ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ

ΤΗΣ

ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

DIALOGVS DE SYSTEMATE MVNDI

"Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo"

1632

«Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραμμένη σε εκείνο το μεγάλο βιβλίο που βρίσκεται συνεχώς μπροστά στα μάτια μας, εννοώ το Σύμπαν. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε χωρίς να μάθουμε πρώτα τη γλώσσα του και να αντιληφθούμε το νόημα των συμβόλων της.

Το βιβλίο είναι γραμμένο στη γλώσσα των Μαθηματικών…».

Γαλιλαίος (16ος αιώνας)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 16

1.1. Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

“ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο . Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι.”

Charles Lamb (19ος αιώνας)

“Κάθε βάσιμη επιστημονική θεωρία, είτε αναφέρεται στο χρόνο και στο χώρο, είτε σε οποιαδήποτε άλλη έννοια, οφείλει να στηρίζεται στην πλέον αποτελεσματική φιλο-σοφία της επιστήμης: τη θετικιστική προσέγγιση. Σύμφωνα με το συγκεκριμένο τρόπο σκέψης, μια επιστημονική θεωρία συνιστά ένα μαθηματικό πρότυπο που περι-γράφει και κωδικοποιεί τις παρατηρήσεις μας. Αν κάποιος ακολουθεί τη θετικιστική προσέγγιση δεν μπορεί να πει τι είναι στην πραγματικότητα ο χρόνος, όμως μπορεί να περιγράψει αυτό το οποίο θεωρείται ως ένα καλό μαθηματικό πρότυπο του χρό-νου και να αναφέρει τις προβλέψεις αυτού του προτύπου. Ο Isaac Newton, στο έργο του Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο. Στο πρότυπο αυτό, ο χρόνος και ο χώρος συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονται τα γεγονότα, χωρίς όμως να επηρεάζεται από αυτά. Ο χρόνος είναι διαχωρισμένος από το χώρο και νοείται ως μια ανεξάρτητη γραμμή, κάτι σαν σιδηροδρομική γραμμή, που εκτείνεται επ’άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις. Θεωρείται επίσης παντοτινός, υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα.”.

Stephen Hawking* (20ος αιώνας)

Ο χωρο-χρόνος του Νεύτωνα Ο χωρόχρονος του Αϊνστάιν

(Κλασική Μηχανική) (Σχετικιστική Μηχανική)

* Από το βιβλίο του Stephen Hawking: «The Universe in a Nutshell».

1.1. Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

17

Ο Νεύτωνας, στο βιβλίο του Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, παρουσί-ασε το πρώτο μαθηματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο. Στο πρότυπο αυτό, σε αντίθεση με την αντίληψη που επικρατούσε από την αρχαιότητα, ο χώρος και ο χρό-νος δεν έχουν αρχή, είναι διαχωρισμένοι μεταξύ τους και συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονται τα γεγονότα, χωρίς να επηρεάζεται από αυτά.

Στη σύγχρονη μαθηματική θεώρηση, το γεωμετρικό πρότυπο αναπαράστασης του κλασικού χωρο-χρόνου, που ανταποκρίνεται στην ανυπαρξία χωρικής και χρονικής αρχής, εκφράζεται με έναν τετραδιάστατο αφινικό χώρο . Τα σημεία του καλού-νται γεγονότα και αποκτούν διανυσματική υπόσταση στον πραγματικό διανυσμα-τικό χώρο . Αυτό διασφαλίζεται διαμέσου μιας απεικόνισης:

4

4

4 4 4

που σε κάθε ζεύγος γεγονότων προσαρτά ένα μοναδικό διάνυσμα κατά τρόπο ώστε να πληρούνται οι αξιωματικές συνθήκες:

4, a b 4 ab

*

Αν δοθεί ένα διάνυσμα 4 , σε κάθε γεγονός 4a προσαρτάται ένα

μοναδικό γεγονός 4b τέτοιο ώστε:

ab .

Για κάθε τριάδα γεγονότων 4, , a b c ισχύει:

ab bc ac .

Η μετάβαση από ένα γεγονός σε ένα γεγονός πραγματοποιείται με τη μεταφορά που ορίζεται από το διάνυσμα

4a 4b4

ab και όλες αυτές οι τετραδιάστατες μεταφορές σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο ισόμορφο προς τον πραγματικό διανυσματικό χώρο . Ο χρόνος ορίζεται ως προβολή του τετραδιάστατου χώρου των μεταφορών στην πραγματική ευθεία που πλέον θα καλείται χρονικός άξονας:

4

4: . * Η 1η συνθήκη διασφαλίζει τη δυνατότητα μεταφοράς των γεγονότων μέσα στο χωρο-χρόνο 4 διαμέσου των διανυσμάτων του πραγματικού διανυσματικού χώρου : 4

abb a .

Η 2η συνθήκη εκφράζει την κλασική διανυσματική σχέση του Chasles και από εδώ απορρέει ότι:

0

aa και ab ba .

Στο Παράρτημα 1, υπενθυμίζουμε τη γεωμετρική κατασκευή μιας n-διάστατης αφινικής δομής σε ένα σύνολο Ε, τους νόμους που διέπουν αυτή τη δομή και το πώς τα στοιχεία του αποκτούν διανυσματική

υπόσταση στον προσαρτημένο πραγματικό διανυσματικό χώρο . n- Βλ. Παράρτημα 1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

18

)

Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο γεγονότα a και b προσμετράται με τον πραγματικό αριθμό ( ) ( abb a και όταν ( ) 0 b a τότε τα γεγονότα λέγονται ταυτόχρονα. Ο πυρήνας της προβολής αυτής στο χρονικό άξονα αποτελείται από τις τετραδιάστατες μεταφορές που μεταφέρουν κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του:

4 / ( ) 0 ab abKer .

Σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, τα ταυτόχρονα γεγονότα σχηματίζουν έναν τρισ-διάστατο αφινικό χώρο προσαρτημένο στον πραγματικό διανυσματικό χώρο . Έτσι, ο χωρο-χρόνος διασπάται σε καρτεσιανό γινόμενο “χώρου” και “χρόνου”:

3 3

4 3 1

και προσαρτάται στον αριθμητικό χωρο-χρόνο που ορίζεται ως καρτεσιανό γινό-μενο του ευκλείδειου χώρου με το χρονικό άξονα : 3

4 3 .

Στον αριθμητικό χώρο-χρόνο τα γεγονότα αποκτούν χωρικές και χρονικές συντεταγ-μένες και η χωρική απόσταση δύο ταυτόχρονων γεγονότων ( , )x ta και προσμετράται με την ευκλείδεια μετρική:

( , )y tb*

3 3: × , ( , ) || ||d d x y x y .

Η γεωμετρική δομή του κλασικού χωρο-χρόνου που χαρακτηρίζεται από τον αφινικό της χαρακτήρα, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου, καλείται γαλιλαϊκή δομή.

Μετάβαση από ένα γεγονός σε ένα άλλο γεγονός στον κλασικό χωρο-χρόνου.

* Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει φυσική μετρική που να προσμετρά συγχρόνως τις χωρικές αποστάσεις και τα χρονικά διαστήματα γιατί, στο πλαίσιό της, δεν υφίσταται παγκόσμια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας όπως συμβαίνει με την ταχύτητα του φωτός στη Θεωρία της Σχετικότητας.

1.2. ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 19

1.2. ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

Οι μετασχηματισμοί του χωρο-χρόνου που αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δομή του καλούνται γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί. Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο, πρό-κειται για τους μετασχηματισμούς: *

3 3: g

που διατηρούν τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων, τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων, το χωρικό προσανατολισμό και τους μετασχηματισμούς αδρανειακής μετατόπισης στο χωρο-χρόνο. Συνεπώς, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από τη σύνθεση των χρονικών μεταφορών, των χωρικών μεταφορών, των χωρικών στροφών και των μετασχηματισμών αδρανειακής μετατόπισης:

χρονική μεταφορά: 3 3 ( , ) ( , )ox t x t t ot ,

χωρική μεταφορά: 3 3

( , ) ( , )ox t x x t , 3ox

χωρική στροφή: 3 3 ( , ) ( , )x t S x t , (3)S

αδρανειακή μετατόπιση: 3 3

( , ) ( , )ox t x v t t . 3ov

Το σύνολο των γαλιλαϊκών μετασχηματισμών, εφοδιασμένο με την πράξη της σύν-θεσης, αποτελεί μη αντιμεταθετική ομάδα που καλείται γαλιλαϊκή ομάδα και συμ-βολίζεται . Κάθε στοιχείο της καθορίζεται από τις τιμές 10 παραμέτρων: 3( G )

ot , , , 31 2, 3( , , )o o o ox x x x 3

1 2, 3( , , )o o o ov v v v (3)S .†

* Από φυσική άποψη, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί εκφράζουν τη χρονική ομογένεια, τη χωρική ομογένεια,

τη χωρική ισοτροπία και την αδρανειακή συμπεριφορά στο χωρο-χρόνο . 3 1

† Το σύμβολο δηλώνει την ομάδα στροφών στον ευκλείδειο χώρο . (3) 3- Βλ. Παράρτημα 2.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Η γαλιλαϊκή ομάδα δρα στον αριθμητικό χωρο-χρόνο μετασχηματίζοντας κάθε γεγο-νός σε ένα άλλο γεγονός ως εξής:

3 3: g , ( , ) (S , )o o ox t x v t x t t g , 3( ) Gg ,

και, στο πλαίσιο του λογισμού των πινάκων, η δράση της αναπαρίσταται ως εξής:

11 1 1

22 2 2

33 3 3

.

. . .

. .

. . .

0 0 0 1

oo

oo

oo

o

xv x x

xS v x x

xv x x

tt t

Τα στοιχεία της γαλιλαϊκής ομάδας που έχουν μηδενική χρονική παράμετρο, , μετασχηματίζουν κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του γεγονός. Κάθε γαλιλαϊκός μετα-σχηματισμός διατηρεί εξ’ορισμού τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονό-των, άρα ορίζει μια ισομετρία στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, η οποία επιπλέον οφείλει να διατηρεί το χωρικό προσανατολισμό, άρα πρόκειται για χωρική στροφή ακολουθούμενη από μεταφορά:

o 0t

*

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

. . .

. .

. . .

x x v t

x S x v t x

x x v t

x

x

Μετασχηματισμός στροφής σε χώρο ταυτόχρονων γεγονότων.

* Κάθε ισομετρία αποσυντίθεται μονοσήμαντα σε ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό ακολουθούμενο από μια μετα-φορά. Οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα των βάσεων και εκείνοι που επιπλέον διατηρούν τον προσανατολισμό τους είναι ακριβώς οι χωρικές στροφές, δηλαδή τα στοιχεία της ομάδας .

(3)

- Βλ. Παράρτημα 2.


Κάθε χωρική στροφή διαθέτει ένα μοναδικό ιδιοάξονα που προσανατολίζεται με την επιλογή ενός μοναδιαίου ιδιοδιανύσματός του και η στροφή πραγματοποιείται γύρω από αυτόν μέσα στον ευκλείδειο χώρο . Το μοναδιαίο αυτό ιδιοδιάνυσμα και δυο ακόμη κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα του ορθογώνιου προς τον ιδιο-άξονα επιπέδου, με κατάλληλη διάταξη, συγκροτούν μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου . Σε αυτή τη βάση, η χωρική στροφή, ακολουθούμενη από τη μεταφορά, εκφράζεται ως εξής:

3

3

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x x

x x

x x

v t x

v t x

v t x

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος των πινάκων των γραμμικών μετασχηματισμών διατηρείται αναλλοίωτο κατά την αλλαγή βάσης, προκύπτει:

2cos 1 STr .

Από τη σχέση αυτή προσδιορίζεται η μη προσανατολισμένη γωνία στροφής και ο προσανατολισμός της καθορίζεται από τη φορά του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος με το οποίο έχει ήδη προσανατολιστεί ο ιδιοάξονας μέσα στον ευκλείδειο χώρο . Στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου , αν το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα που ορίζει τον άξονα της χωρικής στροφής είναι

33= ( 1 2 3, , )

, τότε ο μετασχηματισμός στροφής εκφράζεται με τον πίνακα:*

1 2 3

21 1 2 3 1 3

2(e ,e ,e ) 1 2 3 2 2 3 1

21 3 2 2 3 1 3 .

