Oefe ggen 2001 2015 problems & solutions

Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου

Επαναληπτικά Θέματα (προσομοίωσης Εξετάσεων)

Ο.Ε.Φ.Ε. 2001-2015

Επιμέλεια : Χρήστος Κ.Λοΐζος Μαθηματικός

https://liveyourmaths.wordpress.com/

https://liveyourmaths.wordpress.com/

-

xi i , i=1, 2, 3,... , ≤ fi -xi

f1 + f2 + ... + f = 1

xi 0 1 2 3 4 5 i 3 8 4 2 2 1

- ! -

-

- -

20 40 50 60 80 100

0 48 49 50 51 52 100

f(x)= x3+3x2-9x+2 ∈ .

f -

f

- f(x)

"

P(A-B)=

, P(A∩B)=

′

P(A)

-

#

1993 1994 1995 1996 1997

xi 4 4,3 8,3 8,7 7,3

i24 25 28 29 32

#

+=

#

-

: +=

$

6

- - -

1

Προσομοίωση 2002 Μαθηματικά

Γ’ Λυκείου – Γενικής Παιδείας Θέμα 1ο α) Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι:

P(A-B)=P(A)-P(A∩B) Μονάδες 5

β) Δίνεται η ευθεία xy ⋅+= βα!!! της παλινδρόμησης της μεταβλητής Υ πάνω στη Χ

i) Να δώσετε, με απόδειξη, την ερμηνεία της εκτιμήτριας β^

.Μονάδες 5

ii) Να εξηγήσετε γιατί διέρχεται από το σημείο ( yx, )Μονάδες 2

γ) Να δώσετε τους ορισμούς των εννοιών που αναφέρονται στις προτάσεις (i) έως (iv) i) Τι λέμε καμπύλη συχνοτήτων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητήςii) Πώς ορίζεται η παράγωγος f’(xo) της συνάρτησης f στο x0.iii) Τι είναι το εύρος ενός δείγματος.iv) Τι ονομάζουμε στατιστική ομαλότητα

Μονάδες 8 δ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

i) Αν ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης f στο διάστημα Δ =

2,0 π ,

είναιxxx 2

1122 ++

συν, τότε ο τύπος της f είναι:

Α. 2lnx +2

13

x+χηµ

B. xxx

++εφ2

Γ. 2lnx+εφx+ x Δ. (lnx)2+(εφx)2+ xΕ. Τίποτα από τα Α, Β, Γ, Δ.

ii) Αν για την πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρουΩ ισχύει [Ρ(Α)]2 – 2 Ρ(Α) + 1 = 0 (1), τότε:Α. Το Α είναι το αδύνατο ενδεχόμενοΒ. Το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο.Γ. Είναι 0 < Ρ(Α) < ½.Δ. Η σχέση (1) είναι αδύνατη.Ε. Τίποτα από τα Α, Β, Γ, Δ.

Μονάδες 5 Θέμα 2ο Δίνονται οι συναρτήσεις φ, f, g με f(1) = f΄ (1) = 1 και

φ(x) = f(g(x)), g(x) = lnx +x, με x > 0.

α) Ν’ αποδείξετε ότι: g(1) = φ(1) = 1, g΄ (1) = φ΄ (1) = 2 Μονάδες 7

β) Να εξετάσετε αν η g(x) έχει ακρότατα στο διάστημα Δ = ( 0, +∞ ). Μονάδες 5

γ) Να υπολογιστεί η τιμή του ορίου:

2

hghh

h

)1()1()1ln(lim0

−+++→

Μονάδες 4 δ) i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε1, ε2 των γραφικών παραστάσεων των

φ και f στα σημεία τους Α(1,φ(1)) και Β(1,f(1)) αντίστοιχα. Μονάδες 7

ii) Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η ε2 με τον άξονα των x. Μονάδες 2

Θέμα 3ο ν τηλεθεατές δήλωσαν την προτίμησή τους σε ένα μόνο από κ προγράμματα τα α1, α2, . . . ακ με ν,κ ∈ Ν*. Από τις μετρήσεις προέκυψε ότι για τα ποσοστά προτίμησης f(αi) των αi είναι :

f(α3) = 400/31 % και f(αi) = λ⋅2i-1 με i = 1, 2, . . ., κ και λ σταθερό αριθμό. α) Ν’ αποδείξετε ότι : λ = 1/31 και κ = 5.

Μονάδες 4 β) Επιλέγουμε ένα τηλεθεατή στην τύχη. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: Να προτίμησε το πρόγραμμα α4. Β: Να προτίμησε ένα από τα 2 πιο δημοφιλή προγράμματα. Γ: Να μην προτίμησε το α1.

Μονάδες 6 γ) Αν το α4 προτιμήθηκε από 160 άτομα, να βρείτε το ν.

Μονάδες 5 δ) i) Να γίνει το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: «ο αριθμός των προτιμήσεων» που έλαβε κάθε πρόγραμμα.

Μονάδες 7 ii) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή της (Χ).

Μονάδες 3 Θέμα 4ο Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής (Χ) των ετήσιων μισθών (σε εκατοντάδες Ευρώ) ενός δείγματος εργαζομένων, ομαδοποιημένης σε κλάσεις ίσου πλάτους, έχει κορυφές τα σημεία:

Α(20, 0), Β(40, 5), Γ(60, 10), Δ(80, 20), Ε(100, 30), Ζ(120, ν5), Η(140, 10), Θ(160, 0).

Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση x = 100 διαιρεί το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία. α) Ν’ αποδείξετε ότι ν5 = 25.

Μονάδες 5 β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής (Χ).

Μονάδες 5 γ) Να υπολογίσετε τις τιμές των μέτρων θέσης της (Χ).

Μονάδες 7 δ) Αν σαν «όριο φτώχιας» θεωρήσουμε τον μισθό των 7.200 ευρώ, να εκτιμήσετε το ποσοστό επί τοις % των φτωχών του δείγματος.

Μονάδες 5 ε) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς την συμμετρία της.

Μονάδες 3

Προσομοίωση 2002 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδείας

Θέμα 1 Δίνεται η συνάρτηση

x

2

α e x ( ,0]f (x) x 2

ln(1 x) 2x x (0,1)

⎧ +∈ −∞⎪= −⎨

⎪ − + ∈⎩α) Να προσδιορίσετε την τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής στο xo = 0

Μονάδες 7 β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο διάστημα (0, 1) και να βρείτε , αν υπάρχουν, τα

ακρότατα της. Μονάδες 7

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο Α (xο, f(xo)) της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f με το ox ( ,o]∈ −∞ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α να είναι παράλληλη προς τον xx΄.

Μονάδες 6

Θέμα 2 Σε ένα κουτί υπάρχουν 50 μπαλάκια αριθμημένα από το 1 έως το 50. Αν ο Μιχάλης τραβήξει

τυχαία έναν αριθμό που διαιρείται με το 2 κερδίζει ένα βιβλίο, ενώ αν τραβήξει έναν αριθμό που διαιρείται με το 5 κερδίζει ένα CD. Να βρείτε την πιθανότητα για καθένα από τα επόμενα ενδεχόμενα.

Α: Θα κερδίσει ένα βιβλίο. Μονάδες 4

Β: Θα κερδίσει ένα βιβλίο ή ένα CD. Μονάδες 4

Γ: Θα κερδίσει ένα βιβλίο και ένα CD. Μονάδες 4

Δ: Θα κερδίσει μόνο ένα βιβλίο. Μονάδες 4

Ε: Δε θα κερδίσει ούτε βιβλίο ούτε CD. Μονάδες 4

Θέμα 3 Α. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [0, )+∞ για την οποία ισχύει: 4f (x) 4 x 12 f (x) 2 x+ = + + ⋅ . Να βρεθεί η f(x).

Μονάδες 10

Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f(x) = 2x

και g(x) = (x–1)2 .

Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Cf, Cg στο σημείο τομής αυτών είναι κάθετες μεταξύ τους. Μονάδες 10

Θέμα 4

Δίνεται η εξίσωση 2x2 – 2λ2 + λ = 3x – 1 με 1λ (0, )2

∈ . Να δείξετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης

μπορεί να είναι πιθανότητες κάποιων ενδεχομένων Α, Β ενός πειράματος τύχης όπου Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα,

Μονάδες 20

Θέμα 5

Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δερματικού χώρου Ω , ώστε Ρ(Α) = 34

, Ρ(Β) = 56

και

2P(A B)3

∩ = . Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω.

1. Ρ(Β΄) = 23

Σ Λ

Μονάδες 4

2. 1P(A B)4

∪ = Σ Λ

Μονάδες 4

3. 3P(A B')10

∩ = Σ Λ

Μονάδες 4

4. 1P[(A B') (B A ')]4

∩ ∪ ∩ = Σ Λ

Μονάδες 4 5. Ρ(Ω) = 0 Σ Λ

Μονάδες 4

Θέμα 6 Να επιλέξετε τη σωστή από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Σε κάθε κατανομή το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες της μέσης τιμής και το 50% είναι μεγαλύτερες της μέσης τιμής.

Μονάδες 4 2. Σε κατανομή με θετική συμμετρία ισχύει x < δ

Μονάδες 4 3. Αν x 3s= τότε το δείγμα είναι ομοιογενές.

Μονάδες 4 4. Σε κάθε κατανομή ισχύει 0 < fi < 1

Μονάδες 4

5. Σε δύο δείγματα αν είναι 1 2x x< τότε 1 2CV CV> Μονάδες 4

Θέμα 7 Έστω ˆy α 0,7x= + η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τα παρακάτω ζεύγη τιμών:

x 1 2 4 5y 2 4 y3 5

Να βρείτε: i) Την τιμή y3 ii) Την εκτιμήτρια α

Μονάδες 10

Θέμα 8 Μια επιχείρηση έχει προς ενοικίαση αυτοκίνητα για τα οποία ο μέσος χρόνος λειτουργίας τους

πριν την εμφάνιση της πρώτης βλάβης είναι 12 μήνες με τυπική απόκλιση 3 μήνες. i) Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Μονάδες 10 ii) Αν η επιχείρηση έχει φροντίσει (βελτιώνοντας τη συντήρηση κλπ.) να μεγαλώσει τον χρόνο

λειτουργίας κάθε αυτοκινήτου πριν την εμφάνιση της πρώτης βλάβης κατά c μήνες, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του c για την οποία το δείγμα θα ήταν ομοιογενές.

Μονάδες 10

Θέμα 9 Δίνεται η συνάρτηση f με 2f(x) = x(x + x +1) . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

Μονάδες 5 β) Να μελετηθεί η f ως προς, τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 7 γ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90= ° ) όπου ΑΒ = x μονάδες μήκους και ΑΓ = 1 μονάδα

μήκους. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x και y, όπου y = ΒΓ + ΑΒ, (ΒΓ, ΑΒ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ).

Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ως προς x, όταν x 3=

Μονάδες 8

Θέμα 10 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα συχνοτάτων – σχετικών συχνοτήτων.

xi vi fi fi % Ni Fi Fi %

1 0,1

2 0,1 8

3 50

4

Σύνολο

Μονάδες 20

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΖΗΤΗΜΑ 1ΟΑ. Αν Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, δείξτε ότι ισχύει: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). (7 µονάδες)Β. Έστω ότι έχουµε την κατανοµή συχνοτήτων ενός δείγµατος µεγέθους n . Αν 1 , , kX XK οι τιµές της (ποσοτικής) µεταβλητής, µε συχνότητες 1 2, ,..., kn n n και σχετικές συχνότητες 1 2, ,..., kf f f αντίστοιχα και X ο

αριθµητικός µέσος των τιµών του δείγµατος, δείξτε ότι 1

k

i ii

X X f=

=∑(4µονάδες)

Γ. Απαντήστε (χωρίς απόδειξη - αιτιολόγηση) στις επόµενες ερωτήσεις.1. Σε ένα δείγµα µεγέθους n , παρατηρήθηκε ότι για κάθε τιµή της µεταβλητής ix , η

απόλυτη συχνότητα in ισούται µε την (αντίστοιχη) εκατοστιαία σχετική συχνότητα %if ,δηλαδή ισχύει %i in f= για κάθε i=1,2,3,… Ποιο είναι το µέγεθος n του δείγµατος;

(2 µονάδες)2. Τις τελευταίες 7 ηµέρες, οι θερµοκρασίες σε ένα χωριό της Νορβηγίας ήταν –3, -2, -1, 0,

1, 2, 3 βαθµούς αντίστοιχα. Τι έχετε να παρατηρήσετε για το συντελεστή µεταβλητότηταςτης θερµοκρασίας αυτού του επταηµέρου; (2 µονάδες)

3. Έστω 1 , , nx xK οι τιµές ενός δείγµατος, x η µέση τιµή τους και s η τυπική τουςαπόκλιση. Αν κάθε µία από τις πιο πάνω τιµές πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και σεκάθε γινόµενο προστεθεί ο αριθµός b, γράψτε τη µέση τιµή 'x και την τυπική απόκλιση

's των νέων τιµών 1 2, ,..., nax b ax b ax b+ + + (2 µονάδες)4. Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα µεγέθους n και συµβολίζουµε µε in τις συχνότητες και if τις

αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιµών ix της µεταβλητής. Αν συµβολίσουµε µε ia τοαντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων τουδείγµατος, γράψτε µε τι ισούται το ia . (2 µονάδες)

∆. Ένας µαθητής της Γ’ Λυκείου, διεκδικεί την εισαγωγή του στην τριτοβάθµια εκπαίδευση µε τους εξής βαθµούς:

1. Γενικός βαθµός πρόσβασης: 162. 1ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 153. 2ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 17

Υπολογίστε τη µέση επίδοση του συγκεκριµένου µαθητή.(Υπενθυµίζεται ότι ο γενικός βαθµός πρόσβασης έχει συντελεστή βαρύτητας 8, το 1ο µάθηµααυξηµένης βαρύτητας έχει συντελεστή βαρύτητας 1,3 και το 2ο 0,7). (2 µονάδες)Ε. Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραµµα πάνω στην Εθνική οδό, µεταφέροντας εµπορεύµατα από τη Θεσσαλονίκη προς την Αθήνα. Καθώς πλησιάζει προς τη Λάρισα, η θέση του πάνω στην Εθνική οδό συναρτήσει του χρόνου t, δίνεται από τη συνάρτηση 3 21 1( ) 3 2x t t t t= − − − . Βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του φορτηγού. Η ταχύτητά του αυξάνεται ή ελαττώνεται; (4 µονάδες)

ΖΗΤΗΜΑ 2Ο

Στον επόµενο πίνακα συχνοτήτων, φαίνεται η κλιµάκωση των βαθµών πρόσβασης τουσυνόλου των µαθητών της Γ’ Λυκείου, που εξετάστηκαν σε εθνικό επίπεδο το έτος 2002,σύµφωνα µε τα επίσηµα στοιχεία που έδωσε στη δηµοσιότητα το Υπουργείο Παιδείας.

Κλάσεις[ - )

Σχετική Συχνότητα%if

0 – 2 12 – 4 24 – 66 - 8 16

8 – 10 1810 – 12 1612 – 14 1414 - 16 1316 – 1818 - 20 5

1. Αν είναι γνωστό ότι το πλήθος των µαθητών που πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ήίσο του 16 και µικρότερο του 18, ήταν τετραπλάσιο αυτών που πήραν βαθµό µεγαλύτεροή ίσο του 4 και µικρότερο του 6, να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις δύο σχετικέςσυχνότητες που λείπουν. (5 µονάδες)

2. Είναι γνωστό, ότι 55872 µαθητές, πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 10. Ναβρείτε το συνολικό πλήθος των υποψηφίων. (4 µονάδες)

3. Να υπολογίσετε πόσοι υποψήφιοι είχαν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 11 καιµικρότερο του 13. (4 µονάδες)

4. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Η πιθανότητα αυτός να είναι υποψήφιος της θεωρητικήςκατεύθυνσης είναι 0,34 ενώ η πιθανότητα να είναι υποψήφιος της θετικής, είναι µισή απότην πιθανότητα να είναι υποψήφιος της τεχνολογικής. Βρείτε την πιθανότητα τουενδεχοµένου «ο µαθητής προέρχεται, είτε από τη θεωρητική, είτε από την τεχνολογικήκατεύθυνση», καθώς και το πλήθος των µαθητών της θετικής κατεύθυνσης(στρογγυλοποιείστε την απάντησή σας στον πλησιέστερο ακέραιο).

(12 µονάδες)ΖΗΤΗΜΑ 3ο

Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και θεωρούµε το ενδεχόµενο Α: «να φέρουµετουλάχιστον µία φορά κεφάλι».

1. Βρείτε την πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο Α. (8 µονάδες)2. ∆ίνεται ο πιο κάτω πίνακας συχνοτήτων:

Τιµές µεταβλητήςiy

Απόλυτες συχνότητεςin

22 ( )x P A 323 ( ')x P A 2(Ω)xP 3

Όπου Ω και P(A) ο δειγµατικός χώρος και η πιθανότητα αντίστοιχα του 1ου ερωτήµατος και 10, 2x R ∈ − − .

α. Υπολογίστε (ως συνάρτηση του x ) τη µέση τιµή y της µεταβλητής y (4 µονάδες)

β. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης yxf 1)( = (13 µονάδες)

ΖΗΤΗΜΑ 4Ο

∆ίνεται η συνάρτηση 2 3( ) ( ( )) [7 ( ) 3] ln ( )f x P A x P A x x x P B= − − − + , µε 0x > και( ), ( )P A P B , οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Β αντίστοιχα, ενός δειγµατικού χώρου Ω.1. Βρείτε την '( )f x (4 µονάδες)2. Βρείτε την P(A), αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει, για χ=1,

εφαπτοµένη παράλληλη στον άξονα χ’χ. (6 µονάδες)3. Αν 1( ) 3P A = και 55(1) 36f = , δείξτε ότι 3( ) 4P B = και ότι τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι

ασυµβίβαστα. (7 µονάδες)4. ∆είξτε ότι 1 1( )12 3P A B≤ ∩ ≤ (8 µονάδες)

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

(ùùþÿù ,üùù ü-ü

,(0$7$ 0$,þùÿ +ïüÿ+üÿþ ùÿûüÿù

,üù

ù û02. 1#.!21 )[ I[J[$ 1#.!210 " IJ 0 ..!.&1 0" . . /0 020 )2 )ï[ Iï[Jï[

ùûü

ú $ #0 . .! . 3 !. . 0/0 2 # 0 . .! " ü12& 2.0/0$ 0. ù ^`. ú ^`. $.!.2!1020 1. 1&12 . " .0. .) 2" 0 00"! 2.10 " 0&" !..2 0 2 0/0$ 0 ùú !..2 0 2 #.$12 . .) 2. ù . ú !..2 0 2 .202 0/0$ 0 2 # ú !..2 0 2 0/0$ 0 ùúï

ùûü

+ .!.2!10 " W W W «W 0$ # 01 2 [ 0#! " 5 .2# . 1 V 1. !.%020 2 01 2 2 0#! " . 2 2# . 1 2&.!.2!10& W W W «W

ùûü

û . !.%020 2 #" . 0" # / # 2" .!.& #" 2& .!..2&1#.!210&

FI[0 F !..2 12.0!. I[J[ [J[I 0 J[ z IJ[

ùûü


,üù

ò. #2 0!0$0 . 13.!. . 2!0 " .#!0" 2" . ù3.! #0 . 13.!. .) 2 #2 2 .2.!.3 #0 . 12 1#0$0 . .3.! #0 2#$.&" . /0#20! 13.!. . 2 .2.!.3 #001" . . !0 20 2 /0 .2 $&! 2 # 0 !..2 " ùûü . .!.121020 0 ..!.3 2. 0/0$ 0. # ! 1/ ! 2. .)

2 .212 $ / 22.ù . /# 13.!0" 0 . .#!0"ú . 13.!. 0 . .#!+ .. 13.!. /0 0 . .#! ùûü

. # 1020 2" . 220" 2& ù ú . + ùûü / . 1$0/ .1020 2 10 !.. # 0!!.30 2 .! 2& .#!&

13.!& # 0!0$ # 2. .. 0/0$ 0. 2 # ùûü

,üù

ü12& /0 .2 " $&! " . . 0 0/0$ 0 2 # ù ù z ù . !0 20 2. .! 2.2. 2" 1#.!21" [[[I 5[

ùûü ú ,0&! #0 2" .!.2!10 " ù ùï

. . # 1020 2 01 2 2 #" . 2/ .01 2 #" ùûü

. /0 020 )2 / .#.1 2 #" 0 . @ùù>V

ùûü

. /0 020 )2 &9 t . 1 22. 1$#0 )2. ù ùï

ùûü


,üù

. %#0 . ." 02.!0 ." 1#2!1" 2! 3 & 0 . .2.00. 10 20110!" .10 " 1#3&. 0 2 0! !.1 . 10 & # 0!.20 12 01&20! 2 #" )&" 3.02. 12 !&2 12 2 # 0 0 # ..

.10">

02!0" 20"[ L

#$ 220" L

$020" 1#$ 220"I L

>>>>

0 1$01 0 2 .! 2& %#0 & 2" !&2" .1" /0#20! .10$0 2!.1 .! . 202.!2 02..1 .! %#0 &

ù . . /0 020 2 01 0! !.1 . 2& %#0 & 0 . &[ q ùûü

ú ü12& 2 2!2 .1 0$0 / .! %#0 & 0 2 !&2 .1 . . 1#!&1020 2 12 0 2" 1$020" 1#$ 220" I L2 #

.!..& .. . . .2.10#1020 2 #& .! 12&1$02& 1#$ 22& ùûü

. # 1020 2 / .01 0! !.1 . / ùûü ù) 2 #& .! 12& 1$02& 1#$ 22& . 021020 2

1 12 2& %#0 & 0 0! !.1 . 0.#20! .) &ùûü

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2005

Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

1

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Α. i) Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο πεδίο ορισµού της Α. Μονάδες 2 ii) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 3

Β. Να γράψετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες που ισχύουν για την σχετική

συχνότητα fi της τιµής xi, i=1,2,…,κ του δείγµατος µεγέθους ν ≥ κ, των τιµών µιας µεταβλητής Χ.

Μονάδες 10

Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεµία από τις επόµενες προτάσεις.

1. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποιοτικών δεδοµένων. Μονάδες 2

2. Αν για τις αθροιστικές συχνότητες Νi, i=1,2,3,4,5 ενός δείγµατος τιµών x1, x2, x3, x4, x5 της µεταβλητής Χ, ισχύει 2

iN 4 i 2i= ⋅ + , τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι ν=110. Μονάδες 2

3. Σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, το εύρος ισούται µε την διαφορά της κεντρικής τιµής της πρώτης κλάσης από την κεντρική τιµή της τελευταίας κλάσης. Μονάδες 2

4. Σε κανονική κατανοµή ισχύει: x δ= , όπου x είναι η µέση τιµή και δ η διάµεσος της. Μονάδες 2

5. Αν για τις πιθανότητες P(A), P(B) δύο ενδεχοµένων Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι P(A) ≤ P(B) τότε ισχύει πάντα A B⊆ . Μονάδες 2

ε π α ν α λ η π τ ι κ ά

2 0 0 5θ έ µ α τ α



2

ΘΕΜΑ 2ο Έστω t1, t2, …, t100 ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Τ µε µέση τιµή t , τυπική απόκλιση s ≠ 0 και η συνάρτηση F µε τύπο

( )( ) ( ) − − ≥ ≠= − − ⋅ =

t 2s x 4 , αν x 0 και x 4F x x 2 24 s, αν x 4

,

η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα Α = [ 0, +∞). α) Να αποδείξετε ότι για x ≠ 4 ο τύπος της συνάρτησης F είναι ( ) ( ) ( )F x t 2s x 2= − + . Μονάδες 7 β) Να εξετάσετε αν είναι οµοιογενές το δείγµα των τιµών t1, t2, …, t100 της µεταβλητής Τ. Μονάδες 10

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης g µε τύπο ( ) ( )F xg x t 2s=−

στο σηµείο της 1 1A ,g4 4 .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3ο Ο κυβισµός των κινητήρων Χ, σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.), ενός δείγµατος 4.000 αυτοκινήτων, ακολουθεί κανονική κατανοµή. Στο παραπάνω δείγµα βρέθηκαν 100 αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από 1.400κ.εκ. και 3.360 αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από 2.000κ.εκ. α) Να βρείτε τη µέση τιµή x , την τυπική απόκλιση s και να εκτιµήσετε το εύρος R του κυβισµού των κινητήρων των αυτοκινήτων του δείγµατος.

Μονάδες 12 β) Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο από το δείγµα. Να βρείτε την πιθανότητα να

έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από 1.200κ.εκ. ή µεγαλύτερο από 2.000κ.εκ.

Μονάδες 7 γ) Αν, µετά από επισκευή, ο κυβισµός κάθε κινητήρα αυξηθεί κατά 6%, να βρείτε

την µέση τιµή και την διασπορά των νέων τιµών του, και να εκτιµήσετε το εύρος τους.

Μονάδες 6



3

ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνονται τα ενδεχόµενα Κ, Λ ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες P(K), Ρ(Λ) αντίστοιχα, όπου Ρ(Κ) ≠ 0. α) Η συνάρτηση

( ) ( ) ( )21f x x P Λ x P K2

= − ⋅ − + ⋅ , x∈ΙR

έχει στο σηµείο xo∈ΙR µέγιστο το ( ) ⋅ 2 5 P K2

. Να αποδείξετε ότι: i) xo = Ρ(Κ)+Ρ(Λ) Μονάδες 6 ii) Ρ(Λ) = 2⋅Ρ(Κ) Μονάδες 4

β) Έστω, επιπλέον, ότι οι παρατηρήσεις:

P(∅), P(K), P(Λ), Ρ(Κ∪Λ), Ρ(Ω), Ρ(Κ), Ρ(∅), Ρ(Κ), Ρ(Κ∪Λ), Ρ(Κ∩Λ) έχουν διάµεσο 1δ

4= και ( ) ( ) − ∪ − = 2 P K Λ Λ Κ

3.

i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Κ, Λ, Κ∩Λ, Κ∪Λ. Μονάδες 12

ii) Να κάνετε το διάγραµµα συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των παραπάνω παρατηρήσεων. Μονάδες 3



1

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


ΘΕΜΑ 1οΑ. Αν x1 , x2 , …, xκ οι τιµές µιας µεταβλητής X που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατοςµεγέθους ν όπου κ, ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ≤ν

i) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα fi της τιµής xi , i = 1,2,…,κii) ∆είξτε ότι 0 ≤ fi ≤ 1 για i = 1,2,…,κiii) ∆είξτε ότι f1 + f2 +…+ fκ =1

(9 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Β. Έστω Α, Β δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Νααποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪

(8 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Γ. Να γράψετε στην τελευταία στήλη το γράµµα της σωστής απάντησης

Α Β Γ ∆ ΑΠΑΝΤΗΣΗ1 Αν Ρ(Α)=0.3 τότε το Ρ(Α΄) ισούται µε 0.3 0.8 0.7 0.12 Αν Ρ(Α)=0.3, Ρ(Β)=0.4, Ρ(Α∩Β)=0.1 τότε το Ρ(Α∪Β) ισούται µε 0.6 0.7 0.8 0.9

Το Ρ(Α - Β) ισούται µε 0.6 0.7 0.8 0.93 Αν Ρ(Α)=0.8 , Ρ(Α∩Β)=0.2τότε Το Ρ(Α΄∪Β΄) ισούται µε 0.6 0.7 0.8 0.9

Ρ(Α∪Β) = 0.5 0.6 0.7 0.8Ρ(Α∩Β)= 0.1 0.2 0.3 0.44

Αν Ρ(Α)=0.3 και Ρ(Β)=0.6Ποια από τις διπλανές σχέσεις

∆ΕΝ µπορεί να ισχύει Ρ(Α - Β)= 0.1 0.2 0.3 0.4

(8 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)ΘΕΜΑ 2ο∆ίνεται η συνάρτηση µλ +−= xxxf 6)( 3 .Αν

λ21

113lim 2

2

1−=

−

−−+→ x

xx

x και το µέγιστο της συνάρτησης f είναι 9 :

i) ∆είξτε ότι λ = 2(7 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)

ii) ∆είξτε ότι µ = 5(6 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)

iii) Βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτοµένη (ε)είναι παράλληλη στον x΄x

(6 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)iv) Να βρείτε για ποια τιµή του x ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται

ελάχιστος.(6 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)



2

ΘΕΜΑ 3οΜελετήσαµε ένα δείγµα Ι.Χ. αυτοκινήτων που κυκλοφορούν στο κέντρο της Αθήναςως προς τον αριθµό των επιβατών συµπεριλαµβανοµένου και του οδηγού. Μερικάαπό τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

Αριθµός επιβατώνxi

Αριθµός αυτοκινήτωννi

fi fi % Ni Fi Fi %12 110 1603 704 0.0755 400

ΣΥΝΟΛΑΑ.

i) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τονσυµπληρώσετε.

(4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)ii) Να υπολογίσετε την µέση τιµή και τη διάµεσο του δείγµατος

(3 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)iii) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές

(4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Β. Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων:Α: “το αυτοκίνητο έχει το πολύ δύο επιβάτες “

(3 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Β: “το αυτοκίνητο έχει τουλάχιστον τέσσερις επιβάτες”

(3 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Γ. Επιλέγουµε στην τύχη έναν επιβάτη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων:Γ: “ ο επιβάτης έχει τρεις συνεπιβάτες”

(4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)∆: “ο επιβάτης δεν έχει συνεπιβάτες”

(4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)ΘΕΜΑ 4οΣ’ ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι x1 , x2 , …, xν ετών.Α. Αν το δείγµα x1 , x2 , …, xν των ηλικιών τους έχει συντελεστή µεταβολής 20% καιµετά από 25 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές,

i) Βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τουςii) Βρείτε τη µέση τιµή του δείγµατος 22

221 ,...,, vxxx

iii) Αν ο µικρότερος σε ηλικία είναι 10 ετών, βρείτε προσεγγιστικά τηµεγαλύτερη ηλικία, αν υποθέσουµε ότι η κατανοµή των ηλικιών είναικανονική.

(9 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)Β. Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν µόνο 2 καφενεία, το Α και το Β. Αν το 30% τωνκατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50%πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία, να βρείτε:

i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενείαii) Απ’ αυτούς που πηγαίνουν µόνο στο ένα καφενείο ποιοι είναι οι

περισσότεροι, αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουνµόνο στο Β.

(8 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)



3

Γ. Το κάθε ένα από τα ν άτοµα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθµηµένοι απότο 1 έως το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης.Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι κατά 0,8% µεγαλύτερη από τονα κληρωθεί άρτιος να βρείτε πόσα άτοµα έχει το χωριό.

(8 ΜΟΝΑ∆ΕΣ)



1

1



ΘΕΜΑ 1οΑ 1.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης;

Μονάδες 32. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν

θετικός ακέραιος)Μονάδες 4

B. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι:( )cf (x) cf (x), c IR′= ∈'

Μονάδες 8Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν Σωστό (Σ) ή

Λάθος (Λ), γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλαστον αριθµό της ερώτησης.

1. Αν Α είναι το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f και υπάρχει 0x A∈ γιατο οποίο ισχύει

0ox x

lim f (x) f (x )→

≠ τότε η f δεν είναι συνεχής στο Α.Μονάδες 2

2. Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι µεγαλύτεροαπό ένα τοπικό της µέγιστο.

Μονάδες 23. Η διάµεσος της κανονικής κατανοµής συµπίπτει µε τη µέση τιµή της.

Μονάδες 24. O συντελεστής µεταβολής (CV) είναι µέτρο σχετικής διασποράς.

Μονάδες 25. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται

οι παρατηρήσεις.Μονάδες 2



2

2

ΘΕΜΑ 2ο∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + lnxα. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της.

Μονάδες 5β. Να υπολογίσετε την παράγωγό της.

Μονάδες 5γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.

Μονάδες 7

δ. Να υπολογίσετε το όριο: 1x3)x(fx

1xlim −−′

→Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3οΟ χρόνος εργασίας 80 υπαλλήλων µιας εταιρείας, που εργάζονται από 5εως 30 χρόνια, έχει ταξινοµηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. Είναι γνωστόότι το ύψος του ορθογωνίου του ιστογράµµατος συχνοτήτων πουαντιστοιχεί στην τέταρτη κλάση είναι 30, η συχνότητα της δεύτερηςκλάσης είναι τετραπλάσια από τη συχνότητα της τρίτης κλάσης, ησχετική συχνότητα της πρώτης κλάσης είναι 10% και ο αριθµός τωνυπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 15 χρόνια είναι 40.α. Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων

(απολύτων, σχετικών, αθροιστικών και αθροιστικών σχετικών).Μονάδες 8

β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτωνκαι το αντίστοιχο πολύγωνο.

Μονάδες 8γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που εργάζονται λιγότερο

από 23 χρόνια.Μονάδες 4



3

3

δ. Πόσα το πολύ χρόνια πρέπει να εργάζεται ένας υπάλληλος, ώστε ναείναι µεταξύ των 60 υπαλλήλων µε τα λιγότερα χρόνια εργασίας;

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 4οΓια τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, που αποτελείται απόισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, είναι

Ν(Α) − Ν(Β) = 15Ν(Ω)

Έστω R το εύρος του δείγµατος των παρατηρήσεων:Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α∩Β), Ρ(Α∪Β)

Α. Να αποδείξετε ότι: α. 0 < R ≤ 1

Μονάδες 4 β. R = P(A−B) + P(Α΄− Β΄)

Μονάδες 7

Β. Αν η συνάρτηση f (x) = 5P(A)x 5P(B) 1, x 1x 1 5P(A B)+3, αν x 1

− − αν ≠ − ∩ = είναι συνεχής

στο IR να αποδείξετε ότι:α. Ρ(Β) = Ρ(Α∩Β) +

5 2

Μονάδες 7β. R = 1

Μονάδες 4γ. Ρ(Α∪Β) = 1 και Ρ(Α∩Β) = 0

Μονάδες 3



1

1

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣΘέµα 1ο

Α1. Τι ονοµάζεται εύρος ή κύµανση R ενός δείγµατος παρατηρήσεων και τιµειονέκτηµα παρουσιάζει;

Μονάδες 3Α2. Έστω Ω =ω1, ω2, … ων ο δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος

στοιχείων. Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας του απλούενδεχοµένου ωi.

Μονάδες 4Α3. Αν η f(x) = x2 παραγωγίσιµη συνάρτηση, να δείξετε ότι η παράγωγός της

είναι f΄(x) = 2x.Μονάδες 8

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο τη λέξηΣωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο x0 του πεδίου ορισµού

της τότε ισχύει f΄ 0 00 0h

f(x h) f(x )(x ) lim h→

+ += .

Μονάδες 2β. O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η

γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο σηµείο (x0, f (x0)) θα είναιf’ (x0) δηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της f (x) ως προς x όταν x = x0.

Μονάδες 2γ. Αν η πραγµατοποίηση ενός ενδεχοµένου Α συνεπάγεται την

πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Β τότε Α ⊆ Β .Μονάδες 2

δ. Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από έναµικρότερο δείγµα.

Μονάδες 2ε. Ο δειγµατικός χώρος κάθε πειράµατος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα

απλά ενδεχόµενα.Μονάδες 2



2

2

Θέµα 2ο∆ίνεται συνάρτηση f(x)=

2 42 2

x

x

−

+ −.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f.Μονάδες 6

β. Να βρείτε το σηµείο Μ(x, f(x)) στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέµνειτον x΄x.

Μονάδες 5

γ. Να δείξετε ότι 2

lim ( )x

f x→

=16Μονάδες 6

δ. Έστω xi, i = 1,2,3,4 οι τιµές µιας µεταβλητής x, ενός δείγµατος µεγέθουςν=40. Αν κ=

2lim ( )x

f x→

να συµπληρωθεί ο πίνακας:

Xi vi fi Ni Fi1 42 κ34 0,2

Σύνολο 1Μονάδες 8

Θέµα 3ο

«Σε µια εταιρία εργάζονται συνολικά 100 υπάλληλοι στο διοικητικό ή στο τεχνικότµήµα. Από αυτούς οι 60 είναι άνδρες, 40 άτοµα εργάζονται στο διοικητικό τµήµαενώ 10 γυναίκες εργάζονται στο τεχνικό τµήµα. Η µέση ηλικία τόσο των ανδρών όσοκαι των γυναικών είναι 40 χρόνια.»α. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο που εργάζεται στην εταιρεία. Να βρείτε τις

πιθανότητες των ενδεχοµένων:Α: «Το άτοµο είναι άνδρας που εργάζεται στο τεχνικό τµήµα»Β: «Το άτοµο είναι άνδρας ή εργάζεται στο διοικητικό τµήµα»

Μονάδες 7β. Κάποιοι υπάλληλοι αποχώρησαν από την εταιρεία η οποία κάλυψε το κενό τους

προσλαµβάνοντας για κάθε άτοµο που αποχώρησε, ένα νεότερο κατά 4 χρόνια.Αν η νέα µέση ηλικία των υπαλλήλων της εταιρείας είναι 39,6 χρόνια, να βρείτεπόσοι υπάλληλοι αποχώρησαν.

Μονάδες 6



3

3

γ. Αν είναι γνωστό ότι η κατανοµή των 100 αρχικών ηλικιών είναι περίπουκανονική και το 2,5% των υπαλλήλων έχει ηλικία το πολύ 26 χρόνια , να βρείτεπόσοι υπάλληλοι της εταιρείας έχουν ηλικία µικρότερη από 33 χρόνια.

Μονάδες 6

δ. Αν ισχύει 100 2 2

1 1( ) 250000i i i i

i i

v x v xκ κ

= =

− =∑ ∑ µετά την πρόσληψη των νεότερωνατόµων και η κατανοµή των ηλικιών εξακολουθεί να είναι κανονική, να βρείτεκατά προσέγγιση το εύρος της κατανοµής των ηλικιών των υπαλλήλων τηςεταιρείας.

∆ίνεται 2

2 2 1

1

( )1 [ ]i i

ii i

i

v xS v x

v v

κ

κ−

−

= −

∑∑ .

Μονάδες 6

Θέµα 4ο

«Έστω πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω = 1,2,3,4,5,6,7 και m η ελάχιστη τιµήτης µέσης τιµής των αριθµών x, 5ex, x+4, -7x, 1 ( x∈ℜ). Επιλέγουµε τυχαίο κ ∈Ωκαι σχηµατίζουµε τη συνάρτηση g(x)=mx2-κ2x+3 ( x∈ℜ)»Α. Να δείξετε ότι m=2.

Μονάδες 9Β. Θεωρούµε το ενδεχόµενο Ε= /κ ∈Ω «η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης g στο σηµείο της Α(1, g(1)) δεν είναι παράλληλη στον άξοναx΄x. Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου E.

Μονάδες 8Γ. Αν Α,Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε Α ⊆ Β , Α≠Β, να δειχτεί ότι

3 23 2 ( ) ( )( ) 2008,12 2P A B P Ah x x x x− ⋅ ∩

= + + + x∈ℜ είναι γνησίως αύξουσαστο ℜ.

Μονάδες 8



1

1

Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ


ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν Α,Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να δείξετε ότι

( ) ( ) ( )Ρ Α−Β = Ρ Α −Ρ Α ΒI . Μονάδες 9

Β. α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του

πεδίου ορισµού της; Μονάδες 3

β. Τι ονοµάζεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης ;

Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό

σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α. Για κάθε x>0 ισχύει ( ) xx2x

′ = . Μονάδες 2

β. Όταν ένα δείγµα τιµών ακολουθεί ασύµµετρη κατανοµή µε θετική

ασυµµετρία τότε ισχύει δ>x . Μονάδες 2

γ. Η µέση τιµή που βρίσκουµε σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα είναι πάντα ίδια

µε αυτήν που είχαµε πριν την οµαδοποίηση. Μονάδες 2

δ. Μία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της

λέγεται γνησίως φθίνουσα όταν για οποιαδήποτε σηµεία 1 2x x, ∈∆ µε 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f x f x> .

Μονάδες 2

ε. Έστω Α,Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Aν ( ) ( )P A P B≤ τότε κατ’ ανάγκη ισχύει A B⊆ .

Μονάδες 2



2

2

ΘΕΜΑ 2ο Την 29η Μαρτίου στις 4 π.µ. οι θερµοκρασίες 20 πόλεων σε βαθµούς Κελσίου, οµαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους και δίνονται στον παρακάτω πίνακα :

Κλάσεις σε βαθµούς

oC vi

[0,2) 2 [2,4) 4 [4,6) 6 [6,8) 8

α) Να βρεθεί η µέση θερµοκρασία των πόλέων σε βαθµούς oC.

Μονάδες 6 β) Να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων % και να εκτιµηθεί η διάµεσος της θερµοκρασίας. Μονάδες 7

γ) Να υπολογίσετε την διακύµανση και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι

οµοιογενές Μονάδες 6

δ) Να βρεθεί τα ποσοστό των πόλεων µε θερµοκρασία από 3 έως και 7 βαθµούς

oC. Μονάδες 6

∆ίνεται

2k

i iki=12 2

i ii=1

x ν1s = x ν -ν ν

∑∑

ΘΕΜΑ 3ο Έστω δειγµατικός χώρος Ω µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα όπου Ω=1,2,3,4,…,25 και η συνάρτηση 2f(x)=x κx+9 ,− κ∈Ω για κάθε x∈R . Επιλέγουµε τα παρακάτω ενδεχόµενα: Α= κ∈Ω / κ πολλαπλάσιο του 3 Β= κ∈Ω / η f δεν έχει πραγµατικές ρίζες Γ= κ∈Ω / το όριο

2

x κ

x κxlim 16 κx κ→

−≤

−



3

3

α) Να βρεθούν τα ενδεχόµενα Α, Β, Γ. Μονάδες 6

β) Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Γ).

Μονάδες 6 γ) Να δείξετε ότι ( ) 1P B

5= και ( ) 1P A B

25=I .

Μονάδες 6 δ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες ( )P A BU , ( )P A B′U , ( )P B A′− .

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνονται τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και η συνάρτηση

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2P A B P B Af x x x

P A P B2 P A P B−= ⋅ + ∈ ++

,U R

για την οποία είναι γνωστό ότι η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης στο σηµείο ( )( )K 1 f 1, είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+2. α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ασυµβίβαστα.

Μονάδες 7 β) Αν ( ) 3P A B

4=U και η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f διέρχεται από

το σηµείο 103

Λ , να υπολογιστούν Ρ(Α) και Ρ(Β). Μονάδες 6

γ) Αν ( ) 1P A

2= και ( ) 1P B

4= να υπολογίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης

( ) ( )g x 6f x 12x 2019= − + . Μονάδες 6

δ) Αν (ε) η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο ( )( )K 1 f 1, και ( )1 1 1M x y, ,

( ) ( )2 2 2 10 10 10M x y M x y, , ..., , 10 σηµεία της (ε) που οι τετµηµένες 1 2 10x x x, , ..., έχουν µέση τιµή 59

6− και τυπική απόκλιση Sx=2 να βρεθεί ο συντελεστής

µεταβολής των τεταγµένων τους. Μονάδες 6



1

1




ΘΕΜΑ 1ο A. Αν ( )xf και ( )xg παραγωγίσιµες συναρτήσεις , να δείξετε ότι για την

συνάρτηση ( ) ( ) ( )xgxfxF += ισχύει ( ) ( ) ( )xgxfxF ′+′=′ . Μονάδες 9

B. α. Να διατυπώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας για ένα ενδεχόµενο Α ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων.

Μονάδες 3 β. Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Νi της τιµής xi µιας ποσοτικής

µεταβλητής Χ; Μονάδες 3

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή , ή ΛΑΘΟΣ , αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό

µέγιστο στο Ax1 ∈ όταν ( ) ( )1xfxf ≥ για κάθε x σε µια περιοχή του 1x . Μονάδες 2

β. Το τόξο iα ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων είναι ίσο µε ii 360 να ⋅=

. Μονάδες 2

γ. Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου τότε το ενδεχόµενο να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα δύο είναι ( )′∪BA .

Μονάδες 2

δ. Ισχύει: ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2xg

xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=

′

Μονάδες 2 ε. Το εύρος σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα µπορεί να διαφέρει από τα

αντίστοιχα δεδοµένα πριν αυτά οµαδοποιηθούν. Μονάδες 2



2

2

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) 15x1xlnxf 2 ++++= α , όπου α µια σταθερά µε 15−≥α . Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( )xf

Μονάδες 3 Β. Να βρείτε:

α. την ( )xf ′ . Μονάδες 5

β. το ( )

−−

+⋅′−→ 2xx

1xxflim 2

2

1x.

Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της

( )xf που είναι παράλληλη στην ευθεία xy = είναι 15xy ++= α . Μονάδες 6

∆. Να βρείτε την τιµή του α αν η διάµεσος των τεταγµένων των σηµείων της ευθείας (ε) τα οποία έχουν τετµηµένες 0 , 1 , 9, 10 είναι 50.

Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3ο Το παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων δείχνει τις βαθµολογίες των µαθητών της Γ’ Λυκείου ενός σχολείου, σε ένα διαγώνισµα. Μέσα στα ορθογώνια που έχουν βάση ίση µε τη µονάδα δίνονται τα εµβαδά τριών από αυτά.

4E

4E1 =

2E

18E3 =

8E5 =

iv

0 Βαθµοί4 8 12 16 20 Αν 24 6N ν= και το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι 50, τότε: Α. Να βρείτε το πλήθος των µαθητών.

Μονάδες 3



3

3

Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

Μονάδες 10 Γ. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή της Γ΄ Λυκείου του σχολείου να βρείτε την

πιθανότητα των ενδεχοµένων. α. Ο βαθµός του γραπτού να είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 10 και

µικρότερος του 17. Μονάδες 6

β. Ο βαθµός του γραπτού να είναι κάτω από 10 ή τουλάχιστον 16. Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 4ο Έστω ,,,6,3,2 µλκΩ = ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και το ενδεχόµενο µλκΑ ,,= , ώστε να ισχύουν: ( )

21AP = και

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

PP6P33P2P2 λκ ==== .

Α. Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. Μονάδες 5

Β. Να βρείτε τα κ, λ, µ αν η συνάρτηση ( ) 2010x20x12x3

xf 23 ++−=λ έχει

εφαπτοµένη στο σηµείο ( )( )1f,1A −− µε συντελεστή 48 ενώ τα κ και µ είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της µε κ µικρότερο του µ.

Μονάδες 4

Γ. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 53x232x2xg

2

−−

−= .

Να βρείτε το πεδίο ορισµού ∆ της g(x) και στη συνέχεια τα στοιχεία του ενδεχοµένου Β όταν: ∆ xκαι Ω ∈∈= xB .

Μονάδες 4 ∆. Σε ένα δείγµα 160 παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανοµή οι 4

από αυτές είναι µεγαλύτερες από το 20 ενώ το εύρος R των παρατηρήσεων είναι ίσο µε τα

43 της µέσης τιµής x .

Να βρείτε το ενδεχόµενο cΓ = ∈Ω ώστε ο c προστιθέµενος σε όλες τις παρατηρήσεις να γίνεται το δείγµα οµοιογενές.

Μονάδες 4 Ε. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων ΑΒΓΑΓΒΓ ′∪∪−∩ , , , A .

Μονάδες 8

1

1

Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ



ΘΕΜΑ A

Α1. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A′ ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι : ( ) ( )P A 1 P A′ = − .

Μονάδες 8 Α2. Αν x1, x2, … ,xκ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν,

κ ν≤ µε αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, … ,νκ και iα όπου i=1,2,…,κ το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων τότε : i. Να αναφέρετε για ποιά δεδοµένα χρησιµοποιείται το κυκλικό

διάγραµµα. ii. Με τι ισούται το τόξο iα ;

Μονάδες 4 Α3. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0x του πεδίου

ορισµού της. Μονάδες 3

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν ( )0f x 0′ = για ( )0x ,α β∈ , ( )f x 0′ >

στο ( )0, xα και ( )f x 0′ < στο ( )0x ,β , τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα ( )α,β για 0x x= µέγιστο.

Μονάδες 2 β. Η παράγωγος της συνάρτησης f στο 0x του πεδίου ορισµού της

εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του ( )y f x= ως προς το x, όταν 0x x= . Μονάδες 2

γ. Στην κανονική κατανοµή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( )x 3s,x 3s− + , όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση.

Μονάδες 2

2

2

δ. Σε ένα δείγµα µεγέθους ν ο λόγος i

i

NF

είναι ίσος µε ν. Μονάδες 2

ε. Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, όταν ( ) ( )P A P B≤ τότε A B⊆ .

Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Β

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x x x 4 κ= − + , x∈R και κ∈R. Αν ( ) ( )f 1 3f 1′ ′− =− , τότε : Β1. Να αποδείξετε ότι κ=3.

Μονάδες 6 Β2. Nα µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της.

Μονάδες 7

Β3. Να βρείτε το όριο ( )h 0

f 3 h 4L limh→

+ −= και την εξίσωση της εφαπτοµένης

της συνάρτησης f στο σηµείο ( )( )3,f 3 . Μονάδες 7

Β4. Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής του y=f(x) ως προς x, έχει την ελάχιστη τιµή.

Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ

3

3

Στο παραπάνω σχήµα δίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων σε ευρώ (€) και το πολύγωνο συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής 40 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. Η τετµηµένη του σηµείου Α είναι 35 , του σηµείου Β είναι 55 και η µέση ηµερήσια αµοιβή των εργαζοµένων είναι x 36= €. Γ1. Να δείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c =10 και να γράψετε τις κλάσεις.

Μονάδες 5 Γ2. Να δείξετε ότι οι συχνότητες ν2, ν3 της δεύτερης και της τρίτης κλάσης

αντίστοιχα είναι 2 16ν = , 3 8ν = . Μονάδες 6

Γ3. Να κάνετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής των εργαζοµένων της επιχείρησης, το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και να εκτιµήσετε τη διάµεσο.

