Ok 02 Σημειώσεις_θεωρίας

7/26/2019 Ok 02 Σημειώσεις_θεωρίας

http://slidepdf.com/reader/full/ok-02- 1/36

1

ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Βραχυκύκλωμα ονομάζεται κάθε απότομη δομική αλλαγή του δικτύου η οποία

οδηγεί σε σύνδεση ενεργού τμήματος του δικτύου με τη γη είτε άμεσα (στερεό

βραχυκύκλωμα) είτε μέσω αντίδρασης.

Όταν το βραχυκύκλωμα γίνεται και στις τρεις φάσεις ταυτόχρονα προκαλείται

συμμετρικό βραχυκύκλωμα. Έτσι, το σύστημα διατηρεί τη φασική του συμμετρία.

Δηλαδή, οι τάσεις και τα ρεύματα χαρακτηρίζονται από πλήρη τριφασική

συμμετρία, δηλαδή, κάθε σε κάθε φάση τα μέτρα τους είναι ίσα και οι γωνίες τους

είναι μετατοπισμένες κατά 120ο. Με την παραδοχή αυτή, η μελέτη του συστήματος

μπορεί να πραγματοποιηθεί εξετάζοντας μια μόνο φάση. Η γνώση του ρεύματος και

της τάσης γι’αυτήν τη φάση επιτρέπει την εύρεση των αντίστοιχων μεγεθών για τις

άλλες δυο φάσεις.

Σ’ ένα ασύμμετρο βραχυκύκλωμα ούτε τα ρεύματα ούτε οι τάσεις έχουν τριφασική

συμμετρία. Το άθροισμα των ρευμάτων των τριών φάσεων δεν είναι πια μηδέν.

Συνεπώς, η ανάλυση του συστήματος δεν μπορεί να βασιστεί πλέον στην εξέταση

της μιας μόνο φάσης του. Απαιτείται διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος,

η οποία βασίζεται στη μέθοδο μετασχηματισμού σε συμμετρικές συνιστώσες. Η

μέθοδος αυτή θα αναπτυχθεί σε επόμενο κεφάλαιο.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

Συμμετρικά βραχυκυκλώματα.

Στο σχήμα 1 παρουσιάζεται ένα τμήμα ενός δικτύου μεταφοράς το οποίο

περιλαμβάνει τρείς ζυγούς (1, 2 και 3) και τις γραμμές μεταφοράς 1‐3 και 2‐4. Η

διασύνδεση του τμήματος αυτού με το υπόλοιπο δίκτυο πραγματοποιείται μέσω

γραμμών μεταφοράς που αναχωρούν από τους ζυγούς 1 και 2 και καταλήγουν σε

ζυγούς του δικτύου. Το δίκτυο αυτό λειτουργεί αρχικά κανονικά, μπορεί επομένως

να υποτεθεί ότι η τάση σε όλους τους ζυγούς του έχει μέτρο περίπου 1pu.



2

Σχήμα 1:Τμήμα ηλεκτρικού δικτύου για την ανάλυση συμμετρικών βραχυκυκλωμάτων

Εάν στο ζυγό 3 του δικτύου συμβεί ένα στερεό τριφασικό βραχυκύκλωμα, η τάση

του ξαφνικά θα μηδενισθεί. Το υπόλοιπο δίκτυο, μέσω των ζυγών 1 και 2 θα αρχίσει

να τροφοδοτεί τα ρεύματα βραχυκύκλωσης Ιa και Ιb στο ζυγό 3. Το μέτρο των

ρευμάτων Ιa και Ιb προσδιορίζεται από την αντοχή των ζυγών 1 και 2 και από τις

αντιδράσεις των γραμμών L1 και L2. Συνήθως, τα ρεύματα βραχυκυκλώσεως είναι

πολύ μεγαλύτερα από τα κανονικά ρεύματα γραμμής και το σύστημα προστασίας

θα πρέπει να δώσει εντολή στους διακόπτες Δ1 και Δ2 να ανοίξουν για να

απομονώσουν τον βραχυκυκλωμένο ζυγό.

Αντοχή σε βραχυκύκλωμα (SCC)

Οι τάσεις των ζυγών 1 και 2 όπως και όλων των ζυγών ενός δικτύου, θα ελαττωθούν

κατά τη διάρκεια του βραχυκυκλώματος. Το μέγεθος αυτής της πτώσης τάσης είναι

μια ένδειξη της αντοχής του δικτύου. Η "αντοχή σε βραχυκύκλωμα, SCC" ή επίπεδο

σφάλματος του εξεταζόμενου ζυγού αποτελεί ένα μέτρο αυτής της αντοχής , αλλά

και ένα μέτρο της σοβαρότητας του βραχυκυκλώματος.

Η αντοχή σε βραχυκύκλωμα ενός ζυγού του δικτύου, ορίζεται σαν το γινόμενο των

μέτρων της τάσης του ζυγού πριν το βραχυκύκλωμα, VΠΒ και του ρεύματος μετά το

βραχυκύκλωμα, ΙΜΒ Αν οι ποσότητες αυτές ορισθούν pu, τότε και η αντοχή σε

βραχυκύκλωμα ορίζεται σε pu:

puV SCC (1)



4

SCC Z

1 (6)

Το αντίστοιχο ισοδύναμο δικτύου φαίνεται στο σχήμα 2:

