1

1

Μηχανική Ρευστών

Αριστοτέλης ΜαντόγλουΣχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων ΕΜΠ

Αθήνα 2006-2007

2

Μηχανική Ρευστών• Στόχος µαθήµατος

– Μελέτη των ρευστών όταν βρίσκονται σε ηρεµία (υδροστατική) και σεκίνηση (δυναµική)

• ∆ιδάσκεται στις σχολές– ΣΑΤΜ– Πολιτικών Μηχανικών– Μηχανολόγων Μηχ.– Ναυπηγών και αεροναυπηγών– Χηµικών Μηχ., κλπ.

• Πολλές εφαρµογές σε προβλήµατα µηχανικού όπως– Υπολογισµός αγωγών για µεταφορά νερού (υδρεύσεις, αποχετεύσεις,)– Μελέτη ποταµών και χειµάρρων (διευθετήσεις)– Επιφανειακή υδρολογία, φράγµατα– Υπόγεια νερά, υφαλµύρυνση παράκτιων υδροφορέων– Προστασία και διαχείριση υδατικών πόρων

2

3

Εισαγωγή &Ιδιότητες των Ρευστών

4

Καταστάσεις της ύλης• Ρευστά (υγρά και αέρια) και στερεά• Ποια είναι η διαφορά τους;

– Τα ρευστά σωµατίδια είναι ελευθέρα νακινούνται σε σχέση το ένα µε το άλλο καιπαραµορφώνονται συνεχώς υπό την επίδρασηδιατµητικών τάσεων

ρευστόστερεό

∆ιατµητική τάση τ

3

5

Είδη Ρευστών

– Υγρά: Ισχυρές δυνάµειςσυνοχής, καταλαµβάνεισυγκεκριµένο όγκο, σχηµατίζει ελεύθερηεπιφάνεια

• Υγρά και αέρια – Ποια είναι η διαφορά τους;

Υγρό

Ελεύθερη επιφάνεια

Αέριο

∆ιαστολή

– Αέρια: Ασθενείςδυνάµεις συνοχής, διαστέλλονταιελεύθερα, δενσχηµατίζουν ελεύθερηεπιφάνεια

6

Συνήθη Ρευστά

• Υγρά:– νερό, λάδι, πετρέλαιο, βενζίνη, αλκοόλ

• Αέρια: – αέρας, ήλιο, υδρογόνο, ατµός

• Ακαθόριστα: – ζελές, πίσσα, οδοντόκρεµα

4

7

∆ιαστάσεις & Μονάδες

• ∆ιάσταση: Γενίκευση της “µονάδας” πουπροσδιορίζει τις διαστάσεις ενός φυσικούµεγέθους– Μάζα [M], µήκος [L], χρόνος [T], θερµοκρασία [θ]

• Μονάδες: Συγκεκριµένη µονάδα µέτρησης– kg, m, s, oK (Systeme International)– slug, ft, s, oR (British Gravitational)– κλπ.

8

∆ευτερεύουσες µονάδες

• ∆ύναµηN = kg m/s2 (Newton)

• Έργο (δύναµη που δρα σε συγκεκριµένηαπόσταση)

J = N m (Joule)• Ενέργεια (έργο στην µονάδα του χρόνου)

W = J/s (Watt)

[ ]

=

=

22 TLM

TML

maF

5

9

Ρευστά σαν συνεχή µέσα

• Τα ρευστά αποτελούνται από µόρια– Μόρια βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση: αέρια– Μόρια βρίσκονται σε κοντινή απόσταση: υγρά

• Η απόσταση µεταξύ των µορίων είναιµεγάλη σχετικά µε το µέγεθος των µορίων

• Τα µόρια κινούνται ελεύθερα

δV

ρ MoluecularVariations

SpatialVariations

δV*

ρ* = 1200

• Αέρας σε ΚΘΠ:δV*=10-9 mm3 περιλαµβάνει3x107 µόρια

• Υπόθεση συνεχούς µέσου

10

Ιδιότητες Ρευστών

• Πυκνότητα: Μάζα ρευστού στην µονάδαόγκου του

Vm

VV δδρ

δδ *lim→

=

6

11

Πυκνότητα

• Παραδείγµατα (πχ., σε 20 oC, 1 atm)– Νερό ρwater = 998 kg/m3

– Υδράργυρος ρHg = 13,500 kg/m3

– Αέρας ρair = 1.22 kg/m3

• Η πυκνότητα των αερίων αυξάνει µε την πίεση• Όταν η θερµοκρασία είναι σταθερή οι πυκνότητεςτων ρευστών είναι σχεδόν αµετάβλητες(ασυµπίεστα)

12

Ειδικό Βάρος

• Βάρος ανά µονάδα όγκου (πχ.., σε 20 oC, 1 atm)

γwater = (998 kg/m3)(9.807 m/s2)= 9790 N/m3

γair = (1.205 kg/m3)(9.807 m/s2)= 11.8 N/m3

3[ / ]]g N mγ ρ=

7

13

Σχετικό ειδικό βάροςΣχετική πυκνότητα

• Είναι ο λόγος του ειδικού βάρους (πυκνότητας) ρευστού ως προς το ειδικό βάρος, (πυκνότητα) του νερού ή του αέρα (πχ., σε 20 oC, 1 atm)

, 39790 /ό ό

όwater kg mυγρ υγρ

σχ υγρ

γ γγ

γ= =

• Νερό ρwater = 1• Υδράργυρος ρHg = 13.6• Αέρας ρair = 1

, 31.205 /έ gas

έέ kg m

α ριοσχ α ριο

α ρας

ρ ρρ

ρ= =

14

Φυσικές ιδιότητες κοινών ρευστών υπό ατµοσφαιρική πίεση

8

15

Συµπιεστότητα• Εκφράζει την παραµόρφωση ανά µονάδα

µεταβολής της πίεσης

• Μέτρο ελαστικότητας• Για το νερό E = 2.2 GPa

1 MPa µεταβολή πίεσης => 0.05% µεταβολή όγκουΕποµένως το νερό είναι σχετικά ασυµπίεστο

/ /dV V dKdp dp

ρ ρ= − =

1EK

=

16

Παράδειγµα• ∆εδοµένα: Πίεση 2 MPa

εφαρµόζεται σε µια µάζα νερούη οποία αρχικά καταλαµβάνειόγκο 1000 cm3.

• Ζητούµενα: Ο όγκος µετά τηνεφαρµογή της πίεσης

• Απάντηση: E = 2.2x109 Pa

63

9

3

3

/

2 10 10002.2 100.909

1000 0.909999.01

final

final

pEV VpV V

Ex Pa cmx Pa

cmV V V

V cm

∆= −

∆∆

∆ = −

= −

= −= + ∆

= −

=

9

17

Πίεση – Αρχή Pascal• Ρευστό σε ηρεµία – δεν µπορεί

να υφίσταται διατµητικέςτάσεις

• Η κάθετη τάση σε κάθεεπίπεδη επιφάνεια ονοµάζεταιπίεση (+ για συµπίεση)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 sin sin

10 cos cos cos sin2

x x n n x

z z n

n z

n x y z

F p y l p y l p p

F p y l p y l l l y

p p

p p p p p

α α

α α γ α α

= = ∆ ∆ − ∆ ∆ ⇒ =

= = ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆

⇒ =

= = = =

∑∑

18

Παράδειγµα• Πόσες βίδες χρειάζονται στη

θέση B-B εάν d=0.5D? (Υποθέστε ότι η πίεση είναι ηίδια παντού)

20 βίδες, 2.5 cm διαµ.

2

, ,

2

420

4

bolt B B bolt A A

p DF F

p d

n

π

π

− −= =

=

5

202

=

=

nDdn

10

19

Απόλυτη & Σχετική Πίεση(πίεση οργάνου)

atmp p pσχετ απολ= −

20

Μεταβολή πίεσης µε το υψόµετρο• Ρευστό σε ηρεµία –

– ∆εν υπάρχουν διατµ. τάσεις– η πίεση είναι συνάρτηση του

υψόµετρου.