Μονάδες 9 Γ4. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος των εργαζοµένων της επιχείρησης και Α, Β δύο

ενδεχόµενα του Ω τέτοια ώστε ( )P A 0,25′ ≤ και ( )P B 0,65′ ≤ . Να αποδείξετε ότι:

( ) ( )( )

P A B P B A 0,55 P A B2− + −

≥ − ∩ Μονάδες 5

ΘΕΜΑ ∆

Έστω X µια ποσοτική µεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν και x1, x2, … ,xν οι παρατηρήσεις που έχουν µέση τιµή x , τυπική απόκλιση s, συντελεστή µεταβλητότητας CV = 25% και διάµεσο δ. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ( )3 2 503f x 4x x 2s x +s

CV = − + +

, x∈R. Αν η f στο σηµείο µε τετµηµένη x0=1 έχει εφαπτόµενη παράλληλη στον άξονα x΄x τότε : ∆1. Να δείξετε ότι x 4= , s=1 και να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα

ακρότατα. Μονάδες 7

∆2. Να βρείτε τον µικρότερο θετικό αριθµό c κατά τον οποίο πρέπει να αυξηθούν οι τιµές των παρατηρήσεων ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές.

Μονάδες 5

4

4

∆3. Υποθέτουµε ότι η παραπάνω κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική. Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες

( )2sx

Ρ Α = και ( )1

2 5sδΡ Β =

−.

i. Αν ( ) ( )1P A B P A B9

⋅ =∩ ∪ να βρείτε τις πιθανότητες: ( )P A B∩ , ( )P A B∪ και ( )P A B′∪ .

Μονάδες 9 ii. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων xi, µε xi ≤ 2 είναι 5 τότε να βρείτε το

µέγεθος του δείγµατος. Μονάδες 4

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 4

ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

/ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι

ισχύει: P(A B) P(A) P(B) P(A B)∪ = + − ∩

( 9 µονάδες) Α2. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει τοπικό

ελάχιστο στο 1 Ax ∈ ; ( 3 µονάδες)

Α3. Τι µας δίνουν τα µέτρα θέσης και τί τα µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας µιας κατανοµής ενός συνόλου δεδοµένων;

( 3 µονάδες) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό

σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Η αθροιστική συχνότητα Ni µιας τιµής xi εκφράζει το πλήθος των

παρατηρήσεων που είναι µικρότερες της τιµής xi. β) Αν ( ) 0f x′ < για κάθε x∈ℝ τότε η συνάρτηση f(x) δεν παρουσιάζει

ακρότατα. γ) Σε µια κανονική κατανοµή το 0,3% περίπου των παρατηρήσεων

βρίσκεται εκτός του διαστήµατος ( 3 , 3 )x xs s− + . δ) Αν η διάµεσος ν παρατηρήσεων είναι ίση µε µία από αυτές τότε είναι

βέβαιο ότι το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός. ε) Αν Α,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε οι εκφράσεις «∆εν

πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόµενα Α και Β» και «Πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β» είναι ισοδύναµες.

(2Χ5 µονάδες)




ΘΕΜΑ Β Εξετάζουµε ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα συνταξιούχων ως προς το ποσό της µηνιαίας συνολικής σύνταξης που λαµβάνουν σε εκατοντάδες ευρώ. Για την κατανοµή τους έχουν δηµιουργηθεί 5 ισοπλατείς κλάσεις και γνωρίζουµε ότι: το εµβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων vi είναι 250. το µέσο της άνω βάσης του ορθογωνίου του ιστογράµµατος σχετικών

συχνοτήτων fi%, που αντιστοιχεί στη 2η κλάση είναι το σηµείο Α(10,α). Το εύρος των παρατηρήσεων είναι 20. Η συχνότητα f1% είναι τριπλάσια της f2% και δεκαπλάσια της f4%, ενώ η f2%

είναι διπλάσια της f3% και πενταπλάσια της f5%.

Β1. Να δείξετε ότι α=20 και να συµπληρωθεί ο πίνακας κατανοµής όλων των συχνοτήτων.

(8 µονάδες) Β2. Να υπολογιστεί η µέση τιµή, καθώς και η διάµεσος των συντάξεων. Τί είδους

ασυµµετρία έχει η κατανοµή; (6 µονάδες)

Β3. Αν η κυβέρνηση αποφασίσει µείωση των συντάξεων που υπερβαίνουν τα 1300 ευρώ, βρείτε το ποσοστό των θιγόµενων συνταξιούχων καθώς και να εκτιµήσετε το πλήθος τους αν γνωρίζουµε ότι ο συνολικός αριθµός συνταξιούχων της χώρας είναι 2.850.000.

(5 µονάδες) Β4. Αν δοθεί επίδοµα στους έχοντες συνολικό ετήσιο εισόδηµα (από συντάξεις 12

µηνών) µικρότερο ή ίσο των 8.640 ευρώ τότε: i. Επιλέγοντας τυχαία από το δείγµα έναν συνταξιούχο, να βρεθεί η

πιθανότητα να λάβει το επίδοµα. (3 µονάδες)

ii. Αν το επίδοµα δοθεί από τα χρήµατα, που θα εξοικονοµήσουν τα ταµείααφαιρώντας 100 ευρώ από κάθε συνταξιούχο της 3ης κλάσης, 200 ευρώ από κάθε συνταξιούχο της 4ης και 400 ευρώ από καθέναν της 5ης κλάσης και τα οποία µοιραστούν εξίσου στους δικαιούχους, τότε να βρεθεί το ποσό που αναµένεται να λάβει ανά µήνα ο κάθε δικαιούχος.

(3 µονάδες)




ΘΕΜΑ Γ

∆ίνονται οι συναρτήσεις 3 6( ) 4xf x x−

=−

και 21( ) 2P(Β) ln 16g x x x x+= ⋅ + και τα Α,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Γ1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x).

(4 µονάδες) Γ2. Αν η πιθανότητα Ρ(A) του ενδεχοµένου A του δειγµατικού χώρου Ω είναι ίση

µε το 4

lim ( )x

f x→

και η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g(x) στο x0=4 σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία

4π , τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(A) και

( )Ρ Β .(8 µονάδες)

Γ3. Αν 3 1 2 2 1P(A) και P(Β)= και ( ) , ,4 2 3 5 6 = Ρ Α∩Β ∈ τότε:

α) Να δείξτε ότι 2( ) .5Ρ Α∩Β =

(5 µονάδες) β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α ή να µην

πραγµατοποιηθεί το Β. (4 µονάδες)

γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β.

(4 µονάδες)

ΘΕΜΑ ∆ ∆ίνεται η συνάρτηση 4 2( ) 2 1, xf x x x= − + + ∈ℝ ∆1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

(6 µονάδες) ∆2. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, που αποτελείται από

ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και Α,Β δύο ενδεχόµενα για τα οποία ισχύει: ( )P( ) ( )f Β = Ρ Α , όπου f(x) η προηγούµενη συνάρτηση.

i. Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόµενο και το Β είναι αδύνατοενδεχόµενο.

(7 µονάδες)




ii. ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας απόλυτων συχνοτήτων νi και τα ενδεχόµεναΓ,∆ του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω, διαφορετικά των Α και Β µε

και Γ ∆Γ ⊆ ∆ ≠ .

xi νi 1 2P(Γ) 2 4Ρ(∆) 3 4Ρ(Γ)+4Ρ(∆) 4 Ρ(Α)

Σύνολα

α) Να αποδείξετε ότι ν1=1 και ν2=3 και να συµπληρωθεί ο πίνακας. (6 µονάδες)

β) Να υπολογιστεί η διάµεσος των παρατηρήσεων. (3 µονάδες)

γ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: ( ), Ρ(Γ ∆).Ρ Γ∩∆ ∪

(3 µονάδες)




ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013

∆ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες


ΘΕΜΑ Α

Α.1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης 2)( xxf = είναι

( ) xxxf 2)( 2=

′=′ , για κάθε ℜ∈x .

(7 µονάδες)

Α.2. Να ορίσετε το σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο για τις τιµές

νxxx ,...,,

21 ενός συνόλου δεδοµένων που έχουν διαφορετική βαρύτητα και η

οποία εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές βαρύτητας νwww ,...,,

21.

(4 µονάδες)

Α.3. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής;

(4 µονάδες)

Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο Α και 0)( ≠xg για

κάθε Ax∈ τότε ισχύει ότι: ( )2)(

)()()()(

)(

)(

xg

xfxgxfxg

xg

xf ′−′=

′

, για κάθε Ax∈

β) Ο συντελεστής µεταβλητότητας CV παριστάνει ένα µέτρο απόλυτης διασποράς και όχι ένα µέτρο σχετικής διασποράς.

γ) Η διάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων είναι πάντα µία από τις παρατηρήσεις.

δ) Το ενδεχόµενο «∆ιαφορά του Β από το Α» πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β.

ε) ∆ύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα.

(2Χ5 µονάδες)




ΘΕΜΑ Β

Ο χρόνος αναµονής σε min των µαθητών ενός σχολείου στη στάση του λεωφορείου

έχει οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Το εύρος είναι min20=R , η κεντρική

τιµή της τρίτης κλάσης είναι min10 , 3 µαθητές περιµένουν λιγότερο από min4 , 20

µαθητές λιγότερο από min12 , το %84 περιµένουν χρόνο λιγότερο από min16 ,

505=N και 2,0

2=F .

Β.1. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c της κάθε κλάσης είναι 4 και να µεταφέρετε στο τετράδιο σας σωστά συµπληρωµένο τον παρακάτω πίνακα

χρόνος

σε

min ix i

ν

iN

if

iF

%

iF

[...,...)

[...,...)

[...,...)

[...,...)

[...,...)

Σύνολο

(8 µονάδες)

Β.2. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διασπορά και τη διάµεσο του χρόνου

αναµονής των µαθητών του δείγµατος

(7 µονάδες)

Β.3. Θεωρούµε ότι όλοι οι χρόνοι των µαθητών είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένοι σε κάθε µία από τις παραπάνω κλάσεις. Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη

και θεωρούµε τα ενδεχόµενα:

A: ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι µικρότερος από 10 min

B: ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι τουλάχιστον 8 min και λιγότερος από 17 min

α) Να βρείτε τις πιθανότητες )(AP και )(BP

(5 µονάδες)

β) Να βρείτε τις πιθανότητες )( BAP ∪ , )( BAP − , ( )( )ABAP −∪ .

(5 µονάδες)




ΘΕΜΑ Γ

Θεωρούµε µια µεταβλητή X η οποία µετράει σε mmHg τη συστολική πίεση ενός

δείγµατος Α ν ατόµων µιας πόλης και η οποία ακολουθεί περίπου την κανονική

κατανοµή. ∆ίνεται ότι η διάµεσος δ της κατανοµής είναι

−+

−⋅=

→ 432

55lim13

1x

x

x

δ σε

mmHg και ότι το %84 του δείγµατος έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από

mmHg125 .

Γ.1. Να βρείτε τη µέση τιµή Ax , την τυπική απόκλιση As του δείγµατος Α και να

εξετάσετε αν το δείγµα Α είναι οµοιογενές.

(8 µονάδες)

Γ.2. Έστω ότι για το δείγµα Α ισχύει ότι mmHgx A 130= και mmHgsA

5= . Ένα

δεύτερο δείγµα Β, επίσης ν ατόµων, παρουσιάζει συστολική πίεση

10+=iixy mmHg , για κάθε ν,...,2,1=i , όπου

ix η συστολική πίεση των

ατόµων του δείγµατος Α.

α) Να βρείτε τη µέση τιµή By , την τυπική απόκλιση

Bs και να συγκρίνετε ως

προς την οµοιογένεια τα δύο δείγµατα. (7 µονάδες)

β) Αν επιπλέον το πλήθος των ατόµων του δείγµατος Α, των οποίων η

συστολική πίεση παίρνει τιµές στο διάστηµα ( )A

AA

A sxsx 2, ++ , είναι 540,

i. να βρείτε το µέγεθος ν του δείγµατος Α.

(5 µονάδες)

ii. Να βρείτε πόσα συνολικά άτοµα και από τα δύο δείγµατα έχουν

συστολική πίεση κάτω από mmHg135 .

(5 µονάδες)

ΘΕΜΑ ∆

∆ίνεται η συνάρτηση 1

1)(

2+

=

axxf , ℜ∈x , µε 0>a , και η εφαπτοµένη

βε +−= xy2

1:)( στο σηµείο ( ))1(,1 fΑ της γραφικής της παράστασης.

∆.1. α) Να δείξετε ότι 1== βα .

(5 µονάδες)

β) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

(5 µονάδες)




∆.2. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α, Β, Γ, ενός δειγµατικού χώρου Ω , που οι

πιθανότητες των ενδεχοµένων του δίνονται από τις τεταγµένες y , σηµείων

),( yx της εφαπτοµένης )(ε .

α) Για τις τετµηµένες x των παραπάνω σηµείων ),( yx , να αποδείξετε ότι

20 ≤≤ x .

(2 µονάδες)

β) Έστω τα σηµεία

321

,5

7,,

5

4,,

5

2yNyMyK της εφαπτοµένης )(ε . Αν οι

πιθανότητες των ενδεχοµένων ( ) BABA ∪′

∩ , και A είναι διαφορετικές

ανά δύο και στοιχεία του συνόλου ,,321yyy , τότε:

i. Να αποδείξετε ότι 5

3)(,

10

3)( =∪= BAPAP και

5

1)( =∩BAP

(5 µονάδες)

ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ))'()'( BAPfBAPf −>∩

(4 µονάδες)

iii. Αν 10

3)( =ΓP να αποδείξετε ότι

2

1)(

5

1≤Γ−Β≤ P

(4 µονάδες)

Σας ευχόµαστε Επιτυχία.

Σήµερα και στις Πανελλήνιες Εξετάσεις









ΘΕΜΑ Α

Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι:

)()()( BAPAPBAP ∩−=−

Μονάδες 7

Α2. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής στο Α;

Μονάδες 4

A3. Τι λέγεται ιστόγραµµα συχνοτήτων και πώς κατασκευάζεται;

Μονάδες 4

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α) Για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )xgxgfxgf ′⋅=′

' .

β) Αν οι συναρτήσεις f και g ορίζονται σε ένα σύνολο Α τότε το πηλίκο

g

fR = µε

)(

)()(

xg

xfxR = ορίζεται στο Α.

γ) Η διάµεσος των παρατηρήσεων είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτήν.

δ) Σε µια κατανοµή συχνοτήτων, αν 1 2, ,...,x x x

κ είναι οι τιµές της µεταβλητής

Χ µε συχνότητες 1 2, ,...,

κν ν ν αντίστοιχα, τότε η µέση τιµή ορίζεται από τη

σχέση:

1

1k

i i

i

x x fv=

= ⋅∑

ε) Για την πιθανότητα του κενού συνόλου ισχύει ότι: ( ) 1=∅P .

Μονάδες 10




ΘΕΜΑ Β

∆ίνεται η συνάρτηση 1)( 23++= xaxxf β , όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, και ο

δειγµατικός χώρος 3,2,1,0,1,2,4 −−−=Ω που αποτελείται από απλά ισοπίθανα

ενδεχόµενα. Θεωρούµε τα σηµεία ( )( )κκ f,Μ της καµπύλης της συνάρτησης f και

τα σηµεία ( )( )λλ f ′Ν , της καµπύλης της συνάρτησης f ′ . Αν η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο Α(2,5) και η εφαπτοµένη της στο σηµείο

Α έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε 12, τότε:

Β1. Να αποδείξετε ότι 2=α και 3−=β .

Μονάδες 6

Β2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο ( )( )1,1 −−Β f .

Μονάδες 4

Β3. Να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και

να αποδείξετε ότι )2014()2013( ff < .

Μονάδες 5

Β4. Αν =Α κ ∈Ω / η εφαπτοµένη της fC στο Μ παράλληλη στον x x′ και

=Β λ∈Ω / η εφαπτοµένη της καµπύλης της παραγώγου f ′ , στο Ν να έχει

θετική κλίση είναι ενδεχόµενα του Ω.

Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α , Β και την πιθανότητα του ενδεχοµένου: Nα µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α και Β

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

Μια εταιρεία παραγωγής παιχνιδιών έχει δύο εργοστάσια, σε δύο διαφορετικές πόλεις της Ελλάδας την Α και την Β. Στην εταιρεία απασχολούνται σήµερα 200 υπάλληλοι µε µέσο χρόνο εργασίας 13,6 έτη.

Γ1. Στο εργοστάσιο της πόλης Α εργάζονται 40Av = υπάλληλοι όπου τα χρόνια

υπηρεσίας τους, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Χρόνια

Εργασίας i

xiv

if

iN

iF

[.-.) 6 0,2

[.-.) 0,6

[12 -.) 28

[.-.)

ΣΥΝΟΛΟ 40v =




α) Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παραπάνω

πίνακα.

Μονάδες 4

β) Να βρεθεί η πιθανότητα επιλέγοντας τυχαία έναν υπάλληλο από το εργοστάσιο της πόλης Α να έχει εργαστεί 11 τουλάχιστον χρόνια στο εργοστάσιο αυτό.

Μονάδες 3

γ) Να βρεθεί η µέση τιµή και η διακύµανση των χρόνων εργασίας των

υπαλλήλων στην πόλη Α.

Μονάδες 3

Γ2. Στην πόλη Β εργάζονται οι υπόλοιποι υπάλληλοι της εταιρείας. Αν τα χρόνια εργασίας τους στο εργοστάσιο της πόλης Β ακολουθούν περίπου την κανονική κατανοµή:

α) Να δειχθεί ότι ο µέσος χρόνος εργασίας στο εργοστάσιο αυτό είναι 14 έτη.

Μονάδες 3

β) Αν το πλήθος των υπαλλήλων που έχει τουλάχιστον 22 έτη εργασίας είναι

4, να δειχθεί ότι η τυπική απόκλιση είναι 4SΒ= .

Μονάδες 3

Γ3. α) Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δυο οµάδες των υπαλλήλων στα εργοστάσια των πόλεων Α και Β.

Μονάδες 4

β) Στην διάρκεια των 4 επόµενων ετών η εταιρεία έχει στόχο στο εργοστάσιο της πόλης Α να απολύσει όσους υπάλληλους έχουν σήµερα τουλάχιστον 12

χρόνια εργασίας και ταυτόχρονα να προσλάβει νέους υπαλλήλους ίσου πλήθους µε αυτούς που απολύθηκαν. Να βρεθεί στο τέλος της τετραετίας ο νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων και στα δύο εργοστάσια της

εταιρείας.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ ∆

∆ίνονται οι συναρτήσεις

22 2

2

3 2 8, 0( )

6 , 0

ax x

e x x xf x

a a x

αν

αν

+ − + + ≠=

− − =, IRα ∈ και

exexxg −−+= )1()( 2 και ο δειγµατικός χώρος 4,3,2,1,0,1−=Ω .

Για τα απλά ενδεχόµενα του Ω ισχύει ότι: 2 ( 1) 2 (0) 2 (1) (2) (3) (4)P P P P P P− = = = = = .




∆1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 00=x να βρείτε την τιµή του α .

Μονάδες 3 ∆2. Να βρεθούν οι πιθανότητες όλων των απλών ενδεχοµένων του Ω.

Λαµβάνοντας υπόψη ότι 3−=a να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα

Μονάδες 3

∆3. Αν Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε: 21, 4 5, 4y yΑ = − + ,

0, , 2 4yκΒ = − + όπου1

3

'( )lim

6 2

x

x

f xe

xκ

→

= −

− +

α) Να βρείτε την τιµή του y IR∈ ώστε να ισχύει: 1,2Α∩Β = .

Μονάδες 5

β) Για την τιµή του y που βρήκατε να αποδείξετε ότι: 9

4)(,

9

5)( == BPAP και

να βρείτε τις πιθανότητες:

)()( BAPBAP −∪ και .

Μονάδες 4 ∆4. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της

g που είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) ( ): 3 7y e xη = − + .

Μονάδες 4

β) Θεωρούµε το σύνολο των παρατηρήσεων )(),(),( BAPBAPAPE ∪−= µε

τα στοιχεία του Ε όπως βρέθηκαν στο ∆3.

Αν ),(νννyxΜ µε 3,2,1=ν είναι σηµεία της εφαπτοµένης (ε) και τα Ex ∈

ν,

να υπολογίσετε την µέση τιµή των τεταγµένων νy .

Μονάδες 6


ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.BΜλ3Γ(ε)



/ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 8 Απριλίου 2015 ∆ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες


ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω 1 2 kx ,x , ,x… οι τιµές µιας µεταβλητής Χ που αναφέρονται στα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν, όπου κ, ν, µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ ν≤ .Να αποδείξετε ότι:

α. i0 f 1≤ ≤ για κάθε i 1,2, ,κ= …

β. 1 2 κf f f 1+ +…+ =

Μονάδες 8

A2. Τί ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών; Μονάδες 4

Α3. Τί εκφράζει η αθροιστική σχετική συχνότητα iF της τιµής ix µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ;

Μονάδες 3

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν για µια συνάρτηση f ορισµένη στο Α ισχύει ( ) ( )0f x f x≥ για κάθε

x A∈ , τότε η f παρουσιάζει µέγιστο στο 0x A∈ .

β. Η παράγωγος µιας συνάρτησης f σε ένα 0x του πεδίου ορισµού της

εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής του x ως προς y f (x)= όταν 0x x= . γ. Το εύρος είναι ένα µέτρο διασποράς που βασίζεται µόνο στις δύο ακραίες

παρατηρήσεις. δ. ∆ύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα είναι συµπληρωµατικά. ε. Αν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει

( ) ( )Ρ Α Ρ Β ,≤ τότε Α Β⊆ .

Μονάδες 5x2



Ε_3.BΜλ3Γ(ε)


ΘΕΜΑ Β

Τα χρόνια προϋπηρεσίας των υπαλλήλων µιας εταιρείας έχουν οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους (θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες).Στο παρακάτω σχήµα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, που αντιστοιχεί στα χρόνια προϋπηρεσίας των υπαλλήλων.

Για τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, ΑΓ ισχύει ότι

ΑΒ 1

ΑΓ 4=

Β1. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος του παραπάνω δείγµατος είναι ίση µε 9. (Μονάδες 3) Στη συνέχεια, αν γνωρίζουµε ότι η σχετική συχνότητα της δεύτερης κλάσης είναι τριπλάσια από την σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης να κατασκευάσετε τον πίνακα σχετικής συχνότητας if και αθροιστικής συχνότητας iF . (Μονάδες 4)

Μονάδες 7

Β2. Αν 2f 0,3= και 4f 0,1= να βρείτε την µέση τιµή και την διακύµανση του δείγµατος.

Μονάδες 6 Β3. Αν επιπλέον, ισχύει ότι

52i i

i 1

x v 5280=

=∑

Να βρείτε πόσοι υπάλληλοι έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια προϋπηρεσίας.

Μονάδες 7



Ε_3.BΜλ3Γ(ε)


Β4. Η εταιρεία αποφάσισε να δώσει ένα εφάπαξ επίδοµα iy (ευρώ) σε κάθε υπάλληλο το οποίο εξαρτάται από τα χρόνια προϋπηρεσίας του και δίνεται από την σχέση

i iy 3x 2i, i 1,2,3,4,5= + =

Να βρείτε πόσο θα στοιχίσει στην εταιρεία η απόφαση αυτή. Μονάδες 5

∆ίνεται ότι, 2k k

2 2i i i i

i 1 i 1

1 1s x v x v

v v= =

= −

∑ ∑

ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω ενός πειράµατος τύχης, ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν Α, Β ενδεχόµενα του Ω µε A ≠∅ , και συνάρτηση f µε τύπο:

( ) ( ) ( )2f x x P A P B x′ ′= − + ,

όπου A , B′ ′ τα συµπληρωµατικά των Α και Β.

Γ1. Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη ε της f στο σηµείο της ( )( )M 1, f 1 έχει εξίσωση:

( ) ( )ε :y P A P B x 1= + − Μονάδες 3

Αν η ε σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδό ( )

1E τ.µ.

2P A B=

∪

Γ2. Να δείξετε ότι τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. Μονάδες 6

Γ3. Αν για το δείγµα 1 2 7x ,x , ,x… , µε

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 4

5 6 7

x P , x P A B , x P A B , x P B A ,

x P A B , x P Ω , x P B

= ∅ = ∪ = ∩ = −

= − = =

ισχύει ότι 1

δ3= και

8x

21= , τότε να δείξετε ότι ( )

1P A

3= , ( )

1P B

3= και

( )2

P A B3

∪ = .

Μονάδες 7



Ε_3.BΜλ3Γ(ε)


Γ4. Έστω Γ ένα ενδεχόµενο του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω. Στο δείγµα

1 2 7x , x , , x… του ερωτήµατος Γ.3. προσθέτουµε µια παρατήρηση

( )8

1x P Γ

2= + . Αν το νέο δείγµα έχει µέση τιµή

1x

2′ = , να αποδείξετε ότι:

i. τα Α και Γ δεν είναι ασυµβίβαστα,Μονάδες 4

ii. ( )1 1

P A Γ6 3≤ ∩ ≤ .

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ ∆

∆ίνεται η συνάρτηση f (x) x ln x (x 1)ln(x 1), x 0= − + + > ένα δείγµα ν

παρατηρήσεων it , i 1, 2, ,ν= … οι οποίες έχουν µέση τιµή x 0> , τυπική απόκλιση

s, συντελεστή µεταβολής CV και ισχύει ν

2 2i

i 1

t (x x 11) ν

=

= − + ⋅∑ . Έστω επίσης ο

δειγµατικός χώρος Ω 0,1,2,...,9= ενός πειράµατος τύχης, για τα στοιχειώδη

ενδεχόµενα του οποίου γνωρίζουµε ότι: Ρ(κ) f (κ), κ 1,2,...,9′′= = και Ρ(0) CV= .

∆1. Να δείξετε ότι CV = 10%. Μονάδες 6

∆2. Να δείξετε ότι x 10, s 1= = . Μονάδες 6

∆3. Να βρείτε το ποσοστό µεταβολής του συντελεστή CV , αν η τιµή καθεµίας από τις παρατηρήσεις it , i 1, 2, ,ν= … , ελαττωθεί κατά 2 µονάδες.

Μονάδες 5 ∆ίνεται επιπλέον ότι ν = 16.

∆4. Να δείξετε ότι i6 t 14, i 1,2,...,16≤ ≤ = (Μονάδες 4) και να ελέγξετε αν µπορεί να υπάρχει παρατήρηση του δείγµατος την οποία θα αφαιρέσουµε από το δείγµα και η µέση τιµή των υπόλοιπων 15 παρατηρήσεων να είναι

1x 9= (Μονάδες 4)

Μονάδες 8 ∆ίνεται ότι,

2 2i

i 1

1s (t x)

ν

=

= −

ν∑

Ενδεικτικές-συνοπτικές λύσεις στα Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γ’ Λυκείου για τα έτη 2001-2015 χωρίς λογότυπα. Οι λύσεις, είναι από την

ίδια την Ο.Ε.Φ.Ε.

1

1

2 fi =

, i = 1, 2, ... k

f1+f2+ ... +fk =

+++ =

+++ =

= 1

B1 1

2

f = 3x2 + 6x 9f

X ∞− 1 +∞f + 0 − 0 +

1= 2 = 1.

f(3) = 3 f(1)

2

2

2

2 ⇔

2

f f2 + 6x

x2 + 6x 9

−=⇔−=

ff f

X ∞ 1 +∞(f − 0 +

x = − 1 f

−−∩

− ∩

=+=

−−∩

−−−−

−−=

=

−∪−−−

−∪−− −

=

∩−+

=

=−+

3

++++== = 6,52

++++== = 27,6

!!

!!

=1,11

) += 27,6 = + 1,11 ⋅ = 20,3628 = 20,3628 + 1,11x

⋅10% = 8,03 x = 8,03 "#

= 20,3628 + 1,11⋅8,03 ≅ 29,27!

+=

Y "

(x) = f (g(x)) , g(x) = lnx + x

(x) = f ' (g (x)) g ' (x) , g ' (x) =

+ 1

) g ' (x) =

∞ -

−+++→

=

−+→

= g ' (1) = 2

1 y= 2x+

1 :y= 2 x - 1 .

2

31

1

31

4

31

4)f(3 =⇔== .

532211)(231

11)2...221)f( 12

1ii =⇔=⇔=−⇔=++++⇔= −

=∑ α

=

4)+f ( 5)=24/31

=−=

31031

16

160

31

16)f( 4 =⇔=⇔=α

.

fi

16/31

8/31

4/31

2/311/31 1 2 3 4 5 xi 5

• -

• -

.

5+10 ⇔ 5 = 25,

i 30

25

20

15

10

5

O 20 40 60 80 100 120 140 160 xi

20

5 10

3

40

0= 90+3

40 =103,3

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

%5,1%20

152 =⋅

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΖΗΤΗΜΑ 1ΟΑ. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 151Β. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 85Γ. 1. 100% 100 1 100i

i i inn f n nn n= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2. Ξέρουµε (σχολικό βιβλίο, σελίδα 96) ότι sCVx= . Όµως

( 3) ( 2) ( 1) 0 1 2 3 0 07 7x− + − + − + + + +

= = = .Εποµένως ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ορίζεται.

3. Από την εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, σελίδα 99, προκύπτει: sasbxax ⋅=+⋅= ' , ' .4. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 70:

0360 360i i ia n fn= =

∆. Η ζητούµενη µέση επίδοση είναι ο ακόλουθος σταθµικός µέσος: 16 8 15 1,3 17 0,7 128 19,5 11,9 159,4 15,948 1,3 0,7 10 10

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = =

+ +

Ε. Ξέρουµε (σχολικό βιβλίο, σελίδες 27, 28) ότι, αν u η ταχύτητα και α η επιτάχυνση του κινητού, τότε ( ) '( )u t x t= και ( ) '( ) ''( )a t u t x t= = . Άρα, στη συγκεκριµένη περίπτωση, θα είναι: 2( ) '( ) 1u t x t t t= = − − − και ( ) ''( ) '( ) 2 1a t x t u t t= = = − − και επειδή t≥0, θα είναι ( ) 0a t < . Εποµένως, η ταχύτητα του φορτηγού µειώνεται.ΖΗΤΗΜΑ 2ο1. Έστω x, y οι δύο ζητούµενες (εκατοστιαίες) σχετικές συχνότητες των κλάσεων [4,6) και[16,18) αντίστοιχα. Ξέρουµε ότι % 100if =∑ και παρατηρούµε ότι το άθροισµα τωνδοσµένων σχετικών συχνοτήτων είναι 85. Άρα θα ισχύει 100 85 15x y+ = − = . Εξάλλου,από υπόθεση, έχουµε ότι 4y x= . Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε 3 , 12x y= = . Άραοι ζητούµενες σχετικές συχνότητες είναι 3% και 12% αντίστοιχα.

2. Αθροίζοντας τις δοσµένες σχετικές συχνότητες του πίνακα, βλέπουµε ότι βαθµόµεγαλύτερο ή ίσο του 10 έχει πάρει το (16+14+13+12+5)%=60% των υποψηφίων. Απόυπόθεση, αυτό το ποσοστό αντιστοιχεί σε πλήθος 55872 ατόµων. Άρα, το ζητούµενοσυνολικό πλήθος των υποψηφίων θα είναι: 10055872 93120

60= υποψήφιοι.

3. Από τον πίνακα βλέπουµε ότι, βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 11 και µικρότερο του 13,έχει πάρει το 16 14( )% 15%2 2+ = των υποψηφίων. Άρα, το ζητούµενο πλήθος είναι το

15% του συνόλου, δηλαδή 15 93120 13968100

= υποψήφιοι.4. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: «ο υποψήφιος είναι της θεωρητικής κατεύθυνσης», Β: «ουποψήφιος είναι της θετικής κατεύθυνσης» και « Τ: «ο υποψήφιος είναι τηςτεχνολογικής κατεύθυνσης». Αναζητούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «ο µαθητήςπροέρχεται, είτε από τη θεωρητική, είτε από την τεχνολογική κατεύθυνση», δηλαδήτην P(Α∪Τ). Από υπόθεση είναι P(A)=0,34 και P(T)=2P(B). Εξάλλου, γνωρίζουµε ότιP(A)+P(B)+P(T)=1. Άρα έχουµε:

0,660,34 ( ) 2 ( ) 1 3 ( ) 0,66 ( ) ( ) 0,223P B P B P B P B P B+ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Εποµένως είναι( ) 2 ( ) 0,44P T P B= = . Τα ενδεχόµενα Α και Τ είναι ασυµβίβαστα, αφού κάθε µαθητής

µπορεί να έχει επιλέξει µόνο µία κατεύθυνση σπουδών. Με εφαρµογή του απλούπροσθετικού νόµου, έχουµε: ( ) ( ) ( ) 0,34 0,44 0,78P A T P A P T∪ = + = + = . Το πλήθοςτων υποψηφίων της θετικής κατεύθυνσης είναι 0,22 93120 20486,4 20486⋅ = ≈

υποψήφιοι.ΖΗΤΗΜΑ 3ο1. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Κ: «το νόµισµα έφερε κεφάλι» και Γ: «το νόµισµα έφερεγράµµατα». Με δεντροδιάγραµµα, βρίσκουµε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατοςτύχης: Ω=ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ. Το ενδεχόµενο Α: «να φέρουµε τουλάχιστον µία φοράκεφάλι» είναι το Α=ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ. Άρα, για την πιθανότητα να συµβεί το Α,έχουµε:. 4

3)()( =

ΩNAN

2. Κατ` αρχάς, αντικαθιστούµε στον πίνακα (στις τιµές της µεταβλητής iy ) τις τιµές τωνP(A)=3/4, P(A')=1-3/4=1/4 και P(Ω)=1 οπότε ο πίνακας συχνοτήτων γίνεται:

Τιµές µεταβλητήςiy

Απόλυτες συχνότητεςin

232x 32

43x 2x 3

α. Από τον ορισµό της µέσης τιµής έχουµε:

836

8

3424

8

32433

23

2222

xxxxxxxy +

=+

=+⋅+⋅

=

β. Θεωρούµε τη συνάρτηση2 2

1 1 8 1( ) , 0, 26 3 6 38

f x x Rx x x xy = = = ∈ − − + +

Η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της (ως ρητή συνάρτηση) και ηπαράγωγός της δίνεται από τον τύπο:

2 2

12 3'( ) 8 (6 3 )xf x x x+

= − ⋅+

Τώρα έχουµε: 3 1'( ) 0 12 3 0 12 4f x x x x= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − και1'( ) 0 8 (12 3) 0 12 3 0 4f x x x x≥ ⇔ − ⋅ + ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − .

Άρα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα:x -1/2 -1/4 0'( )f x + + 0 - -( )f x Τ.Μ

Εποµένως, η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, για 14

x = − , το

2

1 8 8 8 8 64( ) 1 1 6 3 3 3 34 36 ( ) 3 ( )4 4 16 4 8 4 8f − = = = = = −

⋅ − + ⋅ − − − −

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

1. 2 3

2 2

'( ) [( ( )) (7 ( ) 3) ln ( )]'3 [ ( )] 7 ( ) 3 ln 1

f x P A x P A x x x P BP A x P A x= − − − + =

= ⋅ − + − −

2. Από υπόθεση έχουµε '(1) 0f = , οπότε προκύπτει η δευτεροβάθµια εξίσωση:23 [ ( )] 7 ( ) 2 0P A P A⋅ − ⋅ + = . Έχουµε ∆=25 και, τελικά,7 5 12 2 , απορ. αφου 0 ( ) 1 6 6( ) 7 5 2 1 , δεκτη τιµη6 6 3

P AP A

+ = = ≤ ≤= − = =. Άρα, τελικά, 1( ) 3P A = .

3. Για 1( ) 3P A = , ο τύπος της συνάρτησης γίνεται3 31 7 1 2( ) ( 3) ln ( ) ln ( )9 3 9 3f x x x x x P B x x x x P B= − − − + = + − + , οπότε

1 2(1) ( )9 3f P B= + + (αφού ln1=0). Όµως, από υπόθεση, 55(1) 36f = , άρα έχουµε:1 2 55 4 24 55 27 3( ) ( ) ( )9 3 36 36 36 36 36 4P B P B P B+ + = ⇔ + + = ⇔ = = . Έστω ότι τα Α, Β

είναι ασυµβίβαστα. Τότε θα ισχύει 1 3 13( ) ( ) ( ) 13 4 12P A B P A P B∪ = + = + = > , άτοπο,αφού 0 ( ) 1P A B≤ ∪ ≤ . Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα.

4.

1( ) ( ) ( ) , ισχυει αφου A B A31 1( ) ΚΑΙ12 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )12 1213 1( ) ( ) 1 , που ισχυει12 12

P A B P A B P A

P A B

P A B P A P B P A B

P A B P A B

∩ ≤ ⇔ ∩ ≤ ∩ ⊆≤ ∩ ≤ ⇔ ∩ ≥ ⇔ + − ∪ ≥ ⇔ ⇔ − ∪ ≥ ⇔ ∪ ≤

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 31. Η παράγωγος αθροίσµατος. β. 1Λ

2Σ 3Λ 4Λ

γ. 8 - x 2 - ' x == R'= max' − min'=−2min+2max=2(max−min)=2R=20 s' = |c|s = 2s = 4

δ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 33. (ο σχετικός πίνακας). ΘΕΜΑ 2ο α. Με το πίνακα διπλής εισόδου ή το δεντροδιάγραµµα του πειράµατος βρίσκουµε Ω=ΚΜ1, ΚΜ2, ΚΜ3, Μ1Κ, Μ1Μ2, Μ1Μ3, Μ2Κ, Μ2Μ1, Μ2Μ3, Μ3Κ, Μ3Μ1, Μ3Μ2 β. Α= ΜΜ,ΜΜ,ΜΜ,ΜΜ,ΜΜ,ΜΜ 231332123121 Β = , , , , , 321321 ΚΜΚΜΚΜΚΜΚΜΚΜ Γ = γ. Επειδή η αφαίρεση των σφαιρών γίνεται τυχαία ( δες σελίδα 150 Σχόλιο), τα απλά ενδεχόµενα του Ω είναι ισοπίθανα, οπότε από τον κλασικό ορισµό των πιθανοτήτων έχουµε: Ρ(Α)= 5,0=12

6=)Ω(Ν)Α(Ν

Ρ(Β)= 5,0=126=)Ω(Ν

)Β(Ν και Ρ(Γ)=Ρ(∅)=0 δ.

• • • • • • • • • • • •

2 ΜΑΥΡΕΣ ΣΦΑΙΡΕΣ

1 ΜΑΥΡΗ ΣΦΑΙΡΑ

ΘΕΜΑ 3ο Α. Έχουµε: f '(x) = (2x2−2x+1)' = 4x−2 και f '(x)=0 ⇔ 4x−2=0 ⇔ x=1/2 f '(x)>0 ⇔ 4x−2>0 ⇔ x>1/2 f '(x)<0 ⇔ 4x−2<0 ⇔ x<1/2

Eποµένως, (κριτήριο 1ης παραγώγου) η f παρουσιάζει ελάχιστο στο IR για xo=1/2 το

211

212

212

21f

2

=+

−

=

Β. α) Έχουµε 21

4101)(()()(

4t

x

4

1ii

=++=ΩΡ+Ρ+ΑΡ+ΑΡ==∑=

4Ø)΄ .

∆ιατάσσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά Είναι 1=Ρ(Ω) ),Ρ(Α' Ρ(Α), 0,=)Ρ(∅ ή Ρ( )=0, Ρ(Α'), Ρ(Α), Ρ(Ω)=1∅ Σε κάθε περίπτωση η διάµεσος , ως το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, ισούται µε

21

2)()(δ =ΑΡ+ΑΡ= ΄

β) Είναι ( )∑=

−=

4

1i

2i

2 xt41s

ΩΡ+Ρ+ΑΡ+ΑΡ= 2222 )21-)(()2

1-)0(()21-)'(()2

1-)((41

++ΑΡ+ΑΡ= 2222 )21-1()2

1-()21-)'(-1()2

1-)((41

[ ]1)(2Ρ -)(241...... 2 +ΑΑΡ=

γ. Είναι ) (P(A) f4

1 s 2 = Από το α ερώτηµα έχουµε:

8 1 s

2 1

4 1 s 2 ≥⇔⋅≥ και η ισότητα ισχύει όταν Ρ(Α)=1/2. Έτσι,

2 2

8 2

2 1 8 1

2 1 s

|x| s CV ==≥==

Ώστε, είναι 2 CV2

≥ και η ισότητα ισχύει, όταν Ρ(Α)=1/2, που δίνει Ρ(Α') = 1−Ρ(Α) = ½, δηλαδή, ισοδύναµα, όταν Ρ(Α)=Ρ(Α') ΘΕΜΑ 4ο Α. Έστω, x η συχνότητα της πρώτης κλάσης και y της τρίτης κλάσης. Για τα κέντρα και τις συχνότητες των κλάσεων έχουµε:

xi νi −3 x −1 3x 1 y 3 5x

ΣΥΝΟΛΟ 9x+y Είναι: 1y9x

y 9x 9

15x y3x-3x- ν

ν Σx ii =+

+=

+

++==

yxx

B. α) Με y =x, από τον τύπο f i %=v

vi 100% βρίσκουµε

f1% = x10x 100%=10%

f2% = x10x3 100%=30%

f3% = x10x 100%=10%

f4% = x10x5 100%=50%

Έτσι, συµπληρώνουµε την τέταρτη στήλη του δοσµένου πίνακα. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το ζητούµενο πολύγωνο φαίνονται στο επόµενο σχήµα.

0,5 4-2 20-4

100

5040

42,5

Fi%

xi

10

β) Η διάµεσος αντιστοιχεί στην παρατήρηση, που έχει αθροιστική συχνότητα 50%. Έτσι, είναι η τετµηµένη του σηµείου του πολυγώνου των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που έχει τεταγµένη 50. Bρίσκουµε δ=20C.

γ) Το ποσοστό των ψυγείων µε θερµοκρασία µικρότερη ή ίση της τιµής 0,50C είναι η αθροιστική συχνότητα της τιµής 0,50C. Από το σχήµα του Βα ερωτήµατος το εκτιµάµε σε 42,5%. Εποµένως το ( 100−42,5 )% = 57,5% των ψυγείων έχει θερµοκρασία µεγαλύτερη από 0,50C.



1



ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1ο Θέµα Α. i) Σχολ. βιβλίο σελ. 16 ii) Σχολ. βιβλίο σελ. 13 Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 65 Γ. 1 (Λ), 2 (Σ), αφού για i=5, είναι 2

5N v v 4 5 2 5 110= ⇔ = ⋅ + ⋅ = 3 (Λ), 4 (Σ), 5 (Λ) 2ο Θέµα α) Για x ≠ 4 είναι:

( ) ( ) ( )t 2s x 4F x

x 2− −

=−

= ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )2 2

t 2s x 4 x 2 t 2s x 4 x 2

x 2 x 2 x 2

− − + − − += =

− + −

β) Η F είναι συνεχής,

οπότε ( ) ( )

x 4lim F x F 4→

= ( ) ( )→

⇔ − + = − ⋅α. ερωτ.

x 4κ΄ υποθ.lim t 2s x 2 24 s

( ) ( )⇔ − + = − ⋅t 2s 4 2 24 s ⇔ − = − ⋅t 2s 6 s ⇔ = − ⋅t 4 s ( είναι s > 0, άρα <t 0 ) ⇔ =

−

s 1 t 4

⇔ = s 1 | t | 4

⇔ =CV 0,25 = 25%. Εποµένως, το δείγµα των τιµών t1, t2,..., t100 της µεταβλητής T δεν είναι οµοιογενές.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − += = − +

−

t 2s x 4 x 2t 2s x 2

x 4

ε π α ν α λ η π τ ι κ ά

2 0 0 5θ έ µ α τ α

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2005 2

γ) H g ορίζεται στο [0,+∞) αφού − = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ≠β.ερωτ.

t 2s 4 s 2 s 6 s 0 (από υπόθεση) Για χ≠4 είναι

( ) ( ) ( ) ( )α.ερωτ. t 2s x 2F xg x x 2t 2s t 2s− +

= = = +− −

και

( ) 1g x 2 x′ = ,

οπότε έχουµε 1 1 1 5g 2 24 4 2 2

= + = + = και 1 1g 14 12 4

′ = = (1).

Η εφαπτοµένη (ε): = +y λx β στο Α έχει λ = ′ 1g 4 , έτσι γίνεται:

( ) ′= + ⇔ = + 11y g x β y x β4 .

Επειδή το 1 1A ,g4 4 ανήκει στην (ε): y=x+β, είναι

5 1 9β β2 4 4= + ⇔ = ,

εποµένως (ε): 9y x 4= +

3ο Θέµα α) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από 1.400κ.εκ. είναι

%5,2%100000.4100

=⋅ .

Όµως 2%95%100%5,2 −

= είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x 2s− .

Άρα x 2s 1.400− = (1)

Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από 2.000κ.εκ. είναι

%84%100000.4360.3

=⋅ .

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

s s



3

Όµως 100% 68%84% 100%2−

= − είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x s+ .

Άρα x s 2000+ = (2)

Οι σχέσεις (1), (2) δίνουν το σύστηµα x 2s 1400 s 200x s 2000 x 1800

− = =⇔ + = =.

Ώστε: x 1.800κ.εκ.= , s 200κ.εκ.= και, τέλος, R 6 s 1.200κ.εκ.≅ ⋅ = . β) Έστω τα ενδεχόµενα:

Α: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από 1.200κ.εκ. Β: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µεγαλύτερο από 2.000κ.εκ. Ζητάµε την πιθανότητα Ρ(Α∪Β) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από 1200κ.εκ. x 3s= −

είναι 100% 99,7% 0,15%2−

= ενώ αυτό των αυτοκινήτων µε κυβισµό

µεγαλύτερο από 2000κ.εκ. x s= + είναι 100% 68% 16%2−

= . Εποµένως Ρ(Α)=0,15% και Ρ(Β)=16%

Επειδή, προφανώς, τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι

Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)= 0,15% + 16%=16,15% γ) Έστω yi , i=1,2,3,…,4000, ο κυβισµός των κινητήρων µετά την επισκευή.

Είναι yi = xi + 0,06xi = 1,06 xi , i=1,2,3,…,4000, οπότε ( βλέπε εφαρµογή 3 σελίδα 99 σχολικού βιβλίου)

1,06y x= = 1,06⋅1800 = 1908κ.εκ και

1,06y xs s= =1,06⋅200 = 212κ.εκ. άρα

2ys =2122=44944 (κ.εκ)2.

Το εύρος των νέων τιµών βρίσκεται ως εξής: Αν µx, Μx είναι η µικρότερη και η µεγαλύτερη αντίστοιχα από τις τιµές xi, i=1,2,3,…,4000, τότε έχουµε διαδοχικά:

µx ≤ xi ≤ Μx 1,06 µx ≤ 1,06xi ≤ 1,06Μx

1,06 µx ≤ yi ≤ 1,06Μx για κάθε i=1,2,3,…,4000


Έτσι, η µικρότερη µy και η µεγαλύτερη Μy από τις τιµές yi, i=1,2,3,…,4000, είναι µy =1,06 µx Μy=1,06Μx

και το εύρος Ry είναι: Ry = Μy −µy = 1,06Μx − 1,06µx = 1,06(Μx − µx) = 1,06R ≅ 1,06⋅1200 = 1272 κ.εκ.

4ο Θέµα α) i) Η f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR (ως πολυωνυµική) µε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x P Λ P K P Λ Ρ Κ x′ = − − + = + − . Είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 0 P Λ Ρ Κ x 0 x P Λ P K′ = ⇔ + − = ⇔ = + . Ακόµα:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 0 P Λ P K x 0 x P Λ P Κ′ > ⇔ + − > ⇔ < + και ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 0 P Λ P K x 0 x P Λ P K′ < ⇔ + − < ⇔ > +

Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (− ∞, Ρ(Λ)+Ρ(Κ)] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [Ρ(Λ)+Ρ(Κ), +∞), και παρουσιάζει µέγιστο στο x=xo µε xο=P(Λ)+Ρ(Κ).

i) Για την µέγιστη τιµή έχουµε: ( ) ( ) = ⇔ 20

5f x Ρ Κ2 ( ) ( )( ) ( ) 25f P K P Λ Ρ Κ

2 + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 5P K P Λ P Λ Ρ Κ Ρ Λ Ρ Κ Ρ Κ2 2 − + − + + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 5P K P K P K P Λ Ρ Κ2 2 − + + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P K 02P K P Λ 2 P K P Λ 2P K≠

= ⇔ = β) i) Ισχύουν:

∅ ⊆ Κ∩Λ ⊆ Κ και Λ ⊆ Κ∪Λ ⊆ Ω εποµένως

Ρ(∅) ≤ Ρ(Κ∩Λ) ≤ Ρ(Κ) και Ρ(Λ) ≤ Ρ(Κ∪Λ) ≤ Ρ(Ω). Ακόµα

Ρ(Κ) < Ρ(Λ) (από ερώτηµα (α) (ii)) Εποµένως, αν διατάξουµε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις, έχουµε:

Ρ(∅), Ρ(∅), Ρ(Κ∩Λ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Λ), Ρ(Κ∪Λ), Ρ(Κ∪Λ), Ρ(Ω).



