OE_Pavic,_Felja_-_Rjesenja_zbirke_zadataka_-_3._ciklus_-_Tjedan_10-12_2009-10

Rjesenja zbirke zadataka iz Osnova Elektrotehnike za 3. ciklus

by: hmp

January 21, 2010

1.1 Zadatak X.1-1

Izracunajte potencijale cvorova 1 i 2 u prikazanom spoju el. elemenata. Koristite metodu naponacvorova. Koliki je napon U12 te kolika struja prolazi kroz R3?

čvor 1 čvor 2

R1

R3

R2I1 I2

Zadano R1 = 2Ω R2 = 6Ω R3 = 3Ω I1 = 4A I2 = 2A

Koristimo metodu potencijala cvorova kako je i navedeno u zadatku:

ϕ1(1

R1

+1

R3

) − ϕ2 · 1R3

= I1 (1.1)

ϕ2(1

R2

+1

R3

) − ϕ1 · 1R3

= −I2 (1.2)

Sada izmnozimo zagrade i rjesavamo 2 jdbe s 2 nepoznanice:

712

ϕ1 − 112

ϕ2 = 4 (1.3)

312

ϕ2 − 112

ϕ1 = −2 (1.4)

Mnozimo prvu jdbu s 36, a drugu s 12 - da bi mogli pokratiti ϕ2

21ϕ1 − 3ϕ2 = 144 (1.5)

−ϕ1 + 3ϕ2 = −24 (1.6)

−ϕ1 + 21ϕ1 = 144 − 24 −→ ϕ1 = 6V (1.7)

1

Sada to ubacujemo u (5) i dobivamo da je ϕ2 = −6V . Sada trazimo napon U12 i onda strujuI3. Vidimo da je potencijali ϕ1 veci, tako da ce struja teci od 1 prema 2.

U12 = ϕ1 − ϕ2 = 12V (1.8)

I3 =U12

R3

=12V

12Ω= 1A (1.9)

2

1.2 Zadatak X.1-2

Odredite struju u granama prikazane mreze a) izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona b) Mill-manovom metodom

R3

R1 R2

U1U2

I1 I2

I3

A

B

Zadano je: R1 = 3Ω R2 = 3Ω R3 = 6Ω U1 = 24V U2 = 12V

Rjesavat cemo zadatak samo Millmanovom metodom, jer je lakse, brzi i to spada u gradivotreceg ciklusa. Na ispitu Vas nitko ne pita koju metodu ste upotrijebili.

UAB =U1

R1+ U2

R2

1

R1+ 1

R2+ 1

R3

=12

3+ 24

3

1

3+ 1

3+ 1

6

=725

= 14.4V (1.1)

UAB = ϕA − ϕB −→ ϕA = 14.4V (1.2)

Sada moramo izracunati napone na otporima, to cemo racunati tako da cemo krenut iz tockeB, tj. od 0V do tocke A i pozbrajati napone. Naponi od A do B moraju bit jednaki naponuUab. Krecemo od lijeve grane, srednja, pa desna. Postujemo smjer ucrtanih struja. Da struje nisuucrtane, onda bi ih mi proglasili bilo kojeg smjera.

+U1 − I1 · R1 = 14.4V −→ I1 =24 − 14.4

3= 3.2A (1.3)

I3 · R3 = 14.4V −→ I3 =14.4

6= 2.4A (1.4)

+U2 − I2 · R2 = 14.4V −→ I1 =12 − 14.4

3= −0.8A (1.5)

3

1.3 Zadatak X.1-3

Na stezaljke izvora a i b prikljucen je (ulazni) napon U. Nadjite napon na stezaljkama trosilaodnosno napon izmedju tocaka c i d. Koji je odnos tih napona Ucd/Uab=? Zadatak rjesite na trinacina: 1. kao mjesoviti spoj otpornika 2. pomocu Theveninove metode. 3. Nortonove metode

R

R R

U

Rt

a

b d

c

Zadano: U = 12V ; Rt = 100Ω R = 57.735Ω

Prvo cemo upotrijebiti Theveninovu metodu, a zatim i Nortonovu. Zadatak necemo rjesavatipomocu mjesovitog spoja otpora, jer je to postupak za 1. ciklus i trebao bi biti trivijalan.

Tako cemo prvo traziti Theveninov otpor RT , a zatim i Theveninov napon UT . Prvo ugasimoizvor, odspojimo Rt i trazimo Theveninov otpor, tj. otpor izmedju A i B.

R

R R

a

b d

c

A

B

RT = (R || R) + R =57.735 · 57.735

2 · 57.735+ 57.735 = 86.6025Ω (1.1)

Napon UT je upravo napon izmedju tocaka x i y, odnosno napon na otporu izmedju njih. Toje zato sto u desnoj grani ne tece struja, pa na desnome otporu nema pada napona. Vidimo da suotpori isti (R) pa se napon dijeli na pola, odnosno na oba je napon 6V, pa iz toga zakljucujemo daje UT = 6V .

4

R

R R

U

a

b d

c

A

B

y

x

Uxy = UT =U

2= 6V (1.2)

Sada mozemo izracunati napon na Rt iz Theveninove nadomjesne sheme.

IT

UT

RT

Rt

IT =UT

RT + Rt=

6V

186.6025Ω= 32.15mA (1.3)

Ut = IT · Rt = 3.215V (1.4)

Ucd

Uab

=Ut

U=

3.21512

= 0.2679 = 26.79% (1.5)

Sada mozemo istu stvar racunati i preko Nortonovog teorema, pri tome znamo da je RN =RT = 86.6025Ω. Da bismo izracunali IN trebamo kratko spojiti tocke A i B, te naci struju koja idekroz tu granu. Kao sto vidimo to je polovina ukupne struje, jer su otpori jednaki (R).

R

R R

U

a

b d

c

A

B

y

x N

5

IN =I

2=

12

· U

RN

= 69.28mA (1.6)

Sada napravimo nadomjesnu Nortonovu shemu i racunamo struju kroz Rt, tj. struju IN2

IN

RtRN

IN IN1 IN2

IN2 =IN · RN

RN + Rt= 32.04mA (1.7)

Ut = IN2 · Rt = 3.215V (1.8)

Ucd

Uab

=Ut

U=

3.21512

= 0.2679 = 26.79% (1.9)

6

1.4 Zadatak X.1-4

Odredite struje grana na ove nacine a) izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona. (jdbe trebanapisati u skladu s oznacenim smjerom obilazenja kontura) b) metodom napona cvorova c) super-pozicijom.

R2

R1 R3

U1U3

IR3

U2

IR3

IR2

1. 2.

A

B

Zadano je: R1 = 16Ω R2 = 4Ω R3 = 24Ω U1 = 72V U2 = 8V U3 = 48V

Rjesiti cemo zadatak samo metodom napona cvorova, odnosno Millmanovom metodom. Donjicvor mozemo uzemljiti pa pisemo Millmana:

UAB =U1

R1+ U2

R2+ U3

R3

1

R1+ 1

R2+ 1

R3

=72

16+ 8

4+ 48

24

1

16+ 1

4+ 1

24

=40817

= 24V (1.1)

Sada moramo izracunati napone na otporima, to cemo racunati tako da cemo krenut iz tockeB, tj. od 0V do tocke A i pozbrajati napone. Naponi od A do B moraju bit jednaki naponuUab. Krecemo od lijeve grane, srednja, pa desna. Postujemo smjer ucrtanih struja. Da struje nisuucrtane, onda bi ih mi proglasili bilo kojeg smjera.

−IR1 · R1 + U1 = 24V −→ IR1 =72 − 24

16= 3A (1.2)

+U2 + IR2 · R3 = 24V −→ IR2 =24 − 8

4= 4A (1.3)

−IR3 · R3 + U3 = 24V −→ IR1 =48 − 24

24= 1A (1.4)

7

1.5 Zadatak X.1-5

U prikazanom mosnom spoju izracunajte struju kroz otpornik u dijagonali mosta. Kolika bi bilastruja kroz dijagonalu mosta kada je taj otpor (R) jednak nuli? Koliki treba biti R1 da bi strujakroz otpornik R bila jednaka nuli? Primjenite Theveninovu ili Nortonovu metodu.

R1

R

R2

R3

R4

U

Zadano je: U = 72V R = 5Ω R1 = 6Ω R2 = 3Ω R3 = 12Ω R4 = 4Ω

Rjesiti cemo zadatak pomocu Theveninove metode, jer bas ne volim Nortona pretjerano, a ubiti je ista stvar. Prva stvar koju trebamo naci je Theveninov otpor. To znaci da moramo odspojitiotpor R, te kratko spojiti izvor.

R1

R2

R3

R4

a b

Sada treba prepoznati spoj. Mozda nekima nije ocito vidljivo o kakvome se spoju radi, pa cemona shemu postaviti neku struju koja ce ici od a do b, te gledati kako ce ona ulaziti u otpornike, akako izlaziti. Na taj nacin cemo najlakse prepoznati spoj,

8

R1

R2

R3

R4

a b

Sada kada smo to ucrtali, treba vidjeti da su ova dva otpora koja su naizgled spojeni serijski,

zapravo spojeni paralelno. Kada shemu nacrtamo pojednostavljeno, to izgleda ovako:

R1

R2

R3

R4

a b

Sada mozemo izracunati Theveninov otpor:

RT = (R1 || R2) + (R3 || R4) = 5Ω (1.1)

Nakon sto smo izracunali Theveninov otpor, moramo izracunati Theveninov napon, odnosnonapon izmedju tocaka a i b. Da bismo to napravili, moramo vratiti izvor i izracunati struje krozte grane, te zatim krenuti od b do a i pozbrajati napone.

R1

R2

R3

R4

a b

1 2

9

I1 =U

R1 + R2

=729

= 8A (1.2)

I2 =U

R3 + R4

=7216

= 4.5A (1.3)

Uab = UT = I2 · R3 − I1 · R1 = 4.5 · 12 − 8 · 6 = 6V (1.4)

Sada radimo Theveninovu nadomjesnu shemu:

IT

UT

RT

R

Racunamo ukupnu struju:

IT =UT

RT + R=

65 + 5

= 0.6A (1.5)

To je struja koja se trazi u zadatku. Kada je R = 0 onda struja iznosi:

IT =UT

RT + R=

65 + 0

= 1.2A (1.6)

Sada u zadatku trazi da je struja kroz dijagonalu mosta jednaka 0, a to je upravo ravnotezamosta koja se racuna tako da umnosci otpora po dijagonali moraju biti jednaki:

R1 · R4 = R3 · R2 −→ R1 =R3 · R2

R4

=12 · 3

4= 9Ω (1.7)

10

1.6 Zadatak X.1-6

U prikazanom spoju elemenata odredite struju koju mjeri ampermetar a) Theveninovom metodomtako da spoj podjelite po presjeku aa’ i bb’. b) Millmanovom metodom. Koliki je potencijal lijevei desne stezaljke ampermetra (Ra = 0)?

A

3 9

12V

a

a'

6 3

b

b'

2A

Prvo cemo rjesavat Theveninovom metodom. Kada kaze da nesto nadomjestite (u ovom slucajupodijelite), onda radite Thevenina, samo bez odspajanja icega. Dakle, ovdje cemo imati dvijeTheveninove nadomjesne sheme spojene u jednu.

Sada prvo nadomjestamo lijevu, pa desnu stranu:

3 9

12V

a

a'

Racunamo Theveninov otpor i Theveninov napon. Theveninov otpor se racuna tako da senaponski izvor kratko spoji, pa imamo samo 2 paralelna otpora:

RT 1 = 3 || 9 =2712

Ω (1.1)

Theveninov napon u ovome slucaju, tj. napon izmedju tocaka a i b je upravo jednak padunapona na ovih 9Ω, pa ga idemo izracunati:

I1 =12V

3Ω + 9Ω= 1A (1.2)

11

UT 1 = 1A · 9Ω = 9V (1.3)

Sada gledamo desnu stranu:

6 3

b

b'

2A

Isto tako racunamo Theveninov otpor i napon. Opet imamo dva paralelno spojena otpora, jertrebamo odspojit strujni izvor:

RT 1 = 6 || 3 = 2Ω (1.4)

Sada racunamo napon, a to je najlakse tako da izracunamo ovu paralelu u jedan otpor, ipomnozimo s strujom koju daje strujni izvor da bismo dobili napon na tom otporu, a to je ujednoi napon izmedju b i b’, odnosno Theveninov napon.

R2uk = 6 || 3 = 2Ω (1.5)

UT 2 = 2Ω · 2A = 4V (1.6)

Sada radimo nadomjesnu Theveninovu shemu, s ovim vrijednostima koje smo dobili:

27

122

9V 4V

a b

a' b'

A

Sada mozemo preko npr. preko superpozicije. Mogli bi i zbrajanjem izvora, ali onda bi moralipaziti na to da micemo i vracamo ovo uzemljenje, tako da bi to moglo zbuniti neke, zasto se moraprvo maknuti, pa vratiti.

12

1. slucaj superpozicije:

27

122

9V

a b

a' b'

AI1

I1 =9V

27

12Ω + 2Ω

= 2.1176A (1.7)

2. slucaj superpozicije:

27

122

4V

a b

a' b'

AI

I2 =4V

27

12Ω + 2Ω

= 0.9411A (1.8)

Sada je ukupna struja jednaka:

I = I1 − I2 = 1.1765A (1.9)

I sada bilo kojim putem od uzemljenja do tocke a ili b (istog su potencijala, jer je otporampermetra jednak nuli) dobivamo potencijal stezaljke ampermetra, mozemo npr. desno:

ϕa = ϕb = +4V + I · 2Ω = 6.353V (1.10)

Drugi nacin rjesavanja je koristenje Millmanove metode. Ovaj krug ima 2 cvora, jer ampermetar

13

mozete zamjeniti kratkim spojem (Ra = 0Ω)

Uaa′ = Ubb′ =12

3+ 2

1

3+ 1

9+ 1

6+ 1

3

= 6.353V (1.11)

Uaa′ = ϕa − ϕa′ −→ ϕa = ϕb = 6.353V (1.12)

Sada treba izracunati struju, a to nam je najlakse tako da zapisemo jdbu nekog cvora, najlaksecvora a. Mi pretpostavimo neke smjerove struja, pa ako dobijemo minus u rjesenju znaci da smokrivo pretpostavili, ali to nam nije ni bitno.

A

3 9

12V

a

a'

6 3

b

b'

2A

IAI2

I1

+

+

Prvo zapisemo jdbu cvora a:

I1 + IA = I2 (1.13)

I2 =Uaa′

9Ω= 0.705A (1.14)

Sada idemo pozbrajat napone u lijevoj grani kako bismo izracunali struju kroz nju. Krecemood nule (tocke a’) i idemo prema potencijalu tocke a koji je jednak 6.353V, kao sto smo izracunali.

+12V − I1 · 3Ω = 6.353 −→ I1 = 1.882A (1.15)

Sada te rezultate vracamo u (12) i dobivamo

IA = I2 − I1 = −1.176A (1.16)

Mi gledamo apsolutnu vrijednost toga, jer nije ucrtan polaritet ampermetra, a ovo samo znacida je struja suprotnog smjera nego sto smo mi pretpostavili.

14

1.7 Zadatak X.1-7

Koliki je napon izvora ako voltmetar pokazuje UV = 15V oznacenog polariteta.

V

+

10

10 10

5

U1A

2 1

Ovaj zadatak je radjen jos u prvom ciklusu, ali ovdje cemo ga rijesit metodom potencijalacvorova. Imamo ukupno 3 cvora, od kojih znamo potencijal cvora 1 i zemlje. Potencijal cvora 1 jeupravo napon koji mjeri voltmetar, tj. 15V. Pa cemo zapisati metodu potencijala cvorova za tajcvor, gdje je jedina nepoznanica ϕ2:

ϕ1(110

+15

) − ϕ2 · 15

= 1A −→ ϕ2 =352

V (1.1)

Sada mozemo zapisati i metodu potencijala cvorova za cvor 2:

ϕ2(110

+110

+15

) − ϕ1 · 15

=U

10−→ U = 10 · (7 − 3) = 40V (1.2)

15

1.8 Zadatak X.1-8

Odredite napon na otporniku 2R u prikazanom spoju. Koliki je napon ako se promjeni smjerstrujnog izvora?

U U

R

R 2R

4R

I

12

Zadano je: R = 5Ω I = 2A U = 20V

Ovdje cemo opet iskoristiti metodu potencijala cvorova. Potencijal cvora 2 znamo, jer je izmedjuzemlje i njega spojen samo naponski izvor od 20V. Toliki je i potencijal tog cvora. Potencijal cvora1 je jednak i naponu na trazenom otporu, zato sto je otpor spojen izmedju zemlje i tog potencijala.

ϕ1(1R

+1

2R+

14R

) − ϕ2 · 1R

= I +U

4R(1.1)

ϕ1(15

+110

+120

) − 20 · 15

= 2A +2020

−→ ϕ1 = U2R = 20V (1.2)

Kada okrenemo strujni izvor, cijela jdba ostaje ista, samo umjesto dodavanja struje strujnogizvora na desnoj strani jdbe imamo oduzimanje

ϕ1(1R

+1

2R+

14R

) − ϕ2 · 1R

= −I +U

4R(1.3)

ϕ1(15

+110

+120

) − 20 · 15

= −2A +2020

−→ ϕ1 = U2R = 8.57V (1.4)

16

1.9 Zadatak X.1-9

Odredite maksimalnu snagu na otporniku Rv.

U1U2I1 I2

U3

R1 R2RVa b

Zadano je: R1 = 5Ω R2 = 10Ω U1 = U3 = 20V U2 = 30V I1 = I2 = 1A

Kada se trazi maksimalna snaga na otporu najcesce to znaci primjenu Thevenina (ili Nortona).Pa cemo mi ovdje prvo odspojiti sve izvore kako bismo nasli Theveninov otpor, tj. otpor izmedjutocaka a i b.

R1 R2a b

Kao sto vidimo na slici otpor izmedju a i b jednak je serijskom spoju R1 i R2.

Rab = RT = R1 + R2 = 30Ω (1.1)

Sada trebamo izracunati Theveninov napon, te vracamo izvore u shemu. Moramo primjetitida struja ne tece kroz granu gdje se nalazi U3, jer struja tece samo kroz zatvorene krugove, anemoguce je zatvoriti krug kroz tu granu, jer nemamo granu kojom bi se struja vracala nazad.Time zakljucujemo da struja I1 prolazi kroz otpor R1, kao sto i struja I2 prolazi kroz otpor R2.Sada krecemo od nultog potencijala (uzemljenje) i zbrajamo sve napone putem da bismo dobilipotencijale tocaka a i b.