αγ sin)(

0

lAAppAp

FFFF

weightrightleft

l

∆∆−∆∆+−∆=

−−==∑

dldz

dldp

lz

lp γγαγ −=

∆∆

−=−=∆∆ orsin

γ−=dzdp

11

21

Μεταβολή πίεσης µε το υψόµετροΥδροστατική κατανοµή

• Εάν γ είναι σταθερό γ−=dzdp

zpzzpp

dzdpz

z

p

p

∆−=∆−−=−

∫−=∫

γγ

γ

)( 1212

2

1

2

1

.(πιεζοµετρικο φορτιο)ph z σταθγ

= + =

z = 0

1

2

z = z1, p = p1

z = z2, p = p2

zp ∆−=∆ γ

22

11 zpzp

+=+γγ

Φορτίο θέσηςΦορτίο πίεσης

Πιεζοµετρικό φορτίο

22

Πιεζοµετρικό φορτίο

z = 0

1

2

1z

γ1p γ/2p

2z

constant=+ zpγ

Ανοικτό δοχείο

12

23

Πιεζοµετρικό φορτίο

∆οχείο µε υγρό υπό πίεσηz = 0

3

1z

γ1p

2z

constant=+ zpγ

3z

γ2p

γ3p

2

1

24

Παράδειγµα• ∆οχείο περιλαµβάνει δύο υγρά µε γA > γB

• Ποιο διάγραµµα παρουσιάζει την σωστή κατανοµή πίεσης;

13

25

Παράδειγµα• Ποια είναι η µέγιστηδύναµη F2 όταν F1=200N

1 2 1 2

2 1 1 2

11 2

1

2

2

( )( )

( )

200 (0,85)(9810)(0 2)(0,04)

4142.500 /

oil

oil

w

p p z zp p z z

F z zA

N m

γγ

δ γ

π

− = − −= + −

= + −

= + −

= 22 2 2

2

142.500( )(0,1)4

1.119

F p A

F N

π= =

=

26

Μανόµετρα

• Για ρευστά σε ηρεµίαη πίεση µπορεί ναυπολογιστείµετρώντας τουψόµετρο ενός υγρού

hhp γ=

14

27

Μανόµετρο σχήµατος σωλήνα U

1 0( )atmp p άοργ νου= =

41 plhp m =+∆− γγ

kPap

lhp m

1.62)8.1(9810)6.0(000,133

4

4

=−=

−∆= γγ

28

ΠαράδειγµαΝα υπολογιστεί η θέση της επιφάνειας στο D

DmwA php =∆−+ γγ **1.0

A

B C

D

0== DA Pp

cmh

hm

w

33.331*1.0

*1.0

==∆

=∆γγ

15

29

∆ιαφορικό µανόµετρογ

l

21 )( phlhlp m =∆−+∆+− γγγ

hppp m ∆−=−=∆ )(12 γγ

30

ΠαράδειγµαΖητείται: η πίεση στο κέντρο του σωλήνα

Εξίσωση πιέσεων από τοκέντρο του σωλήνα µέχριτο ανοικτό άκρο τουµανοµέτρου

[ ]12 (0.5)* (1)*2 (2.5) 0pipep in γ γ γ+ + − =

[ ]12 (0.5) *(62.4) 2*(62.4) (2.5) *(62.4) 0pipep in+ + − =

[ ]12 (0.5) *(62.4) 2 *(62.4) (2.5) *(62.4)

0pipe

pipe

p in

p

= − − +

=

16

31

ΠαράδειγµαΖητείται: Ειδικό βάρος ρευστού

cml

cml

ldV

186.10

2)5.0(4

432

2

=

==

=

π

πΛύση:

Εξίσωση Μανοµέτρου

2 cm3

l A

B C

D

DliqA pllp =−−+ γγ)05.0(

3/995,4

)9810(10186.0

)05.010186.0(

)05.0(

mN

ll

liq

liq

=

−=

−=

γ

γγ

32

Πιέσεις σε επίπεδες επιφάνειες

αγ sinyp =

dA

x

yy

cpyCentroid

Center of pressure

Fα

ApFAyF

ydA

dAy

pdAF

A

A

A

==

∫=

∫=

∫=

)sin(

sin

sin

αγ

αγ

αγ

Επιφάνειες που έρχονταισε επαφή µε ρευστάυφίστανται δυνάµεις λόγωτης κατανοµής πίεσης στορευστό

