Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on...

6
Itseaffiineista joukoista ANTTI K ¨ AENM ¨ AKI Iteroidulla funktiosysteemill¨ a tarkoite- taan ¨ arellist¨ a kokoelmaa kutistavia ku- vauksia f 1 ,...,f k . T¨ ass¨ a kuvausten f i : R d R d kutistavuudella tarkoitetaan sit¨ a, ett¨ a on olemassa 0 i < 1 siten, ett¨ a |f i (x) - f i (y)|≤ λ i |x - y| (1) aina kun x, y R d . Hutchinson osoitti vuonna 1981, ett¨ a jokaiselle iteroidulle funktiosysteemille on olemassa yksik¨ a- sitteinen ep¨ atyhj¨ a kompakti joukko E R d , jolle E = k [ i=1 f i (E). (2) Tuloksen todistus on Banachin kiinto- pistelauseen elegantti sovellus. Jos R> 0 valitaan riitt¨ av¨ an suureksi, niin sel- asti p¨ atee f i ( B(0,R) ) B(0,R), mis- a B(x, r) on x-keskinen ja r-s¨ ateinen suljettu pallo. Esimerkiksi valinta R = max i |f i (0)|/(1-max i λ i ) riitt¨ a. T¨ all¨ oin on helppo n¨ ahd¨ a, ett¨ a E = \ n=1 [ i∈{1,...,k} n f i ( B(0,R) ) (3) miss¨ a f i = f i 1 ◦···◦ f in aina kun i = (i 1 ,...,i n ) ∈{1,...,k} n . Tarkempi esi- tys aiheesta l¨ oytyy esimerkiksi kirjasta [3, §2.2]. 18. tammikuuta 2008 Olemme kiinnostuneita joukon E di- mensiosta. K¨ ayt¨ an t¨ ass¨ a yhteydess¨ a kah- ta dimensiota, Hausdorffin ja Minkows- kin (box counting). Olkoon A ep¨ atyh- a ja rajoitettu R d :n osajoukko. T¨ all¨ oin joukon A Minkowskin dimensio on dim M (A) = inf {s : M s (A) < ∞} = sup{s : M s (A) > 0}, miss¨ a M s (A) = lim sup δ0 M s δ (A) ja M s δ (A) = inf {s : A N [ i=1 B(x i ) joillain x i R d ja N N} aina kun s 0 ja δ> 0. Joukon A Haus- dorffin dimensio taas on dim H (A) = inf {s : H s (A) < ∞} = sup{s : H s (A) > 0}, miss¨ a H s (A) = lim δ0 H s δ (A) ja H s δ (A) = inf { X i r s i : A [ i B(x i ,r i ) joillain x i R d ja 0 <r i δ } aina kun s 0 ja δ> 0. Molemmat aritelm¨ at antavat esimerkiksi v¨ alille dimension 1 ja neli¨ olle dimension 2. Mut- ta Hausdorffin ja Minkowskin dimensiot voivat my¨ os olla ei-kokonaislukuja. T¨ al- laista yleistetty¨ a dimension k¨ asitett¨ a voi- daankin pit¨ a parametrina, joka antaa informaatiota joukon koosta. Huomaa, ett¨ a koska selv¨ asti H s δ (A) M s δ (A) aina kun s 0 ja δ> 0, p¨ atee dim H (A) dim M (A). Lis¨ atietoja dimensioista l¨ oy- tyy esimerkiksi kirjoista [3, §2.1], [2, §2 ja §3] ja [4, §4 ja §5]. 1

Transcript of Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on...

