Μαθηματικοί Αλγόριθμοι  

   

Μαθητές που εργάστηκαν: 

Κυριακάκη Μάγια 

Κυριακάκης Σωκράτης 

Λαγού Εύη  

Λάμπρου Παναγιώτης 

Λαρσινού Κωνσταντίνα 

Λεοντάρη Αντωνία 

Λόθρα Ελένη 

Μάλλιος Μιχάλης 

Μαυροματοπούλου Αναστασία 

Μεγαρίτης Γεώργιος 

Μητροπάνου Μαρία 

 Μίχας Επαμεινώνδας 

Μπάτσο Σάρρα 

Μπεκρής Γεώργιος 

Μπινιάρη Αγγελική 

Μπινιάρης Λουκάς 

Μπόβαλης Παναγίωτης 

Μπότση Βασιλική  

Νίκας Ιωάννης 

Ντρέλλας Κωνσταντίνος 

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Μπόκος Ιωάννης 

 

Ορισμός  

Ως αλγόριθμος ορίζεται μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος. Πιο απλά αλγόριθμο ονομάζουμε μία σειρά από εντολές που έχουν αρχή και τέλος, είναι σαφείς και εκτελέσιμες που σκοπό έχουν την επίλυση κάποιου προβλήματος. 

 

Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από μία μελέτη του Πέρση μαθηματικού του 8ου αιώνα μ.Χ. Αλ Χουαρίζμι , η οποία περιείχε συστηματικές τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών προβλημάτων και αποτελεί ίσως την πρώτη πλήρη πραγματεία άλγεβρας. Πέντε αιώνες αργότερα η μελέτη μεταφράστηκε στα Λατινικά και άρχιζε με τη φράση "Algorithmus dixit ...." (ο Αλγόριθμος είπε...). Έτσι η λέξη αλγόριθμος καθιερώθηκε αργά τα επόμενα χίλια χρόνια με την έννοια «συστηματική διαδικασία αριθμητικών χειρισμών». Τη σημερινή της σημασία την οφείλει στη γρήγορη ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών στα μέσα του 20ου αιώνα. 

 

Η έννοια του αλγορίθμου γίνεται ευκολότερα αντιληπτή με το παρακάτω παράδειγμα. Αν κάποιος επιθυμεί να γευματίσει θα πρέπει να εκτελέσει κάποια συγκεκριμένα βήματα: να συγκεντρώσει τα υλικά, να προετοιμάσει τα σκεύη μαγειρικής, να παρασκευάσει το φαγητό, να στρώσει το τραπέζι, να ετοιμάσει τη σαλάτα, να γευματίσει, να καθαρίσει το τραπέζι και να πλύνει τα πιάτα. Προφανώς, η προηγούμενη αλληλουχία οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Δεν είναι όμως η μοναδική για την επίτευξη του σκοπού, αφού μπορεί να αλλάξει η σειρά των βημάτων (π.χ. πρώτα να ετοιμάσει τη σαλάτα και μετά να στρώσει το τραπέζι). Ωστόσο το νόημα είναι πως η κατάτμηση μιας σύνθετης εργασίας σε διακριτά βήματα που εκτελούνται διαδοχικά, είναι ο πιο πρακτικός τρόπος επίλυσης πολλών προβλημάτων.  

   

Δημιουργία και κριτήρια αλγορίθμου 

Τα βήματα δημιουργίας αλγόριθμου είναι: 

1. Διατύπωση του προβλήματος 2. Κατανόηση του προβλήματος 3. Λύση του προβλήματος 4. Διατύπωση του αλγόριθμου 5. Έλεγχος της λύσης 

Οι αλγόριθμοι θα πρέπει να πληρούν κάποια πρότυπα και να διατυπώνονται με συγκεκριμένο τρόπο. Έτσι ένας αλγόριθμος πρέπει να ικανοποιεί τα επόμενα κριτήρια:  

Καθοριστικότητα 

Περατότητα 

Αποτελεσματικότητα 

Επεκτασιμότητα 

Να έχει είσοδο δεδομένων, επεξεργασία και έξοδο αποτελεσμάτων 

Καθοριστικότητα ‐ Definiteness 

Κάθε κανόνας του ορίζεται επακριβώς και η αντίστοιχη διεργασία είναι συγκεκριμένη. Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται χωρίς καμία αμφιβολία για τον τρόπο εκτέλεσής της. Π.χ. Σε μία διαίρεση να λαμβάνεται υπόψη και η περίπτωση όπου ο διαιρετέος λαμβάνει μηδενική τιμή. Τυπικές περιπτώσεις η διαίρεση με το μηδέν, υπόριζος ποσότητα αρνητική, κλπ. Προβλήματα καθοριστικότητας αντιμετωπίζονται συχνά με τη λογική της επιλογής, δηλ. Αν α>0 τότε ..... αλλιώς ...... 

Περατότητα ‐ Finiteness 

Κάθε εκτέλεση είναι πεπερασμένη, δηλαδή τελειώνει ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων. Μία διαδικασία που δεν τελειώνει μετά από συγκεκριμένο/πεπερασμένο αριθμό βημάτων λέγεται απλά υπολογιστική διαδικασία. 

Αποτελεσματικότητα ‐ Effectiveness 

Είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός, δηλαδή όλες οι διαδικασίες που περιλαμβάνει μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο χρόνο "με μολύβι και χαρτί". Κάθε μεμονωμένη εντολή 

του αλγορίθμου να είναι απλή (και όχι σύνθετη). Δηλαδή μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί αλλά πρέπει να είναι και εκτελέσιμη. 

Είσοδος δεδομένων ‐ Input 

Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγορίθμου καμία, μία ή περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο. Η περίπτωση που δε δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων απλών εντολών. 

Έξοδος αποτελεσμάτων ‐ Output 

Δίδει τουλάχιστον ένα μέγεθος ως αποτέλεσμα που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδους. Ο αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί τουλάχιστον μία τιμή (δεδομένων) ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς ένα άλλο αλγόριθμο. 

   

Τυποποιημένοι αλγόριθμοι  

Οι αλγόριθμοι είναι σημαντικοί γιατί σχετίζονται άμεσα με τον τρόπο με τον οποίο οι υπολογιστές επεξεργάζονται δεδομένα και παράγουν πληροφορίες. Ένα πρόγραμμα υπολογιστών είναι ουσιαστικά ένας αλγόριθμος που λέει στον υπολογιστή ποια συγκεκριμένα βήματα να εκτελέσει (σε ποια συγκεκριμένη σειρά) προκειμένου να επιτευχθεί ένας συγκεκριμένος στόχος, όπως π.χ. ο υπολογισμός των μισθών των υπαλλήλων ή η εκτύπωση των έλεγχων των μαθητών. Κατά συνέπεια, ένας αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε ακολουθία εντολών που μπορεί να εκτελεσθεί από μια υπολογιστική μηχανή (turing).  

Χαρακτηριστικά, όταν ένας αλγόριθμος συνδέεται με την επεξεργασία πληροφοριών, τα δεδομένα διαβάζονται από μια συσκευή εισόδου, γράφονται σε μια συσκευή εξόδου, και / ή αποθηκεύονται για την περαιτέρω χρήση. Τα αποθηκευμένα στοιχεία θεωρούνται ως τμήμα της εσωτερικής κατάστασης του συστήματος που εκτελεί τον αλγόριθμο. 