Σχήμα 2: Ισοδύναμο του δικτύου του σχήματος 1

Βραχυκυκλώματα σε σύγχρονες γεννήτριες

Όταν μια γεννήτρια η οποία λειτουργεί εν κενώ και παράγει την ονομαστική της

τάση υποστεί τριφασικό βραχυκύκλωμα, τα ρεύματα που αναπτύσσονται σε κάθε

μία από τις τρείς φάσεις είναι διαφορετικά λόγω του ότι οι φασικές τάσεις είναι

μετατοπισμένες μεταξύ τους κατά 1200. Εάν κατά τη στιγμή που εμφανίζεται το

βραχυκύκλωμα η φασική τάση δεν είναι μηδέν, το ρεύμα που αναπτύσσεται λόγω

του βραχυκυκλώματος στη φάση αυτή περιλαμβάνει μια «συνεχή συνιστώσα», η

οποία αποσβένυται με σταθερά χρόνου που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της

γεννήτριας. Είναι προφανές ότι το μέγεθος της συνεχούς συνιστώσας είναι

διαφορετικό σε κάθε φάση (σχήμα 3). Στην περίπτωση που κατά τη στιγμή που

εμφανίζεται το βραχυκύκλωμα η φασική τάση είναι μηδέν, η συνεχής συνιστώσα

του ρεύματος μηδενίζεται και το ρεύμα της αντίστοιχης φάσης εμφανίζει τη μορφή

του σχήματος 4. Το ρεύμα είναι μηδέν αρχικά, αυξάνεται γρήγορα σε μεγάλες τιμές(αρκετά pu) και στη συνέχεια μειώνεται με δύο ευδιάκριτες χρονικές σταθερές σε

μια σταθερή τιμή (τιμή μόνιμης κατάστασης). Η πρώτη από τις δύο αυτές χρονικές

σταθερές ονομάζεται υπομεταβατική χρονική σταθερά και χαρακτηρίζει το χρονικό

διάστημα κατά το οποίο η παρατηρούμενη μείωση των τιμών του ρεύματος είναι

ραγδαία. Το χρονικό διάστημα αυτό ονομάζεται υπομεταβατική περίοδος και στην

πράξη διαρκεί μερικούς μόνον κύκλους της συχνότητας λειτουργίας του

συστήματος (στο σχήμα 4 το χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί στους τρείς πρώτους



5

κύκλους – 60ms για συχνότητα 50Hz). Η δεύτερη χρονική σταθερά χαρακτηρίζει το

χρονικό διάστημα κατά το οποίο η παρατηρούμενη μείωση των τιμών του ρεύματος

είναι πιο αργή και ονομάζεται μεταβατική χρονική σταθερά. Το χρονικό διάστημα

αυτό ονομάζεται μεταβατική περίοδος και στην πράξη διαρκεί αρκετούς κύκλους

της συχνότητας λειτουργίας του συστήματος (10 έως 15 συνήθως).

Σχήμα 3: Φασικά ρεύματα βραχυκυκλωμένης γεννήτριας

Σχήμα 4:Κυματομορφή ρεύματος βραχυκυκλωμένης γεννήτριας χωρίς τη συνιστώσα συνεχούς

ρεύματος.



6

Η μοντελοποίηση της συμπεριφοράς της γεννήτριας κατά το βραχυκύκλωμα

μπορεί να πραγματοποιηθεί είτε με τη χρήση συστήματος διαφορικών εξισώσεων

(περίπλοκη μέθοδος), είτε με τη χρήση τριών ισοδύναμων κυκλωμάτων για τη

γεννήτρια: μόνιμης κατάστασης, μεταβατικής και υπομεταβατικής περιόδου. Κάθε

ένα από τα κυκλώματα αυτά περιγράφει τη συμπεριφορά της γεννήτριας στην

αντίστοιχη χρονική περίοδο. Κάθε ένα από τα κυκλώματα αυτά περιλαμβάνει μια

πηγή τάσης και μια εσωτερική αντίδραση.

Η τιμή της αντίδρασης για κάθε κύκλωμα καθορίζεται με τη βοήθεια του

σχήματος 4 ως εξής:

Η υπομεταβατική αντίδραση θα είναι ίση με

" √ 2

όπου Oc/√ 2 είναι η rms τιμή του υπομεταβατικού ρεύματος, ". Η μεταβατική

αντίδραση θα είναι ίση με √ 2

όπου Ob/√ 2 είναι η rms τιμή του μεταβατικού ρεύματος, . Τέλος η σύγχρονη

αντίδραση θα είναι ίση με,

0√ 2

όπου Oα/√ 2 είναι η rms τιμή του ρεύματος στη μόνιμη κατάσταση, .

Στην περίπτωση αφόρτιστων γεννητριών, η πηγή τάσης έχει τιμή ίση με την τάση

στους ακροδέκτες της γεννήτριας. Εάν η γεννήτρια τροφοδοτεί φορτίο που

απορροφά ρεύμα ΙL και η τάση στους ακροδέκτες της είναι ίση με Vt, οι πηγές τάσης

πίσω από την υπομεταβατική τη μεταβατική και τη σύγχρονη αντίδραση στα

αντίστοιχα ισοδύναμα κυκλώματα προκύπτουν από τις σχέσεις:



7

" "

ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΩΝ

ΥΠΟΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Στη διαμόρφωση του ρεύματος βραχυκυκλώσεως συνεισφέρουν, εκτός των

γεννητριών και οι σύγχρονοι κινητήρες, η συμπεριφορά των οποίων – όταν

υποστούν συμμετρικό βραχυκύκλωμα – είναι παρόμοια με αυτή των γεννητριών.

Στην περίπτωση των κινητήρων, οι πηγές τάσης πίσω από την υπομεταβατική τη

μεταβατική και τη σύγχρονη αντίδραση στα αντίστοιχα ισοδύναμα κυκλώματα

προκύπτουν από τις σχέσεις:

" "

όπου Vt είναι η τάση στους ακροδέκτες του κινητήρα και IL το ρεύμα που αυτός

απορροφά.

ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΥΠΟΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ



8

Ανάλογα με τη χρονική περίοδο που ενδιαφέρει (υπομεταβατική, μεταβατική

μόνιμη κατάσταση) χρησιμοποιούνται τα αντίστοιχα ισοδύναμα για τις γεννήτριες

και τους κινητήρες του δικτύου προκειμένου να γίνει ο υπολογισμός των ρευμάτων

βραχυκύκλωσης.

Κατά τη μελέτη βραχυκυκλωμάτων γίνονται οι παρακάτω απλοποιήσεις:

I. Παραλείπονται όλες οι συνιστώσες του ρεύματος εκτός από την θεμελιώδη

των 50 Hz.

II. Η ανάλυση του δικτύου γίνεται σαν ένα κανονικό πρόβλημα

εναλλασσόμενου ρεύματος, δηλαδή χρησιμοποιείται η παράσταση των

μηχανών με τις σύνθετες αντιστάσεις.

III.

Όλες οι αντιστάσεις του δικτύου υποτίθεται ότι είναι καθαρά άεργες.

IV. Η επίδραση της συνιστώσας συνεχούς ρεύματος λαμβάνεται εμπειρικά

υπ’όψιν στους υπολογισμούς. Για τον υπολογισμό του στιγμιαίου ρεύματος

που πρέπει να δέχεται ο διακόπτης αμέσως μετά το βραχυκύκλωμα, η

ενεργός τιμή του υπομεταβατικού ρεύματος πολλαπλασιάζεται με τον

συντελεστή 1.6.

Παράδειγμα

Μια γεννήτρια και ένας κινητήρας έχουν ονομαστικές τιμές 30MVA, 13,2kV,

X”d=20%. Συνδέονται με μια γραμμή μεταφοράς που έχει XL=10% εκφρασμένη στην

βάση των μηχανών. Ο κινητήρας απορροφά 20MW υπο τάση 12,8kV με cosφ=0,8

χωρητικό. Να υπολογισθούν το υπομεταβατικό ρεύμα σφάλματος και το

υπομεταβατικό ρεύμα στον κινητήρα και στην γεννήτρια στην περίπτωση ενός

τριφασικού βραχυκυκλώματος στους ακροδέκτες του κινητήρα.

G M

0,2pu0,2pu

0,1puIL Σ



9

Το ρεύμα φορτίου IL είναι ίσο με,

√ 3 cos cos 0,8 20 10√ 3 12,8 10 0,8 36,9

112836,9

Την τιμή αυτή την μετατρέπουμε σε pu αφού πρώτα υπολογίσουμε την

απαιτούμενη βάση ρεύματος,

30√ 3 13,2 1312

11281312 36,9 0,8636,9

Έπειτα βρίσκουμε τις τάσεις Ε’’Μ Ε’’G των στοιχείων του κινητήρα και της

γεννήτριας που θα μας βοηθήσουν στην εύρεση των υπομεταβατικών ρευμάτων,

12,813,2 0,970

" 0,2 0,970 0,8636,9 0,290 " 1,074 0,138 1,087,3 " 0,3 0,814 0,207 0,8414,2

Όταν συμβεί το σφάλμα, τόσο η γεννήτρια, όσο και ο κινητήρας τροφοδοτούν με

ρεύμα το σφάλμα. Το άθροισμα των ρευμάτων αυτών αποτελεί το συνολικό ρεύμα

σφάλματος.

" " 0,2 0,1 0,69 2,71 και " " 0,2 0,69 5,37

" 0,69 2,71 0,69 5,37 8,08

Εναλλακτικά, ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με χρήση του θεωρήματος Thevenin σε

συνδυασμό με το θεώρημα της υπέρθεσης.

Βρίσκουμε πρώτα την αντίδραση Thevenin ως προς το σημείο Σ:

0,1 0,2 0,3

0,3 0,20,3 0,2 0,12

Η προσφαλματική τάση στο σημείο Σ είναι ίση με

12,813,2 0,970



10

Επομένως το ισοδύναμο Thevenin ως προς το σημείο του σφάλματος είναι:

Το ρεύμα σφάλματος λοιπόν θα είναι: " ,, 8,08. Οι προκαλούμενες

μεταβολές στο ρεύμα της γεννήτριας και του κινητήρα λόγω του βραχυκλώματος

είναι:

" 8,08 0,2 0,5 3,23

" 4,85

Έτσι τα μετά το σφάλμα οι τιμές του ρεύματος στη γεννήτρια και τον κινητήρα

γίνονται:

" " 0,8636,9 3,23 0,69 0,52 3,23 0,69 2,71 " " 0,69 0,52 4,85 0,69 5,37

Συστηματικός υπολογισμός βραχυκυκλώματος .

Η προηγούμενη τεχνική απλοποίησης δικτύου δεν μπορεί να εφαρμοσθεί σε

πραγματικά δίκτυα που είναι εξαιρετικά πολύπλοκα. Για το λόγο αυτό πρέπει να

αναπτυχθεί μια γενική μέθοδος που να εφαρμόζεται εύκολα σε σύστημα Ν‐ζυγών

με τη βοήθεια υπολογιστή.

Το θεώρημα THEVENIN χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μεταβολών τωντάσεων που προκαλεί το βραχυκύκλωμα στις τάσεις των ζυγών του δικτύου, ΔV.

Οι μεταβολές αυτές οφείλονται στο ρεύμα βραχυκυκλώματος IΜΒ που ρέει από τον

βραχυκυκλωμένο ζυγό προς τη γή ή ‐ ισοδύναμα ‐ στο ρεύμα (‐IMB) που εισέρχεται

στο ζυγό αυτό. Έτσι,

I Z V BUS (7)

VΣ=0,970

j0,12puΣ



11

όπου ΖBUS είναι o Ν*Ν πίνακας αντιδράσεων του δικτύου και I ένα διάνυσμα

ρευμάτων με μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο αυτό που αντιστοιχεί στο ζυγό κ, όπου

υποθέτουμε ότι συμβαίνει το βραχυκύκλωμα. Η τιμή του ρεύματος στο ζυγό αυτό

είναι αντίθετη από την τιμή του ρεύματος βραχυκυκλώματος στο ζυγό κ.

