ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑspn/files/MECA...

Click here to load reader

  • date post

    05-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑspn/files/MECA...

  • ΜΑΘΗΜΑ 7:

    ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    Sagredo: Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ορμή ενός σώματος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος.

    Salviati: Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο σύντροφο στην πλάνη, γιατί κάποτε συμμεριζόμουν αυτή την εσφαλμένη αντίληψη.

    ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ

    Οι Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας* έδωσαν το έναυσμα σε μια νέα πορεία της μαθηματικής σκέψης που οδήγησε στη θεμελίωση του Μαθηματικού Λογισμού. Οι μαθηματικοί του 18ου και 19ου αιώνα, όταν επιχείρησαν να αναδιατυπώσουν με σαφήνεια το θεωρητικό υπόβαθρο της Κλασικής Μηχανικής, βρέθηκαν αντιμέτωποι με μια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών που προκλήθηκαν κυρίως από την έννοια της δύναμης. Η αμφισβήτηση της κεντρικής εννοιολογικής της θέσης έγινε εντονότερη με τα επιτεύγματα του 20ου αιώνα και οι εξελίξεις έδειξαν ότι υπάρχουν σοβαροί λόγοι αναθεώρησης της ορθολογικής βάσης στην οποία θεμελιώθηκε η Κλασική Μηχανική.

    Με την πάροδο του χρόνου, οι έννοιες της ορμής, της στροφορμής και της ενέργειας, άρχισαν να καταλαμβάνουν κεντρική θέση στην προσπάθεια ορθολογικής ερμηνείας και κατανόησης της φυσικής πραγματικότητας. Οι νόμοι της φύσης, από ότι τουλά-χιστο γνωρίζουμε, είναι ίδιοι παντού στο χώρο και στο χρόνο. Η χωρική ομογένεια, η χωρική ισοτροπία και η χρονική ομογένεια είναι μάλλον οι βαθύτεροι λόγοι που καθι-στούν τις αρχές διατήρησης της ορμής, της στροφορμής και της ενέργειας κυρίαρχες και θεμελιώδεις στην Κλασική Μηχανική.

    * Isaac Newton, “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, 1687.

  • 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    ◊ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η ορμή μιας σημειακής μάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το γινόμενο της μάζας της επί την ταχύτητά της:

    ( ) ( ) p t m r t .

    Η ορμή μιας σημειακής μάζας.

    Η ορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών κατά την κίνησή τους στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το άθροισμα των ορμών τους:

    1( ) ( )

    N

    ii

    p t p t

    , ( ) ( )i i ip t m r t , 1,...,i N .

    Η ορμή του αδρανειακού κέντρου ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών.

    Το αξιοσημείωτο είναι ότι η ορμή κάθε συστήματος σημειακών μαζών ταυτίζεται με την ορμή του αδρανειακού του κέντρου όπου εκεί θεωρείται συμπυκνωμένη η μάζα του και ασκείται η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων: *

    ( ) ( )p t r t m . * Πράγματι, είναι προφανές ότι:

    1 1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N

    i i i i ii i i

    d dp t p t m r t m r t r t r tdt dt

    m m .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    59

    Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς οι νόμοι της κίνησης υποδεικνύουν τα εξής: Ο πρώτος νόμος υπαγορεύει ότι αν σε μια σημειακή μάζα δεν ασκείται δύναμη τότε η ορμή της διατηρείται σταθερή. Ο δεύτερος νόμος υπαγορεύει ότι αν σε μια σημειακή μάζα ασκείται δύναμη τότε η εξίσωση της κίνησής της εκφράζεται ως εξής:

    ( ) F( )dp t tdt

    .

    Ο τρίτος νόμος υπαγορεύει ότι αν σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ασκούνται μό-νο δυνάμεις αλληλεπίδρασης τότε το άθροισμα των ορμών τους διατηρείται σταθερό. Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της ορμής κατέχει κεντρική θέση και διατυπώνεται στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ως εξής: Αρχή διατήρησης της ορμής. Αν οι ασκούμενες εξωτερικές δυνάμεις σε ένα σύστημα σημειακών μαζών έχουν μηδενική συνισταμένη τότε η ορμή του διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης, παρότι οι ορμές των σημειακών μαζών ίσως δεν είναι σταθερές:

    1 1F ( ) = 0 ( ) ( )

    N N

    i ii i

    t p t p t

    σταθερή.

    Πράγματι, σε κάθε σύστημα σημειακών μαζών ισχύει:

    1 1

    ( )F ( )

    N N

    ii

    i i

    dp tt

    dt

    1 1( ) F ( )

    N N

    i ii i

    d p t tdt

    1

    ( ) F ( )N

    ii

    dp t tdt

    .

    Συνεπώς, αν η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μηδενική τότε οι τρεις συνιστώσες της ορμής είναι σταθερές, αλλά ακόμη και αν μια ή δυο από τις συνιστώσες της ασκούμενης εξωτερικής δύναμης είναι μηδενικές τότε οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορμής διατηρούνται σταθερές. Το άθροισμα των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων προσδίδει στο σύστημα των ση-μειακών μαζών μια ώθηση που μεταξύ δυο χρονικών στιγμών προσμετράται από την αντίστοιχη μεταβολή της ορμής:

    2 2

    1 12 1F( ) ( ) ( ) ( )

    t t

    t tt dt p t dt p t p t

    .

