−

12

1

2

211

−

−

+=kk

MkPP

P2 basıncı için Binom açılımı yapılırsa;

+

−+++= ..........

242

41

21 4

22

1112 MkMVPP ρ

Eğer akışkan sıkıştırılamayan kabul edilse idi;

21112 2

1 VPP ρ+=

sonucu elde edilirdi. Görülüyor ki sıkıştırılabilen akışkanlarda durma noktasında, sıkıştırılamayan akışkanlara nazaran daha yüksek basınç mevcuttur. Küçük Mach sayılarında bu fark ihmal edilebilir.

Dr. Ali PINARBAŞI

5

12- Kanalda Adyabatik Akışta hızın değişimi: Kanalda mükemmel gazın sürtünmesiz ve adyabatik akışını ele alacak olursak;

211MA

dAVdV

−−=

ifadesi elde edilir. Denklemden Mach sayısı 1’den küçük olunca, kanal kesiti küçüldüğünde hız artar. Yani Iraksak borular bir gaz için yine yayıcı olarak çalışır ve hızı küçültürler. Yakınsak boruda ise tersi durum söz konusudur, yani hız azalır.

13- Lülede Süpersonik Akışın Eldesi: Normal yakınsak bir lülede sesüstü akışın elde edilemeyeceği, bunun için yakınsak-ıraksak bir lülede elde edilebileceği bilinen bir gerçektir. Tepki kuvvetlerinin artırılması için roketlerde buna ihtiyaç duyulur. Önce yakınsak sonra ıraksak bir kesite sahip bir lülenin sabit basınçlı bir hazneye bağlandığını düşünelim.

Lüle çıkışındaki basıncın düşürülmesi için, çıkış’ın girişten hafif küçük olması durumunda lüle içerisindeki akış hızları da küçük olacağından sıkıştırılamayan akış kanunlarına uyacaktır. Yakınsak boruda hız artar, ıraksak boru ise yayıcı gibi çalışır hızlar azalır dolayısıyla, maximum hız boğazda gözlemlenir (A). Çıkış basıncının biraz daha düşürüldüğünü ve boru içerisindeki hızların artırıldığını düşünürsek; boğaz noktasındaki ses altı hıza tekabül eden Mach sayısının büyüdüğünü fakat henüz ses altı hızların hakim olduğunda ıraksak boru bir difüzör gibi çalışacak hızları azalacak, basıncı artacaktır. Yakınsak boruda ise bunun tersi olacaktır. Ancak sıkıştırmanın etkisi yüzünden yayıcıdaki hız azalması daha fazla olacaktır. Yani kesit değişiminin etkisi biraz daha hissedilecektir (B). Çıkış basıncını biraz daha azaltmaya devam edersek, boğaz noktasında hız ses hızına eşit hale gelir. Boğazdaki basınç ise kritik basınca düşmüş olur. Bu basınç;

k1k

0

k

1k2

PP

−

+=

şartını sağlamaktadır. Şekildeki C eğrisi bunu ifade etmektedir. Burada boğaz hariç tüm noktalarda ses altı hız hakimdir. Çıkış basıncını biraz daha fazla azaltırsak, Pt basıncını Pk basıncının altına indirmek mümkün değildir. Po ve Pt basınçları değişmedikçe lüleden geçen debide değişmez. Dolayısıyla Pe basıncının daha küçük değerleri için boğaz noktasındaki ses hızı debiyi tayin eder. (sıcaklığın sabit kalması şartı ile) Çıkış basıncının azaltılması boğaz girişindeki hızları artıramadığı halde boğaz çıkışında ses üstü hızına çıkar. Bilindiği gibi süpersonik akışta ıraksak boru ters yönlü çalıştığı için akış yönünde hız artar ve basınç azalma gösterir. (D ve E) eğrisinde görüldüğü gibi Pe basıncı yeteri derecede küçük değilse bütün ıraksak lüle boyunca hız artışını sağlamaz ve boru içinde bir kesitte şok meydana gelir. Bu kesitte basınç ani olarak artar, hız ise ses altı hızına düşer. Bu kesitten çıkışa kadar ses altı kanunu hakim olur. Hız azalır basınç artar ve çıkışın tam ağzındaki basınç yine Pe ‘e eşit olur. Çıkış basıncının daha fazla azaltılması ile şok’un olduğu kesit çıkışa doğru kayar (H) eğrisinde gösterilen bütün ıraksak lüleyi ses üstü hız kaplar. Difüzör M>1 için ters çalıştığından hız artmaya devam eder. En büyük hız lüle çıkışında meydana gelir. Bu anda kesit çıkış basıncı, çıkış ağzındaki basınçdan biraz büyük olabilir.

Dr. Ali PINARBAŞI

6

14- Sekonder Akımlar Dirsek içerisindeki kaybın bünyesi incelenirse bunlar, normal sürtünme kayıpları, cidardan ayrılmalar ve çalkantı kayıpları, sekonder akımlar olarak üç kısımda toplanabilir. Sekonder akımlar dirsek içindeki akışta sınır tabakada basınç kuvvetlerinin atalet kuvvetleri ile dengelenmemesi yüzünden doğar. Dönme eğriliğinin verdiği basınç gradyeni, hemen hemen borunun ekseni boyunca büyük değişime uğramaz. Halbuki cidara yakın sınır tabaka yüzünden hızlar düşük olduğundan bir sıvı elemanına tesir eden merkezkaç kuvvet basınç kuvvetinden küçüktür. Bu kısımlarda dirseğin içine doğru ikinci derecede akımlar oluşur ve bu akımlar dirsek simetri düzlemine yakın kısımlarda ters dönerler. Sonuç olarak dirsek içinde iki helikoidal akış düzenlenmiş olur, bu akımlar dirsekten sonraki düz boru boyuncada devam eder. Ancak sekonder akımların hızları, esas akımın hızı yanında düşük olduğundan bunların doğuracağı kayıplar büyük mertebede olmadığı gibi çoğu zaman ayrılma ve çalkantı kayıpları yanında ihmal edilebilir.

15- Lagrange ve Euler Bakış Açıları Lagrange Metodu: Akışkanın çok küçük boyutlu bir parçadan oluştuğunu düşünürsek, her bir akışkan parçasının yaptığı hareketi teker teker belirlemeyi tanımlar. Yani her partikül için F=Ma bağıntısı uygulanır. Bunu ise; a- Akışkan parçasının izlediği yolu (buna yörünge adı verilir.) b- Yörünge boyunca akışkan parçasının hızını c- Yine yörünge boyunca akışkanın basıncını ve hareketin diğer özelliklerini belirlemek anlamına gelir. Herhangi bir p partikülü r1(t1) pozisyonundan, r2(t2) pozisyonuna hareket etmiş olsun;

kdtdzj

dtdyi

dtdx

ttrr

LimVt

p ++=−−

=→∆ 12

12

0

kwjviuV pppp ++=

Lagrange metodunda sadece bir partikülün hareketini değil akım alanı içerisindeki bütün partiküllerin eşzamanlı hareketi gözönüne alınlmalıdır buda çok güç bir iştir. Euler Metodu: Akışkanın teker teker yaptığı hareketi belirlemek yerine, akım alanının her noktasında hareket ile ilgili büyüklüklerin (hız, basınç, vb) zamanla nasıl değiştiğini ifade eder.

Uzaydaki sabit bir nokta için; zkyjxix ++=

wkvjuitxVV ++== ),(

burada; ),,,(),,,(),,,( tzyxwwtzyxvvtzyxuu ===

Bu yaklaşım akışkan partikülünün geçmişinden ziyade akış alanı ile ilgilendiği için çok faydalı bir yöntemdir.