17

U1U2I1 I2

U3

R1 R2a

I0 = 0A

I2

I1

+ +

+U1 + I1 · R1 = 20V + 1A · 20Ω = 40V (1.2)

+U3 − U2 − I2 · R2 = 20V − 30V − 1A · 10Ω = −20V (1.3)

Uab = UT = ϕa − ϕb = 40 − (−20) = 60V (1.4)

Sada napravimo Theveninovu nadomjesnu shemu za ovaj krug sa naponskim izvorom UT iunutarnjim otporom RT . Zatim racunamo struju i preko nje snagu. Otpor Rv mora biti jednakotporu RT kako bi snaga bila maksimalna. Rv = 30Ω

IT

UT

RT

Rv

IT =UT

RT + Rv=

60V

30Ω + 30Ω= 1A (1.5)

PR = I2T · Rv = 12 · 30 = 30W (1.6)

18

1.10 Zadatak X.1-10

Prikazani spoj elemenata nadomjestiti prema a) Theveninovom b) Nortonovom teoremu sa tocakaa i c kao i izmedju tocaka b i c.

a b

I

R R

R

U

Ic

Zadano je: U = 1V R = 1Ω I = 1A

U ovome slucaju moramo nadomjestati spoj prema oba teorema. To radimo prema standardnompostupku, osim sto ne odspajamo nista, jer se trazi nadomjesni spoj. Pa cemo prvo napravitiThevenina za oba slucaja, pa nortona za oba slucaja:

a) 1. Thevenin izmedju tocaka a i c

a b

R R

R

c

Vidimo da je Theveninov otpor (otpor izmedju a i c) jednak samo jednom otporu R, jer su dvadesna kratko spojena.

RT 1 = R = 1Ω (1.1)

Sada moramo vratiti izvore i racunati napon izmedju a i c, a to radimo tako da krenemo od a doc i zbrajamo sve napone putem. Struju kroz lijevi R mozemo jednostavno izracunati ako zapisemo

19

jdbu cvora a:

a b

I

R R

R

U

I 1A

1A

IR1

IR1 = 1A + 1A = 2A (1.2)

Uac = UT 1 = −U + IR1 · R = 1V (1.3)

a) 2. Thevenin izmedju tocaka b i c

a b

R R

R

c

Sada vidimo da je Theveninov otpor jednak paraleli desnih R-ova. Lijevi kraj lijevog otporanije nigdje spojen, tako da njega ne racunamo, pa imamo

RT 2 = R || R = 0.5Ω (1.4)

Napon je malo teze naci nego u prvom slucaju, pa cemo zato uzemljiti jedan cvor, npr. c i ondapomocu metode potencijala cvorova cemo traziti potencijal cvora b. Potencijal cvora 1 znamo, jerizmedju zemlje i njega je spojen samo naponski izvor i on iznosi -1V.

20

a b

I

R R

R

U

I 1

ϕb(1R

+1R

) − ϕ1 · 1R

= −I −→ ϕb = −1V (1.5)

Ubc = ϕb − ϕc = −1V −→ UT 2 = |Ubc| = 1V (1.6)

Sada nortonove nadomjesne parametre mozemo proracunati iz Theveninovih, da ne radimo sadcijeli postupak ponovno, ali ako netko ima izricitu zelju, samo neka radi.

b) 1. Norton izmedju a i c:

IN1 =UT 1

RT 1

= 1A (1.7)

b) 1. Norton izmedju a i c:

IN2 =UT 2

RT 2

= 2A (1.8)

Rjesenja se ovdje malo razlikuju od njihovih, ali ja nisam uspio ni superpozicijom dobit drugacije(trenutno je 2:34am), pa mislim da je tocno.

21

1.11 Zadatak X.1-11

Odredite potencijale cvorova 1, 2, 3 i 4, a zatim izracunajte napone na svim otpornicima vanjskekonture i provjerite rezultat preko KZN.

5 2

4

5 4

3

1

c

3

2

4

20V 10V

Ovdje odmah znamo potencijale dva cvora, jer su izmedju nultog potencijala i njih spojeni samonaponski izvori, a to su ϕ1 = +20V i ϕ3 = +10V . Potencijale ostalih cvorova cemo izracunatipomocu metode potencijala cvorova.

ϕ2(15

+14

+12

) − ϕ1 · 15

− ϕ3 · 12

= 0 −→ ϕ2 =20 · 9

19= 9.473V (1.1)

ϕ4(15

+13

+14

) − ϕ1 · 15

− ϕ3 · 14

= 0 −→ ϕ2 =6.5 · 60

47= 8.297V (1.2)

Napone na otpornicima vanjske konture nema smisla racunati, to je samo razlika potencijalaizmedju dvije tocke izmedju kojih se nalazi taj otpornik. To ostavljam vama.

22

1.12 Zadatak X.1-12

Izracunajte struju kroz oznaceni otpornik R = 1Ω. Kolika je ta struja ako strujni izvor promjenismjer struje.

5

5

2V

1V1A R

1

2

3

Za pocetak smo uzemljili jedan cvor kako bismo mogli koristit metodu napona cvorova. Naovaj nacin automatski znamo potencijale dva cvora, jer je izmedju nultog potencijala i njih spojensamo naponski izvor. To su cvorovi 1 i 2: ϕ1 = +1V i ϕ2 = +2V . Sada pisemo metodu potencijalacvorova za cvor tri, pa cemo napon na oznacenom otporu izracunati kao razliku potencijala izmedju2 i 3.

ϕ3(1R

+11

) − ϕ1 · 11

− ϕ2 · 1R

= 1 −→ ϕ3 = 2V (1.1)

U23 = UR = ϕ2 − ϕ3 = 0V (1.2)

IR =UR

R=

01

= 0A (1.3)

Ako strujni izvor promjeni smjer onda sve ostaje isto, osim sto u jdbi potencijala cvorovamjenjamo predznak s desne strane jdbe:

ϕ3(1R

+11

) − ϕ1 · 11

− ϕ2 · 1R

= −1 −→ ϕ3 = 1V (1.4)

U23 = UR = ϕ2 − ϕ3 = 1V (1.5)

IR =UR

R=

11

= 1A (1.6)

23

1.13 Zadatak X.1-13

Izacunajte potencijal tocke a prije i poslije zatvaranja sklopke.

U1 U3U2

6 3 2

1

a

Zadano je: U1 = U2 = U3 = 10V

Ovdje cemo samo 2 puta upotrijebiti metodu potencijala cvorova, tj. Millmanovu metodu, jerimamo 2 cvora. Jednom za slucaj otvorene sklopke, drugi put za slucaj zatvorene sklopke.

a) Otvorena sklopka

Ua0 =U1

6+ U2

3+ U3

2

1

6+ 1

3+ 1

2

= 10V (1.1)

Ua0 = ϕa − ϕ0 −→ ϕa = 10V (1.2)

b) Zatvorena sklopka

Ua0 =U1

6+ U2

3+ U3

2

1

6+ 1

3+ 1

2+ 1

1

=6012

= 5V (1.3)

Ua0 = ϕa − ϕ0 −→ ϕa = 5V (1.4)

24

1.14 Zadatak X.1-14

Izracunajte otpor R uz koji ce snaga na njemu biti najveca moguca. Kolika je ta snaga?

3.2

4

16

10V

6.8V

10V

10V

R

Prvo cemo racunati Theveninov otpor, sve izvore ugasimo i maknemo trazeni otpor.

3.2

4

16a

b

Vidimo da su ova tri otpora spojena paralelno, pa je ukupni otpor jednak:

1Rab

=1

RT

=1

3.2+

14

+116

−→ RT = 1.6Ω (1.1)

Sada vratimo izvore i racunamo napon izmedju a i b. Najlaksi nacin za to napraviti je izracunatipotencijal tocke 1 preko Millmana, te onda odrediti napon Uab tako da krenemo od 0, zbrajamosve napone i moramo doc do potencijala ϕ1

25

3.2

4

16

10V

6.8V

10V

10V

1 ϕ1 =

−U1

3.2+ −U2

4+ −U3

16

1

3.2+ 1

4+ 1

16

= −10V (1.2)

Sada krecemo od 0 i zbrajamo sve napone:

Uab − 6.8V = ϕ1 −→ |Uab| = UT = 3.2V (1.3)

Sada napravimo Theveninovu nadomjesnu shemu i izracunamo snagu. Nas promjenjivi otporR mora bit jednak RT da bi snaga bila maksimalna:

IT

UT

RT

R

IT =UT

RT + R=

3.23.2

= 1A (1.4)

PR = I2T · R = 1.6W (1.5)

26

2.15 Zadatak XI.1-1

U mrezi na slici izracunajte potencijale cvorova, a zatim struju kroz granu sa Z1

1

2 3

4

+

+

+

+

Z1

U1

Z3

Z2 U2

U6 Z5

U4

Z6

Zadano je: U1 = 4V U2 = j8V U4 = 4 − j4V U6 = −j4V Z1 = 1 + jΩ Z2 = −j2Ω Z3 =1Ω Z5 = jΩ Z6 = j2Ω

Ovdje idemo preko metode napona cvorova, koja vrijedi jednako kao i u istosmjernim kru-govima, samo je racun u kompleksnom podrucju. Ovdje odmah znamo potencijal cvora 3, jer jeizmedju zemlje i njega spojen samo naponski izvor. Njegov potencijal je upravo jednak tom naponu,odnosno ϕ3 = 4 − j4V

Sada pisemo potencijale ostala 2 cvora.

ϕ1(1

Z1

+1

Z5

+1

Z3

) − ϕ2 · 1Z1

− ϕ3 · 1Z5

=−U1

Z1

(2.1)

ϕ2(1

Z1

+1

Z2

+1

Z6

) − ϕ1 · 1Z1

− ϕ3 · 1Z2

=U1

Z1

+U2

Z2

− U6

Z6

(2.2)

Sada je to samo puno matematike i kompleksnog racuna i dobiva se:

1. jdba:

3ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 · (1 + j)j

= −4 (2.3)

27

2. jdba:

ϕ2 − ϕ1 − ϕ3 · (1 + j)2j

= 2 − 2j (2.4)

Sada kada se to rjesi dobije se:

ϕ1 = −1 − 3jV ϕ2 = 1 − jV (2.5)

Sada nas jos trazi struju kroz granu gdje se nalazi Z1. To cemo naci tako da cemo naci naponU21, pa cemo onda pozbrajati sve napone od 1 do 2, i izjednaciti s tim naponom.

U21 = ϕ2 − ϕ1 = 1 − j + 1 + 3j = 2 + 2jV (2.6)

Struju uzimamo u proizvoljnom smjeru, jer nam nije nacrtana na slici, pa cemo uzeti odozgoprema dolje.

+U1 + I1 · Z1 = U21 −→ I1 =U21 − U1

Z1

=2 + 2j − 4

1 + j= 2jA (2.7)

28

2.16 Zadatak XI.1-2

U mrezi prikazanoj na slici, uz otvorenu sklopku voltmetar pokazuje UV = 10V . Odredite strujukroz ampermetar i pokazivanje voltmetra nakon zatvaranja sklopke.

V

A

+

Z1Z2 Z3Z4

IU

a

b

Zadano je: Z1 = 2 + j2Ω Z2 = 2 − j2Ω Z3 = 2Ω Z4 = 1 + j2Ω

Ovdje cemo koristiti Millmana, jer imamo samo dva cvora. Voltmetar ovdje mjeri upravoMillmanov napon, odnosno napon Uab. Prvo cemo morati izraziti nepoznanice iz slucaja kada jesklopka otvorena, pa cemo to iskoristiti kada zatvorimo sklopku.

Raspisujemo Millmana za otvorenu sklopku:

Uab =UZ1

+ I1

Z1+ 1

Z2+ 1

Z3

(2.1)

U zadatku pise da kada je sklopka otvorena, voltmetar pokazuje 10V, odnosno Uab = 10V. Sadamoramo izraziti ovaj brojnik.

U

Z1

+ I = (1

Z1

+1

Z2

+1

Z3

) · Uab (2.2)

Sada pisemo jdbu za zatvorenu sklopku:

Uab =( 1

Z1+ 1

Z2+ 1

Z3) · Uab

1

Z1+ 1

Z2+ 1

Z3+ 1

Z4

= 7.905V (2.3)

IA =Uab

Z4

= 3.53A (2.4)

29

2.17 Zadatak XI.1-3

Izracunajte steruju kroz otpor R = 4Ω′. Koristite postupke a) napone cvorova b) superpoziciju ic) Theveninov teorem.

V

A

+

Z1Z2 Z3Z4

IU

a

b

Rjesit cemo pomocu a) i c), jer b) nije gradivo ovog ciklusa. Prvo cemo metodom naponacvorova, gdje treba rijesiti 2 jdbe s 2 nepoznanice.

ϕ1(15

+1j2

+1R

) − ϕ2

1R

=50 0V

5Ω(2.1)

ϕ2(12

+1

−j2+

1R

) − ϕ2

1R

=50 90V

5Ω(2.2)

Sada se to malo uredi i dobije se:

ϕ1 · 10 + j9j20

− ϕ2

14

= 10 (2.3)

ϕ2 · −2 + j3j4

− ϕ1

14

= j25 (2.4)

Sada to treba rijesiti, preporucam koristenje kalkulatora koji barata s kompleksim brojevima ilinpr. korištenje wolframalphe (moze i Mathematica). Ja sam koristio Wolframalphu jer je trenutno3:21am, pojma nemam gdje mi je kalkulator. Pa alpha kaze:

ϕ1 =40053

+ i125053

V ϕ2 =110053

+ i145053

V (2.5)

U12 = ϕ1 − ϕ2 =−700 − j200

53V = 13.73V (2.6)

IR =U12

R=

13.734

= 3.43A (2.7)

30

Drugi nacin rjesavanja jest koristenje Theveninove metode. Prvo trazimo Theveninov otpor, ato radimo tako da ugasimo izvore i maknemo otpor na kojem trazimo napon.

1 2

Sada gledajuci iz tocaka 1 i 2, vidimo da su otpor i zavojnica s lijeve strane paralelno spojeni ito je serijski spojeno s paralelnim spojem otpora i kondenzatora s desne strane.

RT =10j

5 + 2j+

−4j

2 − j2=

49 + 21j

29Ω = 1.83Ω (2.8)

Sada treba naci Theveinov napon U12 = UT . To radimo tako da vratimo izvore i gledamorazliku potencijala izmedju tocaka 1 i 2. U ovakvim krugovima rekli smo da kroz donju granu netece struja, jer struja tece samo u zatvorenim krugovima, a takav ne mozemo stvoriti kroz donjugranu. Napisati cemo KZN za obje konture, prvo lijevu, pa desnu.

1 2

++

50 0 V

I0=0AI1 I2

+I1 · j2 + I1 · 5 − 50 = 0 −→ I1 =50

5 + j2(2.9)

+I2 · −j2 + I2 · 2 − j50 = 0 −→ I2 =j50

2 − j2(2.10)

Kada smo izracunali struje, sada trebamo izracunati potencijale tocaka 1 i 2. To radimo takoda krenemo od 0 potencijala i zbrajamo sve napone do tocke 1, odnosno 2.

ϕ1 = I1 · j2 (2.11)

31

ϕ2 = I2 · −j2 (2.12)

U12 = ϕ1 − ϕ2 =−525 − j225

29= 19.696 (2.13)

Sada radimo nadomjesnu Theveninovu shemu za ovaj krug, te racunamo Theveninovu struju,koja je zapravo jednaka struji kroz R:

IT

UT

RT

R

IT =UT

RT + R=

19.6961.83 + 4

= 3.38A (2.14)

To su ta 2 nacina rjesavanja. Rjesenja su razlicita zbog pogresaka zaokruzivanja hrpe modulakompleksnih brojeva.

32

2.18 Zadatak XI.1-4

Mrezu prema slici nadomjestite prema Nortonovom teoremu s tocaka ai b. Kolika struja bi teklakroz otpornik R = 20Ω koji prikljucimo izmedju tih tocaka.

a

b

X1 X2

X3 X4

Xc

U1 U2

++

Zadano je: X1 = X4 = 20 X3 = 40 X2 = 10 XC = 30Ω U1 = 10 0V U2 = 10 90V

Prvo moramo naci Nortonov otpor za ovaj spoj. To cemo napraviti tako da ugasimo sve izvorei trazimo otpor izmedju a i b:

a

b

X1 X2

X3 X4

Xc

Sada treba prepoznati ovaj spoj, a to je u biti ovo:

X1

X2

X3

X4

Xca b

Sada vidimo da je to u biti Wheatstoneov most. Sva sreca pa je most u ravnotezi, jer inacese ne bi dobro proveli s racunanjem. To mozemo vidjeti tako da su umnosci dijagonalnih otporajednaki j20 · j20 = j40 · j10, tako da mozemo zanemariti ovaj kondenzaor i racunati ukupni otporkao da ga nema.

33

Zab = ZN = (X1 + X3) || (X2 + X4) = j20Ω (2.1)

Sada treba naci Theveninov napon, a to cemo preko superpozicije koja je izuzetno lagana ovdje.Treba samo primjetiti da kada odspojimo jedan izvor i kada ostavimo tocke a i b spojene, uvijek jeta strana gdje smo odspojili kratko spojena, kao i kondenzator. To se najlakse vidi na shemama.

a

b

X1 X2

X3 X4

Xc

U2

+1 1

I1 =U1

X1 + X3

=10j60

=−j

6A (2.2)

a

b

X1 X2

X3 X4

Xc

U1

+22

I2 =U2

X2 + X4

=j10j30

=13

A (2.3)

Sada vidimo da te struje teku u istom smjeru, pa se one zbrajaju:

IN = I1 + I2 =2 − j

6= 0.372 −26.57 (2.4)

Sada crtamo Nortonovu nadomjesnu shemu, gdje nam je R = 20Ω

34

IN RZN

IZN IR

Pa iz onog izvoda, tj. formule za racun struje kroz granu paralele mozemo izracunat IR

IR = IN · ZN

ZN + R=

3 + j

12A = 0.2635A (2.5)

35

2.19 Zadatak XI.1-5

Izracunajte iznose kapaciteta kondenzatora i induktiviteta zavojnice (zanemarivog omskog otpora)koje treba ukljuciti u spoj prema slici, pa da struja kroz impedanciju Z bude neovisna o njenomiznosu i jednaka 0.1A. Naponizvora je U=120V f=50Hz. Da li su dozvoljene vrijednosti impedancijenula odnosno beskonacno.

L

CU

+

Z

Ovakvi zadaci se rjesavaju na ovaj nacin: Prvo racunamo Nortonovu struju, tako da iskopcamo Zi kratko spojimo, te nju izjednacimo s 0.1. Kada smo to napravili, onda moramo postici da Nortonovotpor bude beskonacan, a to ce se dogoditi u paralelnoj rezonanciji. Dakle, kada odspojimo Z, ondau ovako jednostavnom slucaju mora vrijediti da je XL = XC . Na taj nacin smo postigli da ce svaNortonova struja teci upravo kroz Z. Odmah mozemo vidjeti da Z ne smije biti beskonacan, inacekrug prelazi u serijsku rezonanciju, odnosno nadomjesni krug ima beskonacni otpor, pa nemoze tecistruja kroz Z.

Prvo sto radimo, je kratko spajamo Z i racunamo IN . Vidimo da je XC kratko spojen, tako daje ukupni otpor jednak samo XL.

IN

L

CU

+

IN =U

XL

−→ XL =1200.1

= 1200Ω (2.1)

ω · L = XL −→ L =1200314

= 3.821H (2.2)

Sada trazimo Nortonov otpor i on mora biti jednak beskonacno, a kao sto vidimo on se sastojiod paralelno spojene zavojnice i kondenzatora. Da bi bio beskonacan taj krug mora biti u paralelnojrezonanciji, a to je ovdje uvijet XC = XL

36

L

C

a

b

1ωC

= 1200 −→ C =1

1200 · 314= 2.65µF (2.3)

37

2.20 Zadatak XI.1-6

Izracunajte napon izmedju tocaka oznacenih s x i y.

2-j2

5 2-j2

1

+

+

10

10

5 30

j5

b

y

a

Ili sam ja slijep i nevidim laksi nacin ili ovaj zadatak nije normalan. Neuravnotezen Wheatsto-neov most s kompleksnim impedancijama u 3. ciklusu?!? Pa ko je bio toliko kreativan. Morat cetemi oprostit sto ja ovo necu rjeavat, samo cu objasnit princip.

Poanta zadatka je vrlo jednostavna, prvo nadjete Theveninov otpor. Njega racunate tako daodspojite ovaj otpor od 10Ω i zatim ovu gornju zvijezdu (2-j2), j5 i 1 pretvarate u trokut i nataj nacin uspijete izracunat Theveninov otpor. Zatim nekako treba izracunati Theveninov napon.Za to preporucam koristenje Millmana da biste dobili napon Uab i onda samo krenete od tockeb do tocke a zbrajajuci sve napone, pa pa iz toga izracunate struje, te pojedinacne napone nasvim elementima. Zatim Uxy racunate kao razliku potencijala tocaka x i y, te nakon toga raditeTheveninovu nadomjesnu shemu, gdje napon izracunate tako da prvo izracunate struju i zatimizracunate napon na trazenom otporu kao umnozak te struje i otpora.

Ovo sve ukljucuje jako puno kompleksnog racuna i nema teoretske sanse da nesto ovako dodjena ispit (ne vjerujem ni da su u zbirku stavili), eventualno moze doc da je most u ravnotezi, stoznatno olaksava rjesavanje, a takav primjer smo imali gore.

38

2.21 Zadatak XI.1-7

Na trosilo Z3 spojena su paralelno dva izvora. Izracunajte struju trosila.

U1

Z1

U2

Z2

Z3

+ +

1

Zadano je: Z1 = 1 + j Z2 = 1 − j Z3 = 1 + 2jΩ U1 = 10 + j0V U2 = 5 − j8.66V

Ovo je vrlo jednostavan zadatak. Prvo Millmanom izracunamo napon i zatim taj napon podi-jelimo s trazenim otporom da dobijemo struju kroz njega:

U10 =10+0j1+j

+ 5−j8.66

1−j

1

1+j+ 1

1−j+ 1

1+2j

= 10.58 − j2.17 (2.1)

IZ3 =U10

Z3

=10.58 − j2.17

1 + 2j= 2.982 − j3.799 = 4.829A (2.2)

39

2.22 Zadatak XI.1-8

U spoju prema slici uz U1=U2 struja I=1A. Kolika je struja I ako napon U1 smanjimo na polovicupocetne vrijednosti?

R

R R

+ +

U1 U2

I

Prvo cemo uvesti neke oznake I2 ce nam biti struja nakon smanjenja napona, i jos cemo napisatida je U1 = U2 = Ui

Prvo pisemo Millmana prije nego smanjimo napon

Ua =U1

R+ U2

R1

R+ 1

R+ 1

R

=U1+U2

R3

R

=2Ui

3(2.1)

Sada tu jdbu podijelimo s R i s lijeve strane dobijamo Ua

R= 1:

1 =23

· Ui

R−→ Ui

R=

32

(2.2)

Sada pisemo nakon sto spustimo napon na pola vrijednosti

Ub =U1

R+ U2

R1

R+ 1

R+ 1

R

=U1+U2

R3

R

=1.5Ui

3=

Ui

2(2.3)

Sada i ovu jdbu podijelimo s R i s lijeve strane dobijemo Ub

R= I2

I2 =12

· Ui

R(2.4)

40

Sada uvrstimo Ui

Riz gornje jdbe gdje smo to izrazili

I2 =12

· 32

=34

= 0.75A (2.5)

41

2.23 Zadatak XI.1-9

U spoju prema slici je R = XL = XC . I=1A. Kolika je Nortonova struja sa stezaljki a i b.

R

aI

R R

XL XC

b

Ovo je malo komplicirano za objasnit. Dakle, stvar je u tome da kada a i b stezaljke kratkospojimo kako bismo izracunali Nortonovu struju shema prelazi u ovo:

R

I

R R

XL XC

0A

Beskonacan otpor, paralelna rezonancija, ukupna

struja u grani 0A, ali to ne znaci da kroz ove elemente

tece toliko. Napon na ovim elementima jednak je

naponu na ovom lijevom R-u, jer gore nema pada

napona.

Nema pada napona, jer kroz ove elemente ne tece

struja zbog paralelne rezonancije.

1A

1A

Sada uz ova objasnjenja na slici mozemo vidjeti da je UL = UC = UR, a kako kroz UR tecestruja od 1A, a napon je na svima isti mozemo izracunati da je struja kroz kondenzator IC = j1Ai struja kroz IL = −j1A, tj. da struja na kondenzatoru prethodi naponu za 90 stupnjeva, a strujana zavojnici zaostaje. Sada mozemo napisati jdbu cvora a.

42

R

aI

R R

XL XC

b IN

0 + j = IN −→ IN = jA = 1A (2.1)

43

2.24 Zadatak XI.1-10

Koliki su Theveninov napon i impedancija izmedju tocaka a i b na slici?

10

+

10

10

10

10

a b

U prvom slucaju treba izracunati Theveninovu impedanciju, za to moramo ugasiti izvor i pre-poznati spoj:

10

10

10

10

a b

1010

10 10

a b

Ovdje sada vidimo da imamo dvije paralele u seriji. Prva paralela je zavojnica i otpor, to useriji s paralelom kondenzatora i otpora:

Zab = ZT =10 · j1010 + j10

+10 · −j1010 − j10

= j100 · 10 − j10 − 10 − j10102 + 102

= j100 · −j20200

= 10Ω (2.1)

44

Sada treba vratiti izvore i izracunati Theveninov napon, medjutim prvo mozemo provjeriti daje most u ravnotezi, pa je napon jednak 0V.

10 · 10 = −j10 · j10 (2.2)

Vidimo da most je u ravnotezi, pa je Theveninov napon UT = 0V

Sada kada otpornik i kondenzator zamjene mjesta, impedancija se nije promijenila, sto vidimo izsheme, pa cemo samo izracunati napon. Iako se ovo u 2. ciklusu radi preko topografskih dijagrama,ovdje cemo to izracunati cisto racunski. Krenut cemo od tocke b do tocke a i zbrajati sve napone.

I2 · 10 − I1 · 10 = Uab (2.3)

I1 =U

10 + j10=

11 + j

(2.4)

I2 =U

10 − j10=

11 − j

(2.5)

Uab = frac11 + j · 10 − 11 − j

· 10 = 10 · (1

1 + j+

11 − j

) = 10 · 1 − j + 1 + j

12 + 12= 10V (2.6)

45


Odredite elemente nadomjesnog Theveninovog izvora za mrezu na slici ako je R = 1Ω, I = 1A, I =1V

R

I

I

UT

ZT

U

R

+

a

b

Opet moramo ugasiti izvore i izracunati impedanciju, vidimo da samo u grani gdje je naponskiizvor ostaje spojen otpor, jer strujne izvore odspajamo pa je:

R UT

ZTR

a

b

Rab = RT = R = 1Ω (2.1)

Theveninov napon cemo racunati preko Millmanove formule. Treba samo primjetiti da jevodljivost grane sa strujnim izvorom jednaka 0, tako da takve grane ne uzimamo kada zbrajamovodljivosti.

Uab =UR

+ I − I1

R

=1A

1Ω= 1V (2.2)

U slucaju da desni strujni izvor promjeni svoj smjer, samo nam se mjenja predznak u jdbi:

Uab =UR

+ I + I1

R

=3A

1Ω= 3V (2.3)

46


Koliki napon mjeri voltmetar (efektivna vrijednost) u spoju prema slici ako je spojen na tocku aodnosno na tocku b.

V

-j1 A

j4 A

2

-j2

2

j4 A -j1 A

j3 A

-j1 Aj4 A+

+

+a b

c

de

Na sliku smo ucrtali sve struje koje znamo, od koje su 2 zadane, a jedna se vrlo lako izracunaiz jdbe bilo koja od dva. Sada mozemo jednostavno krenut od tocke d to tocke b i zbrajati svenapone, to ce biti napon koji mjeri voltmetar u prvom slucaju:

Ubd = UV = −j1 · 2 − j4 · 2 = −j10V = 10V (2.1)

Za drugi slucaj cemo ici malo drugacijim putem, jer neznamo napon strujnog izvora, pa cemokrenut iz tocke d do tocke e, pa iz tocke e kroz c do tocke a

Uad = UV = −j1 · 2 + j3 · −j2 = −j2 + 6 =√

((−2)2 + 62) =√

40 = 2√

10V (2.2)

47


Odredite parametre Theveninovog nadomjesnog izvora sa stezaljki a i b:

5 30 A

j5 j5

Sada prvo treba izracunati Theveninovu impedanciju, to radimo tako da ogasimo izvore i racu-namo impedanciju izmedju tocaka a i b.

5 5

j5 j5

ZT = Zab = (15 + j5) || (5 + j5) =5 + 10j

2 + j= 4 + 3jΩ (2.1)

Sada cemo izracunati struju kroz I1 da bismo pomocu nje dobili napon na ovih 5+j5 koji suspojeni izmedju a i b.

I1 = I · 5 + j520 + j10

= 5 30 · 0.316 18.39 = 1.58 48.39 (2.2)

Uab = UT = I1 · (5 + j5) = 1.58 48.39 · 5√

2 45 = 11.17 93.39 (2.3)

48


Zamijenite prikazane spjeve impedancija na slici a) i b) sa spojem impedancija u zvijezdu (Y spoj)

a)

10 30 0 30

Jos jedan glup racunski zadatak. Ovdje treba prvo unutrasnju zvijezdu zamjeniti trokutom,zatim vidjeti da su impedancije spojene paralelno i onda opet vratiti u zvijezdu. Kada je zvijezdasimetricna, onda prilikom prelaska u trokut mozemo samo pomnoziti iznose s 3, pa dobivamo dasu nam sve impedancije u trokutu jednaki Za = Zb = Zc = 12 −45Ω

10 30 0 30

Sada treba izracunati paralelu ovih otpora:

Zp =10 30 · 12 −45

10 30 + 12 −45 = 6.852 −3.42 (2.1)

Jos nam ostaje dobiveni otpor podijeliti s 3, jer pretvaramo simetricni trokut jos jedanput usimetricnu zvijezdu, kako je i zadano u zadatku

Zy = 2.284 −3.42 (2.2)

49

b)

5j 5j

10 5 2

Ovdje moramo ovaj nesimetrican trokut sastavljen od otpora j5, 5 i j5 pretvorit u zvijezdu, palijevi kraj ostaje spojen serijski sa ovih 10Ω, a desni kraj s 2Ω

Zgl Zgd

Zd

10 2

Oznake: Rgl - gore lijevo Rgd - gore desno Rd - dolje

Rgl =j5 · 5

5 + j5 + j5=

j255 + j10

=j5

1 + j2= 2 + j (2.3)

Rgd =j5 · 5

5 + j5 + j5=

j255 + j10

=j5

1 + j2= 2 + j (2.4)

Rd =j5 · j5

5 + j5 + j5=

−255 + j10

=−5

1 + j2= −1 + 2j (2.5)

Sada nam samo jos ostaje zbrojit ove otpore koji su serijski R1 = Rgl + 10 = 12 + jΩ R2 =Rgd + 2 = 4 + jΩ R3 = Rd = −1 + 2jΩ

50


Odredite parametre nadomjesnog spoja sa stezaljki a i b po Theveninu, a zatim po Nortonu.

10 0 V

10 90 V

j4+

b

Pocet cu sanjat ovakve zadatke. Mislim da bi ovo vec trebalo rutinski ic. Kratko spojimonaponske izvore i racunamo Theveninovu, odnosno Nortonovu impedanciju.

ZT = ZN = (10 + j20) || (10) + j5 =608

+ j208

+ j5 =60 + j60

8= 10.6 45 (2.1)

Sada jos samo Theveninov napon, koji cemo dobiti tako da izracunamo struju u krugu i ondakrenemo od tocke b do a, zbrajajuci sve napone po putu. Ovaj j5 desno gore mozemo zanemaritijer znamo da kroz njega ne tece struja

Uuk = 10 0 + 10 90 = 10√

2 45V (2.2)

Zuk = 20 + j20 = 20√

2 45Ω (2.3)

Iuk =Uuk

Zuk

= 0.5 0A (2.4)

Uab = UT = −10 90 + 0.5 0 · 10 = 5 − 10j = 11.18 −63.43V (2.5)

IN =UT

RT

=11.18 −63.43

10.6 45 = 1.054 45A (2.6)

51


Odredite odnos pokazivanja ampermetra uz otvorenu i zatvorenu sklopku. Iot/Izat =?

3j

3j

1j

+

U

A

Kada imate ovakav zadatak gdje su medjuinduktiviteti spojeni u istu tocku onda postoji nacinna koji se taj medjuinduktivitet izvuce ispred cvora gdje su oni spojeni. Jos se taj medjuinduktivitettreba dodati i na ove zavojnice. Postupak je takav da ako obje tockice gledaju prema cvoru ili odcvora, onda je vrijednost medjuinduktivitea koju izvzucete ispred cvora pozitivna, a trebate juoduzet od impedancije zavojnica. U suprotnom je vrijednost koju izvucete negativna, a vrijednostdodajete na impedanciju zavojnica. Vidimo konkretno na ovom primjeru kako to izgleda:

1j

+

U

A

j3-j1

j3-j1

Sada gledamo odnose struja kada je sklopka otvorena i kada je zatvorena

Iot

Izat=

Uj2+j2

Uj2 || j1+j2

=8

3j

4j=

23

(2.1)

52


Izracunajte snagu na otporniku R = 25Ω u spoju prema slici.

+

U

X1

X2XM

RI2

I1

+ ++

+

+

+

+

Zadano X1 = X2 = 25Ω XM = 20Ω U = 25V

Ovo je drugi tip zadataka s medjuinduktivitetom. Rješava se preko Kirchhoffovih jdbi. U ovomslucaju cemo kroz ove dvije konture ic u smjeru prema desno i zbrajati cemo sve napone u krugu.Stvar je u tome da ovdje zbog medjuinduktiviteta i struja kroz drugu granu inducira napon nazavojnici u prvoj grani. Gledamo tako da struja u drugoj grani stvara plus na suprotnoj straniod tockice, pa cemo i u prvoj grani plus napisati na suprotnoj strani od tockice, pa kada cemoprolaziti prema desno kroz prvu granu zbrajat cemo taj inducirani napon, jer idemo s minusa naplus. Njegova vrijednost biti ce struja druge grane pomnozena s vrijednosti struje kroz drugu granu.Sve vrijedi i za prvu granu. Crvenom bojom oznacavati cu sve sto se dogadja zbog struje I2, azelenom sve sto se dogadja zbog struje I1, a vezano je za medjuinduktivitet.

1. Kontura:

+U − I1 · X1 + I2 · XM = 0 (2.1)

2. Kontura:

−I2 · R − I2 · X2 + I1 · XM + I1 · X1 − I2 · XM = 0 (2.2)

Sada cu probati opisati ovu drugu jdbu rijecima: Krenemo od gornjeg cvora i s plusa na minusnapon pada za I2 · R, zatim dolazimo do zavojnice gdje napon pada za I2 · X2, ali na toj zavojnicise zbog medjuinduktiviteta inducirao jos jedan napon. Sada gledamo drugu granu gdje je struja I1

stvorila plus kod tockice, taj plus prepisujemo i ovdje kod tockice (zeleni). Ako gledamo taj plusonda tu s minusa na plus napon raste za I1 · XM . Tako isto i na drugoj zavojnici. Dolazimo i sminusa na plus napon raste za I1 · X1, ali postoji jos napon medjuinduktiviteta. Ako pogledamodesnu granu, struja I2 je plus stvorila na suprotnoj strani od tockice, pa ga tako prepisemo i kod ovezavojnice (crveni) i imamo da napon onda pada za I2 · XM . Dosli smo u istu tocku i to izjednacimos 0. Sada to rjesavate kao 2 jdbe s 2 nepoznanice

53

5 − j5I1 + j4I2 = 0 (2.3)

−I2(5 − j9) + j9I1 = 0 (2.4)

I2 = 1.69A (2.5)

PR = I22 · R = 71.4W (2.6)

54

3.32 Zadatak XII.1-1

Trofazno simetricno trosilo spojeno u zvijezdu vetverovodno je prikljuceno na trofazni izvor linijskognapona 12V. Impedancija pojedine faze je Z = 100 0Ω. Izracunajte a) fazni napon b) faznu strujuc) linijsku struju d) struju nul vodica e) ukupnu radnu snagu.

Ok, ovdje za pocetak imamo simetricno trosilo u zvijezda spoju, sto bi znacilo da nam je strujanul vodica I0 = 0A, bas zbog simetricnosti trosila. Neznamo kako je spojena izvorska strana, alinam pise da je linijski napon 12V, onda iz poznate nam relacije izracunamo fazni napon i faznustruju. U spoju trosila u zvijezdu vrijedi isto tako da je linijska struja jednaka faznoj.

Uf =Ul√

3= 6.94V (3.1)

If = Il =Uf

Z=

6.94100

= 69.4mA (3.2)

Kako je trosilo simetricno, snage mozemo racunati kao

Puk = 3Uf Il · cosϕ = 1.44W (3.3)

55


Nesimetricno trosilo u zvijezda spoju cetverovodno je prikljuceno na trofazni simetrican izvor. Upojedinim fazama otpori su 100, 200 i 300 Ω. Fazni napon je 220V. Izracunajte napon izmedjuzvjezdista izvora (0) i zvjezdista trosila (0’) ako se prekine nul vodic.

Ovdje se radi samo o koristenju Millmanove formule:

U00′ =220 0

100+ 220 240

200+ 220 120

300

1

100+ 1

200+ 1

300

(3.1)

Sad malo mrljavite s kompleksim brojevima i rjesite to ili ako imate digitron s kompleksnimaonda je to gotovo u par sekundi.

Dobiva se da je

U00′ = 70 − j17.32 −→ |U00′ | = 72.12V (3.2)

56


U normalnom rezimu rada (kada nije prekinut nul vodic) svaka impedancija (otpor) iz prethodnogzadatka dobiva fazni napon od 220V. Izracunajte napone u fazama trosila nakon prekida nul vodica.

Ocito je da po Kirchoffovim zakonima kada krenemo od zvjezdista trosila vrijedi da je:

Uf − Uz = U00′ (3.1)

Sada samo trebamo to raspisati za svaku od faza (R,S,T), ali najprije cemo fazne napone tih fazanapisati u obliku pogodnom za zbrajanje (algebarskom): UR = 220 0 = 220·cos(0)+j220·sin(0) =220V , US = 220 240 = −110 − 190j, US = 220 120 = −110 + 190j

Sada cemo samo to uvrstiti u gornju formulu Uz = Uf − U00′

U1 = 220 − 70 + j17.3 = 150 + j17.3 −→ |U1| = 151V (3.2)

U1 = −110 − j190 − 70 + j17.3 = −180 − j172.7 −→ |U2| = 249.5V (3.3)

U1 = −110 + j190 − 70 + j17.3 = −180 + j207.3 −→ |U3| = 274.5V (3.4)

57


Tri impedancije spojene su u trokut imedju tocaka 1, 2 i 3, te prikljucene na trofazni izvor linijskognapona Ul = 120V . Ako su impedancije Z12 = Z31 = 6 + j8 i Z23 = 10Ω odredite iznose strujakroz pojedine impedancije I12,I23 i I31. Èini li ovaj spoj simetricno trofazno trosilo?

