COLLECTION GÉOMÉTRIQUE

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

AUTOUR

DU

TRIANGLE ORTHIQUE 5

Jean-Louis AYME 1

A

B C

O

Z

H X

Y

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour du triangle orthique d'un triangle et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation linéaire se poursuit… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan indien, France), le 30/09/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Un foot note précise une origine du problème, une signification ou une renvoie à un article de l'auteur.

Abstract. The author presents a collection of problems around the orthic triangle of a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

synthetically.

Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

A reference as ''Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or a refers to an article of the author.

Sommaire

A. Récapitulation 3

B. Thèmes des problèmes 5

C. Les problèmes résolus 6

1. Quatre points cocycliques 7 2. Quatre points cocycliques 10 3. Cinq points cocycliques 13 4. Quatre points cocycliques 15 5. Un triangle H-isocèle 18 6. Une inégalité 19 7. Un alignement 22 8. Quatre points cocycliques 23 9. Une relation 25 10. Quatre points cocycliques 27 11. Un point variable et deux orthocentres 29 12. Une relation 37 13. Deux cercles orthogonaux 39 14. Parallèle à une droite de Steiner 41 15. Quatre points cocycliques 44 16. Perpendiculaire à un côté du triangle 46 17. Perpendiculaire à une médiane d'un triangle 48 18. intersection sur le cercle circonscrit 51 19. Une tangente au cercle circonscrit 52 20. Deux cercles tangents 54 21. Intersection sur le cercle circonscrit 56 22. Un triangle isocèle 58

D. Lexique Français-Anglais

3

3

A. RÉCAPITULATION

1. Quatre points cocycliques 2. Quatre points cocycliques

3. Cinq points cocycliques 4. Quatre points cocycliques

5. le triangle HA'D est H-isocèle 6. DE + DF ≤ BC

A

B C

H

P

Z

Y

A

B C

O

Z

H X

Y

A

C

0

D

F

E

Y

H

B

X

1

2

3

A

B C

H

P

Z

Y

I

A

B C

H O

0

A'

D 1a

A

B C

F

D

E

4

4

7. Un alignement 8. Quatre points cocycliques

9. Une relation : BC = AE + AC 10. Quatre points cocycliques

11. Un point variable et deux orthocentres 12. Une relation

13. Deux cercles orthogonaux 14. Parallèle à une droite de Steiner

A

B C

F

D

E

H O

Y Z

T

X

A

B C

E

H

M

X

A

B C

H

M

X

A

B C

D

E 1

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

A

B C

H

R

A

B C

H R

Q Oa

1a

Mh

0

N

A

B C

H

R

Q

1a

1b

Mh

5

5

15. Quatre points cocycliques 16. Perpendiculaire à un côté du triangle

17. Perpendiculaire à une médiane 18. Intersection sur le cercle circonscrit

19. Une tangente au cercle circonscrit 20. Deux cercles tangents

21. Intersection sur le cercle circonscrit 22. Un triangle isocèle

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y T

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

X

A

B C

H O

0

M

A'

A

B C

R

Q

U

0 V

M P

Ta

A

B C

H

0

M

1a

N

1m

A

B C

H O

0

M

E

D Pa

T

A

B C

H

0

M

E

Z Ph

A

B C

H O

0

M

E

A'

1a

6

6

B. THÈMES DES PROBLÈMES 2

• Quatre points cocycliques 1, 2, 4, 8, 10, 15 • Cinq points cocycliques 3 • Un triangle isocèle 5, 22 • Une inégalité 6 • Un alignement 7 • Une relation 9, 12 • Deux orthocentres 11 • Deux cercles orthogonaux 13 • Parallèle à une droite de Steiner 14 • Perpendiculaire à un côté du triangle 16 • Perpendiculaire à une cévienne 17 • Intersection sur le cercle circonscrit 18, 21 • Une tangente au cercle circonscrit 19 • Deux cercles tangents 20

2 Renvoi au numéro du problème

7

7

C. LES PROBLÈMES RÉSOLUS

8

8

PROBLÈME 1 3

Iranian 3rd round training problems

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

B C

O

Z

H X

Y

Traits : ABC un triangle acutangle, H, O l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et X, Y, Z les points d'intersection resp. de (BO) et (CH), (CO) et (AH), (AO) et (BH). Donné : X, Y, Z et H sont cocycliques. .

