ΑριθμητικέςΜέθοδοιΒελτιστοποίησηςtsantas/DownLoadFiles/...PERT/CPM...

40
1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007 Αριθμητικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Προγραμματισμός ∆ιαχείριση Έργων Νίκος Τσάντας ∆ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των ΑποφάσεωνΑκαδημαϊκό έτος 2007-08 2 Slide Slide Προγραμματισμός Προγραμματισμός Διαχείριση Διαχείριση Έργων Έργων ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται η διαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπωνπροϊόντων» όπως, η παροχή υπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακών προγραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέου προϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησης μιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, … Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας: έχει αρχή και τέλος, έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία, αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ, οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένο χρόνο, (μετη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων).

Transcript of ΑριθμητικέςΜέθοδοιΒελτιστοποίησηςtsantas/DownLoadFiles/...PERT/CPM...

1ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

Αριθμητικές Μέθοδοι ΒελτιστοποίησηςΠρογραμματισμός – ∆ιαχείριση Έργων

Νίκος Τσάντας∆ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών

“Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων”Ακαδημαϊκό έτος 2007-08

22SlideSlide

ΠρογραμματισμόςΠρογραμματισμός –– ΔιαχείρισηΔιαχείριση ΈργωνΈργων

ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται ηδιαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπων) «προϊόντων» όπως,η παροχή υπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακώνπρογραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέουπροϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησηςμιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, …

Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας:• έχει αρχή και τέλος,• έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία,• αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί

μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ,οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένοχρόνο, (με τη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων).

2ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

33SlideSlide

Δεν μας ενοχλεί το πλήθος των δραστηριοτήτων ενός έργου, αλλά το γεγονός ότι…οι δραστηριότητες δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.Αντίθετα είναι αλληλοεξαρτώμενες τόσο σε ότι αφορά τηναλληλουχία εκτέλεσής τους, αλλά και σε ότι αφορά τη χρήσηκοινών πόρων.Building the very first Boeing Jumbo jet was a project (buildingthem now is a repetitive/routine process, not a project). Other projects are the building of the Channel tunnel, the building ofthe London Eye, the developing of a new drug.Παρόλο που η πρωτοτυπία είναι ζητούμενο, η έμφαση πιαείναι στην διαδικασία υλοποίησης.Απλά –καθημερινά- παραδείγματα.

ΠρογραμματισμόςΠρογραμματισμός –– ΔιαχείρισηΔιαχείριση ΈργωνΈργων

44SlideSlide

Οι τεχνικές που θα αναπτυχθούν αποσκοπούν στον (i) σχεδιασμό, (ii) χρονικό προγραμματισμό και (iii) έλεγχο των δραστηριοτήτωνπου απαρτίζουν το έργο, μέσα στα πλαίσια των διαθέσιμων πόρωντου, του σχεδιαζόμενου χρόνου παράδοσής του, κ.λπ.

Οι τεχνικές αυτές επιδιώκουν την ανάπτυξη ενός λεπτομερούςχρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Ιδιαίτεραμας ενδιαφέρει εάν

η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι γνωστή (σταθερά)η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μεταβλητή.

ΠρογραμματισμόςΠρογραμματισμός –– ΔιαχείρισηΔιαχείριση ΈργωνΈργων

3ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

55SlideSlide

οι τεχνικές αυτές έχουν χειριστεί με επιτυχία τον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο έργων όπως:•Ολυμπιακοί Αγώνες,•ΠΑΘΕ, Εγνατία Οδός,•κατασκευή μεγάλων οικοδομικών έργων,•εγκατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού εργοστασίων,•ανάπτυξη νέων προϊόντων, εισαγωγικές εξετάσεις, φάκελοιυποψηφιότητας ανάληψης αθλητικών εκδηλώσεων, κ.λπ.

ΠρογραμματισμόςΠρογραμματισμός –– ΔιαχείρισηΔιαχείριση ΈργωνΈργων

66SlideSlide

PERT/CPMPERT/CPM

PERT•Program Evaluation and Review Technique•Developed by U.S. Navy for Polaris missile project•Developed to handle uncertain activity times

CPM•Critical Path Method•Developed by Du Pont Company & Remington Rand Univac•Developed for industrial projects for which activity times

generally were known

Τα λογισμικά ενσωματώνουν μια σύνθεση των δύο τεχνικών(με την κοινή ονομασία PERT/CPM).

Τεχνική Δικτυωτής Ανάλυσης.

4ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

77SlideSlide

PERT/CPMPERT/CPM

Με τη βοήθεια των PERT/CPM μπορούν να απαντηθούν όλεςοι εύλογες ερωτήσεις για την υλοποίηση ενός έργου όπως:• Ποιος είναι ο χρόνος υλοποίησης του έργου;• Πόσο σύντομα μπορεί να υλοποιηθεί το έργο;

Ποιες πρέπει να είναι οι προγραμματισμένεςημερομηνίες έναρξης και λήξης της κάθεδραστηριότητας;Ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες για τηνολοκλήρωση του έργου χωρίς καθυστερήσεις;Ποια είναι τα περιθώρια καθυστέρησης στις μηκρίσιμες δραστηριότητες;

88SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

Frank’s Fine Floats is in the business of building elaborate parade floats. Frank and his crew have a new float to build andwant to (use PERT/CPM to help them) manage the project.

5ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

99SlideSlide

PERT/CPMPERT/CPM

Προχωρούμε σε δομική ανάλυση του έργου, δηλ. επιμερίζουμε τοέργο σε διακριτές φάσεις. Στη συνέχειααναλύουμε κάθε φάση σε αυτοτελείς δραστηριότητες (εργασίες)

ΔραστηριότηταΔραστηριότητα::το στοιχειώδες δομικό στοιχείο αναφοράς στην ανάλυσή μας

• συστηματική-κριτική καταγραφή του τρόπου υλοποίησης.• εκτιμήσεις για το χρόνο που απαιτεί η ολοκλήρωσή της,• καθορισμός σχέσεων προ-απαίτησης (ορίζουν τη σειρά μετην οποία πραγματοποιείται η κάθε δραστηριότητα: ποιεςδραστηριότητες προ-απαιτούνται για την ολοκλήρωσή τηςπριν ξεκινήσει η συγκεκριμένη).

1010SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

The table on the next slide shows the activities that comprise The table on the next slide shows the activities that comprise the project. Each activitythe project. Each activity’’s estimated completion time (in days) s estimated completion time (in days) and immediate predecessors are listed as welland immediate predecessors are listed as well..

((obviously someone must lists the activities in a logical/chronolobviously someone must lists the activities in a logical/chronological ogical orderorder).).

Frank wants to know the minimum total time to complete the Frank wants to know the minimum total time to complete the project, which activities are critical, and the earliest and latproject, which activities are critical, and the earliest and latest est start and finish dates for each activity.start and finish dates for each activity.

6ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

1111SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

Immediate CompletionImmediate CompletionActivityActivity DescriptionDescription PredecessorsPredecessors Time (days)Time (days)

A Initial Paperwork A Initial Paperwork ------ 33B Build Body B Build Body AA 33C Build Frame C Build Frame AA 22D Finish Body D Finish Body BB 33E Finish Frame E Finish Frame CC 77F Final Paperwork F Final Paperwork B,CB,C 33G Mount Body to Frame D,EG Mount Body to Frame D,E 66

88 H Install Skirt on Frame CH Install Skirt on Frame C 22

Activities B, C must be finished before activity F can start.

1212SlideSlide

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων

Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργοαναπαριστάται γραφικά μ’ ένα δίκτυο στο οποίο•οι κόμβοι απεικονίζουν τις δραστηριότητες,•τα βέλη απεικονίζουν την αλληλουχία των δραστηριοτήτων.

Kομβικά δίκτυα – Activity On Node.(αναπαρίστανται και με τα τοξωτά δίκτυα - Activity On Arrow).

In constructing this network we:draw a node for each activityadd an arrow from (activity) node i to (activity) node j, if activityi must be finished before activity j can start (activity i precedes activity j).

7ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

1313SlideSlide

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων ((ΑΟΝΑΟΝ))

All arcs have arrows attached to them, indicating the direction the project is flowing in.It is recommended (but not necessary) to start with a node named start (this “activity” has a duration 0). Then we draw eachactivity that does not have a predecessor activity and connect them with an arrow.When there are no activities that come after some activities, it is recommended (but again not necessary) to connect them to a node labeled finish.

Such a diagram assumes that activities not linked by precedence relationships can take place simultaneously.

1414SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΔίκτυοΔίκτυο ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ––AONAON--

StartStart FinishFinish

BB33

DD33

AA33

CC22

GG66FF

33

HH22

EE77

δραστηριότητα

απαιτούμενος χρόνος

Ενδείξεις (κόμβοι)• Start• Finish

8ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

1515SlideSlide

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων

The above diagram is not needed for a computer. A computer can cope very well with just the lists of activities and their precedence relationships.The diagram is intended for people: in a large project, with many thousands of activities, it is not possible to list those and their associated precedence relationships without making any errors. How can we spot errors?• Looking at long lists is hopeless.• (with a little practice it becomes easy to) Look at diagrams,

interpret them and spot errors in the specification of the activities and their associated precedence relationships.

Once having drawn the network it is relatively easy matter to analyze it (using a dynamic programming algorithm).

1616SlideSlide

11οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοντον συντομότεροσυντομότερο χρόνοχρόνο έναρξηςέναρξης (ES)(ES)καικαι ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((EF)EF) κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας..

22οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοτο βραδύτεροβραδύτερο χρόνοχρόνο έναρξηςέναρξης (LS)(LS) καικαιολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((LF)LF) κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας..

33οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοτο χρονικόχρονικό περιθώριοπεριθώριο κάθεκάθε δραστηριότδραστηριότ44οο βήμαβήμα: : υποδεικνύουμευποδεικνύουμε τηντην κρίσιμηκρίσιμη διαδρομήδιαδρομή καικαι τοτο συνολικόσυνολικό

χρόνοχρόνο ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου..

ΛύσηΛύση τουτου ((κομβικούκομβικού) ) δικτύουδικτύου

συντομότεροισυντομότεροι χρόνοιχρόνοιβραδύτεροιβραδύτεροι χρόνοιχρόνοι

Χρονικό περιθώριο ονομάζεται το χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει ηυλοποίηση μιας δραστηριότητας χωρίς ανάλογη καθυστέρηση στο συνολικό χρόνο τουέργου.

Η διαδρομή που αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριοονομάζεται ΚΡΙΣΙΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ.

9ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

1717SlideSlide

ΣυντομότεροςΣυντομότερος ΧρόνοςΧρόνος ΈναρξηςΈναρξης (ES) (ES) & & ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (EF)(EF)μιαςμιας δραστηριότηταςδραστηριότητας

Ξεκινήστε ένα forward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβοStart. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε:•Earliest Start Time = max EF(k), ∀ k ∈ P, όπου P το σύνολοτων δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προ-απαιτούμενες

= ο μεγαλύτερος χρόνος ολοκλήρωσηςτων δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προαπαιτούμενες.

•Earliest Finish Time = ES + (χρόνος ολοκλήρωσης της i ).

Ο (ελάχιστος) ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ του έργου ισούται μετο μεγαλύτερο εκ των ενωρίτερων χρόνων ολοκλήρωσης τωνκόμβων (δραστηριοτήτων) οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish.

1818SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΣυντομότεροιΣυντομότεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης

κόμβοι οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish οι: F, G και H

((ελάχιστοςελάχιστος) ) χρόνοςχρόνος ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου = 18= 18 = = max9, 18, 7max9, 18, 7

StartStart FinishFinish

3 63 6BB33

6 96 9DD33

0 30 3AA33

3 53 5CC22

12 1812 18GG666 96 9FF

33

5 75 7HH22

5 125 12EE77

max6, 5

10ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

1919SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΣυντομότεροιΣυντομότεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης (ES)(ES) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (EF)(EF)ESA = 0 EFA = ESA + tA = 0 + 3 = 3ESB = EFA = 3 EFB = ESB + tB = 3 + 3 = 6ESC = EFA = 3 EFC = ESC + tC = 3 + 2 = 5ESD = EFB = 6 EFD = ESD + tD = 6 + 3 = 9ESE = EFC = 5 EFE = ESE + tE = 5 + 7 = 12ESF = maxEFB, EFC = max6, 5 = 6 EFF = ESF + tF = 6 + 3 = 9ESG = maxEFD, EFE = max9, 12 = 12 EFG = ESG + tG = 12+6=18ESH = EFC = 5 EFH = ESH + + ttHH = 5 + 2 = 7= 5 + 2 = 7

ESFINISH = maxEFF, EFG, EFH = max9, 18, 7 = 18

2020SlideSlide

Ξεκινήστε ένα backward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβοFinish. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε•Latest Finish Time = min LS(k), ∀ k ∈ S, όπου S το σύνολοτων δραστηριοτήτων που έπονται της i και συνδέονται άμεσαμαζί της

= ο μικρότερος χρόνος έναρξης τωνδραστηριοτήτων των οποίων είναι άμεσα προαπαιτούμενη.

•Latest Start Time = LF - (χρόνος ολοκλήρωσης της i).

ΒραδύτεροςΒραδύτερος ΧρόνοςΧρόνος ΈναρξηςΈναρξης (LS) (LS) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (LF)(LF)μιαςμιας δραστηριότηταςδραστηριότητας

11ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ. A'

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/6/2009

2121SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΒραδύτεροιΒραδύτεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης

StartStart FinishFinish

3 63 6

99BB33

6 96 9

1212DD33

0 30 3

0 30 3AA33

3 53 5

55CC22

12 1812 18

1818GG666 96 9

1818FF33

5 75 7

1818HH22

5 125 12

1212EE77

12

16

15

9

5

6

3

min9, 15

2222SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΒραδύτεροιΒραδύτεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης (LS)(LS) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (LF)(LF)LFG = 18 LSG = LFG - tG = 18 - 6 =12LFH = 18 LSH = LFH - tH = 18 - 2 =16LFF = 18 LSF = LFF - tF = 18 - 3 = 15LFD = LSG = 12 LSD = LFD - tD = 12 - 3 = 9LFE = LSG = 12 LSE = LFE - tE = 12 - 7 = 5LFB = minLSD, LSF = min9, 15 = 9 LSB = LFB - tB = 9 - 3 = 6LFC = minLSF, LSE , LSH =

= min15, 5, 16 = 5 LSC = LFC - tC = 5 - 2 = 3LFA = minLSB, LFC = min6, 3 = 3 LSA = LFA - tA = 3 - 3 = 0

12ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

2323SlideSlide

Determining the Critical PathDetermining the Critical Path

Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας(Slack)i = (Latest Start)i - (Earliest Start)i, or

= (Latest Finish)i - (Earliest Finish)i.

6 96 9

15 1815 18FF33

2424SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

Activity Slack TimeActivity Slack Time

ActivityActivity ESES EFEF LSLS LFLF SlackSlackA 0 3 0 3 0 (crit.A 0 3 0 3 0 (crit.))B 3 6 6 9 3B 3 6 6 9 3C 3 5 3 5 0 (crit.C 3 5 3 5 0 (crit.))D 6 9 9 12 3D 6 9 9 12 3E 5 12 5 12 0 (crit.)E 5 12 5 12 0 (crit.)F 6 9 15 18 9F 6 9 15 18 9G 12 18 12 18 0 (crit.)G 12 18 12 18 0 (crit.)H 5 7 16 18 11H 5 7 16 18 11

13ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

2525SlideSlide

ΥποδείξτεΥποδείξτε τηντην κρίσιμηκρίσιμη διαδρομήδιαδρομή ((δενδεν είναιείναι κατκατ’’ ανάγκηανάγκη μίαμία))

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

••ΗΗ ΚρίσιμηΚρίσιμη ΔιαδρομήΔιαδρομή ξεκινάξεκινά απόαπό τοντον κόμβοκόμβο Start Start καικαιτερματίζειτερματίζει στονστον κόμβοκόμβο FinishFinish, , καικαι αποτελείταιαποτελείται απόαπό τιςτιςδραστηριότητεςδραστηριότητες πουπου έχουνέχουν μηδενικόμηδενικό χρονικόχρονικό περιθώριοπεριθώριο..For any network there will always be a path of critical activities from the initialnode to final node.

••Critical Path: A Critical Path: A –– C C –– E E –– GG

••Project Completion Time: 18 daysProject Completion Time: 18 days

Note here that, we have (implicitly) assumed in calculating this figureof 18 days that we have sufficient resources to carried out the variousactivities.

2626SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

Critical PathCritical Path

StartStart FinishFinish

3 63 6

6 96 9BB33

6 96 9

9 129 12DD33

0 30 3

0 30 3AA33

3 53 5

3 53 5CC22

12 1812 18

12 1812 18GG666 96 9

15 1815 18FF33

5 75 7

16 1816 18HH22

5 125 12

5 125 12EE77

Οι δραστηριότητες A, C, E και G είναι κρίσιμες για την υλοποίηση του έργου χωρίς καθυστερήσεις

Οι δραστηριότητες B, D, F και H έχουν, αντίστοιχα, περιθώριο καθυστέρησης 3, 3, 9 και 11 ημερών

14ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

2727SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floats (s Fine Floats (winQSBwinQSB))

2828SlideSlide

Πρόκειται για ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίοσημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτωνΠροτάθηκε από τον Henry Gantt, ως μεθοδολογικό εργαλείο γιατον προγραμματισμό και έλεγχο της πορείας υλοποίησης μεγάλωνβιομηχανικών έργων στις αρχές του περασμένου αιώνα (το 1918).Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ γιακάθε δραστηριότητα του έργου σχεδιάζουμε μια οριζόντια ράβδομε μήκος τη χρονική στιγμή ενωρίτερης (βραδύτερης) έναρξης καιλήξης.

Πλεονέκτημα η απλότητά τους και ο άμεσος απολογισμός.Μειονέκτημα η αδυναμία έκφρασης των σχέσεων εξάρτησης.

ΔιαγράμματαΔιαγράμματα GanttGantt

15ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

2929SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floats (s Fine Floats (winQSBwinQSB))

3030SlideSlide

One thing which will become crucial if we go deeper into networkanalysis is the non-critical activities. In the previous Gantt chart we can see that we have a choice to when non critical activities start.

For example, there is a time window [5, 15] within which activity H can be started without affecting the overall project completion time

As we have a choice to when in this time window we start activity H then we have a DECISION to be made.

Making appropriate decisions to precisely when to start noncriticalactivities is a key feature of network analysis/project management.

NonNon--Critical ActivitiesCritical Activities

16ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

3131SlideSlide

Project Completion Analysis in FrankProject Completion Analysis in Frank’’s Fine Floats s Fine Floats ((winQSBwinQSB))

Doing that analysis after 9 days (say) gives:• activities A, B, C have been completed• activity E will have been 57.14% completed• the remaining activities not yet started

This analysis assumes:• all activities are started at their earliest start times,• all activities take exactly as long as planned.

Results Project Completion Analysis

3232SlideSlide

Έστω ένα δίκτυο ΑΟΝ με m κόμβους (δραστηριότητες): μεταβλητή xi: η συντομότερη χρονική στιγμή έναρξης (ES) τηςδραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i.αντικειμενική συνάρτηση: min xFINISH (ελαχιστοποίηση τουσυνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου).περιορισμοί: η (συντομότερη) χρονική στιγμή έναρξης xi μιαςδραστηριότητας i μπορεί να γίνει αφού όλες οι προαπαιτούμενεςδραστηριότητές της j ολοκληρωθούν: xi ≥ xj + tj.

((θεωρώνταςθεωρώντας τοτο αντίστοιχοαντίστοιχο) ) ΓραμμικόΓραμμικό ΜοντέλοΜοντέλο

Μια δραστηριότητα j ολοκληρώνεται σε χρονική στιγμή ίση με το χρόνο έναρξής της συντο χρόνο που απαιτείται για την υλοποίησή της (EFj = ESj + tj).

17ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

3333SlideSlide

B: xB ≥ xA + tΑ ⇒ -xA + xB ≥ 3C: xC ≥ xA + tΑ ⇒ -xA + xC ≥ 3D: xD ≥ xB + tΒ ⇒ -xB + xD ≥ 3E: xE ≥ xC + tC ⇒ -xC + xE ≥ 2F: xF ≥ xB + tB ⇒ -xB + xF ≥ 3

xF ≥ xC + tC ⇒ -xC + xF ≥ 2G: xG ≥ xD + tD ⇒ -xD + xG ≥ 3

xG ≥ xE + tE ⇒ -xE + xG ≥ 7H: xH ≥ xC + tC ⇒ -xC + xH ≥ 2FIN: xFN ≥ xF + tF ⇒ -xF + xFN ≥ 3

xFN ≥ xG + tG ⇒ -xG + xFN ≥ 6xFN ≥ xH + tH ⇒ -xH + xFN ≥ 2

All X’s ≥ 0

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

00F,G,HF,G,HFNFN

22CCHH

66D, ED, EGG

33B, CB, CFF

77CCEE

33BBDD

22AACC

33AABB

33AA

COMPL COMPL TIMETIME

IMMED IMMED PREDECPREDECACTIVACTIV

3434SlideSlide

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

18ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

3535SlideSlide

ο ελάχιστος χρόνος υλοποίησης του έργου είναι 18 ημέρες, όπωςκαι υποδείχτηκε προηγούμενα.οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των κρίσιμων δραστηριοτήτωνταυτίζονται με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα.οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των μη κρίσιμων δραστηριοτ. βρίσκονται μέσα στο παράθυρο χρόνου έναρξής τους και δενταυτίζονται κατ’ ανάγκη με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα.

((θεωρώνταςθεωρώντας τοτο αντίστοιχοαντίστοιχο) ) ΓραμμικόΓραμμικό ΜοντέλοΜοντέλο

3636SlideSlide

δεν υπάρχει ένδειξη για το ποιες εκ των δραστηριοτήτων είναικρίσιμες. Μπορούν όμως να βρεθούν εάν επιλυθούν για εκάστηεκ των δραστηριοτήτων i τα εξής δύο π.γ.π.min xis.t.

the constraints given beforexFN = 18

max xis.t.

the constraints given beforexFN = 18

για τη δραστηριότητα Ε η μικρότερη τιμή για την xΕ είναι 5, ενώη μέγιστη 5. Συνεπώς η δραστηριότητα Ε πρέπει να ξεκινήσει τηχρονική στιγμή 5 προκειμένου το έργο να ολοκληρωθεί στις 18 ημέρες.για τη δραστηριότητα F η μικρότερη τιμή για την xF είναι 6, ενώη μέγιστη 15. Συνεπώς η δραστηριότητα F μπορεί να ξεκινήσειοποιαδήποτε χρονική στιγμή μεταξύ της 6 και 15 προκειμένου τοέργο να ολοκληρωθεί στις 18 ημέρες.

((θεωρώνταςθεωρώντας τοτο αντίστοιχοαντίστοιχο) ) ΓραμμικόΓραμμικό ΜοντέλοΜοντέλο

19ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

3737SlideSlide

So far we have duplicated via l.p. what we could already do via dynamic programming (PERT/CPM). The real benefit of using l.p. comes if we add additional constraints into the problem, i.e.• there must be a time lag of exactly T between the end of A

(completion time a) and the start of B: xA + a + T = xB.• there must be a time lag of exactly T between the end of A

(completion time a) and the end of B (completion time b): xA + a + T = xB + b.

• activities A and B must start at the same time: xA = xB.• activities A and B must start at roughly the same time: |xA

– xB|≤ 1.

((θεωρώνταςθεωρώντας τοτο αντίστοιχοαντίστοιχο) ) ΓραμμικόΓραμμικό ΜοντέλοΜοντέλο

3838SlideSlide

εκτίμησηεκτίμηση τουτου χρόνουχρόνου πουπου απαιτείταιαπαιτείται γιαγια τηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωσηκάθεκάθε μιαςμιας εκεκ τωντων δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων

20ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

3939SlideSlide

ΗΗ διάρκειαδιάρκεια τωντων δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων είναιείναι τυχαίατυχαία μεταβλητήμεταβλητή. . ΓίνονταιΓίνονται τρειςτρεις εκτιμήσειςεκτιμήσεις τηςτης διάρκειαςδιάρκειας κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας: : ((i) i) αισιόδοξηαισιόδοξη, , (ii)(ii) απαισιόδοξηαπαισιόδοξη καικαι (iii)(iii) πλέονπλέον πιθανήπιθανή..ΥποθέτουμεΥποθέτουμε ότιότι ηη διάρκειαδιάρκεια κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας ακολουθείακολουθείτηντην κατανομήκατανομή ΒΒ. .

ΣυνθήκεςΣυνθήκες ΑβεβαιότηταςΑβεβαιότητας: : εκτίμησηεκτίμηση τριώντριών χρόνωνχρόνων

4040SlideSlide

ΤΟΤΕΤΟΤΕΟ μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας είναι ίσοςμε μ = (a + 4m + b)/6

Η μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητείναι ίσος με σ2 = ((b-a)/6)2

όπουa = η αισιόδοξη εκτίμησηb = η απαισιόδοξη εκτίμησηm = η πλέον πιθανή εκτίμηση

ΣυνθήκεςΣυνθήκες ΑβεβαιότηταςΑβεβαιότητας: : εκτίμησηεκτίμηση τριώντριών χρόνωνχρόνων

21ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

4141SlideSlide

Αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή: η διαδρομή που θα ήτανκρίσιμη εάν η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ήταν ίση με τηνμέση τιμή της.Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων στηναναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες

ΤΟΤΕΓια ικανό αριθμό δραστηριοτήτων η τ.μ. «συνολική διάρκεια τουέργου» ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρουςμ = SUM(μέσων χρόνων του αναμενόμ. κρίσιμου μονοπατιού)σ2 = SUM(διασπορών χρόνων του αναμ. κρίσιμου μονοπατιού)

ΣυνθήκεςΣυνθήκες ΑβεβαιότηταςΑβεβαιότητας: : εκτίμησηεκτίμηση τριώντριών χρόνωνχρόνων

4242SlideSlide

Example: ABC Associates Example: ABC Associates

ΘεωρήστεΘεωρήστε τοτο έργοέργο

ImmedImmed. Optimistic Most Likely Pessimistic. Optimistic Most Likely PessimisticActivityActivity PredecPredec.. Time (Hr.Time (Hr.) ) Time (Hr.)Time (Hr.) Time (Hr.)Time (Hr.)

A A ---- 4 4 6 6 88B B ---- 1 1 4.5 54.5 5C C A A 3 3 33 3 3D D A 4 5 A 4 5 6 6 E E A 0.5 1 1.5A 0.5 1 1.5F F B,C 3 4 5B,C 3 4 5G G B,C B,C 1 1.5 51 1.5 5H H E,F E,F 5 6 75 6 7I I E,F 2 5 8E,F 2 5 8J J D,H D,H 2.5 2.75 4.52.5 2.75 4.5

11 K 11 K G,I 3 5 7G,I 3 5 7

22ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

4343SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΑναμενόμενοιΑναμενόμενοι χρόνοιχρόνοι δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων καικαι διασπορέςδιασπορές

tt = (= (aa + 4+ 4mm + + bb)/6 )/6 σσ22 = ((= ((bb--aa)/6))/6)22

ActivityActivity Expected TimeExpected Time VarianceVarianceA A 6 6 4/94/9B B 4 4 4/94/9C C 3 3 00D D 5 5 1/91/9E E 1 1 1/361/36F F 4 4 1/91/9G G 2 2 4/94/9H H 6 6 1/91/9I I 5 5 11J J 3 3 1/91/9K K 5 5 4/94/9

4444SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΔίκτυοΔίκτυο ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555

23ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

4545SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΥπολογισμοίΥπολογισμοί τωντων χρόνωνχρόνων ES, EF ES, EF καικαι LS, LFLS, LF

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555

0 60 60 60 6

9 139 139 139 13

13 1813 1813 1813 18

9 119 1116 1816 18

13 1913 1914 2014 20

19 2219 2220 2320 23

18 2318 2318 2318 23

6 76 712 1312 13

6 96 96 96 9

0 40 45 95 9

6 116 1115 2015 20

ΧρόνοςΧρόνος ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου = max22, 23 = 23= max22, 23 = 23

4646SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΕνωρίτεροιΕνωρίτεροι//ΒραδύτεροιΒραδύτεροι ΧρόνοιΧρόνοι and Slackand Slack

Expected TimeExpected Time VarianceVariance ActivityActivity ESES EF EF LSLS LFLF SlackSlack66 4/94/9 AA 0 6 0 6 0 *0 6 0 6 0 *44 4/9 4/9 BB 0 4 5 9 50 4 5 9 533 0 0 CC 6 9 6 9 0 *6 9 6 9 0 *55 1/9 1/9 DD 6 11 15 20 96 11 15 20 911 1/36 1/36 EE 6 7 12 13 66 7 12 13 644 1/9 1/9 FF 9 13 9 13 0 *9 13 9 13 0 *22 4/9 4/9 GG 9 11 16 18 79 11 16 18 766 1/9 1/9 HH 13 19 14 20 113 19 14 20 155 1 1 II 13 18 13 18 0 *13 18 13 18 0 *33 1/9 1/9 JJ 19 22 20 23 119 22 20 23 155 4/9 4/9 KK 18 23 18 23 0 *18 23 18 23 0 *

24ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

4747SlideSlide

ΠροσδιορισμόςΠροσδιορισμός τηςτης κρίσιμηςκρίσιμης διαδρομήςδιαδρομής

••Critical Path: A Critical Path: A –– C C –– F F –– I I –– KK

••ΑναμενόμενοςΑναμενόμενος ΧρόνοςΧρόνος ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης: 23 : 23 ώρεςώρες

μμ = = ttAA + + ttCC + + ttFF + + ttII + + ttKK

= 6 + 3 + 4 + 5 + 5 = 6 + 3 + 4 + 5 + 5 = 23= 23

σσ22 = = σσ22AA + + σσ22

CC + + σσ22FF + + σσ22

II + + σσ22KK

= 4/9 + 0 + 1/9 + 1 + 4/9 = 4/9 + 0 + 1/9 + 1 + 4/9 = 2= 2

••ΣυνολικήΣυνολική διάρκειαδιάρκεια τουτου έργουέργου ΝΝ(23, 2)(23, 2)

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

4848SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

Critical Path (ACritical Path (A--CC--FF--II--K)K)

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555

0 60 60 60 6

9 139 139 139 13

13 1813 1813 1813 18

9 119 1116 1816 18

13 1913 1914 2014 20

19 2219 2220 2320 23

18 2318 2318 2318 23

6 76 712 1312 13

6 96 96 96 9

0 40 45 95 9

6 116 1115 2015 20

25ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

4949SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΣυνολικήΣυνολική διάρκειαδιάρκεια τουτου έργουέργου ΝΝ(23, 1.414(23, 1.41422))

20.172 23 25.828

5050SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

Η τυχαία μεταβλητή XZ

μσ−

= ακολουθεί την Ν(0, 1) οπότε

Πιθανότητα (διάρκεια έργου ≤ x) = Probability (Z ≤ zx)

26ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

5151SlideSlide

ΠιθανότηταΠιθανότητα ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου μέσαμέσα σεσε 24 hrs24 hrs

zz2424 = (24 = (24 -- 23)/23)/σσ = = (24(24--23)/1.414 = .7123)/1.414 = .71 P(zP(z << .71) = .5 + .2612 = .7612.71) = .5 + .2612 = .7612

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

5252SlideSlide

ΑναμενΑναμεν. . διάρκειαδιάρκεια ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου μεμε πιθανότηταπιθανότητα 95%95%

P(zP(z << ((a a –– 23)/1.414) = .95 23)/1.414) = .95 ⇒⇒ (a (a -- 23)/1.23)/1. 414414 = = 1.645 1.645 ⇒⇒ a = 25.33 hrsa = 25.33 hrs

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

27ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

5353SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

5454SlideSlide

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

28ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

5555SlideSlide

το συνολικό κόστος υλοποίησης ενός έργου διαμορφώνεται απότο άθροισμα δύο επί μέρους στοιχείων κόστους

του έμμεσου, καιτου άμεσου.

ΟικονομικήΟικονομική ΔιάστασηΔιάσταση ενόςενός έργουέργου

5656SlideSlide

το έμμεσο κόστος δεν συνδέεται άμεσα με κάποια συγκεκριμένηδραστηριότητα κι είναι μια γραμμική (συνήθως) συνάρτηση τουχρόνου ολοκλήρωσης του έργου, με αποτέλεσμα να μειώνεται ήνα αυξάνεται κατά ένα σταθερό ποσό κάθε φορά που η συνολικήτου διάρκεια συντομεύεται ή επιμηκύνεται αντίστοιχα κατά μίαμονάδα χρόνου.ως άμεσο κόστος μιας δραστηριότητας νοείται κάθε στοιχείοκόστους που καταλογίζεται απευθείας πάνω στη συγκεκριμένηδραστηριότητα. Φυσικά η χρονική διάρκεια ολοκλήρωσης κάθεδραστηριότητας είναι συνάρτηση του άμεσου κόστους εκτέλεσήςτου, οπότε η δραστηριότητα μπορεί να ολοκληρωθεί και σεμικρότερο χρόνο, εάν διατεθούν σ’ αυτή επιπλέον κόστος για τηνεκτέλεσή της (κι αντίστροφα).

ΟικονομικήΟικονομική ΔιάστασηΔιάσταση ενόςενός έργουέργου

29ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

5757SlideSlide

Στα πλαίσια της CPM δεχόμαστε ότι υπάρχουν δύο ακραίες τιμέςτης διάρκειας ολοκλήρωσης της κάθε δραστηριότητας σε σχέση μετο άμεσο κόστος που διατίθεται για την υλοποίησή της:

ΟικονομικήΟικονομική ΔιάστασηΔιάσταση ενόςενός έργουέργου

η κανονική διάρκεια υλοποίησης της δραστηριότητας TN η οποίαεπιτυγχάνεται όταν διαθέτουμε το (συνηθισμένο) ελάχιστο κόστοςτης κανονικής της διάρκειας CN,η συντομότερη διάρκεια υλοποίησης της δραστηριότητας TC ηοποία επιτυγχάνεται όταν διαθέσουμε το (επιπλέον από τοκανονικό) μέγιστο κόστος της συντομότερης διάρκειάς της CC.

Τότε, η καμπύλη μεταβολής του άμεσου κόστους και της διάρκειαςολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας προσεγγίζεται από την ευθείαπου περνά από τα σημεία (TN, CN), (TC, CC).

5858SlideSlide

ΟικονομικήΟικονομική ΔιάστασηΔιάσταση ενόςενός έργουέργου

Έτσι το μοναδιαίο κόστος συντόμευσης MC της διάρκειας μιαςδραστηριότητας, η αύξηση δηλαδή του κόστους για κάθε μονάδατου χρόνου που μειώνεται η διάρκεια της δραστηριότητας, δίνεταιαπό την κλίση της ευθείας: MC = (CC - CN)/(TN - TC) = AC/R.

30ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

5959SlideSlide

Μείωση του χρόνου υλοποίησης των δραστηριοτήτων προκαλείαύξηση στα άμεσα κόστη και μείωση στα έμμεσα.Η συνολική καμπύλη κόστους είναι κυρτή κι έχει βέλτιστο (min).

ΟικονομικήΟικονομική ΔιάστασηΔιάσταση ενόςενός έργουέργου

6060SlideSlide

Συμπίεση του έργου (project crashing): η διαδικασία με την οποίαμειώνεται η συνολική διάρκεια του έργου με την ολοκλήρωσηκάποιων εκ των επί μέρους δραστηριοτήτων σε χρόνο συντομότεροαπό την κανονική τους διάρκεια.

ΣυμπίεσηΣυμπίεση χρόνουχρόνου τουτου έργουέργου

Εάν το έργο πρέπει να ολοκληρωθεί νωρίτερα από το χρόνο πουέχει προγραμματιστεί (με τους κανονικούς χρόνους των δραστ), τότε ποιες δραστηριότητες πρέπει να συμπιεστούν, για πόσεςμονάδες χρόνου, και με πόσο κόστος;

<αφορά μόνον τις κρίσιμες δραστηριότητες>

Εάν διατίθεται ένα συγκεκριμένο ποσό για συμπίεση, μέχριπόσες χρονικές μονάδες μπορούμε να συμπιέσουμε το χρόνοολοκλήρωσης του έργου;

31ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

6161SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a product

ΘεωρήστεΘεωρήστε τοτο έργοέργο

ImmedImmed. Normal Crash Normal Crash. Normal Crash Normal CrashActivityActivity PredecPredec.. Time (WksTime (Wks) ) Time (Wks)Time (Wks) CostCost CostCost

A A ---- 6 6 4 4 100 240100 240B B ---- 2 2 1 100 1501 100 150C C A A 3 3 0 3 3 0 00D D B 2 2 B 2 2 0 00 0E E C 4 2 C 4 2 100 180100 180F F D 1 1 D 1 1 0 00 0

G G E,F E,F 1 1 0 1 1 0 00H H G G 6 3 100 6 3 100 160160I I H 3 2 H 3 2 100 140100 140J J H H 1 1 0 1 1 0 00

11 K 11 K I,J 1 1 I,J 1 1 0 00 0

6262SlideSlide

ΣυμπίεσηΣυμπίεση χρόνουχρόνου τουτου έργουέργου

11οο βήμαβήμα:: εκτίμηση κανονικών χρόνων και χρόνων συμπίεσης..22οο βήμαβήμα:: εντοπισμός της κρίσιμης διαδρομής από την PERT/

CPM (βασιζόμενοι στους κανονικούς χρόνους).33οο βήμαβήμα:: επιλογή της κρίσιμης δραστηριότητας με το μικρότερο

μοναδιαίο κόστος44οο βήμαβήμα:: συμπίεση της ανωτέρω δραστηριότητας κατά μία

χρονική μονάδα.55οο βήμαβήμα:: έλεγχος του κριτηρίου τερματισμού. Εάν ικανοποιείται

η διαδικασία τελειώνει. Αλλιώς, επιστρέφουμε στο 2ο βήμακαικαι επιλύουμεεπιλύουμε τοτο δίκτυοδίκτυο τουτου έργουέργου μεμε τητη νέανέα, , συντομότερησυντομότερηκατάκατά μίαμία χρονικήχρονική μονάδαμονάδα, , διάρκειαδιάρκεια τηςτης συγκεκριμένηςσυγκεκριμένηςδραστηριότηταςδραστηριότητας. .

32ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

6363SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a product

ΠεριθώριοΠεριθώριο ΠρόσθετοΠρόσθετο ΜοναδιαίοΜοναδιαίοActivityActivity ΣυντόμευσηςΣυντόμευσης ΚόστοςΚόστος ΚόστοςΚόστος

A A 22 140140 7070B B 11 50 50 5050C C D D E E 2 2 8080 4040F F G G H H 33 6060 2200I I 11 4040 4400J J K K

Το κρίσιμο μονοπάτι είναι το: A-C-E-G-H-I-K. Χρόνος 24 εβδομάδες. Ζητούμενο η συμπίεση σε 19

Οι διαδοχικές συμπιέσεις έχουν ως ακολούθως: Η, Η, H, Ε ή Ι και τέλος Ι ή Ε.

6464SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a product

Critical Path (ACritical Path (A--CC--EE--GG--HH--II--K)K)Completion Time = 24 weeksCompletion Time = 24 weeks

NORMAL TIMES

33ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

6565SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a product

The project can take anywhere between 16and 24 weeks depending upon the activity completion time (which can vary between the normal time and the crash time).

CRASH TIMES

6666SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a productΣυμπίεσηΣυμπίεση στιςστις 19 19 ημέρεςημέρες ((Results Perform Crashing Analysis ))

Crash activity E by one week, activity H by three weeksand activity I by one week.The minimum cost way of achieving the lowest possibleoverall project completion time of 19 weeks is 640. Thiscontrasts with the cost of 870, because it is not necessato crash all activities to their maximum extent.

34ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

6767SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a productVarying the number of weeks by which we crash the project, we construct a graph that plots for each possible project completion time the minimum associated cost.

6868SlideSlide

Example: Beasley redesign a productExample: Beasley redesign a productAlso, we can produce a graphic showing the cost of the project based on each activity starting at its earliest/latest time. The gap between the cumulative ES and LS lines represents flexibility: cost can be adjusted with the ES and LS limits by artificially delaying the start of non-critical activities.

35ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

6969SlideSlide

μεταβλητή xi: η συντομότερη χρονική στιγμή έναρξης (ES) τηςδραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i.μεταβλητή yi: οι χρονικές στιγμές που μπορεί να επισπευστεί ηδιάρκεια της δραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο iαντικειμενική συνάρτηση: min ∑MCiyi (ελαχιστοποίηση τουεπιπλέον κόστους –λόγω συμπίεσης- του έργου).περιορισμοί:•η χρονική στιγμή έναρξης xi μιας δραστηριότητας i μπορεί ναγίνει αφού όλες οι προαπαιτούμενες δραστηριότητές της jολοκληρωθούν, λαμβάνοντας υπόψη την πιθανή συμπίεσητους: xi ≥ xj + tj – yj.

•άνω φράγματα για τους χρόνους συμπίεσης.•άνω φράγμα για το συνολικό χρόνο υλοποίησης του έργου:

(χρόνος ολοκλήρωσης των «τερματικών» δραστηριοτ.) ≤ D.

ΤοΤο ΓραμμικόΓραμμικό ΜοντέλοΜοντέλο τηςτης ΣυμπίεσηςΣυμπίεσης

7070SlideSlide

PERT/CostPERT/Cost

Η PERT/Cost είναι μια μέθοδος παρακολούθησης των δαπανώνεκτέλεσης ενός έργου.Βασική παραδοχή της μεθοδολογίας είναι ότι το κόστος μιαςδραστηριότητας κατανέμεται ομοιόμορφα κατά τη διάρκειαεκτέλεσής της.Συνήθως μελετώνται πακέτα εργασιών, ομάδες δραστηριοτήτωνδηλαδή που σχετίζονται μεταξύ τους.Η έκθεση δαπανών (cost status report) αναφέρεται σε εκτιμήσειςτων δαπανών λόγω καθυστέρησης ή ενωρίτερης ολοκλήρωσηςκάθε πακέτου εργασίας.

36ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

7171SlideSlide

PERT/CostPERT/Cost

Η δαπάνη από την καθυστερημένη ή ενωρίτερη ολοκλήρωσηυπολογίζεται με αφαίρεση της προϋπολογισθείσας δαπάνης(budgeted cost) από την πραγματική δαπάνη κάθε πακέτου. Για μια εργασία που είναι σε εξέλιξη, η δαπάνη αυτή εκτιμάταιαφαιρώντας το ποσοστό της προϋπολογισθείσας δαπάνης απότην έως εκείνη τη στιγμή καταβληθείσα (πραγματική) δαπάνη. Η συνολική δαπάνη από την καθυστερημένη ή ενωρίτερηολοκλήρωση, σε ένα δεδομένο χρόνο κατά την εκτέλεση τουέργου, εκτιμάται ως το άθροισμα των επί μέρους δαπανών πουέχουν προκύψει μέχρι τη δεδομένη στιγμή.

7272SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΔίνεταιΔίνεται τοτο ακόλουθοακόλουθο δίκτυοδίκτυο ενόςενός έργουέργου::

D3

Start

A9

I4

H5

E4

B8

Finish

C10

J8

F4

G3

D3

Start

A9

I4

H5

E4

B8

Finish

C10

J8

F4

G3

37ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

7373SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΔίνεταιΔίνεται τοτο καθεστώςκαθεστώς δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων ((στοστο τέλοςτέλος τηςτης 1111ηςης εβδομεβδομ))

ΔραστηριότηταΔραστηριότητα ΠραγματικήΠραγματική ΔαπάνηΔαπάνη % % ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσηςA A €€6,200 6,200 100100B B 5,700 5,700 100100C C 5,600 5,600 9090D D 0 0 00E E 1,000 1,000 2525F F 5,000 5,000 7575G G 2,000 2,000 5050H H 0 0 00I I 0 0 00J J 0 0 00

7474SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΔίνεταιΔίνεται ότιότι ηη προϋπολογισθείσαπροϋπολογισθείσα δαπάνηδαπάνη γιαγια κάθεκάθε δραστηριότηταδραστηριότηταείναιείναι €€6000.6000.ΈχονταςΈχοντας τατα πραγματικάπραγματικά καικαι τατα προϋπολογισθένταπροϋπολογισθέντα ποσάποσάπροσδιορίζουμεπροσδιορίζουμε τητη διαφοράδιαφορά δαπανώνδαπανών. . ΓιαΓια παράδειγμαπαράδειγμα::••ΣτηΣτη δραστηριότηταδραστηριότητα CC δαπανήθηκανδαπανήθηκαν €€5600, 5600, ηη δραστηριότηταδραστηριότηταολοκληρώθηκεολοκληρώθηκε κατάκατά 90%, 90%, ενώενώ οο προϋπολογισμόςπροϋπολογισμός τουτου 100% 100% είναιείναι €€6000.6000.

