ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - e-xidas.gr · 3 Αφαίρεση μονώνυμων...

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΜΕΕΡΡΟΟΣΣ ΑΑ'':: ΑΑΛΛΓΓΕΕΒΒΡΡΑΑ

ΚΚΕΕΦΦΑΑΛΛΑΑΙΙΟΟ 11οο:: ΑΑλλγγεεββρριικκέέςς ππααρραασσττάάσσεειιςς Παράγραφος A.1.2: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις −

συμπληρώσεις)

Β: Πράξεις με μονώνυμα

Τα σημαντικότερα σημεία της παραγράφου

Παραδείγματα – Εφαρμογές

Ερωτήσεις κατανόησης

Προτεινόμενες ασκήσεις – Προβλήματα

Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου

2

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΑΑλλλγγγεεεβββρρριιικκκέέέςςς

πππαααρρρααασσστττάάάσσσεεειιιςςς

111...222... ΒΒΒ... ΠΠΠρρράάάξξξεεειιιςςς μμμεεε μμμοοονννώώώνννυυυμμμααα

ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΥ

Οι πράξεις ανάμεσα σε μονώνυμα είναι πράξεις ανάμεσα σε αριθμούς. Πράγματι, οι μεταβλητές

των μονώνυμων αντιπροσωπεύουν αριθμούς.

Άρα, στις πράξεις μεταξύ μονώνυμων ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν στους

αριθμούς.

Πρόσθεση μονώνυμων

Το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων

μονώνυμων είναι ίσο με ένα μονώνυμο που:

Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα.

Έχει συντελεστή το άθροισμα των

συντελεστών των μονώνυμων.

2 2 23x y 4x y 7x y

2αβγ 5αβγ 6αβγ 13αβγ

3

Αφαίρεση μονώνυμων

Η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα

μονώνυμο που:

Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα.

Έχει συντελεστή τη διαφορά των

συντελεστών των μονώνυμων.

3 3 36κ λ 2κ λ 4κ λ

5 5 55xy 3xy 5 3 xy

Αν δύο μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το άθροισμα και η διαφορά τους δεν είναι μονώνυμο.

3xy2 + 2xα Τα μονώνυμα δεν είναι όμοια άρα δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε.

Πολλαπλασιασμός μονώνυμων

Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων

είναι ένα μονώνυμο που έχει:

Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών

των μονώνυμων.

Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο

όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια

μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το

άθροισμα των εκθετών της).

2 53x yz 4xy

2 1 1 53 4 x y z

3 612x y z

2 3 7 4 5 62α β γ 3α β γ

2 4 3 5 7 62 3 α β γ

6 8 136α β γ

Διαίρεση μονώνυμων

Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται, όπως η

διαίρεση αριθμών, δηλαδή:

πολλαπλασιασμός του πρώτου

μονώνυμου με το αντίστροφο του

δεύτερου μονώνυμου.

:3 7 4 3 74

13α β 2αβ 3α β

2αβ

3 73 1 7 4 2 3

4

3α β 3 3α β α β

2αβ 2 2

Η διαίρεση δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο.

:2 54x z 5αβx = 2 5 14x z

5αβx=

2 5 2 54x z 4 x z5αβx 5 x αβ

=54 xz

5 αβ

4

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Παράδειγμα 1ο

Να γίνουν οι πράξεις:

α) 2 2 217αx αx 4αx

2 β) 2 3 22 1

xy x y3 4

γ) :3 33 1α β αβ

4 2

Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα:

Για να λύσω το παράδειγμα θα εφαρμόσω αυτά που έχω μάθει στη θεωρία για την πρόσθεση και

την αφαίρεση όμοιων μονώνυμων (α ερώτημα), τον πολλαπλασιασμό μονώνυμων (β ερώτημα) και

τη διαίρεση μονώνυμων (γ ερώτημα).

Λύση

α) 2 2 217αx αx 4αx

2 = Τα τρία μονώνυμα έχουν κύριο μέρος ίσο με αx2 άρα είναι όμοια.

Επομένως μπορώ να τα προσθέσω ή να τα αφαιρέσω.

217 4 αx

2

= Κάνω ομώνυμα τα κλάσματα μέσα στην παρένθεση με παρονομαστή το 2.

214 1 8αx

2 2 2

= Βάζω όλα τα κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το 2.

214 1 8αx

2 = Κάνω τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος.

27αx

2

5

β) 2 3 22 1

xy x y3 4

= Ο συντελεστής του γινόμενου είναι ίσος με το γινόμενο των συντελεστών. Το κύριο μέρος είναι το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη το άθροισμα των αντίστοιχων εκθετών.

1 3 2 22 1x y

3 4

= Κάνουμε τις πράξεις.

4 42x y

12 = Απλοποιούμε το κλάσμα.

4 41x y

6

γ) :3 33 1α β αβ

4 2

= Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός του πρώτου μονώνυμου με το αντίστροφο του δεύτερου.

3

3

3 1α β

14 αβ2

=

Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα που είναι σύνθετο σε απλό.

Είναι 3 33

11 21

1 αβ αβαβ2 2

3

3

3α β 24 αβ

= Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων.

3

3

3 2 α β4αβ

= Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων αν : αμ = αν–μ.

3 1 1 36α β

4

= Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων και απλοποιούμε το κλάσμα.

2 23α β

2 = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν

ν

1α

α .

2

2

3α2β

6


Από το σημείο Α αφήνουμε ένα σώμα να πέσει στο έδαφος. Αν ο χρόνος

t σε sec που μεσολαβεί μέχρι να φτάσει στο έδαφος είναι διπλάσιος του

χρόνου που θα έκανε, αν το αφήναμε να πέσει από το σημείο Β, να

βρεθεί το μονώνυμο που εκφράζει την απόσταση ΑΒ.


? Τι κίνηση εκτελεί το σώμα κατά την κίνησή του από το σημείο Α

προς το έδαφος;

Το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση, δηλαδή ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/sec2.

Οι τύποι που ισχύουν στην ελεύθερη πτώση είναι: u = gt και 21h gt

2 .

? Πώς μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως μονώνυμο;

Χρησιμοποιώντας τον τύπο 21h gt

2 μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΕ

συναρτήσει του χρόνου t. Αν εκφράσουμε και την απόσταση ΒΕ με έναν αντίστοιχο τρόπο

τότε μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως τη διαφορά ΑΕ – ΒΕ. Αν κάνουμε τις

πράξεις τότε θα φτάσουμε σε ένα μονώνυμο.

Λύση

ΑΕ = 21gt

2 Αντικαθιστούμε όπου g το 10.

ΑΕ = 2110t

2 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

ΑΕ = 5t2

Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης, ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος

ξεκινώντας από το σημείο Β είναι διπλάσιος του αντίστοιχου χρόνου αν ξεκινήσει από το σημείο Α.

Επομένως ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος, ξεκινώντας από το σημείο Β είναι t2

.

Άρα η απόσταση ΒΕ είναι:

7

ΒΕ = 21 t

g2 2

Αντικαθιστούμε όπου g το 10.

ΒΕ =21 t

102 2

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν

ν

α αβ β

.

ΒΕ = 2

2

t5

2 Είναι 22 = 4.

ΒΕ = 25t

4

Για να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ αρκεί να αφαιρέσουμε από την απόσταση ΑΕ την

απόσταση ΒΕ.

ΑΒ = ΑΕ – ΒΕ Αντικαθιστούμε όπου ΑΕ το 5t2 και όπου ΒΕ το 25t

4.

ΑΒ = 2 255t t

4 Τα δύο μονώνυμα στο δεύτερο μέλος είναι όμοια, άρα μπορούμε να τα

αφαιρέσουμε.

ΑΒ = 255 t

4

Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα.

ΑΒ = 25 4 5t

4 4

Βάζουμε τα ομώνυμα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το 4.

ΑΒ = 220 5t

4

Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος.

ΑΒ = 215t

4

Απάντηση

Είναι ΑΒ = 215t

4.

8


Μια τσιμεντένια κυλινδρική κολώνα, που έχει ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, ενισχύεται περιμετρικά

με τσιμέντο και αποκτά ακτίνα βάσης διπλάσια της αρχικής. Ο μηχανικός ισχυρίζεται ότι το

τσιμέντο που προστέθηκε έχει όγκο τριπλάσιο του αρχικού όγκου της κολώνας. Είναι σωστός ο

ισχυρισμός του;


? Ποιον τύπο πρέπει να χρησιμοποιήσω για να υπολογίσω τον όγκο του κυλίνδρου;

Ο όγκος κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ίση με ρ και ύψος υ είναι ίσος με πρ2υ.

? Πώς θα ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός;

Για να ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός:

Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο αρχικός όγκος.

Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο τελικός όγκος.

Θα αφαιρέσω από τον τελικό όγκο τον αρχικό όγκο για να βρω τον όγκο που

προστέθηκε.

Θα ελέγξω αν ο όγκος που προστέθηκε είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο.

Λύση

Ο αρχικός όγκος V1 της τσιμεντένιας κυλινδρικής κολώνας ήταν

V1 = πρ2υ.

Μετά την ενίσχυση της κολώνας, η κολώνα αποκτά διπλάσια ακτίνα βάσης,

δηλαδή ακτίνα ίση με 2ρ. Ο όγκος V2 της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας

είναι

V2 = π(2ρ)2υ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ)ν = ανβν.

V2 = π·4ρ2υ Μετακινούμε τον συντελεστή αριστερά.

Άρα ο όγκος V2 της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας είναι:

V2 = 4πρ2υ

9

Το τσιμέντο που προστέθηκε είναι ίσο με τη διαφορά V2 – V1 του τελικού από τον αρχικό όγκο.

V2 – V1 = Αντικαθιστούμε όπου V2 το 4πρ2υ και όπου V1 το πρ2υ.

4πρ2υ – πρ2υ = Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε.

(4 – 1)πρ2υ = Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση.

3πρ2υ

Επομένως είναι V2 – V1 = 3πρ2υ.

Άρα ο όγκος που προστέθηκε (3πρ2υ) είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο (πρ2υ).

10

ΕΕΡΡΩΩΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΚΚΑΑΤΤΑΑΝΝΟΟΗΗΣΣΗΗΣΣ

1η ερώτηση κατανόησης

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες.

α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο.

β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο.

γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο.

δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο.

Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση:

? Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο;

Ναι, το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων μονώνυμων είναι πάντα ένα μονώνυμο (όμοιο

με τα αρχικά). Βάζουμε Σ

? Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο;

Όχι πάντα. Όπως μάθαμε στη θεωρία, η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα

μονώνυμο (όμοιο με τα αρχικά). Αν όμως τα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε η διαφορά τους

δεν μπορεί να γραφεί ως μονώνυμο. Βάζουμε Λ

? Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο;

Ναι, το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Σ

? Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο;

Όχι. Το πηλίκο δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Λ

11

Απάντηση

α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ

β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ

γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ

δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ

2η ερώτηση κατανόησης

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α) ...........2 25x 2x β) ...........2 35x 2x γ) ...........3x 2y 2x

δ) ...........2 24x y yx ε) ...........22xy y στ) : ...........36x y 3xy

ζ) .........4 3 6 45x ω 10x ω η) ...........

3 212x y 4xy

θ) ...........2 23x y 4x y

Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση:

Για να απαντήσω στην ερώτηση πρέπει να κάνω τις πράξεις ανάμεσα στα μονώνυμα, όπου αυτό

είναι δυνατό.

Απάντηση

α) 2 25x 2x = Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

25 2 x = Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

–3x2

β) 2 35x 2x = Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους.

2 35 2x = Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του x.

510x

γ) 3x 2y 2x = Τα μονώνυμα 3x και 2x είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

12

3 2 x 2y = Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

5x 2y

δ) 2 24x y yx = Είναι x2y = yx2. Επομένως τα δύο μονώνυμα είναι όμοια και μπορούμε

να τα αφαιρέσουμε.

24 1 x y = Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση.

23x y

ε) 22xy y = Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους

συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους.

1 22xy Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του y.

32xy

στ) :36x y 3xy = Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με το

αντίστροφο του δεύτερου.

3 16x y

3xy = Πολλαπλασιάζουμε.

36x y

3xy = Απλοποιούμε το κλάσμα.

3x

2x

= Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων :μ ν μ να α α .

3 12x = 22x

ζ) .........4 3 6 45x ω 10x ω

Πρέπει να συμπληρώσουμε μέσα στην παρένθεση το μονώνυμο που λείπει.

13

Ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το

γινόμενο των συντελεστών των δύο μονώνυμων.

Αν είναι α ο συντελεστής το μονώνυμου που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση είναι:

5 · α = –10. Επομένως είναι α = –10 : 5 = –2,

δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι –2.

Ακόμη ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο:

που έχει κύριο μέρος το γινόμενο των μεταβλητών των μονώνυμων

με εκθέτες το άθροισμα των εκθετών των αντίστοιχων μεταβλητών στα δύο μονώνυμα.

Άρα είναι:

Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε:

x4 · xβ = x6, δηλαδή x4 + β = x6.

Επομένως είναι 4 + β = 6β = 6 – 4 = 2,

δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος

του το x2.

Αν είναι γ ο εκθέτης του ω τότε:

ω3 · ωγ = ω4, δηλαδή ω3 + γ = ω4.

Επομένως είναι 3 + γ = 4 γ = 4 – 3 = 1,


του το ω.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το –2x2ω.

η) ...........

3 212x y 4xy

Πρέπει να συμπληρώσουμε στον παρονομαστή το μονώνυμο που λείπει.

Το πηλίκο των συντελεστών των μονώνυμων στο πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με τον

αριθμό στο δεύτερο μέλος.

Αν είναι α ο συντελεστής του μονώνυμου τότε:

12 124 4α 12 α α 3

α 4

.

δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι –3.

14

Ακόμη, το πηλίκο των μεταβλητών στον πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με το πηλίκο των

μεταβλητών στο δεύτερο μέλος.

Άρα είναι:

Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε:

3

2β

xx

x, δηλαδή x3–β = x2 .

Επομένως είναι 3 – β = 2 3 – 2 = β

β = 1

δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο

μέρος του το x.

Αν είναι δ ο εκθέτης του y τότε:

δ

y 1y y

, δηλαδή yδ = y·y.

Επομένως είναι yδ = y2 δ = 2


του το y2.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το –3xy2.

θ) ...........2 23x y 4x y

Παρατηρούμε ότι τα δύο μονώνυμα που μας δίνονται έχουν το ίδιο κύριο μέρος (x2y), άρα

είναι όμοια. Αν είναι Α το ζητούμενο μονώνυμο τότε είναι:

2 23x y A 4x y Λύνουμε ως προς Α.

3x2y + 4x2y = A Τα μονώνυμα 3x2y και 4x2y είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

A = (3 + 4)x2y Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

Α = 7x2y

Άρα το ζητούμενο μονώνυμο είναι το 7x2y.

15

ΠΠΡΡΟΟΤΤΕΕΙΙΝΝΟΟΜΜΕΕΝΝΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ -- ΠΠΡΡΟΟΒΒΛΛΗΗΜΜΑΑΤΤΑΑ

Άσκηση 1η

Να κάνετε τις πράξεις:

α) 2 27x y 4x y β) 2 2 24αx 6αx αx γ) 3 396x x

2

δ) , , ,0 25αβ 0 35αβ 0 5αβ ε) ,2 4 2 42xy ω 1 2xy ω

5 στ) 2 2 23 2x 4 2x 2x

Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:

Για να λύσω την άσκηση, θα κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα.

Παρατηρώ ότι τα μονώνυμα σε κάθε πολυώνυμο είναι όμοια μεταξύ τους, άρα οι προσθέσεις και

οι αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα.

Λύση

α) 2 27x y 4x y = Προσθέτουμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας τους συντελεστές τους.

27 4 x y = Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

23x y

β) 2 2 24αx 6αx αx = Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας

και αφαιρώντας τους συντελεστές τους.

24 6 1 αx = –αx2 Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

γ) 3 396x x

2 = Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους συντελεστές τους.

16

396 x

2

= Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα.

36 2 9x

2 2

= Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το 2.

312 9x

2

= Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος.

33x

2

δ) , , ,0 25αβ 0 35αβ 0 5αβ = Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα,

προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους.

, , ,0 25 0 35 0 5 αβ = Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

0,4αβ

ε) ,2 4 2 42xy ω 1 2xy ω

5 = Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους

συντελεστές τους.

, 2 421 2 xy ω

5

= Μετατρέπουμε το 1,2 σε δεκαδικό κλάσμα.

2 42 12xy ω

5 10

= Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. Είναι Ε.Κ.Π.(5, 10) = 10.

2 42 2 12xy ω

5 2 10

= Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το 10.

2 44 12xy ω

10 = Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος.

2 4 2 48 4xy ω xy ω

10 5

στ) 2 2 23 2x 4 2x 2x = Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα,

προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους.

17

23 2 4 2 2 x = Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα μέσα στην παρένθεση.

23 4 1 2x = Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

20 2x 0

Άσκηση 2η

Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

α) 23x 5x β) 2 336x x

4 γ) 3 22xy 3x y

δ) 2 43x y 2xy ω ε) 3 31αβ 4αβ

3 στ) 3 2 34 1

x α xα3 4

ζ) 3 2 32 5xy 3x ω yω

5 6


Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:

Συντελεστή: το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων.

Κύριο μέρος: το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο

όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των

εκθετών της).

Λύση

α) 23x 5x = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις

αντίστοιχες μεταβλητές.

1 23 5x = Κάνουμε τις πράξεις.

18

315x

β) 2 336x x

4 = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις


2 336 x

4 = Κάνουμε τις πράξεις.

518x

4 = 59

x2

Απλοποιούμε το κλάσμα.

γ) 3 22xy 3x y = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις


1 2 3 12 3 x y = Κάνουμε τις πράξεις.

3 46x y

δ) 2 43x y 2xy ω = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις


2 1 1 43 2 x y ω = Κάνουμε τις πράξεις.

3 56x y ω

ε) 3 31αβ 4αβ

3 = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις


1 1 3 314α β

3 = Κάνουμε τις πράξεις.

2 64α β

3

στ) 3 2 34 1x α xα

3 4

= Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές.

3 1 2 34 1x α

3 4

= Κάνουμε τις πράξεις.

19

4

3 4

4 5x α = 4 51x α

3

ζ) 3 2 32 5xy 3x ω yω

5 6


1 2 3 1 1 32 53 x y ω

5 6

= Κάνουμε τις πράξεις. Επειδή έχουμε 3 αρνητικούς

παράγοντες, το γινόμενο είναι αρνητικό (–).

2 3 5 3 4 4x y ω

5 6 = Απλοποιούμε το κλάσμα.

3 4 4x y ω

Άσκηση 3η

Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α) :312α 3α β) :2 28x y 2xy γ) :3 5 2 21 6α β α β

3 5

δ) , : ,2 5 30 84x ω 0 12xω ε) :3 4 21x α ω x α

4

στ) , :3 7 2 270 5α β α β

10


Για να υπολογίσω κάθε ένα από τα παραπάνω πηλίκα των μονώνυμων θα πολλαπλασιάσω το κάθε

πρώτο μονώνυμο (διαιρετέο) με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου (διαιρέτη).

Λύση

α) :312α 3α = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του


3 112α

3α

= Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

312α

3α = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων :μ ν μ να α α .

20

3 14α = 24α

β) :2 28x y 2xy = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

22

18x y

2xy = Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

2

2

8x y2xy


2 1 1 24x y = Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων.

14xy = 4xy

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων νν

1α

α .

γ) :3 5 2 21 6α β α β

3 5

= Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

3 5

2 2

1 1α β

63 α β5

= Μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό.

3 5

2 2

α β 53 6α β

= Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων.

3 5

2 2

5α β3 6α β


3 2 5 25α β

18 = 35

αβ18

δ) , : ,2 5 30 84x ω 0 12xω = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο

του δεύτερου μονώνυμου.

,,

2 53

10 84x ω

0 12xω


,

,

2 5

3

0 84x ω0 12xω


Ακόμη, είναι ,

,

0 847

0 12 .

2 1 5 37x ω = Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων.

21

27xω

ε) :3 4 21x α ω x α

4


3 4

2

1x α ω

1 x α4

= Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό.

3 42

4x α ω

x α


3 4

2

4x α ωx α


3 2 4 14x α ω = Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων.

34xα ω

στ) , :3 7 2 270 5α β α β

10


, 3 7

2 2

10 5α β

7 α β10

= Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό.

, 3 72 2

100 5α β

7α β

= Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Είναι 0,5 · 10 = 5.

3 7

2 2

5α β7α β = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων :μ ν μ να α α .

3 2 7 25α β

7 = Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων.

55αβ

7

Άσκηση 4η


22

α) 2

2 31x y 6xy

3

β) :32 3 3 42x y 8x y γ) 2 34 3 22xy ω x y


? Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων;

Όπως έχουμε μάθει η σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι:

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις.

Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.

Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

? Με ποιον τρόπο θα λύσω την άσκηση;

Πρώτα θα υπολογίσω τη δύναμη. Στη συνέχεια θα εκτελέσω τον πολλαπλασιασμό ή τη

διαίρεση των μονώνυμων.

Λύση

α) 2

2 31x y 6xy

3

= Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ναβ α β .

2

22 2 31x y 6xy

3

= Είναι

21 13 9

. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων

νμ μ να α .

4 2 31x y 6xy

9


4 1 2 36x y

9 = Κάνουμε τις πράξεις και απλοποιούμε το κλάσμα.

5 52x y

3

β) :32 3 3 42x y 8x y =

Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των

δυνάμεων ν ν ναβ α β .

23

:3 33 2 3 3 42 x y 8x y

= Είναι 32 8 . Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων

νμ μ να α .

:6 9 3 48x y 8x y = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο


6 93 4

18x y

8x y


6 9

3 4

8x y8x y

= Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των

δυνάμεων :μ ν μ να α α .

6 3 9 4x y = Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων.

3 5x y

γ) 2 34 3 22xy ω x y = Υπολογίζουμε τις δυνάμεις εφαρμόζοντας την ιδιότητα

των δυνάμεων ν ν ναβ α β .

2 2 32 2 4 3 2 32 x y ω x y =

Είναι 22 4 . Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των

δυνάμεων νμ μ να α .

2 8 6 6 34x y ω x y = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων

και τις αντίστοιχες μεταβλητές.

2 6 8 3 64x y ω = 8 11 64x y ω

Άσκηση 5η

Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις που βρήκατε είναι

μονώνυμα;

24


? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου, του ορθογώνιου και του

ημικύκλιου;

Το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά x είναι ίσο με x2.

Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές x και y είναι ίσο με x · y.

Το εμβαδόν κύκλου με ακτίνα x είναι ίσο με πx2. Άρα το εμβαδόν ημικύκλιου (μισού

κύκλου) με ακτίνα x είναι ίσο με 21πx

2.

Λύση

α) Το σχήμα αποτελείται από 3 τετράγωνα.

Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το κάθε τετράγωνο

έχει εμβαδόν x2.

Τα 3 τετράγωνα έχουν εμβαδόν ίσο με 3x2.

β) Το σχήμα αποτελείται από 2 ορθογώνια.

Το κάθε ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το κάθε

ορθογώνιο έχει εμβαδόν xy.

Τα δύο ορθογώνια έχουν εμβαδόν ίσο με 2xy.

γ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο.

Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο

με x2.

Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι xy.

Το εμβαδόν του σχήματος είναι x2 + xy.

δ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ημικύκλιο.

Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με 2x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο

με (2x)2 = 4x2.

25

Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με 2x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με

x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με 21πx

2.

Το εμβαδόν του σχήματος είναι

2 2 21 14x πx 4 π x

2 2

ε) Το σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο.

Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις 2x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι

2xy.

Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με 2x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με

x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με 21πx

2.

Το εμβαδόν του σχήματος είναι 212xy πx2

.

Απάντηση

α) Το εμβαδόν είναι ίσο με 3x2. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο.

β) Το εμβαδόν είναι ίσο με 2xy. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο.

γ) Το εμβαδόν είναι ίσο με x2 + xy. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο.

δ) Το εμβαδόν είναι ίσο με

214 π x

2. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο.

ε) Το εμβαδόν είναι ίσο με 212xy πx2

. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο.

Επομένως, οι παραστάσεις που είναι μονώνυμα είναι οι α, β, δ.

Άσκηση 6η

Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με το άθροισμα των

εμβαδών των κίτρινων τριγώνων.

Η

26


? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου;

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιούμε τον τύπο

Ε = 12

(βάση · ύψος)

? Τι πρέπει να κάνουμε για να λύσουμε την άσκηση;

Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ και το

συνολικό εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ.

Λύση

Τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο)

Το τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο) έχει βάση ίση με x και ύψος ίσο με y.

Επομένως το εμβαδόν του ΓΔΕ είναι (ΓΔΕ) = 1 xy2

.

Τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΕ (κίτρινα τρίγωνα)

Το εμβαδόν των δύο τριγώνων μπορεί να προκύψει αν αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του

ορθογωνίου ΑΒΓΔ το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο).

Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓΔ) = xy.

Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ είναι

(ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) = (ΑΒΓΔ) – (ΓΔΕ) Αντικαθιστούμε όπου (ΑΒΓΔ) το xy και όπου (ΓΔΕ) το

1xy

2.

(ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) = xy – 1

xy2

Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα.

(ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) = 1

1 xy2

Αλλά 1 1

12 2

27

(ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) = 1 xy2

Ώστε: (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) = 1 xy2

Απάντηση

Το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων.

28

ΛΛΥΥΜΜΕΕΝΝΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΕΕΚΚΤΤΟΟΣΣ ΒΒΙΙΒΒΛΛΙΙΟΟΥΥ

Άσκηση 1η

Να βρεθούν οι τιμές των κ και λ ώστε να ισχύουν οι ισότητες

α) :3κ 1 λ κ 2 315x y 3x y 5x y β) :2κ 1 3λ κ 2 λ 1 324α β 12α β αβ

3


? Τι σημαίνει κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες;

Κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του πρώτου

μέλους είναι ίσο με το μονώνυμο του δεύτερου μέλους.

? Πώς θα λύσουμε την άσκηση;

Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει

Να κάνουμε τη διαίρεση των δύο μονώνυμων στα πρώτα μέλη.

Να βρούμε για ποιες τιμές των κ και λ τα μονώνυμα που προέκυψαν στα πρώτα

μέλη είναι ίσα με τα αντίστοιχα μονώνυμα στα δεύτερα μέλη.

? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα;

Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο

του δεύτερου.

29

Λύση

α) :3κ 1 λ κ 2 315x y 3x y 5x y Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο


3κ 1 λ 3κ 2

115x y 5x y

3x y

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος.

3κ 1 λ

3κ 2

15x y5x y

3x y

Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των

δυνάμεων :μ ν μ να α α .

3κ 1 κ λ 2 35x y 5x y Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους.

3κ 1 κ 3λ 2 1

Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ.

2κ 4 κ 2λ 3 λ 3

β) :2κ 1 3λ κ 2 λ 1 314α β 12α β αβ

3

Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο


2κ 1 3λ 3κ 2 λ 1

1 14α β αβ

12α β 3

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος.

2κ 1 3λ

3κ 2 λ 1

4α β 1αβ

12α β 3

Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων :μ ν μ να α α .

2κ 1 κ 2 3λ λ 1 31 1α β αβ

3 3 Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των

αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους.

2κ 1 κ 2 13λ λ 1 3

Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ.

κ 4 κ 42λ 4 λ 2

Απάντηση

α) Είναι κ = 2 και λ = 3.

β) Είναι κ = 4 και λ = 2.

30

Άσκηση 2η

Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες 3x και 4x αντιστοίχως. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν

ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων.


? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν ενός κύκλου;

Ο τύπος για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα ρ είναι Ε = πρ2.

? Πώς θα υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα;

Για να υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα πρέπει:

Να βρούμε το συνολικό εμβαδόν των δύο κύκλων.

Να βρούμε την ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το παραπάνω εμβαδόν.

Λύση

Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα 3x είναι

Ε1 = π(3x)2 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ναβ α β .

Ε1 = π · 32x2 Είναι 32 = 9.

Ε1 = 9πx2

Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα 4x είναι

Ε2 = π(4x)2 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ναβ α β .

Ε2 = π · 42x2 Είναι 42 = 16.

Ε2 = 16πx2

Το άθροισμα των δύο παραπάνω κύκλων είναι ίσο με 9πx2 + 16πx2 = (9 + 16)πx2 = 25πx2.

E1 + E2 = 25πx2

Αν συμβολίσουμε με ρ τη ζητούμενη ακτίνα τότε θα πρέπει να ισχύει πρ2 = 25πx2.

31

Αρκεί να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση για να βρούμε τη ζητούμενη ακτίνα ρ.

πρ2 = 25πx2 Απλοποιούμε το π από τα δύο μέλη.

ρ2 = 25x2 Ισχύει 2x α x α για κάθε θετικό αριθμό α.

2ρ 25x Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών αβ α β για μη αρνητικούς

αριθμούς α και β.

2ρ 25 x Είναι 25 5 γιατί 25 25 . Είναι 2x x x γιατί το x είναι θετικός

αριθμός (το 3x είναι ακτίνα κύκλου άρα x > 0).

ρ 5x

Απάντηση

Η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων είναι 5x.

Άσκηση 3η


α) 13α 27α β) 2 214μ 15μ γ) 2 24β 8β 2β

δ) 7x 5x 14x ε) 2 2 2 219R R 3R 7R στ) 2 1y y y

3 3


? Τι μου ζητάει η άσκηση να κάνω;

Η άσκηση μου ζητάει να κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα. Σε

κάθε πολυώνυμο όμως, υπάρχουν όμοια μεταξύ τους μονώνυμα. Άρα, οι προσθέσεις και οι

αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα.

? Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε ποιος συντελεστής εννοείται ότι υπάρχει;

Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε εννοείται ότι ο συντελεστής του είναι η

32

μονάδα (1).

Λύση

α) 13α 27α = Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

13 27 α = 40α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

β) 2 214μ 15μ = Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα

προσθέσουμε.

214 15 μ = 1μ2 = μ2 Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

γ) 2 24β 8β 2β = Τα δύο από τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να

τα προσθέσουμε.

24 2 β 8β = 26β 8β Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

δ) 7x 5x 14x = Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα


7 5 14 x = Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

16x

ε) 2 2 2 219R R 3R 7R = Τα τέσσερα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα


219 1 3 7 R = Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

24R2

στ) 2 1

y y y3 3

= Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

33

2 1

1 y3 3

= Γράφουμε το 1 ως 33

για να είναι ομώνυμο κλάσμα με τα άλλα δύο

2 1 3

y3 3 3

= Βάζουμε τα τρία κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή

το 3.

2 1 3

y3

= Κάνουμε τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος.

0y = 0

Άσκηση 4η


α) 2 x y 7 ω β) 2 4 31x y x y

3 γ) 2 3 21

x x x αxy 9yx3

δ) : 230xyω 15x ε) :2β αβ στ) :275xyα 5αy

ζ) :3 216αβ x 32α β η) :3 242x y xy θ) 1 2 32 3 2α βγ αβ 4α γ


? Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα;

Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:

Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων και

Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή

γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής

το άθροισμα των εκθετών της).

? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα;

Για να διαιρέσουμε τα δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το

αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

34

Λύση

α) 2 x y 7 ω = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και

τις αντίστοιχες μεταβλητές.

2 1 1 7 1 xyω = Κάνουμε τις πράξεις.

14xyω

β) 2 4 31x y x y

3 = Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και

τις αντίστοιχες μεταβλητές.

2 4 3 111 x y

3 = Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες.

6 41x y

3

γ) 2 3 21x x x αxy 9yx

3


1 2 3 1 2 1 119x αy

3 = Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες.

9 23x αy

δ) : 230xyω 15x = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του


2

130xyω

15x


2

30xyω15x

= Απλοποιούμε το κλάσμα.

2yω

x

35

ε) :2β αβ = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

2 1β

αβ = Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

2β

αβ = β

α Απλοποιούμε το κλάσμα.

στ) :275xyα 5αy = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

2 175xyα

5αy


275xyα

5αy = Απλοποιούμε το κλάσμα.

15xα

ζ) :3 216αβ x 32α β = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

32

116αβ x

32α β = Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

3

2

16αβ x32α β

= Απλοποιούμε το κλάσμα.

2β x

2α

η) :3 242x y xy = Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

3 2 142x y

xy = Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

3 242x y

xy = Απλοποιούμε το κλάσμα.

242x y

36

θ) 1 2 32 3 2α βγ αβ 4α γ = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν

ν

1α

α .

2 33 2

12

1αβ 4α γ

α βγ = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ναβ α β .

2 332 3 2 32

1α β 4 α γ

α βγ = Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων νμα .

32 3 2 2 3 32

1α β 4 α γ

α βγ = Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στους εκθέτες των

δυνάμεων.

32 6 6 32

1α β 4 α γ

α βγ = Είναι 3 34 4 64 .

2 6 6 3

2

64α β α γα βγ

= Διαγράφουμε τους ίδιους όρους.

264 α 6 6 3

2

β α γ

α βγ= Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων :μ ν μ να α α .

6 6 1 3 164α β γ = Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες.

6 5 264α β γ

37

Άσκηση 5η

Να βρείτε ένα μονώνυμο που να εκφράζει την περίμετρο του διπλανού

σχήματος. Η πλευρά του κάθε μικρού τετραγώνου είναι ίση με α.


? Πώς βρίσκουμε την περίμετρο ενός σχήματος;

Για να βρούμε την περίμετρο ενός σχήματος προσθέτουμε τα μήκη όλων των πλευρών

του.

Λύση

Το σχήμα αποτελείται από

5 οριζόντιες πλευρές

5 κάθετες πλευρές

Η μεγάλη οριζόντια πλευρά έχει μήκος 8α.

Η κάθε μία από τις 4 μικρές οριζόντιες πλευρές έχει μήκος 2α. Άρα οι 4 μικρές οριζόντιες πλευρές

έχουν μήκος

2α + 2α + 2α + 2α = Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

(2 + 2 + 2 + 2)α = 8α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

Η μεγάλη κάθετη πλευρά έχει μήκος 4α.

Η κάθε μία από τις 4 μικρές κάθετες πλευρές έχει μήκος α. Άρα οι 4 μικρές κάθετες πλευρές έχουν

μήκος

α + α + α + α = 4α.

Για να βρούμε την περίμετρο πρέπει να προσθέσουμε όλα τα παραπάνω μήκη. Είναι:

8α + 8α + 4α + 4α = Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

(8 + 8 + 4 + 4)α = 24α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση.

Απάντηση

Η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 24α.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - e-xidas.gr · 3 Αφαίρεση μονώνυμων...

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - e-xidas.gr · 3 Αφαίρεση μονώνυμων...