(1 cos ) cos (1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin )

(1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos (1 cos ) (sin )

(1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos

S

2

)

Η γαλιλαϊκή ομάδα δρα αφινικά στον αριθμητικό χωρο-χρόνο, όμως, θεωρώντας μια επιπλέον συμβολική διάσταση, έχουμε τη δυνατότητα να την ταυτί-σουμε ισομορφικά με μια υποομάδα της γραμμικής ομάδας και έτσι να προ-κύψει η ισοδύναμη πενταδιάστατη γραμμική δράση:

3( G

5GL( )

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

.

. . .

. .

. . .

0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 1

o o

o o

o o

o

v x x x

S v x x x

v x x x

t t t

* - Βλ. Παράρτημα 2.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Τα χαρακτηριστικά ενός γαλιλαϊκού μετασχηματισμού.

Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο θεωρούμε το μετασχηματισμό:

3 3: g

που μετασχηματίζει κάθε γεγονός 1 2 3( , , , )x x x ta στο γεγονός 1 2 3( , , , )x x x t b ως εξής:

1 1 2 3 1

2 1 2 3 2

3 1 2 3 3

2 1 2

3 3 3

2 2 1

3 3 3

1 2 2

3 3 3

o o

o o

o o

1

2

3

x x x x v t x

x x x x v t x

x x x x v t x

t t

Πρόκειται για το μετασχηματισμό:

( , ) ( , )o o ox t S x v t x t t g

με παραμέτρους:

0ot , , , 31 2 3( , , )o o o ox x x x 3

1 2 3( , , )o o o ov v v v

και η χωρική στροφή, στην κανονική βάση, ορίζεται ως εξής:

.

2 1 21

2 2 13

1 2 2

S

Διαπιστώνουμε ότι ο μετασχηματισμός αυτός είναι γαλιλαϊκός:

TS S I και det S 1 , άρα (3)S ,

και, λαμβάνοντας υπόψη ότι 0ot , εκφράζεται στην κανονική βάση ως εξής:

11 1

22 2

33 3

.

2 / 3 1/ 3 2 / 3

2 / 3 2 / 3 1/ 3

1/ 3 2 / 3 2 / 3

0 0 0 1 0

o o

o o

o o

vx x

vx x

vx x

t t

1

2

3

x

x

x

Ο μηδενισμός της χρονικής παραμέτρου σημαίνει ότι ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός μετασχηματίζει κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του, άρα στον τρισδιάστατο αριθμητικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, εφοδιασμένο με την κανονική του βάση, ο επα-γόμενος μετασχηματισμός διατυπώνεται ως εξής:


v t x

v t x

v t x

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

2 / 3 1/ 3 2 / 3

2 / 3 2 / 3 1/ 3

1/ 3 2 / 3 2 / 3

x x

x x

x x

3

Στο μετασχηματισμό αυτό, εκτός από την αδρανειακή μετατόπιση και τη χωρική με-ταφορά, υπεισέρχεται μια χωρική στροφή της οποίας ο ιδιοάξονας ορίζεται ως εξής:

1 2x x x

Συγκροτούμε μια ορθοκανονική βάση αποτελούμενη από το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα:

( 3 / 3, 3 /3, 3 / 3)

και συμπληρώνοντας την επιλογή αυτή με δυο ορθογώνια μεταξύ τους μοναδιαία δι-ανύσματα

και

του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου:

31 2 3 1 2 3( , , ) / 0x x x x x x .

Ο επαγόμενος μετασχηματισμός στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκφράζεται στη θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση { , , }

ως εξής:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x x

x x

x x

v t x

v t x

v t x

Επειδή το ίχνος ενός πίνακα δεν επηρεάζεται από την αλλαγή βάσης προκύπτει ότι:

2cos 1 2 / 3

και ο προσανατολισμός του ιδιοάξονα, σε συνδυασμό με το θετικό προσανατολισμό της ορθοκανονικής βάσης, καθορίζουν τον προσανατολισμό της στροφής: ./ 3 * Άρα, ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός περιέχει μια αδρανειακή μετατόπιση και μια χωρική μεταφορά:

o ox v t x ,

εμπεριέχει μια στροφή γωνίας / 3 που πραγματοποιείται στο χώρο των ταυτό-χρονων γεγονότων περί τον άξονα που ορίζεται από το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα .

* Ο θετικός προσανατολισμός της ορθοκανονικής βάσης { , , }

δηλώνεται με τη σχέση:

.

Ο προσανατολισμός της γωνίας στροφής γύρω από τον άξονα του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος

προσδιορίζεται

και απευθείας λαμβάνοντας υπόψη ότι για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα

ισχύει:

sin det ,S ,

.



24

1.3. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

Οι αριστοτελικές αντιλήψεις για τα φυσικά φαινόμενα διαμόρφωσαν το πλαίσιο στο οποίο, για πολλούς αιώνες, αναπτύχθηκε η προβληματική για την έννοια της κίνησης. Ο Γαλιλαίος, πρώτος εισηγήθηκε τη ριζική αναθεώρηση της έως τότε επικρατούσας αντίληψης και, κατόπιν, ο Νεύτωνας, με μια αφαιρετική θεώρηση, εισήγαγε την έν-νοια της κίνησης ενός σημειακού γεωμετρικού προτύπου, που καλούμε υλικό σημείο. Η κίνηση ενός υλικού σημείου, από μαθηματική άποψη, εκφράζεται στον ευκλείδειο χώρο 3 ως συνεχής * απεικόνιση ορισμένη στο χρονικό άξονα ή σε ένα διάστημά

του:

ο χώρο και το γράφη-ά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο

3: Ix .

Η τροχιά της κίνησης αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορί-ζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον ευκλείδει 3

3 . μ

Στιγμιότυπα της χωρο-χρονικής εξέλιξης μιας τρισδιάστατης κυ ς κίνησης : κλικής ελικοειδού

3: , ( ) cos , sin ,x x t t t t .

Επίπεδη κυκλική κίνηση στον ευκλείδειο χώρο και η εξέλιξή τ στο χωρο-χρόνο 3 ης 3 :

* Η συνέχεια καθορίζεται από την ευκλείδεια μετρική και την απορρέουσα τοπολογία του ευκλείδειου χώρου . 3



25

3: , ( ) cos , 0, sinx x t t t .

Σε κάθε χρονική στιγμή, η θέση ενός υλικού σημείου εντοπίζεται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες:

1 2( ) ( ), ( ), ( )3x t x t x t x t .*

τροχιά του αναπαρίσταται, τη στιγμή με ο εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο

Η ταχύτητα με την οποία διανύεται η It ,

( )x t : τ

1 2 3( ) ( ), ( ), ( )( )x t

x t x t x t x t

και, την ίδια στιγμή, η επιτάχυνση αναπαρίσταται με το διάνυσμα:

( ) ( ), ( ), ( )1 2 3 ( )x tx t x t x t x t .

Η επιτάχυνση, σε κάθε στιγμή, αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντρομόλο συνιστώσα της:

( ) ( ) ( )x t t t

όπου ( ) ( )t x t

και ( ) ( )t x t .

Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσ

Αν η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μηδενική: 0

α της.

, τότε η τροχιά

υθύγραμμη και αν η επιτρόχια συνιστώσα της είνείναι ε αι επίσ ική: ης μηδεν 0 ,

τότε πρόκειται για ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:

* Οι τροχιές δεν είναι απαραίτητα λείες σε όλα τα σημεία τους, όμως για να οριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση χρειάζεται οι συνιστώσες συναρτήσεις να είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

: Iix , 1,2,3i .


26

1 1 2 2 3 3( ) ( , , )o o o o o o o ox t x v t x v t x v t x v t , 3,o ox v .

Η ύπαρξη κεντρομόλου επιτάχυνσης προκαλεί καμπύλωση της τροχιάς και σε κάθε ρονική στιγμή, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, η καμπυλότητά

της υποδεικνύεται από την τιμή τ συνάρτησης:

χης

: I , 3

|| ( ) ( ) ||( )

|| ( ) ||

x t x tt

x t

, με την προϋπόθεση μη μηδενι-μού της καμπυλότητας, ορίζεται η στρέψη της τροχιάς που υποδεικνύει τη χωρική

ανέλιξή της και προσμετράται από τη συνάρτηση:

.

Προφανώς, η συνάρτηση καμπυλότητας είναι μηδενική αν και μόνο αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τόσο εντονότερη είναι η καμπύλωση της τροχιάς. Σε κάθε χρονική στιγμήσ

: I , 2

( )|| ( ) ( ) ||

x( ) ( ) , ( )t x t x tt

x t x t

επίπεδη

ξόνων που, σε κάθε ρτάται στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς και, εφόσον εκεί δεν μηδε-

νίζεται η καμπυλότητα, ο ι από τα μοναδια νύσματα: *

.

Προφανώς, η συνάρτηση στρέψης είναι μηδενική αν και μόνο αν η κίνηση είναι επί-πεδη, ενώ η απόλυτη τιμή της προσμετρά την εκτροπή της τροχιάς από τηνκίνηση. Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς και δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμέτρησής της.

Τα γεωμετρικά αυτά χαρακτηριστικά εμπεριέχονται στο τρίεδρο Frenet της τροχιάς, δηλαδή στο θετικά προσανατολισμένο τρισορθογώνιο σύστημα αστιγμή, προσα

ρίζετα ία δια

( )T( )

|| ( ||)

x tt

x t , N( ) B( ) T( )t t t

, ( ) ( )

B( ) =|| ( ) ( ) ||

x t x tt

x t x t

.

Θεωρώντας το μέτρο της ταχύτητας της κίνηση ουν οι τύποι Frenet: ς, προκύπτ

T N

N T B , B N

,

,

και η θεμελιώδης σχέση:

* Η καμπυλότητα, η στρέψη και το τρίεδρο Frenet, είναι βασικές έννοιες της θεωρίας των καμπύλων που διδάσκεται στο πλαίσιο του μαθήματος της Διαφορικής Γεωμετρίας. Το φυσικό νόημα των τύπων με τους οποίους ορίστηκαν αυτές οι έννοιες αποκαλύπτεται με κατάλληλη αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα η οποία περιγράφεται στην επόμενη ενότητα.


27

T T0 0

.

N 0 N

0 0 BB

Προσδιορισμός της καμπυλότητας και της στρέψης μιας τροχιάς.

Ο όρος χρονική αναπαραμέτρηση δηλώ ή της κλασικής διαδικασίας διαμέσου ενός αμφιδιαφορικού μετα-

ονα, δηλαδή ενός αντιστρέψιμου μετασχηματισμού που τόσο ο ίδιος όσο και ο αντίστροφός του είναι παραγωγίσιμοι:

,

νει μια αλλαγμέτρησης του χρόνου που πραγματοποιείταισχηματισμού του χρονικού άξ

:s ( )s t t .

Αν θεωρήσουμε μια κίνηση

1 2 3( ) ( ), ( ), ( )x t x t x t x t , 3: Ix ,

η χρονική αναπαραμέτρηση

: I Is , ( )s t t ,

οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση:

3s : Ix x , 1 2 3( ) ), ( ), ( )( x t x x t x t . t

Ο χρονική αναπαραμέτρηση δεν επηρεάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τρο-χιάς, όπως η καμπυλότητα και η στρέψη της, όμως αλλοιώνει την ταχύτητα ως εξής:

( s ) si i idx d x dx d

dt dt dt dt

, 1,2,3i .

