Otimalidade de Pareto

Prof. João Manoel Pinho de Mello

Depto. de Economia, PUC-Rio

jmpm@econ.puc-rio.br

Agosto, 2006

Referência: capítulo 29, Varian

O problema Dois agentes 1 e 2, dois bens A e B

(ω1A, ω1

B) = dotação inicial do agente 1 (ω2

A, ω2B) = dotação inicial do agente 2

Dotação Agregada da Economia ωA = ω1A + ω2

A, ωB = ω1B +

ω2B

u1(x1A, x1

B) são as preferências do agente 1, u2(x2A, x2

B) são as preferências do agente 1 Impomos que os agentes não se importam com o consumo do

outro agente• Não há altruísmo• Não há externalidades

(x1A, x1

B, x2A, x2

B ) é uma alocação

Alocação factível Uma alocação factível é aquela que respeita a

restrição orçamentária da economia:

BBBBB

AAAAA

xx

xx

2121

2121

A pergunta

Um planejador central que fosseOnipotente

Onisciente

alocaria os bens entre os dois agentes? Pergunta imediata:

Alocaria segundo qual critério? • Ele gosta mais de qual agente?

• Ele se incomoda com desigualdade

Eficiência de Pareto

Uma alocação (x1A, x1

B, x2A, x2

B ) é dita eficiente do ponto de vista de Pareto se não existe nenhuma outra alocação (z1

A, z1B, z2

A, z2B ) tal que:

com desigualdade estrita para ao menos um i

2,1 para ,, ixxuzzu Bi

Aii

Bi

Aii

A caixa de Edgeworth

Uma representação gráfica

(ω1A, ω1

B), (ω2A, ω2

B) : dotações iniciais

x1B

x1A

x2A

x2B

ω1A

ω1B

ω2A

ωA = ω1A + ω2

A

ωB =

ω1 B +

ω2 B

Agente 1

Agente 2

ω2B

Dotação inicial

O Conjunto de Pareto

Eficiência de Pareto, graficamente

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

ω1A

ω1B

ω2A

ω2B

Exemplo: Cobb-Douglas

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Exemplo: complementos perfeitos

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Exemplo: complementos perfeitos

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Conjunto de Pareto

O conjunto de Pareto é formado pelas alocações

tais que não existe outra alocação

que a domina no sentido de Pareto, ou seja:

BABA xxxx 2211 ,,,

BABA xxxx 2211~,~,~,~

ixxuxxu Bi

Aii

Bi

Aii um menos ao para estrita dedesigualda com ,~,~

Caracterização algébrica Se as preferências (os us) forem “bem comportadas”,

então podemos caracterizar o conjunto de Pareto algebricamente Caracterizar significa achar uma equação que descreve o

conjunto Bem comportado significa u diferenciável, e estritamente

côncava (o conjunto formado pela curva de indiferença é estritamente convexo)

Pensemos no problema de um planejador central Ele quer maximizar a utilidade de um dos agentes

• Restrito a manter a utilidade do outro fique ao menos em um nível u*

• Respeitando as restrições orçamentárias da economia

Caracterização algébrica

*222 , uxxu BA

BA

xxxxxxu

BABA 111,,,

,max2211

Sujeito a

BBBBB

AAAAA

xx

xx

2121

2121

O outro mantém um nível mínimo de utilidade

Restrição orçamentária da economia

Caracterização algébrica

Substituir as restrições orçamentárias na outra restrição

Tirar a condição de primeira ordem

Caracterização algébrica

B

A

B

A

xuxu

xuxu

2

2

2

2

1

1

1

1

Tx marginal de substituição do

agente 1

Tx marginal de substituição do

agente 2

Intuição

B

A

B

A

xuxu

xuxu

2

2

2

2

1

1

1

1

Então se tirarmos um pouquinho do bem B do agente 1, e dermos para o agente 2, e tirarmos um pouquinho do bem A do agente 2, e dermos para o agente 1, de modo que ambos fiquem indiferentes, sobrará algo de algum dos bens

Se

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas

Suponha que ambos os agentes têm preferências Cobb-Douglas

As dotações da economia são ωA e ωB

1

22222

1

11111

,

,

BABA

BABA

xxxxu

xxxxu

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas

A

B

A

B

B

A

B

A

x

x

x

x

xu

xu

xu

xu

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

11

Igualdade das txs marginais de substitução

BBB

AAA

xx

xx

21

21 Restrição orçamentária da economia

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas

(*) 1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A

A

B

B

A

B

A

B

x

x

x

x

x

x

x

x

Isto define implicitamente x1B como função x1

A, e isto define o conjunto de Pareto

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas

Considere = β. A equação (*) se reduz a

AB xx 11

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Conjunto de Pareto