Για οποιαδήποτε τέτοια υπολογιστική διαδικασία, ο αλγόριθμος πρέπει να οριστεί αυστηρά: να είναι ορισμένος για όλες τις πιθανές περιστάσεις που θα μπορούσαν να προκύψουν. Δηλαδή οποιαδήποτε υπό όρους βήματα πρέπει να εξεταστούν συστηματικά, και σε κάθε περίπτωση τα κριτήρια πρέπει να είναι σαφή (και υπολογίσιμα). 

Επειδή ένας αλγόριθμος είναι ένας ακριβής κατάλογος βημάτων ακριβείας, η σειρά του υπολογισμού θα είναι σχεδόν πάντα κρίσιμη για τη λειτουργία του αλγόριθμου. Οι εντολές συνήθως απαριθμούνται ρητά, και περιγράφονται σαν να ξεκινούν "από την κορυφή" και πηγαίνοντας "προς στο κατώτατο σημείο", μια ιδέα που περιγράφεται τυπικά με τον όρο της "ροής ελέγχου". 

Μέχρι τώρα, σε αυτήν η συζήτηση για την τυποποίηση του αλγορίθμου, έχουμε δεχθεί ως βάση τον διαδικαστικό προγραμματισμό. Αυτή είναι και η πιο κοινή αντίληψη, η οποία προσπαθεί να περιγράψει ένα έργο με διακεκριμένα, "μηχανικά" μέσα. Μοναδικός σε αυτήν την αντίληψη των αλγόριθμων είναι ο ρόλος της λειτουργίας ανάθεσης (ο καθορισμός της τιμής μιας μεταβλητής) ο οποίος προέρχεται από τη ιδέα "της μνήμης" σαν πρόχειρο τετράδιο. Δείτε ακόμα το λειτουργικό προγραμματισμό και τον λογικό προγραμματισμό για εναλλακτικές αντιλήψεις για το τι αποτελεί έναν αλγόριθμο. 

Εφαρμογή των αλγορίθμων   

 

Οι αλγόριθμοι μπορούν να υλοποιηθούν από προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών, μολονότι συχνά σε περιορισμένες μορφές. Ένα λάθος στον σχεδιασμό ενός αλγόριθμου για την λύση ενός προβλήματος μπορεί να οδηγήσει σε αποτυχίες/βλάβες στο εφαρμοσμένο πρόγραμμα. 

 

Οι αλγόριθμοι δεν υλοποιούνται μόνο ως προγράμματα υπολογιστών, αλλά συχνά επίσης και με άλλα μέσα, όπως π.χ. σε ένα βιολογικό νευρικό δίκτυο, ή σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα, ή σε μια μηχανική συσκευή. 

 

Η ανάλυση και η μελέτη των αλγορίθμων είναι ένας τομέας τής 

επιστήμης της πληροφορικής, και ασκείται συχνά αφαιρετικά (χωρίς τη 

χρήση μιας συγκεκριμένης γλώσσας προγραμματισμού ή άλλη 

εφαρμογή). Από αυτή την άποψη, μοιάζει με άλλους μαθηματικούς 

τομείς, συγκεκριμένα στο ότι η εστίαση της ανάλυσης είναι πάνω στις 

βασικές αρχές του αλγορίθμου, και όχι σε οποιαδήποτε ιδιαίτερη 

εφαρμογή του. Ένας τρόπος απεικόνισης ένας αλγόριθμου είναι το 

γράψιμο του ψευδοκώδικα. Άλλοι τρόποι είναι: με ελεύθερο κείμενο , 

με φυσική γλώσσα περιγράφοντας τα βήματα και με λογικό διάγραμμα. 

   

Οι δέκα σπουδαιότερες 

μαθηματικές/υπολογιστικές μέθοδοι του 20ου 

αιώνα  

Στο επετειακό τέυχος του περιοδικού "Computing in Science & 

Engineering" του Ιανουαρίου/Φεβρουαρίου 2000, οι J. Dongarra και F. 

Sullivan συνέγραψαν μια λίστα αναφορικά με τους δέκα κορυφαίους 

μαθηματικούς αλγορίθμους των τελευταίων εκατό ετών. Ακολουθεί μια 

συνοπτική περίληψη των δέκα αυτών σπουδαίων μεθόδων, που 

αποτέλεσαν το βασικό εργαλείο για τον υπερκερασμό ανυπέρβλητων 

μέχρι πρώτινως υπολογιστικών προβλημάτων, ανοίγοντας έτσι τον 

δρόμο για μεγάλες εφευρέσεις, ανακαλύψεις και εξελίξεις στον 

επιστημονικό τρόπο σκέψεις σε ένα ευρύ φάσμα επιστημών και 

τεχνικών ειδικοτήτων. 

1) Mέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, 

F.E.M.) 

 

R. Courant  

 

 

 

 

J. Argyris (Ιωάννης Χατζηαργύρης)                                O. C. Zienkiewicz 

Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων είναι μια αριθμητική μέθοδος (δηλ. μέθοδος υπολογισμού με χρήση Η/Υ) για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων μερικών διαφορικών εξισώσεων. 

Η αναλυτική λύση των εξισώσεων με τις οποίες περιγράφονται τα διάφορα τεχνικά προβλήματα είναι δυνατή μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, όπου οι καταπονήσεις και τα γεωμετρικά σχήματα είναι πάρα πολύ απλά. Όμως, υπήρχε η ανάγκη να λυθούν και πιο σύνθετα προβλήματα και γι' αυτό το λόγο αναπτύχθηκαν διάφορες προσεγγιστικές μέθοδοι. 

Μία τέτοια μέθοδος είναι και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Αυτή η μέθοδος είναι μεν προσεγγιστική, αλλά μπορεί να δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα και έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα προβλήματα. Το μειονέκτημά της είναι οι αυξημένες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ, ιδίως όταν εφαρμόζεται σε σύνθετα μοντέλα. Αυτό όμως το μειονέκτημα ξεπεράστηκε τα τελευταία χρόνια χάρη στη ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών. Η επιτυχία αυτής 

της μεθόδου ήταν τόσο μεγάλη, που ακόμα και σήμερα χρησιμοποιείται στην έρευνα και στην βιομηχανία για τον υπολογισμό και τη μελέτη διάφορων κατασκευών. 

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μία εξέλιξη των μητρωϊκών μεθόδων αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και έγινε από διαφόρους σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Ιωάννης Αργύρης, ο Ρέι Κλαφ, ο Βάλτερ Ριτζ, ο Μπόρις Γκαλέρκινκαι άλλοι. 

Για να εφαρμοστεί η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων απαιτούνται τα εξής στάδια: 

1. Εισάγεται η γεωμετρία της κατασκευής σε ένα πρόγραμμα CAD και δημιουργείται το τρισδιάστατο μοντέλο. 

2. Χωρίζεται το μοντέλο σε πεπερασμένα στοιχεία και αφού ετοιμαστεί το πλέγμα επιλέγεται το είδος της επίλυσης και εισάγονται τα επιπλέον δεδομένα που απαιτούνται. Παραδείγματος χάριν, αν επιλεγεί να λυθεί το μοντέλο σε στατική καταπόνηση θα πρέπει να δοθούν τα δεδομένα για τις δυνάμεις και τις στηρίξεις. Αυτή η διαδικασία γίνεται με προγράμματα που αποκαλούνται pre processor. 

