Μαθηματικά - plaisio-cdn.gr · Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια...

ΜαθηματικάΓ9 ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

21-0143_MATH_G GYMN.indb 1 1/15/13 4:21 PM

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΜΑΚΕΤΑΣ,

ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΑΛΛΑΓΩΝ ΒΑΣEI ΥΠΟΔΕΙΞEΩΝ

ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ,

ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ:

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΔΟΣΕΩΝ / Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Γ9 Κ.Π.Σ. / ΕΠΕΑΕΚ II / Ενέργεια 2.2.1. / Κατηγορία Πράξεων 2.2.1.α:«Αναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών και συγγραφή νέων εκπαιδευτικών πακέτων»

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Δημήτριος Γ. Βλάχος Ομότιμος Καθηγητής του Α.Π.Θ., Πρόεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Πράξη με τίτλο: «Συγγραφή νέων βιβλίων και παραγωγή υποστηρικτικού εκπαιδευτικού υλικού με βάση το ΔΕΠΠΣ και τα ΑΠΣ για το Γυμνάσιο»

Επιστημονικός Υπεύθυνος Έργου Αντώνιος Σ. Μπομπέτσης Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναπληρωτές Επιστημονικοί Υπεύθυνοι Έργου Γεώργιος Κ. Παληός Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Ιγνάτιος Ε. Χατζηευστρατίου Μόνιμος Πάρεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Έργο συγχρηματοδοτούμενο 75% από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Δημήτριος Αργυράκης, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Παναγιώτης Βουργάνας, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Κωνσταντίνος Μεντής, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Σταματούλα Τσικοπούλου, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Μιχαήλ Χρυσοβέργης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΚΡΙΤΕΣ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ Εμμανουήλ Μανατάκης, Επίκουρος καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Μιχαήλ Σαλίχος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νικόλαος Παπαευστρατίου, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης

ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ Νικόλαος Μαρουλάκης, Σκιτσογράφος - Εικονογράφος

ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Ευγενία Βελάγκου, Φιλόλογος

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Δημήτριος Κοντογιάννης, Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΤΟΥ ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ

ΕΞΩΦΥΛΛΟ Παναγιώτης Γράββαλος, Ζωγράφος

ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ


ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΜΑΚΕΤΑΣ,

ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΑΛΛΑΓΩΝ ΒΑΣEI ΥΠΟΔΕΙΞEΩΝ

ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ,

ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ:

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΔΟΣΕΩΝ / Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Δημήτριος ΑργυράκηςΠαναγιώτης ΒουργάναςΚωνσταντίνος Μεντής

Σταματούλα ΤσικοπούλουΜιχαήλ Χρυσοβέργης

ΜαθηματικάΓ9 ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΝΑΔΟΧΟΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»


Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, έχει σκοπό να βοηθήσει εσένα το μαθητή της Γ9 Γυμνασίου, να κατανοήσεις και να εμπεδώσεις τις διάφορες μαθηματικές έννοιες και να αποκτήσεις τις αναγκαίες δεξιότητες που περιλαμβάνονται στο αναλυτικό πρόγραμμα της τάξης σου.Η ύλη του βιβλίου είναι οργανωμένη σε δύο μέρη. Το Α9 Μέρος περιλαμβάνει 5 Κεφάλαια που αναφέρονται στην Άλγεβρα, ενώ το Β9 Μέρος περιλαμβάνει 2 Κεφάλαια που αναφέρονται στη Γεωμετρία και την Τριγωνομετρία. Κάθε Κεφάλαιο χωρίζεται σε ενότητες μαθημάτων.

Σε κάθε ενότητα περιλαμβάνονται:1. Οι κύριοι στόχοι. Στην αρχή κάθε ενότητας αναγράφονται οι κύριοι στόχοι της, όπως διατυπώνονται στο αναλυτικό πρόγραμμα, ώστε να ξέρεις πού σε οδηγεί ο καθηγητής σου.

2. Η δραστηριότητα. Οι δραστηριότητες είναι μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων, όσο το δυνατόν πιο κοντά στα ενδιαφέροντά σου, που οδηγούν στην αναγκαιότητα της εισαγωγής των εννοιών που θα διδαχθείς ή στην επανάληψη και διεύρυνση άλλων που έχεις ήδη διδαχθεί σε προηγούμενες τάξεις. Με κατάλληλα ερωτήματα γίνεται προσπάθεια να επικεντρωθεί η προσοχή σου σε ορισμένες ενέργειες που θα σου δώσουν την ευκαιρία να αναπτύξεις πρωτοβουλία, να διατυπώσεις τις ιδέες και απόψεις σου και να τις ανταλλάξεις με τους συμμαθητές σου.