16- Boyut Analizi Gözönüne alınan bir fiziksel olayı etkiyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir.

17-Sınır Tabaka Bir katı çeper üzerinde gerçek akışkanın hareketini inceleyecek olursak, sürtünmeli akışkanlar için hız cidarda sıfırdır. Çeperden uzak bir bölgede, cidarın yavaşlatıcı etkisinin hissedilmediği noktalarda hızın Vm olduğu düşünülürse, hızın cidar ile maksimum hıza eriştiği bölgeye sınır tabaka adı verilir. Sınır tabakanın dışında akışkanın sürtme etkisinin hissedilmemesi, Navier-Stokes denklemlerinde sürtünme terimlerinin yok sayılmasını ve bu nedenle de Euler denkleminin uygulanmasını sağlar.Diğer yandan sınır tabaka içinde sürtme kuvvetleri kendilerini hissettirecektir. Bu bölgede hareket girdaplıdır. Eğer kütle kuvvetleri korunursa sınır tabaka dışında bazı şartların gerçekleşmesi ile hareketin potansiyel olduğu kabul edilebilir.

18- Sınır Tabakanın Ayrılması Akış yönünde dışbükey bir cidar düşünelim ve sınır tabakanın dışında akışkan hızının akış yönünde azaldığını

kabul edelim. Hız azalması sınır tabakayada bulaşır. Eğer hız azalması yeter derecede yavaş ise akışkan iplikçikleri sürtme tesiri ile birbirini frenleyecek ve profil gittikçe basıklaşacaktır. Fakat bu hız azalması veya başka bir deyişle hız enerjisinin basınç enerjisine dönüşü çabuk olursa akış yönündeki basınç artması , sınır tabakanın cidara çok yakın noktalarında zaten sıfıra yakın olan hızları ters yönde çevirebilir. Bu kesitte cidara yakın bazı noktalar kinetik enerjilerinin hepsini kaybetiiklerinden geri doğru hız kazanmışlardır. Arkadan gelen partiküllerde bu harekete iştirak ederler. Bu suretle akış ile cidar arasında girdaplar ve çalkantılar ile dolu bir bölge teşekkül eder. Sınır tabakanın ayrılması denilen bu olaya difüzörlerde rastlandığı gibi serbest akış içine konmuş profilli cisimlerde de rastlanır. Aynı geometrik şartlar içinde türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakadan daha geç ayrılır. Türbülanslı akışta iplikçikler arasındaki hareket miktarı alış verişinin fazla olması, hızları çok olan tabakaların hızları azalan tabakaları daha kolay sürüklemesini sağlar, bu suretle ayrılma bir dereceye kadar önlenir. Pürüzlü ve pürüzsüz cidara sahip iki küre üzerindeki akış yapısının incelenmesinden, pürüzlü kürede ayrılmanın gecikmiş olması örneği verilebilir.

Dr. Ali PINARBAŞI

7

19- Sıkıştırılamaz kabulün nedenleri: Sıkıştırılamaz kabulü Mach sayısının yaklaşık 0.3’den küçük olduğu durumlarda uygulanabilir.

s

PaburadaaUM

∂∂

==ρ

2

20- Inviscid kabulünün uygulanabilirliği: Inviscid kabul Reynolds sayısının çok yüksek olduğu durumlarda uygulanabilir. Dolayısıyla katı cidara yakın

çok ince bir sınır tabaka oluşur. Reynolds sayısı atalet kuvvetlerin viskoz kuvvetlere olan oranı olduğu için, yüksek Reynolds sayısı, daha az etkili viskoz etkileşim anlamına gelir.

21- Bernoulli Denkleminin uygulanabilirliği a- Irrotasyonel akış için:

Euler denklemimizi yazacak olursak;

VxwPVVtV

=∇

+∇+∂∂

ρ).(

21

Irrotasyonel akış için w=0 olduğundan denklem Bernoulli denklemine dönüşür.

b- Katı cisim üzerindeki akış: Dış akış örneği olup, akış alanı iki bölgeye ayrılır, bunlar irrotasyonel dış akış ve cismin arkasında bulunan wake gölgesidir. Bernoulli denklemi irrotasyonel dış akış bölgesinde herhangi iki nokta arasında uygulanabilir. Wake gölgesinde ise akış viskoz etkilerin altında olduğundan Bernoulli denklemi uygulanamaz.

c- Sabit kesitli alanlarda akış: Dış akış örneği olup yine akış bölgesi ikiye ayrılır, bunlar gelişme bölgesi ve tam gelişmiş bölgedir.

Gelişme bölgesinde, akıntı yönünde ve katı cidarlara yakın bölgede sınır tabakadan dolayı viskoz etkileşimler hakimdir. Bu işlem esnasında kesitin merkezindeki sürtünmesiz core akışkan hızlanmaktadır. Bernoulli denklemi sadece bu inviscid core içine uygulanabilir.

Tam gelişmiş bölgede, inviscid core kaybolur. Streamwise basınç gradyanı akışta viskoz kuvvetler ile dengededir. Dolayısıyla bu bölgenin herhangi bir yerine Bernoulli denklemi uygulanamaz.

d- Bir nozzle içerisindeki akış: Nozzle akışkanın entalpisinin kinetik enerjiye dönüşümü için kullanılmaktadır. Subsonik akışlar için nozzle’ın geometrisi yakınsaktır. Nozzle içerisinde gelişen basınç gradyanı, duvarlardaki sınır tabakanın gelişimini baskı altına alır. Böylece merkezdeki inviscid core akışın önemli bir bölümünü işgal eder. Bernoulli denklemi bu nedenle bu bölgeye uygulanabilir.

e- Türbin kanatları arasındaki akış: Türbin kanatlarındaki sürtünmeden dolayı akışkanda korunum kuvvetleri yoktur. Dolayısıyla Bernoulli denkleminin türbin kanatlarına uygulanması sözkonusu değildir. Fakat türbin kanatlarının downstream veya upstream bölgesindeki akış alanına uygulanabilir.

22- Nozzle Akışı Şekildeki A nozzle’ı kısa ve 1. nolu noktadaki jet üniform ve paraleldir. B nozzle’u ise A’ya zıt yönde uzun çıkış kesitine sahiptir.

Viskozite, 2 nolu kesitten 3 nolu kesite doğru tüp boyunca sınır tabakanın gelişimine sebep olur. Sınır tabaka 3’de birleşmeye başlar burada jet formu paralel ve un-üniformdur. 2’deki hız paralel ve üniform kabul edilirse 3’deki hız ise parabol olarak tahmin edilebilir.

Dr. Ali PINARBAŞI

8

burada Uc3 3 nolu istasyonun merkesindeki hızdır. - 1 ve 3 noktalarındaki statik basınç; P1=P3=Pa ‘dır - C ve D noktaları arasındaki basınç farkının sebebi B nozzle’ının etrafındaki akım çizgilerinden

çıkarılabilir. Akım çizgileri boru bölümünün girişinden önce köşe etrafında eğrileşir dolayısıyla pozitif basınç gradyanı normal yönde gelişir. Yani;

Po>PD>PC - Nozzle’daki kütle debisi ise; A nozzle’ının çıkışı ile hacim arasında Bernoulli denklemi uygulanırsa; -

212

1 UPP ao ρ+=

- Benzer şekilde B nozzle’ı ve hacim arası Bernoulli denklemi uygulamasından; -

232

1Cao UPP ρ+=

- İki bağıntıdan UC3=U1 sonucu elde edilir. - Buradan nozzle çıkışındaki debi; -

21

2

12 Ua

mveUam BAρπ

ρπ ==

böylece 2=B

A

mm

olarak elde edilir.