3. Όταν ετοιμαστούν τα δεδομένα για επίλυση, εισάγονται σε ένα πρόγραμμα το οποίο θα κάνει την επίλυση του προβλήματος. Τέτοιου είδους προγράμματα λέγονται solver και χρησιμοποιούν για τις επιλύσεις αριθμητικές μεθόδους. 

4. Όταν τελειώσει η επίλυση τα αποτελέσματα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πρόγραμμα, που αποκαλείται post processor, για να μπορέσει ο μελετητής να δει τα αποτελέσματα. 

 

 

2) Διαδραστικοί γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές (interactive linear 

algebraic solvers)  

 

 

E. Stiefel 

Σχεδόν όλες οι μέθοδοι υπολογισμού που χρησιμοποιούν τις 

προσεγγιστικές πρακτικές της αριθμητικής ανάλυσης περιλαμβάνουν 

την επίλυση ενός γραμμικού αλγεβρικού συστήματος που περιλαμβάνει 

συνθετότερες μορφές της απλοποιημένης έκφρασης [Α]x = [Β]. Είναι 

όμως κατανοητό ότι οι κλασικές μέθοδοι επίλυσης (όπως η μέθοδος της 

απαλοιφής του Gauss καθώς και κάθε άλλη μέθοδος μορφοποίησης 

συστημάτων τέτοιας μορφής) είναι χρησιμοποιήσιμες κι εφικτές για 

συστήματα μέσου ή μικρού μεγέθους. Απεναντίας, τα συστήματα που 

προκύπτουν και είναι διάστασης, ας πούμε, μεγαλύτερης των 10.000, 

πρέπει να λυθούν διαδραστικά. Από την στιγμή λοιπόν που οι 

σύγχρονες υπολογιστικές απαιτήσεις οδηγούν συχνά στην ανάγκη 

επίλυσης συστημάτων μερικών εκατοντάδων χιλιάδων εξισώσεων 

κατ'ελάχιστο, οι διαδραστικοί γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές 

προβάλλουν εξαιρετικά χρήσιμοι. Αποτελεσματικοί τέτοιοι τελεστές 

καταφέρουν να επιταχύνουν την επίλυση εκμεταλλευόμενοι τις ειδικές 

ιδιότητες του μητρώου [Α], όπως την συμμετρία, την αντιστρεψιμότητα 

και την αραιότητά του. Διαδραστικές μέθοδοι επίλυσης  της [Α]x = [B] 

πρωτοεμφανίστηκαν το 1950 με την ανάπτυξη του αλγορίθμου 

τωνδιαστημάτων Krylov και της μεθόδου των συζευγμένων κλίσεων των 

Hestenes και Stiefel για συμμετρικά μητρώα. Έκτοτε υπήρξε μεγάλη 

ανάπτυξη στον τομέα αυτό κι εμφανίστηκε μια σωρεία διαδραστικών 

μεθόδων, όπως η G.M.R.E.S. των Saad και Schultz (1986) για μη 

συμμετρικά μητρώα που χρησιμοποιείται έως και σήμερα ευρέως και 

σε πλήθος εφαρμογών. 

3) Τελεστές αλγεβρικών ιδιοτιμών (algebraic eigenvalue solvers) 

 

C. Lanczos 

Το κλασικό πρόβλημα ιδιοτιμών [K]d = I...d αλλά και η γενικευμένη του 

μορφή [K]d = J[M]d εμφανίζονται συχνά σε αναλύσεις ταλαντώσεων ή 

καταστάσεων λυγισμού και συνήθως τα μητρώα [Κ] και [Μ] είναι 

μεγάλα και αραιά. 

Μια ισχυρή μέθοδος επίλυσης των προναφερθέντων προβλημάτων 

αναπτύχθηκε το 1950 από τον C. Lanczos. Μια δεκαετία αργότερα, ο J. 

G. F. Francis ανέπτυξε τον πασίγνωστο πλέον ανάμεσα στους 

μαθηματικούς αλγόριθμο QR. Ο αλγόριθμος QR κυριάρχησε το '60 και 

το '70, διότι σε αντίθεση με την μέθοδο του Lanczos με την οποία 

υπολογίζονταν μόνο ορισμένες ακραίες ιδιοτιμές που ανήκαν σε 

ανώτερες ιδιομορφές των (δύο κυρίως) πρώτων τάξεων (που 

παρ'όλ'αυτά ευθύνονται κατά βάση κατά 70% έως 90% για την μορφή 

ενός παραμορφωμένου λόγω λυγισμού ή ταλάντωσης φορέα), ο QR 

βρίσκει όλες τις ιδιοτιμές ενός λογικά μικρού μητρώου με σχετική 

ταχύτητα. 

Εν τούτοις, όταν κατά την δεκαετία του '80 διαπιστώθηκε η κύρια 

συμβολή στο τελικό αποτέλεσμα μόνο των αρχικών ιδιομορφών, η 

μέθοδος του Lanczos έκανε ένα θριαμβευτικό come ‐ back. 

4) Μέθοδοι της αποσύνθεσης των μητρώων (matric decomposition 

methods) 

 

A. Householder 

Πολλές αλγεβρικές μέθοδοι επίλυσης (για τελεστές γραμμικών 

συστημάτων αλλά και προβλήματα ιδιοτιμών) που χρησιμοποιούνται 

σήμερα, είναι βαθύτατα επηρεασμένες και ιδιαίτερα στηριγμένες στην 

αποσύνθεση (ή παραγοντοποίηση) των μητρώων, τουτέστιν στην 

δυνατότητα να εκφραστεί ένα μητρώο ως το προϊόν σύνθεσης 

απλούστερων μητρώων. 

Τα απλούστερα μητρώα μπορούν να είναι διαγώνια, τριγωνικά, 

συμμετρικά, λοξώς συμμετρικά, ορθογώνια κ.τ.λ. Στις εφαρμογές της 

στην υπολογιστική μηχανική, η αποσύνθεση παρουσιάζει και φυσική 

σημασία. Όσων αφορά την επιστήμη του Πολιτικού Μηχανικού, 

αναφέρεται ενδεικτικά η φασματική αποσύνθεση (κατά την ανάλυση 

της δυναμικής επιπόνησης μιας κατασκευής από την σεισμική 

επιτάχυνση του εδάφους, η οποία χρησιμοποιεί 

αποσυντεθιμένα/παραγοντοποιημένα σεισμικά φάσματα σχεδιασμού 

που δείχνουν την πορεία εξέλιξης ιδιοπεριόδων ανάλογα με τον χρόνο) 

και η πολική αποσύνθεση (ταχεία μεταλλαγή από καρτεσιανό σε πολικό 

σύστημα συντεταγμένων προκειμένου να οριστεί η στροφική αδράνεια 

π.χ. μιας πολυκατοικίας, αφού έχει πρώτα βρεθεί ότι το κέντρο 

ελαστικής στροφής της εμφανίζεται σε ευνοϊκό για την κάτοψη σημείο). 

Ο πρώτος που έδωσε ώθηση σε αυτό το πεδίο ήταν ο A. Householder ο 

οποίος, σε μια σειρά συγγραμμάτων που δημοσίευσε από το 1951 και 

μετά, εξήγησε την χρησιμότητα της παραγοντοποίησης των μητρώων 

και ανέπτυξε σχετικούς αλγορίθμους. 

5) Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοροποίησης για προβλήματα 

κυμάτων (finite difference methods for wave problems) 

 

S. K. Godunov 

Στις απαρχές της υπολογιστικής μηχανικής, προβλήματα συστημάτων 

κοινών διαφοροποιημένων εξισώσεων προερχομένων από (υπερβολικά 

κυρίως) κύματα, λύνονταν κυρίως με τον αλγόριθμο της χρονικής 

(αριθμητικής) ολοκλήρωσης του Euler. Εν τούτοις, στα μέσα του '50, 

έγινε κοινός τόπος στους εφαρμοσμένους μαθηματικούς και τους 

φυσικούς να βρουν ειδικές μεθόδους επίλυσης αποκλειστικά για 

προβλήματα κυμάτων. Δύο πρώιμες μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης 

που χρησιμοποιούνται συχνά ακόμα και στις μέρες μας είναι εκείνη του 

Newmark (1959) αναφορικά με την δυναμική των κατασκευών κι εκείνη 

των Lex και Wendroff (1960) για την επίλυση υπερβολικών συστημάτων 

1ης τάξης. Αργότερα ακολούθησαν και άλλες πολλές μέθοδοι 

βελτιωμένες ανά σημεία, όπως αυτή των Hilber, Hughes και Taylor 

(1978), με μια πιο "σφιχτή" αριθμητική διάχυση των τιμών. 

Ένα σημαντικό θέμα που εμφανίζεται στην υπολογιστική επίλυση των 

υπερβολικών, παραβολικών και υπερβολικών παραβολοειδών 

προβλημάτων κυμάτων είναι αυτό του ορισμού και της σύλληψης της 

ασυνέχειας, ιδίως των κρουστικών κυμάτων. Οι κλασικές μέθοδοι 

πεπερασμένης διαφοροποίησης δεν μπορούσαν να επιλύσουν 

ικανοποιητικά τις ασυνέχειες. Ο S. K. Godunov ήταν ο πρώτος που 

αναγνώρισε κι εξέτασε το πρόβλημα και το 1959 πρότεινε, για 

προβλήματα της μηχανικής των ρευστών, τον πλέον γνωστό αλγόριθμο 

του Godunov. Αυτό άνοιξε τον δρόμο για διάφορους αλγορίθμους 

επίλυσης προβλημάτων στροβιλισμού και διάσπασης της ροής, 

προτεινόμενους από τους van Leer (1974, 1982), Steger και Warming 

(1979), Roe (1980) και άλλους. Σχετικά στοιχεία παρουσιάζονται ακόμα 

και στην F.E.M. 

6) Μη γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές (nonlinear algebraic solvers) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Από τα αριστερά: G. G. Broyden, P. Fletcher, D. Goldfarb και D. F. Shanno 

 

Τα περισσότερα προβλήματα της υπολογιστικής μηχανικής είναι μη 

γραμμικά. Η διακριτοποίηση χώρου και χρόνου οδηγεί συνήθως σε μη 

γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Όταν άρχισαν με τον καιρό 

να παρουσιάζονται προβλήματα μεγάλης κλίμακας, έγινε αντιληπτό ότι 

οι συνηθισμένοι μη γραμμικοί τελεστές, όπως της διχοτόμησης, της 

διατέμνουσας ή ακόμα και του Newton δεν ήταν πλέον επαρκείς. 

Μια σημαντική οικογένεια βελτιωμένων τελεστών είναι η λεγομένη 

ομάδα Quasi Newton (Q.N.). Η πρώτη μέθοδος Q.N. γνωστοποιήθηκε 

από τον Davidon το 1959 και μετέπειτα βελτιώθηκε περεταίρω κι 

εκδόθηκε από τους Fletcher και Powell. Μια άλλη μέθοδος Q.N. η οποία 

έγινε αργότερα (και παρέμεινε στις μέρες μας) ιδιαίτερα γνωστή, είναι 

η λεγόμενη B.F.G.S. η οποία πρωτοαναπτύχθηκε το 1970 από τους 

Broyden, Fletcher, Goldfarb και Shanno. 

Μια τελείως διαφορετική προσέγγιση των μη γραμμικών προβλημάτων 

με μη γραμμικότητα μη μονότονης φύσης προσφέρεται από τις 

μεθόδους μήκους του τόξου (που καλούνται από τους 

μαθηματικούς μέθοδοι συνέχειας). Οι πρώτοι τέτοιοι αλγόριθμοι 

προτάθηκαν από τους G. A. Wempner (1971) και E. Riks (1972). 

 

 

7) Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform, F.F.T.) 

 

J. W. Tukey                                                           J. Cooley 

Η ανάλυση Φουριέ είναι ένα πεδίο των εφαρμοσμένων 

μαθηματικών το οποίο προέκυψε από την προσπάθεια αναπαράστασης 

μίας συνάρτησης ως αθροίσματος 

απλούστερων περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επομένως 

κεντρική ιδέα στην ανάλυση Φουριέ είναι η προσπάθεια για κατανόηση 

των ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (η οποία μπορεί να αναπαριστά π.χ. 

ένα σήμα) μέσω διάσπασής της σε γνωστά, στοιχειώδη μέρη 

(αποσύνθεση). Η ανάστροφη διαδικασία, η κατασκευή μίας συνάρτησης 

από γνωστές, βασικές συναρτήσεις, ονομάζεται σύνθεση. Με τον 

όρο ανάλυση Φουριέ αναφερόμαστε και στις δύο διεργασίες. Η 

μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Ζοζέφ 

Φουριέ στην προσπάθειά του να ερευνήσει τη διάδοση της θερμότητας. 

Εισαγωγικά 

Ο όρος Μετασχηματισμός Φουριέ (MΦ) αναφέρεται σε μία αυστηρώς ορισμένη μαθηματική διεργασία η οποία αποσυνθέτει μία συνάρτηση σε άθροισμα απείρων περιοδικών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών 

συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι μία νέα συνάρτηση με διαφορετικό πεδίο ορισμού, επίσης γνωστή ως Μετασχηματισμός Φουριέ ή ως φάσμα, η οποία περιγράφει το κατά πόσο συμμετέχει κάθε στοιχειώδες ημίτονο στον σχηματισμό της αρχικής συνάρτησης (έστω f'). Ο ΜΦ αποτελεί οριακή περίπτωση (για συνάρτηση f με άπειρη περίοδο, δηλαδή ουσιαστικά απεριοδική) της σειράς Φουριέ. 

H σειρά Φουριέ εφαρμόζεται για περιοδική f και δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση με διακριτό πεδίο τιμών αντί για συνεχές (δηλαδή πεδίο τιμών σε μία σειρά Φουριέ είναι οιφυσικοί αριθμοί αντί για τους πραγματικούς). 

Για συναρτήσεις διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής, όπου οι φυσικοί αριθμοί είναι το πεδίο ορισμού της f, υπάρχουν οι διακριτές παραλλαγές του MΦ: ο Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (MΦΔΧ), με συνεχές πεδίο τιμών και κατάλληλος για απεριοδικές συναρτήσεις, και ο Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (ΔΜΦ ή DFT), με διακριτό πεδίο τιμών και κατάλληλος για περιοδικές συναρτήσεις. 

Για καθεμία από αυτές τις διεργασίες υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός, ο οποίος δέχεται ως είσοδο το φάσμα και δίνει ως έξοδο την αρχική συνάρτηση f. Όλοι οι τύποι μετασχηματισμών της ανάλυσης Φουριέ ανάγονται στον παρόμοιου σκοπού Μετασχηματισμό Λαπλάς και αποτελούν περιπτώσεις ολοκληρωτικού μετασχηματισμού. 

Εφαρμογές  

Η ανάλυση Φουριέ έχει πολλές επιστημονικές εφαρμογές — στη φυσική, στην επίλυση μερικών διαφορετικών εξισώσεων, στη θεωρία αριθμών, στη συνδυαστική ανάλυση, στηνεπεξεργασία σήματος, στην επεξεργασία εικόνας, στη στατιστική, στην κρυπτογραφία, στην αριθμητική ανάλυση, στην ακουστική, στην ωκεανογραφία, στην οπτική και σε πολλούς άλλους τομείς. 

Αυτή η ευρεία εφαρμογή της πηγάζει από πολλές χρήσιμες ιδιότητες των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών: 

Οι μετασχηματισμοί είναι γραμμικοί τελεστές και, με την κατάλληλη κανονικοποίηση, είναι επίσης μοναδιαίοι (μία ιδιότητα γνωστή ως το θεώρημα του Parseval ή, πιο γενικά, ως το θεώρημα Plancherel, και ακόμα πιο γενικά μέσω της δυαδικότητας Pontryagin). 

Οι μετασχηματισμοί είναι συνήθως αντιστρέψιμοι. 

Οι εκθετικές συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις της παραγώγισης, το οποίο σημαίνει ότι αυτή η αναπαράσταση μετασχηματίζει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές σε κανονικές αλγεβρικές. Ως εκ τούτου, η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος μπορεί να αναλυθεί σε κάθε συχνότητα ανεξάρτητα. 

Από το θεώρημα της συνέλιξης, οι μετασχηματισμοί Φουριέ μετατρέπουν την πολύπλοκη διαδικασία της συνέλιξης σε απλό πολλαπλασιασμό, το οποίο σημαίνει ότι παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο για να υπολογιστούν διαδικασίες που βασίζονται στη συνέλιξη, όπως πολλαπλασιασμός πολυώνυμων και πολλαπλασιασμός μεγάλων αριθμών. 

Η διακριτή εκδοχή του μετασχηματισμού Φουριέ (δες παρακάτω) μπορεί να εκτιμηθεί γρήγορα με τους υπολογιστές χρησιμοποιώντας αλγορίθμους γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ (Fast Fourier Transform, FFT). 

Ο μετασχηματισμός Φουριέ είναι επίσης χρήσιμος και ως μια συμπαγής αναπαράσταση ενός σήματος. Για παράδειγμα, η συμπίεση JPEG χρησιμοποιεί μια παραλλαγή του μετασχηματισμού Φουριέ (διακριτός μετασχηματισμός συνημίτονου) από μικρά τετράγωνα κομμάτια μιας ψηφιακής εικόνας. Οι συντελεστές Φουριέ του κάθε τετραγώνου στρογγυλοποιούνται στην μικρότερη αριθμητική ακρίβεια, και «αδύναμοι» συντελεστές απαλείφονται, έτσι ώστε οι εναπομείναντες συντελεστές να μπορούν να αποθηκευτούν πολύ συμπαγώς. Στην ανακατασκευή της εικόνας, κάθε τετράγωνό της ανακατασκευάζεται κατά προσέγγιση από τους μετασχηματισμένους συντελεστές Φουριέ που διατηρήθηκαν, οι οποίοι τότε μετασχηματίζονται αντίστροφα για να παραχθεί μία προσέγγιση της αρχικής εικόνας. 

 

Εφαρμογές στην επεξεργασία σήματος 

Όταν επεξεργαζόμαστε σήματα, όπως ήχο, ραδιοκύματα, κύματα φωτός, σεισμικά κύματα, ακόμα και εικόνες, η ανάλυση Φουριέ μπορεί να απομονώσει μεμονωμένους συντελεστές από μια σύνθετη κυματομορφή, συγκεντρώνοντάς τους για ευκολότερη ανίχνευση και/ή αφαίρεση. Μία μεγάλη οικογένεια τεχνικών επεξεργασίας σήματος αποτελείται από μετασχηματισμό Φουριέ ενός σήματος, χειρισμό 

μετασχηματισμένων με Φουριέ δεδομένων με απλό τρόπο και αντιστροφή του μετασχηματισμού. 

Μερικά παραδείγματα είναι τα παρακάτω: 

Τηλεφωνική κλήση: το τονικό σήμα για κάθε πλήκτρο τηλεφώνου, όταν πιέζεται, είναι το καθένα ένα σύνολο από δύο ξεχωριστούς τόνους (συχνότητες). Η ανάλυση Φουριέ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διαχωριστεί (ή αναλυθεί) το σήμα του τηλεφώνου, για να αποκαλύψει τους δύο τόνους από τους οποίους αποτελείται και συνεπώς ποιο κουμπί πατήθηκε. 

Περίφραξη θορύβου από ηχογραφήσεις για να αφαιρεθεί ο «ήσυχος» θόρυβος του παρασκηνίου με την εξάλειψη των συντελεστών Φουριέ που δεν υπερβαίνουν ένα καθορισμένο εύρος, 

Εξίσωση των ηχητικών ηχογραφήσεων με μία σειρά από ζωνοπερατά φίλτρα, 

Ψηφιακή ραδιοφωνική λήψη χωρίς υπερετερώδυνο κύκλωμα, όπως σε ένα σύγχρονο κινητό τηλέφωνο, 

Κρυσταλλογραφία ακτίνων Χ για την ανακατασκευή μιας κρυσταλλικής δομής από το πρότυπο της περίθλασής της, 

Μετασχηματισμός Φουριέ κυκλοτρονικών ιόντων για συντονισμό φασματογραφία μάζας για τον προσδιορισμό της μάζας των ιόντων από τη συχνότητα της κίνησης του κυκλοτρονίου σε ένα μαγνητικό πεδίο. 

Πολλές άλλες μορφές φασματοσκοπίας επίσης βασίζονται στους μετασχηματισμούς Φουριέ για να αποφασίσουν την τρισδιάστατη δομή και/ή οντότητα του δείγματος που αναλύετε, συμπεριλαμβανομένων των Συντονισμός Υπέρυθρων και Πυρηνικών Μαγνητικών Resonance φασματοσκοπιών. 

Δημιουργία του ηχητικού φασματογραφήματος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση ήχων. 

Σειρά Φουριέ 

Μια περιοδική συνάρτηση f μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα (σειρά) ημιτόνων και συνημιτόνων. Η συνάρτηση με περίοδο Τ μετασχηματίζεται σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων με περιόδους 

ακέραια πολλαπλάσια της Τ. Για   η σειρα Φουριέ γράφεται ως 

 

 

 

Ανάλυση της μπλε συμμετρικής συνάρτησης σε σειρά Φουριέ με μέχρι 5 όρους. 

με συντελεστές 

, 

 και 

. 

Το διάστημα ολοκλήρωσης [0, Τ] μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε της μορφής [c,Τ+c]. Συχνά χρησιμοποιείται επίσης το [‐Τ/2, Τ/2]. 

Στην πράξη αντί της άπειρης σειράς η συνάρτηση προσεγγίζεται με πεπερασμένο πλήθος προσθετέων. 

Με τη χρήση του τύπου του 

Όιλερ   με   η σειρα Φουριέ μπορεί να γραφεί με μιγαδικούς όρους ως 

 

με 

. 

 

 

Μετασχηματισμός Φουριέ 

Ο Μετασχηματισμός Φουριέ αποτελεί γενίκευση της σειράς Φουριέ με μιγαδικούς όρους. Αντί των διακριτών όρων   χρησιμοποιεί την 

συνεχή συνάρτηση  : 

 

με 

 

(Συνεχής) Μετασχηματισμός Φουριέ 

Πολύ συχνά, ο ακατάλληλος όρος μετασχηματισμός Φουριέ αναφέρεται στο μετασχηματισμό συναρτήσεων με συνεχή πραγματικά ορίσματα και αυτό παράγει μία συνεχή συνάρτηση συχνότητας, γνωστή ως κατανομή συχνότητας. Μία συνάρτηση μετασχηματίζεται σε μία άλλη και η διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εισόδου είναι ο χρόνος (t) και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εξόδου είναι η κανονική συχνότητα, ο μετασχηματισμός της συνάρτησης s(t) στη συχνότητα ƒ δίνεται από τον μιγαδικό αριθμό : 

 

Αποτιμόντας την ποσότητα αυτή για όλες τις τιμές του ƒ παράγεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού την συχνότητα. Στη συνέχεια η s(t) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ανασυνδυασμός μιγαδικών εκθετικών όρων όλων των δυνατών συχνοτήτων : 

 

που είναι ο τύπος του αντίστροφου μετασχηματισμού. Ο μιγαδικός αριθμός S(ƒ), οδηγεί 

τόσο στο πλάτος όσο και στη φάση ƒ της συχνότητας. 

Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (ΜΦΔΧ) 

Ο ΜΦΔΧ είναι το μαθηματικό δίδυμο των σειρών Φουριέ στο πεδίο του χρόνο. Έτσι, κάθε περιοδική άθροιση στο πεδίο συχνοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Φουριέ, της οποίας οι συντελεστές είναι δείγματα μιας σχετικής συνεχούς συνάρτησης χρόνου: 

που είναι γνωστή ως ο ΜΦΔΧ. Ο ΜΦΔΧ της ακολουθίας s[n] είναι επίσης ο μετασχηματισμός Φουριέ της διαμορφωμένης κρουστικής συνάρτησης. Μπορούμε επίσης να σημειώσουμε ότι:   

 

Κατά συνέπεια, μια κοινή πρακτική είναι να μοντελοποιούμε την "δειγματοληψία" ως πολλαπλασιασμό από την κρουστική συνάρτηση, το οποίο φυσικά είναι "πιθανό" μόνο σε μία καθαρά μαθηματική λογική. 

Οι συντελεστές της σειράς Φουριέ ορίζονται : 

 

είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός και μπορεί πράγματι να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές είναι απλώς δείγματα της s(t) σε διακριτά διαστήματα του T:  s[n] = T•s(nT). 

Έτσι έχουμε το σημαντικό αποτέλεσμα ότι όταν μία διακριτή ακολουθία δεδομένων s[n] αντιπροσωπεύει δείγματα μιας υποκείμενης συνεχούς συνάρτησης s(t), τότε μπορεί κανείς να συμπεράνει κάτι για το μετασχηματισμό Φουριέ αυτής, S(ƒ). Ότι είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος στην ψηφιακή επεξεργασία σημάτων. Επιπλέον, υπό ορισμένες εξιδανικευμένες συνθήκες, μπορεί κάποιος να ανακτήσει θεωρητικά ακριβώς τις S(ƒ) και s(t). Μία ικανή συνθήκη για την τέλεια ανάκτηση είναι ότι το μη μηδενικό ποσοστό της S(ƒ) να περιορίζεται σε ένα γνωστό διάστημα συχνοτήτων πλάτους 1/T. Όταν αυτό το διάστημα είναι [‐0.5/T, 0.5/T] ο τύπος ανακατασκευής είναι ο τύπος παρεμβολής των Whittaker – Shannon. 

Ένας άλλος λόγος για να ενδιαφερθούμε για την S1/T(ƒ) είναι ότι συχνά παρέχει μια εικόνα για το μέγεθος της αναδίπλωσης που προκαλείται από τη διαδικασία δειγματοληψίας. 

Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (ΔΜΦ) 

Ο ΜΦΔΧ μιας περιοδικής ακολουθίας, sN[n], με περίοδο N, γίνεται άλλη μία κρουστική συνάρτηση, που διαφοροποιείται από τους συντελεστές μιας σειράς Φουριέ. Και ο ολοκληρωτικός τύπος για τους συντελεστές απλοποιείται σε μία άθροιση : 

     όπου    είναι το άθροισμα 

πάνω από κάθε n‐ακολουθία μήκους N. 

Η Sk ακολουθία είναι γνωστή ως ΔΜΦ της sN. Είναι, επίσης, N‐περιοδικό, γι’ αυτό ποτέ δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστούν 

περισσότεροι από N συντελεστές. Όσον αφορά την Sk, ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από: 

     όπου    το άθροισμα πάνω από 

κάθε k‐ακολουθία μήκους N. 

Όταν το sN[n] εκφράζεται ως μία περιοδική άθροιση μιας άλλης 

συνάρτησης, s[n] = T•s(nT):     

οι συντελεστές είναι ισοδύναμοι με δείγματα της S1/T(ƒ) σε 

διακριτά διαστήματα 1/P = 1/NT:     

Στις περισσότερες περιπτώσεις, το N επιλέγεται ίσο με το μήκος του μη μηδενικού τμήματος του s[n]. Η αύξηση του N οδηγεί σε ακόμα μικρότερα δείγματα του ενός κύκλου του  S1/T(ƒ). Η μείωση του N οδηγεί σε επικάλυψη στο πεδίο του χρόνου, το οποίο which αντιστοιχεί σε αποδεκατισμό στο πεδίο των συχνοτήτων. Στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, η ακολουθία s[n] αντιπροσωπεύει μία μακρύτερη ακολουθία η οποία έχει περικοπεί από την εφαρμογή μιας πεπερασμένης συνάρτησης παραθύρου ή ενός FIR φίλτρου. 

Ο ΔΜΦ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ, ο οποίος των καθιστά ένα πρακτικό και σημαντικό μετασχηματισμό στους υπολογιστές. 

8) Μη γραμμικός προγραμματισμός (nonlinear programming) 

 

G. Dantzig 

Η μέθοδος Simplex είναι ένας πολύ γνωστός κι εύχρηστος αλγόριθμος 

για γραμμικό προγραμματισμό, δημιουργημένη από τον  G. Dantzig, 

κυρίως για προβλήματα βελτιστοποίησης με αντικειμενικώς γραμμικές 

συναρτήσεις και περιορισμούς στην γραμμική ανισότητα των 

ενδιάμεσων βημάτων επίλυσης. Παρ'όλ'αυτά, τα περισσότερα 

προβλήματα βελτιστοποίησης στην υπολογιστική μηχανική σχετίζονται 

με αντικειμενικώς μη γραμμικές συναρτήσεις. 

Σε διακριτό επίπεδο, τα απλούστερα προβλήματα αυτού του τύπου 

είναι εκείνα του τετραγωνικού προγραμματισμού (quadratic 

programming, Q.P.), με αντικειμενικώς τετραγωνικές συναρτήσεις και 

γραμμικούς περιορισμούς. Τέτοιου είδους προβλήματα εμφανίζονται 

συχνά σε διάφορους τομείς της υπολογιστικής μηχανικής, κι εν 

προκειμένω όσων αφορά τους Πολιτικούς Μηχανικούς, στην θεωρία 

της ελαστοπλαστικότητας. Η σημαντικότητα αυτής της κλάσης των 

θεμάτων συνίσταται και στο ότι η επίλυση πιο περίπλοκων 

προβλημάτων μπορεί να προσεγγιστεί θεωρώντας μια σειρά από 

απλούστερα προβλήματα Q.P. 

 Πρώιμη δουλειά στον μη γραμμικό προγραμματισμό έγινε από τους 

Goldfarb (1969), Murtagh και Sargent (1969), McCormick (1970), 

Fletcher (1971) και Murray (1971). Μέθοδοι βελτιστοποίησης μεγάλης 

κλίμακας αναπτύχθηκαν από τους Griffith και Stewart (1961) και 

Murtagh και Saunders (1978). 

 

9) "Ελαφρές" υπολογιστικές μέθοδοι ("soft" computing methods) 

 

Ο... Βούδας (μην τρελαίνεστε, διαβάστε παρακάτω και θα καταλάβετε) 

 

Παραδοσιακά, η υπολογιστική μηχανική βασίστηκε σε αυστηρές 

μαθηματικές νόρμες που περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, την θεωρητική 

μηχανική, την αριθμητική ανάλυση, την συναρτησιακή ανάλυση κ.τ.λ. 

Εν τούτοις, από τις αρχές του '80 άρχισαν να εφαρμόζονται νέου τύπου 

υπολογιστικές διαδικασίες, οι οποίες έχει επικρατήσει να αναφέρονται 

ως "ελαφρές" υπολογιστικές μέθοδοι. Τέτοιου είδους διαδικασίες 

βασίζονται σε μια πιο "ευρετική" αντιμετώπιση του προβλήματος παρά 

σε αυστηρά μαθηματικά κι εφαρμόζονται σε τομείς όπως η τεχνητή 

νοημοσύνη. Παρά την χλιαρή έως καχύποπτη αρχική αντιμετώπιση των 

μεθόδων αυτών, η εκπληκτική δυναμική τους σε ορισμένους τομείς τις 

έχουν προσδώσει ιδιαίτερη αξία σε αρκετά πεδία της υπολογιστικής 

μηχανικής. Τρεις κύριες τεχνικές είναι τα Νευρωνικά Δίκτυα, 

οι Γενετικοί Αλγόριθμοι και η λεγόμενη Ασαφής Λογική. Και οι τρεις 

μπορούν να θεωρηθούν ως τεχνικές βελτιστοποίησης, αλλά στηρίζονται 

σε εντελώς διαφορετικές μεθοδολογίες. 

Στοιχεία "ελαφρής" υπολογιστικής λογικής είχαν εμφανιστεί ήδη από το 

'40. Πιονέροι σε αυτό το πεδίο θεωρούνται οι McCulloch και Pitts στα 

Νευρωνικά Δίκτυα, ο Holland στους Γενετικούς Αλγορίθμους και ο 

Zadeh στην Ασαφή Λογική ‐ αν και αρκετοί μαθηματικοί υποστηρίζουν 

ότι η Ασαφής Λογική εφευρέθηκε από τον Βούδα! Στις δεκαετίες του '60 

και του '70 το όλο αυτό πεδίο μελετήθηκε εμβριθώς από τους 

επιστήμονες των υπολογιστών, αλλά μόνο στις αρχές του '80 άρχισε η 

συστηματική χρησιμοποίηση των εν λόγω μεθόδων. 

 

10) Μέθοδοι πολλαπλής κλίμακας (multiscale methods) 

 

A. Brandt 

 

Πολλά προβλήματα της υπολογιστικής μηχανικής περιλαμβάνουν 

περισσότερες από μία κλίμακες τιμών. Επιπροσθέτως, σε αρκετές 

περιπτώσεις οι διαφορετικές κλίμακες αλληλεπιδρούν με έναν 

ιδιαίτερα περίπλοκο και μπερδεμένο τρόπο. Αυτό μπορεί να συμβεί σε 

δύο επίπεδα: το φυσικό επίπεδο, όταν το υπό μελέτη φαινόμενο 

περιλαμβάνει ταυτόχρονα μικροκλίμακα και μακροκλίμακα (για 

παράδειγμα, στην αερακουστική και την θραυστομηχανική) και το 

αριθμητικό επίπεδο, όπου η φτωχή σε ακρίβεια ανάλυση της μίας 

κλίμακας μπορεί να αλλοιώσει την ακρίβεια της άλλης (νόμος 

μετάδοσης του σφάλματος σε κλίμακες). Οι μέθοδοι που 

αντιμετωπίζουν τέτοιου είδους προβλήματα είναι γνωστές ως μέθοδοι 

πολλαπλής κλίμακας. Διάσημη τέτοια μέθοδος είναι η τεχνική του 

πολλαπλού πλέγματος, που πρωτοεφευρέθηκε το 1977 από τον A. 

Brandt και η οποία μπορεί να εννοηθεί ως μια επαναληπτική μέθοδος 

αλγεβρικής επίλυσης που απαιτεί μόνο διαδικασίες του τύπου Ο(Ν). 

Μια άλλη προσέγγιση είναι αυτή των κυματίων η οποία, σαν τα απλά 

ημίτονα και συνημίτονα, συνίσταται στο "χτίσιμο" ενός αριθμού blocks 

από γενικές συναρτήσεις που όμως είναι τοπικές κι έχουν ειδικές 

ιδιότητες μετάφρασης και διαστολής (για την εύρεση των ακροτάτων 

τους) που τους επιτρέπουν να επιλύουν διαφορετικές κλίμακες. Η 

μέθοδος των κυματίων εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην διατριβή του 

A. Haar  to 1909, αλλά μορφοποιήθηκε στην γνωστή σήμερα μορφή της 

από το 1985 και μετά από τους S. Mallat, Y. Meyer και I. Daubechies. Η 

έρευνα στο πεδίο αυτό είναι ακόμα δυναμική.  

Νεότερες μέθοδοι πολλαπλής κλίμακας που συνδυάζονται και με την 

F.E.M. αλλά είναι ακόμα σε ερευνητικό στάδιο περιλαμβάνουν την 

μέθοδο της μεταβολικής πολλαπλής κλίμακας του T. J. R. Hughes, την 

μέθοδο του διαχωρισμού της ενότητας των J. M. Melenk και I. Babuoka 

και την προσέγγιση της ιεραρχικής μοντελοποίησης της ομάδας του J. T. 

Oden. 

Δευτεροβάθμια εξίσωση(Διακρίνουσα) 

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: 

 

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με 

 

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί. 

