Πρόσθεση και αφαίρεση

φυσικών και δεκαδικών αριθμών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΒΙΒΛΙΟΜΑΘΗΤΗ

Kεφάλαιο 5ο

1η θεματική ενότητα

Προσθέσεις και αφαιρέσεις

Αριθμοί και πράξεις

Σε ένα παιχνίδι ντόμινο βρίσκεται στα χέρια σου η διπλανή κάρτα.

● Ποιο είναι το άθροισμα των σημείων της;............................................................

● Με πόσους τρόπους μπορούμε να οδηγηθούμε στο άθροισμα;

● Τι παρατηρείς;......................................................................................................

Τι παρατηρείς στη δεύτερη κάρτα για το άθροισμα με το 0;

.............................................................................................................................

.....................................................................................................

Αν έχεις να προσθέσεις τις δύο αυτές κάρτες μαζί, να περιγράψεις

τους τρόπους με τους οποίους μπορείς να το κάνεις:

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

Προσθέτω και αφαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.

Χρησιμοποιώ τις ιδιότητες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

Αναγνωρίζω ότι η αφαίρεση είναι αντίθετη πράξη της πρόσθεσης.

Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμώνΚεφάλαιο 5ο

Προσθέσεις και αφαιρέσεις

Δραστηριότητα 1η

4 5

Το άθροισμα των σημείων της είναι 9.4 + 5 = 9 ή 5 + 4 = 9

Με 2 τρόπους.

9

4

+ 5ή

9

5

+ 4Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το

αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αντιμεταθετική ιδιότητα).

3 0Αν προσθέσουμε σε έναν αριθμό το μηδέν (0), το άθροισμα είναι ο ίδιος

ο αριθμός (ουδέτερο στοιχείο). 3 + 0 = 3 ή 0 + 3 = 3

Προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ. Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια

των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει (προσεταιριστική ιδιότητα).

(4 + 5) + 3 = 9 + 3 = 12, ή (4 + 5) + 3 + 0 = (9 + 3) + 0 = 12 + 0 = 12, …4 + (5 + 3) = 4 + 8 = 12,

4 + 5 = 5 + 4 = 9

(4 + 3) + 5 = 7 + 5 = 12, ή (4 + 3) + 5 + 0 = (7 + 5) + 0 = 12 + 0 = 12, …4 + (3 + 5) = 4 + 8 = 12,

Δραστηριότητα 2η

Μια πράξη ή μια ενέργεια που εξουδετερώνει μια άλλη λέγεται αντίστρο-

φή της (π.χ. ανεβαίνω τη σκάλα – κατεβαίνω τη σκάλα).

● Βρείτε άλλες αντίστροφες πράξεις ή ενέργειες.

..............................................................................................................

..............................................................................................................

Αν από τον αριθμό 26 αφαιρέσουμε τον αριθμό 8 βρίσκουμε 18. Πώς από

τον αριθμό 18 μπορούμε να ξαναβρούμε το 26;

Σημειώστε με ισότητες αυτές τις πράξεις.

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

● Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε για τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση;

..............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

Ανοίγω την πόρτα – κλείνω την πόρτα ,

Μπαίνω στην αίθουσα - βγαίνω από την αίθουσα.

26 – 8 = 18, 18 + 8 = 2626 – 8 = 18 18 + 8 = 26

Έχουμε την αφαίρεση: 26 – 8 = 18. Αν προσθέσουμε τη διαφορά(18) και τον αφαιρετέο(8),

βρίσκουμε τον μειωτέο(26).

Η πρόσθεση «εξουδετερώνει» την αφαίρεση.

Με πρόσθεση.

Η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης. Σε κάθε αφαίρεση, αν προσθέσουμε

τη διαφορά και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε τον μειωτέο.

μειωτέος – αφαιρετέος = διαφορά

693 - 541 = 152 92,5 - 48,2 = 44,3

152 + 541 = 693 44,3 + 48,2 = 92,5

Oι προηγούμενες δραστηριότητες μας οδηγούν στα εξής συμπεράσματα:

Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών

Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων,

δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης

(αντιμεταθετική ιδιότητα).

Παραδείγματα

προσθετέοι άθροισμα

49 + 16 = 65 3,2 + 11,5 = 14,7

16 + 49 = 65 11,5 + 3,2 = 14,7

Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτου-

με πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους

τον τρίτο κ.ο.κ. Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των

προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν

αλλάζει (προσεταιριστική ιδιότητα).

Η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης.

Σε κάθε αφαίρεση, αν προσθέσουμε τη δι-

αφορά και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε τον μειωτέο.

49 + 16 + 14 = (49 + 16) + 14 = 65 + 14 = 79

49 + 16 + 14 = 49 + (16 + 14) = 49 + 30 = 79

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης μας βοηθούν να υπολογίζουμε πιο γρήγορα αθροίσματα με πολλούς αριθμούς.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς γίνονται όπως και στους φυσικούς. Προ-

σθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία σύμφωνα με την αξία τους.

Εφαρμογή 1η

Η Φωτεινή μάζεψε 18,85 €. Πόσα χρήματα πρέπει να προσθέσει ακόμα στις

οικονομίες της, ώστε να συγκεντρώσει 35,60 € και να αγοράσει μια συσκευή

DVD για τον υπολογιστή της;

Λύση - ΑπάντησηΤα χρήματα που χρειάζεται να συγκεντρώσει θα είναι τόσα ώστε αν προστεθούν

στο αρχικό ποσό, το άθροισμα να είναι ίσο με 35,60 €.

Δηλαδή 18,85 + άγνωστο ποσό = 35,60 €.

Ξέροντας ότι η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης, λύνω το

πρόβλημα κάνοντας την πράξη: 35,60 - 18,85 = ............... €16,75

α

Εφαρμογή 2η

Υπολογίστε με τον νου το άθροισμα 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1= ....

Λύση

α

Παρατήρησε δύο διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους υπολογίζεται το άθροισμα:

Επιλέγω ένα ζευγάρι προσθετέων και βρίσκω το άθροισμάτους. Μετά επιλέγω έναν από τους υπόλοιπους προσθετέουςγια να τον κάνω ζευγάρι με το προηγούμενο άθροισμα καισυνεχίζω έτσι μέχρι να τελειώσουν όλοι οι προσθετέοι. …

10 +10 +10 +10 +5 = 45

Αλλάζω τη σειρά των προσθετέων ώστε ναγίνουν ζευγάρια που έχουν άθροισμα το 10.Μετά προσθέτω όσους δεν έχουν ζευγάρι.Π.χ. (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + 5 = ………

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=(9 + 8) + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=

(17+ 7) + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=(24+ 6) + 5 + 4 + 3 + 2 + 1=

(30 + 5) + 4 + 3 + 2 + 1=(35+ 4) + 3 + 2 + 1=(39 + 3) + 2 + 1=(42 + 2) + 1= 44 + 1=45

(προσεταιριστική ιδιότητα).

Π.χ. (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + 5 =

(10 + 10) + (10 + 10) + 5 =

(20 + 20) + 5 =40 + 5 = 45(Αντιμεταθετική ιδιότητα).

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους αντιμεταθετική ιδιότητα, προσεταιριστική ιδιότητα και

αντίστροφες πράξεις. Εξήγησε με παραδείγματα τους όρους αυτούς.

Αντιμεταθετική ιδιότητα: Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το

αποτέλεσμα της πρόσθεσης.

Π.χ. 20 + 10 = 10 + 20 = 30, 235 + 14,55 = 14,55 + 235 = 249,55

Προσεταιριστική ιδιότητα: Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτουμε πρώτα

τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ. Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των

προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει.

Π.χ. 50 + 10+ 1 = (50 + 10) + 1 = 60 + 1 = 61, 50 + 10+ 1 = 50 + (10 + 1) = 50 + 11 = 61

Αντίστροφες πράξεις: Η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης. Σε κάθε

αφαίρεση, αν προσθέσουμε τη διαφορά και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε τον μειωτέο.

Π.χ. 600 - 500 = 100 ⇒ 100 + 500 = 600 ή 500 + 100 = 600

Αντίστροφες πράξεις: Η πρόσθεση είναι πράξη αντίστροφη της αφαίρεσης. Σε κάθε πρόσθε-

ση, αν αφαιρέσουμε το άθροισμα από τον ένα προσθετέο θα βρούμε τον άλλο προσθετέο.

Π.χ. 20 + 10 = 30 ⇒ 30 – 20 =10 ή 30 – 10 =20

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτησηΣτο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους αντιμεταθετική ιδιότητα, προσεταιριστική ιδιότητα και

αντίστροφες πράξεις. Εξήγησε με παραδείγματα τους όρους αυτούς.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος

H ισότητα: 74 + 62 + 26 = 100 + 62 είναι σωστή. ❒ ❒√

Μπορούμε να κάνουμε αφαίρεση ως δοκιμή της πρόσθεσης. ❒ ❒√74 + 62 + 26 = (74 + 26) + 62 = 100 + 62

Στην αφαίρεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. ❒ ❒√Π.χ. 20 + 10 = 30 ⇒ 30 – 20 =10 ή 30 – 10 =20

Η πρόσθεση είναι πράξη αντίστροφη της αφαίρεσης. Σε κάθε πρόσθεση, αν αφαι-

ρέσουμε το άθροισμα από τον ένα προσθετέο θα βρούμε τον άλλο προσθετέο.

Στην αφαίρεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, γιατί αν αλλάξουμε τη σειρά των

όρων αλλάζει το αποτέλεσμα της αφαίρεσης (ή δεν είναι δυνατή η πράξη στους φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς).

Π.χ. 14 - 4 = 10 ⇒ 4 – 14 ≠ 10

λόγω αντιμεταθετικής ιδιότητας.