33

2. Introdução à física quântica

Planck e a quantização da energia

Lei de Stefan-Boltzmann 4ATeP σ=

( )44 TTAeP ′−= σ .

Figura 3.1: Radiância espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda

para várias temperaturas. Assinalam-se as zonas do visível (faixa colorida), do ultra-

violeta (UV) e do infra-vermelho (IV).

Lei do Deslocamento de Wien:

TB=maxλ

com Km10898,2 3−×=B uma constante.

catástrofe do ultravioleta

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Figura 3.2: Radiância espectral de um corpo negro à temperatura de 2000 K (linha a

cheio) e previsão da teoria electromagnética clássica (linha a tracejado).

Até que em 1900 o físico alemão Max Planck (Figura 3.3) enfrentou o problema

da radiação do corpo negro...

Figura 3.3: Max Planck explicou a radiação do corpo negro introduzindo o conceito de

quantum de energia (plural quanta).

fhE =0 .

constante de Planck: sJ1062,6 34−×=h .

fhnE = , ,...3,2,1=n

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Figura 3.4: Um átomo oscilante, porque contém cargas eléctricas, produz ondas

electromagnéticas.

Einstein e a teoria dos fotões

Uma das consequências das equações do electromagnetismo era a propagação,

como ondas, do campo eléctrico e do campo magnético à velocidade da luz. Este

resultado confirmava o carácter ondulatório da luz, já antes revelado em várias

experiências de interferência e de difracção realizadas no século XIX.

Natureza da luz

No século XVII, Newton defendeu que as fontes luminosas emitiam pequenos

corpúsculos, em todas as direcções, a grandes velocidades. Esta teoria ficou conhecida

por teoria corpuscular da luz. Um físico contemporâneo de Newton, o holandês

Christian Huygens, defendeu, pelo contrário, que a luz era uma onda, estabelecendo

assim a teoria ondulatória da luz.

claro

escuro

alvo

escuro

escuro

escuro

claro

claro

36

Figura 3.5: Experiência da dupla fenda feita numa tina de ondas (à esquerda) e sua

interpretação com base na teoria ondulatória (à direita).

efeito fotoeléctrico

Figura 3.6: No efeito fotoeléctrico electrões são arrancados de um metal quando este é

iluminado com certo tipo de luz (normalmente, luz ultravioleta).

Figura 3.7: Mesmo com luz muito intensa pode não haver emissão de electrões, mas

com uma luz menos intensa mas de maior frequência ( 12 ff > ) já pode haver.

célula fotoeléctrica para estudar o efeito fotoeléctrico. Luz monocromática de

frequência f passa através de uma janela transparente e incide numa placa metálica

(fotocátodo) arrancando-lhe electrões. Estes são acelerados por uma diferença de

potencial, U, entre o fotocátodo e um eléctrodo a potencial positivo (ânodo),

estabelecendo-se no circuito uma corrente eléctrica.

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Figura 3.8: Célula para o estudo experimental do efeito fotoeléctrico: o amperímetro

mede a intensidade de corrente na célula e o voltímetro a tensão nos seus terminais.

Quando a tensão aplicada é positiva ( 0>U ), os electrões são atraídos para o

ânodo. Se essa tensão for suficientemente elevada, todos os electrões chegam ao ânodo

e a intensidade de corrente atinge um valor limite ou patamar (é a chamada corrente de

saturação). Mas invertendo o sinal da tensão aplicada ( 0<U ), os electrões são

repelidos pelo ânodo e a intensidade da corrente eléctrica diminui até se anular para um

valor de tensão igual a 0U− , sendo 0U designado por potencial de paragem. Neste

caso, apenas os electrões mais energéticos chegam ao ânodo. Se a energia cinética de

um electrão à saída do cátodo for superior a 0eU (diferença de energia potencial entre os

eléctrodos), o electrão atingirá o ânodo e contribuirá para a corrente eléctrica (Figura

3.9, à esquerda). Caso contrário, o electrão não chegará a atingir o ânodo (Figura 3.9, à

direita). Portanto, 0U mede a energia cinética máxima dos electrões.

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Figura 3.9: Se os electrões tiverem energia cinética suficiente para vencer o potencial de

paragem, atingem o ânodo (à esquerda); no caso contrário, não há corrente no circuito (à

direita).

