סלפל תרמתה - Magniel · 2008-05-03 · Institute DEPARTMENT OF SCIENCES םיעדמל...
6
1 לפלס התמרת1 . יסודיות ותכונות הגדרה הגדרה1 . ∫ ∞ − = = 0 ) ( ) ( ) ( dt t f e s L s F st f פונקציה של לפלס התמרתC C → : f למקוטעי רציפה ן בקטע) , 0 [ ∞ . אם0 , , , | ) ( | ≥ ∈ ≤ t K Ke t f t R α α לכל מוגדרת לפלס התמרת אזיa s > משפט1 . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a s F a s L s L t f t f e at − = − = הוכחה. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( a s F a s L dt t f e dt t f e e s L t f t a s at st t f e at − = − = = = ∫ ∫ ∞ − − ∞ − משפט2 . () () () (0) f t L s sF s f ′ = − . הוכחה. ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 ) ( f s sF dt t f e s f dt t f e t f e dt t f e s L st st st st t f − = + − = = ′ − = ′ = ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ′ משפט3 . ) 0 ( ... ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( ) ( − − − − − ′ − − = n n n n t f f f s f s s F s s L n . הוכחה. באינדוקציה משפט4 . { } ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( s F ds d s L ds d s L n n n t f n n n t f t n − = − = הוכחה.
Transcript of סלפל תרמתה - Magniel · 2008-05-03 · Institute DEPARTMENT OF SCIENCES םיעדמל...
1
התמרת לפלס
הגדרה ותכונות יסודיות. 1 .1 הגדרה
∫∞
−==0
)()()( dttfesLsF stf התמרת לפלס של פונקציה CC →:fבקטע ן רציפה למקוטעי
),0[ ∞.
|)(|,,,0אם ≥∈≤ tKKetf t Rαα אזי התמרת לפלס מוגדרת לכל as >
.1 משפט
)()()( )()(asFasLsL tftfeat −=−=
.הוכחה
)()()()()( )(0
)(
0)(
asFasLdttfedttfeesL tftasatst
tfeat −=−=== ∫∫∞
−−∞
−
.2 משפט ( )( ) ( ) (0)f tL s sF s f′ = − .
.הוכחה
)0()()()0(
)()(|)()()(
0
00
0)(
fssFdttfesf
dttfetfedttfesL
st
stststtf
−=+−=
=′−=′=
∫
∫∫∞
−
∞−∞−
∞−
′
.3 משפט
)0(...)0()0()()( )1(21)()(
−−− −−′−−= nnnntf ffsfssFssL n .
.הוכחה באינדוקציה
.4 משפט
{ } )()1()()1()( )()(sF
dsdsL
dsdsL n
nn
tfn
nn
tftn −=−=
.הוכחה
2
{ } ( )
{ })()1()(
)()1()()1()()1(
)()()(
)()(
0)(
0
00)(
sLdsdsL
sLdttfetdttfet
dttfedsddttfe
dsdsL
dsd
tfn
nn
tft
tftnstnnstnn
stn
nst
n
n
tfn
n
n
n
−=
−=−=−=
==
=
∫∫
∫∫∞
−∞
−
∞−
∞−
.5 משפט
0,1)( )()( >
= aasL
asL tfatf
.הוכחה
adtdzatz
asF
aasL
adzzfe
a
adzzfedtatfesL
tf
zas
zas
statf
==
=
==
===
∫
∫∫∞
−
∞
−∞
−
,
11)(1
)()()(
)(0
00)(
לפלס טבלת ההתמרות
)(sF )(tf
0,1>s
s
1
0,12 >ss
t
0,!1 >+ s
snn
nt
asas
>−
,1
ate
( )21
,s as a
>−
atte
( ) 1
!,
n
ns a
s a +>
−
n att e
0,22 >+
sssω
tωcos
0,22 >+
ss ωω
tωsin
asasas
>+−
− ,)( 22 ω
teat ωcos
asas
>+−
,)( 22 ωω
teat ωsin
DEPARTMENT OF SCIENCES המחלקה למדעים
ימדק א ןוכמ )ר " ע(ן ו ל ו חי ג ו ל ו נ כ ט
H o l o n A c a d e m i c Institute of Technology
מצא התמרות לפלאס עבור .1שאלה
)א( ⎩⎨⎧
<<<
=ttt
tf2,
20,0 )ב( )(
⎩⎨⎧
<<<
=t
tttf
ππ
,00,sin
)(
tt )ג ( ettetf +−= 33 6sin)( )ד( teettf tt 7cos)( 54 −=.