Ovdje imamo spojene otpore u trokut, sto nam automatski kaze (naucili smo to, jel tako?)da su spojeni na linijski napon. Dakle, sve sto ovdje treba napraviti je podijeliti linijski napon sotporom pojedine grane trofaznog trosila.

I12 =120

|Z12| =12010

= 12A (3.1)

I23 =120

|Z23| =12010

= 12A (3.2)

I31 =120

|Z31| =12010

= 12A (3.3)

Trosilo nije simetricno, jer impedancije nisu iste, iako im apsolutne vrijednosti jesu.

Sada samo trebamo to raspisati za svaku od faza (R,S,T), ali najprije cemo fazne napone tih fazanapisati u obliku pogodnom za zbrajanje (algebarskom): UR = 220 0 = 220·cos(0)+j220·sin(0) =220V , US = 220 240 = −110 − 190j, US = 220 120 = −110 + 190j

Sada cemo samo to uvrstiti u gornju formulu Uz = Uf − U00′

U1 = 220 − 70 + j17.3 = 150 + j17.3 −→ |U1| = 151V (3.4)

U1 = −110 − j190 − 70 + j17.3 = −180 − j172.7 −→ |U2| = 249.5V (3.5)

U1 = −110 + j190 − 70 + j17.3 = −180 + j207.3 −→ |U3| = 274.5V (3.6)

58


Impedancije Z12 = 20 60Ω, Z31 = 20 60Ω, Z23 = 10 0Ω spojene u trokut prikljucene su natrofazni izvor. Uz zadan linijski napon U12 = 190 0V odredite linijske struj I1, I2, I3 (efektivnevrijednosti).

Prvo cemo izracunati fazne napone, tako da cemo podijeliti napon s otporom, a zatim cemoizracunati i linijske struje zbrjanjem faznih struja. ’Izvod’ formula za linijske struje mozete naci upredavanjima.

I12 = U12/Z12 =190 0

20 60 = 9.5 −60 = 4.75 − j8.227 (3.1)

I23 = U23/Z23 =190 240

10 0 = 19 240 = −9.5 − j16.45 (3.2)

I31 = U31/Z31 =190 120

20 60 = 9.5 60 = 4.75 + j8.227 (3.3)

Sada racunamo linijske struje:

I1 = I12 − I31 = 4.75 − j8.227 − (4.75 + j8.227) = −j16.5 = 16.5A (3.4)

I2 = I23 − I12 = −9.5 − j16.45 − (4.75 − j8.227) = −j16.5 = −14.25 − j8.227 = 16.45A (3.5)

I3 = I31 − I23 = 4.75 + j8.227 − (−9.5 − j16.45) = 14.25 + 24.667 = 28.5A (3.6)

Kao sto se primijetili, ovo i nije bas po rjesenjima, ali neznam ja kako su oni ovo dobili, jer nevidim gresku u svome postpuku.

59


Tri impedanicje spojene u zvijezdu cetverovodno su prikljucene na trofaznu mrezu. Odrediteimpedanciju Z3 ako je Z1 = j150Ω i Z2 = −j150Ω, a ampermetar u nulvodicu pokazuje nulu.Zadatak rijesite pomocu vektorskog dijagrama.

Ja cu to rijesiti bez dijagrama, jer je dijagram nacrtan u zbirci i objasnjeno je kako se dolazido rjesenja na taj nacin. Ako ne volite crtat dijagrame, onda je ovo rjesenje za vas.

IA = I1 + I2 + I3 = 0A (3.1)

U 0

Z1

+U 240

Z2

+U 120

Z3

= 0A (3.2)

Sada mozemo jdbu podijeliti s U.

1 0

Z1

+1 240

Z2

+1 120

Z3

= 0A (3.3)

1j150

+−0.5 −

√3

2

−j150= −−0.5 +

√3

2

Z3

(3.4)

E sada ovo rijesite pomocu nekog lijepog kalkulatora koji radi s kompleksnim brojevima (ilipomocu wolframa-a) i dobijete da je

Z3 = 86.6Ω (3.5)

60


Impedancije Z1 = 20 30,Z2 = 40 0 i Z1 = 60 −90 cetverovodno su prikljucene na trofaznumrezu faznog napona 230V. Odredite struju nul vodica:

Ovdje samo trebamo naci struje u pojedinim granama, te ih nakon toga zbrojiti da bismo dobilistruju nul vodica I0.

I1 =230 0

Z1

=230 0

20 30 = 11.5 −30 = 9.96 − j5.75A (3.1)

I2 =230 240

Z2

=230 240

40 0 = 5.75 240 = −2.875 − j4.98A (3.2)

I3 =230 120

Z3

=230 120

60 −90 = 3.83 210 = −3.32 − j1.92A (3.3)

I0 = I1 + I2 + I3 = 9.96 − j5.75 − 2.875 − j4.98 − 3.32 − j1.92 = 3.765 − j12.65 (3.4)

| I0 | = 13.2A (3.5)

61


Trofazno simetricno trosilo u zvijezda spoju prikljuceno je na trofazni simetrican izvor linijskognapona Ul = 380V . Odredite pokazivanje vatmetra koji ima + i - pokazivanje ako mu je premaslici naponska stezaljka spojena: a) na tocku 1; b) na tocku 2. Izracunajte jalovu i prividnu snagutrosila.

Dakle, prvo pocinjemo s time sto mjeri vatmetar. Mjeri umnozak napona na naponskimstezaljkama, struje na strujnim i kosinusa kuta izmedju to dvoje, pa idemo naci sta je to ovdje.

a)

Prvo cemo izracunati napon URS

URT = ϕR − ϕT = U 0 − U 120 = 220 + 110 − j190 = 380 −30 (3.1)

Sada struju kroz strujne stezaljke:

If =U 240

Z 30 = 43.87 210 (3.2)

Sada vidimo da je razlika u kutevima 120 pa racunamo snagu

P1 = URS · If · cos(120) = −8.33kW (3.3)

b) Sada racunamo napon UST

UST = ϕS − ϕT = U 240 − U 120 = −110 + 100 − j190 − j190 = 380 −90 (3.4)

Struja se nije mijenjala i opet vidimo da je razlika u kutevima 60 pa racunamo snagu.

P2 = UST · If · cos(60) = 8.33kW (3.5)

Ukupna radna snaga je 3 puta veca, jer je trosilo simetricno

62

Puk = 3 · P = 25kW (3.6)

tg(30) =Q

P−→ Q = 14.43kV Ar (3.7)

63


Trofazno simetricno trosilo, radne snage P i faktora snage cosϕ (ind) prikljuceno je na trofaznbiizvor frekvencije f. Odredite kapacitet kondenzatora C u spoju prema slici, tako das e faktor snageizvora poveca na cosϕ′(ind). Dakle, prvo pocinjemo s time sto mjeri vatmetar. Mjeri umnozaknapona na naponskim stezaljkama, struje na strujnim i kosinusa kuta izmedju to dvoje, pa idemonaci sta je to ovdje.

Zadano: Ul = 380V , f = 50Hz, P = 3.5kW , cosϕ = 0.6, cosϕ′ = 0.8

U predavanjima imate objasnjeno kako se kompenzira jalova snaga u trofaznom krugu, ali ubiti je vrlo slicno kompenzaciji snage u jednofaznim krugovima. Dakle, prvo cemo izracunati jalovusnagu spoja kada je cosϕ = 0.6, zatim kada je cosϕ = 0.8, zatim cemo izracunati razliku te dvijesnage. Zatim znamo da se ta razlika mora razvijati na kondenzatoru, a kako je na njemu fazninapon, mozemo jednostavno naci njegovu impedanciju, a samim time i kapacitet.

cosϕ = 0.6 −→ ϕ = 53.13 (3.1)

cosϕ′ = 0.8 −→ ϕ′ = 36.86 (3.2)

Sada racunamo jalovu snagu u prvom i drugom slucaj, ali prvo cemo podijelit snagu s 3, dabismo dobili snagu samo na jednom ’otporu’ unutar troisla:

tgϕ =Q1

P3

−→ Q1 = 1555V Ar (3.3)

tgϕ′ =Q2

P3

−→ Q2 = 875V ar (3.4)

Q = Q1 − Q2 = 680V ar (3.5)

Quk =U2

f

Xc−→ Xc =

U2f

Quk

= 70.78Ω (3.6)

64

Xc =1

ωC−→ C = 44.9µF (3.7)

65


Kondenzator kapaciteta C prikljucuje se prvo izmedju stezaljki R i S, a zatim izmedju stezaljki R i 0trofaznog simetricnog generatora (f=50Hz). Ako je u drugom slucaju iznos struje kroz kondenzatormanja za ∆I nego u prvom izracunajte linijski napon mreže.

Zadano: C = 150µF , ∆I = 7.59A

Znaci stvar je u tome da je izmedju R i S spojen na linijski napon, a izmedju R i 0 na fazninapon. Mi znamo relaciju da je: Ul = Uf ·

√3

Pa cemo napisati 2 jednadzbe

I1 =Ul

XC

(3.1)

I2 =Uf

XC

(3.2)

I1 = I2 + ∆I (3.3)

Sada u formulu (3) uvrstimo (1) i (2) i dobijemo da je:

Ul

XC

=Uf

XC

+ ∆I (3.4)

Ako sada fazni napon zapisemo preko linijskog

Ul

XC

=Ul√

3

XC

+ ∆I (3.5)

To je sad jdba s jednom nepoznanicom, samo trebamo izracunati XC

XC =1

ωC= 21.23Ω (3.6)

66

Sada to uvrstimo gore i rijesimo, dobijemo

Ul = 381V (3.7)

67


Na trofazni simetrican generator (R,S,T) linijskog napona Ul spojeno je trosilo sastavljeno od triotpornika u zvijezda spoju bez nul vodica. Otpornici u fazama R i S su jednakog iznosa R, dokotpornik u fazi T ima otpor R/4. Ako je ukupna snaga trosila P izracunajte otpor R.

Zadano: Ul = 380V ; P = 2000W

Prvo trebamo izracunati napon U00′ :

U00′ =220 0

R+ 220 240

R+ 4·220 120

R1

R+ 1

R+ 1

R

= −55 + j95.26V (3.1)

Sada treba izracunati napone na otporima:

U1 = Uf − U00′ = 275 + 95.25j = 291V (3.2)

U2 = Uf − U00′ = −55 − 285.26 = 290.5V (3.3)

U3 = Uf − U00′ = −55 − 94.74j = 109.5V (3.4)

Sada samo racunamo ukupnu snagu, pa iz nje izracunamo R:

Puk =U2

1

R+

U22

R+

U23

R4

−→ R = 108.6Ω (3.5)

68


Na trofazni izvor (A,B,C) prikljuceno je trosilo u zvijezda spoju s nul-vodicem. U fazama B i Cnalaze se jednaki radni otpornici (R) dok je u fazi A cisti kapacitivni otpor. Poznat je iznos linijskihstruja IA, IB, IC . Uz prekinu nul-vodic poznata je radna snaga trosila P. Odredite otpor R.

Zadano je: IA = 1A, IB = IC = 2A, P = 690W

Ia =Uf

xc= 1 (3.1)

Ib = Ic =Uf

R= 2 (3.2)

što daje

xc = 2 · R (3.3)

kad se prekine nul-vod imamo:

U0′0 =Uf

−xc+

Uf |−120o

R+

Uf |−240o

R

1

−xc+ 1

R+ 1

R

(3.4)

U0′0 =Uf

−2R+

Uf |−120o

R+

Uf |−240o

R

1

−2R+ 1

R+ 1

R

(3.5)

U0′0 =Uf

−2+ Uf | − 120o + Uf | − 240o

1

−2+ 1 + 1

(3.6)

U0′0 = Uf ·1

−2+ 1 | − 120o + 1 | − 240o

1

−2+ 1 + 1

(3.7)

U0′0 = Uf · (−0, 412 + 0, 353) (3.8)

69

naponi na otpornicima su:

URb = Uf | − 120o − U0′0 = Uf · (| − 120o + 0, 412 − 0, 353) (3.9)

URb = Uf · 1, 222 | − 94, 13o (3.10)

URc = Uf | − 240o − U0′0 = Uf · (| − 240o + 0, 412 − 0, 353) (3.11)

URc = Uf · 0, 52 |99, 73o (3.12)

i na kraju, ukupna je snaga:

P =U2

Rb

R+

U2Rc

R(3.13)

P =(Uf · 1, 222)2

R+

(Uf · 0, 52)2

R(3.14)

690 =U2

f

R· 1, 754 (3.15)

690 = Uf · 2 · 1, 754 (3.16)

Uf = 196, 7 V (3.17)

R =U2

f · 1, 754

P= 98, 35 Ω (3.18)

70


Tri impedancije spojene u zvijedzu, prikljucene su na trofaznu cetverovodnu mrezu. Impedancijau fazi R je cisto kapacitivna, dok su impedancije u fazama S i T cisto omske. Ako ampermetriu linijskim vodicima pokazuju IR = IS = IT = 5A, odredite njihova pokazivanja kada dodje doprekida nulvodica.

Prvo sto mozemo zakljuciti jest da je R = XC , jer su sve struje jednake. Sljedece mozemoizraziti te struje, s time da znamo kuteve, jer tamo gdje je otpor struja mora biti u fazi s naponom,a gdje je kondenzator, mora prethoditi za 90.

IR =Uf 0

−jXC

= 5 90A (3.1)

IS =Uf 240

R= 5 240A (3.2)

IR =Uf 0

R= 5 120A (3.3)

Sad racunamo napon U00′ :

U00′ =UR 0

−jR+ US 240

R+ UT 120

R

1

R+ 1

R+ 1

−jR

(3.4)

Sada zamijenimo UR, US i UT , prema jdbama 1,2 i 3 i rijesimo tu jdbu. Malo je dugacka pa cuja samo napisati rjesenje:

U00′ = (−1 + 3j) · R (3.5)

Racunamo struje prema formuli:

If =Uf − U00′

R(3.6)

71

I1 =−jR · j5 − (−1 + 3j)

−jR= 3 + 6jA = 6.7A (3.7)

I2 =R · 5 240 − (−1 + 3j)

R= −1.5 − j7.33A = 7.5A (3.8)

I3 =R · 5 120 − (−1 + 3j)

R= −1.5 + 1.33j = 2A (3.9)

72


Tri grijaca snage P, 2P i 3P (cosϕ = 1) u zvijezda spoju prikljucena su cetverovodno na trofaznisimetrican izvor linijskog napona Ul = 380V . Odredite struju kroz nul vodic ako je snage P =380W .

Trebamo izracunati struje kroz svaku fazu, ako znamo da na svakom otporu vlada fazni naponi da je struja kroz tu granu u fazi s tim naponom

P1 = UR · IR · cosϕ −→ IR =√

3 0A (3.1)

P2 = US · IS · cosϕ −→ IS = 2 ·√

3 240A (3.2)

P3 = UT · IT · cosϕ −→ IT = 3 ·√

3 120A (3.3)

I0 = IR + IS + IT = −2.6 + 1.5jA = 3A (3.4)

73


Trofazno trosilo u spoju zvijezde s nul vodicem sastavljeno je od otpornika (u fazi R), kondenzatora(u fazi S) i zavojnice (u fazi T), prikljuceno je na trofazni izvor. Snaga trosila je P = 20W . Odrediteradnu snagu trosila ako se prekine nul vodic uz R = XC = XL

P1 =U2

f

R= 20W (3.1)

Sada racunamo U00′ :

U00′ =Uf 0

R+ Uf 240

−jR+ Uf 120

jR

1

R+ 1

−jR+ 1

jR

= Uf · (1 −√

3)V (3.2)

I sada cemo izracunati snagu preko napona na otporniku, koji je jednak razlici faznog naponai U00′ .

P2 =(Uf − U00′)2

R=

(Uf − Uf · (1 −√

3))2

R=

3U2f

R= 3 · 20W = 60W (3.3)

74


Odredite Theveninov napon u trofaznoj mrezi s tocaka T i 0’ odnosno S i 0’. Fazni napon izvora je220V, a pocetni fazni kut napona UR je nula. U kojem je slucaju Theveninov napon veci? Da li sei Theveninova impedancija mijenja u ova dva slucaja.

Odmah zakljucujemo da se Theveninova impedancija ne mijenja (ako netko to ne kuzi, ponovnoproucit prva 2 tjedna :D) i jednaka je:

ZT = −j100 || 100 = 50 − j50 (3.1)

Theveninov napon cemo naci tako da prvo nadjemo razliku potencijala izmedju R i S (u drugomslucaju R i T), te zatim izracunamo potencijal tocke (0’):

a)

URS = ϕR − ϕS = 220 − (−110 − j190) = 330 + j190 (3.2)

I1 =URS

100 − j100= 0.7 + 2.6j (3.3)

ϕ0′ = 220 − (0.7 + 2.6j) · (−j100) = −40 + 70j (3.4)

UT = ϕT − ϕ0′ = −110 + j190 + 40 − 70j = −70 + j120 = 138.92V (3.5)

b)

URT = ϕR − ϕS = 220 − (−110 + j190) = 330 − j190 (3.6)

I2 =URT

100 − j100= 2.6 + 0.7j (3.7)

75

ϕ0′ = 220 − (2.6 + 0.7j) · (−j100) = 150 + 260j (3.8)

UT = ϕS − ϕ0′ = −110 − j190 − 150 − 260j = −260 − 450j = 519V (3.9)

76

3.48 Zahvale, zamolbe i ostalo

Tkogod je procitao ovo i misli da je korisno, treba biti zahvalan ne meni, vec nekim drugim ljudima.Da nema njih, ovo nikad ne bi nastalo - u to vas uvjeravam.

1. Luka aka Tywin - covjek koji je mene prosle (i ove) godine ucio osnove. Bez tog znanjanekako sumnjam da bi ovaj .pdf ikada nastao :)

2. Svima koji su mi govorili da nisam normalan i da bi se trebo prihvatit ucenja svojih predmetakoje padam :)

3. Osobi, koje da nema, ne bih ima volje, razloga i cega sve ne, a vjerojatno se ne bih ni sjetioovo raditi.

4. Mikeu Oldfieldu sto je napisao Shadow on the Wall - najcesce slusanu pjesmu prilikom izradeovog cuda.

Ako nadjete neku gresku, slobodno javite da je mogu ispraviti. Ako nekome treba LaTeX source,isto neka javi, ali je koma jer sam prvi put pisao nesto ovakvo. Za grafiku isto tako. Koristite ovokako god hocete - dijelite, uploadajte, prepravljajte.

Uzivajte.

77

OE_Pavic,_Felja_-_Rjesenja_zbirke_zadataka_-_3._ciklus_-_Tjedan_10-12_2009-10

Documents

Transcript of OE_Pavic,_Felja_-_Rjesenja_zbirke_zadataka_-_3._ciklus_-_Tjedan_10-12_2009-10