23- Basic Kontrol hacmi yaklaşımı Bir sistem için mekanik yasalarını yazacak olursak;

1- Kütlenin korunumu: 0=dtdM

2- Momentumun korunumu: dtMVdMaF )(

==

3- Enerjinin korunumu: WQdtdE

−=

24- Rotasyon Rotasyon w, partikülün herhangi iki karşılıklı elemanının ortalama açısal hızı olarak tanımlanır. Rotasyon bir vektördür.

Taylor serisi yardımıyla xxo ∆+=

∂∂υυυ

oa çizgisinin açısal hızı; tx

tw

ttoa ∆∆∆

=∆∆

=→∆→∆

/limlim00

ηα buradan, tx

x∆∆=∆

∂∂υη

( )

xtxtxxw

toa ∂∂υ∂∂υ

=∆

∆∆∆=

→∆

//lim0

yazılabilir.

Translation

y

x Rotation

y

x Angular Deformation

y

x Linear Deformation

y

x

zyx kji ωωωωrrrr

++=

Dr. Ali PINARBAŞI

9

y

x

∆y

∆xa

b

b’

∆β

O

∆

∆η ∆α

İki boyutlu akış alanında rotasyon

Benzer şekilde; yyuuu o ∆+=

∂∂

ve ty

tw

ttob ∆∆∆

=∆∆

=→∆→∆

/limlim00

ξβ

tyyu

∆∆−=∆∂∂ξ

( )yu

tytyyuw

tob ∂∂∂∂

−=∆

∆∆∆−=

→∆

//lim0

z ekseni boyunca rotation ise buradan;

−=yu

xvwz ∂

∂∂∂

21

Benzer şekilde diğer yz ve xz ekseni için;

−=zv

ywwx ∂

∂∂∂

21

−=

xw

zuwy ∂

∂∂∂

21

Yani genel formda

−+

−+

−=++=

yu

xvk

xw

zuj

zv

ywiwkwjwiw zyx ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ rrrrrrr

21

VxVcurlrr

∇= Vektörel notasyonda; Vxwrr

∇=21

Bir akışkan partikülünün hareketinde rotasyon oluşabilmesi, başlangıçta partikülün yüzeyinde viskoz gerilmelerin oluşması gerekir. Yani body ve normal yüzey (basınç) kuvvetleri rotasyon oluşturmaz. Yani viskoz kuvvetlerin varlığı akışın rotasyonel olduğunun ifadesidir. Yukarıdaki denklemde ½’ yi elimine edersek vorticity, ξ, elde edilir yani 2 kere rotasyon vorticity’i verir.

Vwrrr

∇== 2ξ

25- Vortisity Vortisity akış alanında hareket eden akış elemanının rotasyonunun bir ölçüsüdür. Vortisity yani sirkülasyon, Γ ile gösterilip akıştaki sabit kapalı eğrinin tangential hızının çizgisel integrali olarak tanımlanır.

∫=ΓcsdVrr

yxyu

xd ∆∆

−=Γ

∂∂

∂∂υ

yxwd z ∆∆=Γ 2

26- Açısal Deformation ABCD akış elemanının açısal deformasyonunun zamanla değişimi, AB ve AD yüzeyleri arasındaki açının

zamanla değişimi ile orantılıdır.

yu

dtd

xv

dtd ADAB

∂∂α

∂∂α

== and

xv

yu

dtd

dtd

dtd ADABxy

∂∂

∂∂ααα

+=+=

Dr. Ali PINARBAŞI

10

burada αxy, xy plane’indeki kayma gerilmesini ifade eder.

xw

zu

dtd xz

∂∂

∂∂α

+= yw

zv

dtd yz

∂∂

∂∂α

+=

Rotation of face ABCD Angular deformation of face

+==

+==

+==

yw

zv

dtd

xw

zu

dtd

xv

yu

dtd

yzyz

xzxz

xyxy

∂∂

∂∂µ

αµτ

∂∂

∂∂µ

αµτ

∂∂

∂∂µ

αµτ

27- Bernoulli Denklemi ve Termodinamiğin 1. yasası arasındaki ilişki Bir akım çizgisi boyunca Euler denkleminin, steady, incompressible ve sürtünmesiz akış kabulüyle integrasyonu sonucu, elde edilen Bernoulli denklemi momentum denkleminden elde edilebileceği gibi termodinamiğin 1.yasasından da elde edilebilir. Temel denklem:

∫ ++∫ ∀=++ CSCVothershear Adredet

WWQrr&&& ρρ

∂∂ )(

gzVue ++=2

2

Kabuller: 1) &Ws = 0 3) &Wother = 0

2) &Wshear = 0 4) Steady ve uniform akış Bu kabuller altında;

QAVgzV

PuAVgzV

Pu &−−

++++−

+++= 2222

22

2221111

21

111 220 ρνρν

Süreklilik denklemini ilave edersek;

∫+∫ ∀= CSCV AdVdt

rrρρ

∂∂0 veya 2221110 AVAV ρρ +−=

yani; 222111 AVAVm ρρ ==&

aynı zamanda; mdmQ

dtdm

dmQ

dtQQ &

&&& δδδ

===

Enerji denkleminden;

mdmQuumgz

VPgz

VP &&

−−+

++−

++=

δυυ 121

21

112

22

22 220

ωz

ω

A B

B

CC

DD

dαxy

dα

A B

B

CC

D D

yx

stream Flow

Dr. Ali PINARBAŞI

11

mdmQuumgzVPgzVP &&

−−+

++−

++=

δυυ 121

21

112

22

22 220

buradaki en son terim (u2-u1-δQ/dm) sürtünme kayıplarını karakterize eder.

−−+++=++

dmQuugzVPgzVP δ

υυ 122

22

221

21

11 22

veya sıkıştırılamaz akışkanda ν1=ν2=1/ρ olduğu için;

fhgzV

PgzV

P +++=++ 2

22

221

21

11 22υυ

28- Süreklilik Denklemi

2221110 AVAV ρρ +−= veya V1A1=V2A2 so 2

1

22

2

1

=

AA

VV

Bernoulli denkleminden;

−=−

2

1

22

221 1

2 AAVPP ρ

Teorik hız V2, ( )[ ]2

12

02

1)(2AAPP

V−

−=

ρ

Teorik akış oranı; ( )[ ]2

12

21222

1)(2AAPP

AVAm ltheorotica−

−==

ρρρ&

Veya ( )

)(21

21212

2 PPAA

Am ltheorotica −−

= ρ&

Çıkış katsayısı; rateflowmasslTheoretica

rate flow mass Actual=dC

Gerçek debi ise; ( )

)(21

2121

PPAA

ACm

t

tdactual −

−= ρ&

A2≅At kabulüyle veya 1DDt=β olursa; 2

4

1

2

1β=

=

DD

AA tt , böylece;

)(21

214PP

ACm tdactual −

−= ρ

β&

burada, the factor 411 β− hız yaklaşım faktörü olarak bilinir.

Akış katsayısı; 41 β−

= dCK

Dr. Ali PINARBAŞI

12

)(2 21 PPKAm tactual −= ρ& Yeniden gerçek debiyi ifade edersek;

ρ)(2 21 PP

KAQ t−

=

Boyutsuz çıkış katsayısı Cd ve akış katsayısı K, β ve ReD ‘nin fonksiyonudur. Cd = f(β,ReD) ve K = f(β,ReD)

The correlating equation recommended for an orifice with D:(1/2)D in the Reynolds number range ReD=104 to 107 of normal use are (developed by ISO)

Cd=f(β)+(91.71) (β2.5)(ReD)-0.75+4

4)09.0(β

βF1-(0.0337) (β3)F2

Burada f(β)=0.5959+(0.031)( β2.1)-(0.184)(β8) The correction factors F1 and F2 vary with tab position: Orifice plate D:(1/2)D taps F1=0.4333 ; F2=0.470

29- Genelleştirilmiş Bernoulli Denklemi Bir boyutlu, sıkıştırılamaz, steady akışı sürtünmeli ve şaft işi’nide ilave ederek yazacak olursak;

girişgiriş şaftnet WQzzgVVPPuum &&((& +=

−+

−+−+− )(

2 12

21

2212

12 ρρ

mW

w şaftşaft &

&= yerine yazılırsa,

)121

211

2

222 (

22 netşaft quuwgzVPgzVP−−−+++=++ ((

ρρ

sistemdeki kayıplar netquu −− 12

(( olarak ifade edilirse;

kayıplarwgzVPgzVPşaft −+++=++ 1

211

2

222

22 ρρ

Denklemimiz mekanik enerji denklemi veya genişletilmiş Bernoulli denklemi olarak adlandırılır. Türbin veya Pompa için denklemimizi düzenleyecek olursak;

Ls hhzgVPz

gVP

−+++=++ 1

211

2

222

22 γγ

burada;

QW

gmW

gw

h şaftşaftşafts γ

&

&

&=== ;

gkayıplarhL =

Türbin durumunda; Ts hh −= hT : Türbin head

Pompa durumunda ise; Ps hh = hP : Pompa head

30- Non-uniform akışlar için Enerji Denklemi Eğer kontrol hacmi boyunca herhangi bir bölümde hız profili üniform değilse, hızın kontrol hacmi boyunca integrasyonu gerekir.

D D/2

P1 P2

Dr. Ali PINARBAŞI

13

−=∫ 22

ˆ.2

211

222

2 VVmdAnVVcs

ααρ &

burada α kinetik enerji düzeltme faktörü olarak bilinir.

2

ˆ.2

2

2

Vm

dAnVVA

&

∫=

ρα

üniform akış için α=1 iken non-üniform akışta 1≥α olur. Laminer akış halinde 2=α , türbülanslı rejimde ise Reynolds sayısına bağlı olmak üzere 07.104.1 −=α arasında değişir. Enerji denkleminde yerine yazacak olursak;

kayıplarwgzVPgzVPşaft −+++=++ 1

2111

2

2222

22α

ρα

ρ

olacaktır.

31- Tersinmez Akış Termodinamiğin 2. yasası gereği steady, sıkıştırılamaz, bir boyutlu, sürtünmeli akışta;

012 ≥−− netquu ((

1 boyutlu steady akış denklemi;

netQdzgVdPdudm &(& δ

ρ=

+

+

+ )(

2

2

Tüm akışkanlar için geçerli olan;

+=

ρ1dpuddsT (

yukarıdaki 2 denklemi birleştirecek olursak;

netQdzgVdpddpdsTm && δρρ

=

+

+

+

−

21 2

mQq netnet && /δδ = düzenlemesi yapılırsa denklemimiz;

)(2

2

netqdsTdzgVddp δρ

−−=+

+

32- Termodinamiğin 1. ve 2. yasasının analizi Steady, tersinir (sürtünmesiz) akış için;

02

2≥

+

+− dzgVddp

ρ

yazabiliriz. Viskoz etkilerden dolayı meydana gelen tersinmez akış esaslarını denkleme ilave edersek;

)

2()(

2 netqdsTkayıplardzgVddp δδρ

−==

+

+−

steady sürtünmesiz akış için ise denklemimiz;

02

2=

+

+ dzgVddp

ρ

çok küçük bir kontrol hacmi için enerji denklemine şaft işini ilave ederek uygun forma dönüştürürsek, sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akış formu için geçerli olan;

Dr. Ali PINARBAŞI

14

şaftwkayıplardzgVddp δδρ

−=

+

+− )(

2

2

denklem elde edilir.

)(1 kayıplarqdpud net δδρ

=−

+(

sıkıtırılamaz akış için, 0)/1( =ρd olup denklem;

)(kayıplarqud net δδ =−( haline dönüşür. Sonlu bir kontrol hacmi için;

kayıplarquu net =−− 12((

sıkıştırlabilir akış ve sonlu kontrol hacmi için;

kayıplarqdpuu net =−∫

+−

2

112

1ρ

((

33-Potansiyel Akım Lineer olmayan Euler denkleminin analitik çözümü üzerine gözlemlenen güçlüklerden dolayı, inviscid bir akışkanın hız vektörünün Euler denklemi dışında aranması ihtiyacından doğmuştur. Bu kuramda Laplace’ın Newton mekaniğinde kütle çekim kuvvetini bir potansiyel fonksiyondan elde etmesi gibi, akışkanın hız vektörünün bir potansiyel fonksiyondan türetilebileceği varsayımına dayanır. Böyle bir potansiyelin varlığı akışın döngüsüz olduğu durumlarda geçerli olup, viskozitede akış içerisinde döngü yaratan kaynak olarak kabul edildiği bilindiğine göre, potansiyel akım kuralı viskoz akışlara uygulanamaz. Kuramda sıkışmaz akışkanlar için süreklilik denklemi bir Laplace denklemine dönüşür ve bu denklemin çözümü bize potansiyel fonksiyonu, dolaylı olarak da hız vektörünü verir.

34-Potansiyel Fonksiyon φ potansiyel bir fonksiyon olmak üzere akışkanın hız vektörü; φ∇=V Sıkışmaz bir akışkanın süreklilik denklemi ise; 0=∇V Hız vektörünü yeni formda; 0)( =∇∇=∇ φV Laplace denklemi adı verilen bu ikinci dereceden kısmi türevli eliptik denklemin çözümü potansiyel fonksiyonu verir. Potansiyel akımın herhangi bir noktasında;

yu

xv

∂∂

=∂∂

−=φφ ,

35- Basınç Gradyanlı Sınır tabaka

Dr. Ali PINARBAŞI

15

Şekil (a)’ da uygun gradyan görülmekte olup herhangi bir çekme noktası (PI) olmamakla birlikte herhangi bir separation yoktur. Şekil (b) ise zero basınç gradyanı olup yine separation olmamakla birlikte, akış Rex (3x106 civarında) transition’a geçebilir. Şekil (c) ‘den (e)’ye ters basınç gradyanı mevcut olup PI sınır tabakada oluşur. Şekil (c)’de akış tam olarak separation’a uğramamakla birlikte zayıf bir gradient hakimdir. (d)’de ise kritik şartlara ulaşılıp burada wall kayma gerilmesi tam olarak sıfırdır. ( 0/ =∂∂ yu ) Bu nokta separation noktası olarak adlandırılır. Diğer bir örnek ise sağdaki şekilde görüldüğü gibi nozzle, boğaz ve difüzör içerisindeki akışta gözlemlenir. Burada nozzle akışında uygun bir gradient hakim olup alsa dağılmaz, aynı benzerlik boğaz’dada gözlemlenir. Burada basınç gradyanı yaklaşık olarak sıfırdır. Fakat genişleyen kanallı difüzör, düşük hız ve artan basınç (ters gradient) üretir. Eğer difüzör açısı büyük ise, sınır tabaka bir veya iki duvarda birden dağılacak böylece ters akışlarla birlikte kayıplar artacaktır. Dolayısıyla kötü bir basınç kazanımı gözlemlenmiş olup, buna difüzör stall’u adı verilir.