••ΑναλογικάΑναλογικά γιαγια τοτο 90% 90% τηςτης CC τοτο προϋπολογισθένπροϋπολογισθέν ποσόποσό είναιείναι0.90.9××6000 = 6000 = €€5400.5400.

••ΕπομένωςΕπομένως, , μέχριμέχρι τηντην 1111ηη εβδομάδαεβδομάδα, , ηη CC έχειέχει κοστίσεικοστίσει €€200 200 επιπλέονεπιπλέον..

ΣυντάσσουμεΣυντάσσουμε τηντην έκθεσηέκθεση δαπανώνδαπανών..

38ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

7575SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΠραγματικήΠραγματική ΔιαφοράΔιαφοράΔραστηρΔραστηρ ΔαπάνηΔαπάνη ΠροϋπολογισμόςΠροϋπολογισμός ΔαπανώνΔαπανών

A A €€6,200 (1.00)x6000 = 60006,200 (1.00)x6000 = 6000 $200$200B B 5,700 (1.00)x6000 = 6000 5,700 (1.00)x6000 = 6000 -- 300300C 5,600 (.90)x6000 = 5400 C 5,600 (.90)x6000 = 5400 200200D D 0 0 0 0 00E E 1,000 (.25)x6000 = 1500 1,000 (.25)x6000 = 1500 -- 500500F F 5,000 (.75)x6000 = 4500 5,000 (.75)x6000 = 4500 500500G 2,000 (.50)x6000 = 3000 G 2,000 (.50)x6000 = 3000 --10001000H H 0 00 0 00I I 0 00 0 00J J 0 00 0 00

ΣύνολαΣύνολα $25,500 $26,400 $$25,500 $26,400 $-- 900900

ΈκθεσηΈκθεση ΔαπανώνΔαπανών((ΗΗ προϋπολογισθείσαπροϋπολογισθείσα δαπάνηδαπάνη εκάστηςεκάστης δραστηριότηταςδραστηριότητας είναιείναι €€6,0006,000))

7676SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ActivityActivity ESES EFEF LSLS LFLF SlackSlackA A 0 9 0 9 0 *0 9 0 9 0 *B B 0 8 5 13 50 8 5 13 5C C 0 10 7 17 70 10 7 17 7D 8 11 22 25 D 8 11 22 25 1414E E 8 12 13 17 58 12 13 17 5F F 9 13 13 17 49 13 13 17 4G G 9 12 9 12 0 *9 12 9 12 0 *H H 12 17 12 17 0 *12 17 12 17 0 *I I 12 16 21 25 912 16 21 25 9J J 17 25 17 25 0 *17 25 17 25 0 *

ΑπόΑπό τοτο δίκτυοδίκτυο PERTPERT υπολογίζονταιυπολογίζονται οιοι ΕνωρΕνωρ//ΒραδύτΒραδύτ ΧρόνοιΧρόνοι

39ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

7777SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΑπόΑπό τοτο 100% 100% ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης καικαι τητη διάρκειαδιάρκεια κάθεκάθε δραστηριότητδραστηριότητ, , υπολογίζεταιυπολογίζεται οο χρόνοςχρόνος πουπου υπολείπεταιυπολείπεται

ΔραστηριότηταΔραστηριότητα ΥπόλοιποςΥπόλοιπος ΧρόνοςΧρόνος % % ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσηςA A 99××(1.0 (1.0 –– 1.0) = 01.0) = 0 100100 →→ 11B B 88××(1.0 (1.0 –– 1.0) = 0 1.0) = 0 100100 →→ 11C C 1010××(1.0 (1.0 –– 0.90) = 9 0.90) = 9 9090 →→ 0.900.90D D 33××(1.0 (1.0 –– 0.0) = 3 0.0) = 3 00 →→ 0.00.0E E 44××(1.0 (1.0 –– 0.25) = 3 0.25) = 3 25 25 →→ 0.250.25F F 44××(1.0 (1.0 –– 0.75) = 1 0.75) = 1 75 75 →→ 0.750.75G G 33××(1.0 (1.0 –– 0.50) = 1.5 0.50) = 1.5 50 50 →→ 0.500.50H H 55××(1.0 (1.0 –– 0.0) = 5 0.0) = 5 00 →→ 0.00.0I I 44××(1.0 (1.0 –– 0.0) = 4 0.0) = 4 00 →→ 0.00.0J J 88××(1.0 (1.0 –– 0.0) = 8 0.0) = 8 00 →→ 0.00.0

7878SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

ΔιάγραμμαΔιάγραμμα PERTPERT στοστο τέλοςτέλος τηςτης 1111ηςης εβδομάδοςεβδομάδος

11 14

D 3

Start

11 11

A0

12.5 16.5

I 4

12.5 17.5

H 5

11 14

E 3

11 11

B0

Finish

11 12

C 1

17.5 25.5

J 8

11 12

F1

11 12.5

G1.5

11 14

D 3

Start

11 11

A0

12.5 16.5

I 4

12.5 17.5

H 5

11 14

E 3

11 11

B0

Finish

11 12

C 1

17.5 25.5

J 8

11 12

F1

11 12.5

G1.5

RemainingRemainingwork (weeks)work (weeks)

Earliest FinishEarliest Finish

Earliest StartEarliest Start

40ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/25/2007

7979SlideSlide

Example: How Are We Doing?Example: How Are We Doing?

Εικόνα του έργου στο τέλος της 11ης εβδομάδος:•Ο αρχικός προϋπολογισμός για το τμήμα του έργου που έχειολοκληρωθεί ήταν €26400. Ως τώρα έχουν δαπανηθεί €22500. Υπάρχει δηλαδή κέρδος €900.

•Ο συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης είναι τώρα 25.5 αντί για25 εβδομάδες, δηλαδή έχουμε καθυστέρηση μισής εβδομάδ.

Προτεινόμενες διορθωτικές ενέργειες:•Η διοίκηση πρέπει να μελετήσει το ενδεχόμενο μεταφοράςτων €€900 900 στηστη δραστηριότηταδραστηριότητα GG προκειμένουπροκειμένου νανα εξασφαλίσειεξασφαλίσειτηντην ταχύτερηταχύτερη ολοκλήρωσήολοκλήρωσή τηςτης..

••ΕναλλακτικάΕναλλακτικά, , μπορείμπορεί νανα μειώσειμειώσει τοτο χρόνοχρόνο εκτέλεσηςεκτέλεσης άλλωνάλλωνδραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων τηςτης κρίσιμηςκρίσιμης διαδρομήςδιαδρομής..