Übung vom 14.7.10

1 Die Rotation von Vektorfeldern im R3.2 Der Satz von Stokes.3 Übungsaufgabe 11.3.4 Übungsaufgabe 11.4.

Rotation im R3

Es sei p ∈ R3 �xiert. In p wählen wir eine Richtung ~n(p) (‖~n‖= 1)und eine volle Kreisscheibe B2

r (p) um p mit Radius r die senkrechtauf ~n(p) steht.

n

Br2

p

Γ• HtL

Ν

Deren Rand ∂B2r werde durch eine

parametrisierte Kurve γ(t) mit‖γ̇(t)‖ ≡ 1 so durchlaufen, dass sich(~n,ν(γ(t)), γ̇(t)) wie Daumen,Zeige�nger und Mittel�nger bei derRechte-Hand-Regel verhalten:

Rotation im R3

p

Γ×

Projn¦X

¶Br2

Sei X ein Geschwindigkeitsfeld,dann ist 〈X (γ(t)), γ̇(t)〉 dertangentiale Anteil von X imPunkt γ(t) ∈ ∂B2

r .D.h. vt(r) := 1

2πr

∫∂B2

r〈X , γ̇〉 dt

ist die durchschnittliche

Tangentialgeschwindigkeit

eines Teilchens auf ∂B2r .

Wegen ω := vt

rerhält man mit

1

2πr2

∫∂B2

r〈X , γ̇〉 dt die

durchschnittliche Winkel- bzw.

Drehgeschindigkeit ω einesTeilchens auf ∂B2

r um ~n.

Rotation im R3

Indem man r gegen Null laufen läÿt, ist wegen vol(B2r ) = πr2

〈rot(X )(p),~n(p)〉 := limr→0

∫∂B2

r〈X , γ̇〉 dt

vol(B2r )

= 2ω(p)

die doppelte Winkelgeschwindigkeit ω(p) eines mit X

�schwimmenden� Teilchens in p um ~n(p).

In diesem Sinne heiÿt rot(X )(p) auch Wirbeldichte von X inp. Achtung: Die Rotation als Wirbeldichte gibt nicht an, wiestark der Fluss des Feldes verwirbelt ist.

Es gilt

rot(X ) =

(∂Xz

∂y− ∂Xy

∂z,∂Xx

∂z− ∂Xz

∂x,∂Xy

∂x− ∂Xx

∂y

)

Beispiel

Die Flusslinien des Vektorfeldes X (x ,y ,z) = (0,x ,0) sind Geraden,es treten keine Wirbel auf:

(x− y -Ebene). X hat eine nicht verschwindende Rotation um ez :

〈rot(X ),ez〉= rot(X )z =∂Xy

∂x− ∂Xx

∂y= 1.

Aufgund der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten ist klar,dass sich jedes mit�ieÿende Teilchen p ∈ R3 um ez(p) drehen muss.

Der Satz von Stokes

In unserer Interpretation besagt der Satz von Stokes,∫∂M=γ

〈X (γ(t)), γ̇(t)〉 dt =∫M〈rot(X ),~n〉 dM

dass quantitiv die durch X gegebene tangentiale Bewegung amgeschlossenen Rand ∂M einer Fläche M2 ⊂ R3 (linke Seite)aus den durch X im inneren hervorgerufenen Drehungenerzeugt wird.

Dabei sei n(p) ein stetiges Normalenfeld auf M und γ mit‖γ̇‖ ≡ 1 so orientiert, dass für das äuÿere Normalenfeld ν von∂M die Vektoren {n(p),ν(p), γ̇} auf ∂M dieRechte-Hand-Eigenschaft erfüllen.

Der Satz von Stokes

Auf der englischen Seite von Wikipedia über den Satz von Stokesdient folgendes Bild als Erklärung für dessen generellen Prinzips:

Der Beitrag von benachbarten Seiten hebt sich aufgrund derOrientierung auf. Verfeiniert man das immer weiter, so entsprichtdie �Gesamtbewegung am Rand� gerade der �Summe derRotationen� der einzelnen Punkte.

Übungsaufgabe 11.3.

Sei ein Vektorfeld im R3 gegeben durch

F = (x31 +1

2x2x

2

3 ,1

2x1x

2

3 + x22 ,x1x2x3)

und eine Fläche durch die obere Halbsphäre

S ={x ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1, x3 ≥ 0

}.

Berechnen Sie a) das Wegintegral über den Rand der Fläche sowieb) das Flächenintegral über die Rotation, wie sie im Integralsatzvon Stokes verwendet werden.

Lösung a)

n(p) = p ist ein stetiges Normalenfeld und ν =−ez ist dasäuÿere Normalenfeld auf ∂S = {x2+ y2 = 1, z = 0}. D.h.bezüglich der Rechte-Hand-Regel können wir∂S durchγ(t) = (cos t,sin t,0) mit t ∈ [0,2π) parametrisieren.

Damit ist F (γ(t)) = (cos3 t,sin2 t,0) und

〈F (γ(t)), γ̇(t)〉=−cos3 t sin t+ sin2 t cos t

=

(cos4 t

)′4

+

(sin3 t

)′3

.

Damit ist∫

∂M=γ〈F (γ(t)), γ̇(t)〉 dt = 0.

Lösung b)

Andererseits ist

rot(F ) =

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3,∂F1

∂x3− ∂F3

∂x1,∂F2

∂x1− ∂F1

∂x2

)=

(x1x3− x1x3,x2x3− x2x3,

1

2x23 −

1

2x23

)= 0

und damit∫S 〈rot(F ),n〉dS = 0.

Übungsaufgabe 11.4.

Sei f = (x ,y2,z3) ein Vektorfeld im R3,F = {(x ,y ,z) : x ,y ,z ≥ 0, x+ y + z = 1} eine Fläche. BerechnenSie

∫F 〈rot(f ),n〉dF a) direkt und b) über den Integralsatz von

Stokes.

Lösung

Wegen ∂ fi∂xj

= 0 für i 6= j gilt o�enbar rot(f ) = 0 und damit∫F 〈rot(f ),n〉dF = 0.

Die Fläche ist eine Ebene durch die Punkte ex ,ey und ez .

Lösung

Der Rand entspricht 3 Strecken γi , die wir z.B. durch(t,0,1− t), (1− t, t,0) und (0,1− t, t) mit t ∈ [0,1]parametrisieren.

Für f (γi ) erhält man dadurch (t,0,(1− t)3), (1− t, t2,0) und(0,(1− t)2, t3). Daraus folgt

〈F (γ1(t)), γ̇1(t)〉= t−(1−t)3, 〈F (γ2(t)), γ̇2(t)〉=−(1−t)+t2

und 〈F (γ3(t)), γ̇3(t)〉= t3− (1− t)2 .

Über [0,1] integriert ergibt der Reihe nach 3

12, − 2

12und − 1

12.

Deren Summe, d.h.∫

∂F=γ〈f , γ̇〉 dt, ist Null.