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1 Aberraciones

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Aberraciones

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DefinicionesAberración es el defecto de imagen en comparación con la aproximación paraxial monocromática

Aberraciones

Cromáticas MonocromáticasDe Seidel (tercer orden) De orden 5…

índice de senθ = θ - θ /3!refracción n(λ) Aberración esférica

ComaAstigmatismoCurvatura de campoDistorsión

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Clasificación de aberraciones de SeidelLa diferencia de coordenadas transversales (∆x, ∆y) de la imagen paraxial (xp, yp) y las coordenadas donde el rayo real corte el plano paraxial imagen (x, y) [el punto objeto se encuentra sobre plano y-z]

Aberración esféricaComaAstigmatismoCurvatura del campoDistorsión

3 2 2 21 2 3 4

3 2 2 2 31 2 3 4 5

2

cos (2 cos 2 ) 3 cos cos

x sen h sen h sen h sen

y h h h h

σ ρ θ σ ρ θ σ ρ θ σ ρ θ

σ ρ θ σ ρ θ σ ρ θ σ ρ θ σ

∆ = + + +

∆ = + + + + +

1

2

3

4

5

00000

σσσσσ

≠≠≠

≠≠

ρ es la distancia del punto de intersección del rayo con la PE al eje óptico;

θ es la coordenada angular polar de este punto en el plano de PE;

h es la distancia del punto objeto al eje óptico;

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Aberración esférica (AE)La AE corresponde a la dependencia de la distancia focal con la abertura para los rayos no paraxialesLa AE se refiere principalmente a los rayos que proceden de puntos objeto del eje, pero afecta a todos los puntos objetoLa AE longitudinal (AEL) donde fp´ es la focal imagen paraxial y fh´ es la focal imagen para el rayo marginal que incide a una altura h La AE transversal (AET) donde σ´ es el ángulo que forma a la salida del sistema el rayo marginal con el eje ópticoAEL>0:

lente convergenteAEL<0:

lente divergente

' 'p hAEL f f= −

tan 'AET AEL σ=

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AE en una lente con objeto en el infinito

Plano de mínima confusión: la intersección entre los rayos marginales y cáustica

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Correcciones de la AELa AE reduce el contraste y degrada detalles de imagenCorrección de AE:

PE pequeñoLa combinación de dos o mas lentes con focales de signos opuestosElección adecuado de los radios de curvatura de la lente delgaday del sentido en el que la lente es atravesada (AEL es mayor para la lente plano-convexa que para convexa-plana)

Factor de forma de CoddingtonR1 y R2- radios de curvatura de la lente delgada

Factor de posición de Coddingtons, s´ la posición del objeto y de la imagen

Para una lente delgada de índice n sumergida en aire la AE se minimiza cuando

2 1

2 1

S R RR R

+=

22( 1)S n P−= −

'

'

s sPs s

+=

2n +

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Correcciones de AEAE para la combinación de 2 lentes delgadas es mínima si la separación de entre de ellas = la diferencia de los focales

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Coma Se manifiesta en las imágenes de los puntos objeto extraxialescuando el sistema posee una gran apertura (aumento lateral depende de la altura del rayo en la lente)

Los rayos que inciden en la lente a una distancia R (R´) del eje óptico convergen en un circulo Re (R´) en el plano imagen. 1 (1´) son puntos tangenciales; 2 (2´) – puntos sagitales

P es la imagen paraxial de O

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Coma IIEl coma tangencial CT (sagital CS) es la distancia entre los puntos P y 1 (2) (Re coincide con el radio del círculo comático extremal)Si la diferencia de ordenadas de imágenes obtenidos con el rayo marginal tangencial y paraxial ye-yp >0 el coma es positiva, si ye-yp <0 el coma es negativa El coma depende de la forma de la lentePara una lente delgada CT=0 si cumple

Las condiciones de minimización de AE y coma para lentes delgadas son muy próximasLa coma puede eliminarse usando un diafragma en la posición apropiada

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n nS Pn− −

= −+

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Astigmatismo Para un punto objeto situado a una distancia apreciable de eje óptico, el cono de rayos incidente sobre la lente será asimétrico

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Astigmatismo IIEl plano tangencial (meridional) que contiene el rayo principal y la eje ópticoEl plano sagital contiene el rayo principal y perpendicular al plano tangencialLos rayos tangenciales convergen en puntos diferentes que los rayos sagitalesLa imagen de un punto es una elipse cuyo tamaño aumenta con la separación del punto objeto del eje. En el plano tangencial imagen la elipse se convierte en un segmento T perpendicular al plano tangencialEn el plano sagital imagen la elipse se convierte en un segmento S perpendicular al plano sagitalEntre ambos planos existe un plano donde la elipse transforma en un circulo – el circulo de minima confusión