VISUALISATION

A

B C

O

Z

H X

Y

1a

• D'après Christian von Nagel 4, H et O sont deux points isogonaux relativement à ABC.

3 Nice geometry, AoPS du 16/06/2016 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1257989p6515722

Please help me solve this, AoPS du 19/07/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1274755_please_help_me_solve_this

Sur un cercle passant par H, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1302831

9

9

• Notons 1a le cercle circonscrit au triangle AZB. • Une chasse angulaire :

* par isogonalité de H et O, <CBZ = <OBA * le triangle OAB étant O-isocèle, <OBA = <BAO * par transitivité de =, <CBZ = <BAO.

• Conclusion partielle : 1a est tangent à (BC) en B.

A

B C

O

X

H Y

Z

P

1a

1b

1c

• Notons 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles BXC. CYA. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (1) 1b est tangent à (CA) en C (2) 1c est tangent à (AB) en A. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 5, 1a, 1b, 1c sont concourants. • Notons P ce point de concours. • Scolies : (1) P est ''le pivot de ABC relativement à 1a, 1b, 1c''

ou encore "le point de Miquel de ABC relativement à 1a, 1b, 1c"

(2) P est le premier point de Brocard de ABC. 6

4 Ayme J.-L., Mantel*…*Goormaghtigh, G.G.G. vol. 12, p. 36-38 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 6 Ayme J.-L., La géométrie de Brocard, G.G.G. vol. 7, p. 12-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

10

10

A

B C

O

X

H Y

Z

P

1a

1b

1c

• Conclusion : d'après Amédée Mannheim 7

appliqué à 1a, 1b, 1c, au pivot P et au point H, X, Y, Z, P et H sont cocycliques. 8

7 Mannheim A., Problem 10145, Educational Time 52 (1890) et Question 1594, Nouvelles Annales de Mathématiques (1890) 239 8 Ayme J.-L., Les cercles de Morley…, G.G.G. vol. 2, p. 5-9 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

11

11

PROBLÈME 2 9

CMOR #4 2015

Quatre points cocycliques

Un point variable

VISION

Figure :

A

B C

H

P

Z

Y

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, P un point de [BC] et Y, Z deux points resp. de [AB], [AC] tels que PB = PZ, PC = PY. Donné : Y, Z, H et A sont cocycliques.

VISUALISATION

Commentaire : pensons à la technique David F. Barrow.

9 Geometry Problem, AoPS du 17/06/2016 ; http://artofproblemsolving.com/community/c6h1186147 Un cercle passant par l'orthocentre, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?8

12

12

A

B C

H

P

Z

Y

1

X

Q

1c

R

O

1a

• Notons 1 le cercle circonscrit au triangle XYZ, P, Q, R les seconds points d'intersection de 1 resp. avec [CA], [AB],

1a, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles AQR, CPQ et O le second point d'intersection de 1a et 1c. • Scolies : (1) <QOR = П - <A (2 <POQ = П - <C. • Conclusion partielle : O est le centre du cercle circonscrit à ABC. • Scolie : O est le point de Miquel de ABC relativement à P, Q et R.

A

B C

H', H

P

Z

Y

1

X

Q

1c

R

O

1a

1'a

1'

• Notons 1'a, 1'c les cercles circonscrits resp. aux triangles AYZ, CXY et H' le point d'intersection de 1'a et 1'c.

13

13

• Scolie : H' est le point de Miquel de ABC relativement à X, Y et Z. • D'après David F. Barrow 10, H' est l'isogonal de O relativement à ABC. • H étant l'isogonal de O relativement à ABC 11, H' et H sont confondus.

A

B C

H

P

Z

Y

• Conclusion : Y, Z, H et A sont cocycliques.