0

.

.

.

.

0

MB I I κ συνιστώσα

Οι τάσεις των ζυγών μετά το βραχυκύκλωμα, VΜΒ

υπολογίζονται με υπέρθεση των

προσφαλματικών τάσεων VΠB

και των μεταβολών τους VT , δηλαδή:

V V V MB (8)

Με αντικατάσταση της (7) στην (8) προκύπτει:

I Z V V BUS

MB (9)

Η σχέση (9) μπορεί να γραφεί :

MB zV V ,111

.......................................

MB zV V

, (10)

........................................

MB

nnn zV V ,



12

όπου zij είναι τα στοιχεία του πίνακα ZBUS.

Οι σχέσεις (10) δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των τάσεων

γιατί ακόμα το IMB είναι άγνωστο. Μπορεί όμως να υπολογιστεί αν ληφθεί υπ’ όψη

ότι υπάρχει ακόμα μια εξίσωση που συνδέει την τάση με το ρεύμα στο ζυγό κ μετά

το βραχυκύκλωμα που, είναι η εξής:

0 V (11)

Το δεύτερο μέλος της σχέσης (11) εξισώνεται με το δεύτερο μέλος της κ εξίσωσης

της σχέσης (10) με αποτέλεσμα:

I Z V 0 (12)

ή

Z

V (13)

Επειδή η προσφαλματική τάση

V θεωρείται γνωστή η σχέση (13) καθορίζει

πλήρως το ρεύμα σφάλματος. Η σχέση (13) αντικαθίσταται στις σχέσεις (10), και

προκύπτουν οι πιο κάτω γενικοί τύποι για τον υπολογισμό των τάσεων ζυγών μετά

το βραχυκύκλωμα:

Z

V

V V V , μ ≠ κ (14)

0 MBV

Μετά τον υπολογισμό των τάσεων μετά το βραχυκύκλωμα, ο υπολογισμός του

ρεύματος στη γραμμή που συνδέει τους τυχαίους ζυγούς λ και μ, δίνεται από τη

σχέση:



13

MB MB V V

I (15)

όπου Ζλμ είναι η εν σειρά σύνθετη αντίσταση της γραμμής και το ρεύμα ορίζεται

θετικό στη διεύθυνση λ→μ.

Για να εφαρμοστεί η παραπάνω μέθοδος στον υπολογισμό βραχυκυκλωμάτων,

απαιτείται η προηγούμενη χρησιμοποίηση ενός προγράμματος μελέτης ροής

φορτίου για τον υπολογισμό των προσφαλματικών τάσεων. Ο πίνακας ZBUS

υπολογίζεται με αντιστροφή του πίνακα αγωγιμοτήτων του δικτύου, ΥBUS.



14

ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Συμμετρικές συνιστώσες .

Η μελέτη των ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων γίνεται δυνατή με τη μέθοδο

μετασχηματισμού των συμμετρικών συνιστωσών (C.L. Fortescue, 1918). Με τη

μέθοδο αυτή ένα ασύμμετρο τριφασικό σύστημα μπορεί να αναλυθεί με τη

βοήθεια τριών συμμετρικών συστημάτων τα οποία ονομάζονται συμμετρικές

συνιστώσες.

Τα συμμετρικά σύνολα συνιστωσών είναι:

1. Σύστημα θετικής ακολουθίας που αποτελούνται από τρία διανύσματα με ίσο

μέτρο, διαφορά φάσης 1200, φασική ακολουθία α,b,c,α….(δείκτης +).

2. Σύστημα αρνητικής ακολουθίας που αποτελούνται από τρία διανύσματα με ίσο

μέτρο, διαφορά φάσης 1200, φασική ακολουθία α,c,b,α….(δείκτης ‐).

3. Σύστημα μηδενικής ακολουθίας που αποτελούνται από τρία διανύσματα με ίσο

μέτρο, ίδια διεύθυνση και με μηδενική φασική μετατόπιση το ένα από το άλλο

(δείκτης ο).

Σχήμα 5: α ) Συνιστώσες θετικής ακολουθίας , β ) Συνιστώσες αρνητικής ακολουθίας , γ ) Συνιστώσες

μηδενικής ακολουθίας.

Μεταξύ των διανυσμάτων που αποτελούν το σύστημα

θετικής ακολουθίας ισχύουν οι σχέσεις: || || || 1120 a* 1240 a

α+

c+

b+

α-

c-

b-

α0 b0

c0

Σύστημα Θετικής Ακολουθίας Σύστημα Αρνητικής Ακολουθίας Σύστημα Μηδενικής Ακολουθίας

α+

b+

Σύστημα Θετικής Ακολουθίας

c+



15


αρνητικής ακολουθίας ισχύουν οι σχέσεις:

|| || || 1120 a 1240 a


μηδενικής ακολουθίας ισχύει η σχέση:

Όπου a 1120.