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Astigmatismo: formación de imagen en plano imagen tangencial y sagital

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Astigmatismo IIILas imágenes tangencial (T) y sagital (S) de un plano objeto se encuentran situadas en superficies no planas Cuando la superficie de la imagen tangencial se encuentra más próxima al sistema óptico el astigmatismo es positivo (en caso contrario es negativo)

Superficies que reúnen las imágenes astigmáticas T y S (astigmatismo positivo)

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Curvatura del campoAparece cuando la imagen de un objeto situado en un plano normal al eje óptico se forma en una superficie curva

Un segmento esférico S0 objeto tendrá una imagen a través de la lente como segmento esférico S0 ´Al aplanar S0 se obtienen al plano S1. Su imagen es una superficie parabólica de Petzval Sp´

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Curvatura del campo: demostraciónLa imagen formada en una pantalla plana cerca del plano imagen paraxial estará enfocada tan sólo en su centro (a); al acercar la pantalla a la lente, se enfocarán los extremos (b)

a b

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Curvatura del campo: correcciónPara una lente convergente Sp´ se curva adentro (cóncava)Para una lente divergente Sp´ se curva afuera (convexa)Corrección de la curvatura del campo: combinación de las lentes convergentes y divergentesLa geometría de la superficie de Petzval no depende de la posición relativa objeto-lente ni de la posición de diafragmas. Su forma depende de los índices de refracción y focales de las lentesPara dos lentes delgadas la corrección de curvatura implica

donde n1,2 y f 1,2´ son índices de refracción y las distancias focales imagen de las lentes que forman el sistema

1 1 2 2' ' 0n f n f+ =

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Distorsión La aberración que rompe la relación de semejanza entre objeto e imagen (El aumento transversal es una función de la distancia objeto - eje )A diferencia de coma, una imagen del punto es un puntoDistorsión positiva (de corsé) : el aumento transversal maumenta con la distancia del punto objeto al ejeDistorsión negativa (de barril) : m disminuye con la distancia del punto objeto al ejeUn sistema ortoscópico es aquél que no presenta distorsión

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Distorsión

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Distorsión

En las lentes gruesas convergentes (divergentes) la distorsión es positiva (negativa)Un sistema de lentes delgadas tendrá distorsión cero si su centro óptico (sistema es simétrica) coincide con el centro de DA

Variación de la distorsión con la posición del DA

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Aberración cromática: n(λ)El índice de refracción n ( condiciones de refracción focales de lentes) depende de la longitud de onda λLa formula de Cauchy, donde A, B, C son constantes del medio

Número de Abbe para una cierta región espectral. λa (azul) λr(rojo) son los extremos del intervalo; λx - la longitud central )

Ejemplo Líneas de emisión del hidrógeno: λa= λF=486,1nm o λr=λC =656,3nm; Líneas de sodio λx= λD λD =589,3nm (o del helio λx= λd =587,5nm)

Valores típicos del índice de refracción

2 4( ) ...n A B Cλ λ λ− −= + + +

( ) 1( ) ( )

x

a r

nn n

λυλ λ

−=

1,68051,67051,6665flint denso1,5861,5761,572flint ligero1,52931,5231,5204crown

λFλCλCVidrio

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Aberración cromática: lente delgada f´(λ)La focal imagen de una lente delgada depende de λ

La relación entre las distancias focales para λF, λC, λD

1 2

1 1 1( ( ) 1)´

nf R R

λ

= − −

1 1 1´ ´ ´F C Df f f

υ

− =

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Aberración cromática de posición y de aumentoAberración cromática de posición (o longitudinal, axial) ACP: Ladistancia entre las posiciones de las imágenes obtenidas para los colores C (rojo) y F (azul)

Aberración cromática de aumento (o transversal, lateral) ACA: La diferencia de tamaño de las imágenes obtenidas para los colores distancia entre las posiciones de las imágenes obtenidaspara los colores C (rojo) y F (azul)

´ ´ ´C FACP s s s= − = ∆

´ ´ACA y y= −C F

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Aberración cromática: correccionesPara corregir la aberración cromática utilizan un sistema de varios lentes con ACP positivas y negativas. Un sistema acromático: ACP=0 para dos longitudes de ondaUn sistema apocromático: ACP=0 para tres longitudes de onda

´ ´ ´C FACP s s s= − = ∆

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RemarquesAE es la única aberración monocromática que sufren los puntos axialesSi cumple la condición Seno de Abbe y no hay AE sistema es libre de comaSi colocamos un orificio muy pequeño centrado en el eje del sistema todas las aberraciones desaparecen excepto la distorsión. Porque solo un rayo de cada punto del plano objeto pasará por el orificio La aberración cromática se presenta en óptica paraxial