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου 

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση   στη 

μορφή   ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί. Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με   και   και τους χωρίζουμε από τη σταθερά 

γ:   

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο: 

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος 

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο 

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται 

διακρίνουσα  . Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα: 

 

Επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης), η διακρίνουσα (δεξί μέρος της εξίσωσης) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός,  , για να έχει η εξίσωση λύση στους πραγματικούς. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει: 

 Οι τύποι του Βιετά 

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή: 

 , και 

 

Αν συμβολίσουμε με   το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με   το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής: 

 

όπου 

, και 

  

Αλγόριθμος του Ευκλείδη 

Ορισμός: 

Στα μαθηματικά, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ή Ευκλείδειος αλγόριθμος , 

είναι μια αποτελεσματική μέθοδος για τον υπολογισμό του μέγιστου 

κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ακέραιων αριθμών, είναι επίσης γνωστός ως 

ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας ή υψηλότερος κοινός παρονομαστής. 

Το όνομά του προέρχεται από τον Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, ο 

οποίος τον περιγράφει στα βιβλία VII και X του βιβλίου του Στοιχεία. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γενικότερες πληροφορίες για τον Αλγόριθμο από εξειδικευμένα 

πανεπιστήμια σε αυτόν τον κλάδο  

 Όταν λέμε ότι ένα πρόβλημα λύνεται αλγοριθμικά, εννοούμε, ότι υπάρχει ένα πρόγραμμα σε υπολογιστή που παράγει το σωστό αποτέλεσμα για κάθε είσοδο αν το τρέξουμε για όσο χρόνο χρειαστεί και του δώσουμε όση μνήμη χρειάζεται. Στη δεκαετία του 1930 πριν την εμφάνιση των υπολογιστών, οι μαθηματικοί δούλευαν εντατικά για να μελετήσουν τους αλγόριθμους, οι οποίοι μεταφράζονταν σε ένα ξεκάθαρο σύνολο εντολών που θα ακολουθούνταν για να λύσουν το πρόβλημα ή να υπολογίσουν μια συνάρτηση. Εξήχθησαν και διερευνήθηκαν διάφορα τυπικά μοντέλα υπολογισμού. Η πιο πολύ έμφαση σ' αυτή τη μελέτη, που ονομάστηκε θεωρία υπολογισμού, δόθηκε στην περιγραφή και τον χαρακτηρισμό τέτοιων προβλημάτων που μπορούσαν να λυθούν αλγοριθμικά και στο να εξαιρέσουν τα προβλήματα που δεν μπορούσαν να λυθούν. Ένα από τα πιο σημαντικά ζητήματα στην αρνητική περίπτωση ήταν το λεγόμενο "πρόβλημα τερματισμού" (halting problem). Το πρόβλημα τερματισμού είναι το να καθορίσεις πότε ένας τυχαίος δοθείς αλγόριθμος (ή πρόγραμμα υπολογιστή) θα μπεί σε ατέρμονα βρόχο, ενώ δουλεύει σε δοθείσα είσοδο. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει πρόγραμμα που να λύσει αυτό το πρόβλημα. 

 

Κάθε αλγόριθµος απαραίτητα ικανοποιεί τα επόµενα κριτήρια:  

• Είσοδος (input). Καµία, µία ή και περισσότερες τιµές δεδοµένων 

πρέπει να δίνονται ως  

είσοδοι στον αλγόριθµο. Η περίπτωση που δεν δίνονται τιµές 

δεδοµένων εµφανίζεται όταν  

ο αλγόριθµος δηµιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες πρωτογενείς τιµές 

µε τη βοήθεια των  

συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθµών, ή µε την βοήθεια άλλων 

απλών εντολών.  

• Έξοδος (output). Ο αλγόριθµος πρέπει να δηµιουργεί τουλάχιστον µία 

τιµή δεδοµένων ως  

αποτέλεσµα προς το χρήστη ή προς έναν άλλο αλγόριθµο.  

• Καθοριστικότητα (definiteness). Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται 

χωρίς καµία αμφιβολία  

για τον τρόπο εκτέλεσης της. Λόγου χάριν, µία εντολή διαίρεσης πρέπει 

να θεωρεί και την  

περίπτωση, όπου ο διαιρέτης λαµβάνει τη µηδενική τιµή.  

• Περατότητα (finiteness). Ο αλγόριθµος να τελειώνει µετά από 

πεπερασμένα βήµατα  

εκτέλεσης των εντολών του. Μία διαδικασία που δεν τελειώνει µετά 

από ένα συγκεκριμένο  

αριθµό βηµάτων δεν αποτελεί αλγόριθµο, αλλά λέγεται απλά 

υπολογιστική διαδικασία  

(computational procedure).  

• Αποτελεσματικότητα (effectiveness). Κάθε µεµονωµένη εντολή του 

αλγορίθµου να είναι  

απλή. Αυτό σηµαίνει ότι µια εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί, αλλά 

πρέπει να είναι και  

εκτελέσιµη. 

Αλγόριθμος βοηθά τν εξέλιξη της επιστήμης 

Τα τμήματα έρευνα κι εξέλιξης πολλών εταιρειών που ασχολούνται με 

τις μπαταρίες των ηλεκτρικών αυτοκινήτων να αναζητούν συνεχώς νέα 

υλικά και τεχνολογίες, όμως τελικά μπορούν πιο απλές λύσεις 

να  καταφέρουν να κάνουν τις υπάρχουσες πιο αποτελεσματικές. 

Το Jacobs School of Engineering (UCSD) που βρίσκεται στο San Diego 

των ΗΠΑ, μελετά μία πιο προωθημένη λύση που αφορά τη βελτίωση 

των μπαταριών ιόντων λιθίου που είναι από τις πλέον διαδεδομένες. Η 

Σχολή έλαβε ήδη χρηματοδότηση ύψους 4 εκατομμυρίων δολαρίων 

από το Department of Energy (DOE), το αντίστοιχο Υπουργείο Ενέργειας 

και η έρευνα θα συνεχιστεί εμπλέκοντας και τις 

εταιρείες Bosch και Cobasys που διαθέτουν μπαταρίες ιόντων λιθίου. 

 

Προτάσεις που αφορούν αυτήν την εξέλιξη  

 

Η επιστημονική ομάδα προτείνει έναν νέο αλγόριθμο για τις μονάδες 

διαχείρισης των μπαταριών, ο οποίος θα προσπαθεί να προσομοιώσει 

τις φυσικές διεργασίες που γίνονται εσωτερικά των μπαταριών κι όχι 

μόνο να ελέγχει την τάση και την ένταση.  Αν ευοδωθεί το έργο 

αναμένεται να μειωθεί το κόστος των μπαταριών κατά 25% και 

παράλληλα ο χρόνος φόρτισης θα ελαττωθεί στο μισό, πράγμα που θα 

κάνει τα ηλεκτρικά αυτοκίνητο ακόμη πιο εύχρηστα στην 

καθημερινότητα. 

   

Βιβλιογραφία 

www.wikipedia.gr 

Εγκυκλοπαίδεια ΠΑΠΥΡΟΣ ΛΑΡΟΥΣ 

Εγκυκλοπαίδεια ΔΟΜΗ 

www.megalesistories.blogspot.gr