10 Ayme J.-L., L'équivalence de David F. Barrow, G.G.G. vol. 13 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 11 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 22, G.G.G. vol. 49, p. 59-60 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

14

14

PROBLÈME 3 12

USA December TST for IMO 2012, Problem 1

Un point variable * Cinq point cocycliques

Un point variable

VISION

Figure :

A

B C P

Z

Y

H I*

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, P un point de [BC], Y, Z deux points de (AC), (AB) tels que les triangles PCY, PBZ soient resp. P-isocèles et I* le centre de du triangle PYZ. Donné : A, Y Z, H et I* sont cocycliques.

VISUALISATION

12 Fixed point of (ADE), AoPS du 23/08/2013 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h550606p3195787 Five points are concylic, AoPS du 27/05/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1094352_five_points_are_concylic

15

15

A

B C P

Z

Y

H

1'a

• D'après Problème 2, Y, Z, H et A sont cocycliques. • Notons 1'a ce cercle. • Scolie : 1'a est le P-cercle de Mention de PYZ. Commentaire : pensons à la technique de Jules Alexandre Mention.

A

B C P

Z

Y

H I*

1'a

• Une chasse angulaire : * I* étant le centre de PYZ, <YI*Z = П/2 – (1/2).<YPZ 13 * par décomposition, <YPZ = П – 2.<A 14 * par substitution et réduction, <YI*Z = <A. * par supplémentarité, I* est sur 1'a. • Conclusion : A, Y Z, H et I* sont cocycliques.

13 Poncelet J. V., n° 462-463, Propriétés Projectives, Seconde édition (1866). 14 notation d'Euler pour les angles d'un triangle

16

16

PROBLÈME 4 15

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

C

0

D

F

E

Y

H

B

X

1

2

3

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre, D le pied de la A-hauteur, E le symétrique de B par rapport à D, 0 le cercle circonscrit à ABC, F la circumtrace de (AH), 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles AHB, BDF, FEC et X, Y le second point d'intersection de 2 resp. avec 1, 3. Donné : X, Y, H et E sont cocycliques.

VISUALISATION

15 Concyclic points, AoPS du 26/06/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1263155_concyclic_points

17

17

A

C

0

D

F

E

Y

H

B

X

1

2

3

4

• Le quadrilatère BFEH étant un parallélogramme, (BF) // (EH). • Le cercle 0, les points de base A et C, les moniennes naissantes (BCE) et (FAH), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, B, F, E et H sont cocycliques. • Notons 4 ce cercle.

A

C

0

D

F

E

Y

H

B

X

1

2

3

4

18

18

• Conclusion : d'après Auguste Miquel ''Le théorème des six cercles'' 16 appliqué à 0 et à 1, 2, 3 et 4, X, Y, H et E sont cocycliques.

16 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 20-22 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Du théorème de Reim au théorème des six cercle, G.G.G. vol. 2, p. 12-16 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19

19

PROBLÈME 5 17

Un cercle passant par le centre d'un cercle * Deux segments égaux

VISION

Figure :

A

B C

H

O

0

A'

D

1a

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, A' le second point d'intersection de (AH) avec 0, 1a le cercle passant par A, H, O et D le second point d'intersection de 1a et 0. Donné : le triangle HA'D est H-isocèle.

VISUALISATION • D'après ''Cercle passant par le centre d'un cercle'' 18, HA' = HD. • Conclusion : le triangle HA'D est H-isocèle.

17 The triangle AHO, AoPS du 24/04/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1081432_the_triangle_aho 18 Ayme J.-L., Simplicity 1, Problèmes 3, G.G.G. vol. 43, p. 9-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

20

20

PROBLÈME 6 19

Province Region Olympiad

Une inégalité

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

Traits : ABC un triangle acutangle et DEF le triangle orthique de ABC. Donné : DE + DF ≤ BC.

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

E'

1a

19 Inequality in a triangle, AoPS du 03/12/2011 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h449593p2529600

Geometry related to altitude of triangle, AoPS du 30/12/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h569005 Geometry Inequality, AoPS du 26/05/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=591175

21

21

• Notons E' le symétrique de E par rapport à (BC) • Par symétrie d'axe (BC), (E'B)⊥ (E'C). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', B, F, C et E' sont cocycliques. • Notons 1a ce cercle de diamètre [BC]. • Scolies : (1) DE = DE' (2) F, D et E' sont alignés. • Nous avons : DF + DE = DF + DE' = E'F. • La longueur d'une corde d'un cercle étant inférieure ou égal au diamètre de ce cercle, E'F ≤ BC. • Conclusion : par majoration, DE + DF ≤ BC.

22

22

PROBLÈME 7 20

Un alignement

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H O

Y Z

T

X

Traits : ABC un triangle acutangle, H, O l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit à ABC, X, Y, Z les points d'intersection resp. de (BO) et (CH), (CO) et (AH), (AO) et (BH),

et T le point d'intersection de (BY) et (CZ).

Donné : A, T et X sont alignés.

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

H O

Y Z

T

X 1

2 3

4

5

6

• D'après Pappus d'Alexandrie ''La proposition 139'' 21 (XAT) est la pappusienne de l'hexagone sectoriel BOZCHYB de frontières (BE) et (CY). • Conclusion : A, T et X sont alignés. 20 Collinear points, AoPS du 19/07/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1274780_collinear_points 21 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 10-15 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

23

23

PROBLÈME 8 22

Jean-Louis Ayme

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

B C

E

H

M

X

Traits : ABC un triangle acutangle, M le milieu de [BC], H l'orthocentre, E le pied de la B-hauteur

et X le pied de la perpendiculaire à (AM) issue de H.

Donné : X, E, M et C sont cocycliques.

VISUALISATION

A

B C

E

H

M

X

• Notons 1a le cercle de diamètre [AH]. • Une chasse angulaire : 22 Ayme J.-L, Four concyclic points, AoPS du 27/11/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1167226_four_concyclic_points

24

24

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <ECM = <EHA * par ''Angles inscrits'', <EHA = <EXA * par transitivité de =, <ECM = <EXA.

A

B C

E

H

M

X

• Conclusion : X, E, M et C sont cocycliques.

25

25

PROBLÈME 9 23

Une relation

VISION

Figure :

A

B C

D

E

1

Traits : ABC un triangle A-rectangle, D le pied de la C-bissectrice intérieure de ABC, 1 le cercle circonscrit au triangle DBC et E le second point d’intersection de 1 avec (CA).

Donné : BC = AE + AC.

VISUALISATION

A

B C

D

E

1

F

• Notons F le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de D. • (CD) étant la C-bissectrice intérieure de ABC, (1) DF = DA

23 Geometry, AoPS du 30/11/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1746457_geometry

26

26

(2) FC = AC

(3) DB = DE. • D'après Pythagore de Samos ''Le théorème'' appliqué aux triangles FDB, AED resp. F, A-rectangles, BF = AE. • Par addition et substitution, BF + FC = AE + AC. • Conclusion : par substitution, BC = AE + AC.

27

27

PROBLÈME 10 24

Sankt-Petersburg 1997

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

B C

H

M

X

Traits : ABC un triangle acutangle, M le milieu de [BC], H l'orthocentre,

et X le pied de la perpendiculaire à (AM) issue de H.

Donné : B, H, X et C sont cocycliques.

VISUALISATION

24 concyclic points, AoPS Du 18/05/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2112326_concyclic_points

28

28

A

B C

R

P

Q

H

M

X

1 4

3

2 • Notons PQR le triangle orthique de ABC. • D'après Problème 8, Q, X, M et C sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle, 2 le cercle de diamètre [MH] ; il passe par P et X ; 3 le cercle de diamètre [HB] ; il passe par P et R ; et 4 le cercle de diamètre [AH] ; il passe par Q, R et X.

A

B C

R

P

Q

H

M

X

1 4

3

2

• Conclusion : d'après Henri Léon Lebesgues ''Le théorème des cinq cercle'' 25,

B, H, X et C sont cocycliques.

25 Ayme J.-L., Du théorème de Reim au théorème des six cercles, G.G.G. vol. 2, p. 9-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

29

29

PROBLÈME 11 26

Proposed

by

Tran Quang Hung

Un point variable et deux orthocentres

VISION

Figure :

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

Traits : ABC un triangle acutangle, P un point, K, L les orthocentres des triangles resp. PAB, PAC, 1a le cercle circonscrit au triangle PBC, Q le second point d'intersection de (AP) avec 1a et H le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de Q. Donné : (AH) est perpendiculaire à (KL).

VISUALISATION

26 Hung dit buratinogigle, Peprendicular lines, AoPS du 25/05/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1247344_perpendicular_lines

30

30

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

Z

Y

1b

• Par hypothèses, (AP) est resp. perpendiculaire à (BK), (CL). • Notons Y le points d'intersection (AP) et (BK), et 1b le cercle de diamètre [BQ]. • Les cercles 1b et 1a, les points de base B et Q, les moniennes (HBC) et (YQP), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (HY) // (CP).

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

Z

Y

1b

1c

• Par hypothèse, (AP) est perpendiculaire à (CL). • Notons Z le point d'intersection (AP) et (CL), et 1c le cercle de diamètre [CQ]. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (HZ) // (BP).

31

31

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

Z

Y

1b 1c

S

R

• Notons S, R les seconds points d'intersection de (AC) avec 1c, (AB) avec 1b. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 27 appliqué au triangle PBC avec R sur (PB), H sur (BC) et S sur (CP), R, H et S sont alignés.

A

B C

P

L

K

Q

H

1a

Z

Y

1b 1c

S

R U

1p

• Notons U le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de P et 1p le cercle de diamètre [PB] ; il passe par U et Y. • Les cercles 1p et 1a, les points de base B et P, les moniennes (UBC) et (YPQ), conduisent au théorème 0 de reim ; il s'en suit que (UY) // (CQ).

27 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

32

32

• Le cercle 1c, les points de base H et Z, les moniennes (CHU) et (QZY), les parallèles (UY) et (CQ), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, H, Z, U et Y sont cocycliques. • Notons 1h ce cercle.

33

33

• Notons V le point d'intersection de (PU) et (RHS). • D'après Pappus ''Le petit théorème'' 28

appliqué à l'hexagone sectoriel VYHQSPV de frontières (RHS) et (AQ), (VY) // (QS). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (QS) ⊥ (CP) ; sachant que (QS) // (VY) (CP) // (HY) ; la relation ⊥ étant compatible avec la relation //, (VY) ⊥ (HY). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', [VH] est un diamètre de 1h.

28 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

34

34

• Notons 1 le cercle de diamètre [AK] ; il passe par Y ; et T le second point d'intersection de 1 et 1h. • Scolie : (ZV) // (AK). • Les cercle 1h et 1, les points de base Y et T, la monienne (ZYA), les parallèles (ZV) et (AK), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, V, T et K sont alignés.

35

35

• Mutatis mutandis, nous montrerions que V, T et L sont alignés. • Conclusion partielle : d'après l'axiome d'incidence Ia, L, V, T et K sont alignés.

• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', appliqué * au cercle 1h, (TH) ⊥ (VYK)

36

36

* au cercle 1, (VTK) ⊥ (TA). • D'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (TH) // (TA) ; d'après le postulat d'Euclide, (TH) = (TA) ; en conséquence, A, T et H sont alignés. • Conclusion : (AH) est perpendiculaire à (KL).

37

37

PROBLÈME 12 29

Stanley Rabinowitz (05/2020)

Problem 5262

Romantics of Geometry 30

Une relation

VISION

Figure :

A

B C

H

R

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre

et R un point de [AB].

Donné : AH² + RC² = HR² + CA².

VISUALISATION

A

B C

H

R

• Notons C' le pied de la C-hauteur de aBC. • Scolie : (CH)⊥ (AB).

29 concyclic points, AoPS Du 18/05/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2112326_concyclic_points 30 Rabinowitz S., A remarkable property of the orthocenter ;

https://fr-fr.facebook.com/photo.php?fbid=10220556613497310&set=gm.2992490364197983&type=3&theater&ifg=1

38

38

• Le quadrilatère AHRC étant un orthogone 31, AH² - HR² + RC² - CA² = 0. • Conclusion : par transposition, AH² + RC² = HR² + CA².

31 Ayme J.-L., Méthodes et Techniques en Géométrie, A propos de la Droite de Newton, Ellipses, Paris, (2003) 29

39

39

PROBLÈME 13

Deux cercles orthogonaux

VISION

Figure :

A

B C

H

R

Q

1a

1b

Mh

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre, Mh une droite passant par H, Q, R les points d'intersection de Mh resp. avec (AC), (AB), et 1a, 1b les cercles circonscrits resp. aux triangles AQR, BRH.

Donné : 1a est orthogonal à 1b.

VISUALISATION

A

B C

H

R

Q

1a

1b

Mh

B'

1c

T

• Notons T le second point d'intersection de 1a et 1b, B' le pied de la B-hauteur de ABC, et 1c le cercle de diamètre [AB] ; il passe pat B'. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 32 appliqué au triangle HQB' avec R sur (HQ), A sur (QB') et B sur (B'H), 1c passe par le pivot T. 32 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

40

40

A

B C

H

R

Q

1a

1b

Mh

B'

1c

T

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (TA)⊥ (TB). • Conclusion : d'après Ferdinand Möbius ''Angle de deux cercles'' 33, 1a est orthogonal à 1b.

33 Ayme J.-L., Deux cercles sécants, G.G.G. vol. 12, p. 22-23; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

41

41

PROBLÈME 14 34

Deux parallèles

VISION

Figure :

A

B C

H R

Q Oa

1a

Mh

0

N

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre, Mh une droite passant par H, Q, R les points d'intersection de Mh resp. avec (AC), (AB), 0, 1a, les cercles circonscrits resp. aux triangles ABC, AQR Oa le centre de 1a et N le point d'intersection de [HOa[ avec 0.

Donné : (AN) // Mh.

VISUALISATION

34 Line Through Orthocenter, AoPS du 25/05/2010 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2120941_line_through_orthocenter

42

42

A

B C

H

R

Q

1bD

1c

0

• Notons 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles BRH, CQH et D le second point d'intersection de 1b et 1c. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 35 appliqué au triangle QRA avec H sur (QR), B sur (RA) et C sur (AQ), 0 passe par le pivot D.

A

B C

H

R

Q Oa

1a

1bD

1c

• D'après Problème 13, (1) 1a est orthogonal à 1b (2) 1a est orthogonal à 1c. • Conclusion partielle : d'après Gaultier de Tours 36, l'axe radical (DH) de 1b et 1c passe par Oa.

35 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 36 Gaultier (de Tours) Louis, Les contacts des cercles, Journal de l'École Polytechnique, Cahier 16 (1813) 124-214

43

43

A

B C

H

R

Q Oa

1bD

0

N

Mh

• Les cercles 1b et 0, les points de base B et D, les moniennes (RBA) et (HDN), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (AN) // (RH). • Conclusion : (AN) // Mh.

44

44

PROBLÈME 15 37

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

X

Traits : ABC un triangle,

MNP le triangle médian de ABC, 1b, 1c les deux demi-cercles de diamètre resp. [AC], [AB] extérieurs à ABC, Y, Z les points d'intersection de (MN), (MP) resp. avec 1b, 1c et X le pied de la A-hauteur de ABC. Donné : X, Y, Z et M sont cocycliques. .

VISUALISATION

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

X

1

• Notons 1 le cercle d'Euler de ABC ; il asse par M, N, P et X. • Une chasse angulaire :

* par ''Angles à côtés parallèles'', <BAC = YMZ * par une autre écriture, <YMZ = <NMP

37 Ayme J.-L., Quickie 2, Problème 4, G.G.G. vol. 15, p. 9-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

45

45

* par ''Angles inscrits'', <NMP = <NXP * par transitivité de =, <BAC = <NXP. * Par ''Angles inscrits'', <XNM = <XPM * par supplémentarité, <YNX = <ZPX

• Conclusion partielle : les triangles YNX et ZPX resp. N, M-isocèles sont semblables. • Scolie : <NXY = <PXZ.

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

X

1

• Par décomposition, <YXZ = <BAC (= <YMZ). • Conclusion : par ''Angles inscrits'', X, Y, Z et M sont cocycliques.

46

46

PROBLÈME 16 38

Proposed

by

Mehdi E'tesami Fard

IGO 2015 Intermediate P3

Perpendiculaire à un côté du triangle

VISION

Figure :

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

T

Traits : ABC un triangle, MNP le triangle médian de ABC,

1b, 1c les deux demi-cercles de diamètre resp. [AC], [AB] extérieurs à ABC, Y, Z les points d'intersection de (MN), (MP) resp. avec 1b, 1c et T le point d'intersection des tangentes à 1b, 1c resp. en Y, Z. Donné : (AT) est perpendiculaire à (BC). .

VISUALISATION

38 line AZ is perpendicular to BC, AoPS du 25/06/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1262900_line_az_is_perpendicular_to_bc

47

47

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

T

P

1

• Notons P le pied de la A-perpendiculaire de ABC. • D'après Problème 15, X, Y, Z et M sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle de diamètre [MT].

A

B C

P N

M

1c

1bZ

Y

T

P

1

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (PA) passe part T. • Conclusion : (AT) est perpendiculaire à (BC).

48

48

PROBLÈME 17 39

Polish MO Finals 2018, Problem 5

Perpendiculaire à une médiane d'un triangle

VISION

Figure :

A

B C

R

Q

U

0

V

M P

Ta

Traits : ABC un triangle acutangle, PQR le triangle orthique,

0 le cercle circonscrit à ABC, Ta la tangente à 0 en A, U le point d'intersection de Ta et (BC), V le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue de A avec (QR) et M le milieu de [BC]. Donné : (AM) est perpendiculaire à (UV). .

VISUALISATION

39 Polish MO Finals 2018, Problem 5, AoPS du 19/04/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1629924p10229020 Deux perpendiculaires, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2019234

49

49

A

B C

R

Q

U

0

V

M

S

X

P

Ta

• Scolie : (QR) // Ta. 40 • Notons S le point d'intersection de (QR) et (BC),

et X le point d'intersection de (AS) et (UV). • Conclusion partielle : le quadrilatère AUSV étant un parallélogramme, X est le milieu de [UV].

A

B C

R

Q

U

0

V

M

H, H*

S

X T

P

• Notons H l'orthocentre de ABC,

T le point d'intersection de (AH) et (QR), et H* le point de (AP) tel que (SH*) soit parallèle à (UV). • Une chasse harmonique : * d'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère complet'' 41 appliqué

40 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 7, G.G.G. vol. 49, p. 22-23 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 41 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 131

50

50

au quadrilatère AQHR, le quaterne (A, H, T, P) est harmonique * D'après Pappus d'Alexandrie ''Parallèle à un rayon'' 42 le pinceau (S ; U, V, H*, X) est harmonique * par ''projection'' sur (AP), le quaterne (P, T, H*, A) est harmonique * par permutation, le quaterne (H*, A, P, T) est harmonique * par permutation, le quaterne (A ; H*, T, P) est harmonique. • Conclusion partielle : H* et H sont confondus.

A

B C

R

Q

U

0

V

M

H

S

X

Ta

• D'après ''Un exercice de Georges Papelier'' 43, (AM) ⊥ (SH) ; nous savons que (SH) // (UV) en conséquence, (AM)⊥ (UV). • Conclusion : (AM) est perpendiculaire à (UV).

42 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 137

Chasles M., Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822; seconde édition 1865, Sect. I , chap. 1, art. 27 p. 14 43 Ayme J.-L., La ponctuelle (MH), G.G.G. vol. 7, p. 7-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr Perpendicular, Taiwan MO 2000, Indian TST 2011, Mathlinks du 22/04/2010 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1882542

51

51

PROBLÈME 18 44

Intersection sur le cercle circonscrit

VISION

Figure :

A

B C

H O

0

M

A'

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, M le milieu de [BC], et A' le point d'intersection de (HM) et (AO). Donné : A' est sur 0. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l’auteur. 45

44 Euler line, AoPS du 23/08/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=495299 45 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 12, p. 34-35 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

52

52

PROBLÈME 19 46

Une tangente au cercle circonscrit

VISION

Figure :

A

B C

H

O

0

M

E

D Pa

T

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, E le second point d'intersection de [MH[ avec 0, Pa la parallèle à (BC) issue de A, D le second point d'intersection de Pa avec 0 T le point d'intersection de (DE) et (OH) Donné : (TA) est tangente à 0 en A.

VISUALISATION

A

B C

H O

0

M

E

D Pa

T

A'A"

46 Euler line, AoPS du 23/08/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=495299 Geometry, AoPS du 17/04/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1228997_geometry

53

53

• Notons A', A'' les seconds points d'intersection de (HL), (AH) avec 0 • Scolie : A'' est l'antipôle de D relativement à 0. • D'après Problème 18, A' est l'antipôle de A relativement à 0.

A

B C

H O

0

M

E

D Pa

T, T'

A'A"

Ta

1

2

3

4

5

6

• Notons Ta la tangente à 0 en A et T' le point d'intersection de Ta et (EF). • D'après Carnot-Pascal ''Pentagramma mysticum'', (T'OH) est la pascale de l'hexagone dégénéré Ta A'EDA''A ; en conséquence, T' et T sont confondus. • Conclusion : (TA) est tangente à 0 en A.

54

54

PROBLÈME 20 47

Deux cercles tangents

VISION

Figure :

A

B C

H

0

M

1a

N

1m

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, 1a le cercle de diamètre [AH], M le milieu de [BC], N le milieu de l'arc BC ne contenant pas A et 1m le cercle de centre M passant par N. Donné : 1m est tangent à 1a.

VISUALISATION

A

B C

H O

0

M

A*

1a

N

T

1m

• Notons O, A* les centres resp. de 0, 1a

47 A Nice Lemma, AoPS du 26/05/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1649093_a_nice_lemma

55

55

et T le point d'intersection de [A*M] avec 1a. • D’après Orthique 2, Problème 2 48, le quadrilatère AA*MO est le parallélogramme.

A

B C

H O

0

M

A*

1a

N

T

1m

• Une chasse segmentaire : * AA*MO étant le parallélogramme, A*M = AO

* par décomposition, A*T + TM = ON * par décomposition, A*T + TM = OM + MN * AA*MO étant le parallélogramme, TM = MN. • Conclusion : 1m est tangent à 1a.

48 Ayme J.-L., Orthique Encyclopédie 2, Problème 2, G.G.G. vol. 49, p. 9-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

56

56

PROBLÈME 21 49

Intersection sur le cercle circonscrit

VISION

Figure :

A

B C

H

O

0

E

A'

1a

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, E le second point d'intersection de [MH[ avec 0, 1a le cercle de diamètre [AH] et E le second point d'intersection de 1a avec 0. Donné : (EH) et (AO) se coupent sur 0.

VISUALISATION

A

B C

H

O

0

M

E

A'

1a

• Notons M le milieu de [BC]

49 geometry problem, AoPS du 24/07/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1277582_geometry_problem

57

57

et A' l'antipôle de A relativement à 0. • D'après Orthique 1, Problème 12 50, H, M et A’ sont alignés. • D'après Orthique 3, Problème 17 51, E, H et M sont alignés.

A

B C

H

O

0

M

E

A'

1a

• D'après l'axiome d'incidence Ia, E, H, M et A’ sont alignés • Conclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia, (EH) et (AO) se coupent sur 0.

50 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 12, p. 34-35 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 51 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 3, Problème 17, p. 39-40 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

58

58

PROBLÈME 22 52

Proposed

by

Oleg Faynsteyn (Leipzig, Germany)

Elemente der Mathematik, problème 1180

Un triangle isocèle

VISION

Figure :

A

B C

H

0

M

E

Z

Ph

Traits : ABC un triangle, M le milieu de [BC], H l'orthocentre de ABC, Ph la perpendiculaire à (MH) issue de H, et E, Z le point d'intersection de Ph resp. avec (AB), (AC). Donné : le triangle MEZ est M-isocèle.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 53

52 Butterfly Theorem, AoPS du 07/02/2016 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1195597

Isosceles, AoPS du 03/07/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1266635_isosceles 53 Ayme J.-L., La ponctuelle (MH), G.G.G. vol. 7, p. 6-7 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

59

59

D. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle

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