36-Pompa Performans eğrisi Head, düşük debide yaklaşık olarak sabit giderken Q=Qmax olduğu konuma doğru gittikçe sıfıra düşüş gösterir. Bu hızda ve bu çark boyutunda pompa Qmax’dan daha fazla akışkan sürküle edemez. Kesikli çizgiyle gösterilen noktada pompa unstable hareket ederken pompada problemlere yol açabilir. Pompalarda en iyi performans noktası olarak bilinen dizayn noktası verimin maximum olduğu yerdeki head’in değeri dikkate alınır. Verim: PgQH /ρη = ifadesinde çıkarılabilir.

37-Elemanter Pompa Teorisi Turbomakinalar için açısal momentum teoremini uygularsak;

)( 1122 tt VrVrQT −= ρ Akışkanın dağıttığı güç ise;

)( 1122 ttw VuVuQwTP −== ρ

veya diğer bir formda; )(11122 tt

w VuVuggQ

PH −==

ρ

Yukarıdaki denklemler Euler turbomakina denklemleri olarak bilinir.

Şekilden; tVuCoswCosuwwuV −=−+= ββ2222

Veya; )(21 222 wuVuVt −+=

Dr. Ali PINARBAŞI

16

Her iki denklemin taraf tarafa toplanmasıyla;

[ ])()()(21 2

122

21

22

21

22 wwuuVV

gH −−−+−=

Bernoulli denkleminden; fs hhzgV

gPz

gV

gPH −=

++−

++=

11

2

21

2

22 ρρ olduğu bilindiğine göre;

Yeniden denklemi düzenlersek; sabitzg

rgw

gP

=

+−+

22

222 ωρ

Bu ise dönel koordinatlar için Bernoulli denklemi olarak adlandırılır.

38-Kanat Açısının pompa düşü’süne etkisi Eğer giriş açısal momentumu ihmal edersek, teorik su gücü;

22 tw VQuP ρ=

burada; 22

22222 2 brQVCotVuV nnt π

β =−=

Buradan teorik düşü ifadesi ise; Qgbr

Cotugu

H22

2222

2πβ

−≈

Burada düşü H, Q’ya bağlı olarak değişim göstermektedir. Eğer β2<900 ise geriye dönük kanat geometrisi oluşur β2>900

olduğu durumda ise ileriye dönük kanat geometrisi oluşur.

39-Dönel silindir üzerindeki Akış

1- Re<< 1 Akış simetrik ve dağılım yoktur, yani atalet kuvvetleri ihmal edilmiştir. 2- 4<Re<40 silindir arkasında iki büyük vorticity oluşur, Re=40’a kadar silindire temaslı kalır Sürüklenme kuvveti

Re ile artarken, kaldırma kuvveti sıfırdır.

3- 40<Re<150 Simetrik akış tamamen kaybolmakta ve regular dağılım başlar. Sürüklenme ve kaldırma kuvveti peryodik kabul edilir.

4- 200<Re<400 Vorticity’ler içindeki akış laminerden türbülansa değişim göstermeye başlar. Bunun sonucunda

akışta düzenli kayıplar gözlemlenir.

5- 400<Re<3.105 Simetrik olmayan von-Karman vorteksi gözlenir. Akış düzgünleşir.

6- 3.105<Re<5.105 Akış hızla değişime uğrar, yani akış subcritical veya transcritical olabilir. Sürüklenme ve Kaldırma kuvvetleri değişebilir.

7- 5.105<Re<3.106 Akış tamamen superkritiktir (yani tam turbulent). Separation noktası geri stagnasyon

noktasına doğru hareket eder.

8- Re>3.106 Sürüklenme kuvveti artar, akış tam türbülanslıdır.

Dr. Ali PINARBAŞI

17

40- Maddesel Türev Sürekli ortam kavramı Akışkanlar Mekaniğindeki değişkenlerin sürekli ve yer-zaman’ın tek değerli fonksiyonları olarak ifade edilmesini mümkün kılar. Akışkan partikülünün özelliklerinde değişiklik istendiği konumlarda diferansiyel gereksinimi olur. Partikülü takiben alınan böyle bir işleme, partikülü takiben alınan diferansiyel, elde edilen türevlerede maddesel türev denir. Örneğin yoğunluk için;

[ ])(),(),( tztytxρρ =

sonsuz bir t∆ aralığı için, x,y,z pozisyonlarından zzyyxx ∆+∆+∆+ ,, konumuna girerken değişim;

tt

zz

yy

xx

∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ρρρρρ olarak ifade edilebilir.

Burada; twztvytux ∆=∆∆=∆∆=∆ ... olduğundan yerine yazılırsa;

tt

twz

tvy

tux

∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ρρρρρ ...

yeniden düzenlenirse;

zw

yv

xu

tDtD

tot ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==∆∆

→∆

ρρρρρρlim

41-Reynolds Transport Teoremi Bir sistem analizini, kontrol hacmi analizine dönüştürmek gayesiyle, matematik ifadeleri özel bir kütleden ziyade spesifik bir bölgeye göre yazmak için gerekli dönüşümü sağlayan analiz yöntemine Reynods Transport Teoremi denir. B toplam kütle olmak üzere;

∫ ∫ ∫+∂

∂==

m v si

ii

i VdsbdVtbdmb

DtD

DtDB ρρ)(

Verilen bir zamanda V hacmini işgal eden sistem için Bi’nin anlık değişimi

Verilen bir zamanda Bi ‘nin V kontrol hacmindeki değişimi

Verilen bir zamanda V hacminin kapalı S yüzeyinden geçen etkili özellik Bi ‘nin toplam net debisi

Dr. Ali PINARBAŞI

18

42-Vortex Hareketleri Cebri Vortex: Eğer akışkan kütlesi bir eksen etrafında blok halinde dönüyorsa, hızın radyal doğrultudaki yayılışı doğrusaldır. Yani;

sabitwrV

== şartı mevcuttur. Basınç yayılışı ise ;

rV

rP 21

=∂∂

ρ formülü yardımıyla

grrwPP

2)( 2

12

22

12 −=

−γ

bulunabilir. gVVPP

2

21

2212 −

=−γ

Görüldüğü gibi basınç yayılışı parabolik bir şekilde dışarı doğru artar. Hareket girdaplı olduğu için iki farklı ipçik arasında Bernoulli Denklemi yazılmaz. Dolayısıyla yukarıdaki denklem Bernoulli denkleminden farklıdır. Serbest Vortex: Akışkan tamamen sürtmesiz olur ve dışardan bir itme momenti tatbik edilmezse, sirkülasyonlu potansiyel hareket şartına uygun bir hareket doğar. Eş merkezli daireleri yörünge olan bu şekilde daimi ve düzlemsel bir hareket düşünelim. Diferansiyel denkleme bu hareketin hiperbolik hız yayılışı kanununu uygularsak;

Cebri Vortex Serbest Vortex Rankine kombine vortex

rV

rP 21

=∂∂

ρ denkleminde V.r=sabit=C yazılırsa

221nuylaintegrasyobunun

22

21

2

12

212

3

2 VVrCPPdr

rCdP −

=−=−

=ρρ

gVVPP

2

22

2112 −

=−γ

Yukarıdan görüleceği gibi bu denklem, hareketin potansiyel olması sebebiyle Bernoulli denklemini ifade etmektedir. Basınç dışa doğru yine artma gösterir. Rankine kombine vortexi: R0 yarıçaplı bir silindirin içinde cebri vortex dışında serbest vortex olduğunu düşünelim. Böyle bir durumda eksen üzerinde hızların sonsuza gitmesi gerekir. Gerçek akışkan halinde viskozite kuvvetleri anormal derecede büyüyeceğinden hızların fazla büyümesine imkan vermez.şekildeki noktalı hat ile gösterilen hız yayılışı elde edilir ki, bu yayılış R0 yarıçaplı bir zorlu vortex çekirdeği etrafında serbest vortex hareketine benzetilebilir.

43- Hareket Denklemi için özel haller

- Sürtünmeli bir akışkanın öyle bir sıkıştırılamayan hareketini ele alalım;

olsunVVV zyx 0222 =∇=∇=∇

Böyle bir harekette hareket denklemi sürtünmesiz hareket denklemi ile çakışır. Bu nedenle hareket sıfırdan başlıyor ve kütle kuvvetleri bir kuvvet fonksiyonundan türüyor ise akışkan sürtmeli olmasına rağmen akış potansiyel olur.

- Problemin tersini düşünerek, potansiyel bir akış gözönüne alalım. Potansiyel fonksiyonun laplasiyeni sıfır olacağından, bu fonksiyonun gradyenide sıfır olur.

0,0 222 =∇=∇=∇ φφ dgraVrr

yani hız vektörünün laplasiyeni de sıfırdır. Hareket denkleminde viskozite terimleri kalkar. O halde harekette viskozitenin yani sıvı sürtünmesinin etkisi hissedilmeyecektir. Yalnız cidardaki sınır şartı değişik olacaktır.

Dr. Ali PINARBAŞI

19

- Yine çok hızlı hareketlerde de atalet kuvvetleri yanında viskoz kuvvetler ihmal edilebilir. Bu çeşit hareketlerde sürtmesiz hareketlere benzetilebilir. Diğer taraftan çok yavaş hareketlerde veya viskozitesi büyük akışkanların hareketinde atalet kuvvetleri viskoz kuvvetler yanında ihmal edilebilir. Bu takdirde denklem;

VFpdgrarrr

21∇+= ν

ρ

şekline indirgenir. Stokes bu yaklaşımdan faydalanıp bir küre etrafındaki hareketi çözmüştür.

44- Euler ve Lagrange Metodu yaklaşımıyla Laminer ve Türbülanslı akış

Lagrange metodu yörüngeleri, Euler metodu ise hızlar alanını esas almakta olduğundan Laminer ve Türbülanslı akış halinde birtakım farklılıklarıda beraberinde getirir.

Lagrange metoduna göre, her iki akışın bünyesini görmek istersek, laminer akışta taneciklerin birbirlerine paralel düzgün yörüngeler çizdiğini, buna karşın türbülanslı akışta bir partikülün düzgün bir eğri şeklinde yörüngesinin bulunmadığını söylemek mümkündür.

Euler metoduna göre, bir noktadaki hız durumu incelendiğinde, laminer ve daimi akışta hız vektörünün zamanla değişmediği görülür. Türbülanslı akışta ise M noktasındaki hız vektörü belirli bir değer etrafında raslantılı ve düzensiz değişimler gösterecektir.

Lagrange metoduna göre Euler metoduna göre

45- Bir Kanat etrafında sirkülasyonun doğuşu Belirli bir hucum açısına sahip kanat profilinde bir kaldırma kuvveti meydana gelebilmesi için, genel bir akış hareketi ve sirkülasyona ihtiyaç vardır. Bir akım alanı içerisine konmuş olan silindir döndürüldüğünde, gerçek akışkan hareketi halinde viskoziteden dolayı sirkülasyonun doğabileceği aşikardır. Fakat bir uçak kanat profili etrafında sirkülasyonun oluşumu, kanadın kaçma kenarında belirli bir girdabın doğuşuna bağlıdır. Gerçekten kanat etrafında oluşan sirkülasyon kaçma kenarındaki girdabın sirkülasyonuna eşit ve ters işaretlidir. Şekil a’da görüldüğü gibi başlangıçta sirkülasyon sıfır olup, şekil b’de ki gibi hareket başlar başlamaz ilk anda hareket potansiyeldir. Bu nedenle kaldırma kuvvetide sıfır olur. Fakat bu akış şekli uzun sürmez, kaçma kenarının altındaki hız üsttekinden daha fazladır. Bunun sonucu olarak bir süreksizlik yüzeyi doğar ve bu yüzey saat akrebinin tersi yönünde bir girdap doğmasına neden olur. (başlama girdabı) Bu anda kanat etrafında buna karşıt bir sirkülasyon doğacaktır. (bağlı girdap) İki sirkülasyonun toplamı yine sıfırdır. Hareket daimi hal alınca başlama girdabı ve bağlı girdap’da sabit kalır. Başlama girdabı kanat ucundan koparak akış ile sürüklenir ve sonsuza gider. Daimi akış halinde gördüğümüz yalnız bağlı girdabın sirkülasyonudur ve bu kanat üzerinde kalarak kaldırma kuvvetini yaratır.

Kanatda Sirkülasyon Kanatlarda Basınç 46-Kanat Etrafında Basınç Yayılışı

Şekilden görüldüğü gibi akım hatları, kanadın sırtında sıklaşmakta, kanadın göğsünde ise seyrekleşmektedir. Bu ise kanat sırtında hızların fazlalaştığını, göğüste ise hızların azaldığını ifade eder (süreklilik şartı).Aynı özellik kanat

Dr. Ali PINARBAŞI

20

etrafında saat akrebinin dönüşü yönünde bir sirkülasyonun mevcudiyetini izah eder. Diğer taraftan Bernoulli denkleminden hızların fazla olduğu sırt kısmında basınçların düşük, buna karşın, hızların az olduğu kanat göğsünde basınçların yüksek olacağı anlaşılır. O halde kanat sırtında çöküntü, kanat göğsünde ise sürpresyon beklenecektir. Bu basınç kuvvetlerinin bileşkesi kaldırma kuvvetini doğuracaktır. İkinci şekilde tipik bir profil etrafındaki basınç yayılışı gösterilmektedir. Buradaki basınç değerleri ortam içinde ∞V hızının bulunduğu yerlerdeki ∞P basıncından olan farklar şeklinde ifade edilmektedir. Örneğin bu değerler atmosfer içinde hareket eden bir uçak için efektif basınçlara karşı gelir. Görüldüğü gibi çöküntü (depresyon)’lerin mutlak değerleri sürpreyonların mutlak değerine oranla çok fazladır. Başka bir ifadeyle esas kaldırma kuvvetini temin eden kanadın sırtındaki basıncın azlığıdır.

47-Dalmış Cisimlerin Dirençleri Akış alanı içerisine konulmuş bir cisme, akış yönünde etkiyen kuvvete direnç denir. Direnç kuvvetinin iki ayrı orijini mevcuttur. Bunlardan birincisi çeper üzerindeki sürtme gerilmeleri, ikinciside çepere etkiyen basınç kuvvetidir. Genel olarak ince uzun profillerde sürtme direnci hakimdir. (Şekil a) Kalın ve kısa profillerde basınç direnci çok daha büyük rol oynar. Basınç direncinin büyümesi çeperden ayrılmalara bağlıdır. Ayrılmanın oluştuğu girdaplı bölge arttıkça kayıplarda o oranda büyür ve direnç kuvveti artar.