3. Το κυρίως μάθημα. Περιλαμβάνει γνώσεις που πρέπει να αποκτήσεις, να συγκρατήσεις και να μπορείς να εφαρμόζεις, όπως ορισμούς και ιδιότητες, που θα σου επιτρέψουν να επιλύεις προβλήματα και να διατυπώνεις συλλογισμούς. Σε πολλές περιπτώσεις περιλαμβάνει αποδείξεις βασικών προτάσεων.

4. Παραδείγματα - Εφαρμογές. Πρόκειται για ένα σύνολο λυμένων ασκήσεων και προβλημάτων, που σκοπεύουν να σου δώσουν τη δυνατότητα να μάθεις πώς να αντιμετωπίζεις ανάλογες ασκήσεις, να διαπιστώσεις την ευρύτητα των εφαρμογών που έχουν τα Μαθηματικά, να αποκτήσεις νέες εμπειρίες στις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων και να διευρύνεις το πεδίο των γνώσεών σου.

5. Ερωτήσεις κατανόησης. Είναι απλά ερωτήματα ή σύντομα προβλήματα τα οποία πρέπει να μπορείς να απαντήσεις, μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος.

Πρόλογος


6. Προτεινόμενες ασκήσεις και προβλήματα. Ιδιαίτερη προσπάθεια καταβλήθηκε για τη συλλογή και την ταξινόμηση των προτεινόμενων ασκήσεων και προβλημάτων. Από τις πιο απλές ασκήσεις ως τα πιο σύνθετα προβλήματα, έγινε προσπάθεια να αναδειχθεί η χρησιμότητά τους σε κάθε τομέα εφαρμογής τους, (Φυσική - Χημεία - Οικονομία κ.τ.λ.) που ενδείκνυται για την ηλικία και τις γνώσεις σου, αλλά και σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής.

Σε ορισμένες ενότητες περιλαμβάνονται συμπληρωματικά:- Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών και Δραστηριότητες που στοχεύουν να κεντρίσουν το ενδιαφέρον σου ώστε να συνεισφέρουν στην κατανόηση των εννοιών και των μαθηματικών προβλημάτων στα οποία αναφέρονται.- Διαθεματικά σχέδια εργασίας. Πρόκειται για δραστηριότητες οι οποίες θα αποτελέσουν θέματα για ομαδική έρευνα και συνεργασία.Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν:- Γενικές Επαναληπτικές ασκήσεις και προβλήματα και μια σύντομη Επα-νάληψη - Ανακεφαλαίωση με τις βασικότερες γνώσεις που αποτελούν τον πυρήνα του κεφαλαίου.Το βιβλίο κλείνει με:Απαντήσεις - Υποδείξεις των ασκήσεων και Ευρετήριο όρων.

Πιστεύουμε ότι το βιβλίο αυτό ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις της σύγχρονης παιδαγωγικής και ότι οι γνώσεις που θα αποκτήσεις από αυτό θα σε βοηθήσουν στα επόμενα βήματά σου. Για να επιτευχθούν οι στόχοι του βιβλίου αυτού εκτός από τη δική σου προσπάθεια, χρειάζεται και η αρμονική συνεργασία με τον καθηγητή σου.

Οι συγγραφείς

Πρόλογος


Περιεχόμενα Α9 ΜΕΡΟΣ • ΑΛΓΕΒΡΑ

Κεφάλαιο 1ο - ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις- συμπληρώσεις) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Γ. Tετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Α. Αλγεβρικές παραστάσεις-Μονώνυμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Β. Πράξεις με μονώνυμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων . . . . . . . . . . . 33 1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7 Διαίρεση πολυωνύμων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων . . . . . . . . 68 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Α. Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση ρητών παραστάσεων . . . . . . . . 75 Β. Πρόσθεση - Αφαίρεση ρητών παραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Γενικές ασκήσεις 1ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 1ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Κεφάλαιο 2ο - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 Η εξίσωση αx + β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Β. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου . . . 94 2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4 Κλασματικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.5 Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Α. Διάταξη πραγματικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Β. Ιδιότητες της διάταξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Γ. Ανισώσεις πρώτου βαθμού μ’ έναν άγνωστο . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Γενικές ασκήσεις 2ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 2ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Κεφάλαιο 3ο - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


Περιεχόμενα 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Γενικές ασκήσεις 3ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 3ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Κεφάλαιο 4ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4.1 Η συνάρτηση y = αx2 με α 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.2 Η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ με α 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Γενικές ασκήσεις 4ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 4ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Κεφάλαιο 5ο - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5.1 Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3 Έννοια της πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Γενικές ασκήσεις 5ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 5ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Β9 ΜΕΡΟΣ • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 1ο - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1.3 Θεώρημα του Θαλή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 1.4 Ομοιοθεσία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1.5 Ομοιότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Α. Όμοια πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Β. Όμοια τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Γενικές ασκήσεις 1ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 1ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Κεφάλαιο 2ο - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° # ω # 180° . . . . . . . . . . . . . . 232 2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών . . . . . . . . . . . . . . 237 2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας . . . . . . . . . . . . 240 2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Γενικές ασκήσεις 2ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Επανάληψη - Ανακεφαλαίωση 2ου Κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Τριγωνομετρικοί πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Ευρετήριο όρων - ονομάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Απαντήσεις – Υποδείξεις των προτεινόμενων ασκήσεων και προβλημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256


AΛ Γ ΕΒΡ Ι Κ Ε Σ Π Α ΡΑΣ Τ Α Σ Ε Ι Σ1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις – συμπληρώσεις) 1.2 Μονώνυμα – Πράξεις με μονώνυμα

1.3 Πολυώνυμα – Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

Γεν ικές ασκήσεις 1ου κεφαλα ίουΕπανάληψη – Ανακεφαλα ίωση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ1o


12

4 Θυμάμαι τους πραγματικούς αριθμούς, τις τεχνικές και τις βασικές ιδιότητες των πράξεών τους.4 Εμπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάμεων.4 Γνωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και μαθαίνω να τις χρησιμοποιώ.

Α ΟιπραγματικοίαριθμοίκαιοιπράξειςτουςΠραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις.

Π.χ. 34 , – 5

2 , 7,34, w2, 3, π, w5 3

, w4, –0,5, 1 + w3, 6,1010010001...

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματοςμν

, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν 0.

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

Κάθε πραγματικός αριθμός παριστάνεται μ’ ένα σημείο πάνω σ’ έναν άξονα.

Η απόλυτητιμήενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με u αu και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα.

Για παράδειγμα: u –2 u = 2, u 2u = 2, u 0 u = 0, u – 34 u

=

34

ΟιπράξειςστουςπραγματικούςαριθμούςΠρόσθεση• Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε

τις απόλυτες τιμές τους, και στο άθροισμα αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο.

Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις – συμπληρώσεις)1.1

34

, – 5

2 =

–52 , 7,34 =

734100 ,

3 = 31

, w4 = 2 = 21

, –0,5 = –510

.

w2, π, w53

, 1 + w3, 6,1010010001...

+7 + 5 = +12–7 – 5 = –12

0 1 2 3 4–1–2

52 4,8π

ΘΕΤΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙΜΗΔΕΝΑΡΝΗΤΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ

w2–3,8

–3–4x9 x

–


• Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμετη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη δια-φορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Πολλαπλασιασμός• Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλα- πλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο +• Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλα- πλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο –

ΟιιδιότητεςτηςπρόσθεσηςκαιτουπολλαπλασιασμούΓια την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες:

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιαμός

Αντιμεταθετική α+β=β+α αβ=βαΠροσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γ α(βγ)=(αβ)γ

Ουδέτερο στοιχείο α+0=α α? 1=α

α+(–α)=0 1α? =1,α 0 αΕπιμεριστική α(β+γ)=αβ+αγ

Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι:• α ? 0 = 0.• Aν α ? β = 0, τότε α = 0 ή β = 0.• Aν α ? β 0, τότε α 0 και β 0.• Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι.• Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι.

Αφαίρεση–ΔιαίρεσηΟι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης γίνονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως.• Για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

α – β = α + ( –β)

• Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών

(α : β, ή αβ

με β 0), πολλαπλασιάζουμε το

διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

1 α : β = α ? β

ή

α 1 = α ? β β

13

1.1 Πράξειςμεπραγματικούςαριθμούς

+5 – 7 = –2–5 + 7 = +2

(+5) ? (+7) = +35(–5) ? (–7) = +35

(+5) ? (–7) = –35(–5) ? (+7) = –35

5 – 7 = 5 + (–7) = –25 – (–7) = 5 + (+7) = 12

–5 : 15 = –5 ? 115

= – 515

= – 1 3

–3 , 3

45

, 54


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1 Nαυπολογιστούνοιπαραστάσεις:

α)(–3)? (– 32 ) – (– 1

3 + 3) – (+ 1

3 ) ? (– 12 ) β)

1–3 + } 2 1 2 – } 3

Λύση α) (–3) ? (– 3

2 ) – (– 13

+ 3) – (+ 13 ) ? (– 1

2 ) = + 92

+ 13 – 3 – (– 1

6 ) == + 9

2 + 1

3 – 3 +

16

= 276

+ 26

– 186

+ 16

= 126

= 2

β)

1–3 + } 2 1 2 – } 3

=

6 1– } + } 2 2 6 1 } – } 3 3

=

5– } 25 } 3

= – 1510

= – 32

2 Ανα+β=–3καιγ+δ=–5,ναβρεθείηαριθμητικήτιμήτηςπαράστασης

Α=–(γ–2α)+2(β– δ2 ).Λύση

Α = –(γ – 2α) + 2(β – δ2 ) =

= –γ + 2α + 2β – δ = (επιμεριστική ιδιότητα) = 2α + 2β – γ – δ = (αντιμεταθετική ιδιότητα) = 2(α + β) – (γ + δ) = (επιμεριστική ιδιότητα) = 2(–3) – (–5) = = – 6 + 5 = = – 1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας «x» στην κατάλληλη θέση.

–3 12 6 0,3 –0,8 w3 w16 3,14 π 22

7ΑκέραιοςΡητόςΆρρητος

2 Να συμπληρώσετε τις ισότητες:α) –3 + 7 = ..... β) –6 + 6 = ..... γ) –2 – 9 = .....

δ) (–2) ? 13

= ..... ε) 0 ? (– 27 )

= ..... στ) (– 4

5 ) ? (– 54 )

= .....

ζ) (–6) : (– 125 )= ..... η) (– 8

5 ) : (+4)= ..... θ) (– 43 ) : (+ 4

3 )= .....

14

MέροςΑ-Κεφάλαιο1ο


3 Να συμπληρώσετε τις ισότητες:α) (–3 ? 2 – 5)x = ........ β)–3(2 – 5x) = ........ γ) –3(2 – 5)x =........δ) –2(x ... .....) = ..... + 6 ε) (3 + x)(2 + y) = ........ στ)4(... + ...) = 12x + 8

4 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:i) Aν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε: α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα.

ii) Aν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα.

5 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), ανείναι λανθασμένες:

α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός.

γ)Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός.

δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ1 Nα κάνετε τις πράξεις:

α) 2 + 3 ? 4 – 12 : (–4) + 1 β) 2 + 3 ? (4 – 12) : (–4 + 1)γ) –3 ? (–2) – 5 + 4 : (–2) – 6 δ) –8 : (–3 + 5) – 4 ? (–2 + 6)

2 Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε έναγεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. –(5 – 4) – (+2) + (–6 + 4) – (–7) = 4 – (– 2 + 6 – 3) + (–9 + 6) = 14 + (–6 + 5 – 3) – (– 4 – 1) ? (–2) = (–3) ? (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) =

3 Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x9x προς τααριστερά στη θέση Β και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ = 5 km, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση.

15

1.1 Πράξειςμεπραγματικούςαριθμούς

O A ΓB

–1–2–3–4–5–6 0 1 2 3 4 5 6x9 x


4 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) 23

– (– 14 ) + (– 1

2 ) – (+ 112) β) – (– 1

3 + 3

2 – 5

6 ) + (– 12

+ 53

– 116 )

γ) –5 ? 12 – 2

3 – 5 ? ( 12 – 2

3 ) δ) (1 – 72 ) ? ( 1

2 – 45 ) – 3

5 : (– 2

5 + 23 )

5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) 1 2– + – 1 2 3 1 1 3 – + 6 2

β) 1– 2 ? 3 – 4

1– 2 ? (3 – ) 4

γ)–7 + 1– 3 – 3 1– 2 + 3

6 Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήταν:

1, –3, 0, 2, 1, –2, –5, 0, –3, –1.Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό.

7 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή –).α) 12 ... 5 ... 20 = –3 β) –8 ... 9 ... 1 = 0

γ) 54 ... 3

4 ... 10

4 = 3 δ) –0,35 ... 6,15 ... 8,50 = 2

8 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:α) 8 – (α – β) + (α – 5 – β) = 3β) 2 – (α + β – γ) – (4 + γ – β) – (–2 – α) = 0γ) –2 ? (α – 3) + α ? (–7 + 9) – 3 ? (+2) = 0

9 Αν x + y = –5 και ω + φ = –7, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:Α = 4 – (x – ω) – (y – φ) Β = –(–5 – x + φ) + (–8 + y) – (ω – 4)

10 Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οιδιαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογίσετε την παράσταση Α = α – (9 – 2γ) – (15 – β – 2δ).

11 Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς

–7, –6, –5, –3, 1, 2, 4, 5, 9

σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματανα είναι ίσα μεταξύ τους.

16

MέροςΑ-Κεφάλαιο1ο

+ + =

+ + =

+ + =


Μαθηματικά - plaisio-cdn.gr · Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια...

Documents

Transcript of Μαθηματικά - plaisio-cdn.gr · Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια...