Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada

Oscilações LC

ω

Nos dois tipos de circuito estudados até agora (RC e RL), vimos que a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem ou decrescem exponencialmente. Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira combinação destes elementos, ou seja, o circuito LC . Veremos que, neste caso, estas grandezas não variam exponencialmente com o tempo, mas sim senoidalmente (com um determinado período T e uma freqüência angular ). As oscilações de carga e corrente resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas. Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência.Supomos que inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valormáximo Q e a corrente i que atravessa o indutor é nula .

Introdução

ω 0

Oscilações LC

http://www.walter-fendt.de/ph11e/osccirc.htm

(simulação dos estágios)

A Analogia Eletromecânica

U E=12q2

C

U B=12Li2

U B⇔U E

U E+U B=cte

U p=12kx2

U c=12mv2

U c⇔U p

U p+U c=cte

Do ponto de vista formal, um circuito LC é análogo a um oscilador harmônico simples, que pode se representado por um sistema massa-mola:

No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante:

U=U c+U p ,onde é a energia cinética do bloco em movimento eé a energia potencial da mola comprimida ou distendida. Se não houver atrito, U permanece constante, isto é:

dUdt

=ddt

(12mv2+

12kx2 )=0

d2 xdt 2

+ kmx=0 ,

x=Xm cos (ω0 t+ϕ )cuja solução é:

U c U p

(1)

A Analogia Eletromecânica

A freqüência angular das oscilações é dada por:

ω 0 =√ km

Para o caso do oscilador LC, em qualquer instante a energia oscilante é dada por:

U=UB+U E=12Li2+ 1

2q2

C

No caso (como este) de não haver resistência no circuito, temos:

dUdt

= ddt ( Li

2

2+ q2

2C )=0

d2qdt 2

+ 1LC

q=0 (2)

A Analogia Eletromecânica

freqüência natural das oscilações eletromagnéticas e é uma constante de fase. A corrente no circuito LC é:

Fazendo as seguintes correspondências :

q→ x

e lembrando que v=dxdt

a solução da equação (2) é: q ( t )=Q cos (ω0 t+ϕ ) ,

i=dqdt

,

1C

→k L→m ,

onde é a amplitude das oscilações da carga, é a

ϕ

i=dqdt

=−ω0 Q sen (ω0 t+ϕ )=−I sen (ω0 t+ϕ )

i→v

ω0=√ 1LC

Q

As constantes e são determinadas pelas condições iniciaisQ ϕ

e

i(0 ) e q (0 ) .

A Analogia Eletromecânica

Energias Elétrica e Magnética

A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é:

U B=12Li2=1

2Lω

02Q2sen2(ω0 t+ϕ )=

Q2

2Csen2 (ω0 t+ϕ ) , pois ω 0=√ 1

LC

U E=q2

2C= Q2

2Ccos2(ω0 t+ϕ )

A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez:

Então, a soma permanece constante.U E+U B=Q2

2C

Oscilações Amortecidas

Com um um resistor R no circuito, a energia eletromagnética total U do sistema (soma da energia elétrica com a energia magnética) não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor . Então:

U=12Li2+ q2

2Ce

dUdt

=−Ri2 , ou: Lididt

+qCdqdt

=−Ri2

Como

d2qdt 2

+ RLdqdt

+ 1LC

q=0i=dqdt

(3)

(dUdt

<0 )

É importante notar que agora as oscilações são amortecidas, poisa amplitude de decai exponencialmente com o tempo:

onde . Quando

A solução geral desta equação para o caso de amortecimento fraco é:

q ( t )=Qmaxe− R

2Lt

cos (ω ' t+ϕ ) ,

ω '=√ω02−( R

2 L )2

ω '≃ω 0=√ 1LC

q ( t )

ou seja, aproxima-se da freqüência angular natural do sistema.

⇒

ω '

Oscilações Amortecidas

R2

2 L<<

1L C

(R<√ 4 LC )

Um circuito RLC série possui indutância L=12 mH, capacitância C =1,6 F, e resistência R = 1,5 .a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito será50% do seu valor original?

b) quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo?

Neste caso, como , . Ou seja:

O tempo para uma oscilação completa é o período .

nT=t ⇒ n=t

2π √LCn=

0 ,011

2π (12 .10−3 x 1,6 .10−6 )12

≃ 13

ω ' ≃ ω 0( R2 L )

2

<<ω02

ou

Queremos que:

Qmax e− R

2Lt

= 0,5 Qmax ⇒ −Rt2 L

=ln 0,5 t=−2LR

ln 0,5 ⇒ t=0 ,011 s

T=2π

ω'

μ

, daí:

Exemplo 1

Ω

As oscilações de um circuito RLC não serão totalmenteamortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. Normalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternadacom fem do tipo: onde é a chamada freqüência angular propulsora. Quando uma fem como esta é ligada a um circuito RLC, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são oscilações forçadas. Veremos que, qualquer que seja a freqüência angular natural de um circuito, estas oscilações ocorrem sempre na freqüência angular propulsora.

ε ( t )=εm sen (ω t ) ,

Oscilações forçadas – Corrente alternada

ω

Mostramos aqui a solução para a corrente: onde é a amplitude da corrente no circuito e é a diferença de fase entre a tensão e a corrente. Voltaremos a isso mais adiante.

ω0

ϕi ( t )=I sen (ω t−ϕ )

I

Um Circuito Resistivo Neste caso, temos apenas um resistor ligadoao gerador de fem alternada e

ε=vR=εm sen (ω t )= V R sen (ω t ) Escrevemos a corrente no resistor como:iR

iR=vRR

=V R

Rsen (ω t )

Se escrevermos a corrente na formaiR=IR sen (ω t−ϕ ) ,

então temos: e ϕ=0IR=V R

R

da corrente e da tensão (ddp) no resistor é:

V R=I RR

Portanto, a corrente e a tensão (ddp) estãoem fase no resistor. A relação entre as amplitudes

.

Um Circuito Capacitivo Neste caso, temos um capacitor ligado ao geradorde fem alternada. Temos: vC=εm sen (ω t )=V C sen (ω t )

qC=C vC=C V C sen (ω t )

iC=ω CV Ccos (ω t )=ω CV C sen (ω t+π2

)

Introduzindo a reatância capacitiva XC=1

ω C ,

escrevemos: iC=V C

XC

sen (ω t+ π2

)=IC sen (ω t+ π2

)

Então e as amplitudes da tensão e da ϕ=−π2

V C=IC XC

(vemos que a corrente está adiantada de em relação à tensão).

π2

iC=dqCdt

e como

corrente estão relacionadas por:

Mas:

Um Circuito Indutivo Agora o circuito consta de um indutor ligado à fonte de fem alternada. Temos:

v L=εm sen (ω t )=V L sen (ω t )

ou

LdiLdt

=V L sen (ω t ) ⇒ diL=V L

Lsen (ω t )dt

iL=V L

L∫ sen (ω t )dt=−

V L

ω Lcos (ω t )

Introduzindo a reatância indutiva X L=ω L ,

iL=V L

X L

sen (ω t−π2

)=I L sen (ω t−π2

)

Então e as amplitudes da tensão e da

corrente estão relacionadas por:

(vemos que a corrente está atrasada de em relação à tensão )

temos:

ϕ=π2

V L= I L X L

π2

http://www.walter-fendt.de/ph11e/accircuit.htm

(Simulação dos três circuitos simples)

O Circuito RLC Sérieε=εm sen (ω t ) A fem aplicada é:

A corrente transiente é nula; a corrente permanente é dada por: i( t )=I sen (ω t−ϕ ) Devemos determinar I e em função das grandezas R, L, C, e .εm ω

ϕ

A corrente tem o mesmo valor em todos os elementos e é representada por um único fasor (vetor girante) no diagrama. Para qualquer t :

ε=vR+v L+vC Segue que o fasor εm deve ser a soma vetorial

dos fasores , e . Do diagrama, vemos que: V R

εm2=V

R2+(V L−V C )2

εm2=( IR )2+( IX L−IXC )2

V L V C

ou

Daí achamos o valor de I : I=εm

√R2+(ω L− 1ω C

)2

=εmZ

onde Z é a impedância do circuitopara a freqüência de excitação .ω

Também a constante de fase ϕpode ser encontrada do diagrama dos fasores:

tanϕ=V L−V C

V R

=X L−X C

R=ω L−

1ω C

R

Ressonância

Notamos que se , ou seja : a amplitude da corrente é máxima (condição de ressonância). Então,ocorre a ressonância quando a freqüência propulsora coincide com a freqüência angular natural do circuito:

ω L=1

ω Cω=√ 1

LC,

ω=ω 0

,

.