Genel olarak her iki direnç için; SVCD D 2.

2∞= ρ olarak tanımlanır, S

projeksiyon yüzeini, CD ise cismin formuna, pürüzlülüğüne ve Re’ye bağlı katsayıdır.

48- Küçük Reynolds Sayılarında Direnç Küçük Re sayılarında direnç kuvveti, üzerinde atalet etkisi yok sayılabilecek, başka bir ifadeyle D direnci üzerine etkiyen yalnızca hız, boyut ve viskozite katsayısı olacak, yani özgül kütle rol oynamayacaktır. Buna göre direnç denklemi; ),,( µlVfD = şeklinde olacaktır. Boyut analizinden K cismin şekline bağlı bir katsayı olmak üzere;

VlKD µ=

bir kürenin viskoz bir sıvı içerisindeki direncini veren ifade ise; VdD µπ3= olup dolayısıyla K=3π olur.

49- Büyük Reynolds Sayılarında Direnç Büyük Re sayılarında direnç de ise atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetler yanıda çok büyük olacağı aşikardır. Aerodinamik bir profile sahip olan, yani cidardan ayrılmaların gözlemlenmediği bir cisim üzerinde basınç yayılışı, potansiyel akıştaki basınç yayılışına çok yakındır. Halbuki potansiyel teori, bir cismin etrafında basınç yayılışından doğan basınç direncinin sıfır olduğunu göstermektedir.

50- Bir Kürenin Direnci Bir küre etrafındaki akışın durumunu 5 tipik şekilde izah edebiliriz. 1- Re sayısının çok küçük değerinde (Re<1) atalet kuvvetleri ihmal edilmiştir. Akım

çizgileri hemen hemen simetrik durumda olup, Direnç katsayısı ise Stokes formülünden; Re/24=DC hesaplanır.

2- Re sayısı biraz artırıldıkça kürenin arkasında bir girdap halkası oluşur. Bu girdap halkası cisme bağlı kalır.

Direnci tam olarak değerlendirmek mümkün olmayıp, deneyler bu durumun 1<Re<10 arası meydana geldiğini ve direnç katsayısının daha yavaş azaldığını göstermektedir. (alttaki Şekil a)

3- Re=14 değerinden sonra girdaplar, arkadan kopmakta ve helikoidal bir form almaktadır. (üstteki Şekil b) Girdap kopma noktası eksen etrafında dönmekte ve bu yüzden küreye, direnç kuvvetine ilave olarak bir kaldırma kuvveti tatbik edilmektedir.

4- Re değerinin 100 değerinden sonra düzenli bir girdap görmek olanaksızdır. Fakat küre üzerinde belirli bir

ayrılma noktası mevcuttur. Ayrılma kürenin akışa dik simetri düzleminden önce başlamaktadır. (alttaki Şekil a)

Dr. Ali PINARBAŞI

21

5- Rek (Kritik Reynolds sayısı) olan 2 ile 4.105 değerleri arasında CD katsayısı ani bir düşme göstermektedir.

Bunun sebebi ayrılma noktasının (üstte Şekil b) arka tarafa kaymasındandır. Bunun sonucu olarak girdaplı ölü bölge küçülür. CD katsayısındaki bu düşüş o kadar şiddetli ve ani oluşur ve bunun sonucu direnç üzerinde de kendini gösterir. Yani V hızı arttıkça dirençte küçülme görülür.

Kritik değerin altında sınır tabaka henüz türbülanslı

olmadan ayrılma başlamaktadır. Bunun sonucunda, sınır tabakanın ayrılma noktası çok öndedir. Reynolds sayısı arttıkça sınır tabaka türbülanslı olma eğilimi gösterir. Türbülanslı sınır tabaka içinde enerji alış verişi daha kolay olduğu için cidara çok yakın taneciklerin hızlarının düşmesi ve ayrılmanın meydana gelmesi önlenmiş daha doğrusu gecikmiş olur. Şekil a, kritik değerin altında bir akışa, b ise kritik değerin üstünde bir akışa karşı gelmektedir.

51- Bir Silindirin Direnci Sonsuz uzunlukta akış eksenine dik olarak konulmuş bir silindir, küre direncine benzer değişim gösterir. Re sayısının çok küçük değerlerinde (Re<0.2) akış tamamıyla laminerdir. Atalet kuvvetleri çok düşük olduğu için cidardan ayrılma yoktur. Fakat atalet kuvvetlerini tamamıyla ihmal ederek problemi çözmek mümkün değildir. (şekil a) Re sayısı biraz artırılırsa girdapların kapladığı alan büyür. Bu Re=10’a kadar devam eder. (şekil b) Re sayısının 30 ile 60 olduğu yerde girdapların alternatif bir şekilde silindirden koptukları gözlemlenir. Burada her vortex kopması, silindire akış yönünde dik bir kaldırma kuvveti gelmesine sebep olduğundan, bu rejimde silindirin titreşen bir kuvvet etkisi altında kaldığı görülür.

Re sayısının daha büyük değerlerinde (Re<1000 için) cidardan ayrılma noktası sabit kaldığı için Re’nin artması pratikte CD ‘yi değiştirmemektedir. Fakat 3-5.105 değeri civarında türbülanslı sınır tabaka gözlemlenerek CD katsayısında ve dirençte bir düşme yaratır.

52-Dairesel Dönme Bir düzlem çevrili hareket gözönüne alalım, Ortamda sadece a yarıçapında bir çevri tüpü bulunsun. Bu tüpün hareket düzlemine paralel düzlemlerde arakesiti a yarıçaplı bir silindirdir. Çevrinin bu silindir içinde düzgün olarak yayıldığını varsayarsak, silindirin dışında ise çevriyi sıfır alabiliriz. Simetriden dolayı akım çizgilerinin O merkezli daireler olacağı ve hızın merkezden uzaklığın fonksiyonu olarak ifade edileceği açıktır. Tüpün içinde ve dışında O merkezli dairesel iki yörünge boyunca;

arorvr <= ,22 ωππ

aroavr >= ,22 ωππ

yazılabileceği görülür. Bu bağıntılardan ortamın hız alanı için;

arravarrv o

o <=<= ,21,,

21 2ωω

ifadelerini elde ederiz. r=a için iki hız fonksiyonu birbirine eşit olduğundan tüp yüzeyinde bir hız süreksizliği gözlenmez. Çevri bölgesi dışında indüklenmiş hız merkeze uzaklıkla ters orantılı olarak azalır. Çevri bölgesi içinde ise hız merkeze uzaklıkla orantılı olarak artar. Çevri merkezinde hız sıfırdır. Çevri tüpü içindeki akışkan 2/oω açısal hızıyla rijit bir cisim gibi

Dr. Ali PINARBAŞI

22

döner.Dolayısıyla hareketli bir akışkana yerleştirilmiş bir dairesel çevri akışkanın hızı ile yüzer. Dairesel çevride basınç dağılımını hesaplamak istersek;

Ω+−∇=∇+

ρω pvvx 2

21

denkleminde, 0),( =Ω= rvv θ yazarsak;

0,1=

∂∂

=∂∂

+−=∂∂

−zpp

drdvvv

rp

z θω

ρθ

θθ elde edilir.