Page 1: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

Itseaffiineista joukoista

ANTTI KAENMAKI

Iteroidulla funktiosysteemilla tarkoite-taan aarellista kokoelmaa kutistavia ku-vauksia f1, . . . , fk. Tassa kuvausten fi :R

d → Rd kutistavuudella tarkoitetaan

sita, etta on olemassa 0 < λi < 1 siten,etta

|fi(x) − fi(y)| ≤ λi|x − y| (1)

aina kun x, y ∈ Rd. Hutchinson osoitti

vuonna 1981, etta jokaiselle iteroidullefunktiosysteemille on olemassa yksika-sitteinen epatyhja kompakti joukko E ⊂R

d, jolle

E =k

i=1

fi(E). (2)

Tuloksen todistus on Banachin kiinto-pistelauseen elegantti sovellus. Jos R >0 valitaan riittavan suureksi, niin sel-vasti patee fi

(

B(0, R))

⊂ B(0, R), mis-sa B(x, r) on x-keskinen ja r-sateinensuljettu pallo. Esimerkiksi valinta R =maxi |fi(0)|/(1−maxi λi) riittaa. Talloinon helppo nahda, etta

E =

∞⋂

n=1

i∈{1,...,k}n

fi(

B(0, R))

(3)

missa fi = fi1 ◦ · · · ◦ fin aina kun i =(i1, . . . , in) ∈ {1, . . . , k}n. Tarkempi esi-tys aiheesta loytyy esimerkiksi kirjasta[3, §2.2].

18. tammikuuta 2008

Olemme kiinnostuneita joukon E di-mensiosta. Kaytan tassa yhteydessa kah-ta dimensiota, Hausdorffin ja Minkows-kin (box counting). Olkoon A epatyh-ja ja rajoitettu R

d:n osajoukko. Talloinjoukon A Minkowskin dimensio on

dimM(A) = inf{s : M s(A) < ∞}

= sup{s : M s(A) > 0},

missa M s(A) = lim supδ↓0 M sδ (A) ja

M sδ (A) = inf{Nδs : A ⊂

N⋃

i=1

B(xi, δ)

joillain xi ∈ Rd ja N ∈ N}

aina kun s ≥ 0 ja δ > 0. Joukon A Haus-

dorffin dimensio taas on

dimH(A) = inf{s : Hs(A) < ∞}

= sup{s : Hs(A) > 0},

missa Hs(A) = limδ↓0 Hsδ(A) ja

Hsδ(A) = inf{

i

rsi : A ⊂

i

B(xi, ri)

joillain xi ∈ Rd ja 0 < ri ≤ δ}

aina kun s ≥ 0 ja δ > 0. Molemmatmaaritelmat antavat esimerkiksi valilledimension 1 ja neliolle dimension 2. Mut-ta Hausdorffin ja Minkowskin dimensiotvoivat myos olla ei-kokonaislukuja. Tal-laista yleistettya dimension kasitetta voi-daankin pitaa parametrina, joka antaainformaatiota joukon koosta. Huomaa,etta koska selvasti Hs

δ(A) ≤ M sδ (A) aina

kun s ≥ 0 ja δ > 0, patee dimH(A) ≤dimM(A). Lisatietoja dimensioista loy-tyy esimerkiksi kirjoista [3, §2.1], [2, §2ja §3] ja [4, §4 ja §5].

1

Page 2: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

Joukon E dimension maarittaminentaytyy siis aloittaa hyvan peitteen loyta-misella. Koska molemmat dimensiot ovatskaalausinvariantteja, voidaan yksinker-taisuuden vuoksi olettaa, etta R = 1.Talloin havainnon (3) avulla huomataan,etta fi(E) ⊂ B

(

fi(0), λi

)

, missa λi =λi1 · · ·λin . Naita palloja voimme kayt-taa joukon E peittamiseen. Jotta paasi-simme kasiksi Minkowskin dimensioon,pitaa tarkastella samankokoisia palloja.Maaritellaan jokaiselle 0 < δ < 1 joukko

Z(δ) = {i : λi < δ ≤ λi1 · · ·λin−1

jollakin i = (i1, . . . , in)}.

Talloin jokaiselle jonolle (i1, i2, . . .) loy-tyy tasmalleen yksi n, jolle (i1, . . . , in) ∈Z(δ). Edelleen, jos valitaan s ≥ 0 siten,etta

k∑

i=1

λsi = 1, (4)

saadaan induktiolla #Z(δ)(mini λi)sδs ≤

i∈Z(δ) λsi

= 1 kaikille 0 < δ < 1. Nain

ollen alkioiden maara joukossa Z(δ) onkorkeintaan (mini λi)

−sδ−s ja joukko Evoidaan peittaa talla maaralla δ-sateisiapalloja. Siispa M s

δ (E) ≤ (mini λi)−s kai-

killa 0 < δ < 1 ja dimM(E) ≤ s.Dimensiolle alarajan loytaminen on pal-

jon vaikeampaa. Jos kuvaukset fi ovatsimilariteetteja eli ehdossa (1) onkin yh-tasuuruus, niin tama viela onnistuu koh-tuullisella vaivalla. Hutchinsonin tulok-sesta (2) seuraa nimittain suoraan, ettajoukko E koostuu pienemmista ja pie-nemmista, E:n kanssa geometrisesti sa-manlaisista osista. Joukkoa E kutsutaan-kin talloin itsesimilaariksi joukoksi. Jositsesimilaarin joukon E osat fi(E) ovat

”pahasti paallekkain”, saattaa itsesimi-laarin rakenteen havaitseminen ja hyvak-si kayttaminen olla vaikeaa. Luonnolli-nen ajatus on tietysti yrittaa nayttaa,etta palloilla B

(

fi(0), λi

)

saadaan muo-dostettua optimaalisia peitteita. Talloinyhtalon (4) maaraama s olisi Hausdorf-fin dimensiolle myos alaraja. Hutchinsonesittelikin nk. avoimen joukon ehdon, jo-ka takaa palloille riittavan erillisyyden.Avoimen joukon ehdossa oletetaan, et-ta on olemassa epatyhja avoin joukkoV ⊂ R

d, jolle

V ⊃k

i=1

fi(V )

ja fi(V )∩fj(V ) = ∅ aina kun i 6= j. Hanosoitti, etta avoimen joukon ehdon olles-sa voimassa on itsesimilaarin joukon EHausdorffin mitta positiivinen, Hs(E) >0. Nain ollen dimH(E) = dimM(E) =s. Todistus talle on esitetty kirjassa [2,Lause 9.3]. Schief todisti vuonna 1994,etta tulos myos kaantyy: Hausdorffin mi-tan positiivisuudesta seuraa avoimen jou-kon ehto.

Enta jos tarkastellaan yleisempia ku-vauksia? Oletetaan, etta Ai ∈ R

d×d onkaantyva d × d matriisi, jolla ||Ai|| < 1,ja ai ∈ R

d on siirtovektori. Valitsemallaλi = ||Ai||, affiinit kuvaukset fi = Ai +ai muodostavat iteroidun funktiosystee-min. Joukkoa E, jolle (2) patee, sano-taan talloin itseaffiiniksi joukoksi. Yh-talosta (4) saadaan tietysti ylaraja it-seaffiinin joukon dimensiolle. Mutta kos-ka fi

(

B(0, 1))

= Ai

(

B(0, 1))

+ ai jolla-

kin ai ∈ Rd, voidaan joukko E peittaa

pallojen sijasta ellipseilla ja siten mah-dollisesti parantaa ylarajaa. Tassa Ai =

2

Page 3: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

Kuva A. Itseaffiinia joukkoa voi-daan peittaa ellipseilla, joita taasvoidaan peittaa pienemmilla pal-loilla.

Ai1 · · ·Ain aina kun i = (i1, . . . , in). Ol-koon ellipsin fi

(

B(0, 1))

puoliakselien pi-tuudet 1 > α1(Ai) ≥ · · · ≥ αd(Ai) >0. Nama pituudet saadaan laskettua ot-tamalla positiivisesti definiitin matriisinAT

iAi ominaisarvoista neliojuuret. Kos-

ka esimerkiksi tasossa α2(Ai)-sateisia pal-loja tarvitaan ellipsin fi

(

B(0, 1))

peit-tamiseen oleellisesti noin α1(Ai)/α2(Ai)kappaletta, on

Hs(E) . limn→∞

i∈{1,...,k}n

α1(Ai)α2(Ai)s−1

ja siten ylarajan loytamiseksi Hausdorf-fin dimensiolle riittaa tarkastella kuinkayo. summa kayttaytyy eri s:n arvoilla.Taman esimerkin motivoimana maarit-telemme jokaiselle 0 ≤ s < d

ϕs(Ai) = α1(Ai) · · ·αl+1(Ai)s−l,

missa l on s:n kokonaislukuosa, ja

P (s) = limn→∞

1n

log∑

i∈{1,...,k}n

ϕs(Ai).

Raja-arvo edella on olemassa, koska ky-seessa oleva jono on subadditiivinen (ta-man todistamiseksi tarvitaan multiline-aarialgebraa). Nyt nahdaan helposti, et-ta

ϕs(Ai) � enP (s) ja etta P :lla on yk-sikasitteinen nollakohta, jota kutsutaansingulaaridimensioksi. Vuonna 1988 Fal-coner naytti, etta itseaffiinilla joukollasingulaaridimensio on aina ylaraja Min-kowskin dimensiolle. Huomaa myos, et-ta itsesimilaarissa tilanteessa yhtalon (4)maaraama s on sama kuin singulaaridi-mensio.

Koska itseaffiinilla joukolla singulaari-dimensio on alaraja Hausdorffin tai Min-kowskin dimensiolle? Pitaisi siis taas pys-tya muodostamaan optimaalisia peittei-ta. Nyt pahan paallekkaisyyden lisaksimeilla on kaksi uutta tilannetta, mitkasaattavat aiheuttaa ongelmia. Ellipsit voi-vat olla sijoittuneet niin, etta yhden va-han isomman pallon kayttaminen peit-teena antaisi paremman lopputuloksenkuin kyseessa olevien ellipsien peittami-nen pienemmilla palloilla. Lisaksi itseaf-fiinia joukkoa pitaisi olla ”riittavasti” el-lipsin pisimman akselin suuntaisesti, jot-ta ellipsia peitettaessa pienempia pallojaei kaytettaisi turhaan. Kuva B havain-nollistaa naita tilanteita. Huomaa myos,etta peittavat ellipsit saattavat olla paal-lekkain silla tavalla, etta pidempien ak-seleiden valinen kulma on suuri. Tama

Kuva B. Ellipsien paha paallek-kaisyys, ”reikaisyys” ja huono si-joittuminen saattavat pilata peit-teen optimaalisuuden.

3

Page 4: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

Kuva C. Bedford-McMullenin jaBaranskin itseaffiinit matot.

ei valttamatta ole optimaalisuuden kan-nalta huono tilanne.

Bedford ja McMullen (toisistaan riip-pumatta) laskivat vuonna 1984 ns. it-seaffiineille matoille Hausdorffin ja Min-kowskin dimensiot. Itseaffiinilla matolla

tarkoitetaan joukkoa, joka saadaan seu-raavanlaisella konstruktiolla: Jaetaan ne-lio p moneen samankokoiseen sarakkee-seen ja q moneen samankokoiseen riviinja nain saaduista suorakaiteista valitaanosa. Jokaisessa valitussa suorakaiteessatehdaan samanlainen jako ja valitaan nais-sa vastaavat suorakaiteet kuin alussakin.Nain jatkamalla jaljelle jaa joukko, jotasanotaan itseaffiiniksi matoksi. Itseaffii-ni matto on selvasti itseaffiini joukko,silla affiineiksi kuvauksiksi voidaan va-lita kuvaukset, jotka vievat nelion vali-tuiksi suorakaiteiksi. Kuva C havainnol-listaa tilannetta. Osoittautuu, etta sopi-villa suorakaiteiden valinnoilla tallaisellematolle E saadaan dimH(E) < dimM(E)< s, missa s on singulaaridimensio. Di-mensio siis riippuu siirtovektoreiden va-linnasta! Katso [2, Esimerkki 9.11]. Bed-fordin ja McMullenin konstruktiota onsittemmin yleistetty monella eri tapaa.Esimerkiksi vuonna 2007 Baranski maa-ritti hyvin yleisille itseaffiineille matoil-le Hausdorffin ja Minkowskin dimensiot.

Hanen konstruktiossaan nelio voidaan ja-kaa suorakaiteisiin hyvin vapaasti: mikatahansa ositus, joka saadaan aarellisillamaarilla vaakasuoria ja pystysuoria vii-voja kelpaa.

Naiden esimerkkien valossa nayttaisikovasti silta, etta useimmiten itseaffii-nin joukon dimensio eroaisi singulaari-dimensiosta. Kuitenkin Falconer osoittivuonna 1988, etta jos s on singulaari-dimensio ja ||Ai|| < 1

3kaikilla i, niin

dimH(Ea) = s Ldk-melkein jokaisella siir-tovektoreiden a = (ai, . . . , ak) valinnal-la. Tassa Ldk on dk-ulotteinen Lebes-guen mitta ja merkinta Ea tarkoittaa si-ta, etta itseaffiini joukko E riippuu siir-tovektoreista, mutta matriisit Ai ovat kiin-nitetty. Tulos on hammastyttava: se osoit-taa, etta tyypillisella itseaffiinilla joukol-la ellipseilla muodostetut peitteet ovatoptimaalisia. Edgar naytti samana vuon-na esimerkilla, etta tulos ei pida paik-kaansa, jos yhdellakin matriisilla on ||Ai||> 1

2. Solomyak taas osoitti vuonna 1998,

etta tuloksessa matriisien normin ylara-ja 1

3voidaan korvata 1

2:lla. Vuonna 2007

Jordan, Pollicott ja Simon todistivat sa-tunnaisen version Falconerin tuloksesta.Olettamatta matriisien normeille ylara-jaa he osoittivat, etta todennakoisyydel-la 1 satunnaisen itseaffiinin joukon Haus-dorffin dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. Tassa satunnainen itseaffii-ni joukko muodostetaan kuten kohdas-sa (3) paitsi, etta konstruktion joka vai-heessa affiinin kuvauksen siirtovektoriinlisataan satunnainen virhe. Mainittakoonviela, etta Falconer ja Miao ovat (vielajulkaisemattomassa artikkelissaan) tut-kineet niiden siirtovektoreiden a, joilladimH(Ea) < t annetulla t, muodosta-man joukon Hausdorffin dimensiota. He

4

Page 5: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

osoittivat, etta tama dimensio on kor-keintaan dk− c(s− t), missa s on singu-laaridimensio ja c jokin positiivinen va-kio.

Koska Falconerin tulos ei kerro onkoannetun itseaffiinin joukon dimensio sa-ma kuin singulaaridimensio, on mielen-kiintoista yrittaa loytaa ehtoja, joidenvoimassa ollessa nain kavisi. Falconer o-soitti vuonna 1992, etta jos s on singu-laaridimensio, avoimen joukon ehto onvoimassa yhtenaiselle joukolle V ⊂ R

d jajoukon E projektiolla mille tahansa (d−1)-ulotteiselle aliavaruudelle on positii-vinen Lebesguen mitta, niin dimM(E) =s. Huomaa, etta taytyy olla dimH(E) ≥d − 1, jotta projektioehto voisi olla voi-massa. Ehdolla varmistetaankin, etta it-seaffiinia joukkoa on ”riittavasti” peitta-vien ellipsien pisimman akselin suuntai-sesti. Vuonna 1995 Hueter ja Lalley esit-telivat tason itseaffiineille joukoille eh-dot, joiden voimassa ollessa dimH(E) =s < 1, missa s on singulaaridimensio. Heolettivat, etta peittavien ellipsien muo-to on rajoitettu, α1(Ai)

2 < α2(Ai), jaetta ne ovat riittavasti erillaan. Lisak-si he vaativat lineaarikuvausten Ai ku-vaavan tason ensimmaisen neljanneksenQ2 osakseen silla tavalla, etta Ai(Q2) ∩Aj(Q2) = ∅ aina kun i 6= j. Koska s < 1,riippuu dimensio Hueterin ja Lalleyn ta-pauksessa vain ellipsien pisimman puo-liakselin pituudesta. Shmerkin ja allekir-joittanut ovat (viela julkaisemattomassaartikkelissa) esitelleet tasossa ehdot, joi-den voimassa ollessa dimM(E) = s ≥ 1,missa s on singulaaridimensio. Ehdoissaoletetaan samantapainen vaatimus kos-kien lineaarikuvauksia Ai ja neljannes-ta Q2 kuin Hueterilla ja Lalleylla seka

Kuva D. Itseaffiini joukko E, jolladimM(E) ≥ 1.

joukon E projektio mille tahansa suo-ralle, jolla on positiivinen kulmakerroin,oletetaan positiivimittaiseksi. Koska nyts ≥ 1, dimensio riippuu ellipsien mo-lempien puoliakselien pituuksista. Lisak-si huomion arvoista on, etta matriisiennormeille ei ehdoissa vaadita ylarajaa jaetta peittavilla ellipseilla saa olla paal-lekkaisyytta. Tuloksessa on kaytetty hy-vaksi Kakeya-joukkojen teoriaa. Lisatie-toja Kakeya-joukoista loytyy esimerkik-si Arkhimeden artikkelista [5]. KuvassaD on esimerkki nama ehdot tayttavastaitseaffiinista joukosta.

Itseaffiinin joukon dimension maarit-taminen on siis hankalaa. Jopa yksin-kertaisen oloisissa tilanteissa (esim. it-seaffiinit matot) dimension selville saa-minen on hyvin vaikeaa. Jos kuitenkinsaadaan osoitettua yleinen tulos (esim.Falconerin tulos), on tulos geneerinen eli5

Page 6: Olemme kiinnostuneita joukon di-users.jyu.fi/~antakae/publications/preprints/014...dor n dimensio on sama kuin singulaa-ridimensio. T ass a satunnainen itsea i-ni joukko muodostetaan

se ei sano mitaan annetulle itseaffiinil-le joukolle. Riittavien ehtojen loytami-seksi taytyy usein tehda hyvin rajaaviaoletuksia (esim. Hueterin ja Lalleyn tu-los). Hankalaa on myos singulaaridimen-sion laskeminen. Falconer ja Miao loy-sivat vuonna 2007 singulaaridimensiollesuljetun kaavan olettamalla matriisit Ai

ylakolmiomatriiseiksi.Mainitaan viela lopuksi, etta itseaffii-

neilla joukoilla on kaytannon sovelluk-sia kuvankasittelyssa. Kirjoilla [2, §9.5]ja [1, §9.8] paasee aiheessa alkuun.

Viitteet

[1] M. Barnsley. Fractals everywhere. AcademicPress Inc., Boston, MA, 1988.

[2] K. Falconer. Fractal geometry. John Wiley& Sons Ltd., Chichester, 1990. Mathema-tical foundations and applications.

[3] K. Falconer. Techniques in fractal geometry.John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 1997.

[4] P. Mattila. Geometry of sets and measures

in Euclidean spaces, volume 44 of Cambrid-

ge Studies in Advanced Mathematics. Cam-bridge University Press, Cambridge, 1995.Fractals and rectifiability.

[5] P. Mattila. Voiko nakymaton nakya: geo-metrisen mittateorian paradokseja. Arkhi-

medes, (2):17–22, 2004.

6