5

Η διάµεσος αυτών των 10 παρατηρήσεων είναι το ηµιάθροισµα της 5ης και 6ης παρατήρησης: ( ) ( ) ( )P K P K

δ P K2+

= = Έτσι

( ) 1P K δ4

= = Ακόµα

( ) ( ) 1 1P Λ 2P K 24 2

= = ⋅ = Επειδή τα ενδεχόµενα Κ−Λ και Λ−Κ είναι ασυµβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων, έχουµε: ( ) ( ) 2P K Λ Λ Κ

3 − ∪ − = ⇔ ( ) ( )− + − =

2P K Λ P Λ Κ3

( ) ( ) ( ) ( )⇔ − ∩ + − ∩ = 2P K P K Λ P Λ P Λ Κ3

( ) ( ) ( )⇔ + − ∩ =2P K P Λ 2P K Λ3

⇔ ( )1 1 22Ρ Κ Λ4 2 3+ − ∩ =

( )⇔ ∩ =1P K Λ24

Τέλος:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 17P K Λ Ρ Κ Ρ Λ P K Λ4 2 24 24

∪ = + − ∩ = + − = . ii) Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα συχνοτήτων:

xi P(∅) P(Κ∩Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ∪Λ) Ρ(Ω) vi 2 1 3 1 2 1

κατασκευάζουµε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων των

παρατηρήσεων (διακριτή µεταβλητή).

Ρ(∅) Ρ(Κ∩Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ∪Λ) Ρ(Ω)

νi

3

2

1

xi

∆ιάγραµµα συχνοτήτων


Ρ(∅) Ρ(Κ∩Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ∪Λ) Ρ(Ω)

νi

3

2

1

xi

Πολύγωνο συχνοτήτων



7

Σηµείωση για τη βαθµολογία του 1ου Θέµατος: Β. Μονάδες 10. Επιµέρους 4 µονάδες για την 1η ιδιότητα και 6 µονάδες για την 2η ιδιότητα.



1




ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 85 Β. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 150 Γ. 1.Γ – 2.Α – 3.Α,Γ – 4.Α,∆,∆ ΘΕΜΑ 2ο

i) ( )( )( )( ) =

+++−

+++−−+=

−

−−+→→ 111

1111lim1

13lim22

22

12

2

1 xxx

xxxx

x

xx

xx

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( ) ( ) 4

182

2422

312lim

131112lim

131123lim

13113lim

21

2122

22

122

222

1

−=

−=

+

−=

++++

−=

=++++−

−−=

++++

−−−+=

+++−

+−+=

→

→→→

xxxx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xx

x

xxx

άρα 24241

21

=⇔=⇔−=− λλλ

ii) µλ +−= xxxf 6)( 3 . RA f = . Για λ=2: µ+−= xxxf 62)( 3 Η f παραγωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική µε : 66)( 2 −=′ xxf . Είναι: ( )( ) 1101160660)( 2 −==⇔=+−⇔=−⇔=′ xήxxxxxf Και : ( )( ) 01160)( >+−⇔>′ xxxf -1 1 + - +

οπότε x < -1 ή x > 1 Ο πίνακας µεταβολών της f είναι: x ∞− -1 1 ∞+

f ′ + - + f

H f παρουσιάζει µέγιστο για x = -1, το 462)1( +=++−=− µµf Οπότε : µ + 4 = 9⇔ µ = 5

iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της fC στο ))(,( 00 xfxA είναι )( 0xf ′ . Οπότε, τα ζητούµενα σηµεία έχουν

τετµηµένες τις λύσεις της εξίσωσης 110)( 0 =−=⇔=′ xήxxf



2

Είναι : 1)1(9)1( ==− ff και Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι : Β(-1,9) και Γ(1,1).

iv) Ο ρυθµός µεταβολής της f συναρτήσει του x είναι: 66)( 2 −=′ xxf Είναι: 00120)( =⇔=⇔=′′ xxxf και 00120)( >⇔>⇔>′′ xxxf Ο πίνακας µεταβολών της f ′ είναι:

x ∞− 0 ∞+

f ′′ - + Η f ′ παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0 f ′ οπότε ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος για x = 0 ΘΕΜΑ 3ο Α.

i) Αριθµός επιβατών

xi

Αριθµός αυτοκινήτων

νi

fi fi % Ni

Fi

Fi %

iivx

( ) ii vxx

2−

1 50 0,125 12,5 50 0,125 12,5 50 200 2 110 0,275 27,5 160 0,4 40 220 110 3 120 0,3 30 280 0,7 70 360 0 4 30 0.075 7,5 310 0,775 77,5 120 30 5 90 0,225 22,5 400 1 100 450 360

ΣΥΝΟΛΑ v = 400 1 100 1200 700

ii) Η µέση τιµή είναι : 34001200

400

5

1 ===∑=i

iivxx

Αφού ν = 400 (άρτιος), η διάµεσος θα είναι το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, αν αυτές έχουν διαταχθεί κατ’ αύξουσα σειρά. ∆ηλαδή: 3

233

2201200 =

+=

+=

ttδ

iii) Η διακύµανση είναι : ( )

47

400700

400

5

1

2

2==

−

=

∑=i

ii vxx

s

Οπότε η τυπική απόκλιση είναι: 27

47==s

Τέλος ο συντελεστής µεταβολής είναι: 101

66,0

67

327

=>===xsCV

αφού 6,07 > . Οπότε

101>CV δηλ. CV>10%, άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

Β. Το πολύ δύο επιβάτες έχουν: v1 + v2 = 50+110=160 αυτοκίνηταΟπότε Ν(Α) = 160, άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι: ( ) ( )

( ) 52

400160 ==

Ω=N

ANAP .



3

Τουλάχιστον τέσσερις επιβάτες έχουν : v4 + v5 = 30+90=120 αυτοκίνητα. Οπότε Ν(Β)=120, άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι : ( ) ( )

( ) 103

400120 ==

Ω=N

BNBP Γ. Στην περίπτωση αυτή ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από το σύνολο των επιβαινόντων, δηλ. ∑

=

==Ω5

11200)(

iiivxN

Τρεις συνεπιβάτες έχει όποιος επιβαίνει σε αυτοκίνητο µε 4 επιβαίνοντες, δηλ. 44 vx ⋅ =120 άτοµα. Οπότε Ν(Γ)=120, άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι : ( ) ( )

( ) 101

1200120 ==

ΩΓ=Γ

NNP

Κανέναν συνεπιβάτη δεν έχει όποιος επιβαίνει σε αυτοκίνητο µόνος του, δηλ. 11 vx ⋅ =50 άτοµα. Οπότε Ν(∆)=50, άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι: ( ) ( )

( ) 241

120050 ==

Ω∆=∆

NNP

ΘΕΜΑ 4ο

Α. i) Έστω x η µέση ηλικία των κατοίκων και s η τυπική απόκλιση. Τότε,

µετά από 25 χρόνια, σύµφωνα µε γνωστή εφαρµογή, η µέση τιµή θα ‘ναι x +25 ενώ η τυπική απόκλιση δεν θα µεταβληθεί. Αφού το δείγµα γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές µετά από 25 χρόνια, τότε ο συντελεστής µεταβλητότητας θα είναι 10%.Οπότε :

101

25=

+x

s (1)

Επίσης, αφού CV είναι τώρα 20%, είναι: 51

10020==

x

s (2) Λύνουµε το σύστηµα:

255

5255

525510

52510

51101

25=

=

=

=

=

+=

=

+=

=

=+

x

s

sx

s

sx

ss

sx

xs

x

sx

s

ii) Η µέση τιµή των 222

21 ,...,, vxxx είναι: ∑

=

=+++ v

ii

v xvv

xxx

1

222

221 1...

Είναι :

−=∑

∑ =

= v

x

xv

s

v

iiv

ii

2

1

1

22 1



4

62525

25

25

1

2

21

2

2

11

2

−=

−=

−=

∑

∑

∑∑

=

=

==

v

x

xv

x

v

x

v

x

v

ii

v

ii

v

ii

v

ii

6501

2

=

∑=

v

xv

ii

iii) Στην κανονική κατανοµή για το εύρος του δείγµατος ισχύει sR 6≈ .

Αφού λοιπόν η µικρότερη τιµή xmin είναι 10, για τη µεγαλύτερη τιµή xmax θα ισχύει η προσέγγιση : sx 610max +≈ δηλ. 40max ≈x

Β.Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους ανθρώπους που υπάρχουν στο χωριό. Έστω τα ενδεχόµενα: Α:” ο άνθρωπος πηγαίνει στο καφενείο Α” B:” ο άνθρωπος πηγαίνει στο καφενείο Β” Αφού το 30% των κατοίκων πηγαίνουν στο Α, είναι :Ρ(Α)=0,3 Αφού το 60% των κατοίκων δεν πηγαίνουν στο Β, είναι

4,0)(6,0)(16,0)( =⇔=−⇔=′ BPBPBP Αφού το 50% των κατοίκων πηγαίνει σ’ ένα τουλάχιστον απ’ τα δύο καφενεία, είναι 5,0)( =∪ BAP

i) BA∩ είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει και στα δύο καφενεία. Έχουµε:

⇔∩−+=∪ )()()()( BAPBPAPBAP ⇔∩−+= )(4,03,05,0 BAP 2,05,07,0)( =−=∩ BAP

οπότε και στα δύο καφενεία πηγαίνει το 20% των κατοίκων. ii) A – B είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο

καφενείο Α και Β – Α είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Β. Έχουµε: 1,02,03,0)()()( =−=∩−=− BAPAPBAP δηλαδή µόνο στο Α πηγαίνει το 10% των κατοίκων Οµοίως: 2,02,04,0)()()( =−=∩−=− BAPBPABP δηλαδή µόνο στο Β πηγαίνει το 20% των κατοίκων. Οπότε περισσότεροι είναι οι κάτοικοι που πηγαίνουν µόνο στο Β από εκείνους που πηγαίνουν µόνο στο Α.

Γ. Αφού η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι µεγαλύτερη από την πιθανότητα να κληρωθεί άρτιος, οι περιττοί αριθµοί είναι περισσότεροι από τους άρτιους στο δείγµα 1,…,ν άρα ν περιττός. ∆ηλαδή υπάρχει ένας



5

περιττός περισσότερο. Έτσι, το πλήθος των περιττών είναι 21+v ενώ των

άρτιων 21−v .

Έστω τα ενδεχόµενα: Π: “ο αριθµός που κληρώνεται είναι περιττός” A: “ο αριθµός που κληρώνεται είναι άρτιος”

Τότε: v

vv

v

P 212

1

)()()( +=

+=

ΩΝΠΝ=Π

Και : v

vv

vAAP 2

121

)()()( −=

−=

ΩΝΝ=

Αφού η Ρ(Π) είναι κατά 0,8% µεγαλύτερη από την Ρ(Α), έχουµε:

125162000

016,02016,02

016,011008,02

121

1008,0)()(

===

=+−=+

+−=+

+=Π

v

vvvv

vv

vv

APP

άρα στο χωριό υπάρχουν 125 άτοµα



1

1


ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1οΑ. 1. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 139.

2. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87.Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 30.Γ. 1 Σ, 2 Σ, 3 Σ, 4 Σ, 5 Λ

ΘΕΜΑ 2οα. Πρέπει x > 0, οπότε το πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα Α = ( 0, +∞)β. Είναι

f ΄(x) = (x2 + lnx)΄ = (x2)΄ + (lnx)΄ = 2x + x1 µε x > 0

γ. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα Α = (0, +∞) µε f ΄(x) = 2x + x1 > 0.

Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα.δ. Με x ≠ 1 είναι

)1x(21x)1x)(1x(2

1x)1x(2

1x2x2

1x3x

1x2x1x3)x(xf΄ 22

+=−+−=−

−=−−=−

−

+=−

− οπότε

4)1x(2lim1x3)x(xf΄lim

1x1x=+=

−

−→→



2

2

ΘΕΜΑ 3οΤο εύρος του δείγµατος είναι R = 30−5 = 25 και το πλάτος των κλάσεων είναι

c 5525R

==κ

.΄Έτσι οι κλάσεις είναι:

[ 5, 10), [10, 15), [15, 20), [20, 25) , [25, 30)µε κεντρικές τιµές αντίστοιχα:

7,5, 12,5, 17,5, 22,5, 27,5Από τα υπόλοιπα δεδοµένα προκύπτουν κατά σειρά οι σχέσεις:

ν4 = 30 (1), ν2 = 4 ν3 (2), f1% = 10 (3) και ν3 + ν4 + ν5 = 40 (4)Ακόµα:

ν1 + ν2 + ν3 + ν4 + ν5 = ν ν1 + ν2 + ν3 + ν4 + ν5 = 80(4)⇔ ν1 + ν2 = 40 (5)

Είναι1

1f % 100ν= ⋅

ν 110 100

80ν

= ⋅ 81 =ν ,και η (5) δίνει ν2 = 32. Από την (2) βρίσκουµε ν3 = 8 και από την (4) ν5 = 2, έτσισυµπληρώνουµε τη στήλη των νi: 8, 32, 8, 30, 2 µε σύνολο 80.Οι σχετικές συχνότητες fi% προσδιορίζονται από τον τύπο fi% =

ν

ν i 100, i = 1, 2, 3, 4, 5 και

είναι κατά σειρά: 10, 40, 10, 37,5, 2,5 µε σύνολο 100.Οι αθροιστικές συχνότητες Νi προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Ν1 = ν1, Νi = Νi −1 + νi, i = 2, 3, 4, 5και είναι κατά σειρά: 8, 40, 48, 78, 80.Πάλι, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες είναι:

F1% = f1%, Fi %= Fi – 1 %+ fi%, i = 2, 3, 4, 5και βρίσκουµε κατά σειρά: 10, 50, 60, 97,5, 100.Στη συνέχεια συµπληρώνουµε τον πίνακα συχνοτήτων:

Πίνακας συχνοτήτωνΚλάσεις[ - , - )

ΚεντρικέςΤιµές xi

Συχνότητεςνi

Σχετικέςσυχνότητες fi%

Αθροιστικέςσυχνότητες Ni

Αθροιστικέςσχετικές συχνότητες

Fi%[5, 10 ) 7,5 8 10 8 10[10, 15) 12,5 32 40 40 50[15, 20) 17,5 8 10 48 60[20, 25) 22,5 30 37,5 78 97,5[25, 30) 27,5 2 2,5 80 100ΣΥΝΟΛΟ 80 100



3

3

β. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων µε το αντίστοιχο πολύγωνοφαίνονται στο σχήµα:

γ. 1ος τρόπος. Το ζητούµενο ποσοστό βρίσκεται από το πολύγωνο συχνοτήτων απότη διαδροµή ΑΒΓ. Ξεκινώντας από το σηµείο Α(23, 0) πηγαίνουµε κάθετα στονάξονα Ox µέχρι το αθροιστικό διάγραµµα και µετά παράλληλα στον άξονα Oxµέχρι το σηµείο Γ(0, 82,5). H τεταγµένη 82,5 του Γ είναι το ζητούµενο ποσοστό.

2ος τρόπος. Το πλάτος του διαστήµατος [20, 23) είναι τα 35 του πλάτους της

κλάσης [20, 25), εποµένως το ποσοστό των υπαλλήλων που αντιστοιχεί στοδιάστηµα [20, 23) είναι τα 3

5 του f4%, δηλαδή, 3

5⋅37,5 = 22,5 ΄Έτσι το ζητούµενο

ποσοστό είναιf1% + f2% + f3% + 22,5% = 82,5%

δ. 1ος τρόπος. Επειδή 60 = ν1 + ν2 + ν3 +12, οι 60 υπάλληλοι µε τα λιγότερα χρόνιαεργασίας είναι αυτοί που ανήκουν στις τρεις πρώτες κλάσεις και οι πρώτοι 12 της

τέταρτης κλάσης οι οποίοι καλύπτουν διάστηµα πλάτους 12 5 230

⋅ = . Εποµένως τα

ζητούµενα χρόνια είναι 20+2=22.2ος τρόπος. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε µε την παρατήρηση ότι οι 60υπάλληλοι είναι το 75% του συνόλου, και εργαστούµε µε το αθροιστικό διάγραµµα(µπλε διαδροµή στο σχήµα), όπως υποδεικνύει το σχολικό βιβλίο στην εφαρµογήτης σελίδας 77

5 10 15 20 25 30 xi

10097,5

6050

10O

Fi%

23

82,5

Α

ΒΓ

Χρόνος εργασίας

Ποσο

στό (

F i%) υ

παλλ

ήλων

22

75



4

4

ΘΕΜΑ 4οΗ ισότητα Ν(Α) – Ν(Β) =

5 1 Ν(Ω) δίνει 5

1)()(

)()( =

ΩΝΒΝ−

ΩΝΑΝ ή Ρ(Α) – Ρ(Β) =

5 1 ή

Ρ(Α) = Ρ(Β) + 5 1 (1)

Έτσι, Ρ(Β) < Ρ(Α). ΕπειδήΑ∩Β ⊆ Β και Α ⊆ Α∪Β

έχουµεΡ(Α∩Β) ≤ Ρ(Β) και Ρ(Α) ≤ Ρ(Α∪Β)

ΕποµένωςΡ(Α∩Β) ≤ Ρ(Β) < Ρ(Α) ≤ Ρ(Α∪Β) (2)

οπότεR = Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) (3)

α. Από την (2) είναι:Ρ(Α∩Β) < Ρ(Α∪Β) 0 < Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) 0 < R

ΑκόµαΡ(Α∪Β) ≤ 1 και Ρ(Α∩Β) ≥ 0, οπότε Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) ≤ 1 R ≤ 1

Άρα0 < R ≤ 1

β. Έχουµε κατά σειρά:R = Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) = [ Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α∩Β) ] − Ρ(Α∩Β)

= [ Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β) ] + [ Ρ(Β) − Ρ(Α∩Β ]= Ρ(Α − Β) + Ρ(Β − Α)= Ρ(Α − Β) + Ρ(Β ∩ Α΄) [ τύπος: Β − Α = Β ∩ Α΄ ]= Ρ(Α − Β) + Ρ(Α΄ ∩ Β)= Ρ(Α − Β) + Ρ(Α΄ ∩ (Β΄)΄)= Ρ(Α − Β) + Ρ(Α΄ − Β΄)

2ος τρόπος. Από διάγραµµα Venn παρατηρούµε ότι Α ∩Β = Α∪Β΄ ΄ ( )

Είναι:Ρ(Α − Β) + Ρ(Α΄ − Β΄) = Ρ(Α − Β) + Ρ(Α΄) –Ρ(Α΄ ∩ Β΄)

= [Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β)] + [1 – Ρ(Α)] – [ 1–Ρ(Α ∪ Β)]= Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β) + 1 – Ρ(Α) – 1 + Ρ(Α ∪ Β)]= Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β)= R

Ω

Α Β

Α ∩Β = Α∪Β΄ ΄ ( )



5

5

Β α. Η f (x) είναι συνεχής στο IR , οπότε x 1lim f (x) f (1)→

= ή3)BA(P5)x(flim

1x+∩=

→ (4)

Με x ≠ 1 έχουµε:

(1)

1 5 P(B) x 5P(B) 1 5P(A)x 5P(B) 1 5x 1 x 1

+ − − − − =− −

1x1)B(P5xx)B(P5

−

−−+=

1x1x)1x)(B(P5

−

−+−= 1x

]1)B(P5)[1x(−

+−=

1)B(P5 +=

Άρα,

1)B(P5]1)B(P5[lim1x1)B(P5x)A(P5lim)x(flim

1x1x1x+=+=

−

−−=

→→→

και η (4) δίνει, τελικά, το ζητούµενο: 5Ρ(Β) + 1 = 5 Ρ(Α∩Β) + 3 ή

Ρ(Β) = Ρ(Α∩Β) + 5 2 (5)

β. Η (1) λόγω της (5) δίνει: Ρ(Α) = Ρ(Α∩Β) +

5 3

Από την (3) προκύπτει:R = Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) = [ Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α∩Β)] − Ρ(Α∩Β)

= Ρ(Α) + Ρ(Β) − 2Ρ(Α∩Β)= Ρ(Α∩Β) +

5 3 + Ρ(Α∩Β) + 5

2 − 2Ρ(Α∩Β)

= 1γ. Αν υποθέσουµε ότι Ρ(Α∪Β) < 1, τότε θα είναι

R = Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) < 1, άτοπο, από το Ββ,και επειδή Ρ(Α∪Β) ≤ 1 αποµένει:

Ρ(Α∪Β) = 1.Τέλος

R = Ρ(Α∪Β) − Ρ(Α∩Β) =1 Ρ(Α∩Β) = 0.



1

1

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣΘέµα 1οΑ.1. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 92Α.2. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 149Α.3. Απόδειξη από Σχ. Βιβλίο σελ. 28-29Β. α Λάθος

β Σωστόγ Σωστόδ Λάθοςε Λάθος

Θέµα 2ο

α) Πρέπει 02 ≥+x και 022 ≠−+x

2−≥x και έστω 022 =−+x

τότε 22 =+x42 =+x

2=xΆρα 022 ≠−+x όταν 2≠x .

Οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το )[ )( ∞+− ,22,2 ∪ .

β) Τα ζητούµενα σηµεία είναι αυτά για τα οποία ισχύει f(x)=0. Άρα:042

=−x και ∈x )[ )( ∞+− ,22,2 ∪

42=x και ∈x )[ )( ∞+− ,22,2 ∪

2±=x και ∈x )[ )( ∞+− ,22,2 ∪

Άρα 2−=x .Οπότε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης µε τον x΄x είναι τοΜ(-2,0).

γ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 22

2

222222

22222222

224)(

−+

+++−=

++−+

+++−=

−+

−=

xxxx

xxxxx

xxxf =

= ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )2222

222242

2222+++=

−

+++−=

−+

+++−xx

x

xxx

x

xxx



2

2

Άρα ( )( ) ( )( ) 16442422222lim)(lim22

=⋅=++=+++=→→

xxxfxx

δ) Ο πίνακας γίνεται:

xi vi fi Ni Fi

1 4 0,1 4 0,12 16 0,4 20 0,53 12 0,3 32 0,84 8 0,2 40 1

Σύνολο 40 1 - -

1,04041

1 === vvf

411 == vN

1,011 == fF

4,040162

2 === vvf , 20164212 =+=+= vvN

5,04,01,0212 =+=+= ffF

8402,0444

4 =⋅=⋅=⇒= vfvvvf

404 == vN και 14 =F

12284040816440 334321 =−=⇒=+++⇒=+++ vvvvvv

3,040123

3 === vvf , 321220323 =+=+= vNN

8,03,05,0323 =+=+= fFF



3

3

Θέµα 3οα) Στον παρακάτω πίνακα «διπλής εισόδου» καταγράφουµε τα δεδοµένα µας.

ΤµήµαΦύλλο

∆ιοικητικότµήµα Τεχνικό τµήµα Σύνολο

Άνδρες 10 50 60Γυναίκες 30 10 40Σύνολο 40 60 100

N(A) 50P(A) 0,5N(Ω) 100= = =

Β1: «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να είναι άνδρας»Β2: «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να εργάζεται στο διοικητικό τµήµα».

( )1 2 1 2 1 2 1 2B (B B ) P(B) P(B B ) P(B ) P B P(B B )60 40 10 90 0,9100 100 100 100

= ∪ ⇒ = ∪ = + − ∩

= + − = =

β) Το άθροισµα των ηλικιών όλων των υπαλλήλων θα είναι:100

ii 1

t 60 40 40 40 2400 1600 4000=

= ⋅ + ⋅ = + =∑Μετά την πρόσληψη των νεότερων υπαλλήλων το άθροισµα των ηλικιών τωνυπαλλήλων θα είναι:

ν ν 100

i i ii 1 i 1 i 1

1y t άρα t ν y δηλαδή t 100 39,6 3960ν = = =

= = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑Έστω c το πλήθος των ατόµων που αποχώρησαν. Επειδή θα προσληφθούν cάτοµα αλλά κατά 4 χρόνια νεότερα, θα ισχύει ότι: 4000 – 3960 = 4c δηλαδή 4c= 40 άρα c = 10

γ) Η καµπύλη συχνοτήτων στην κανονική κατανοµή είναι:

13,5% 13,5% 34% 34% 2,35% 2,35% 0,15% 0,15%

x 3s− x 2s− x s− x x s+ x 2s+ x 3s+



4

4

Επειδή το 2,5% (δηλαδή 2,35% + 0,15% = 2,5%) των υπαλλήλων έχει ηλικία τοπολύ 26 χρόνια, x 2s 26− = (1)Η µέση ηλικία όλων των υπαλλήλων είναι: 60 40 40 40x 40

100⋅ + ⋅

= =

Από τη σχέση (1) έχουµε: 2s = 14 ⇔ s = 7.Εποµένως η καµπύλη συχνοτήτων θα είναι:

Κάτω από 33 χρόνια θα είναι το 13,5% + 2,35% + 0,15% = 16% τωνυπαλλήλων της εταιρίας δηλ. 16 100

100⋅ = 16 υπάλληλοι.

δ) Είναι: s2 =

2 2κ κκ2

i i i ii iκi 1 i 12 2 i 1

i i 2i 1

v x v xv x1 v x S100 100 100 100

= ==

=

− ⇔ = − ⇔

∑ ∑∑∑

2κκ2

2i ii i κ κi 12 2 2 2 2 2 2i 1

i i i i2i 1 i 1

2 2

v xv x100 s 100 100 100 s 100 v x v x

100 10010000 s 250000 S 25 S 5

==

= =

= − ⇔ = ⋅ − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∑∑∑ ∑

Στην κανονική κατανοµή το εύρος R≈6s, εποµένως R≈30.

13,5% 13,5% 34% 34% 2,35% 2,35% 0,15% 0,15%

40 47 54 61 33 26 19



5

5

Θέµα 4ο

Α. Είναι: 5 4 7 1 5 5 5 15 5

x xxx e x x e x

x e x− + + + − + − += = = − +

Έστω f(x)= ex-x+1, x∈ℜ.H f είναι παραγωγίσιµη στο ℜ µε f΄(x) = ex-1.Έχουµε ( ) 0f΄ x ≥ ⇔ 01 0 1 0x x xe e e e x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

0

-∞ +∞

+ -

f (x)

f ΄(x) x

2 min

0

0

Για x=0 η f παρουσιάζει ελάχιστο το (0) 2m f= =

B. Για m=2 είναι: g(x)=2x2-κ2x+3.Η g είναι παραγωγίσιµη στο ℜ µε g΄(x)=4x-κ2.Η εφαπτοµένη της Cg στο Α(1, g(1)) είναι παράλληλη στον x΄x όταν g΄(1)=0⇔ 4-κ2=0⇔⇔ κ2=4⇔κ=2 ή κ=-2 (απορρίπτεται αφού κ ∈Ω )Άρα κ=2.Ε=1,3,4,5,6,7Οπότε ( ) 6( ) ( ) 7

NPN

ΕΕ = =Ω

Γ. Αφού BA ⊆ τότε Α=Β∩Α και ( ) ( )ΑΡ=Β∩ΑΡ οπότε( ) ( ) ( ) RxxAA ∈++Ρ+Ρ⋅−= ,2008x2x12

23xh 23 .

Η h είναι παραγωγίσιµη στο R µε ( ) RxAPAP ∈+⋅+⋅−=′ ,1x)(x4)(23xh 2

και∆= =−+⋅+=⋅+−=⋅

⋅−⋅− 41)(2)()(23)(14

)(234)( 222 APAPAPAPAPAP

= ( ) 041)( 2 <−+AP γιατί:

Το ενδεχόµενο Α αποκλείεται να είναι ο δειγµατικός χώρος Ω (διότι αν ήταν,θα έπρεπε και Β=Ω, άτοπο αφού Α ≠ Β) άρα Ρ(Α) ≠ 1 και επειδή ( ) 10 ≤ΑΡ≤έπεται ότι ( ) 10 <ΑΡ≤ άρα P(A)+1<2 οπότε ( ) 41)( 2 <+AP .( εναλλακτικά: το τριώνυµο 3)(2)(2 −⋅+ APAP έχει ∆’ =16 και ρίζες τις -3και 1 οπότε για P(A) [ )1,0∈ είναι 3)(2)(2 −⋅+ APAP < 0 ).



6

6

Αφού ∆<0 η ( )xh ′ παίρνει τιµές οµόσηµες του 4)(23 AP⋅− για κάθε Rx∈

και αφού 4)(23 AP⋅− φανερά θετικό, έχω ( )xh ′ >0 για κάθε Rx∈ , άρα η

συνάρτηση h είναι γνήσια αύξουσα στο R.



1

1




ΘΕΜΑ 1ο

Α. Θεωρία βιβλ. ΟΕ∆Β σελ. 152 Β. α) Θεωρία βιβλ. ΟΕ∆Β σελ 13

β) Θεωρία βιβλ. ΟΕ∆Β σελ 139 Γ. α) ΣΩΣΤΟ

β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 2ο Α)

[ - ) xi νi fi% Fi% xi νi 2ii

x ν⋅ [0 - 2) 1 2 10 10 2 2 [2 - 4) 3 4 20 30 12 36 [4 - 6) 5 6 30 60 30 150 [6 - 8) 7 8 40 100 56 392 Σύνολο ν=20 100 100 580

4

i ioi 1

x ν100x 5 C

ν 20== = =

∑



2

2

β)

η διάµεσος είναι περίπου 5

γ) ( )i i

24

i i4 4 22 2 2 2i 1i i

i 1 i 1

x ν1 1s x ν s x ν xν ν ν

=

= =

= − ⇔ = − ⇔ ∑

∑ ∑ 2 2 o580s 5 29 25 4 s 2 C

20= − = − = =⇒

s 2Cv 0,4 ή 40% 10%x 5= = = > το δείγµα είναι ανοµοιογενές. δ) Το πλήθος των πόλεων µε θερµοκρασίες από 3ο C έως και 7ο C είναι οι µισές

πόλεις της δεύτερης κλάσης, όλες της τρίτης και οι µισές της 4ης διότι το 3 είναι το κέντρο της 2ης και το 7 το κέντρο της 4ης και οι παρατηρήσεις (πόλεις) θεωρούνται οµοιόµορφα κατανεµηµένες µέσα στις κλάσεις. Άρα το ποσοστό είναι: 1 120% 30% 40% 60%2 2

+ + = των πόλεων. ΘΕΜΑ 3ο α) Ω=1,2,3, ... ,25 , ισοπίθανα , Ν(Ω)=25 A κ Ω / κ πολ / σιο του 3 3,6,9,12,15,18,21,24= ∈ = Ν(Α)=8 Β κ Ω / η f δεν έχει πραγµατικές ρίζες= ∈ Αφού ( ) 2f x x κx 9= − + θα πρέπει ( )( )2∆ 0 κ 36 0 κ 6 κ 6 0< ⇔ − < ⇔ − + < Άρα 6 κ 6− < < . Επειδή όµως κ Ω∈ θα πρέπει Β=1,2,3,4,5 έτσι Ν(Β)=5

2

x κ

x κxΓ κ Ω / το lim 16 κx κ

−= ∈ ≤ − →



3

3

έχουµε ( )( )( ) ( )

2 2

2 2x κ x κ

x κx x κx x κlim limx κ x κ

− − += =

− −→ →

( ) ( ) ( )x κ x κ

x x κ x κlim lim x x κ 2κ κx κ

− += = + =

−→ →

Άρα έχουµε 2κ κ 16 κ κ 8≤ ⇔ ≤ . Επειδή κ Ω∈ έχουµε Γ=1,2,3,4,5,6,7,8. Άρα Ν(Γ)=8.

β) ( ) ( )

( )Ν Α 8Ρ Α 32%Ν Ω 25= = =

( ) ( )( )

Ν Γ 8Ρ Γ 32%Ν Ω 25= = =

γ) ( ) ( )

( )Ν Β 5Ρ Β 20%Ν Ω 25= = =

( ) ( )( )

Ν Α Β 1Α Β 3 άρα Ρ Α Β 4%Ν Ω 25∩

∩ = ∩ = = δ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 5 1 12Ρ Α Β Ρ Β Ρ Α Ρ Α Β 48%

25 25 25 25∪ = + − ∩ = + − = =

( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α Β Ρ Α Ρ Β Ρ Α Β′ ′ ′∪ = + − ∩ = ( ) ( ) ( )Ρ Α 1 Ρ Β Ρ Α Β= + − − − = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Ρ Α 1 Ρ Β Ρ Α Ρ Α Β= + − − − ∩ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α 1 Ρ Β Ρ Α Ρ Α Β 1 Ρ Β Ρ Α Β= + − − + ∩ = − + ∩ = 5 1 211 84%

25 25 25= − + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Β Α Ρ Β Ρ Β Α Ρ Β Ρ Β Α′ ′− = − ∩ = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1Ρ Β Ρ Β Α Ρ Β Ρ Β Ρ Α Β 4%

25= − − = − + ∩ = =

ΣΧΟΛΙΟ: ∆εκτές είναι και οι λύσεις µε την χρήση των διαγραµµάτων Venn ΘΕΜΑ 4ο α) Αφού η εφαπτοµένη στο K(1,f(1)) είναι παράλληλη στην (δ): y=x+1 πρέπει ( )

Kε δλ λ f 1 1′= ⇔ = Έχουµε ( ) ( )

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )2P A B P B Af x x

Ρ Α Ρ Β2 Ρ Α Ρ Β∪ −

= ⋅ +++

Άρα ( ) ( )( ) ( )P A Bf x x

Ρ Α Ρ Β∪′ = ⋅+

οπότε



4

4

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A Bf 1 1 1 P A B Ρ Α Ρ Β

Ρ Α Ρ Β∪′ = ⇔ = ⇔ ∪ = ++

Άρα ( )Ρ Α Β 0∩ = και επειδή ο δ.χ. Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά

ενδεχόµενα θα είναι και Α Β∩ =∅ δηλαδή τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα. β) Αφού ( )f

1 1Λ 0, C f 03 3 ∈ ⇒ = όµως ( ) ( )

( ) ( )P B Af 0

Ρ Α Ρ Β−

=+

οπότε

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 P B A 3P B A Ρ Α Ρ Β

3 Ρ Α Ρ Β−

= ⇔ − = + ⇔+

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )3 P B P A B Ρ Α Ρ Β Ρ Α 2Ρ Β⇔ − ∩ = + ⇔ = όµως ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1Ρ Α Β Ρ Β Ρ Α 3Ρ Β Ρ Β

4 4∪ = + ⇔ = ⇔ =

Άρα ( ) 1Ρ A2= .

γ) Έχουµε ( ) ( )g x 6f x 12x 2019 , x= − + ∈R και ( ) ( )g x 6f x 12′ ′= − έτσι ( ) ( ) ( )

( ) ( )P A Bg x 0 f x 2 x 2 x 2Ρ Α Ρ Β

∪′ ′= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ =+

(αφού ( ) ( ) ( )P A B Ρ Α Ρ Β∪ = + )

( ) ( )g x 0 f x 2 x 2′ ′> ⇔ > ⇔ >

η g παρουσιάζει ελάχιστη τιµή για x=2 την g(2)=6f(2)-24+2019 όµως ( ) ( )

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )P A B P B A 1 1 7f 2 4 4

Ρ Α Ρ Β 2 3 32 Ρ Α Ρ Β∪ −

= ⋅ + = ⋅ + =++

άρα g(2)=2009. δ) Έχουµε ( ) 21 1f x x

2 3= + και ( )f x x′ =

Έστω y=αx+β η εφαπτόµενη (εΚ) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Πρέπει ( )α f 1 1′= = άρα (εΚ): y=x+β Αφού ( )( ) ( )f

1K 1,f 1 C f 1 1 β β 6∈ ⇔ = + ⇔ = − . Εποµένως K 1ε : y x 6= −

Είναι ( )i K i i1M ε y x , i 1,2,...106∈ ⇔ = − =

Άρα 1 59 1y x 106 6 6= − = − − = − και y xs s 2= = οπότε yy

s 2CV 20%y 10= = =



1

1




ΘΕΜΑ 1ο Α. Απόδειξη (βλ. σχολικό σελ.31) Β. α. ορισµός (βλ. σχολικό σελ.149)

β. ορισµός (βλ. σχολικό σελ.66) Γ. α. Λάθος

β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΘΕΜΑ 2 Α. Πρέπει 01x 2 ≥+ , το οποίο ισχύει για κάθε Rx∈ έτσι A R= Β. α. ( ) ( )( )′++++=′ 15x1xlnxf 2 α

1x1x2x

1xx21x1

1xx2

2

2

2

2

2 +

++=

+

++=+

+=

β. ( ) =

−−

+′−→ 2xx

1xxflim 2

2

1x=

−−+⋅+

++−→ 2xx

1x1x

1x2xlim 2

2

2

2

1x ( )

( ) ( ) =+⋅−

+

−→ 1x2x1xlim

2

1x=

−−

+−=

−

+

−→ 2111

2x1xlim

1x0

30

=−

.

Γ. Έστω ( )( )00 xf,xM το σηµείο επαφής της ζητούµενης εφαπτοµένης µε την fC . Αφού ( ) ( )ηε // πρέπει: ( ) ⇒=′ 1xf 0 ⇒=

+

++1

1x1x2x

20

020 ⇒+=++ 1x1x2x 2

0020

0x0x2 00 =⇒= . Αφού ( ) =++= 151ln0f α 15+α , το σηµείο επαφής είναι ( )15,0 +αΜ Έτσι ( ) ( ) βε +⋅′= x0fy: δηλαδή ( ) βε += xy: Όµως ( )⇒∈ εΜ 15015 +=⇒+=+ αββα έτσι ( ) 15xy: ++= αε .

∆. για 0x1 = έχω 15y1 += α για 1x 2 = έχω 151y 2 ++= α για 9x 3 = έχω 159y 3 ++= α για 10x4 = έχω 1510y 4 ++= α



2

2

Οι τιµές αυτές σε αύξουσα σειρά είναι: 15+α , 115 ++α , 915 ++α , 1015 ++α

=+++++

=2

915115 ααδ =++

210152 α 515 ++α

Αφού ⇒= 50δ 50515 =++α ⇒=+⇒ 4515α ⇒=+ 202515α 2010=α ΘΕΜΑ 3 Α. Το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον

οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν, έτσι 50=ν . Β. Τα εµβαδά των ορθογωνίων είναι ίσα µε τις αντίστοιχες συχνότητες.

Κλάσεις [ - ) ix iν if %f i iN iF %Fi 0 - 4 2 4 0,08 8 4 0,08 8 4 – 8 6 7 0,14 14 11 0,22 22 8 – 12 10 18 0,36 36 29 0,58 58 12 – 16 14 13 0,26 26 42 0,84 84 16 - 20 18 8 0,16 16 50 1 100 Σύνολο – ν = 50 1 100

Αφού ⇒= 50ν ⇒=+ 5054 νΝ ⇒=+ 5086 2ν ⇒= 426 2ν 72 =ν ⇒= 424Ν ⇒=+++ 421874 4ν 134 =ν

Γ. α. Α: «ο µαθητής έχει βαθµό από 10 έως 17» τότε ( ) =⋅++⋅= 543 4

121AN ννν 242139 =++ οπότε ( )( ) 48,050

24N

AN)A(P === Ω ή 48% β. Β: «ο µαθητής έχει βαθµό κάτω από 10 ή τουλάχιστον 16»

( ) =+++= 5321 vv21vvBN 288974 =+++ . Έτσι

( )( ) 56,050

28N

BN)(P === ΩΒ ή 56% ΘΕΜΑ 4

Α. Έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( )32 2 6

3P

P P P k= = = =( )2

PR

λ θ= ∈

Αφού ( ) ( ) ( ) ( )12

P A P P Pκ λ µ= ⇒ + + = ( )1 122 2

Pθ θ µ⇒ + + = ⇒

( ) 1 32

P µ θ= − (1)



3

3

Όµως ( ) 1P Ω = ⇒ ( ) ( ) ( )2 3 6P P P+ + ( ) ( ) ( ) ( )11P P Pκ λ µ+ + + = ⇒

13 2 3 12 2θ θ θ θ θ θ+ + + + + − = ⇒

142 2θθ + = ⇒

9 12 2θ = ⇒

19

θ =

Έτσι : ( ) 1218

P = , ( ) 133

P = , ( ) 169

P = , ( ) 19

P κ = , ( ) 29

P λ = , ( ) 16

P µ =

Β. ( ) 20x24xxf 2 +−=′ λ Αφού η (ε) // (η) ( ) ⇒=−′⇒ 481f ⇒=+ 4844λ 4=λ Έτσι ( ) 20x24x4xf 2 +−=′ ( ) ⇒=′ 0xf ⇒=+− 020x24x4 2 1x = , 5x =

x ∞− 1 5 ∞+ ( )xf ′ + - + ( )xf

Άρα 1=κ και 5=µ Έτσι 6,5,4,3,2,1=Ω

Γ. πρέπει ⇒

≠−−≥−

053x2

03x2 ⇒

≠−≥

53x22/3x ⇒

≠−

≥53x2

2/3x

≠≥4x

2/3x και αφού Ω∈x άρα: 2x = ή 3x = ή 5x = ή 6x = έτσι 6,5,3,2B =

∆. Οι 4 παρατηρήσεις είναι τα %5,2401

1604

== του συνόλου των παρατηρήσεων. Έτσι αφού έχω κανονική κατανοµή πρέπει: 20s2x =+ (1) Όµως ⇒= x

43R ⇒= x

43s6 x3s24 = (2)

(2) ( ) ( )⇒−=⇒ s2203s241

⇒−= s660s24 ⇒= 60s30 2s = Έτσι από (1) ⇒=+⇒ 204x 16x = Παρατηρούµε ότι:

101

81

162

xsCV >=== , έτσι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

Προσθέτοντας τον ίδιο θετικό σταθερό αριθµό c σε όλες τις τιµές της µεταβλητής έχω: 2ss ==′ και c16cxx +=+=′ . Για να είναι οµοιογενές το νέο δείγµα τιµών πρέπει:

⇒≤′101VC ⇒≤′

′101

xs

⇒≤+ 10

1c16

2 ⇒+≤ c1620 4c ≥ και αφού Ω∈c έχω: 4c = ή 5c = ή 6c =

Έτσι 6,5,4=Γ



4

4

Ε. Έχουµε: 5,4=∩ΓΑ 3,2=− ΓΒ 6,5,4,1=∪ΓΑ 6,5,3,2=′∪ΑΒ , αφού 6,3,2=′Α

Έτσι ( ) ( ) ( )=+=∩ 5P4PAP Γ187

61

92

=+

( ) ( ) ( )=+=− 3P2PBP Γ187

31

181

=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+++=∪ 6P5P4P1PAP Γ1811

91

61

92

91

=+++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+++=′∪ 6P5P3P2PABP1812

91

61

31

181

=+++

1

1

Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ



ΘΕΜΑ A

Α1. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε.∆.Β. σελίδα 150-151 Α2. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε.∆.Β. σελίδα 70 Α3. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε.∆.Β. σελίδα 22 Α4. α. ΣΩΣΤΟ

β. ΣΩΣΤΟ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ Β

Β1. Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι ( ) 2f x 3x 2 x , x′ = − κ ∈R( )( )

f 1 3 2f 1 3 2′ − = + κ′ = − κ

οπότε

( ) ( ) ( )f 1 3f 1 3 2 3 3 2′ ′− = − ⇔ + κ = − − κ ⇔3 2 9 6 4 12 3+ κ = − + κ⇔ κ = ⇔ κ =

Β2. Για κ=3 έχουµε ( ) ( )3 2 2f x x 3x 4 f x 3x 6x , x′= − + και = − ∈R

( ) ( )f x 0 3x x 2 0 x 0 ή x 2′ = ⇔ − = ⇔ = =( ) ( )f x 0 3x x 2 0 x 0 ή x 2′ > ⇔ − > ⇔ < >

2

2

Μονοτονία Αν ( ]x ,0∈ −∞ η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Αν [ ]x 0,2∈ η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν [ )x 2,∈ +∞ η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Ακρότατα Στο x0=0 έχουµε τοπικό µέγιστο το f(0)=4 και στο x0=2 έχουµε τοπικό ελάχιστο το f(2)=0.

Β3. Έχουµε:

Α΄ ΤΡΟΠΟΣ ( ) ( ) ( )3 2f 3 h 3 h 3 3 h 4+ = + − + + οπότε

( ) ( ) ( )3 2

h 0 h 0

f 3 h 4 3 h 3 3 hlim limh h→ →

+ − + − += =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

h 0 h 0 h 0

3 h 3 h 3 3 h hlim lim lim 3 h 9h h→ → →

+ + − += = = + =

Β΄ ΤΡΟΠΟΣ ( ) 3 2f 3 3 3 3 4 4= − ⋅ + = και ( ) 2f 3 3 3 6 3 9′ = ⋅ − ⋅ = .

( ) ( ) ( )( )

h 0 h 0

f 3 h 4 f 3 h f 3L lim lim f 3 9h h→ →

+ − + −′= = = =

Το σηµείο επαφής είναι Μ(3,4). Η εφαπτοµένη στο Μ(3,4) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε ( )f 3 9′ = και η εξίσωσή της είναι y=9x+β. Επειδή όµως το σηµείο Μ ανήκει στην ευθεία έχουµε 4 9 3 23= ⋅ +β⇔β= − Aρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι y=9x–23.

Β4. Έχουµε ( )f x 6x 6′′ = −

( )f x 0 6x 6 0 x 1′′ = ⇔ − = ⇔ = ( )f x 0 6x 6 0 x 1′′ > ⇔ − > ⇔ >

Άρα το σηµείο στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής της y=f(x) ως προς x έχει την ελάχιστη τιµή είναι το ( )( )1,f 1 δηλαδή ( )1,2 .

3

3

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Το µέσον της δεύτερης κλάσης είναι 35 και της τέταρτης 55. Άρα c c35 c 55 2c 55 35 c 102 2

+ + + = ⇔ = − ⇔ = . Εποµένως οι 4 κλάσεις είναι [20,30), [30,40), [40,50) και [50,60).

Γ2. Από το ιστόγραµµα συχνοτήτων έχουµε 1 412 4ν = και ν =

1 2 3 4 2 340 24ν + ν + ν + ν = ⇔ ν + ν = (1) 2 312 25 35 45 4 55x40

⋅ + ⋅ ν + ⋅ ν + ⋅= ⇔

2 3 2 3300 35 45 220 1440 35 45 920⇔ + ⋅ν + ⋅ ν + = ⇔ ⋅ν + ⋅ν = (2) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων (1) και (2)

( )2 3 2 3

2 3 2 3

24 45 45 108035 45 920 35 45 920ν + ν = − ν − ν = − ⇔ ⇒ + ν + ν = ν + ν =

2 210 160 16− ν = − ⇔ ν = οπότε 3 8ν = . Γ3.

[ – ) xi νi fi Fi Fi% [20,30) 25 12 0,3 0,3 30 [30,40) 35 16 0,4 0,7 70 [40,50) 45 8 0,2 0,9 90 [50,60) 55 4 0,1 1 100 Σύνολο 40 1

ÈÅÌÁÔÁ 2011

Έχουµε Γ(30,30), ∆(δ,50), Ε(40,70) και

50 30 2030 30Γ∆−λ = =

δ − δ −

4

4

70 30 40 440 30 10ΓΕ−λ = = =−

οπότε 20 4 4 140 3530Γ∆ ΓΕλ = λ ⇔ = ⇔ δ = ⇔ δ =

δ −.

Γ4. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B A P A B P A B− + − = ∪ − ∩ =

( ) ( ) ( )P A P B 2P A B= + − ∩ (1)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )P A 0,25 1 P A 0,25 P A 0,75 P A P B 1,1P B 0,65 1 P B 0,65 P B 0,35

+′ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ ⇒ + ≥ ⇒′ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ ( ) ( ) ( ) ( )P A P B 2P A B 1,1 2P A B⇒ + − ∩ ≥ − ∩ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) (1)P A P B 2P A B 0,55 P A B2

+ − ∩≥ − ∩ ⇒

( ) ( ) ( )P A B P B A 0,55 P A B2− + −

≥ − ∩ ΘΕΜΑ ∆

Έχουµε s sCV 0,25x x= ⇔ =

∆1. ( ) ( )2f x 12x 2 x 2s x′ = − + Επειδή η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της µε τετµηµένη x0=1 είναι παράλληλη στον x΄x έχει συντελεστή διεύθυνσης 0. Οπότε έχουµε ( ) ( )f 1 0 12 2 x 2s 0 x 2s 6 x 6 2s′ = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ = − s s0,25 0,25 s 0,25 6 2sx 6 2s= ⇔ = ⇔ = ⋅ −

−

• ( )s 0,25 6 2s s 1,5 0,5s s 1= ⋅ − ⇔ = − ⇔ = Για s=1 έχουµε x 6 2 1 x 4= − ⋅ ⇔ = .Τότε ο τύπος της f γίνεται: ( ) ( )3 2 3 2503f x 4x x 2s x s 4x 6x 20130,25= − + + + = − + .

Έχουµε: ( ) ( )2f x 12x 12x 12x x 1′ = − = −

5

5

Η f έχει τοπικό µέγιστο το f(0) = 2013 και τοπικό ελάχιστο το f(1) = 2011. ( )s 0,25 6 2s s 1,5 0,5s s 3= − ⋅ − ⇔ = − + ⇔ = − απορρίπτεται.

∆2. Έχουµε y x c= + . Τότε

y x c 4 c= + = + και ys s 1= = ys 1CV 0,1 0,1 0,1 4 c 10y 4 c≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≥

+ 4 c 10 c 14+ ≤ − ⇔ ≤ − απορρίπτεται γιατί c>0. 4 c 10 c 6+ ≥ ⇔ ≥ Άρα ο µικρότερος θετικός c είναι ο 6.

∆3. Έχουµε ( ) 2 1P A

4 2= = και ( ) 1P B

2 5=

δ −

Επειδή η κατανοµή είναι κανονική τότε x 4δ = = οπότε ( ) 1 1P B2 4 5 3

= =⋅ −

. i. Έστω ( ) ( ) [ ], 0,1α = Ρ Α Β και β = Ρ Α Β µε α β∈∩ ∪ τότε

( ) ( ) 1 19 9

Ρ Α Β ⋅Ρ Α Β = ⇔ α ⋅β =∩ ∪ (1) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α Β ⇔∪ ∩ 1 1 52 3 6

β = + −α⇔ α +β = (2) ( )2

2 25 1 5 1(1) 18 15 2 06 9 6 9 ⇒α − α = ⇔ ⋅α − α = ⇔ α − α + =

που έχει ρίζες 1 22 13 6

α = και α =

Επειδή όµως ( ) ( ) 13

Α Β⊆ Β⇒Ρ Α Β ≤ Ρ Β ⇒α ≤∩ ∩ οπότε 16

α =

δηλαδή ( ) 16

Ρ Α Β =∩

5 1 2(2) 6 6 3⇒β= − ⇒β = δηλαδή ( ) 23

Ρ Α Β =∪

Έχουµε ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α Β =∪ ∩

6

6

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 51 13 6 6

= Ρ Α + − Ρ Β − Ρ Α + Ρ Α Β = − + =∩ δηλαδή

( ) 56

′Ρ Α Β =∪ iii. Επειδή η κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική µε x 4= , s 1= και

x 2s 2− = έχουµε:

x 3s− x 2s− x s− x x s+ x 2s+ x 3s+ 1 2 3 4 5 6 7

68% 95% 99,7%

Το ποσοστό των παρατηρήσεων xi , µε xi ≤ 2 είναι 100 95 2,5%2

−

= . Τότε

το µέγεθος του δείγµατος είναι 1005 2002,5ν= ⋅ = .


ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(α)



/ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 151. Α2. Σχολικό βιβλίο σελ. 14. Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 84 (Tα µέτρα θέσης µας δίνουν τη θέση του «κέντρου»

των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και τα µέτρα διασποράς την διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το «κέντρο» τους.

Α4. α→Λ, β→Σ, γ→Σ, δ→Λ, ε→Λ.

ΘΕΜΑ Β B1. Αφού το εµβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων είναι 250 θα είναι ν=250 όπου ν

το πλήθος των συνταξιούχων του δείγµατος. Το πλάτος c κάθε µιας από τις 5 κλάσεις θα είναι R 20 4

5 5= = .

Αφού το µέσο της δεύτερης κλάσης έχει τετµηµένη 10 θα είναι x2=10 και αν η πρώτη κλάση είναι [κ,κ+c) η δεύτερη θα είναι [κ+c, κ+2c) και θα είναι:

22 4 810 2 12 20 4.

2 2c c

xκ κ κ κ

κ κ+ + + + + +

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

Αφού 2%f a= θα είναι σύµφωνα µε τα δεδοµένα 1 3 4 5

3% 3 , % , % , %2 10 5a a af a f f f= = = = .

Όµως 1 2 3 4 53% % % % % 100 3 100 20.

2 10 5a a af f f f f a a a+ + + + = ⇔ + + + + = ⇔ =

Άρα ο πίνακας συχνοτήτων γράφεται:




Κλάσεις xi fi% fi νi Ni Fi% Fi xi ⋅ νi[4-8) 6 60 0,60 150 150 60 0,60 900

[8-12) 10 20 0,20 50 200 80 0,80 500 [12-16) 14 10 0,10 25 225 90 0,90 350 [16-20) 18 6 0,06 15 240 96 0,96 270 [20-24) 22 4 0,04 10 250 100 1 220

ΣΥΝΟΛΑ 100 1 250 2240

Για τις συχνότητες νi χρησιµοποιήσαµε τον τύπο i iν νf= ⋅ .

Β2. Για τη µέση τιµή των συντάξεων έχουµε 5

i1

ν 2240 8,96ν 250i

i

x

x =

⋅

= = =

∑

εκατοντάδες ευρώ, δηλαδή 896 ευρώ. Για την εύρεση της διαµέσου των συντάξεων σχηµατίζουµε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi%.

Fi% 100 -

96 - 90 - 80 - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 -

4 δ 8 12 16 20 24 x σε εκατ. ευρώ i

Από αυτό έχουµε δ 4 50 0 4 5δ 4 δ 4 3,33 7,338 4 60 0 6− − ⋅

= ⇔ − = ⇔ +− −

≃ ≃ . Αφού δx > η κατανοµή παρουσιάζει θετική ασυµµετρία.




Β3. Πάνω από 1300 ευρώ δηλαδή από 13 εκατοντάδες είναι τα 16 1316 12−

−

της 3ης κλάσης και όλοι που είναι στην 4η και στην 5η κλάση, δηλαδή ποσοστό 3 10 6 4 % 17,5%4

⋅ + + = δηλαδή 17,5 2850000 498750100 ⋅ = συνταξιούχοι.

Β4. Μέγιστο ετήσιο εισόδηµα 8640 ευρώ σηµαίνει ότι το µέγιστο µηνιαίο εισόδηµα είναι 8640 720

12= ευρώ, δηλαδή 7,2 εκατοντάδες ευρώ.

i. Από 4-7,2 εκατοντάδες ευρώ ανήκουν 7,2 4 3,2 0,808 4 4−= =

−=80% των

συνταξιούχων της πρώτης κλάσης, δηλαδή ποσοστό 0,80 60 48%⋅ = του συνόλου των συνταξιούχων. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι 48%.

ii. Το ποσό που θα αφαιρεθεί από τις ανώτερες κλάσεις του δείγµατος ανάµήνα είναι 100 25 200 15 400 10 2500 3000 4000 9500⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = ευρώ και θα διανεµηθεί σε 80 150 120

100⋅ = της 1ης κλάσης. Άρα καθένας από τους

δικαιούχους θα πάρει 9500 79,16120 = ευρώ ανά µήνα.

ΘΕΜΑ Γ Γ1. Για την f(x) πρέπει να ισχύουν: ( 0 και - 4 0).x x≥ ≠ Άρα Αf=[0,4)∪ (4,+∞ ).

Για την g(x) πρέπει να ισχύουν: ( 0 και 0)x x> ≥ δηλαδή x>0. Άρα Αg=(0, +∞ ).

Γ2. ( )( ) ( )4 4 4 4

3 23 6 3 3lim ( ) lim lim lim P(A)4 422 2x x x x

xxf x x xx x→ → → →

−−= = = = =

− +− +.

Είναι: 2P(B) 1 1 2P(B) 1( ) 216 82 2xg x x

x xx x′ = + + = + +

οπότε 2P(B) 1 4(4) .4 4 8g′ = + +

Αν 4π

ω = τότε 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 1εφω=εφ 1 (4) 1 ( ) .4 4 4 2 4 4 2P B P Bg P Bπ ′= = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ =




Γ3. α Αν 2 1( ) ( ) άτοπο γιατί (Α Β) Β3 2P A B P B∩ = > = ∩ ⊆ .

Αν 1( ) τότε ( ) ( ) ( ) ( )6P A B P A B∩ = ∪ = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α∩Β =

3 1 1 9 6 2 13 14 2 6 12 12 12 12= + − = + − = > άτοπο.

Άρα 2( ) 5P A B∩ = .

β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )P A B P P B P A B P A P B P A B′ ′ ′∪ = Α + − ∩ = + − − − =

1 2 1 2 9( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 5 2 5 10P P B P A P A B= Α + − − + ∩ = − + = + = .

γ. [ ]( ) ( )− ∪ − =P A B B A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= Α − + − = − ∩ + − ∩ =P B P B A P A P A B P B P A B

3 2 1 2 3 1 4 15 10 16 94 5 2 5 4 2 5 20 20 20 20= − + − = + − = + − = .

ΘΕΜΑ ∆ ∆1. 3 2( ) 4 4 4 ( 1)f x x x x x′ = − + = − ⋅ −

x −∞ -1 0 1 +∞

-4x + + – – x2-1 + – – +

f΄(x) + – + –

f(x) ր ց ր ց

Άρα η ( , 1], [ 1,0], [0,1], [1, ).f f f f↑ −∞ − ↓ − ↑ ↓ +∞ Έχει τοπικό µέγιστο για x1=-1 το ( 1) 2f − = και για x3=1 το (1) 2f = και τοπικό ελάχιστο για x2=0 το f(0)=1.




∆2. i) Είναι: 0 ( ) 1≤ Ρ Β ≤ και f ↑ στο [0,1]. Συνεπώς: ( ) ( )(0) ( ) 1 1 (A) 2 και 0 (A) 1f f f≤ Ρ Β ≤ ⇔ ≤ Ρ ≤ ≤ Ρ ≤ και αφού ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Ρ(Α)=1 και Α=Ω. Ακόµα: ( ) ( )4 2 2 2P(B) P(A) P (B) 2P (B) 1 1 ( ) 2 ( ) 0f P B P B= ⇔ − + + = ⇔ ⋅ − = ⇔

( ) 0 ή P(B)= 2P B = ± απορ. αφού 0 ( ) 1P B≤ ≤ Άρα Ρ(Β)=0 και B =∅ .

∆2. ii. α) • και Γ Β=Γ ≠ Α = Ω ≠ ∅

Άρα: 1 1 10 ( ) 1 0 2 ( ) 2 0 ν 2 και ν ν 1,< Ρ Γ < ⇔ < Ρ Γ < ⇔ < < ∈ ⇒ =ℕ

οπότε Ρ(Γ)= 12

• , και Γ ∆, Γ ∆∆ ≠ Ω ∅ ⊆ ≠ Άρα:

2 2 2( ) ( ) 1 4 ( ) 4 ( ) 4 2 ν 4 και ν ν 3,Ρ Γ < Ρ ∆ < ⇔ Ρ Γ < Ρ ∆ < ⇔ < < ∈ ⇒ =ℕ

οπότε Ρ(∆)= 34 .

Συνεπώς: xi νi 1 1 2 3 3 5 4 1

ν=10

β) 5 6 3 3δ 32 2

t t+ += = = .




γ) Είναι Γ∩∆ = Γ

οπότε 1( ) ( ) 2Ρ Γ∩∆ = Ρ Γ =

και ( ) 3οπότε Ρ ( ) 4Γ∪∆ = ∆ Γ∪∆ = Ρ ∆ =









ΘΕΜΑ Α

Α.1. Σχολικό βιβλίο Σελίδες 28-29.

Α.2. Σχολικό βιβλίο Σελίδες 86-87. Α.3. Σχολικό βιβλίο Σελίδα 16.

Α.4. α→Σ, β→Λ, γ→Λ, δ→Σ, ε→Σ.

ΘΕΜΑ Β

Β.1. Αφού το εύρος min20=R και το πλήθος των κλάσεων είναι 5=κ , τότε

45

20===

κ

Rc . Αν οι κλάσεις είναι )12,8[),8,4[),4,[ +++++ aaaaaa ,

από την κεντρική τιµή της 3ης

κλάσης

3

( 8) ( 12) 2 2010 20 2 20 0

2 2

a a a

x a a

+ + + += ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ,

άρα οι κλάσεις είναι )20,16[),16,12[),12,8),8,4),4,0[ .

Έχουµε επίσης ότι 505=N , αφού ν=

5N , άρα 50=ν .

Επίσης, δίνεται ότι 3 µαθητές περιµένουν λιγότερο από 4min άρα 31=ν , έτσι:

06,0100

6

50

31

1====

ν

ν

f και 2,02=F , άρα

14,0)2(06,02,02,0221

=⇔−=⇔=+ ffff

714,050

14,02

22=⇔=⇔= ν

ν

ν

v

.

∆ίνεται επίσης ότι 20 µαθητές περιµένουν λιγότερο από 12mm, άρα

1020102020333213=⇔=+⇔=++⇔= νννννN , άρα




2,050

103

3===

ν

ν

f και 4,03213=++= fffF , δίνεται επίσης ότι το 84% των

µαθητών περιµένουν χρόνο λιγότερο από 16min, άρα

84,084,084%432144=+++⇔=⇔= ffffFF , οπότε

44,04,084,04

=−=f και 2244,050

44,04

44=⇔=⇔= ν

ν

ν

ν

Οπότε 4222107343214

=+++=+++= ννννN , άρα 842505

=−=ν

έτσι ο πίνακας γίνεται :

Κλάσεις:

χρόνος σε min

Κέντρο

κλάσης

ix

Συχνότητα

iν

iN

if

iF %

iF

[0,4) 2 3 3 0,06 0,06 6

[4,8) 6 7 10 0,14 0,2 20

[8,12) 10 10 20 0,2 0,4 40

[12,16) 14 22 42 0,44 0,84 84

[16,20) 18 8 50 0,16 1 100

Σύνολο 50 1

Β.2. Για το µέσο χρόνο αναµονής και τη διασπορά:

Κλάσεις: χρόνος

σε min ix i

ν iix ν⋅ xx

i− ( )2xx

i− ( )

iixx ν

2

−

[0,4) 2 3 6 -10 100 300

[4,8) 6 7 42 -6 36 252

[8,12) 10 10 100 -2 4 40

[12,16) 14 22 308 2 4 88

[16,20) 18 8 144 6 36 288

Σύνολο 50 600 968




Άρα ∑=

=⋅=⋅=

κ

ν

ν 1

min1260050

11

i

iixx και η διασπορά ή διακύµανση

( )i

i

ixxs ν

ν

κ

⋅−= ∑=

2

1

2 1, δηλαδή 22

min36,19100

1936968

50

1===s , οπότε

min4,436,192

=== ss .

Η διάµεσος δ σε οµαδοποιηµένη κατανοµή αντιστοιχεί στην τιµή δ=x της

µεταβλητής x (στον οριζόντιο άξονα) έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες του δ. ∆ηλαδή η διάµεσος έχει αθροιστική σχετική

συχνότητα %501=F έτσι στο σχήµα από το ιστόγραµµα αθροιστικών

σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό τα σηµεία Α, Μ, Β είναι συνευθειακά

έτσι:

AM

AM

AB

AB

xx

yy

xx

yy

−

−=

−

−⇔=

ΑΜΑΒλλ ή

10)12(1112

10

4

44

12

4050

1216

4084=−⇔

−

=⇔

−

−=

−

−δ

δδ ή

min9,1211

142142111013211 ==⇔=⇔=− δδδ περίπου

Fi%100

84

50%

20

4

0 4 8 12 16 20δ

Α(12,40)

Μ(δ,50)

Β(16,84)

χρονος σε min

40

Β΄ τρόπος Από τα όµοια τρίγωνα ΑΚΒ≈ΑΗΜ ή λόγω θεωρήµατος Θαλή έχουµε

ΚΒ

ΗΜ=

ΑΚ

ΑΗ, δηλαδή 9,0

11

10

44

10

4=⇔=⇔= xx

x

περίπου

Άρα η διάµεσος 9,129,01212 =+=+= xδ περίπου




Fi%100

84

50%

20

4

0 4 8 12 16 20δ

Α(12,40)

Β(16,84)


40 x H10

K

44

Μ(δ,50)

Β.3. α) Από το σχήµα έχουµε )40,12(),,10(),20,8(1

AyPΓ

810

20

812

20401

−

−=

−

−⇔

−

−=

−

−⇔=

Γ

Γ

Γ

Γ

ΓΡΓΑ

y

xx

yy

xx

yy

P

P

A

Aλλ , άρα

3010202

205

2

20

4

20

11

11=⇔=−⇔

−=⇔

−= yy

yy

άρα το 30% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 10 min (οπότε το 70% κάνει χρόνο από 10 min και πάνω) άρα για το ενδεχόµενο Α=ο

χρόνος αναµονής του µαθητή είναι µικρότερος από min10 , έχουµε

3,0100

30min)10()( ==<= tPAP

Fi%100

84

50%

20

4

0 4 8 12 16 20δ

∆(20,100)

Β(16,84)


40

Μ(δ,50)

10 17

y =882

y =301

Ε(17, )y2

Γ(8,20)Ρ(10, )y

Α(12,40)

1

1617

84

1620

841002

−

−=

−

−⇔

−

−=

−

−⇔=

ΒΕ

ΒΕ

Β∆

Β∆

ΒΕΒ∆

y

xx

yy

xx

yyλλ , άρα

888441

84

4

16

22

2=⇔−=⇔

−= yyy




Άρα το 88% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 17 min, από αυτούς το 20% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8 min, άρα χρόνο αναµονής τουλάχιστον 8 min και λιγότερο από 17 min έχει το

%682088 =− του συνόλου των µαθητών. Έτσι για την πιθανότητα του

ενδεχοµένου Β=ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι τουλάχιστον

min8 και λιγότερος από min17 ,έχουµε

68,0100

68min)178()( ==<≤= tPBP

β) Θεωρούµε το ενδεχόµενο =∩ BA ο χρόνος αναµονής του µαθητή

min10min8 ≤≤ t , τότε το 30% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής

κάτω από 10 min, από αυτούς το 20% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8

min, οπότε το %102030 =− έχει χρόνο αναµονής min10min8 ≤≤ t ,

άρα 1,0100

10( ==∩ BAP , οπότε

88,01,068,03,0)()()()( =−+=∩−+=∪ BAPBPAPBAP ,ενώ

2,01,03,0)()()( =−=∩−=− BAPAPBAP ,

έτσι ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,68 0,1 0,58P A B A P B A P B P A B∪ − = − = − ∩ = − =

ΘΕΜΑ Γ

Γ.1. Αρχικά για το όριο:

−+

−⋅=

→ 432

55lim13

1x

x

x

δ

Πρέπει 03≥+x και 0432 ≠−+x όποτε 3−≥x και 23 ≠+x , άρα 3−≥x

και 43 ≠+x , έτσι έχουµε 3−≥x και 1≠x , άρα η συνάρτηση ορίζεται στο

σύνολο ),1()1,3[ +∞∪−=A άρα για τη συνάρτηση έχουµε:

( )( )

( )( )23232

23)1(5

232

)1(5)(

++−+

++−=

−+

−=

xx

xx

x

xxf ή

( )( )

( )( )

( )2

235

432

23)1(5

232

23)1(5)(

22

++=

−+

++−=

−+

++−=

x

x

xx

x

xxxf άρα

( )10

2

45

2

235lim

432

55lim)(lim

111

=⋅

=++

=

−+

−=

→→→

x

x

xxf

xxx

Έτσι Hgmmx

x

x

1301013432

55lim13

1

=⋅=

−+

−⋅=

→

δ

Όπως γνωρίζουµε στην κανονική κατανοµή, η µέση τιµή χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να

είναι µικρότερες ή ίσες της x και το 50% των παρατηρήσεων να είναι




µεγαλύτερες ή ίσες της x . ∆ηλαδή στην κανονική κατανοµή ισχύει ότι η

διάµεσος και η µέση τιµή ταυτίζονται έτσι Hgmmx 130==δ .

Αποδεικνύεται ότι στην κανονική κατανοµή:

το 84% έχει συστολική πίεση A

A sxx −>

από το πρόβληµα δίνεται ότι:

το 84% έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από Hgmm125 , άρα πρέπει,

HgmmsxA

A 125=− , όµως Hgmmx 130= ,

άρα HgmmssAA

5125130 =⇔=−

Έτσι για την κατανοµή Α έχουµε:

115 120 125 130 135 140 145 150 155x - 3sA A

x - 2sA A

x - sA A

x A

x + sA A

x + 2sA A

x + 3sA A

σε mm Hg

84%

34%

50%

Για τον συντελεστή µεταβολής 10

1

26

1

130

5<===

A

A

A

x

sCV , άρα το δείγµα Α

είναι οµοιογενές.

Γ.2. α) Για το δείγµα Β ξέρουµε ότι κάθε άτοµο του δείγµατος αυτού παρουσιάζει

συστολική πίεση 10+=iixy σε mm Hg, για κάθε ν,...,2,1=i , σε σχέση µε τη

συστολική πίεση ix των ατόµων του δείγµατος Α.

Άρα, από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, θα ισχύει ότι

Hgmmxy AB

1401013010 =+=+=

Ενώ HgmmssAB

5== .




Οπότε A

B

B

BCV

y

sCV =<==

130

5

140

5, έτσι το δείγµα Β παρουσιάζει µεγαλύτερη

οµοιογένεια σε σχέση µε το δείγµα Α.

115 120 125 130 135 140 145 150 155 σε mm Hg

x - 3sA A

x - 2sA A

x - sA A

x A

x + sA A

x + 2sA A

x + 3sA A

y 3s - B B

y - 2sB B

y - sB B

y B

y s+B B

y 2s+ B B

y 3s+ B B

κατανοµή Α κατανοµή Β

Γ.2. β)

115 120 125 130 135 140 145 150 155 σε mm Hg

x A

x + sA A

x + 2sA A

13,5

i. Από την υπόθεση έχουµε ότι το πλήθος των ατόµων του δείγµατος Α, στο

διάστηµα [ ]A

AA

A sxsx 2, ++ , είναι ίσο µε 540, όµως το παραπάνω




διάστηµα περιέχει το 13,5% του πλήθους A

ν των ατόµων της κατανοµής

Α, άρα 000.545,13540100

5,13540%5,13 =⇔=⇔=

AAAννν .

∆ηλαδή 40005,13

54000==

Aν , έτσι 000.4==

BAνν άτοµα.

ii. Οπότε συνολικά και από τα δύο δείγµατα έχουν συστολική πίεση κάτω από 135 mm Hg

• Το 84 % των ατόµων της κατανοµής Α

• Το 16 % των ατόµων της κατανοµής Β

Άρα συνολικά 000.4000.4100

16000.4

100

84=+ άτοµα

115 120 125 130 135 140 145 150 155 σε mm Hg

x A

x + sA A

y s - B B

y B

κατανοµή Α κατανοµή Β

84%

16%

ΘΕΜΑ ∆

∆.1. α. 22 )1(

2)('

+

−=

ax

axxf

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης βε +−= xy2

1:)( είναι

2

1−=λ και ισούται µε την παράγωγο της f στο 1

0=x , εποµένως είναι:




1...4)1(2

1

)1(

2

2

1)1(' 2

2=⇔⇔=+⇔−=

+

−⇔−= aaa

a

af , οπότε η

συνάρτηση f γίνεται 1

1)(

2+

=

xxf και είναι

2

1)1( =f .

Για 1=x και 2

1=y στην (ε) βρίσκουµε: 1

2

1

2

1=⇔+−= ββ .

β. 00)1(

2)('

22=⇔=

+

−= xx

xxf

x ∞− 0 ∞+ )(' xf + 0 –

)(xf ր τ.µ. ց

Στο διάστηµα ]0,(−∞ η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα

),0[ +∞ είναι γνησίως φθίνουσα.

Στο 0=x η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το 1)0( =f , το οποίο είναι

και ολικό µέγιστο, αφού για 0≥x είναι 1)0()( =≤ fxf και για 0≥x

είναι 1)0()( =≤ fxf , δηλαδή για κάθε ℜ∈x είναι 1)0()( =≤ fxf .

∆.2. α. Αν Α ένα ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ισχύει

1)(0 ≤≤ AP , οπότε πρέπει 10 ≤≤ y ,

2002220112

10 ≤≤⇔≤−≤−⇔≤+−≤⇔≤+−≤ xxxx

∆.2. β) Είναι 5

41

5

2

2

11

=+⋅−=y

5

31

5

4

2

1

2=+⋅−=y

10

31

5

7

2

13

=+⋅−=y

Οπότε

=10

3,

5

3,

5

4,,

321yyy

i. Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων ,,)'( BABA ∪∩ και Α είναι οι αριθµοί

10

3,

5

3,

5

4, όχι απαραίτητα µε την ίδια σειρά.

Η αύξουσα σειρά αυτών των αριθµών είναι 5

4,

5

3,

10

3.




Είναι BAA ∪⊆ , οπότε )()( BAPAP ∪≤ .

Αν 5

3)( =AP και

5

4)( =∪BAP , τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι

( )( )10

3' =∩BAP , αλλά τότε )(

10

7)(

10

3)(1 APBAPBAP >=∩⇔=∩− που

είναι άτοπο γιατί ισχύει )()( APBAP ≤∩ , αφού ABA ⊆∩ .

Αν 10

3)( =AP και

5

4)( =∪BAP , τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι

( )( )5

3' =∩BAP , αλλά τότε )(

5

2)(

5

3)(1 APBAPBAP >=∩⇔=∩− που

είναι άτοπο γιατί ισχύει )()( APBAP ≤∩ , αφού ABA ⊆∩ .

Εποµένως είναι: 5

3)(,

10

3)( =∪= BAPAP και ( )( )

5

4' =∩BAP .

Επειδή είναι ( )( ) )(1' BAPBAP ∩−=∩ , τότε

( )( )5

1

5

41'1)( =−=∩−=∩ BAPBAP .

ii. Είναι )3(10

1

5

1

10

3)()()()'( =−=∩−=−=∩ BAPAPBAPBAP

Επίσης είναι BABABA ∩=∩=− )''(' , οπότε

)4(5

1)()'( =∩=− BAPBAP .

Από τις 3 και 4 προκύπτει ότι )'()'( BAPBAP −<∩ και αφού η

συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ),0[ +∞ , τότε

( )( ) ( ))'(' BAPfBAPf −>∩ .

iii. Είναι ⇔∩−+=∪ )()()()( BAPBPAPBAP

2

1

10

5

10

3

5

4

10

3

5

1

5

3)(

)()()()(

==−=−+=⇔

⇔−∩+∪=⇔

BP

APBAPBAPBP

Είναι Β⊆Γ−Β , άρα )1(2

1)()()( ≤Γ−Β⇔Β≤Γ−Β PPP

Επίσης, Γ⊆Γ∩Β , άρα ⇔≤Γ∩Β⇔Γ≤Γ∩Β10

3)()()( PPP

)2(5

1)(

10

2)(

10

3

2

1)(

10

3)()()(

10

3)(

≥Γ−Β⇔≥Γ−Β⇔−≥Γ−Β⇔

⇔−≥Γ∩Β−⇔−≥Γ∩−⇔

PPP

BPPBPBP

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι:

2

1)(

5

1≤Γ−Β≤ P .









ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό σελ. 152.

Α2. Σχολικό σελ. 16. Α3. Σχολικό σελ. 73. Α4. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Για την 3 2( ) 1f x ax xβ= + + έχουµε 2'( ) 3 2f x ax xβ= + .

Β1. Αφού ( ) ( )2,5 2 5 8 4 1 5 8 4 4 2 1 (1)f

C f a aβ β α βΑ ∈ ⇔ = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + =

Αφού η εφαπτοµένη στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης 12 πρέπει:

'(2) 12 12 4 12 3 3 (2)f α β α β= ⇔ + = ⇔ + =

Από την (1) και (2) προκύπτουν: 2α = και 3β = − .

Έτσι έχουµε 3 2( ) 2 3 1f x x x= − + και 2'( ) 6 6f x x x= − .

Β2. Έστω ( ) : y xε λ κ= + η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης τότε:

• '( 1) 12fλ = − =

• ( ) ( ) ( ) ( )1, ( 1) 1, 4 4 4 12 8B f ε ε λ κ κ κ− − ∈ ⇔ Β − − ∈ ⇔ − = − + ⇔ − = − + ⇔ =

Άρα ( ) : 12 8y xε = + .




Β3. ( )2'( ) 0 6 6 0 6 1 0 0 1f x x x x x x ή x= ⇔ − = ⇔ ⋅ − = ⇔ = = .

• Για ( ,0]x∈ −∞ η f είναι γνησίως αύξουσα.

• Για [0,1]x∈ η f είναι γνησίως φθίνουσα.

• Για [1, )x∈ +∞ η f είναι γνησίως αύξουσα.

• Στο 1

0x = η f έχει τ. µέγιστο το (0) 1f = .

• Στο 2

1x = η f έχει τ. ελάχιστο το (1) 0f = .

Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1, )+∞ και

2013 2014 (2013) (2014)f f< ⇔ < .

Β4. Έχω ( ) 13223+−= xxxf άρα ( ) xxxf 66

2−=′ και ( ) 612 −=′′ xxf

Η εφαπτοµένη της παράλληλη τουf

C xx′⇔

( ) 20 6 6 0 0f κ κ κ κ′⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔ =… ή 1=κ αλλά κєΩ άρα το 1,0=Α

Η εφαπτοµένη της fC′ έχει κλίση θετική ( )

10 12 6 0

2f λ λ λ′′⇔ > ⇔ − > ⇔ > ,

Ω∈λ .

άρα 3,2,1=Β

( ) 7=ΩΝ , ( )( )( ) 7

2=

ΩΝ

ΑΝ=ΑP και ( )

( )( ) 7

3=

ΩΝ

ΒΝ=ΒP

Το ενδεχόµενο Γ: “Να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από Α και Β ” τότε

Γ = ( )′Β∪Α .

Το 3,2,1,0=Β∪Α άρα ( ) 1,2,4 −−−=′

Β∪Α άρα ( )7

3=

′Β∪ΑP .

x

'( )f x

f

+ + -

0 1−∞ +∞




ΘΕΜΑ Γ

Γ1. α)

Χρόνια

Εργασίας i

x iv

if

iN

iF

i ix v ( )x− ⋅

2

i ix v

4 - 8 6 8 0,2 8 0,2 48 288

8 - 12 10 16 0,4 24 0,6 160 64

12 - 16 14 4 0,1 28 0,7 56 16

16 - 20 18 12 0,3 40 1 216 432

ΣΥΝΟΛΟ 40v = 1 480 800

β) Έστω το ενδεχόµενο Γ: «Υπάλληλος µε 11 τουλάχιστον χρόνια εργασίας

στο εργοστάσιο Α» Θεωρώντας ότι οι τιµές σε κάθε κλάση είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες έχουµε:

116 4 12

( ) 20 14( )( ) 40 40 2

NP

N

⋅ + +Γ

Γ = = = =Ω

.

γ)

4

1480

1240

i i

iA

x v

x

v

=

= = =

∑.

( )4

2

2 1800

2040

i i

i

A

x x v

Sv

=

− ⋅

= = =

∑.

Γ2. α) Στο εργοστάσιο της πόλης Β εργάζονται: νΒ=ν-νΑ=200-40=160 υπάλληλοι.

Θεωρώντας iy µε 1,2,...160i = τα έτη εργασίας του καθενός από αυτούς

στο εργοστάσιο της πόλης Β έχουµε: 40 160

1 140 160

13,6 13,6 13,6200 200

i i

A Bi i

x yx x

x= =

+

⋅ + ⋅= ⇔ = ⇔ = ⇔

∑ ∑

40 12 160 2720 160 2240 14B B Bx x x⇔ ⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = .

β) Οι 4 υπάλληλοι αποτελούν το: 4

100% 2,5%160

⋅ = των εργαζοµένων στο

εργοστάσιο της πόλης Β. Λόγω της κανονικής κατανοµής ξέρουµε ότι

τουλάχιστον 2BB

x S+ αποτελεί το 2,5% των εργαζοµένων. Άρα

2 22 14 2 22 4BB B B

x S S S+ = ⇔ + = ⇔ = .




Γ3. α) 20 2 5 5

12 12 6

A

A

A

SCV

x= = = = .

4 2

14 7

B

B

B

SCV

x= = = .

Ισχύει A B

CV CV> .

5 2 5 4 245 114:6 7 36 49 1764 1764

ύφο Α > ⇔ > ⇔ >

Άρα στο εργοστάσιο της Β πόλης έχουµε µεγαλύτερη οµοιογένεια, ως προς το χρόνο εργασίας.

β) Στο εργοστάσιο της πόλης Α θα απολυθούν: 4 12 16+ = υπάλληλοι. Ο νέος πίνακας συχνοτήτων στο τέλος της επόµενης τετραετίας θα είναι:

Χρόνια

Εργασίας ix

iv

i ix v

0 - 4 2 16 32

4 - 8 6 0 0

8 - 12 10 8 80

12 - 16 14 16 224

ΣΥΝΟΛΟ 40v = 336

Ο νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της πόλης Α είναι: 40

1336

' 8,440 40

i i

i

A

x v

x=

= = =

∑

Στο εργοστάσιο της πόλης Β, αφού δεν έχουµε αλλαγές στο εργατικό δυναµικό, στο τέλος της τετραετίας ο νέος µέσος χρόνος εργασίας είναι:

' 4 14 4 18BBx x= + = + = (χρήση εφαρµογής σχολικού).

Άρα ο ολικός νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της εταιρείας θα είναι:

40 160

1 1' ' 40 8,4 160 18 336 2880

'200 200 200 200

i i

i i A A B B

x yv x v x

x= =

′ ′+⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +

= = = = =

∑ ∑

321616,08

200= = έτη.

ΘΕΜΑ ∆

Ισχύει: 2 ( 1) 2 (0) 2 (1) (2) (3) (4)P P P P P P κ− = = = = = = .

Άρα ( 1) (0) (1)2

P P Pκ

− = = = και (2) (3) (4)P P P κ= = = .




∆1. Αφού η f είναι συνεχής στο 00=x πρέπει:

)1()0()(lim0

fxfx

=

→

.

• )2(6)0( 2 aaf −−=

• )3(981)823(lim)(lim 22

00

2

=+=++−=+

→→

xxexf xax

xx

Έτσι από (1), (2), (3) έχουµε:

30)3(09696 222−=⇔=+⇔=++⇔=−− αααααα

∆2. Αφού ( ) 1 ( 1) (0) (1) (2) (3) (4) 1P P P P P P PΩ = ⇔ − + + + + + = ⇔

3 9 21 3 1 1

2 2 2 2 2 9

κ κ κ κ κ

κ κ κ κ κ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = .

Άρα: 1

( 1) (0) (1)9

P P P− = = = και 2

(2) (3) (4)9

P P P= = = .

∆3. α) Για 0>x έχουµε:

( )2 2

3 2 2 3 2 2'( ) 3 2 8 ( 3 2 ) 6 2x x x xf x e x x e x x x− + − +

′′= − + + = ⋅ − + − + =

)1()26(26)26( 232322

+⋅+−=+−⋅+−=+−+− xxxx

exxex

Έτσι

23 2

1 1

3 3

'( ) ( 6 2) ( 1lim lim

6 2 6 2

x x

x x

x x

f x x ee e

x x

− +

→ →

− + ⋅ + − = − = − + − +

( ) 111lim 3

1

3

1

23

3

1

2

=−+=−+=+−

→

eeeexxx

x

.

Έτσι: 0,1, 2 4yΒ = − + . Αφού: 21, 4 5,4y yΑ = − + και 1,2Α∩Β = ,

πρέπει το 2 να περιέχεται και στα δύο σύνολα.

Έτσι πρέπει: 2 4 2 (1)y− + = και 2 4 5 2 (2)y y− + =

Από (1) : 2 2 1y y− = − ⇔ = και 2(2) : 4 3 0 1 3y y y ή y− + = ⇔ = = .

Άρα πρέπει 1y = .




β) Για 1y = τα σύνολα γίνονται: 1,2,4Α = , 0,1,2Β = .

Έτσι: 1 2 2 5

( ) (1) (2) (4)9 9 9 9

P A P P P= + + = + + = .

1 1 2 4( ) (0) (1) (2)

9 9 9 9P B P P P= + + = + + = .

Αφού: 0,1,2,4Α∪Β = έχουµε 6 2

( ) (0) (1) (2) (4)9 3

P A B P P P P∪ = + + + = = .

Αφού: 4A B− = έχουµε 2

( ) (4)9

P A B P− = = .

∆4. α) Έχουµε exxg −+= 12)('

Έστω βε += axy:)( η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης της g

C στο

σηµείο της ))(,(00xgx∆ .Τότε ισχύουν:

• Αφού // 3 (1)eε η

ε η λ λ α⇔ = ⇔ = − .

• (1)

0 0 0 0'( ) 2 1 2 1 3 2 2 1

og x a x e a x e e x x= ⇔ + − = ⇔ + − = − ⇔ = ⇔ = .

• ( )( ) (1) 3 1 1 1 3 2 2 3g e e e e e eε β β β∆∈ ⇔ = − ⋅ + ⇔ + − − = − + ⇔ − = − + ⇔

1 (2)eβ⇔ = − −

Έτσι χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (1), (2) έχουµε για εφαπτοµένη την

exey −−−= 1)3(:)(ε .

β) Έχουµε

=Ε3

2,

9

2,

9

5.

Για τα σηµεία ),(νννyxΜ , µε 3,2,1=ν της εφαπτοµένης (ε) έχουµε:

•

−Μ

9

14

9

6,

9

51

e

, αφού 9

14

9

61

9

5

9

151

9

5)3(

1

ee

eeey −=−−−=−−⋅−= .

•

−

−Μ

9

11

9

3,

9

22

e

, αφού 9

11

9

31

9

2

9

61

9

2)3(

2

ee

eeey −

−

=−−−=−−⋅−= .

•

−Μ e

3

51,

3

23

, αφού eeeeey3

511

3

221

3

2)3(

3−=−−−=−−⋅−= .

Άρα 27

4012

3

9

40

9

12

3

3

51

9

11

9

3

9

14

9

6

3

321e

eeee

yyyy

−=

−

=

−+−−−

=

++

= .



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 8 Απριλίου 2015 ∆ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες


ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό σελ. 65



Α4. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Β1. Σύµφωνα µε το σχήµα



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ είναι όµοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν την γωνία Α κοινή. Εποµένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες. ∆ηλαδή,

ΑΒ Α∆ Β∆= =

ΑΓ ΑΕ ΓΕ

Εποµένως,

1 8 1 88 1 9

4 12 8 4 4

δ δδ δ

ΑΒ Α∆ − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

ΑΓ ΑΕ −

1ος τρόπος:

Από το παραπάνω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επι τοις εκατό έχουµε ότι: 1% 15f =

2 2% % 15f F= −

3 3 2% % %f F F= −

4 3% 75 %f F= −

5% 100 75 25f = − =

Όµως, ( )2 4 2 3% 3 % % 15 3 75 %f f F F= ⇔ − = −

2 3% 15 225 3 %F F⇔ − = −

( )2 3% 240 3 % 1F F⇔ = −

Επίσης, ισχύει

2

3 2

50 %1

4 % %

F

F F

−ΑΒ Β∆= ⇔ = ⇔

ΑΓ ΓΕ −

( )1

3 2 2% % 200 4 %F F F− = − ⇔

( )3 3 3% 240 3 % 200 4 240 3 %F F F− + = − − ⇔

3 34 % 240 200 960 12 %F F− = − + ⇔

38 % 440 960F− = − ⇔

3 38 % 520 % 65F F− = − ⇔ =

Οπότε, από την σχέση (1) έχουµε ότι,

2 2% 240 3 65 240 195 % 45F F= − ⋅ = − ⇔ =



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Άρα, οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό είναι: 1% 15f =

2% 30f =

3% 20f =

4% 10f =

5% 100 75 25f = − =

2ος τρόπος:

Από το παραπάνω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό παρατηρούµε ότι: 1% 15f = και 5% 25f = .

Γνωρίζουµε ότι η διάµεσος είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από αυτήν. ∆ηλαδή, ισχύει ότι:

2 41 2 3 4 3% 3 %

3 4 5 3 4

1 1% % % 50 15 3 % % 50

4 43 3

% % % 50 % % 25 504 4

f ff f f f f

f f f f f

=

+ + = + + =

⇔ + + = + + =

4 3

4 3

13 % % 35

43

% % 254

f f

f f

+ =

⇔ + =

Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα προκύπτει ότι 3% 20f = και 4% 10f = .

Οπότε, 2% 30f = . Οι κεντρικές τιµές των κλάσεων είναι

1 2 3 4 52, 6, 10, 14, 18x x x x x= = = = =

Συνεπώς,

Χρόνια προϋπηρεσίας ix if iF

0 4− 2 0,15 0,15 4 8− 6 0,30 0,45 8 12− 10 0,20 0,65

12 16− 14 0,10 0,75 16 20− 18 0,25 1 Σύνολο

1



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Β2. Η µέση τιµή ισούται: 5 5 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 51 1 1

1 ii i i i i

i i i

vx x v x x f x f x f x f x f x f

v v= = =

= = = = + + + +∑ ∑ ∑

2 0,15 6 0,3 10 0,2 14 0,1 18 0,25= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

0,3 1,8 2 1,4 4,5 10= + + + + =

Για την διακύµανση ισχύει ότι:

( ) ( ) ( )5 5 5

2 2 22

1 1 1

1i i i

i

ii i

i i

sv

vx x x x x x fv v= = =

= == − − −∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 10 0,15 6 10 0,3 10 10 0,2 14 10 0,1 18 10 0,25= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

64 0,15 16 0,3 16 0,1 64 0,25= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( )64 0,15 0,25 16 0,3 0,1= + + +

64 0,4 16 0,4= ⋅ + ⋅

80 0,4 32= ⋅ =

Β3. Αντικαθιστώντας στον τύπο

2

2 2

1 1

1 1k k

i i i ii i

s x v x vv v

= =

= −

∑ ∑

έχουµε ότι,

( )21 1

32 5280 32 5280 100 132 5280 40v x v v v vv v

= − ⋅ ⋅ ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Οι υπάλληλοι που έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια προϋπηρεσίας είναι '2 3 4 5v v v v+ + +

όπου '2v είναι το πλήθος των υπαλλήλων που έχουν από 5-8 χρόνια.

Επειδή οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες, τότε:

' ' ' ''2 2 2 22

2 2

8 5 3 39

8 4 4 40 0,3 4 12

v v v vcv

c v v f

−= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

− ⋅ ⋅

′



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Επίσης,

3 3 40 0,2 8v v f= ⋅ = ⋅ =

4 4 40 0,1 4v v f= ⋅ = ⋅ =

5 5 40 0,25 10v v f= ⋅ = ⋅ =

Οπότε, '2 3 4 5 9 8 4 10 31v v v v+ + + = + + + = .

Άρα, 31 υπάλληλοι έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια προϋπηρεσία.

B4. Έχουµε ότι

1 1 40 0,15 6fν ν= ⋅ = ⋅ =

2 2 40 0,30 12fν ν= ⋅ = ⋅ =

Εφόσον, το επίδοµα για κάθε υπάλληλο δίνεται από την σχέση

3 2 , 1,2,3,4,5i iy x i i= + =

τότε το συνολικό κόστος αυτής της απόφασης θα είναι

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5y v y v y v y v y v+ + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 4 4 53 2 3 4 3 6 3 8 3 10x v x v x v x v x v= + + + + + + + + +

8 6 22 12 36 8 50 4 64 10 1440= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Είναι ( ) ( ) ( )( )2f x x P A P B x, x′ ′= − + ∈ℝ .

Η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ µε ( ) ( ) ( )f x 2x P A P B′ ′ ′= − − .

Η εφαπτοµένη της στο ( )( )M 1,f 1 έχει εξίσωση της µορφής:

y λx β= + ( ) ( ) ( )λ f 1 2 P A P B′ ′ ′= = − −

Άρα ( ) ( )ε :y 2 P A P B x β′ ′= − − +

Αφού ( )( )M 1, f 1 είναι σηµείο της ε και ( ) ( ) ( )f 1 1 P A P B′ ′= − − ,

έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( )1 P A P B 2 P A P B β β 1′ ′ ′ ′− − = − − + ⇔ = −



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Εποµένως ( ) ( )ε :y 2 P A P B x 1 (1)′ ′= − − − .

Όµως ( ) ( )P A 1 P A′= − και ( ) ( )P B 1 P B′= − , οπότε προσθέτοντας κατά

µέλη έχουµε ( ) ( ) ( ) ( )2 P A P B P A P B′ ′− − = + οπότε η (1) γράφεται

( ) ( )ε :y P A P B x 1= + −

Γ2. Για ( ) ( )x 0 είναι y P A P B 0 1 1= = + ⋅ − = − , οπότε το σηµείο τοµής

της ε και του y y′ είναι το ( )Λ 0, 1− ,έτσι ( )ΟΛ 1 1= − = .

Επίσης για ( ) ( )( ) ( )

1y 0 είναι 0 P A P B x 1 x

P A P B= = + − ⇔ = +

>0,

διότι ( ) ( )A άρα P A 0 και P B 0≠ ∅ > ≥ , οπότε ( ) ( )P A P B 0+ > .

Εποµένως το σηµείο τοµής της ε µε τον x x′ είναι ( ) ( )

1K ,0

P A P B

+

,

έτσι ( )( ) ( )

1OK

P A P B=

+

.

Είναι

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1ΟΚΛ ΟΛ ΟΚ 1

2 2P A B 2 P A P B

P A B P A P B

P A P B P A B P A P B

P A B 0

= ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔

∪ +

⇔ ∪ = + ⇔

⇔ + − ∩ = +

⇔ ∩ =



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Αφού τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα είναι

( )( )

( )( )

N A BP A B Ν Α Β 0 Α B

N Ω

∩∩ = ⇔ ∩ = ⇔ ∩ =∅

Οπότε τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα.

Γ3. Τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα, οπότε

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1

2

3

4

5

6

7

x 0

x P A B P A P B

x P A B 0

x P B A P B P A B P B

x P A B P A P A B P A

x P Ω 1

x P B

=

= ∪ = +

= ∩ =

= − = − ∩ =

= − = − ∩ =

= =

=

• Αν ( ) ( )P A P B≤ έχουµε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0, P A , P B , P B , P A P B , 1+ .

• Αν ( ) ( )P A P B> έχουµε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0, P B , P B , P A , P A P B , 1+ .

Σε κάθε περίπτωση η διάµεσος θα ισούται µε την 4η παρατήρηση, οπότε

( ) ( )1

δ P B P B3

= ⇔ =

Όµως

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 P A P B P B P A P B 1x

72P A 3P B 18

56 21 2P A 3 P B 121 7

156 21 2P A 3 1 56 42P A 42

3

14 1P A P A

42 3

+ + + + + + + = ⇔

+ +⇔ = ⇔ = + ⋅ + ⇔

⇔ = + ⋅ + ⇔ = + ⇔

⇔ = ⇔ =

Έτσι ( ) ( ) ( )1 1 2

P A B P A P B3 3 3

∪ = + = + = .



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Γ4. i. Είναι 7 7

i ii 1 i 1

1 8 8x x x 7x 7

7 21 3= =

= ⇔ = = ⋅ =∑ ∑ , οπότε η νέα µέση τιµή

είναι:

( )( )

( ) ( )

7

i 8i 1

8 1x x P Γ1 8 13 2x 4 P Γ8 2 8 3 2

24 16 3 5P Γ P Γ

6 6 6 6

=

+ + +

′ = ⇔ = ⇔ = + +

⇔ = − − ⇔ =

∑

Έστω Α και Γ ασυµβίβαστα. Τότε από τον απλό προσθετικό νόµο έχουµε:

( ) ( ) ( )1 5 2 5 7

P A Γ P A P Γ 13 6 6 6 6

∪ = + = + = + = > ,

το οποίο είναι άτοπο, οπότε τα Α και Γ δεν είναι ασυµβίβαστα.

ii. Είναι A Γ Α∩ ⊆ οπότε ( ) ( )1

P A Γ P A3

∩ ≤ = .

Επίσης είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7

P A Γ P A P Γ P A Γ P A Γ P A Γ6

∪ = + − ∩ ⇔ ∪ = − ∩

Ισχύει ότι:

( ) ( ) ( ) ( )7 7 1

P A Γ 1 P A Γ 1 1 P A Γ P A Γ6 6 6

∪ ≤ ⇔ − ∩ ≤ ⇔ − ≤ ∩ ⇔ ≤ ∩

Άρα ( )1 1

P A Γ6 3≤ ∪ ≤ .

ΘΕΜΑ ∆

∆1. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε

f (x) ln x ln(x 1)′ = − + ,

Η f ′ είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ ως σύνθεση και διαφοράπαραγωγισίµων συναρτήσεων µε

1 1f (x)

x x 1′′ = −

+



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


Όµως (1) (2) (3) ... (9) f (1) f (2) f (3) ... f (9)′′ ′′ ′′ ′′Ρ + Ρ + Ρ + + Ρ = + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 91 ... 1

2 2 3 3 4 9 10 10 10= − + − + − + + − = − =

Οπότε 9 1

(0) (1) (2) ... (9) 1 CV 1 CV10 10

Ρ + Ρ +Ρ + + Ρ = ⇔ + = ⇔ = .

Άρα CV = 10%.

∆2. 2 22 2

i ii 1 i 1

1t (x x 11) t x x 11

ν ν

= =

= − + ⋅ν ⇔ − = − +

ν∑ ∑ (1)

Όµως 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2

1

1 1 1 1 1

= = = = =

= − ⇔ = − =

⇔

−∑ ∑ ∑ ∑ ∑k k k k k

i i i i ii i i i i

s t t s t t s tv v v v

xv

x 01 s 1CV x 10s

10 10x

>

= ⇔ = ⇔ = .

Οπότε (1) 2s x 11 0⇔ + − =

Άρα 2 2s x 11 0 s 10s 11 0 s 1+ − = ⇔ + − = ⇔ = ή s 11= − απορ. Για s 1= έχουµε x 10= .

∆3. Αν 1 2y ,y ,..., yνοι νέες παρατηρήσεις τότε i iy x 2, i 1,2,...,= − = ν .

Αν y και s′ , η νέα µέση τιµή και τυπική απόκλιση αντίστοιχα, τότε από

γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου είναι y x 2 8= − = και

s s 1′ = = . Άρα s 1

CV8| y |

′′ = = και το ποσοστό µεταβολής του

συντελεστή µεταβλητότητας είναι CV CV

100% 25%CV

′ −⋅ =

∆4. 16

2 2 2 2i i

i 1 i 1

1 1s (t x) 1 (t 10)

16

ν

= =

= − ⇔ = − ⇔

ν∑ ∑

2 2 21 2 16(t 10) (t 10) ... (t 10) 16− + − + + − =

Εποµένως για κάθε i 1,2,...,16= ισχύει: 2

i i i i(t 10) 16 t 10 4 4 t 10 4 6 t 14− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤

16 16 16

i i ii 1 i 1 i 1

1x t t 16 10 t 160

16= = =

= ⇔ = ⋅ ⇔ =∑ ∑ ∑



Ε_3.BΜλ3Γ(α)


15 16

1 i i 16 16i 1 i 1

1 1 1x t ( t t ) (160 t )

15 15 15= =

= = − = −∑ ∑

Άρα 16 16 16

19 (160 t ) 15 9 160 t t 25

15= − ⇔ ⋅ = − ⇔ = .

Όµως ισχύει i6 t 14≤ ≤ άρα καµία από τις παρατηρήσεις δεν µπορεί να είναι 25.

Oefe ggen 2001 2015 problems & solutions

Education

Transcript of Oefe ggen 2001 2015 problems & solutions