Çevri tüpü içinde, yani r<a için ozorv ωωωθ == ,21

olduğundan

rwrrdrdp

ooo2221

41

41

211

−=+−=− ωωρ

, buradan 2

21 am oω= tanımıyla;

Cramp +−= 2

4

2

1 2ρ

elde edilir.

Çevri tüpü dışında, yani r>a için; 0,21 2

=== zo

rm

rav ωω

θ kabulüyle;

oprmpburadan

rm

drdp

+−=−=− 2

2

23

22

21 ρρ

bulunur, po burada sonsuzdaki basınçtır. Yani r=a’da p1=p2 koşulu sağlanmalıdır. Buradan C sabiti;

2

2

ampC o

ρ−=

değeri bulunur, dolayısıyla;

−−= 2

2

2

2

1 21

ar

ampp o

ρ

o

o

o pa

pamk

4

22

2

2 ρωρ== olarak tanımlarsak;

arrka

pp

arark

pp

o

o

≥−=

≤

−−=

,2

1

,2

11

2

22

2

21

minimum basınç için )1(min kpP o −= bulunur, dolayısıyla minimum basınç çevrinin merkezinde oluşur.

k>1 için ise; 22

41 ap oo ω< ise, 0min <P , olur. Basıncın

negatif olduğu, yani çekme gerilmeleri etkisi altında olması gereken yerlerde akışkan bulunmayacağından çevri tüpü içinde ro yarıçaplı bir boşluk oluşur. ro, basıncın sıfır olduğu noktayı göstermektedir.

1,)1(2>

−= k

kkaro

sonucu elde edilir. K=2 için ro=a bulunur yani;

ρω oo

pa

22=

değeri için çevri tüpünün içi tümüyle akışkandan boşalmıştır. Tüpün içinin akışkan ile dolu kalması için en büyük açısal hız yada en küçük tüp çapı;

ρωρω o

o

oo papa

4)2(,12 min

max==

olmalıdır.

Dr. Ali PINARBAŞI

23

53-Dış Akımların Dinamiği

Katı yüzeyde kayma gerilemesi maksimum iken sınır tabakanın sonunda sıfıra düşmektedir.

002

2<

∂

∂<

∂∂

→→ δδµτ

yy yUveya

y

u=v=0 (katı yüzeyde)

dxdUU

dxdP

dxdP

yU

y

ρµ −=∴=∂∂

→02

2

dxdUU

yU

y

ρµ −=∂∂

=02

2

İki tip dış akış gözönüne alınabilir.

a- Hızlanan odxdU

>⇒ , b-Yavaşlayan odxdU

<⇒

Hızlanan akış durumunda, 0/ 22 <∂∂ yU olur ve hız free stream hızında düzgün bir şekilde artacaktır. Dolayısıyla bükülme noktası olmayacak ve

akış dağılımı gözlenmeyecektir. Yavaşlayan akış durumunda ise )0/( <dxdU katı yüzeydeki hızın eğriliği pozitiftir.

( 0/ 022 >∂∂ =yyU ) Fakat sınır tabakada yani 0/ 22 <∂∂ →δyyU ’da negatiftir. Dolayısıyla bir bükülme noktası

gelişebilir. Hız gradyanı açısından yani separation sadece yavaşlayan akışlarda gözlemlenir. Özetle: - Akış hızlandığı sürece yüzeye temaslı kalır ve basınç gradyanı )0/( <dxdP olur.

- Akış yavaşlayan ise ters basınç gradyanı )0/( >dxdP ouşup, akış yüzeye yakın noktalarda yavaşlamakta ve bunun sonucu olarak ters yönde kuvvetlenebilir ve böylece separation oluşur.

Şekildeki gibi sıkıştırılamaz akış için daralan-genişleyen nozzle’ın daralan bölümünde akışın hızlanacağı, kesit alanının daralmasından gözlemlenir. Fakat genişleyen kesitte, akış yavaşlayan olup separation nozzle’ın genişleyen bölüünde gelişir. Başlangıç bölümünde, akış duvara yapışık kalır. Genişleyen kesitte ise akışın daima separation göstereceği net değildir. Tabiiki bu durum akışın yavaşlama eğilimi gösterdiği genişleyen nozzle geometrisine (açısına) bağlıdır.

54- Wake Dinamiği Sınır tabakanın sonucu olarak akan akışkanın duvar arasındaki etkileşiminden vorticity oluşur. Akışkan partikülleri tabakalar arasında gelişerek dönme eğilimi gösterir.

∫∂∂

−∂∂

=∫=δδ

δω

δω

00)(11 dyyu

xvdya

xv ∂∂ / sınır tabakada çok küçük olduğundan;

δδω

δ udyyu

a −=∫∂∂

−≈0

1

55- Hidrodinamik Sınır Tabaka Bir yüzey çevresinde hareket eden akışkan içinde kayma gerilmeleri

nedeniyle hız gradyanlarının oluştuğu bölgeye hidrodinamik sınır tabaka denir. U serbest akım hızıyla, sabit bir levha üzerine gelen akışkan, levha ile temas ettiği noktalarda durağandır. Herhangi bir arakesitte hız dağılımına bakılırsa, levha yüzeyinde sıfır olan hızın y yönünde giderek arttığı gözlenir. Yüzeyden biraz yukarıda olan akışkan tabakası, alt kısımda olan durağan sıvı tabakası tarafından durdurulmaya çalışır. Üstünde bulunan tabaka tarafındanda akım yönünde hareket ettirilmeye zorlanır. Üst üste yer alan tabakalar arasındaki kayma gerilmeleri nedeniyle hareketlerini etkilemekte ve belirli bir uzaklıktan sonra hissedilmez olur. Bu noktadan itibaren akışkanın hızı serbest akım hızı olan U’ya eşit olur. (%99U) Bu nokta hidrodinamik sınır tabakanın bittiği yer olarak adlandırılır. Sınır tabaka olarak tanımlanan bölgenin dışında hız gradyanları ve kayma gerilmeleri ihmal edilebilecek derecede küçüktür. Serbest akım bölgesi denilen bu kısımdaki akım Potansiyel akım olarak adlandırılır. Levha üzerindeki sürüklenme kuvveti:

Dr. Ali PINARBAŞI

24

∫ −=)(

0)()(

xdyuUubxD

δρ

momentum kalınlığı (θ) olmak üzere;

∫

−==

δθθρ

0

2 1)( dxUu

UuUbxD

momentum kalınlığı, levha üzerindeki toplam sürüklenmeyi ölçer. Sürüklenme aynı zamanda levha boyunca oluşan kayma gerilmesinin integrasyonuna eşittir.

∫ ==x

xx bdxdDveyadxxbxD

0)()( ττ

U=sabit olduğundan;

dxdUb

dxdD θρ 2=

bu ifade ise momentum-integral bağıntısı olarak adlandırılır.

dxdUwθρτ 2=

bağıntısı laminer ve türbülanslı akış için geçerlidir. Hız profilini parabolik kabul etmek kaydı ile laminer akım için;

−≈ 2

22),(δδyyUyxu )(0 xy δ≤≤

buradan momentum kalınlığı ve kayma gerilmesi tahmin edilebilir, dolayısıyla;

δδδδδ

θδ

152212

2

2

02

2≈

+−∫

−= dyyyyy

kayma gerilmesi ise;

δµµτ U

yu

yw

2

0≈

∂∂

==

yeniden düzenlenirse;

Uxdaxdx

Ud νδδνδδ 15

210'015 2 ===≈

2/1

2/1

Re5.55.5xUxx

=

≈

νδ