}תוך שימוש בתכונות של התמרת לפלאס חשב .2שאלה })(tfLכאשר :
)()1(4) א ( −= ttf )ב( ttetf t 2sin)( −=
ttf )ג ( 2sin)( nmntmttf )ד ( = ≠= ,sincos)( .
-ידוע ש .3שאלה s
sF 1)( )(1 עבור = =tf .הוכח ש-{ } 1!+= n
n
sntL
:מצא התמרת לפלאס הפוכה עבור פונקציות הבאות .1
)א( 84
12 ++ ss
)ב ( 134
1622 ++
+ss
s)ג (
1042153
2 +−−
sss
)ד ( )1()3(
533452
2
++++
ssss
)ה ( )52)(2(
302372
2
++−++sss
ss)ו (
15)(4)(2
+=−
ssFsFs .
:ית ההתחלהימצא פתרון של בע .4שאלה
052,)0(2,)0(4 )א ( =′==+′−′′ yyyyy,
22,)0(1,)0(1 )ב( −=′=+=+′′ wwtww,
096,)0(1,)0(6 )ג( =′−==+′+′′ yyyyy,
sin7cos9107,)0(5,)0(4 )ד ( −=′=+=+′−′′ yyttyyy.
):ית ההתחלהי בבעty)(התמרת לפלאס של הפתרון (sY)(מצא נוסחה עבור .5שאלה
cos23,)0(0,)0(1) א( −=′==+′−′′ yytyyy,
3,)0(1,)0(0 )ב ( =′==−′+′′ yytyyy .
:
, ′
:
א )
,)
.
קפלונובסקי
1. )א(
=
−−=−==
====+= ∫ ∫∫∫
∞ ∞−∞−
−−
∞−−
2 22
2
2
0
110)( dtetese
svedv
dtdutudttedttedtsF stst
stststst
2 22 22
2 1 2 1.s st se e e
s s s s∞− − − = − = +
)ב (
∫ ∫∫∞ −−
−− =−==−==
==+=π
ππ
00 cossinsin0sin)(
tvtdvsedueu
tdtedttdtesFstst
stst
===−==
=−+=−−=−−
−−−− ∫∫ tvtdtdvsedueu
dttesetdtestestst
stsstst
sincoscos1coscos
1
11
000
ππ
ππ
).1(1
1sinsin1 20
20
++
=−−+= −−−− ∫ sststs es
tdtestsee ππ
ππ
)ג (
{ } { } { } { } .1
1636)3(
66sin6sin)( 423333
−+−
+−=+−=+−=
ssseLtLteLetteLsF tttt
)ד (
{ } { } { } .7)1(
1)5(
247cos7cos)( 255454
+−−
−−
=−=−=ss
steLetLteetLsF tttt
2. )א(
,1464)( 234 +−+−= tttttf
.4122424114266424)( 5
432
2345 sssss
ssssssF +−+−
=+−+−=
)ב (
( ).
4)1()1(4)(,2sin)(,
)4(4)(,2sin)( 2222
++
+==
+== −
sssFttetf
sssGtttg t
)ג (
.)4(22
1)(,2/)2cos1(sin)( 22
+−=−==
ss
ssFtttf
)ד (
( ),)sin()sin(21sincos)( tmntmnntmttf −++==
.)()(2
1)( 2222
−+
−+
+++
=mnsmn
mnsmnsF
3.
.!!)1()1(1)1()()1(}1{}{ 11
)()(
++ =−
−=
−=−=⋅= nn
nn
nnnnnn
sn
sn
ssFtLtL
4. )א (
.2sin21)}({,
2)2(2
21
2)2(1
841)( 21
22222 tesFLssss
sF t−− =++
⋅=++
=++
=
)ב (
).3sin43cos2()}({,3)2(
343)2(
)2(2134
162)( 2122222 ttesFL
sss
ssssF t +=
++⋅
+++
+=
+++
= −−
)ג (
,2)1(
222)1(
123
525
23
1042153)( 222222
+−
−+−
−=
+−−
⋅=+−
−=
sss
sss
ssssF
).2sin22(cos23)}({1 ttesFL t −=−
)ד (
,)1()3(
)3()1)(3()1(13)3()1()3(
53345)( 2
2
22
2
++++++++
=+
++
++
=++++
=ss
sCssBsAsC
sB
sA
sssssF
=−=
=
=++=++
=+
,6,1,2
,5393,3464
,5
1
2
CBA
CBACBA
CBss
.62)}({ 331 ttt eetesFL −−−− +−= )ה (
,)52)(2(
)2)(()52(522)52)(2(
30237)( 2
2
22
2
++−−++++
=++
++
−=
++−++
=sss
sCBsssAssCBs
sA
ssssssF
=−==
=−=+−
=+
,5,1
,8
,3025,2322
,7
1
2
CBA
CACBA
BAss
,2)1(
62)1(
12
852
52
8)( 22222 +++
+++
−−
=++
+−+
−=
sss
ssss
ssF
).2sin32(cos8)}({ 21 tteesFL tt −−= −− )ו (
=+
+−
++
=−+
=+
=−221)4)(1(
5)(,1
5)()4( 22
sC
sB
sA
sssF
ssFs
.)2)(2)(1(
)2)(1()2)(1()2)(2(+−+
−++++++−=
sssssCssBssA
==−=
=−+−=−=++
,4/5,12/5,3/5
,5224,03
,0
1
2
CBA
CBACBCBA
xx
.45
125
35)}({,
21
45
21
125
11
35)( 221 ttt eeesFL
ssssF −−− ++−=
++
−+
+−=
5. )א(
,2)()52(,0)(5)2)((242)( 22 ssYsssYssYssYs =+−=+−−−−
).2sin2cos2()(,2)1(
22)1(
1252
2)( 22222 ttetyss
sssssY t +=
+−+
+−−
=+−
=
)ב (
,122)()1(,22)(1)( 3
22
32 −+
+=++=++− s
sssWs
sssWssWs
.sincos)(,1
11
2)( 2223 ttttwss
ss
sW −+=+
−+
+=
)ג (
=++
−=−=++=+++−+
96)(,)()96(,0)(9)1)((66)( 2
22
ssssYssYsssYssYssYs
,3)(,)3(
133
1)3(
33 3322
tt teetysss
s −− +−=+
++
−=+
+−−=
)ד (
,1
71
9)(10)5)((745)( 222
++
+=+−−+−
ssssYssYssYs
,)2)(5)(1(
)1)(395(79)(,395179)()107( 2
2
22
−−++−++
=−+++
=+−sssssssYs
sssYss
=−
+−
+++
=−−+−+−
=251)2)(5)(1(
3214395)( 22
23
sD
sC
sBAs
sssssssY
,)2)(5)(1(
)5)(1()2)(1()2)(5)((2
22
−−+−++−++−−+
=sss
ssDssCssBAs
=−===
−=−−=++−−=−−+−
=++
,8,4
,0,1
,325210,14710
,39527,5
1
2
3
DCBA
DCBDCBADCBA
DCA
sss
.84cos)(,2
185
141
)( 252
tt eettysss
ssY +−=−
+−
−+
=