  • 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει γιατί αποδεχτήκαμε αξιωματικά το νόμο δράσης και αντίδρασης που διασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλ-ληλεπίδρασης, αλλά και αντίστροφα αν αποδεχτούμε αξιωματικά την αρχή διατήρησης της ορμής απορρέει συλλογιστικά ο νόμος δράσης και αντίδρασης. Όμως, η χρονική υστέρηση της διάδοσης της δύναμης, που προκαλεί εννοιολογικές δυσχέρειες στο νό-μο δράσης και αντίδρασης, δεν επηρεάζει την αρχή διατήρησης της ορμής η οποία έτσι καθίσταται εννοιολογικά σημαντικότερη από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Επιπλέον, στην αρχή διατήρησης της ορμής αντικατοπτρίζεται η ομογένεια του χώρου. Ένα σώμα στο οποίο δεν επιδρούν εξωτερικές δυνάμεις δεν θα επιταχυνθεί αυθόρμητα από μόνο του προς κάποια κατεύθυνση γιατί αυτό θα σήμαινε ότι ο χώρος δεν είναι ομογενής. Έτσι, αν το αδρανειακό κέντρο ενός σώματος έχει κάποια ταχύτητα, την ίδια ταχύτητα θα έχει οπουδήποτε αλλού στον κενό χώρο, άρα η ορμή του και κατά συνέ-πεια η ορμή του σώματος είναι σταθερή. Ο λόγος αυτός οδήγησε στην επανεξέταση του εννοιολογικού ρόλου του τρίτου νόμου και έθεσε το ζήτημα αντικατάστασής του από την αρχή διατήρησης της ορμής στην αξιωματική θεμελίωση της Κλασικής Μηχανικής. Άλλωστε, εκεί όπου δεν ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα, στη Σχετικότητα και στην Κβαντομηχανική, η αρχή διατήρησης της ορμής εξακολουθεί να ισχύει και να συνδέεται με την ομογένεια του χώρου.*

    Οι ορμές των μαζών μεταβάλλονται κατά την κρούση αλλά το άθροισμά τους διατηρείται σταθερό και το αδρανειακό τους κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

    * Στη Σχετικότητα ο ορισμός της ορμής είναι πιο πολύπλοκος αφού εκεί ακόμη και σωμάτια χωρίς μάζα έχουν ορμή.

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    61

    ◊ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η στροφορμή μιας σημειακής μάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το διανυσματικό γινόμενο της θέσης της επί την ορμή της:

    ( ) ( ) ( )t r t p t .

    Το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται κάθε χρονική στιγμή από τα διανύσματα της θέσης και της ορμής της σημειακής μάζας.

    Η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών κατά την κίνησή τους στο χώρο ορί-ζεται ως το άθροισμα των στροφορμών των σημειακών μαζών:

    1 1( ) ( ) ( ) ( )

    N N

    i i ii i

    t t r t p t

    .

    Η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών ως προς ένα σημείο αναφοράς στο χώρο.

    Ας σημειωθεί ότι η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών δεν ταυτίζεται με τη στροφορμή του αδρανειακού του κέντρου όπου εκεί θεωρείται συμπυκνωμένη η μάζα του και ασκείται η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων:

    ( ) ( ) ( )o t r t p t .

  • 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Ο ορισμός και υπολογισμός της στροφορμής μιας σημειακής μάζας προϋποθέτει την επιλογή ενός σημείου αναφοράς στο χώρο το οποίο, στην προκειμένη περίπτωση, είναι η αρχή του ευκλείδειου χώρου και το ίδιο ισχύει για τα συστήματα σημειακών μαζών. Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σημείο αναφοράς ερμηνεύει τη στροφορμή κάθε κινούμενης σημειακής μάζας ως την τάση της να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω του, χωρίς να σημαίνει ότι οπωσδήποτε θα εκτελεστεί αυτή η κίνηση. Η τάση αυτή αποτι-μάται αριθμητικά κάθε χρονική στιγμή από το μέτρο της στροφορμής, δηλαδή το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων της θέσης και της ορμής επί το ημίτονο της μικρότερης προσανατολισμένης γωνίας τους:

    ( ) ( ) ( )sin ( )t r t p t t .

    Όταν η σημειακή μάζα κινείται ευθύγραμμα σε φορέα διερχόμενο από το σημείο ανα-φοράς τότε η στροφορμή της είναι μηδενική, αφού τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι συγγραμμικά, αλλά αν ο φορέας της δεν διέρχεται από το σημείο αναφο-ράς τότε η στροφορμή δεν είναι μηδενική και το μέτρο της αποκτά μέγιστη τιμή κάθε στιγμή που τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι μεταξύ τους ορθογώνια. Η συνεισφορά της ορμής της σημειακής μάζας στη στροφορμή της είναι τόσο μεγαλύ-τερη όσο μικρότερο είναι το μέτρο της προβολής της στο φορέα του διανύσματος της θέσης. Η συνεισφορά αυτή είναι μηδενική κάθε στιγμή που τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι συγγραμμικά και γίνεται πλήρης όταν είναι ορθογώνια. Κατά τη διάρκεια της κίνησης μιας σημειακής μάζας στο χώρο υπό την επίδραση μιας δύναμης, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της εκφράζει τη ροπή της δύναμης ως προς το δεδομένο σημείο αναφοράς:*

    ( ) ( ) F( ) ( )d t r t t tdt

    .

    Συνεπώς, αν στη διάρκεια της κίνησης η ροπή της ασκούμενης δύναμης είναι μηδενική τότε η στροφορμή της σημειακής μάζας διατηρείται σταθερή και αυτό σημαίνει ότι διατηρούνται σταθερές οι τρεις συνιστώσες της:

    ( ) 0t

    3 2 3 2 3 2 1

    1 3 1 3 1 3 2

    2 1 2 1 2 1 3

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ccc

    t t t t

    t t t t t

    t t t t

    m x x m x xm x x m x xm x x m x x

    * Πράγματι, είναι προφανές ότι:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( ) ( )d t d r t p t r t p t r t p t r t t tdt dt

    .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    63

    Όταν πρόκειται για ένα σύστημα σημειακών μαζών, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σημείο αναφοράς, αθροίζοντας τις στροφορμές των σημειακών μαζών, ερμηνεύει τη στροφορμή του συστήματος ως την τάση του να εκτελέσει γύρω από αυτόν στροφική κίνηση, χωρίς να σημαίνει ότι οπωσδήποτε θα εκτελεστεί αυτή η κίνηση. Αλλά, η τάση αυτή δεν ταυτίζεται πάντα με την τάση στροφικής κίνησης του αδρανειακού κέντρου.

    Η ολική ροπή των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ορίζεται ως το άθροισμα των ροπών των ασκούμενων δυνάμεων σε όλες τις σημειακές μάζες ως προς το δεδομένο σημείο αναφοράς. Ο νόμος δράσης και αντίδρασης επιβάλλει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης και κατά συνέπεια στην ολική ροπή υπεισέρχονται μόνο οι ασκούμενες εξωτερικές δυνάμεις: *

    1( ) ( ) F ( )( )

    N

    i ii

    t r t t

    .

    Η ροπή των ασκούμενων δυνάμεων στο σύστημα σημειακών μαζών ως προς ένα σημείο αναφοράς στο χώρο.

    Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της στροφορμής κατέχει κεντρική θέση και διατυπώνεται στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ως εξής:

    Αρχή διατήρησης της στροφορμής. Αν η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μηδενική τότε η στροφορμή του διατη-ρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης, παρότι οι στροφορμές των σημειακών μαζών ίσως δεν είναι σταθερές:

    1 1( ) ( ) 0 ( ) ( )

    N N

    i ii i

    t t t t

    σταθερή.

    * Από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης προκύπτει:

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0( )i ij j ji i j ijr t f r t f r t r t f

           1

    ( ) 0N

    i ii

    r t f

    ,   1,...,i, j N . 

  • 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Πράγματι, στα κάθε σύστημα σημειακών μαζών ισχύει: *

    1

    ( ) ( ) F ( ) ( )( )N

    i ii

    d t r t t tdt

    .

    Συνεπώς, αν η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα ση-μειακών μαζών είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης οι τρεις συνιστώσες της στροφορμής διατηρούνται σταθερές, αλλά ακόμη και αν μια ή δυο από τις συνι-στώσες της ολικής ροπής είναι μηδενικές τότε οι αντίστοιχες συνιστώσες της στρο-φορμής διατηρούνται σταθερές. Έτσι, αν οι θέσεις των σημειακών μαζών εντοπίζονται στον ευκλείδειο χώρο με τα διανύσματα:

    ( ) ( ), ( ), ( )i i1 i2 i3r t x t x t x t , 1,...,i N ,

    τότε

    ( ) 0t

    11

    21

    31

    ( ) :

    ( ) ( ) ( ) ( ) c

    ( ) ( ) ( ) ( ) c

    ( ) ( ) ( ) ( ) c

    N

    i i2 i3 i2 i3iN

    i i3 i1 i3 i1iN

    i i1 i2 i1 i2i

    t

    m x t x t x t x t

    m x t x t x t x t

    m x t x t x t x t

    Η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων προσδίδει στο σύστημα των ση-μειακών μαζών μια στροφική ώθηση που μεταξύ δυο χρονικών στιγμών προσμετράται από την αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής:

    2 2

    1 12 1( ) ( ) ( ) ( )

    t t

    t tt dt d t t t

    .

    Η αρχή διατήρησης της στροφορμής υποδεικνύει ότι ένα σύστημα σημειακών μαζών στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις δεν θα αλλάξει αυθόρμητα από μόνο του τη στροφική του κατάσταση. Άλλωστε το είχε ήδη πει ο Νεύτωνας στα σχόλιά του στις Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας.

    * Το συμπέρασμα προκύπτει από τον ακόλουθο υπολογισμό:

    1 1 1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )N N N Ni i i i i i ii i i i

    d t d dt r t p t r t p t r t p tdt dt dt

    1 1 1 1 1 1

    i

    ( ) ( F ) ( ) ( ) F ( ) F ( ) ( )( )N N N N N Ni ij i i i i i i i ii j i i i i

    j

    r t f r t f r t r t t t

    .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    65

    ◊ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΔΙΟΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός συστήματος σημειακών μαζών που κινούνται στο χώρο ορίζεται ως η στροφορμή του αναφορικά προς το αδρανειακό του κέντρο: *

    1 1( ) ( ) ( ) ( )

    N N

    i i ii i

    t t r t p t

    .

    Η ιδιοστροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών είναι η στροφορμή του ως προς το αδρανειακό του κέντρο. Η ιδιοστροφορμή κάθε συστήματος σημειακών μαζών εκφράζει την ενδογενή τάση εκτέλεσης στροφικής κίνησης γύρω από το αδρανειακό του κέντρο. Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό κέντρο έχει ενδογενή αντίληψη της στροφικής τάσης του συστήματος, ενώ ο παρατηρητής που βρίσκεται σε κάποιο άλλο σημείο του χώρου έχει εξωγενή αντίληψη που διαμορφώνεται από τη συνάθροιση της ιδιοστροφορμής με τη στροφορμή του αδρανειακού κέντρου.

    Η στροφορμή του αδρανειακού κέντρου καλείται τροχιακή στροφορμή και δεν είναι ενδογενές γνώρισμά του συστήματος των σημειακών μαζών αφού εξαρτάται από το σημείο αναφοράς του παρατηρητή:

    ( ) ( ) ( )o t r t p t .

    * Στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς, θεωρούμε το διάνυσμα θέσης ( )r t του αδρανειακού κέντρου του συστήμα-τος των σημειακών μαζών και σε ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο προσδιορίζουμε τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας των σημειακών μαζών:

    ( ) ( ) ( )i ir t r t r t

    , ( ) ( ) ( )i ir t r t r t , 1,...,i N ,

    και προκύπτει:

    =1( ) 0

    N

    i ii

    m r t άρα =1

    ( ) 0N

    i ii

    m r t και i=1

    ( ) 0N

    ip t .

  • 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Η ιδιοστροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών εκφράζεται ως διανυσματική διαφορά της στροφορμής του και της στροφορμής του αδρανειακού του κέντρου: *

    ( ) ( ) ( )ot t t

    .

    Όταν το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σε φορέα που διέρχεται από το σημείο αναφοράς του παρατηρητή τότε η στροφορμή του είναι μηδενική και κατά συνέπεια η στροφορμή του συστήματος ταυτίζεται με την ιδιοστροφορμή του:

    ( ) ( )t t

    .

    Η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο ορίζεται ως εξής:

    1 1( ) ( ) ( ) F ( )

    N N

    i i ii i

    t t r t t

    .

    Η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο προκύπτει από τη διανυσματική διαφορά μεταξύ της ολικής ροπής τους και της συνισταμένης εξωτερικής δύναμης ως προς το σημείο αναφοράς του παρατηρητή:

    ( ) ( ) ( ) F( )t t r t t .

    Η ροπή των ασκούμενων δυνάμεων στο σύστημα σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο.

    * Πράγματι, είναι προφανές ότι :

    1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N

    i i i i i ii i

    t r t m r t r t r t m r t r t

    1 1 1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N N

    i i i i i i i ii i i i

    r t m r t r t m r t r t m r t r t m r t

    1 1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N

    i i i i i ii i i

    r t r t m r t r t r t m r t r t p t r t p t t

    m

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    67

    Κατά τη διάρκεια της κίνησης των σημειακών μαζών στο χώρο, ο ρυθμός μεταβολής της ιδιοστροφορμής του συστήματός τους εκφράζει την ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο:*

    1 1

    ( ) ( ) F ( ) ( ) ( )( )N N

    i i ii i

    d t r t t t tdt

    .

    Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό κέντρο υπολογίζει τη στροφική ώθηση του συστήματος των σημειακών μαζών μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ως εξής:

    2 2

    1 12 1( ) ( ) ( ) ( )

    t t

    t tt dt d t t t

    .

    Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής κατέχει κεντρική θέση και το σημαντικό είναι ότι η αρχή αυτή ισχύει όχι μόνο στα αδρανειακά συστή-ματα αναφοράς αλλά και στα συστήματα αναφοράς που ακολουθούν την κίνηση του αδρανειακού κέντρου του συστήματος των σημειακών μαζών:

    Αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής. Αν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών, ως προς το αδρανειακό του κέντρο, είναι μηδενική τότε η ιδιοστροφορμή του διατηρείται σταθερή:

    1 1( ) ( ) 0 ( ) ( )

    N N

    i ii i

    t t t t

    σταθερή.

    Η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής υποδεικνύει ότι ένα σύστημα σημειακών μαζών στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις δεν θα αλλάξει αυθόρμητα από μόνο του τη στροφική του κατάσταση και αυτό σημαίνει αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης ως προς το αδρανειακό του κέντρο. Η γνώση της ιδιοστροφορμής, ως ενδογενούς χαρακτηριστικού των φυσικών συστη-μάτων, έχει ιδιαίτερη σημασία και είναι αξιοσημείωτο ότι συνάγεται συλλογιστικά από τη μέτρηση δυο μη ενδογενών γνωρισμάτων τους, αφού ο εξωτερικός παρατηρητής μπορεί να την συμπεράνει εφόσον υπολογίσει από τη θέση στην οποία βρίσκεται τη στροφορμή των σημειακών μαζών και την στροφορμή του αδρανειακού τους κέντρου.

    * O νόμος δράσης και αντίδρασης αλληλοαναιρεί τις ροπές των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης, άρα:

    1 1

    ( ) ( ) ( ) F( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( )N N

    i i i ii i

    d t d t r t t r t r t t r t t tdt dt

    .

  • 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Η διάκριση της ιδιοστροφορμής σε στροφορμή και τροχιακή στροφορμή έχει αποδει-χθεί χρήσιμη για την κατανόηση της συμπεριφοράς των σωματιδίων, αφού στα περισ-σότερα από αυτά η ιδιοστροφορμή αποτελεί αναλλοίωτη ιδιότητά τους.

    Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της στροφορμής κατέχει θεμελιακή θέ-ση και αντικατοπτρίζεται στην ισοτροπία του χώρου που εκφράζεται με τους γαλιλαϊ-κούς μετασχηματισμούς των χωρικών στροφών, όπως και η αρχή διατήρησης της ορμής αντικατοπτρίζεται στην ομογένεια του χώρου που εκφράζεται με τους γαλιλαϊ-κούς μετασχηματισμούς των χωρικών μεταφορών. Οι αρχές αυτές δηλώνουν ότι οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των σωμάτων είναι ίδιοι παντού στον κενό χώρο.

    Σε αυτές τις αρχές διατήρησης επισυνάπτεται και η αρχή διατήρησης της ενέργειας, που θα πραγματευτούμε στο επόμενο κεφάλαιο, στην οποία αντικατοπτρίζεται η ομο-γένεια του χρόνου και δηλώνει ότι οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των σωμάτων δεν αλλάζουν στο πέρασμα του χρόνου.