Η χρονική αναπαραμέτρηση, που αποκαλύπτει το φυσικό νόημα της καμπυλότητας

du

μηδενισμού της ταχύτητας, διασφαλίζεται η αμφιδιαφορισι-μότητα της συνάρτησης

και της στρέψης, καθορίζεται λαμβάνοντας υπόψη το μήκος της τροχιάς από μια αρχική στιγμή ot έως μια οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή t :

( ) | ( ) ||o

t

tt x us

. |

Με την προϋπόθεση μη ( )t = s t και προκύπτει η μεταχρονισμένη κίνηση:

: Ix 3 , ( ) ( ( )) x t x t s ,

της οποίας η ταχύτητα:


28

1 2 3( ) ( ), ( ), ( ) x t x t x t x t

έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο:

|| ( ) || || ( ) || | / | 1 x t x t dt ds

αφού

|| ( ) || || ( ) ||

o

t

t

ds dx u du x t

dt dt.

Η μεταχρονισμένη αυτή κίνηση προσφέρεται για να δοθούν οι κλασικοί ορισμοί της καμπυλότητας και της στρέψης μιας τροχιάς, υποδει ύοντας το φυσικό νόημά τους.

ν-

κνΠράγματι, η σταθερότητα του μέτρου της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης επιβάλλει το μηδενισμό της επιτρόχιας επιτάχυνσής της, οπότε υφίσταται μόνο η κε

αίτιο της καμπύλωσης της τροχιάς, και ισχύει: τρομόλος επιτάχυνσή της,

( ) ( ), I x t x t t .

Η καμπυλότητα της τροχιάς ορίζεται από τη συνάρτηση που σε κάθε χρονική στιγμή κεντρομόλου επιτάχυνσης της μεταχρονισμένης κπροσαρτά το μέτρο της ίνησης:

: I , ( ) ( ) || || t x t .

Το τρίεδρο Frenet ορίζεται, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων: *

ως το θετικά προσανατολισμένο

T( ) ( )t x t , 1

N( ) ( )( )

t x tt

, B( ) T( ) N(t t t

)

Η στρέψη της τροχιάς ορίζεται από τη συνάρτηση:

.

: I

που, λαμβάνοντας υπόψη τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων N( )

t και B( )

t , προκύπτει από τη σχέση:

B( ) ( ) N( )t t t .

Στην ακόλουθη θεμελιώδη σχέση, η πρώτη και η τελευταία γραμμή εκφράζει τον ορισμό της καμπυλότητας και της στρέψης, ενώ η ενδιά εση προκύπτει διαμέσου μιας ορθοκανονικής ανάπτυξης στο τρίεδρο Frenet:

μ

* Σε κάθε χρονική στιγμή, το 1ο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το μοναδιαίο διάνυσμα της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης και το 2ο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσής της, ενώ το 3ο διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα δυο άλλα διανύσματα.


29

T T0 0

N 0

BB 0 0

N

.

Η καμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς της φυσικής κίνησης ορίζονται ακριβώς όπως καθορίστηκαν στη μεταχρονισμένη κίνηση της οποίας η ταχύτητα έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο:

( ) ( )t t , ( ) ( )t t .

και Συγκεκριμένα, οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές γιατί δεν ορίζονται απα-ραίτητα στο ίδιο διάστημα του χρονικού άξονα, όμως δίνουν ίδ τιμή αφού, σε κάθε ιασημείο ( ) ( ( )) x t x s t , οι αριθμοί ( ) t και ( ) t είναι εξ’ορισμού ίδιοι. Το ίδιο ισχύει για τις συναρτήσεις και που δίνουν ίδια τιμή στρέψης, άρα και για τα στοιχεία του τριέδρου Frenet:

T( ) T( )t t

, N( ) N( )t t

, B( ) B( )t t

.

Δεν ισχύει όμως το ίδιο για τους τύπους Frenet της φυσικής κίνησης όπου τώρα απαιτείται η εισαγωγή του διορθωτικού συντελεστή που δηλώνει το μέτρο της ταχύτητας της φυσικής κίνησης:

T N, N B, BT N

.

Άλλωστε, μόνο στις κινήσεις στις οποίες η ταχύτητα διατηρεί σταθερό μέτρο συμ-βαίνει τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυν ς να είναι μεταξύ τους κάθετα ενώ, στη γενική περίπτωση, η ταχ άχυνση αποσυντίθενται σε

σηύτητα και η επιτ

συνιστώσες στο σύστημα αξόνων του Frenet ως εξής:

( ) ( ) T( )x t t t ,

2( ) ( ) T( ) ( ) ( ) N( )x t t t t t t .

Ο τύπος της ταχύτητας είναι αναμενόμενος, όμως ο τύπος της επιτάχυνσης απο-καλύπτει, με τον πρώτο όρο του το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και με το δεύτερο όρο του το ρυθμό εκτροπή ευθύγραμμη κίνηση. Ένας απλός υπολογισμός σιο του λογισμού των διανυσμάτων, οδη-γεί στις αναλυτικές εκφράσεις των μοναδιαίων διανυσμάτων που ορίζουν το τρίεδρο

ς της διεύθυνσής της από την , στο πλαί


30

Frenet σε κάθε χρονική στιγμή και στις αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων *καμπυλότητας και στρέψης όπως εισήχθησαν στην προηγούμενη ενότητα:

3

|| ( ) ( ) ||( )

|| ( ) ||

x t x tt

x t

και

2

( ) ( ) , ( )( )

|| ( ) ( ) ||

x t x t x tt

x t x t

.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των ελικοειδών κινήσεων.

Η τροχιά της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης ανελίσσεται στην επιφάνεια ενός κυλίν-δρου κυκλικής βάσης έτσι ώστε ο φορέας της ταχύτητα α διατηρε ταθερή γωνία

Όταν ο άξονας του κυλίνδρου συμπίπτει με τον στήματος αναφοράς, η ομαλή κυκλική ελικο-

ειδής κίνηση ορίζεται ως εξής:

ς ν ί σμε τον κεντρικό άξονα του κυλίνδρου.

ατακόρυφο άξονα του ευκλείδειου συκ

3: , ( ) cos , sin , x x t a t a t bt , 0, 0 a b .

Η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο:

( )( ) sin , cos ,

x tx t a t a t b , 2 2|| ( ) || ox t a

b v ,

και η επιτάχυνσή της έχει επίσης σταθερ τρο και είναι στην ταχύτητα:

ό μέ κάθετη ( ) cos , sin , 0

( ), || ( ) ||x t a

. x t a t a tx t

Η καμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς είναι σταθερές:

2 2( )

a

ta b

, 2 2

( ) b

ta b

,

και το τρίεδρο Frenet, σε κάθε χρονική στιγμή, καθορίζεται ως εξής:

o

1T( ) sin , cos ,

t a t a tv

,b

N( ) cos , sin ,0 t a t a t ,

o

1B( ) sin , cos ,

t b t b tv

.a †

* Η υπολογιστική διαδικασία της χρονικής αναπαραμέτρησης, με σκοπό την αναγωγή μιας κίνησης σε κίνηση με ταχύτητα σταθερού μέτρου, γενικά είναι περίπλοκη και αυτό αναδεικνύει την πρακτική σημασία αυτών των τύπων. † Στην περίπτωση 0b , η στρέψη είναι μηδενική και καθορίζεται η καμπυλότητ /α ( ) 1 t a , άρα πρόκειται για επίπεδη κυκλική τροχιά ακτίν ς a , ενώ το τρίεδρο Frenet εκφυλίζεται σε δυο ορθογώνιους άξονα ες.


31

τ(t) > 0 τ(t) < 0

Κυκλικές ελικοειδείς τροχιές στον ευκλείδειο χώρο

ραμέτρηση που καθορίζεται από το μήκος της διανυόμενης τροχιάς: 3 .

Η χρονική αναπα

0( )

t

o os t v dt v t

οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση:

3:x , ) cos( / ), sin( / ), /o o o( ) ( / ox s x s va s v a s v bs v .

με ταχύτητα:

1( ) sin( / ), cos( / ),o ox

o

s a s v a s v b v

και επιτάχυνση:

2

1( ) cos( / ), sin( / ), 0o o

o

x s a s v a s vv

.

Το μέτρο της ταχύτητας είναι μοναδιαίο και το μέτρο της επιτάχυνσης δίνει απευ-θείας τη συνάρτηση καμπυλότητας:

2 2|| ( ) ||

ax s

a b( )s

.

Ξαναβρίσκουμε έτσι το τρίεδρο Frenet:

1T( ) sin( / ), cos( / ),

o oo

s a s v a s v bv

,

N( ) cos( / ), sin( / ), 0

o os s v s v ,

1B( ) sin( / ), cos( / ),

o oo

s b s v b s v av

,

και από τη σχέση B( ) ( ) N( )s s s προκύπτει η συνάρτηση στρέψης:


32

2 2( )

b

s . a b

Οι ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα της καμπυ-λότητας και της στρέψης των τροχιών τους με την προϋπόθεση ότι η καμπυλότητα δεν είναι μηδενική. Γενικότερα, αν συμβεί ο φορέας της ταχύτητας να διατηρείσταθερή γωνία με έναν οποιονδήποτε σταθερό άξονα τότε η τροχιά ανελίσσεται ελικοειδώς στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου με βάση όχι απαραίτητα κυκλική και οι κινήσεις αυτές χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα του λόγου της στρέψης προς την καμπυλότητα των τροχιών τους.*

* - Βλ. Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Β. O’Neil, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2002.

1.4. ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 33

1.4. ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Ο Αριστοτέλης αναζητώντας το αίτιο της κίνησης εισήγαγε την έννοια της δύναμης

λώσει ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτεί-αι για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώματος παρά μόνο για τη μεταβολή της.

Στο βιβλίο του: “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632), ξετυλίγεται

που εκπροσωπεί συζητητή. Από αυτόν το διάλογο αναδύονται οι θεμελιακές αντιλήψεις που διαμόρ-φωσαν τη βάση της Κλασικής Μηχανικής και σηματοδότησαν την απαρχή της σύγ-

αλύπτεται με απλοϊκό τρόπο η “Αρχή της Σχετικότητας” της Κλασικής Μηχανικ

Ο Νεύτωνας, εμπνευσμένος από το βιβλίο συνέγραψε το μνημειώδες

ται σε κατάστα-

διέπει την κίνηση

προβλέψουμε την εξελικτική του

και από την εποχή εκείνη έως τον 17ο αιώνα ήταν αποδεκτή η αντίληψη ότι ένα σώμα διατηρεί την κίνησή του μόνο όταν προωθείται διαρκώς από κάποια δύναμη.

Ο Γαλιλαίος, πρώτος τόλμησε να δητ

ένας σπουδαίος φιλοσοφικός και επιστημονικός διάλογος μεταξύ τριών προσώπων, του Salviati που εκφράζει τις απόψεις του συγγραφέα, του Simplicio οπαδού της αρι-

ου Sagredo τον μη προκατειλημμένοστοτελικής παράδοσης και τ

χρονης Φυσικής. Στις σελίδες του, αποκής.*

του Γαλιλαίου, επιστημονικό σύγγραμμα: “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, (1687). Εκεί, διατύπωσε την “Αρχή της Σχετικότητας” που δηλώνει την ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου που επιτρέπει να αποφανθούμε για το αν ένα σώμα βρίσκεση ηρεμίας ή όχι. Απλά, μπορούμε να αποφανθούμε για το αν ένα σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας σε σχέση με κάποιο άλλο. Έτσι διαμορφώθηκε η “Αρχή της Αδράνειας” με την οποία εισάγεται αξιωματικά η ύπαρξη των αδρανειακών συστη-μάτων αναφοράς. Κατόπιν, εισήγαγε τη “Θεμελιώδη Εξίσωση” πουτων σωμάτων, η οποία αποτελεί τη βάση του επιστημονικού ντετερμινισμού και από αυτήν απορρέει ότι αν, σε μια χρονική στιγμή, είναι γνωστή η θέση και η ταχύτητα ενός φυσικού συστήματος τότε είμαστε σε θέση να πορεία στο μέλλον αλλά και να αντιληφθούμε το παρελθόν της. Οι δυο αυτές θεμε-λιακές αρχές έδωσαν το έναυσμα στη διαμόρφωση σημαντικών επιστημονικών και φιλοσοφικών αντιλήψεων της σύγχρονης εποχής.