I

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm

O Circuito RLC Série

Potência em Circuitos de Corrente Alternada Potência da fonte: P=ε i=εm sen (ω t ) I sen (ω t−ϕ )=

=εm I sen 2(ω t )cosϕ−εm I sen (ω t ) cos (ω t ) senϕ

Como nos interessa a potência média num ciclo (de período T ):

Pmed=εm I cos ϕ 1T∫

0

T

sen2(ω t )dt=12εm I cos ϕ

Definindo ε rms=εm√2

I rms=I

√2,e vem: Pmed=εrms I rms cosϕ ,

onde o termo é chamado fator de potência.cosϕ A potência dissipada no resistor é:

Pmed=εrms I rmscosϕ= I rms ε rmsRZ

=RIrms2 , pois cosϕ= R

Z Para a máxima transferência de potência, devemos ter (ou

). Nestas condições, , que é a condição de ressonância.cosϕ=1

ω L=1

ω Cϕ=0

Transformadores

A taxa média de dissipação numa carga resistiva é: P=V rms I rms Por razões de segurança, tanto na estação geradora quanto na extremidade receptora, é conveniente lidar com baixas voltagens. Já na transmissão, é conveniente lidar com baixas correntes.

Um transformador é um dispositivo usado para aumentar ou diminuir a ddp em um cicuito CA, de modo a manter constante o produto VxI .

TransformadoresTransformador ideal

a) S aberta: O enrolamento primário é um indutor puro; não há transferência de potência do gerador para o transformador. O fluxo

atravessa os dois enrolamentos e a fem induzida por espira é a mesma nos dois:

ε esp=dφB

dt=V P

N P

=V S

N S

V S=N S

N P

V P

Controlando-se e , pode-se elevar ou baixar a tensão do primário.N S N P

(relação entre tensões)

φB

b) Fechando-se S, há transferência de potência do gerador para a carga (representada aqui apenas por uma carga resistiva R).Para um transformador ideal com carga resistiva o fator de potência é igual a 1; a taxa com que o gerador fornece energia ao enrolamento primário é e, analogamente, a energia é transferida do enrolamentoprimário ao secundário com taxa . Por conservação de energia:

IP V P=I S V S I S=I PV P

V S

=N P

N S

I P

que é a relação de transformação de correntes.

Finalmente, lembrando que I S=V S

R, vem:

IP=I SNS

N P

=V S

R

N S

N P

=N

S2

NP2

V P

R=

V P

( N P

N S)2

R

,

o que mostra que, do ponto de vista do primário, a resistência equivalente da carga não é R e sim Req=( N P

N S)2

R

V P I PV S I S

Num circuito RLC série, R = 200 , C =15 F, L = 230 mH, f = 60Hz e = 36V.

Ω μεm

Z =√R2+(X L−XC )2=√ (200 )2+ (86 ,7−177 )2= 219 Ω

I=εmZ

= 0 ,164 A ; ϕ=arc tanX L−XC

R=−0 ,42 rad

cos ϕ=cos (−0 ,42 )≃ 0 ,91 cos ϕ =RZ

=200219

≃ 0 ,91

Pmed=Irms2 R= (0 ,116 )2 x 200≃ 2 ,69 W

XC> X L ( ϕ < 0 ) , o circuito é predominantemente capacitivo.

X L=ω L= 2 π fL = 86 ,7 Ω

XC=1ω C

=12 π fC

= 177 Ω a) Determine a impedância do circuito

b) Determine a amplitude e a fase da corrente

c) Calcule o fator de potência

ou

d) Determine a potência média dissipada no resistor

e) O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo ?

Como

Exemplo 2

ou Pmed= εrms I rms cos ϕ = 25 ,5 x 0 ,116 x 0 ,91≃ 2 ,69 W