17

33

Παράδειγµα

2.44 m

my 22.1=

Σκυρόδεµα(23.6 kN/m3)

Θυρόφραγµα(2.44m x 1.22m)

F

kNF

AyApF

8.85)44.2*22.1(*)1*22.1*600,23(

)sin(

====

αγ

34

Σηµείο εφαρµογής συνισταµένηςδύναµης

• Βρίσκεται κάτω από κέντρο βάτους τηςεπιφάνειας, αφού η πίεση αυξάνεται µε τοβάθος

αγ sinyp =

dA

x

yy

cpyCentroid

Center of pressure

Fα

AyIyy

AyIAyy

IAyy

dAyy

pdAy

ydFFy

cp

cp

cp

A

A

cp

+=

+=

=

∫=

∫=

∫=

20

)(

sin)sin(

)sin(

)(

αγαγ

αγ

18

35

Παράδειγµα

• F ↑ as H ↑?• ↓ as H ↑?• είναι σταθερό H ↑?• T ↑ as H ↑?• T is constant as H ↑?

yycp −

yycp −

F

T

36

19

37

Παράδειγµα

kNF

AyApF

6.1569)4*4(*)1*10*9810(

)sin(

====

αγΖητείται: ∆ύναµη στο b

m

AyIyycp

133.0)4*4*10(

12/4*4 3

=

=

=−

F

kNF

kN

FF

FFM

gb

gwgb

gbgw

378.104

6.15692133.02133.0

2133.00

,

,,

,,

=

=

=

−==∑

Fw,g Fb,g

0.133

2

38

Παράδειγµα

mAyIyycp

4641.0)24*464.6(

12/6*4 3

=

==−

N

AyApF

000,318,1)6*4(*)30cos33(*9810

)sin(

=+=

== αγ

kNRkN

FR

FRM

A

A

A

05.5571318)42265.0(

64641.03

)4641.03(60

==

−=

−−==∑

F

RA

3-0.4641

6

20

39

Πίεση σε καµπύλες επιφάνειες

xAC

xAC

x

FFFF

F

=

−=

=∑ 0

Fx

Fy

ycp

CBy

CBy

y

FWF

WFF

F

+=

−−=

=∑ 0

40

Παράδειγµα

kN

ApFV

5.781*2*4*9810

===

kN

rVW

8.301*4**25.0*9810

1*4

2

==

==

π

πγγ

Ζητείται: F2 m

4 m

FV

FH

W

F

Fy

Fx

kNF

F

y

y

3.109

5.788.30

=

+=

kNF

ApF

FFF

x

x

xHx

1.981*2*9810*5

0

==

=

−==∑WFFF Vyy

−−==∑ 0

21

41

Παράδειγµα

mAyIyycp 067.0

1*2*512/2*1 3

==+−

2 m

4 m

FV

FH

W

F

Fy

Fx

WVycp xWFFx *1* +=

mrxW 849.034

==π

mx

x

cp

cp

957.03.109

849.0*8.301*5.78

=

+=

Wxyycp −

42

Παράδειγµα2 m

4 m

F=146.9 kN

Fx =98.1 kN

Fy =109.3 kN0.957 m

1.067 m

o

1

42

2360*8975.0

8975.03.1091.98tan

=

=

== −

θ

πθ

θ

raddegrad

rad

22

43

WApF ACi += WVF ABCD == γ

44

ΠαράδειγµαA C

B B

x

y 6 mάρθρωση

Fy

Fx

kN

AyF CBx

6.1761*6*3*9810

===γ

m

yy

11*6*312/6*1 3

=

=−

kN

VF ABCy

4.277

1*46*9810

2

=

=

=

π

γ

m

rx

55.2*3

6*434

==

=

π

π