* ”Κλειστείτε μαζί με φίλους σας στο αμπάρι ενός πλοίου, εκεί όπου δεν έχετε δυνατότητα εξωτερικής αντίληψης, και

ήσεις σας ώστε να μπορέσετε να νετε ότι πράγματι κινείται. Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ότι άλλο υπάρχει σε

αυτό συμπεριλαμβανομένου του αέρα.…”.

αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πετούμενα, βάλτε μικρά ψάρια σε ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφτουν στάλες νερού σε ένα μπουκάλι τοποθετημένο στο πάτωμα. Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς πετούν τα μικρά ζώα εξίσου άνετα προς όλες τις κατευθύνσεις, πώς κινούνται τα ψάρια εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά, πώς όλες οι στάλες πέφτουν στο μπουκάλι. Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε μεγαλύτερη ή μικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείμενο στον ένα ή τον άλλο φίλο σας που βρίσκονται ολόγυρά σας και απέχουν εξίσου από σας. Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι ομαλή χωρίς ταλαντώσεις, δεν θα διακρίνετε την παραμικρή αλλαγή στις παρατηρσυμπερά


34

Η Κλασική Μηχανική, στη μαθηματική θεώρησή της, στηρίζεται σε δυο θεμελιώδη αξιώματα: την Αρχή της Σχετικότητας και την Αρχή του Ντετερμινισμού:

Αρχή του Ντετερμινισμού του Νεύτωνα δηλώνει ό αχύτητα ενός

ικού σημείου, σε μια χρονική στιγμή, ορίζουν μονοσήμαντα τη χρονική εξέλιξή του.

3

υλι βρί-

τι η θέση και η τΗ υλ

Συγκεκριμένα, υπάρχει συνάρτηση:

3 3: f

που ορίζει την κίνηση του κού σημείου, το οποίο τη δεδομένη στιγμή o

σκεται στη θέση 3ox με ταχύτητα 3

ov , ως λύση της θεμελιώδους εξίσωσης:

t

2

2( , , ) d x

f x x tdt

που πληροί τις συνθήκες: ( )o ox t x και ( )o ox t v .

Η Αρχή της Σχετικότητας του Γαλιλαίου δηλώνει την ύπαρξη μιας κλάσης προνο-

φοράς, τα οποία η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης διατηρείται αναλλοίωτη.

νειακά

ές συ

ατισμούς,

υνέπεια 1. Αδρανειακή κίνηση: Κάθε σύστημα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραμμη λάση των

μιούχων συστημάτων αναφοράς, που καλούνται αδρανειακά συστήματα ανασ

Συγκεκριμένα, τα αδρα συστήματα αναφοράς χαρακτηρίζονται από το ότι, σε αυτά, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί μετατρέπουν κάθε κίνηση σε κίνηση που ορί-ζεται από την ίδια θεμελιώδη εξίσωση με άλλες αρχικ νθήκες. Οι δυο θεμελιώδεις αρχές,* σε συνδυασμό με τους γαλιλαϊκούς μετασχημ

δηγούν απευθείας στα ακόλουθα συμπεράσματα: ο

Σομαλή κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ανήκει στην κ αδρανειακών συστημάτων αναφοράς.

* Η ανάγκη αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς οφείλεται στην αδυναμία πειραματι-κής επαλήθευσης της ύπαρξής τους. Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυ-σικά δεδομένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζει μονοσήμαντα την κίνηση τουλάχιστο σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα, για δεδο-μένη αρχική θέση και ταχύτητα. Η συνάρτηση αυτή ορίζεται, κατ’αρχάς, στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα και παίρνει τιμές στο χώρο των θέσεων. Όταν πρόκειται για σύστημα k υλικών σημείων, η θεμελιώδης εξίσωση ορίζεται από μια συνάρτηση:

3 3 3: k k kf .


Πράγματι, η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ενός συστήματος αναφοράς ως προς ένα αδρανειακό συστήματος αναφοράς αφήνει αναλλοίωτη τη θεμελιώδη εξίσωση, αφού πραγματοποιείται διαμέσου του γαλιλαϊκού μετασχηματισμού:

( , ) ( , )ox t x v t t g , 3ov .

Συνέπεια 2. Χρονική ομογένεια: Οι μετασχηματισμοί χρονικής μεταφοράς:

( , ) ( , ) ox t x t tg , ot ,

υποδεικνύουν ότι, αν ( ) x t είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η ( ) ox t t είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε ot , και αυτό σημαίνει ότι οι νόμοι της φύσης παραμένουν αναλλοίωτοι στο πέρασμα του χρόνου. Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμε-λιώδη εξίσωση εξαρτάται έμμεσα και όχι άμεσα από το χρόνο, συνεπώς η θεμελιώδης εξίσωση εκφράζεται ως εξής: *

2

2( , ) d x

f x xdt

.

Συνέπεια 3. Χωρική ομογένεια: Ο ετ χη ρικής μεταφοράς: ι μ ασ ματισμοί χω

( , ) ( , ) ox t x x tg , 3ox ,

υποδεικνύουν ότι, αν ( ) x t είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η ( ) ox t x είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε 3ox , και αυτό σημαίνει ότι ο χώρος είναι ομογενής, δηλαδή έχει παντού τις ίδιες φυσικές ιδιότητες. Συνέπεια 4. Χωρική ισοτροπία: Οι μετασχηματισμοί χωρικής στροφής:

( , ) ( , )

o ox t x v t tg , 3ov ,

υποδεικνύουν ότι, αν ( ) x t είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η ( ) x S t είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε S (3) , και αυτό σημαίνει ότι ο χώρος είναι ισότροπος, δηλαδή δεν διαθέτει κάποια προνομιούχο διεύθυνση. Στα

αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση πληροί κατά συνέπεια τη σχέση:

( , ) ( , ) f S x S x S f x x , (3)S .

* Όταν ένα σύστημα υλικών σημείων επηρεάζεται από ένα άλλο εξωτερικό σύστημα τότε η επίδραση αυτή μπορεί να υποκατασταθεί από μια χρονική μεταβολή των παραμέτρων που υπεισέρχονται στη θεμελιώδη εξίσωση του αρχικού συστήματος και έτσι να εμφανιστεί ο χρόνος ως ανεξάρτητη μεταβλητή.


36

Οι νόμοι του Νεύτωνα για την Κλασική Μηχανική.

έννοια

3

Ο Νεύτωνας διατύπωσε τους νόμους της Κλασικής Μηχανικής* στηριζόμενος στην έννοια της δύναμης. Από φυσική άποψη η δύναμη εισάγεται ως πρωταρχικήπου εκφράζει το αίτιο της μεταβολής της κίνησης και από μαθηματική άποψη δηλώ-νεται ως διανυσματική συνάρτηση ορισμένη στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων:

3 3F : .

ος

“Κάθε σώμα διατηρείται στην κατάστασηκίνησής του, εκτός αν εξαναγκαστεί σε μεταβολή αυτής της κατάστασης από ασκούμενες σε αυτό δυνάμεις.”.

1 Νόμος: Η αρχή της αδράνειας.

της ακινησίας ή της ευθύγραμμης ομαλής

Συνεπώς, κάθε υλικό σημείο στο οποίο δεν ασκείται δύναμη ή αν η συνισταμένη των ασκούμενων σε αυτό δυνάμεων είναι μηδενική, διατηρείται σε κατάσταση ακινησίας ή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:

F 0

x σταθερό.

γωγής των αδρανειακών

ιση από την κατάσταση ακινησίας. Όταν ένας παρα-

ότι το σώμα δεν επιταχύνεται και βασιζόμενοι σε αυτόν το νόμο συμπεραίνουν ότι δεν ασκείται επάνω του δύναμη.

Ο νόμος αυτός αποτελεί την πρόταση αξιωματικής εισασυστημάτων αναφοράς. Δηλώνει ότι όταν σε ένα υλικό σημείο δεν ασκείται δύναμη τότε, στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η καταγραφόμενη ταχύτητά του είναι σταθερή, χωρίς να γίνεται διάκρτηρητής τοποθετημένος σε ένα σύστημα αναφοράς βρίσκει ότι ένα σώμα ηρεμεί, τότε, ένας άλλος παρατηρητής τοποθετημένος σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα ανα-φοράς που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς το πρώτο, βρίσκει ότι το ίδιο σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα και οι δυο βρίσκουν

illud aiform

impressed upon it.

ys equal, and directed to contrary parts.

* Ο Νεύτωνας διατύπωσε στα κείμενά του τους τρεις θεμελιώδεις νόμους ακριβώς ως εξής:

LEX I. “Corpus omne perfeverare in ftatu fuo quiefcendi vel movendi uniformiter in directum, nifi quatennus viribus impreffi cogitur ftatum suum mutare.”: Every body continues -perseveres- in its state of rest, or of un motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces

LEX II. “Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.”: The change of motion is proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

LEX III. “Actioni contrariam simper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actions in se mutuo simper esse aequales et in partes contrarias dirigi.”: To every action there is always opposed an equal reaction: or, the mutual actions of two bodies upon each other are alwa


2ος Νόμος: Η εξίσωση της κίνησης.

“Η μεταβολή της κίνησης είναι ανάλογη προς την ασκούμενη κινητήρια δύναμη και συν-τελείται στην κατεύθυνση της ευθείας γραμμής στην οποία ασκείται η δύναμη.”.

Συνεπώς, η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο προκαλεί ανάλογη προς αυτήν επιτάχυνση, δηλαδή η κίνηση κάθε υλικού σημείου υπακούει στη θεμελιώδη εξίσωση:

2d x2

F( , )m x xdt

που αποσυντίθεται στις συνιστώσες διαφορικές εξισώσεις:

21

12F ( , ) d x

m x x , dt

22

22F ( , ) d x

m x x , 2

332

F ( , ) d xm x x .

dt dt

Ο νόμος αυτός προϋποθέτει την ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και εισάγει την εξίσωση της κίνησης των υλικών σημείων σε αυτά τα συστήματα.

μια αντιτιθέμενη ίση αντίδραση: ή οι αμοιβαίες δρά-σεις δυο σωμάτων, μεταξύ του ενός και του άλλου, είναι πάντα ίσες και κατευθύνονται αντίθετα η μια προς την άλλη.”.

Συνεπώς, τα υλικά σημεία ενός συστήματος αλληλεπιδρούν ανά δύο με αμοιβαίες αντίρροπες δυνάμεις ίδιου μέτρου και αν

Επίσης, υποδεικνύει το διανυσματικό χαρακτήρα της δύναμης και καθορίζει τη μάζα* ως συντελεστή αναλογίας της δύναμης προς την επιτάχυνση. 3ος Νόμος: Η αρχή δράσης-αντίδρασης.

Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα “

ij

f είναι η ασκούμενη δύναμη στο i-οστό

υλικό σημείο από το j-οστό υλικό σημείο τότε ισχύει:

0 ij jif f .

Ο νόμος αυτός εισάγει τις εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης υποδεικνύοντας ότι η συνολικά ασκούμενη δύναμη στο i-οστό υλικό σημείο από τα υπόλοιπα υλικά σημεία του συστήματος καθορίζεται ως εξής:

1k

* Έως την εποχή του Νεύτωνα, η έννοια της μάζας ως ποσότητα της ύλης (quantitas materiae) που περιέχεται σε ένα σώμα παρέμενε ασαφής τουλάχιστο ως προς τη μετρησιμότητά της. Πάντως, ήταν αντιληπτό ότι η μάζα αποτελεί μέτρο της αδράνειας της ύλης και για το λόγο αυτό ονομάστηκε αδρανειακή μάζα. Εντούτοις, ο ορισμός αυτής της έννοιας και η δυσκολία αποσαφήνισής της προκάλεσαν μακρόχρονες επιστημολογικούς προβληματισμούς και αντι-παραθέσεις. Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση με τη Θεωρία Σχετικότητας, η μάζα παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη από την ταχύτητα του σώματος.


38

j 1 j 1j i j i

k k

e i ij ij ij

f f f

όπου ij jif f δηλώνει το μέτρο της δύναμης αλληλεπίδρασης ijf και ije

το μοναδιαίο διάνυσμα του προσανατολισμένου άξονα που ορίζεται από το i-οστό και το j-οστό υλικό σημείο. Αν επιπλέον, στο υλικό αυτό σημείο ασκείται μια συνισταμένη εξωτε-ρική δύναμη i

f τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε αυτό καθορίζεται ως εξής:

Fi i i f f .