Ένα ασύμμετρο τριφασικό σύστημα ρευμάτων αποτελούμενο από τα φασικά

ρεύματα Ια, Ιb, Ic αναλύεται σε συμμετρικές συνιστώσες ως εξής:

(16)

Σύμφωνα με τα προηγούμενα, οι σχέσεις (16) μπορούν να γραφούν με τη μορφή: a a

a

a

(17)

Ονομάζοντας το διάνυσμα των φασικών ρευμάτων,

το

διάνυσμα των συμμετρικών τους συνιστωσών και 1 1 1a a 1a a 1 τον πίνακα

των συντελεστών του συστήματος εξισώσεων που σχηματίζουν οι σχέσεις (17),

αυτές μπορούν πλέον να γραφούν με τη μορφή:

c-

b-

Σύστημα Αρνητικής Ακολουθίας

α-

α0 b0

c0

Σύστημα Μηδενικής Ακολουθίας



16

· (18)

Eπιλύοντας τη σχέση αυτή ως προς , προκύπτει η σχέση

· (19)

όπου 1 a a1 a a1 1 1

Oι σχέσεις (18) και (19) επιτρέπουν τον υπολογισμό των συμμετρικών συνιστωσών

των ασύμμετρων φασικών ρευμάτων και το αντίστροφο.

Οι συμμετρικές συνιστώσες μπορούν να εφαρμοστούν και για τις φασικές τάσεις .

Αν είναι το διάνυσμα των φασικών τάσεων και

το

διάνυσμα των συμμετρικών τους συνιστωσών,

· (20)

και

·

(21)

Oι σχέσεις (20) και (21) επιτρέπουν τον υπολογισμό των συμμετρικών συνιστωσών

των ασύμμετρων φασικών τάσεων και το αντίστροφο.



17

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΛΕΣΤΗ a

a 1120 cos120 j sin 120 0,5 j √ 3

2

a 1240 cos240 j sin 240 0,5 j √ 32

a 1360 1 j0 1 a a a a a a a a a 1120 1240 a a 1240 1120 a

a a 1 0

a a 1

Στο σχήμα 5 παρουσιάζεται ένα ασύμμετρο σύστημα από τα διανύσματα a, b και c

Στο σχήμα 6 παρουσιάζεται η ανάλυση του ασύμμετρου συστήματος του σχήματος

5 σε συμμετρικές συνιστώσες. Στο σχήμα αυτό, οι συνιστώσες θετικής ακολουθίας

καθενός από τα διανύσματα a, b και c είναι σχεδιασμένες με κόκκινο χρώμα. Οι

συνιστώσες αρνητικής ακολουθίας είναι σχεδιασμένες με μπλε χρώμα, ενώ οι

συνιστώσες μηδενικής ακολουθίας είναι σχεδιασμένες με πράσινο χρώμα. Τέλος, στο σχήμα 7 παρουσιάζονται τα τρία ακολουθιακά συστήματα που

χρησιμοποιήθηκαν για την αναπαράσταση του ασύμμετρου συστήματος

διανυσμάτων.

Σχήμα 5: ασύμμετρο σύστημα Σχήμα 6: ανάλυση σε συμμετρικές

συνιστώσες



18

Σχήμα 7α: Σύστημα θετικής

ακολουθίας

Σχήμα 7β:Σύστημα αρνητικής


Σχήμα 7γ: Σύστημα μηδενικής


ΙΣΧΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ

Η συνολική ισχύς που διακινείται σε ένα τριφασικό δίκτυο είναι ίση με το άθροισμα

των ισχύων που διακινεί κάθε μία από τις φάσεις του δικτύου:

Sφ V I V I

(22)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι:

και

η σχέση (22) γίνεται:

3

3 3 3 3



19

a

c

a’

b’

c’

Z a

Z b

Z c

Ia

Ic

Ib b

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ

Υποθέτουμε ένα στοιχείο δικτύου το οποίο

χαρακτηρίζεται από αντιδράσεις φάσεων Z a , Z b

και Ζ c. Εάν τα φασικά ρεύματα είναι Ia , Ib και Ic ,

Οι πτώσεις τάσης που θα αναπτύσσονται στις

τρείς φάσεις αυτού θα είναι,

0 00 00 0

Συμβολίζοντας με το διάνυσμα των φασικών πτώσεων τάσεως, με το

διάνυσμα των φασικών ρευμάτων και με και τα διανύσματα των

συμμετρικών τους συνιστωσών προκύπτει:

Το γινόμενο αποτελεί τον πίνακα αντιδράσεων οποίος συνδέει τις

ακολουθιακές πτώσεις τάσης με τα ρεύματα που ρέουν κατά μήκος των

ακολουθιών. Συμβολίζεται με και τα στοιχεία του υπολογίζονται ως εξής,

13 1 a a1 a a1 1 1 0 00 00 0 1 1 1a a 1a a 1

13 a a a a 1 1 1a a 1a a 1

13 a a a a a a a a a a a a a a a

Δεδομένου ότι τα ηλεκτρικά δίκτυα κατασκευάζονται συμμετρικά, παρουσιάζουν

ίσες φασικές αντιδράσεις (

), οπότε ο μετασχηματισμένος πίνακας

αντιδράσεων γίνεται:



20

a

b

c

Ea

Eb

Ec

jXn

Ζ+

Ea

Ia+

0 00 0

0 0

και οι ακολουθιακές πτώσεις τάσης εξαρτώνται μόνον από τις μεταβολές του

ρεύματος της αντίστοιχης ακολουθίας. Το γεγονός αυτό επιτρέπει τη χρήση της

μεθόδου των συμμετρικών συνιστωσών για την ανάλυση ασύμμετρων

βραχυκυκλωμάτων.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΩΝ

Οι εσωτερικές τάσεις μιας

σύγχρονης γεννήτριας ικανοποιούν

τις σχέσεις: ||0 ||240 a ||120 a

Υπολογίζοντας τις συμμετρικές συνιστώσες των τάσεων αυτών, προκύπτει ότι:

13 1 a a1 a a1 1 1

13 1 a a1 a a1 1 1

a a

00

Συνεπώς, μόνο το κύκλωμα θετικής ακολουθίας της γεννήτριας περιλαμβάνει πηγή

τάσης.

Κύκλωμα θετικής ακολουθίας

Η αντίδραση του κυκλώματος θετικής ακολουθίας

εξαρτάται από τη χρονική περίοδο που εξετάζεται και

παίρνει τις τιμές:

" υπομεταβατική περίοδο

μεταβατική περίοδο

μόνιμη κατάσταση



21

Ζ-

Ia0

3jXn

Zg0

Κύκλωμα αρνητικής ακολουθίας

Επειδή οι γεννήτριες είναι ενεργά στοιχεία, η αντίδραση που

παρουσιάζουν τα τυλίγματά τους στη ροή ρευμάτων αρνητικής

ακολουθίας είναι διαφορετική από την αντίδραση θετικής

ακολουθίας.

Κύκλωμα μηδενικής ακολουθίας

Από τη σχέση (19) προκύπτει ότι

1 a a1 a a

1 1 1

3.

Σύμφωνα με τη σχέση αυτή, η αντίδραση που

παρεμβάλλεται μεταξύ του ουδετέρου της

γεννήτριας και της γης διαρρέεται από ρεύμα

τριπλάσιο από το ρεύμα μηδενικής ακολουθίας. Η

πτώση τάσης που προκαλείται κατά μήκος της λοιπόν είναι ίση με 3 · .

Προκειμένου λοιπόν στο κύκλωμα μηδενικής ακολουθίας να αναπαρίσταται σωστά

αυτή η πτώση τάσης, η τιμή της αντίδρασης γείωσης του ουδετέρου της γεννήτριας

στο κύκλωμα αυτό εμφανίζεται τριπλασιασμένη. Εκτός από την αντίδραση αυτή, το

κύκλωμα μηδενικής ακολουθίας περιλαμβάνει επίσης την αντίδραση που

παρουσιάζουν τα τυλίγματα της γεννήτριας στη ροή ρευμάτων μηδενικής

ακολουθίας.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣΣτην περίπτωση των γραμμών μεταφοράς, επειδή λόγω της τριφασικής συμμετρίας

το συνολικό ρεύμα του ουδετέρου είναι ίσο με μηδέν, δεν υπάρχει ουδέτερος

αγωγός. Σε περίπτωση ασυμμετρίας, τα τυχόν εμφανιζόμενα ρεύματα μηδενικής

ακολουθίας χρησιμοποιούν ως μέσο όδευσης τη γη και τους αγωγούς προστασίας

της γραμμής, εφόσον η γραμμή είναι εφοδιασμένη με αγωγούς προστασίας. Κατά

συνέπεια, η αντίδραση των γραμμών μεταφοράς στη ροή ρευμάτων μηδενικής

ακολουθίας έχει μεγαλύτερες τιμές από τις αντιδράσεις στη ροή ρευμάτων θετικής



22

ή αρνητικής ακολουθίας που ταυτίζονται με την αντίδραση που παρουσιάζει η

γραμμή σε συνθήκες κανονικής λειτουργίας.

Σε περίπτωση που η τιμή της αντίδρασης μηδενικής ακολουθίας μιας γραμμής δεν

είναι διαθέσιμη, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι πιο κάτω προσεγγιστικές σχέσεις:

Για γραμμές μεταφοράς απλού κυκλώματος, ΖΖ 3.5, αγωγός προστασίας

ΖΖ 2, αγωγός προστασίας

Για γραμμές μεταφοράς διπλού κυκλώματος,

ΖΖ 5.5, αγωγός προστασίας

Ζ Ζ 3, αγωγός προστασίας

Για υπόγεια ή υποβρύχια καλώδια,

~. ,για μονοπολικά

ΖΖ 3~5, για τριπολικά

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΩΝ

Όπως και στην περίπτωση των γραμμών μεταφοράς, οι αντιδράσεις θετικής και

αρνητικής ακολουθίας ενός μετασχηματιστή είναι ίσες μεταξύ τους και ταυτίζονται

με την αντίδραση διαρροής του μετασχηματιστή.

Δεδομένου ότι τα ρεύματα μηδενικής ακολουθίας χρησιμοποιούν τη γη ως μέσο

όδευσης, η ροή ρευμάτων μηδενικής ακολουθίας μέσω ενός μετασχηματιστή,

εξαρτάται από τον τρόπο σύνδεσης των τυλιγμάτων του και τις συνθήκες γείωσής

τους. Κατά συνέπεια, το κύκλωμα μηδενικής ακολουθίας ενός μετασχηματιστή

εξαρτάται από τη συνδεσμολογία των τυλιγμάτων του. Στον πίνακα που ακολουθεί

συνοψίζονται τα κυκλώματα μηδενικής ακολουθίας ενός μετασχηματιστή για τις πιο

συχνά χρησιμοποιούμενες συνδεσμολογίες.



23



24

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Η διαδικασία στηρίζεται στην κατασκευή των δικτύων θετικής, αρνητικής και

μηδενικής ακολουθίας του συστήματος και στη διασύνδεση τους ανάλογα με τον

τύπο του ασύμμετρου βραχυκυκλώματος, για την κατασκευή του τελικού δικτύου

από το οποίο θα υπολογισθούν οι συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος και της

τάσης μετά το βραχυκύκλωμα στη θέση του βραχυκυκλώματος. Από αυτές

υπολογίζονται οι συμμετρικές συνιστώσες των ρευμάτων σε άλλα σημεία του

δικτύου, εφ’ όσον χρειάζονται, με την βοήθεια των αντίστοιχων ακολουθιακών

δικτύων. Το προσφαλματικό ρεύμα φορτίου μπορεί να ληφθεί υπ’ όψη είτε με

πρόσθεση του στις συνιστώσες θετικής ακολουθίας, είτε με υπολογισμό των

εσωτερικών τάσεων των μηχανών.

Για την πραγματοποίηση της πιο πάνω διαδικασίας ακολουθούνται τα παρακάτω

βήματα:

I. Ανάλογα με το είδος του βραχυκυκλώματος γράφονται οι χαρακτηριστικές

τιμές που παίρνουν οι φασικές τάσεις και τα ρεύματα στο σημείο του

βραχυκυκλώματος.

II. Μετατροπή των συνθηκών που χαρακτηρίζουν τις φασικές ποσότητες, σε

συνθήκες που χαρακτηρίζουν τις συμμετρικές συνιστώσες τους.

III. Από τις συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών καθορίζεται και ο τρόπος

σύνδεσης των ακολουθιακών δικτύων, για την κατασκευή του τελικού

δικτύου.

IV. Από το τελικό δίκτυο υπολογίζονται οι συμμετρικές συνιστώσες του

ρεύματος και της τάσης στη θέση του βραχυκυκλώματος.

V.

Υπολογισμός των φασικών τιμών των ρευμάτων και των τάσεων στη θέσητου βραχυκυκλώματος.

VI. Εφ’ όσον απαιτείται λαμβάνεται υπ’ όψη το ρεύμα φορτίου στις γραμμές

μεταφοράς: α)με πρόσθεση του στις συνιστώσες θετικής ακολουθίας αν

χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του THEVENIN στο κύκλωμα θετικής

ακολουθίας. β)το ρεύμα αυτό λαμβάνεται αυτόματα υπ’ όψη αν στο

κύκλωμα θετικής ακολουθίας χρησιμοποιήσουμε τις εσωτερικές Η.Ε.Δ. των

μηχανών.



25

Τα παραπάνω βήματα θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των περιπτώσεων

των εξής ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων:

Μονοφασικό βραχυκύκλωμα ως προς γη μέσω αντίστασης Ζσ.

Μονοφασικό βραχυκύκλωμα ως προς γη.

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δυο φάσεων μέσω αντίστασης Ζσ.

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δύο φάσεων.

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δύο φάσεων ως προς γη μέσω αντίστασης Ζσ.

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δύο φάσεων ως προς γη.



26

Μονοφασικό βραχυκύκλωμα ως προς γη μέσω αντίστασης Ζσ .

Ισοδύναμο κύκλωμα:

Ι . Φασικές συνθήκες

Οι φασικές συνθήκες που ισχύουν για την περίπτωση αυτή είναι :

,

0,

0

Επομένως, τα διανύσματα των φασικών τάσεων και των φασικών ρευμάτων είναι:

και 00

ΙΙ . Μετατροπή των φασικών συνθηκών σε συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών .

13 1 a a1 a a1 1 1 13 a a a a

13 1 a a

1 a a1 1 1

00 13



27

Επομένως τα τρία ακολουθιακά ρεύματα είναι ίσα. Προσθέτοντας κατά μέλη τις

τιμές των ακολουθιακών τάσεων προκύπτει:

13 a a a a 13 3 a a 1 a a 1

Για το ρεύμα Ια ισχύει ότι,

Αντικαθιστώντας αυτή την σχέση σ’αυτή των ακολουθιακών τάσεων έχουμε, 0

ΙΙΙ . Σύνδεση ακολουθιακών δικτύων

Οι συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών καθορίζουν τον τρόπο σύνδεσης των

ακολουθιακών δικτύων, για την κατασκευή του τελικού δικτύου, από το οποίο

υπολογίζονται οι συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος βραχυκύκλωσης. Οι

βασικοί κανόνες που ακολουθούνται είναι οι παρακάτω:

1)Δυο ακολουθιακά δίκτυα συνδέονται παράλληλα όταν οι τάσεις είναι ίσες ή τα

ρεύματά τους αντίθετα.

2)Δυο ακολουθιακά δίκτυα συνδέονται σε σειρά όταν τα ρεύματά τους είναι ίσα.

Για το δίκτυο θετικής ακολουθίας ενός συστήματος χρειάζεται, εκτός από τα άλλα,

να υπολογιστεί η προσφαλματική κατάσταση του συστήματος. Έτσι, για την

παράσταση του δικτύου θετικής ακολουθίας θα χρησιμοποιηθεί το θεώρημα

THEVENIN, για να υπολογισθεί η προσφαλματική τάση στο σημείο

βραχυκυκλώματος, .

Τα τρία ακολουθιακά κυκλώματα συνδέονται σε σειρά γιατί: 0aaa I I I ενώ σε

σειρά με κάθε ακολουθιακό δίκτυο υπάρχει η Ζσ λόγω της άλλης συνθήκης.



28

IV. Υπολογισμός Σ . Σ ρευμάτων και τάσεων στο σημείο του βραχυκυκλώματος

Από το ισοδύναμο κύκλωμα προκύπτουν οι τιμές των ακολουθιακών τάσεων και

των ακολουθιακών ρευμάτων:

3

3 3 3 3

3

Στις σχέσεις αυτές, , είναι οι αντιδράσεις Thevenin τωνκυκλωµάτων θετικής, αρνητικής και µηδενικής ακολουθίας του δικτύου,υπολογισµένες από το σηµείο του σφάλµατος.V.Υπολογισμός φασικών τιμών των ρευμάτων και τάσεων βραχυκυκλώματος

1 1 1a a 1a a 1

Ζ+

Ζ-

Ζ0

Va+

Va-

Va0

Ia+

Ia+

Z++Ζ-+Ζ0+3Ζσ 3Ζσ



29

3 3 a 3 a

3

a 3 a 3 Για το ρεύµα είναι,

1 1 1a a 1a a 1 300

3

3 0 cb I I Στην περίπτωση στερεού μονοφασικού βραχυκυκλώματος ισχύει η παραπάνω

διαδικασία υπολογισμού με τη διαφορά ότι λαμβάνεται υπ’όψη ότι η Ζσ=0.

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δυο φάσεων μέσω αντίστασης Ζ σ .


Ι . Οι φασικές συνθήκες είναι:

0



30


και 0

ΙΙ . Μετατροπή των φασικών συνθηκών σε συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών

13 1 a a1 a a1 1 1

13 a a a a 2

13 1 a a1 a a1 1 1 0

13 a aa a0

13 a a a a

13 a a

Είναι όμως,

13 a a a a 3

Αντικαθιστώντας αυτή την σχέση σ’αυτή των ακολουθιακών τάσεων έχουμε,

13 3


Από τις παραπάνω συνθήκες συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν μόνο τα δίκτυα θετικής

και αρνητικής ακολουθίας που συνδέονται παράλληλα γιατί aa I I , ενώ μεταξύ

τους υπάρχει η Ζσ διότι Z I V V aaa )( .



31


Από το ισοδύναμο κύκλωμα προκύπτουν οι τιμές των ακολουθιακών ρευμάτων και

των ακολουθιακών τάσεων:

0

V. Υπολογισμός φασικών τιμών των ρευμάτων και τάσεων βραχυκυκλώματος

1 1 1

a

a

1a a 1

0

2

Ζ+ Ζ-

Va+ Va-

Ia+

Z++Ζ-+Ζσ

Ia-

Ia+

Ζσ



32

1 1 1a a 1a a

1

0

0 0

a a √ 3 √ 3

√ 3

Στην περίπτωση του στερεού διφασικού βραχυκυκλώματος η διαδικασία

υπολογισμού είναι η ίδια με τη μόνη διαφορά ότι λαμβάνεται υπ’ όψη ότι 0 .

Βραχυκύκλωμα μεταξύ δυο φάσεων ως προς γη μέσω αντίστασης Ζ σ .


Ι . Οι φασικές συνθήκες είναι:




33

και 0

ΙΙ . Μετατροπή των φασικών συνθηκών σε συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών

13 1 a a1 a a1 1 1

13 aVb a a a 2

13 1 a a1 a a1 1 1 0

13 a aa a

13 a a 2

13

a

a

2a a 1 3 3

13 3 3

3


Από τις παραπάνω συνθήκες συμπεραίνουμε ότι τα δίκτυα θετικής και αρνητικής

ακολουθίας συνδέονται παράλληλα γιατί aa V V . Παράλληλα με αυτά συνδέεται

το κύκλωμα που αποτελείται από το δίκτυο μηδενικής ακολουθίας σε σειρά με

αντίδραση 3Ζσ γιατί 00 3aa

I Z V V .



34


Από το ισοδύναμο κύκλωμα υπολογίζονται οι τιμές των ακολουθιακών ρευμάτων

και τάσεων:

3 3

3 3 3 3

3 3

Οι Σ. Σ της τάσης στη θέση του βραχυκυκλώματος είναι:

Ζ+

Z-*Z03Ζ‐ΖσZ-+Z03Ζσ Va+

Ia+

Ζ+ Ζ-

Va+ Va-

Ia+ Ia-

Ζ0 Va0

Ia0

ZZ‐ 3 Z‐Z0 3

3Ζσ

Ζ+ Ζ-

Va+ Va-

Ia+ Ia-

Ζ0+3Ζσ Va0

Ia0



35

3 3

3 3

V. Υπολογισμός φασικών τιμών των ρευμάτων και τάσεων βραχυκυκλώματος

V

Z Z Z

V )(3

)2(3

00

0

V

Z Z V V cb

)(3

3

00

0a I

V

Z Z j Z I b

)(3

)3(3)1a(

00

0

2

V

Z Z j Z I c

)(3

)3(3)1a(

00

0

Στην περίπτωση του στερεού διφασικού βραχυκυκλώματος ως προς γη η

διαδικασία υπολογισμού είναι η ίδια με τη μόνη διαφορά ότι λαμβάνεται υπ’ όψη

ότι 0

.



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

[1] W. D. Stevenson, Jr.: “Elements of Power System Analysis”, 4 th edition,

McGraw-Hill Book Company, 1982.

[2] E. Guile, W. Paterson: “Electrical Power Systems” (vol. 1&2), Pergamon Press,

1977.

[3] O. I. Elgerd, “Electric Energy Systems Theory: An Introduction”, 2nd edition,

McGraw-Hill Book Company, 1982.

[4] Gross, “Power Systems Analysis”, John Wiley & Sons, 1979.

[5] M. Weedy, “Electric Power Systems”, 3rd edition, John Wiley & Sons Ltd, 1979.

[6] N. Bοβός, Γ. Γιαννακόπουλος, «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής

Ενέργειας», ISBN 978-960-456-105-6, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ, 2009.

[7]

N. Bοβός, Γ. Γιαννακόπουλος, «Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας»,ISBN 978-960-456-107-0, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ, 2009

[8] Π. Nτοκόπουλος, Δ. Λαμπρίδης, «Μεταβατικά Φαινόμενα στα Συστήματα

Ηλεκτρικής Ενέργειας», ISΒΝ 960-431-297-9, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ

[9] Π. Nτοκόπουλος, Δ. Λαμπρίδης, Γ. Παπαγιάννης, «Συστήματα Ηλεκτρικής

Ενέργειας», Τόμος Α, ISBN 960-456-020-4, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ

Ok 02 Σημειώσεις_θεωρίας

Documents

Transcript of Ok 02 Σημειώσεις_θεωρίας