As curvas da corrente em função da tensão aplicada, )(UI , obtidas experimentalmente

(Figura 3.10) mostram que:

� a intensidade de corrente aumenta com a tensão aplicada entre os eléctrodos até atingir

um valor constante (corrente de saturação);

� fazendo incidir luz da mesma frequência mas com intensidades diferentes, o potencial

de paragem, 0U , é o mesmo mas, quanto mais intensa for a luz, maior será a

intensidade da corrente de saturação (Figura 3.10, à esquerda);

� fazendo incidir luz de frequência diferente, o potencial de paragem é maior para a luz

de maior frequência (Figura 3.10, à direita).

Figura 3.10: Curvas características de uma célula fotoeléctrica: luz incidente com

frequência fixa mas intensidades luminosas diferentes (à esquerda) e luz incidente com

a mesma intensidade mas frequências diferentes (à direita).

Em 1916 o físico norte-americano Robert Millikan efectuou medidas cuidadosas

do efeito fotoeléctrico e mostrou que o declive dessas rectas é igual para todos os

metais!

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Figura 3.11: Potencial de paragem em função da frequência da luz incidente para o

sódio segundo os dados obtidos por Robert Millikan, que obteve o prémio Nobel da

Física em 1923.

Os estudos experimentais feitos sobre o efeito fotoeléctrico estavam em contradição

com as previsões da teoria clássica:

Previsões da teoria clássica Evidências experimentais

A corrente fotoeléctrica é tanto maior

quanto maior for a intensidade da luz.

Desde que ocorra efeito fotoeléctrico, a

corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto

maior a intensidade da luz.

Aumentando a intensidade da luz, a

energia transferida para os electrões

aumentaria e portanto a energia cinética

máxima dos electrões aumentaria também.

O potencial de paragem e, portanto, a

energia cinética máxima dos electrões não

dependem da intensidade da luz incidente,

mas apenas da sua frequência e do metal

onde a luz incide.

Luz de qualquer frequência deverá

arrancar electrões da superfície do metal,

desde que a intensidade seja elevada ou se

espere tempo suficiente para que o

electrão acumule energia.

Se a frequência da luz incidente aumenta,

o potencial de paragem aumenta

linearmente. Há uma frequência mínima

abaixo da qual não há emissão de

electrões.

Os electrões levam tempo a acumular

energia para se libertarem do metal e esse

tempo é maior para luz menos intensa.

A emissão dos electrões é praticamente

instantânea: a corrente estabelece-se mal

se liga a fonte de luz.

40

Albert Einstein, em 1905, sugeriu que a luz era constituída por pequenos pacotes

(quanta) de energia, fhE =0 , que mais tarde foram designados por fotões.

WhfE −=c .

A energia W designa-se por função trabalho. Aplicando a conservação da

energia ao choque do fotão com o electrão, a energia cinética máxima do electrão é:

Whfvme −=2max2

1.

Esta equação do efeito fotoeléctrico mostra que:

� A energia cinética máxima só depende, para uma dada superfície metálica (mesmo

W), da frequência da radiação incidente e não da intensidade da radiação.

Há uma frequência mínima da radiação para arrancar electrões, pois tem de se

verificar Whf ≥ para que ocorra efeito fotoeléctrico. A energia mínima do fotão

que consegue arrancar um electrão é igual à função trabalho, Whf = . Por isso a

frequência mínima é dada por h

Wf =0 .

Dualidade onda-corpúsculo para a luz

A luz pode comportar-se como onda ou como partículas, ou seja, tem um

comportamento dual.

41

Figura 3.12: O registo do padrão de interferência na experiência de Young pode ser

efectuado por um fotomultiplicador, que conta os fotões.

Raios X

Figura 3.13: O alemão Wilhelm Roentgen foi o primeiro físico distinguido com o

prémio Nobel da Física, em 1901, pela sua descoberta dos raios X.

Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie

Se uma onda electromagnética pode ter características corpusculares, não poderá

também uma partícula, como o electrão, ter comportamento ondulatório?

Esta questão foi colocada pelo físico francês Louis de Broglie (Figura 3.14) que

defendeu, em 1923, que todas as partículas deveriam possuir um comportamento

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ondulatório. Segundo a relação de De Broglie o comprimento de onda de uma partícula

era inversamente proporcional ao seu momento linear, tal como nos fotões (ver Questão

3.12):

ph=λ

Figura 3.14: Louis de Broglie, que afirmou que a natureza ondulatória era geral:

aplicava-se a toda a matéria.

Na altura esta hipótese não passava de uma arrojada especulação teórica. Mas

logo veio a ter confirmação experimental. Em 1927, os físicos norte-americanos

Davisson e Germer descobriram que um feixe de electrões de baixa energia produzia, ao

incidir num cristal de níquel, um padrão de difracção semelhante ao de um feixe de

raios X. Variando a energia do feixe e, consequentemente, o momento linear dos

electrões, a relação de De Broglie pôde ser confirmada a partir da análise dos padrões de

difracção.

No ano seguinte G.P. Thomson, filho de J.J. Thomson, em Inglaterra, voltou a

confirmá-los. Lançando um feixe de electrões de alta energia sobre folhas muito finas

de alumínio, Thomson obteve padrões de difracção semelhantes aos que se obtinham

por difracção de raios X dessas mesmas folhas (Figura 3.15). É irónico que, mais de

trinta anos após J. J. Thomson ter ganho em 1906 o prémio Nobel pela medida da

relação carga/massa do electrão, que o identificou como partícula, o seu filho tenha

partilhado o prémio Nobel com Davisson e Germer por ter provado que o electrão se

comporta, por vezes, como uma onda!

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Figura 3.15: Padrões de difracção de electrões por uma folha de alumínio (à direita) e de

raios X (à esquerda).

A hipótese de De Broglie foi amplamente testada para muitos outros tipos de

partículas como neutrões, protões e até átomos de hidrogénio e de hélio. Todas estas

partículas produzem padrões de difracção semelhantes aos que Davisson, Germer e

Thomson obtiveram para electrões, tendo sido verificada a relação entre o comprimento

de onda e o momento linear para todas estas partículas.

Caixa lateral

Tal como a luz, a matéria tem uma natureza dual: ora se comporta como uma onda ora

como uma partícula.

Bohr e o átomo de hidrogénio

Espectros riscas

Figura 3.16: Espectro de emissão de vapor de mercúrio.

Figura 3.17: Niels Bohr, físico dinamarquês que ganhou o prémio Nobel da Física em

1922 pela sua explicação da estrutura dos átomos.

44

Vejamos o átomo mais simples, o de hidrogénio, com um só electrão e um

núcleo constituído por um único protão. Bohr supôs que este electrão só poderia girar

em torno do protão em órbitas com certos raios e que, nestas órbitas, o electrão não

perderia energia sob a forma de radiação (diz-se que o electrão está num estado

estacionário). À órbita de menor raio corresponde o estado estacionário de menor

energia, o estado fundamental. Normalmente, o electrão estará no estado fundamental.

Porém, se o electrão receber energia suficiente (por exemplo, com uma fonte de luz),

passa para uma órbita de maior raio, ficando num estado excitado. O electrão tende a

voltar ao estado de menor energia, emitindo energia sob a forma de luz. Designando por

E∆ a energia ganha ou perdida, vem, segundo Bohr,

hfE =∆ ,

onde h é a constante de Planck.

Os espectros mostravam que apenas luz de certas frequências era emitida pelos

átomos excitados, o que levou Bohr a concluir que os níveis de energia dos electrões

nos átomos estariam quantificados, ou seja, só podiam ter determinados valores. Isto

corresponde a supor que o electrão só pode ter órbitas com determinados raios. Supondo

que os raios das órbitas do electrão no átomo de hidrogénio só podiam tomar os valores

(Figura 3.18)

,...3,2,1,20 == nnar

onde m1053,0 100

−×=a é o raio da órbita do electrão no estado fundamental, Bohr

conseguiu reproduzir com notável precisão todas as riscas observadas do espectro do

hidrogénio. O número inteiro n é chamado número quântico principal. Isto foi um

grande triunfo da teoria dos quanta!

n=1 n=2 n=3

Figura 3.18: Primeiras três órbitas do electrão no modelo atómico de Bohr aplicável ao

hidrogénio.

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Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica

Quanto maior for a precisão com que se determina a posição de uma partícula,

menor será a precisão com que se conhecerá a sua velocidade nesse instante.

Figura 3.19: Werner Heisenberg, físico alemão que formulou o princípio da incerteza e

que foi um dos fundadores da Mecânica Quântica. Heisenberg recebeu em 1932 com o

prémio Nobel da Física.