Αν στα υλικά σημεία ενός συστήματος ασκούνται μόνο δυνάμεις αλληλεπίδρασης λέμε ότι πρόκειται για κλειστό σύστημα και προκύπτει η προφανής άθροιση:

i 1 i 1 j 1j i

0k k k

i ij

f f .

Στην πραγματικότητα δεν υφίστανται κλειστά συστήματα, αλλά η θεώρηση εξωτε-ρικών δυνάμεων προσφέρει την εννοιολογική αλλά και πρακτική δυνατότητα δια-χωρισμού ενός συστήματος υλικών σημείων από το υπόλοιπο περιβάλλον του. Στα συστήματα που αποτελούνται από ένα μόνο υλικό σημείο προφανώς δεν υφίστανται παρά μόνο εξωτερικές δυνάμεις.*

Εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης σε ένα σύστημα υλικών σημείων.

* Ο τρίτος νόμος προκάλεσε μια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών όπως αυτή που αφορά στη δράση μιας δύναμης από απόσταση και στην αντίστοιχη αντίδραση. Αφού οι δυνάμεις δεν δρουν ακαριαία στο χώρο, οφείλουμε να ανα-ρωτηθούμε για το τι συμβαίνει στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα έως ότου ένα σωματίδιο αντιδρ ενός άλλου υπακούοντας σε αυτόν το νόμο. ετωπίσουμε αυτόν τον προβληματισμό.

άσει στην παρουσίαΣε επόμενη ενότητα θα αντιμ


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η γαλιλαϊκή αναζήτηση των νόμων της φύσης.

πλευρά τ ς τοξοειδούς διαδρ μής και εικάζει ότι αν η πλ ρά αυτή ευθειοποιηθεης λειότητας, το σφαιρίδιο θα διατηρήσει στο διηνεκές

μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση χωρίς κάποια δύναμη να ασκείται επάνω του. Έτσι, πείθεται και φτάνει στα πρόθυρα της αρχής της αδράνειας.

Η ρήξη με την αριστοτελική αντίληψη για το αίτιο της κίνησης.

Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που τόλμησε να έρθει σε ρήξη με την επικρατούσα αρι-στοτελική αντίληψη κατά την οποία ένα σώμα διατηρεί την κίνησή του μόνο όταν προωθείται διαρκώς από κάποια δύναμη και να δηλώσει ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητάς του παρά μόνο για τη μεταβολή της. Πραγματοποιεί μια σειρά πειραματικών παρατηρήσεων και μετρήσεων που πειστικά τον οδηγούν στην ουσία της αρχής της αδράνειας την οποία, λίγα χρόνια αργότερα, διατύπωσε με σαφήνεια ο Νεύτωνας. Στην πειραματική του διάταξη, που εικονίζεται στο σχήμα, μετά από πολλές βελτιώσεις της σφαιρικότητας του σώματος και της λει-ότητας της τοξοειδούς επιφάνειας, παρατηρεί ότι, αν το σφαιρίδιο ξεκινήσει με μηδε-νική ταχύτητα από κάποιο σημείο της καμπυλόγραμμης διαδρομής, διανύοντας ένα τμήμα της, φτάνει κάπως χαμηλότερα από το απέναντι ισοϋψές σημείο και επανακά-μπτοντας εκτελεί μια παλινδρομική κίνηση. Συμπεραίνει ότι, αν η επιφάνεια ήταν απόλυτα λεία το σφαιρίδιο θα ανέκαμπτε στην ισοϋψή θέση ως προς τη θέση εκκί-νησής του. Το ίδιο παρατηρεί να συμβαίνει όταν σταδιακά αποκαμπυλώνει τη μια

η ο ευ ί, υπό την προϋπόθεση απόλυτ

Το πείραμα του Γαλιλαίου.


40

Η ελεύθερη πτώση πριν και μετά το annus mirabilis.

Ένα σώμα ξεκινά με μηδενική ταχύτητα προκειμένου να διανύσει με σταθερή επιτά-χυνση μια ευθύγραμμη διαδρομή από ένα σημείο Α έως ένα σημείο Β. Αν θέλουμε να διανύσει με σταθερή ταχύτητα την ίδια διαδρομή στο ίδιο χρονικό διάστημα, ποια πρέπει να είναι αυτή η ταχύτητα; Το ερώτημα αυτό, που σήμερα αποτελεί γυμνασια-κή άσκηση, ήταν γνωστό πριν πεντακόσια περίπου χρόνια ως πρόβλημα του

Merton* και με ένα απλό γεωμετ ό τότε καθοριστεί η ζητούμενη ρικό σκεπτικό είχε απταχύτητα. Ο Γαλιλαίος, αξιοποιώντας αυτό το σκεπτικό, εστίασε τον προβληματισμό του στην κίνηση που προκαλείται υπό την επίδραση του βάρους των σωμάτων σε ευθύγραμμες κεκλιμένες διαδρομές, ακόμη και όταν η κλίση φτάνει

στην κατακόρυφο. Όταν, όπως λένε, πήγε στον πύργο της Πίζας και άφησε δυο

σώματα να πέσουν από το ίδιο ύψος υπό την επίδραση του βάρους τους, ποιο υπολόγιζε ότι θα φτάσει πρώτο στο έδαφος; Ο Νεύτωνας, λίγα χρόνια αργότερα, στηριζόμενος στη θεμελιώδη εξίσωσή του και στη γνώση του για την επιτάχυνση της βαρύτητας, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα. Σήμερα, ένας μαθητής λυκειακού επιπέδου δίνει απευθείας το συμπέρασμά του, κά-νοντας όμως μια ευαίσθητη

αφαιρετική αναγωγή στην κίνηση μιας σημειακής μάζας:

m x B m x m g x g ox g t v 21

( ) o2

ox t g t v t x .

Η γεωμετρική συλλογιστική στο πρόβλημα του Merton.

Η απάντηση στο πρόβλημα του Merton: “Όταν ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και σε ένα χρονικό διάστημα το μέτρο της ταχύτητάς του μετα-

μέσης ταχύτητας.

* Οι πρώτες σαφείς περιγραφές των κινήσεων δόθηκαν, τον 14ο αιώνα, στο Merton College της Οξφόρδης, από τον Thomas Bradwardine (1290-1349) που όρισε την ταχύτητα ως λόγο των διανυόμενων χωρικών διαστημάτων προς τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα και από τον William Heytesbury (1313-1372) που όρισε την επιτάχυνση ως ταχύτητα της ταχύτητας. Ο κανόνας του Merton, που απέδειξε ο Nicolas Oresme (1320-1382) στο σύγγραμμά του Περί των δια-μορφώσεων των ιδιοτήτων, δίνει τη δυνατότητα θεωρητικής αναγωγής κάθε ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κί-νησης σε μια αντίστοιχη ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αναδεικνύοντας έτσι την έννοια της


βληθεί από 0 σε v, η έως τότε διανυθείσα απόσταση είναι ίδια με εκείνη που θα διένυε στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα μέτρου v/2.”

Το πείρ

στο πείραμά του, θεωρώντας ως μονάδα μήκους την απόσταση που δια-ύει ένα σφαιρίδιο υπ 1η χρονική μονάδα*,

η ην 3η χρονική ες μήκους, την 5η χρονική

αμα του Γαλιλαίου.

Ο Γαλιλαίος

ό την επίδραση του βάρους του κατά την νδιαπιστώνει ότι την 2 χρονική μονάδα διανύει 3 μονάδες μήκους, τμονάδα 5 μονάδες μήκους, την 4η χρονική μονάδα 7 μονάδμονάδα 9 μονάδες μήκους, κ.ο.κ. και το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο της μάζας του σφαιριδίου και ισχύει για όλες τις κλίσεις της ευθύγραμμης διαδρομής. Συνολικά, στο τέλος της 1ης χρονικής μονάδας έχει διανύσει 1 μονάδα μήκους, της 2ης χρονικής μονάδας 4 μονάδες μήκους, της 3ης χρονικής μονάδας 9 μονάδες μήκους, της 4ης χρο-νικής μονάδας 16 μονάδες μήκους, κ.ο.κ. και έτσι, με γεωμετρική συλλογιστική, κα-τέληξε στην τετραγωνική αναλογική σχέση και στη σταθερότητα της επιτάχυνσης που ίσχυαν ακόμη και στην κατακόρυφη κλίση, δηλαδή στην ελεύθερη πτώση:

2( )x t k t ( ) 2x t k t ( ) 2x t k .

Η γεωμετρική συλλογιστική στο πρόβλημα του Γαλιλαίου.

Η απάντηση στο πρόβλημα του Γαλιλαίου: “Κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά την ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας

ύσαν με ικανοποιητική* Ο Γαλιλαίος δεν είχε στη διάθεσή του όργανα που μετρο ακρίβεια τον παρερχόμενο χρόνο. Εντούτοις, οδηγήθηκε στο συμπέρασμά του και επιπλέον διαπίστωσε ότι αν αυξηθεί η κλίση της διαδρομής τότε αυξάνει αντίστοιχα το μέτρο της σταθερής επιτάχυνσης, έως ότου λάβει τη μέγιστη τιμή στην ελεύθερη πτώση. Προκειμένου να ερμηνεύσει το τι ακριβώς συμβαίνει, σε κάθε χρονική στιγμή, χρειαζόταν να αναπτύξει μια συλλο-γιστική απεριόριστων διαδοχικών διαμερίσεων της χρονικής μονάδας καταλήγοντας στην έννοια του απειροστού, στο λογισμό των απειροστών και κατά συνέπεια στην έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας.


42

του, και σε κάθε χρονική στιγμή η διανυθείσα απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του παρελθόντος χρόνου.”

Ο πύργος της Πίζας και η ελεύθερη πτώση των σωμάτων.*

Η βαλλιστική κίνηση πριν και μετά το annus mirabilis.

Ο Γαλιλαίος, προχωρώντας στις αναζητήσεις του, προεκτείνει την κεκλιμένη ευθύγραμμη διαδρομή της πειραματικής του διάτπέρα, να κάμπτ ζοντας την

ή-μαινε ότι η παρατηρούμενη κίνηση αποτελεί σύνθεση δυο ανεξάρτητων κινήσεων, οριζόντιας και κατακόρυφης, και θα αποκάλυπτε μια αρχή ανεξαρτησίας κινήσεων.

-αξης έτσι ώστε, από κάποιο σημείο και

εται και μετά να οριζοντιώνεται, οπότε το σφαιρίδιο, συνεχίεπιβληθείσα από το βάρος του κίνηση, διανύει ευθύγραμμα την οριζόντια διαδρομή και εκβάλεται προς το έδαφος διαγράφοντας μια καμπυλόγραμμη τροχιά. Θέλει να διαπιστώσει αν οι νόμοι που διέπουν την κατακόρυφη κίνηση επηρεάζουν ή όχι τους νόμους της οριζόντιας κίνησης. Αν όχι, τότε κάθε σώμα, είτε εκτοξευτεί οριζόντια από κάποια θέση με οποιαδήποτε ταχύτητα, είτε αφεθεί να πέσει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα από την ίδια θέση, θα χρειαζόταν ίδιο χρόνο έως ότου φτάσει στο έδαφος και οι όποιες διαφορές θα οφείλονται στην αντίσταση του αέρα. Αυτό θα σ

συμπεράσματά του που αφορούν στην ελεύθερη πτώση τ*Ο Γαλιλαίος σημειώνει ότι τα ων σωμάτων, δηλαδή η στα-

θερότητα της επιτάχυνσής τους και το ότι η διανυόμενη απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του αντίστοιχου

λίο το 1638. χρόνου, θα ίσχυαν με απόλυτη ακρίβεια αν ανάμεσα στο αρχικό και στο τελικό σημείο της πτώσης υπήρχε κενό. Στο συμπέρασμα αυτό κατέληξε το 1604, αλλά παρουσίασε την πλήρη ανάλυσή του στο τελευταίο του βιβ


Το πείραμα του Γαλιλαίου.