    Η συλλογιστική που οδηγεί στο συσχετισμό της αρχής διατήρησης της στροφορμής με την ισοτροπία του χώρου καταλήγει σε λογικά συμπεράσματα αλλά όχι σε απόλυτα επιβεβαιωμένες αλήθειες της φυσικής πραγματικότητας. Σε πολύπλοκα συστήματα, όπου τα συστατικά τους στοιχεία βρίσκονται σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, η χωρική ισοτροπία υποδεικνύει μόνο ότι μάλλον κάποιες στροφικές ιδιότητες διατηρούνται και όχι εξολοκλήρου η στροφορμή τους.

    Άλλωστε, η αρχή διατήρησης της στροφορμής δεν έχει ακόμη ελεγχθεί σε περιοχές πέρα από το ηλιακό μας σύστημα και το ερώτημα ισχύος της στο γαλαξιακό ή μεσο-γαλαξιακό χώρο περιμένει την απάντησή του. Αν η απάντηση είναι αρνητική, τότε σημαίνει ότι κάπου μακρύτερα ο χώρος δεν είναι απόλυτα ισότροπος και ένα τέτοιο συμπέρασμα θα οδηγήσει σε σημαντικές αποκαλύψεις της δομής του σύμπαντος. *

    Οι νόμοι της φύσης, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουμε, κάθε χρονική στιγμή είναι ίδιοι παντού στο χώρο. Η χωρική ομογένεια, η χωρική ισοτροπία και η χρονική ομογένεια είναι μάλλον οι βαθύτεροι λόγοι που οδηγούν στις αρχές διατήρησης της ορμής της στροφορμής και της ενέργειας, καθιστώντας τις κυρίαρχες και θεμελιώδεις για την Κλασική Μηχανική.

    * Η στροφική κίνηση, όπως φαίνεται, είναι χαρακτηριστικό των περισσότερων δομών στη φύση, από τους γαλαξίες έως το νετρίνο. Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε μια μέρα και περιφέρεται γύρω από τον ήλιο σε ένα χρόνο, αλλά και ο ήλιος περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του σε 25 μέρες και περιφέρεται κάνοντας το γύρο του γαλαξία σε 230 εκατομμύρια χρόνια. Όσο κατεβαίνουμε την κλίμακα των μεγεθών, τα μόρια περιστρέφονται και το ίδιο κάνουν τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους και περιφέρονται μέσα στα άτομα.

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    69

    ◊ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η κινητική ενέργεια* μιας σημειακής μάζας οφείλει την ύπαρξή της στην κίνηση μέσα στο χώρο και ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως εξής:

    1

    2( ) ( ), ( )K t m < r t r t .

    Συνεπώς, κάθε χρονική στιγμή, η τιμή της κινητικής ενέργειας μιας σημειακής μάζας υπολογίζεται ως εξής:

    21

    2( ) || ( ) ||K t m r t

    και εισάγοντας την ορμή εκφράζεται ισοδύναμα ως εξής:

    21

    2( ) || ( ) ||K t p t

    m

    .

    Κατά την κίνηση μιας σημειακής μάζας στο χώρο υπό την επίδραση μιας δύναμης, η χρονική μεταβολή της κινητικής της ενέργειας υπολογίζεται ως εξής:

    1

    2

    ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) F( ), ( )( )dK t d m < r t r t < mr t r t t r tdt dt

    και κάθε χρονική στιγμή ορίζεται η ισχύς της δύναμης:

    ( ) F( ), ( )t t r t .

    Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών κατά την κίνησή τους στο χώ-ρο ορίζεται ως άθροισμα των κινητικών τους ενεργειών:

    2

    1

    12

    ( ) || ( ) ||N

    i ii

    K t m r t

    και εισάγοντας την ορμή εκφράζεται ισοδύναμα ως εξής:

    2

    1

    12

    || ( ) ||( )N

    i

    i i

    p tK tm

    .

    * Η εισαγωγή της έννοιας της κινητικής ενέργειας δεν έγινε από τον Νεύτωνα, αλλά στην απαρχή της βρίσκεται ο Leibniz ο οποίος, αντιπαρατιθέμενος στην πειραματικά ελεγμένη θέση του Καρτέσιου για τη διατήρηση της ορμής, δήλωνε ότι η λογική και το πείραμα υποδεικνύουν ότι αυτό που διατηρείται δεν είναι το γινόμενο της μάζας με την ταχύτητα, αλλά της μάζας με το τετράγωνο της αριθμητικής τιμής της ταχύτητας, (Δοκίμια Δυναμικής, 1691).

  • 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών δεν συμπίπτει με την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου όπου θεωρείται συμπυκνωμένη όλη η μάζα του:

    2o

    12

    ( ) || ( ) ||K t r t m

    και η οποία εκφράζεται ισοδύναμα ως εξής:

    2 2o

    1

    1 12 2

    ( ) || ( ) || || ( ) ||N

    ii

    K t p t p t

    m m

    .

    Συγκεκριμένα, θεωρώντας τις θέσεις και τις ταχύτητες των σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήματός τους ορίζεται η στροφική κινητική ενέργεια:

    2

    1

    12

    ( ) || ( ) ||N

    i ii

    K t m r t

    που εκφράζεται ως εξής:

    2

    1

    12

    || ( ) ||( )N

    i

    i i

    p tK tm

    .

    Κάθε χρονική στιγμή, η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών αποσυ-ντίθεται σε άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του αδρανειακού κέντρου και της στροφικής κινητικής ενέργειάς: *

    o( ) ( ) ( )K t K t K t .

    H ισχύς των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ορίζεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής:

    1( ) F , ( )

    N

    i ii

    t r t

    * Θεωρώντας τα διανύσματα θέσης των σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήματός τους:

    ( ) ( ) ( )i ir t r t r t

    , 1,...,i N , και λαμβάνοντας υπόψη ότι:

    i=1

    ( ) 0N

    ii

    m r t και i=1

    ( ) 0N

    ii

    m r t προκύπτει:

    1 1

    1 12 2

    ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )N N

    i i i i i ii i

    K t m r t r t m r t r t r t r t

    o1 1 1

    1 12 2

    ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )N N N

    i i i i i ii i i

    m r t r t m r t r t m r t r t K t K t

    .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    71

    και η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης υπολογίζεται ως εξής:

    1( ) , ( )

    N

    i ii

    t f r t

    .

    Η αρχή δράσης και αντίδρασης δεν υπαγορεύει το μηδενισμό της ισχύος των εσωτε-ρικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης ενός συστήματος σημειακών μαζών, όμως είναι ση-μαντικό να σημειωθεί ότι η ισχύς αυτή δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο προσδιορίζονται οι θέσεις και οι ταχύτητες των σημειακών μαζών:*

    1( ) , ( )

    N

    i ii

    t f r t

    .

    Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος σημειακών μαζών εκφράζει το άθροισμα της ισχύος των εξωτερικών και των εσωτερικών δυνάμεων:

    ( ) ( ) ( )dK t t tdt

    .

    Συνεπώς, όταν σε ένα σύστημα σημειακών μαζών δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις τότε η κινητική του ενέργεια δεν θα διατηρηθεί σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης, εκτός αν η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική:

    &( ) 0 ( ) 0 ( )t t K t σταθερή.

    Για παράδειγμα, όταν κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός κλειστού συστήματος διατη-ρούνται σταθερές οι αποστάσεις μεταξύ των σημειακών του μαζών τότε η εσωτερική ισχύς είναι μηδενική και αυτό συμβαίνει στην περίπτωση των στερεών σωμάτων.

    * Πράγματι, είναι προφανές ότι:

    1 1 1 1 1, ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( )

    N N N N N

    i i i i i i i i ii i i i i

    f r t f r t r t f r t f r t f r t

    .

    Επίσης, ομαδοποιώντας σε ζεύγη τους όρους που υπεισέρχονται στον υπολογισμό αυτής της ισχύος προκύπτει:

    ( ), ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) ,( ) ( )i ij j ji i j ij i j ij< r t f r t f r t r t f r t r t f , 1,...,i, j N .

    Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται ως εξής:

    1 1

    12

    ( ) ( ), ( ) ( ), ( )( )N N

    i i i i i ii i

    dK t d m r t r t m r t r tdt dt

    1 1 1F , ( ) F , ( ) , ( )

    N N N

    i i i i i i ii i i

    f r t r t f r t

    .

  • 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Παραδείγματα της κίνησης ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών στο χώρο. Θεωρούμε ένα ζεύγος σημειακών μαζών 1m και 2m που η θέση τους εντοπίζεται στον ευκλείδειο χώρο, κάθε χρονική στιγμή, με τα αντίστοιχα διανύσματα 1( )r t

    και 1( )r t ,

    άρα το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζεται με το διάνυσμα θέσης:

    1 1 2 2

    1 2

    ( ) ( )( )

    m r t m r tr t

    m m

    .

    Το αδρανειακό κέντρο ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών.

    Οι σημειακές μάζες, εκτός από τις αμοιβαίες δυνάμεις αλληλεπίδρασης, θεωρούμε ότι δέχονται αντίστοιχα την επίδραση δυο εξωτερικών δυνάμεων 1F

    και 2F

    . Έτσι, συμβο-

    λίζοντας ijf

    τη δύναμη αλληλεπίδρασης που ασκεί η σημειακή μάζα im στη σημειακή μάζα jm , 1,2i , οι εξισώσεις της κίνησής τους εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

    1 1 12 1( ) Fm r t f και 2 2 21 2( ) Fm r t f

    .

    Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και ο νόμος δράσης και αντίδρασης υπαγορεύει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων:

    12 21 0f f

    ,

    άρα η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση:

    1 2 1 2( ) ( ) F Fm m r t .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    73

    Ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς δηλώνει για την κίνηση του συστήματος των δυο σημειακών μαζών τα εξής: ✓ Αν η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική τότε το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι οι δυο σημειακές μάζες εκτελούν τέτοια κίνηση, άρα η ορμή του και κατά συνέπεια η ορμή του συστήματός τους διατηρείται σταθερή:

    1 2F ( ) F ( ) 0t t

    1 2( ) ( ) ( )p t m m r t σταθερή.

    Το συμπέρασμα αυτό διασφαλίζεται από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνά-μεων αλληλεπίδρασης που υπαγορεύεται από το νόμο δράσης και αντίδρασης. ✓ Αν η ροπή της συνισταμένης των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η στρο-φορμή του αδρανειακού κέντρου διατηρείται σταθερή:

    1 2( ) ( ) F ( ) F ( ) 0( )o t r t t t 1 2( ) ( ) ( ) ( )o t m m r t r t

    σταθερή.

    Αν η συνισταμένη ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η στροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών διατηρείται σταθερή:

    1,2( ) ( ) F ( ) 0( )i i

    it r t t

    1,2( ) ( ) ( )( )i i

    it r t p t

    σταθερή.

    Αν η συνισταμένη ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανεια-κό κέντρο είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η ιδιοστροφορμή του συ-στήματος των σημειακών μαζών διατηρείται σταθερή:

    1,2( ) ( ) F ( ) 0( )i i

    it r t t

    1,2( ) ( ) ( )( )i i

    it r t p t

    σταθερή.

    Τα συμπεράσματα αυτά διασφαλίζονται από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης η οποία υπαγορεύει την αλληλοαναίρεση των ροπών τους:

    Κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος των σημειακών μαζών στο χώρο ισχύει:

    ( ) ( ) ( )ot t t

    .

  • 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    ✓ Η κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών υπολογίζεται ως εξής:

    2 21 2

    1 2

    || ( ) || || ( ) ||( )2 2

    p t p tK tm m

    και αποσυντίθεται σε άθροισμα μεταφορικής και στροφικής κινητικής ενέργειας:

    21 2

    1 2

    || ( ) ( ) ||( )2( )o

    p t p tK tm m

    και

    2 21 2

    1 2

    || ( ) || || ( ) ||( )2 2

    p t p tK tm m

    .

    Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας δίνει την ισχύ των ασκούμενων εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων:

    ( ) ( ) ( )dK t t tdt

    .

    Η ισχύς των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων υπολογίζεται ως εξής:

    1 1 2 2( ) F , ( ) F , ( )t r t r t .

    Ο νόμος δράσης και αντίδρασης δεν υπαγορεύει το μηδενισμό της ισχύος των εσωτε-ρικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης που, όπως βλέπουμε, δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς και κατά συνέπεια αποτελεί ενδογενές γνώρισμα του συστήματος:

    12 1 21 2 12 1 2 12 1 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( )t f r t f r t f r t -r t f r t -r t .

    Αν οι σημειακές μάζες κατά τη διάρκεια της κίνησής τους διατηρούν σταθερή την από-στασή τους τότε η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης είναι μηδενική.

    Αν οι σημειακές μάζες διατηρούν σταθερή τη μεταξύ τους απόσταση κατά τη διάρκεια της κίνησής τους τότε η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης είναι μηδενική.

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    75

    ✓ Ο υπολογισμός των χαρακτηριστικών της κίνησης του συστήματος των δυο σημει-ακών μαζών ως προς ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο απλουστεύεται με τη θεώρηση του διανύσματος ( )t που έχει αρχή τη σημειακή μάζα

    1m και πέρας τη σημειακή μάζα 2m και την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας:

    1 2

    1 2

    m mm m

    .

    Οι θέσεις των δυο σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζονται κάθε χρονική στιγμή ως εξής:

    21 1

    1 2

    ( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

    και 12 21 2

    ( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

    και προκύπτουν οι αντίστοιχες ταχύτητες και ορμές ως προς το αδρανειακό κέντρο:

    21

    1 2

    ( ) ( )mr t tm m

    1 ( ) ( )p t t

    ,

    12

    1 2

    ( ) ( )mr t tm m

    2 ( ) ( )p t t

    .

    Συνεπώς, η ιδιοστροφορμή και η στροφική κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο σημειακών μαζών εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

    ( ) ( ) ( )t t t και 21

    2( ) || ( ) ||K t t .

    Ας εξετάσουμε κάποια απλά παραδείγματα κίνησης ενός ζεύγους σημειακών μαζών:

    ✓ Δυο ίδιες σημειακές μάζες m κινούνται στο χώρο και οι θέσεις τους εντοπίζονται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής:

    1( ) = cos ,sin ,0r t t t και 2 ( ) = sin ,0,cosr t t t

    .

    Συνεπώς, οι σημειακές αυτές μάζες διαγράφουν αντίστοιχα τον ισημερινό και μεσημ-βρινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι το αδρανειακό τους κέντρο δια-γράφει ελλειπτική τροχιά στην τομή ενός επιπέδου με την επιφάνεια ενός κυλίνδρου:

    12

    ( ) = cos + sin , sin , cosr t t t t t .

  • 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Οι τροχιές των σημειακών μαζών και η τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου.

    Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας δηλώνει ότι οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημειακών μαζών καταγράφονται ως εξής:

    1( ) = sin ,cos ,0r t t t και 2 ( ) = cos ,0, sinr t t t

    1( ) = cos , sin ,0r t t t και 2 ( ) = sin ,0, cosr t t t

    και προκύπτουν αντίστοιχα οι ασκούμενες εξωτερικές δυνάμεις:

    1F ( ) = cos ,sin ,0t m t t

    και 2F ( ) = sin ,0,cost m t t

    .

    Από την ορμή των σημειακών μαζών:

    1( ) = sin ,cos ,0p t m t t και 2 ( ) = cos ,0, sinp t m t t

    προκύπτει η ορμή του αδρανειακού τους κέντρου:

    1 2( ) = ( ) ( ) = cos sin , cos , sinp t p t p t m t t t t .

    Από τη μεταβολή της ορμής του αδρανειακού κέντρου προκύπτει η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων:

    1 2( ) F( ) = F ( ) + F ( ) = cos sin , sin , cosdp t t t t m t + t t t

    dt

    και η ώθηση που προσδίδεται στο σύστημα μεταξύ δυο χρονικών στιγμών:

    2 2

    1 12 1F( ) ( ) ( ) ( )

    t t

    t tt dt p t dt p t p t

    .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    77

    Η στροφορμή του αδρανειακού κέντρου των σημειακών μαζών ως προς το κέντρο της σφαίρας διατηρείται σταθερή:

    ( ) ( ) ( ) ( 1,1, 1)2omt = r t p t

    και η στροφορμή του συστήματος τους ως προς το κέντρο της σφαίρας είναι σταθερή:

    1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0,1,1)t t t r t p t r t p t m ,

    άρα και η ιδιοστροφορμή είναι σταθερή:

    ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ,1 ,1)2mt t r t p t

    .

    Εισάγοντας την ανηγμένη μάζα / 2m και το διάνυσμα:

    2 1( ) ( ) ( ) sin cos , sin ,cost r t r t t t t t

    καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα:

    ( ) ( ) ( ) (1 ,1 ,1)2mt t t

    .

    Η στροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών.

    Η σταθερότητα της ιδιοστροφορμής ισοδυναμεί με το μηδενισμό της ολικής ροπής των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο:

    ( )( ) 0d ttdt

    .

  • 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει άλλωστε απευθείας από την έκφραση των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα των σημειακών μαζών:

    1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) 0t r t t r t t

    και υποδεικνύει την ανυπαρξία στροφικής ώθησης:

    2 2

    1 12 1( ) ( ) ( ) ( ) 0

    t t

    t tt dt d t t t

    .

    Επίσης, η σταθερότητα της στροφορμής ισοδυναμεί με το μηδενισμό της ολικής ροπής των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το κέντρο της σφαίρας:

    ( )( ) 0d ttdt

    και το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει απευθείας από την έκφραση:

    1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) 0t r t t r t t .

    Η στροφική κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών υπολογίζεται απευθείας θεωρώντας την ανηγμένη μάζα του:

    212 4

    ( ) || ( ) || 2 sin2( )mK t t t

    και προσθέτοντας τη μεταφορική κινητική ενέργεια, δηλαδή την κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου:

    4( ) 2 sin2( )o

    mK t t

    προκύπτει η κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών:

    2 21 2

    1 12 2

    ( ) || ( ) || || ( ) ||K t m r t m r t m . Αν εξαρχής είχαν δοθεί μόνο οι ασκούμενες δυνάμεις στις σημειακές μάζες:

    1F ( ) = cos ,sin ,0t m t t

    και 2F ( ) = sin ,0,cost m t t

    εύκολα προκύπτουν όλα τα αποτελέσματα λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

    21

    12

    ( )= F ( )

    d r tm t

    dt

    και

    22

    22

    ( )= F ( )

    d r tm t

    dt

    .

  • ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    79

    ✓ Δυο ίδιες σημειακές μάζες m κινούνται στο χώρο και οι θέσεις τους εντοπίζονται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής:

    1( ) = cos ,sin ,1r t t t και 2 ( ) = cos( ),sin ( ),-1r t t t

    .

    Συνεπώς, οι σημειακές μάζες διαγράφουν παράλληλους κύκλους προς τον ισημερινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου. Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει το μηδενισμό της συνισταμένης των ασκούμε-νων εξωτερικών δυνάμεων και υποδεικνύει ότι το αδρανειακό κέντρο των σημειακών μαζών παραμένει αμετακίνητο στο κέντρο της σφαίρας. Συνεπώς, παρότι κάθε μια από τις σημειακές μάζες έχει μη μηδενική ορμή, η ορμή του συστήματος τους παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Επίσης, συνάγεται η ταύτιση της ιδιοστρο-φορμής με τη στροφορμή ως προς το κέντρο της σφαίρας που υπολογίζεται με την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας ως εξής:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos , sin , 2)t t t t m t t .

    Συνεπώς, η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων υπολογίζεται ως εξής:

    ( )( ) (cos , sin , 0)d tt m t tdt

    αλλά προκύπτει και απευθείας:

    1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( )t r t t r t t

    από τη γνώση των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στις σημειακές μάζες:

    1F ( ) = cos , sin , 0t m t t

    και 2F ( ) = cos , sin , 0t m t t

    .

    Οι τροχιές των σημειακών μαζών και η στροφορμή τους ως προς το κέντρο της σφαίρας.

  • 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

    ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

    ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

    ✓ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1. Πες μου, τι σε κάνει να πιστεύεις ότι στις αρχές διατήρησης της ορμής και της στροφορμής αντικατοπτρίζονται αντίστοιχα η ομογένεια και η ισοτροπία του χώρου;

    2. Γιατί λες ότι η αρχή διατήρησης της ορμής ισοδυναμεί με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα;

    3. Γιατί λες ότι προτιμάς εννοιολογικά την αρχή διατήρησης της ορμής από τον τρίτο νόμο;

    4. Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορμής θα αποδεχόσουν τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα;

    5. Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της στροφορμής θα αποδεχόσουν τον πρώτο νόμο;

    6. Γιατί λες ότι η αρχή διατήρησης της στροφορμής διασφαλίζεται από τον τρίτο νόμο;

    7. Γιατί λες ότι ο τρίτος νόμος δεν διασφαλίζει το μηδενισμό της εσωτερικής ισχύος;

    8. Πώς ερμηνεύεις το μη μηδενισμό της εσωτερικής ισχύος και τη σχέση της με τη στροφική κινητική ενέργεια;

    9. Πες μου, οι αρχές διατήρησης της ορμής και της στροφορμής ισχύουν μόνο στα αδρανει-ακά συστήματα αναφοράς;

    ✓ Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό:

    1. Πες μου, ποια είναι η λογική σχέση των αρχών διατήρησης της ορμής και της στροφορμής με τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς της χωρικής μεταφοράς και της χωρικής στροφής;

    2. Πες μου, με ποια μαθηματική συλλογιστική αποδεικνύεις την ισοδυναμία μεταξύ της αρχής διατήρησης της ορμής και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα;

    3. Πες μου, με ποια μαθηματική συλλογιστική προσδιορίζεις τη σχέση μεταξύ της αρχής δια-τήρησης της στροφορμής και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα;

    4. Πες μου, γιατί ο τρίτος νόμος δεν διασφαλίζει τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας;

    5. Πες μου, η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς;

    6. Πες μου, γιατί η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων μηδενίζεται όταν οι σημειακές μάζες δια-τηρούν σταθερές τις μεταξύ τους αποστάσεις κατά τη διάρκεια της κίνησής τους;

    7. Όταν δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς υπολογίσουν την ορμή, τη στροφορμή και την κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών, θα καταλήξουν σε ίδια συμπεράσματα;