Πραγματοποιεί μια σειρά μεθοδικών πειραματικών μετρήσεων τις οποίες συγκρίνει με τα θεωρητικά του απ ότητα της σκέψης του*,

χ

οτελέσματα και συμπεραίνει την ορθτην ανεξαρτησία των νόμων που διέπουν την οριζόντια και την κατακόρυφη κίνηση, όπως επίσης το ότι οι τροχιές των σωμάτων, στα οποία προσδίδεται αρχικά οριζόντια κίνηση, είναι πάντα παραβολικές. Οι παρατηρήσεις του αποκάλυψαν την αρ ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων και τους νόμους που διέπουν τις βαλλιστικές κινήσεις, καταρρίπτοντας την έως τότε επικρατούσα λανθασμένη αριστοτελική αντίληψη.

Οι μετρήσεις του Γαλιλαίου και η σύγκρισή τους με τα θεωρητικά του αποτελέσματα.

Έως την εποχή εκείνη, πίστευαν στη μη συνύπαρξη των δυο συνιστωσών κινήσεων, της οριζόντιας και της κατακόρυφης, που εμπεριέχονται στη βαλλιστική κίνηση και ότι κατά την έναρξή της προσδίδονταν στο σώμα μια ώθηση που μετά την εξάντλησή της το σώμα, ακολουθώντας τη φυσική πτωτική του κίνηση, έπεφτε κατακόρυφα στο έδαφος. Ο Nicolo Tartaglia (1499-1557) υποστήριζε μια κάπως διαφορετική άποψη θεωρώντας ότι η φυσική πτωτική κίνηση άρχιζε λίγο πριν εξαντληθεί εξολοκλήρου η ώθηση, αλλά ούτε σε αυτή την αντίληψη αντικατοπτρίζονταν η πραγματικότητα.

* Ας σημειωθεί ότι όταν μιλάμε γι που ουσιαστικά εισήχθη τον 17ο αιώνα από τον Νεύτωνα, ού 19ο αιώνα.

α κίνηση δεν αναφερόμ τε στην έννοια της δύναμης τε στην έννοια της ενέργειας που διαμορφώθηκε τον

ασ


44

Η αντίληψη της βαλλιστικής κίνησης πριν τον Γαλιλαίο.

Η γαλιλαϊκή ανάλυση της βαλλιστικής κίνησης.

Ο Νεύτωνας, λίγο αργότερα, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα κάνοντας χρήση της θεμελιώδους εξίσωσής του και της γνώσης του για την επιτάχυνση της βαρύτητας. Σήμερα, ένας μαθητής λυκειακού επιπέδου θα έλεγε ότι, αν ένα σώμα μάζας βρί-σκεται κοντά στην επιφάνεια της γης κα μόνη δύναμη που του ασκείται είναι το βάρος του, με αναγωγή σε σημεια ου διέπεται από την εξίσωση:

mι η

κή μάζα, η κίνησή τ

( ) m x t m g

όπου (0,0, ) g g δηλώνει τη γήϊνη βαρυτική επιτάχυνση και, κατά συνέπεια, η μάζα

του δεν επηρεάζει την κίνησή του: ( )x t g .

Αν o 01 02 03( , , )x x x x και o 01 02 03( , , )v v v v είναι αντίστοιχα η θέση και η ταχύτητά του τη στιγμή 0t = , προκύπτει κάθε μελλοντική του θέση και ταχύτητα:

1( ) 0m x t 1 01( ) x t v 1 01 01( )x t x +v t

( ) 0 2 m x t ( )2 02x t v ( )2 02 02x t x +v t

3 ( )m x t mg 3 03( ) x t v g t 3 003 3 / 2( ) 2x t x t gt . v


Βαλλιστική τροχιά κοντά στην επιφάνεια της γης..

Η κίνηση του εκκρεμούς πριν και μετά το annus mirabilis.

Η κίνηση του εκκρεμούς προκαλούσε αντιφάσεις στην ανάπτυξη των αριστοτελικών

συλλογισμών γιατί, σύμφωνα με

αυτούς, κάθε σώμα που εκτελούσε την κίνησή του υπό την επίδραση του βάρους του, μόλις έφτανε στην κατώτερη φυσική του θέση όφειλε να μείνει ακίνητο σε αυτήν. Ο Γαλιλαίος, και ο αριστοτελικός παρατη-

ική συλλο-ντας τις αιωρήσεις μιας κρε-

μαστής λάμπας στον καθεδρικό ναό της Πίζας, είχε αντιληφθεί τα χαρακτηριστικά κίνησής της. Ήξερε αυτό που σήμερα αποκαλούμε συγχρονισμό του εκκρεμούς,

ς τους νόμους ων α

όπωςρητής, έβλεπαν την ίδια κίνηση, όμως ανέπτυσσαν διαφορετική ερμηνευτγιστική. Εκείνος, από τα νεανικά του χρόνια, παρατηρώ

τηςδηλαδή ότι η περίοδος ταλάντωσής του είναι ανεξάρτητη του πλάτους της και ήθελε από τότε να εξιχνιάσει πλήρω τ ιωρήσεων.

Απλό επίπεδο εκκρεμές.

Το απλό επίπεδο εκκρεμές εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση του βάρους του και, στο πλαίσιο της μελέτης μιας ιδεατής κίνησής του, θεωρούμε αμελητέες τις τρι-


46

βέ ν

μάζα: *

ς που θα προέρχονταν από τον αέρα ή το μέσον στο οποίο είναι τοποθετημένο. Α είναι το μήκος του άκαμπτου και αμελητέας μάζας νήματος και m η προσδεμένη στο άκρο του μάζα, σε κάθε χρονική στιγμή, η θέση της ορίζεται με ένα σημείο στον κύκλο που περιέχεται στο επίπεδο κίνησής του με κέντρο το σημείο πρόσδεσής του. Ο Νεύτωνας, με τη γνώση του για τη βαρύτητα, έδωσε τη δυνατότητα προσδιορι-σμού της τελικά ασκούμενης δύναμης που ορίζει την κίνηση του εκκρεμούς και της διατύπωσης την εξίσωσης της κίνησης στην οποία τελικά δεν υπεισέρχεται η

sinm x mg x 2sinx x , /g .

Προσδιορισμός της τελικά ασκούμενης δύναμης στο απλό επίπεδο εκκρεμές.†

Η κίνησή του απλού επίπεδου εκκρεμούς έχει ένα βαθμό ελευθερίας αφού, σε κάθε

που εκφράζεται γεωμετρικά με το διανυσματικό πεδίο:

χρονική στιγμή, αρκεί η γνώση της γωνίας απόκλισής του από την κατακόρυφο προ-κειμένου να εντοπιστεί η θέση του. Συνεπώς, ο χώρος των ενδεχόμενων θέσεων και των ενδεχόμενων ταχυτήτων του είναι δισδιάστατος και εκεί η εξίσωση της κίνησής

του διατυπώνεται ως σύστημα: x y

2 siny x

: , 2( , ) , sinx y y x .

Το διανυσματικό αυτό πεδίο ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων και μηδενίζεται στα σημεία , 0x k x , k , δηλαδή στην κατώτερη και στην

ανώτερη θέση της κυκλικής διαδρομής του εκκρεμούς, όπου μηδενίζεται η κινούσα

* Πρόκειται για μη γραμμική διαφορική εξίσωση που η μέθοδος επίλυσής της δεν είναι καθόλου προφανής. † Η τάση του άκαμπτου νήματος και η κινούσα δύναμη αποτελεί την ορθογώνια προβολή της βαρυτικής δύναμης επάνω

κλισης

κάθετη συνιστώσα της βαρυτικής δύναμης στην κυκλική διαδρομή του εκκρεμούς αντισταθμίζεται από την

στην εφαπτομένη της κυκλικής διαδρομής, στο εκάστοτε σημείο της, παραμετροποιημένης από τη γωνία απόx.


δύ α ηέ

ν μ χύτητα, οπότε το εκκρε-νειας.

, αλλά εφόσον στις θέσεις αυτές είναι μηδενική η τα

ς παραμένει σε κατάσταση ακινησίας όπως το υπαγορεύει η αρχή της αδρά

Το διανυσματικό πεδίο που ορίζει τις τροχιές του εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του.

Η επίλυση της εξίσωσης που διέπει την κίνηση του εκκρεμούς οδηγεί στον προσδιο-ρισμό των τροχιών του στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων. Από κάθε σημείο διέρχεται μόνο μια τροχιά, όπως άλλωστε το υπαγορεύει το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων. Κάθε χρονική στιγμή, κάθε σημείο ( ( ), ( ))x t x t προβαλλόμενο στον άξονα των θέσεων ή των ταχυτήτων δίνει αντί-στοιχα τη θέση και την ταχύτητα του εκκρεμούς τη δεδομένη αυτή στιγμή.

Οι τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του.*

Ακριβολογώντας, το γεωμετρικό του χώρου των θέσεων και των ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς ε ρτεσιανό γινό κλικής διαδρο-μής του και του πραγματικού άξονα όπου δηλαδή η κυλινδρική επιφάνεια 1S

πρότυποίναι το κα μενο της κυ

καταγράφεται η γωνιακή ταχύτητά του, η οποία, με καθολική εκδίπλωσή της, αποτυ-

πώνει τις τροχιές στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων .

* Θα επανέλθουμε στο επόμενο κεφάλαιο, όταν εισαχθεί η έννοια της ενέργειας και η αρχή διατήρησής της, προκειμένου να αναλυθεί το σκεπτικό που οδηγεί σε απευθείας προσδιορισμό των τροχιών του εκκρεμούς.


48

Αποτύπωση των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του.

1.5. Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης διατηρεί-ται αναλλοίωτη και έχει τη μορφή που υπέδειξε ο Νεύτωνας:

2

2F( , )

d xm x

dt x

.

ύ-υ βρίσκονται σε αδρανειακά

ήματα αναφοράς οι αδρανειακές δυνάμεις δεν υφίστανται*, όμως υφίστανται και γίνονται αντιληπτές από εκείνους που βρίσκονται σε επιταχυνόμ α συστήματα

ανα-φοράς και αυτοί οφείλουν να τις συμ ριλάβουν στην εξίσωση της κίνησης των ροκειμένου να ερμηνεύσουν σωστά τα φαινόμενα. Οι αδρανειακές

δυνάμεις δεν αποτελούν συνέπεια μιας φυσικής αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτων, αλλά μιας αδρανειακής αντιπαράθεσης κάθε συστήματος αναφοράς σε οποιαδήποτε

τ

ό

Στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς εμφανίζονται επιπλέον δυνάμεις, οι καλομενες αδρανειακές δυνάμεις. Για τους παρατηρητές ποσυστ

ενπε

σω-μάτων π

επιτάχυν-σή του που το υποχρεώνει να εγ αταλείψει ην ευθύγραμμη ομαλή κίνησή του, άρα στην ουσία πρόκειται για φαινομενικές και όχι καθαυτού δυνάμεις. Ας θεωρήσουμε δυο συστήματα αναφοράς, ένα αδρανειακ

κ

και ένα μη αδρανειακό

που την αρχική στιγμή ταυτίζεται με το και με την πάροδο του χρόνου στρέφεται στο χώρο διατηρώντας την αρχή του ταυτισμένη με την αρχή του .

περι

Για τους παρατηρητές αυτούς υφίσταται μόνο η αδράνεια, δηλαδή τα φαινόμενα που αντιλαμβάνονται προέρχο-

νται από το ότι απαιτείται να καταβληθεί προσπάθεια προκειμένου να αλλάξει η αρχική κίνηση ενός σώματος. *


49

Καταγραφή της κίνησης ενός υλικού σημείου στα συστήματα αναφοράς και .

Στα δυο συστήματα αναφοράς ο τελεστής παραγώγισης δεν είναι ταυτόσημος και ει-σάγοντας το διάν μα της γωνιακής ταχύτητας του συστήματοςυσ ως προς το :

1 2 3( ) ( ), ( ), ( )t t t t

προκύπτει ότι:

( )d d

tdt dt

.

Πράγματι, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς , με την πάροδο του χρόνου, βλέπει την ορθοκανονική βάση 1 2 3( ), ( ), ( )e t e t e t

του

να περιστρέφεται και ο τελεστής του παραγώγισης καταγράφει το αποτέλεσμα:

11 1 2 2 3 3

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d e ta t e t a t e t a t e t

dt

21 1 2 2 3 3

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d e tb t e t b t e t b t e t

dt

3 ( )( ) ( ) ( )

d e tc t e t c t

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )e t c t e tdt

.

Οι συντελεστές αυτής της ανάλυσης στην βάση του συστήματος ορθοκανονική εξαρτώνται από το χρόνο και λαμβάνοντας υπόψη ότι:

( )( 0 ( ) i

j i

d e tt e t

dt dt( ), ( ) 1 ( ), )i i i

de t e t e t e

, 1,2,3i ,


50

προκύπτει: ( )

( ) , 0ii

d e te t

dt

, 1,2,3i .

Αμφίπλευροι εσωτερικοί πολλαπλασιασμοί των τριών σχέσεων με τα αντίστοιχα δια-ατα της ορθοκανονικής βάσης, υποδεικνύουν ότι:

νύσμ

1 2 3( ) ( ) ( ) 0a t b t c t .

Επίσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι:

( ), ( ) 0 ( ), ( ) 0i j i j

de t e t e t e tdt

,

προκύπτει:

1,2,3i j, i, j ,

( ) ( )( ), ( ), 0j i

i j

d e t d e te t e t

dt dt

, 1,2,3i j, i, j .

Αμφίπλευροι εσωτερικοί πολλαπλασιασμοί των τριών σχέσεων με αντίστοιχα διανύ-σματα της ορθοκανονικής βάσης και κατά μέλη πρόσθεσή τους,, υποδεικνύουν ότι:

2 1( ) ( ) 0a t b t , 3 2( ) ( ) 0b t c t , 1 3( ) ( ) 0c t a t .

Συνεπώς, οι τρεις αυτές σχέσεις περιέχουν μόνο τρεις παραμέτρους:

11 3 2 2 3

( )0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d e te t t e t t e t

dt

23 1 2 1 3

( )( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

d e tt e t e t t e t

dt

32 1 1 2 3

( )d e t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )t e t t e t e tdt

και συνοψίζονται ως εξής:

i

( )( ) ( )id e tt e t

dt

, 1,2,3i .

Το διάνυσμα 1 2 3( ) ( ), ( ), ( )t t t t

ορίζει, κάθε χρονική στιγμή, τη γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου συστήμα-ος αναφοράς ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς τ και, εισάγοντας τον

αντισυμμετρικό τελεστή γωνιακής ταχύτητας:


51

3 2

3 1

2 1

0 ( ) ( )

( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) 0

t t

t t t

t t

L

προκύπτει η κλασική διανυσματική σχέση:

( )t

L , 3 .

Η κίνηση ενός υλικού σημείου καταγράφεται διαφορετικά στα δυο αυτά συστήματα αναφοράς και αποσυνθέτοντας το διάνυσμα θέσης στην ορθοκανονική βάση του πε-

τος αναφοράς : ριστρεφόμενου συστήμα

1,2,

( ) ( ) ( )i ii 3

x t c t e

t

προκύπτει:

1,2,3 1,2,3

( ) ( )d x t d c t ( )( ) ( )i i

i ii i

d e te t c t

dt dt dt

άρα

( ) ( )( ) ( )

d x t d x tt x t

dt dt

και επειδή η γωνιακή επιτάχυνση δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς:

( ) ( ) ( )( ) ( )

d t d t d tt t

dt dt dt

προκύπτει:*

2 2( ) ( ) ( )

( ) ( ) ) 2 ( ) ( ) )x t d x t d x t

t t x t t t

2 2(

dx t

dtdt dt(

.

* Πράγματι:

2 ( ) ( )d x t d d x t

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d d x t d x tt x t t x t t t x t

dt dt dt dt dt dt

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t d x t d t d x t

t x t t t t x t

2dt dt dt dt

2

2

( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d x t d x t d tt x t t

dt dt dt

t x t

.


52

Ο παρατηρητής που καταγράφει την κίνηση του υλικού σημείου από το αδρανειακό σύστημα αναφοράς αντιλαμβάνεται ως μόνο αίτιο της τη δύναμη που υπεισέρ-χεται στην εξίσωση του Νεύτωνα:

2

2

( )F( , )

d x tm x

dt x

.

Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς αντιλαμ-βάνεται ότι επενεργούν τρεις επιπλέον δυνάμεις που οφείλονται στη μη αδρανειακή φύση του συστήματός του και τις οποίες συμπεριλαμβάνει στην εξίσωση της κίνησης:

2

2

( ) ( )F( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

d x t d x tm x x m t t x t m t m t x t

dtdt .

Πρόκειται για τις καλούμενες αδρανειακές δυνάμεις που είναι φαινομενικές και όχι καθαυτού δυνάμεις, αφού δεν αποτελούν συνέπεια μιας φυσικής αλληλεπίδρασης με-ταξύ σωμάτων, αλλά της αδρανειακής αντιπαράθεσης του περιστρεφόμενου συστή-ματος αναφοράς που έχει εγκαταλείψει τη φυσική ευθύγραμμη ομαλή κίνησή του. Οι αδρανειακές δυνάμεις που Φυγόκεντρος δύναμη (κεντρομόλος δύναμη όταν τεθεί θετικό πρόσημο):

( ) ( ) ( )m t t x t

Δύναμη Coriolis:

C

( )2 ( )

d x tm t

dt

Δύναμη γωνιακής επιτάχυνσης:

( ) ( )m t x t .*

* Στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς που περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα δεν εμφανίζεται η αδρανειακή δύναμη γωνιακής επιτάχυνσης:

t( ) 0 ( ) ( ) 0t m t x .

Ο παρατηρητής που είναι ακίνητος σε ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς αντιλαμβάνεται τη φυγόκεντρο δύναμη αλλά όχι τη δύναμη Coriolis:

C

( ) ( )0 2 ( )

d x t d x tm t

dt dt 0

.


53

Κίνηση όπως την αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής από το αδρανειακό σύστημα αναφοράς

και ένας παρατηρητής από το μη αδρανειακό περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς . .

1.6. Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

.


54

1.7. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜ

1. Στην Κλασική Μηχανική, η δομή του χωρο-χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά ης, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου. Διευκρινίστε τι σημαί-

ΟΙ

νουν από μαθηματική άποψη αυτά τα χαρακτηριστικά.

2. Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση με τη θεωρία Σχετικότητας, δεν υφίσταται μετρική στο χωρο-χρόνο που να έχει φυσικό νόημα και να προσμετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις

ινίστε αυτή την παρατήρηση.

ταύ-τισή του με τον πραγματικό διανυσματικό χώρο

4. Διευκρινίστε τις 10 παραμέτρους που υπεισέρχονται στη γαλιλαϊκή ομάδα μσμών του κλασικού χωρο-χρόνου. Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο αυτής της ομάδας και πως

Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί του κλασικού χωρο-χρόνου διατηρούν την ορθοκανονικότητα και τον προσανατολισμό των βάσεων στο χώρο των ταυτόχρονων γεγο-νότων . Για ποιο λόγο στους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς δεν υπεισέρχονται όλοι οι

ασχηματισμοί του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων

ους:

τ

και χρονικά διαστήματα. Διευκρ

3. Διευκρινίστε την αλγεβρική δομή του συνόλου των μεταφορών στο χωρο-χρόνο διαμέσου ων οποίων πραγματοποιείται η μετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο και την ισομορφική τ

4 .

ετασχηματι-

διατυπώνεται το αντίστροφο στοιχείο ενός οποιουδήποτε στοιχείου της; Διαπιστώστε την μη αντιμεταθετικότητά της και εξετάστε αν διαθέτει αντιμεταθετικές υποομάδες.

5.

3ορθογώνιοι μετ 3 ;

6. Από ττους ακόλουθους μετασχηματισμούς του χωρο-χρόνου εντοπίστε εκείνους που ανή-κουν στη γαλιλαϊκή ομάδα και προσδιορίστε τις τιμές των παραμέτρων τ

11 1 1

22 2 2

33 3 3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0 1

oo

oo

oo

xv

o

x x

xv x x

xv x x

tt t 0 0 0 1

11 1

22 2 2

33 3 3

1/ 3 2 /3 2 /3

2 /3 1/3 2 /3

2 /3 2 /3 1/3

1

o

o

oo

oo

xvo x x

xv x x

xv x x

t

t t

11 1 1

22 2 2

33 3 3

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 0 0 1

oo

oo

oo

o

xv x x

v xx x

xv x x

tt t

11 1 1

22 2 2

33 3 3

2 /3 2 /3 1/3

1/3 2 /3 2 /3

2/3 1/3 2 /3

0 0 0 1

oo

oo

oo

o

xv x x

xv x x

xv x x

tt t

11 1 1

22 2 2

33 33

2 / 2 0 2 / 2

0 1 0

2 / 2 0 2 / 2

0 0 0 1

oo

oo

oo

o

xv x x

xv x x

xx xvtt t

11 1 1

22 2 2

33 3 3

2 /3 2 /3 1/ 3

2 / 3 1/3 2 /3

1/ 3 2 /3 2 /

0 0 0 1

3

oo

oo

oo

o

xv

x x

xv x x

xv x x

tt t

1.7. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 55

7. Προσδιορίστε τη χωρική απόσταση των γεγονότων (1,1,1,0)a και (1,0,0,0)b του

χωρο-χρόνου 3 και τη γωνία τους στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων 3 . Κατόπιν, προσδιορίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνί των αντίστοιχων γεγονόα -ων που προκύπτουν από τον ακόλουθο χωρο-χρονικό μετασχηματισμό:

τ

1 1

2 2

3 3

.

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 0

x x

x x

x x

t t

8. Ερμηνεύστε γεωμετρικά τους με σχηματισμούς που ορίζονται στην κανονική βάση του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων 3 με τους ακόλου πίνακες:

ταθους

cos sin 0

1

sin cos 0

0 0

0 cos sin

in cos

1 0 0

0 s

.

sin 0 cos

0 1 0

cos 0 sin

. Αποδείξτε ότι κάθε μετασχηματισμός 9 χωρικής στροφής, σε κατάλληλη ορθοκα-νονική βάση του ευκλείδειου χώρου εκφράζεται ως εξής:

3 ,

1 1

2 2

3 3 .

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x x

x x

x x

Συμπεράνατε ότι κάθε γαλιλαϊκός μετασχηματισμός, με επιλογή κατάλληλης βάσης το χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων 3 , εκφράζε ι ωσ

τα ς εξής:

1 1 01 01

2 2 02 02

cos sin 0

sin cos 0

3 3 03 03 .0 0 1

x x v t x

0. Μας πληροφορούν ότι ένας γαλιλαϊκός μετασχηματισμός ορίζει μηδενική χωρι-

x x v t x

x x v t x

1κή και χρονική μεταφορά, αδρανειακή κίνηση με ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου στονάξονα του διανύσματος (1,1,1)

και χωρική στροφή γύρω από αυτό τον άξονα

ωνίας π/2 και ότι τα αριθμητικά αυτά δεγ δομένα είναι εκφρασμένα στην ευκλείδεια βάση του χώρου 3 . Ζητάμε να προσδιορίσετε στην ευκλείδεια βάση τα αριθμητικά στοιχεία που υπεισέρχονται στην έκφραση αυτού του μετασχηματισμού:

1 1

3 3

.

.. . . .

.. . . .

.. . . .

.0 0 0 1

2 2

x x

x x

x x

t t


56

11. Μας ζητούν να προσδιο με τον άξονα και τη γωνία της χωρικής στροφής που υπεισέρχεται στο γαλιλαϊκό μετασχηματισμό ο οποίος, όταν τ αριθμητικά του

του χώρου εκφράζεται ως εξής:

ρίσουα

στοιχεία διατυπωθούν στην ευκλείδεια βάση

3 ,

1 1

2 2

3 3 02 1 0 1 0

0 0 0 .

0 1 0 0

12 0 2 0 2

01

1

x x

t

x x

x x

t

σχηματισμός του οποίου η δράση στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονό μετασχηματίζει το ευκλείδειο σύστημα αξό-νων στο σύστημα αξόνων που ικεντρωμένο στο σημείο και ορίζεται

12. Εξετάστε αν υπάρχει γαλιλαϊκός μετατωνείναι

3 επ (1,1,1)

από τα διανύσματα 1 (2,2,1) e , 2 ( 2,1,2)

e , 3 (1, 2,2)

e .

13. Αποδείξτε ότι κάθε μετασχηματισμός χωρικής στροφής, γύρω από έναν άξονα μοναδιαίου διανύσματος 1 2 3= ( , , )

κατά γωνία , εκφράζεται στην κανονική

βάση του ευκλείδειου χώρου 3 ως εξής:

2

αναπα-τρου.

17. Αποδείξτε ότι οι τροχιές μηδενικής στρέψης είναι επίπεδες και οι τροχιές μηδε-νικής καμπυλότητας είναι ευθ

1 2(e ,e ,e3

21 1 2 3 1 3

2) 1 2 3 2 2 3 1

21 3 2 2 3 3 .

(1 cos ) cos ( os ) (sin ) (1 cos ) (sin )

(1 cos ) (sin ) cos ) cos (1 cos ) (sin )

(1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos

S

1

1 c

(1

14. Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχημ τισμοί δεν επηρεάζουν την καμπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 3 .

α

15. Αποδείξτε ότι η αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει την κα-μπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 3 . 16. Αποδείξτε ότι κάθε κίνηση μη μηδενιζόμενης ταχύτητας με κατάλληληραμέτρηση του χρονικού άξονα ανάγεται σε κίνηση ταχύτητας μοναδιαίου μέ

ύγραμμες.

18. Προσδιορίστε τη συνάρτηση ( ) t έτσι ώστε η τροχιά της ακόλουθης κίνησης

να είναι επίπεδη:

( ) cos , sin , ( ) x t t t t .

19. Διαπιστώστε ότι η τροχιά της ακόλουθης κίνησης είναι επίπεδη:

3 , : x.

4 3( ) cos , 1 sin , cos

5 5

x t t t t


20. Διαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης:

3: [-2 ,2 ] x , ( ) 1 cos , sin , 2sin / 2 x t t t , t

της.

21. Διαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης:

εξελίσσεται στην τομή μιας σφαιρικής και μιας κυλινδρικής επιφάνειας και προσδι-ορίστε την καμπυλότητα και τη στρέψη

3: x , ( ) e cos , e sin , e t t tx t t t ,

ξελίσσεται στην επιφάνεια ενός κώνουε και προσδιορίστε την προβολή της στο ορι-ζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου συστήματος αναφορά Ποια είναι η σχέση της κα-μπυλότητάς της με την καμπυλότητα της οβολής της

ς τροχιάς της ακόλουθης κίνησης μηδενίζε-αι μόνο τη χρονική στιγμή

ς. ; πρ

22. Διαπιστώστε ότι η καμπυλότητα τητ 0t :

, 3: x ( ) , ( ), ( ) x t t h t h t

όπου

( ) 0h t όταν 0t και 21/( ) th t e όταν 0t .

3. Αποδείξτε 2 ότι οι τροχιές σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας και σταθερής

ν η καμπυλότητα και η στρέψη είναι μη μη-ενικές με σταθερό λόγο είναι ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο

στρέψης είναι κυκλικές ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 3 . 24. Αποδείξτε ότι οι τροχιές των οποίωδ 3 . 25. Από τις ακόλουθες κινήσεις προσδιορίστε εκείνες που είναι ελικοειδείς:

( ) ch , sh ,x t t t t , 3 2 3( ) 3 3 3 x t t t , t , t t ,

2 3( ) 2 , , / 3x t t t t , 2 2 3( ) , , 1 2 x t t t t t t .

26. Ποιες δυνάμεις μπορούν να προκα ουν ινήσ που αναφέρονται στην προηγούμενη άσκηση όταν ασκηθούν σ α υλ ημείο οναδιαίας μάζας;

λέσ τις κ ειςε έν ικό σ μ

27. Σε ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας ασκείται δύναμη που ορίζεται στον ευ-κλείδειο χώρο 3 ως εξής:

1 2 3 1 2F( , , ) ( , ,0)

x x x x x .

Εξετάστε αν υπάρχει αρχική θέση και αρχική ταχύτητα έτσι ώστε το υλικό σημείο να εξελιχθεί σε κυκλική ελικοειδή τροχιά καμπυλότητας κ=1/5 και στρέψης τ=2/5.


58

28. Προσδιορίστε τις τροχιές που μπορεί να διαγράψει ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας υπό την επίδραση της δύναμης:

1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)

x x x x x .


1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)

x x x x x .


1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)

x x x x x .

31. Η κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που εισάγεται από την αρχή

χή της σχετικότητας του αλιλαίου;

που θα ίσχυε ο νόμος:

της σχετικότητας του Γαλιλαίου είναι μοναδική; Τι επίπτωση έχει σε αυτή την κλά-ση μια χρονική ή χωρική μεταφορά ή χωρική στροφή προερχόμενη από την ομάδατου Γαλιλαίου;

32. Τι επίπτωση έχουν οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί στη θεμελιώδη εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερμινισμού του Νεύτωνα; Ποια θα ήταν η επίπτωση των ορθογώνιων μετασχηματισμών; 33. Αν ίσχυε η αντίληψη του Αριστοτέλη σύμφωνα με την οποία η ταχύτητα είναι ανάλογη της δύναμης, θα μπορούσε τότε να ισχύει η αρΓ 34. Ποιες από τις θεμελιώδεις αρχές της Κλασικής Μηχανικής δεν θα ίσχυαν σε ένα κόσμο διαφορετικό από τον δικό μας ό

k

kF( ) m

d xx

dt, k 1 ή k 3 ;

35. Από τη θεμελιώδη εξίσωση του Νεύτωνα προκύπτει ότι αν σε ένα υλικό σημείο δεν ασκείται δύναμη τότε η επιτάχυνσή του είναι μηδενική, άρα η ταχύτητά του ίναι σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι ο 1ος νόμος του Νεύτωνα αποτελεί πόε ρισμα του

37. Σχολιάστε τον ισχυρισμό ότι η χωρική ομογένεια υποδηλώνει την αρχή διατή-ρησης της ορμής και η χωρική ισοτροπία την αρχή διατήρησης της στροφορμής;

2ου νόμου; 36. Ο 3ος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να υποκατασταθεί από την αρχή διατήρησης της ορμής; Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορμής θα μπορούσε να ισχύει ο 1ος όμος του Νεύτωνα; ν


38. Ένα υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 . Πώς καταγράφεται η κίνησή του σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραμ-μη επιταχυνόμενη κίνηση ως προς το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς;

ευκλείδειο σύστημα αναφοράς διατηρώντας την αρχή υτισμένη με την αρχή του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και έχοντας

39. Ένα υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 . Πώς καταγράφεται η κίνησή του σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί περιστρο-φική κίνηση ως προς το του

γωνια-τακή ταχύτητα ( ) (0,0,1)

t ; Ποια διαφορά θα διαπιστωθεί αν ( ) (0,0, )

t t ;

40. Ένα υλικό σημείο εκτελεί ελικοειδή κίνηση καταγεγραμμέν στοη ευκλείδειο σύ-τημα αναφοράς ως εξής: σ

(t) (cos , sin , )x t t t , 0t .

Ένας παρατηρητής είναι τοποθετημένος σε ένα σύστημα αναφοράς του οποίου η ρχή, σε κάθε χρονική στιγμή, ταυτίζεται με την προβολή του υλικού σημείου στο αοριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και οι άξονές του παραμέ-νουν παράλληλοι με τους αντίστοιχους ευκλείδειους άξονες. Πώς αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής αυτός την κίνηση του υλικού σημείου και πώς καταγράφεται στο σύ-στημα αναφοράς του η δύναμη που προκαλεί την κίνηση; 41. Εξετάστε τα ερωτήματα της προηγούμενης άσκησης θεωρώντας ότι η τροχιά του υλικού σημείου εξελίσσεται σε μια κωνική επιφάνεια και καταγράφεται στο ευ-κλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής:

( ) e cos , e sin , e t t tx t t t , 0t .

42. Προσδιορίστε τη φυγόκεντρο δύναμη που ασκείται σε μάζα τοποθετη-

μένη σε γεωγραφικό πλάτος 60ο στην επιφάνεια της γης. Η φυγόκεντρος δύναμη είναι εντονότερη στον ισημερινό ή σε κάποιον από τους πόλους της γης; 43. Λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της δύναμης Coriolis προσδιορίστε την τελι-κή απόκλιση στην πτώση μιας πέτρας η οποία αφέθηκε να πέσει σε πηγάδι βάθους 500 μέτρων σε ένα τόπο που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 60ο. Ποια θα ήταν η απόκλιση αν το πηγάδι βρίσκεται στον ισημερινό ή σε έναν πόλο ης γης;

ευκλείδειου χώρου

45. Πότε η στροφορμή ενός συστήματος υλικών σημείων ταυτίζεται με την ιδιο-στροφορμή του; Θα μπορούσε η στροφορμή να μεταβάλλεται και η ιδιοστροφορμή να παραμένει σταθερή;

1.000kg

τ

44. Ένα υλικό σημείο που κινείται σε τροχιά μη μηδενικής καμπυλότητας θα μπο-ρούσε σε δεδομένη χρονική στιγμή ή σε δεδομένο χρονικό διάστημα να έχει μηδε-νική στροφορμή ως προς την αρχή του 3 ;


60

46. Αν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα υλικών σημείων είναι μηδενική ως προς το αδρανειακό του κέντρο, θα είναι όπωσ-δήποτε μηδενική και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 47. Προσδιορίστε την έκφραση της ιδιοστροφορμής δυο υλικών σημείων που κι-νούνται ομαλά σε μια περιφέρεια γνωρίζοντας ότι το αδρανειακό τους κέντρο μένει αμετακίνητο στο κέντρο της.

τρου. Επίσης, προσδιορίστε την ιδιο-τροφορμή του συστήματός τους και την ολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως

είδειου συστήματος αναφοράς. Διερευνήστε την ερίπτωση αντίρροπης κίνησης των υλικών σημείων.

3 ;

48. Δυο υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας διαγράφουν ομόκεντρες κυκλικές τροχιές με ομόρροπες ταχύτητες σταθερού μέτρου έτσι ώστε το αδρανειακό τους κέντρο να διαγράφει ομόκεντρο κύκλο. Ποια σχέση πληρούν τα μέτρα των ταχυτήτων τους; Αν το υλικό σημείο που διαγράφει την εσωτερική κυκλική τροχιά έχει ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου, προσδιορίστε την κινητική ενέργεια του συστήματός τους και την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κένσπρος το αδρανειακό του κέντρο. Προσδιορίστε την στροφορμή του συστήματός τους ως προς το κέντρο των κυκλικών τροχιών το οποίο μπορείτε να το θεωρήσετε τοποθετημένο στην αρχή του ευκλπ

49. Δυο υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και σε κάθε χρονική στιγμή η θέση τους εντοπίζεται στο ευκλείδειο σύ-τημα αναφοράς αντίστοιχα ως εξής: σ

( ) cos , sin ,x t t t t

( ) cos( ), sin( ), x t t t . t


ροσδιορίστε την τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους αι τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο υλικών σημείων και σε τι διαφέρει από την κινητική ενέρ-γεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό σημείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους;

50. Τρία υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και οι τροχιές τους καταγράφονται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης:

Πκ

3 .

1r ( ) e cos , e sin , e t tt t t t

t t2r ( ) e cos , e sin , 0

t t t

t t3r ( ) e cos( ), e sin( ), 0

t t . t

Προσδιορίστε την κίνηση του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους και τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των τριών υλικών σημείων και ποια είναι η διαφορά της από την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό ση-μείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους;

3 .

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ...

Documents

Transcript of ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ...