Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση...

56
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Transcript of Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση...

Page 1: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ &ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΔιδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Δυαδικό Πρόβλημα –Εισαγωγή στην Ανάλυση

Ευαισθησίας

Page 2: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

2

Άδεια Χρήσης

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Page 3: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

3

ΠαράδειγμαΙ

Για την παραγωγή δύο προϊόντων (Α και Β) μια μικρομεσαία επιχείρηση, σεκαθημερινή βάση χρησιμοποιεί τρεις διαφορετικούς παραγωγικούς πόρους:Εργασία (σε ώρες), χάλυβα (σε κιλά) και αποθηκευτικό χώρο (σε τ.μ.).

Το κέρδος από την πώληση ενός τεμαχίου Α, είναι 160 €. Το αντίστοιχο κέρδος γιατο προϊόν Β είναι 200 €/τμχ. Οι απαιτήσεις σε πόρους για την παραγωγή ενόςτεμαχίου από κάθε προϊόν και η συνολική διαθεσιμότητα τους, φαίνεται στονΠίνακα που ακολουθεί:

ΑνάλωσηΠόρων/τεμάχιο

Πόρος ΠροϊόνΑ ΠροϊόνΒ ΣυνολικήΗμερήσιαΔιαθεσιμότητα

Εργασία(hrs) 2 4 40

Χάλυβας (Kgs) 18 18 216

Αποθ.Χώρος (m2) 24 12 240

Page 4: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

4

ΠαράδειγμαΙ

Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος και το βέλτιστο ταμπλό Simplex είναι ταακόλουθα:

MaxZx =160x1 +200x2μεπεριορισμούς

2x1 + 4x2 ≤ 40 (ώρεςεργασίας)18x1 + 18x2 ≤ 216(κιλάχάλυβα)

24x1 + 12x2 ≤ 240(τ.μ.αποθ.χώρου)καιx1,x2, ≥0

Page 5: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

5

ΠαράδειγμαΙ

BM

MBM

Θυμίζουμε, πως οι τιμές αυτές δίνουν την επίπτωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν μιααπό τις S1 (ώρες εργασίας) ή S2 (κιλά χάλυβα) γίνει βασική, με τιμή 1. Στην λύση πουφαίνεται στο ταμπλό, οι S1 και S2 είναι μη βασικέςè καταναλώνονται πλήρως (τιμή 0).

Page 6: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ 6

ΠαράδειγμαΙ

BM

MBM

Αν λοιπόν η S1 γίνει βασική με τιμή 1, αυτό σημαίνει πως θα έχουμε μια ώρα εργασίας πουδε θα χρησιμοποιηθεί και το κέρδος θα μειωθεί κατά 20 €. Αυτό σημαίνει πως η συμβολήμιας ώρας εργασίας στην αντικειμενική συνάρτηση είναι 20 €. Κατά συνέπεια θα ήμαστανδιατεθειμένοι να πληρώσουμε ως και 20€ για την κτήση μιας μονάδας του πόρου. Η τιμήαυτή ονομάζεται οριακή (marginal value) ή σκιώδης τιμή (shadow price) του πόρουεργασία.

Page 7: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

7

ΠαράδειγμαΙ

MBM

Τι γίνεται όμως με τον τρίτο πόρο, δηλαδή τον διαθέσιμο αποθηκευτικό χώρο; Βλέπουμεπως έχει οριακή αξία ίση με μηδέν. Αυτό σημαίνει πως η επιχείρηση δεν είναι διατεθειμένηνα πληρώσει κανένα ποσό για την απόκτηση της. Είναι προφανές από τη λύση τουπροβλήματος πως ο πόρος S3 δεν αποτελεί περιορισμό του προβλήματος. Πράγματι, S3 =48 που σημαίνει πως υπάρχουν48 τ.μ. αχρησιμοποιήτου αποθηκευτικού χώρου.

Page 8: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

8

ΠαράδειγμαΙ

BM

MBM

Αν τώρα ονομάσουμε τις οριακές τιμές των μεταβλητών απόκλισης του προβλήματος u1, u2και u3 τότε προκύπτει πως 40 * u1 + 216* u2 +240 * u3 είναι η συνολική αξία των πόρωνόπως αυτή εκφράζεται από τη συμβολή τους στην αντικειμενική συνάρτηση.

Το συνολικό κόστος κτήσης των πόρων η επιχείρηση θέλει να το ελαχιστοποιήσει, κατάσυνέπειαminU = 40 * u1 + 216* u2 +240 * u3

Page 9: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

9

ΠαράδειγμαΙ

BM

MBM

Προφανώς το κόστος απόκτησης των πόρων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μιαςμονάδας προϊόντος, θα πρέπει να είναι τουλάχιστον μεγαλύτερο ή ίσο από το κέρδος απότην πώληση του προϊόντος, αλλιώς η επιχείρηση δε θα είχε λόγο να αγοράσει τον πόροεκτός επιχείρησης. Κατά συνέπεια, το πρόβλημα έχει την ακόλουθη μορφή:minU = 40 * u1 + 216* u2 +240 * u32u1 + 18u2 + 24u3 ≥ 1604u1 + 18u2 + 12u3 ≥ 200και u1, u2,u3 ≥ 0

Page 10: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

10

1ηΆσκησηστηνΤάξη

MinZu =40u1 +216u2 +240u3

μεπεριορισμούς2u1 + 18u2+24u3 ≥ 1604u1 + 18u2+12u3 ≥ 200

καιu1,u2,u3 ≥0

MinZu =40u1 +216u2 +240u3 - 0* S1 -0* S2+0* S1+MA1 +M A2

μεπεριορισμούς2u1 + 18u2+24u3 -S1 +A1 =1604u1 + 18u2+12u3 –S2 +A2 =200

καιu1,u2,u3,S1,S2,A1,A2 ≥0

40 216 240 0 0 Μ Μ

Cj Βασική Μεταβλητ

ήΠοσότητα

u1 u2 u3 s1 s2 A1 A2

Μ A1 160 2 18 24 -1 0 1 0

Μ A2 200 4 18 12 0 -1 0 1

Zj 360M 6M 36M 36M -M -M M M

Zj- Cj 6M-40

36M-216 36M-240 -M -M 0 0

Page 11: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

11

40 216 240 0 0 Μ

Cj Βασική Μεταβλητ

ήΠοσότητ

α

u1 u2 u3 s1 s2 A2

216 u2 80/9 1/9 1 4/3 -1/18 0 0

M A2 40 2 0 -12 1 -1 1

Zj 1920+40M

24+2M 216 288-12M -12+M -M Μ

Zj- Cj 2M-16 0 -12M+48 M-12 -M 0

1ηΆσκησηστηνΤάξη

Page 12: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

12

40 216 240 0 0

Cj Βασική Μεταβλητ

ήΠοσότητ

α

u1 u2 u3 s1 s2

216 u2 60/9 0 1 2 -1/9 1/18

40 u1 20 1 0 -6 1/2 -1/2

Zj 2240 40 216 192 -4 -8

Zj- Cj 0 0 -48 -4 -8

1ηΆσκησηστηνΤάξη

Page 13: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

13

1ηΆσκησηστηνΤάξη

Τιπαρατηρείτε;

Page 14: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

14

Δυαδικό Πρόβλημα

Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια του δυαδικούπροβλήματος. Σε κάθε αρχικό πρόβλημα ΓΠ (που ονομάζεται πρωτεύων –primal) και εφεξής θα συμβολίζεται με «Π» αντιστοιχεί ένα άλλο πρόβλημαΓΠ που έχει μια ιδιαίτερη σχέση με αυτό και ονομάζεται δυαδικό (dual) καιεφεξής θα συμβολίζεται με «Δ». Η ιδιαίτερη μεταξύ τους σχέση, η οποία καιοδηγεί τους αναλυτές στη χρησιμοποίηση του δυαδικού προβλήματος,συνοψίζεται στα κάτωθι:

- Η βέλτιστη λύση του προβλήματος «Δ», συνδέεται άμεσα με τη βέλτιστηλύση του «Π»- Η Θεωρία Δυαδικότητας συχνά διευκολύνει την επίλυση του αρχικούπροβλήματος «Π» με χειρισμό απευθείας του δυαδικού του «Δ»- Η Θεωρία Δυαδικότητας παρέχει χρήσιμες οικονομικές πληροφορίες για ταμεγέθη του «Π»- Η Θεωρία Δυαδικότητας είναι πολύ χρήσιμη στην «ΑνάλυσηΕυαισθησίας»/Sensitivity Analysis, δηλ. στην ανάλυση των επιπτώσεων πουέχουν διάφορες μεταβολές των παραμέτρων του «Π», πάνω στη βέλτιστηλύση του.

Page 15: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ15

ΕύρεσηΔυαδικούαπόΠρωτεύονπρόβλημα

Από κάθε πρωτεύων πρόβλημα «Π» στην κανονική του μορφή τοδυαδικό πρόβλημα «Δ» που του αντιστοιχεί, προκύπτει με βάση τουςακόλουθουςμετασχηματισμούς:

i. Ορίζονται m δυαδικές μεταβλητές (u1, u2, …, um), δηλ. τόσες όσοτο πλήθος των περιορισμών/ πόρων του «Π»

ii. Σχηματίζονται n περιορισμοί, δηλ. τόσοι όσο το πλήθος τωνμεταβλητών του «Π»

iii. Η αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείταιiv. Αλλάζουν θέση (αντιμετατίθενται) οι συντελεστές της

αντικειμενικής συνάρτησης με τους σταθερούς όρους τωνπεριορισμών (δεξιά μέλη περιορισμών)

v. Αλλάζουνφορά οι ανισότητες των περιορισμώνvi. Αναστρέφονται οι στήλες με τις γραμμές των συντελεστών των

μεταβλητών στους περιορισμούς, δηλαδή αναστρέφεται οπίνακας (μήτρα) των συντελεστών των μεταβλητών

vii. Ισχύουν οι περιορισμοί μη-αρνητικότητας των δυαδικώνμεταβλητών

Page 16: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

16

Πρωτεύον πρόβλημα σε Κανονική Μορφή

Έστω Πρωτεύον Πρόβλημα «Π», που βρίσκεται στην Κανονική Μορφή(n xm). Τότε το Δυαδικό του «Δ» έχει την ακόλουθημορφή:

Minzu =b1u1 +b2u2 +…+bmumμεπεριορισμούς

a11u1 +a12u2 +…+am1um ≤ c1a12u1 +a22u2 +…+am2um ≤ c2a1nu1 +a2nu2 +…+amnum ≤ cn

καιui ≥ 0,γιακάθε i=1,2,…,m (Μορφή ΙI)

Page 17: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

17

ΧάρτηςΜετατροπής(Π)à (Δ)

MinZu =40u1 +216u2 +240u3

μεπεριορισμούς2u1 + 18u2+24u3 ≥ 1604u1 + 18u2+12u3 ≥ 200

καιu1,u2,u3 ≥0

MaxZx =160x1 +200x2μεπεριορισμούς

2x1 + 4x2 ≤ 4018x1 + 18x2 ≤ 21624x1 + 12x2 ≤ 240

καιx1,x2,x3 ≥0

Page 18: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

18

Παράδειγμα2ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΚανονικήΜορφή

Να βρεθεί το δυαδικό «Δ»τουακόλουθου ΠρωτεύοντοςΠροβλήματος «Π»

MaxZx =40x1 +50x2με περιορισμούς

x1 + 2x2 ≤ 404x1 + 3x2 ≤ 120

καιx1,x2 ≥0

Βήμα 1: Ορίζονται 2 δυαδικές μεταβλητές (u1, u2), τόσες όσες και τοπλήθος των περιορισμών του «Π»Βήμα 2: Σχηματίζονται 2 περιορισμοί, τόσοι όσοι το πλήθος τωνμεταβλητών του «Π»

Λύση – Μέθοδος ΔιαμόρφωσηςΔυαδικούΠροβλήματος«Δ»

Page 19: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

19

Παράδειγμα2ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΚανονικήΜορφή

Βήμα 3: Ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία θα έχει ωςσυντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 40 και 120 αντίστοιχα,που είναι οι σταθεροί όροι των περιορισμών του «Π», δηλαδή:

MinZu =40u1 +120u2Βήμα4:

Ο πρώτος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 1 και 4

αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x1στους περιορισμούς του «Π»

• φορά ≥• σταθερό όρο 40, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x1στην

αντικειμενική συνάρτηση του «Π»Δηλαδή ο πρώτος περιορισμός γίνεται:

u1 + 4u2 ≥ 40

Page 20: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

20

Παράδειγμα2ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΚανονικήΜορφή

Όμοια, ο δεύτερος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστής στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 2 και 3 αντίστοιχα,

που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x2 στους περιορισμούςτου «Π»

• φορά ≥• σταθερό όρο 120, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x2 στην

αντικειμενική συνάρτηση του «Π»

Δηλαδή ο δεύτερος περιορισμός γίνεται:

2u1 + 3u2 ≥ 50

Βήμα5: Ισχύουνοιπεριορισμοίμη-αρνητικότηταςτωνδυαδικώνμεταβλητών,δηλαδή:

u1,u2 ≥0

Page 21: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

21

Παράδειγμα2ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΚανονικήΜορφή

Σημείωση: Εναλλακτικά, οι συντελεστέςτων δυαδικών μεταβλητών στο σύνολο τωνπεριορισμών, βρίσκονται από τονανάστροφο πίνακα των συντελεστών τωνμεταβλητών του προβλήματος «Π»

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

3241

3421 T

(Π)MaxZx =40x1 +50x2

μεπεριορισμούςx1 + 2x2 ≤ 404x1 + 3x2 ≤ 120

καιx1,x2 ≥0

(Δ)

MinZu =40u1 +120u2

μεπεριορισμούςu1 + 4u2 ≥402u1 + 3u2 ≥ 50

καιu1,u2 ≥0

Page 22: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

22

2ηΆσκησηστηνΤάξη

Να βρεθεί το δυαδικό «Δ»του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π»MaxZx =3000x1 +5000x2

με περιορισμούςx1 ≤ 4

2x2 ≤ 123x1 + 2x2 ≤ 18

και x1,x2 ≥0

Επαληθεύστε πως η λύση που βρήκατε είναι η ακόλουθη:MinZu =4u1 +12u2 +18u3

με περιορισμούςu1 + 3u3 ≥3000

2u2 + 3u3 ≥5000και u1,u2 ≥0

Λύση

Page 23: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

23

Πρωτεύον Πρόβλημα σε Γενική Μορφή

Όταν το Πρωτεύον πρόβλημα «Π» βρίσκεται στη Γενική Μορφή, τοδυαδικό του «Δ» βρίσκεται με βάση τις μετατροπές/ αντιστοιχήσειςτου Πίνακα της επόμενης διαφάνειας. Ειδικότερα:

Ι. Όταν το πρόβλημα «Π» είναι μεγιστοποίησης για την εύρεση του«Δ» εκτελούμε τους μετασχηματισμούς του Πίνακα από αριστεράπρος τα δεξιά, δηλαδή è

ΙΙ. Όταν το πρόβλημα «Π» είναι ελαχιστοποίησης για την εύρεση του«Δ» εκτελούμε τους μετασχηματισμούς του Πίνακα από τα δεξιά προςτα αριστερά, δηλαδή ç

Page 24: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

24

Πρωτεύον Πρόβλημα σε Γενική Μορφή

Πρωτεύων (Δυαδικό) çè Δυαδικό (Πρωτεύων)Πρόβλημα Μεγιστοποίησης Πρόβλημα ΕλαχιστοποίησηςΣυντελεστές Αντικειμενικής Συνάρτησης Σταθεροί όροι περιορισμώνΣταθεροί όροι περιορισμών Συντελεστές Αντικειμενικής Συνάρτησηςm περιορισμοί• ο i περιορισμός ≤• ο i περιορισμός ≥• ο i περιορισμός =

m μεταβλητές απόφασης• η i μεταβλητή ≥ 0• η i μεταβλητή ≤ 0• η i μεταβλητή ελεύθερη προσήμου

n μεταβλητές απόφασης• η i μεταβλητή ≥ 0• η i μεταβλητή ≤ 0• η i μεταβλητή ελεύθερη προσήμου

n περιορισμοί• ο i περιορισμός ≥• ο i περιορισμός ≤• ο i περιορισμός =

Οι συντελεστές των μεταβλητών απόφασης στους περιορισμούς του «Δ» προκύπτουν από τους συντελεστές των

μεταβλητών στους περιορισμούς του «Π» από τον ανάστροφο τους πίνακα.

Page 25: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

25

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφή

Να βρεθεί το δυαδικό «Δ»του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π»MaxZx =x1 +4x2 +3x3 +2x4

με περιορισμούς3x1+2x2 +x3 +x4 ≥8x1+2x2 - 3x3 +x4 =6

και x1,x2 ≥ 0,x3 ≤ 0, x4 ∈ R

Αφού το «Π» είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, κάνουμε τις μετατροπες πουφαίνονται στον Πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας, ακολουθώντας τηφορά «από αριστερά προς τα δεξιά», δηλ.→.

Λύση – Μέθοδος Διαμόρφωσης Δυαδικού Προβλήματος «Δ»

Page 26: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

26

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφή

α) Ορίζονται 2 δυαδικές μεταβλητές (u1, u2), δηλ. τόσες όσο το πλήθος τωνπεριορισμών του «Π»β) Σχηματίζονται 4 περιορισμοί, δηλ. τόσοι όσο το πλήθος των μεταβλητώντου «Π»γ) Ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία θα έχει ωςσυντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 8 και 6 αντίστοιχα, πουείναι οι σταθεροί όροι των περιορισμών του «Π», δηλ.

MinZu =8u1 +6u2

δ) Ο πρώτος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 3 και 1αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x1στους περιορισμούς του «Π»

• φορά ≥, επειδή η πρώτη μεταβλητή του «Π» είναι x1 ≥ 0

Page 27: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

27

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφή

• σταθερό όρο 1, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x1 στηναντικειμενική συνάρτηση του «Π»

Δηλ. ο πρώτος περιορισμός γίνεται

3u1 + u2 ≥1

Όμοια ο δεύτερος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 2 και 2

αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x2 στουςπεριορισμούς του «Π»

• φορά ≥, επειδή η δεύτερη μεταβλητή του «Π» είναι x2 ≥ 0• σταθερό όρο 4, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x2 στην

αντικειμενική συνάρτηση του «Π»Δηλ. ο δεύτερος περιορισμός γίνεται

2u1 + 2u2 ≥4

Page 28: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

28

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφή

Όμοια ο τρίτος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 1 και -3

αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x3 στουςπεριορισμούς του «Π»

• φορά ≤, επειδή η δεύτερη μεταβλητή του «Π» είναι x3 ≤ 0• σταθερό όρο 3, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x3 στην

αντικειμενική συνάρτηση του «Π»Δηλ. ο τρίτος περιορισμός γίνεται

u1 – 3u2 ≤ 3

Όμοια ο τέταρτος περιορισμός θα έχει:• ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 1 και 1

αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x4 στουςπεριορισμούς του «Π»

• Θα είναι ισότητα (=), επειδή η τέταρτη μεταβλητή του «Π» είναι x4 ∈ R

Page 29: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

29

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφή

• σταθερό όρο 2, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x4 στηναντικειμενική συνάρτηση του «Π»

Δηλ. ο τέταρτος περιορισμός γίνεται

u1 +u2 =2

ε) Για τις μεταβλητές του «Δ» θα ισχύουν:• Επειδή ο πρώτος περιορισμός του «Π» είναι της μορφής ≥, η πρώτη

μεταβλητή του «Δ» θα είναι

u1 ≤ 0

• Επειδή ο δεύτερος περιορισμός του «Π» είναι της μορφής =, η δεύτερημεταβλητή του «Δ» θα είναι

u2 ∈ R

Page 30: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

30

Παράδειγμα3ο – ΔιαμόρφωσηΔυαδικούΠροβλήματοςόταντοΠρωτεύονείναισεΓενικήΜορφήΆρα, το δυαδικό του παραπάνω προβλήματος (Π) θα είναι:

ΠΡΩΤΕΥΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Π)

MaxZx =x1 +4x2 +3x3 +2x4με περιορισμούς

3x1+2x2 +x3 +x4 ≥8x1+2x2 - 3x3 +x4 =6

και x1,x2 ≥ 0,x3 ≤ 0, x4 ∈ RΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Δ)

MinZu =8u1 +6u2με περιορισμούς

3u1 + u2 ≥ 12u1 + 2u2 ≥ 4u1 – 3u2 ≤ 3u1 +u2 =2

και u1 ≤ 0,u2 ∈ R

Page 31: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

31

3ηΆσκησηστηνΤάξη

Να βρεθεί το δυαδικό «Δ»του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π»MinZx =5x1 +3x2 +8x3

με περιορισμούςx1 - x2+4x3 =52x1 +5x2+ 7x3 ≥6

και x1 ∈ R, x2 ≤ 0, x3 ≥ 0

Επαληθεύστε πως η λύση που βρήκατε είναι η ακόλουθη:MaxZu =5u1 +6u2

με περιορισμούςu1 +2u2 =5-u1+5u2 ≥34u1 + 7u2 ≤ 8

και u1∈ R ,u2 ≥0

Λύση

Page 32: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

32

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

Ανατρέχουμεπάλιστογνωστόπαράδειγματηςεπιχείρησηςπαραγωγήςαντιγράφωναρχαϊκήςτέχνηςπουκατασκευάζει2προϊόντα(αμφορείςκαιαγαλματίδια).Οιαπαιτήσειςσεπόρους(εργασία,πηλός),ηδιαθεσιμότητατωνπόρωνκαιητιμήπώλησηςτωνπροϊόντωνυπενθυμίζονταιστονακόλουθοΠίνακα:

Δραστηριότητες/Προϊόντα

Απαιτήσειςσε πόρους Τιμήπώλησης(€/τμχ)

Εργασία(ώρες/τμχ)

Πηλός(κιλά/τμχ)

Αμφορείς 1 4 40

Αγαλματίδια 2 3 50

Διαθεσιμότηταπόρων

40 120

Page 33: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

33

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

Πρωτεύον Πρόβλημα (βλ. και Παράδειγμα 2)MaxZx =40x1 +50x2

με περιορισμούςx1 + 2x2 ≤ 404x1 + 3x2 ≤ 120

και x1,x2 ≥0

Στόχος: Ο προγραμματισμός της παραγωγής (εύρεση παραγόμενωνποσοτήτων σε τμχ κάθε προϊόντος) ώστε να μεγιστοποιούνται οι συνολικέςεισπράξεις από την πώληση των παραγόμενων προϊόντωνΟικονομική ερμηνεία:

• Μεταβλητές απόφασηςxj: η παραγόμενη ποσότητα σε τμχ των προϊόντων, j=1,2(1→ αμφορείς και 2→ αγαλματίδια)

Page 34: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

34

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

• Αντικειμενική Συνάρτηση (προς μεγιστοποίηση)Zx : συνολικές εισπράξεις από την πώληση των παραγόμενων προϊόντων

Πράγματι τούτο ισχύει διότι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης(cj , j=1,2) δίνουν την τιμή πώλησηςανά τμχ προϊόντος (c1=40, c2=50)

• Κάθε περιορισμόςπροκύπτει από τη διαθεσιμότητα τωνπόρων

Πράγματι τούτο ισχύει διότι- Οι Σταθεροί Όροι Περιορισμών (bi, i=1,2) εκφράζουν τη διαθεσιμότητα

από κάθε πόρο (b1=40, b2=50) και- Οι Συντελεστές των Μεταβλητών στους Περιορισμούς συνάρτησης (aij,

i,j=1,2) εκφράζουν την απαιτούμενη ποσότητα πόρου i για την κατασκευήενός τμχ προϊόντος j, (π.χ. a12=2, δηλ. απαιτούνται 2 ώρες εργασίας –πόρος 1 για την κατασκευή ενός αγαλματιδίου – προϊόν 2)

Page 35: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

35

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

Δυαδικό Πρόβλημα (βλ.και Παράδειγμα 2)MinZu =40u1 +120u2

με περιορισμούςu1 + 4u2 ≥402u1 + 3u2 ≥ 50

καιu1,u2 ≥0

Στόχος: Ο καταμερισμός των πόρων και ο καθορισμός της τιμής-αξίαςκάθε μονάδας πόρου (ώρας ή κιλού αντίστοιχα) ώστε ναελαχιστοποιείται η συνολική τιμή-αξία των διαθέσιμων πόρων

Page 36: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ 36

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

- Για να γίνει πιο κατανοητός ο στόχος του δυαδικού προβλήματος,θεωρείστε πως η επιχείρηση διατίθεται να αποκτήσειεπιπρόσθετους πόρους για να καλύψει τις ανάγκες της αγοράς για ταπροϊόντα της. Τι ποσό είναι διατεθειμένη η επιχείρηση να δώσει γιατους επιπρόσθετουςπόρους;

Απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνει η επίλυση του προβλήματος «Δ».Ορίζουμε μεταβλητές απόφασης:

u1 = η τιμή που η επιχείρηση προτίθεται να δώσει για να αγοράσειυπεργολαβικά μια επιπλέον μονάδα του πόρου 1 (ώρα εργασίας) και

u2 = η τιμή που η επιχείρηση προτίθεται να δώσει για να αποκτήσειμια επιπλέον μονάδα του πόρου 2 (κιλά πρώτης ύλης).

Ορίζουμε αντικειμενική συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση πουεκφράζει τη συνολική τιμή εξαγοράς των πόρων:

Min U = 40 u1 + 120 u2

Page 37: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ 37

ΟικονομικήΕρμηνείαΔυαδικούΠροβλήματος– Παράδειγμα4ο

Ζητούμε λοιπόν την ελαχιστοποίηση του κόστους απόκτησης τωνπόρων. Σε αυτή την περίπτωση οι περιορισμοί καλύπτουν την ανάγκητης επιχείρησης να προβεί στην απόκτηση των πόρων σε τιμή τέτοιαώστε η χρήση τους να είναι συμφέρουσα. Για να συμβαίνει αυτό κατ’αρχήν θα πρέπει η αξία χρήσης του κάθε πόρου στην κατασκευή ενόςτεμαχίου του προϊόντος να είναι μεγαλύτερη από την τιμή πώλησηςτου προϊόντοςστην αγορά, δηλαδή:

u1 +4u2 ≥402u1 +3u2 ≥50

Για παράδειγμα ο πρώτος περιορισμός μας δείχνει πως η τιμήαπόκτησης των πόρων που απαιτούνται για την κατασκευή ενόςαγαλματιδίου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την τιμή πώλησηςτου. Αν δεν ίσχυε αυτό τότε η επιχείρηση θα μπορούσε νακατασκευάσει μόνη της τον αμφορέα και να κερδίσει τη διαφορά.Τέλος, οι μεταβλητές u1, u2 εφόσον εκφράζουν αξία θα πρέπει ναείναι μη αρνητικές.

Page 38: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

38

Βασικά Θεωρήματα - Προτάσεις

2. Δυαδικό Θεώρημα

α) Εάν είτε το (Π) είτε το (Δ) έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση,τότε και το άλλο έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση. Μάλιστα, ηβέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κάθε προβλήματος είναι ηίδια, δηλαδή:

maxzx =minzu

β) Εάν το ένα από τα δύο (Π) ή (Δ) έχει μη-πεπερασμένες λύσεις αλλάείναι μη φραγμένο, τότε το άλλο δεν έχει δυνατή λύση.

γ) Εάν το ένα από τα δύο (Π) ή (Δ) είναι αδύνατο, τότε το άλλο είναι είτεαδύνατο είτε μη φραγμένο.

1.Έστω(Π)ένατυχαίοΠΓΠκαι(Δ)τοδυαδικότου.Τότε το δυαδικό του (Δ)είναι το (Π).

Page 39: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

39

Βασικά Θεωρήματα - Προτάσεις

3. Οι βέλτιστες τιμές ui* των δυαδικών μεταβλητών αποφάσεως ui, i=1, 2,..., m του (Δ) προκύπτουν από την τελευταία γραμμή του βέλτιστουΠίνακα Simplex του (Π) και συγκεκριμένα από τις τιμές (cj-zj) (δηλ. από τακαθαρά οριακά εισοδήματα) των αντίστοιχων μεταβλητών αποκλίσεωςτου (Si) του (Π). Αναλυτικότερα:

ü Εάν για την δυαδική μεταβλητή αποφάσεως ui ισχυεί ui ≥ 0, τότε ηβέλτιστη τιμή θα είναι ui* = | csi- zsi |

ü Εάν για την δυαδική μεταβλητή αποφάσεως ui ισχυεί ui ≤ 0, τότε ηβέλτιστη τιμή θα είναι ui* = - | csi- zsi |

iοστη

iοστη

Σημείωση: Το εάν μια δυαδική μεταβλητή αποφάσεως ui είναι (ή όχι) μη-αρνητική εξαρτάται (βλ. και Πίνακα Ι, με τις αντιστοιχίσεις Πρωτεύοντος –Δυαδικού)• Από το εάν το (Π) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης και• Από τον αντίστοιχο i-οστό περιορισμό του (Π)

Page 40: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

40

Αντιστοίχιση Βέλτιστων Λύσεων Πρωτεύοντος-ΔυαδικούΠαράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

Δυαδικό ΠρόβλημαMinZu =40u1 +120u2

με περιορισμούςu1 + 4u2 ≥402u1 + 3u2 ≥ 50

και u1,u2 ≥0

Πρωτεύον ΠρόβλημαMaxZx =40x1 +50x2

με περιορισμούςx1 + 2x2 ≤ 40

4x1 + 3x2 ≤ 120και x1,x2 ≥0

Page 41: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

41

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

!! 40 50 0 0 !! Βασικές

µεταβλητές Ποσότητα

(x!) x! x! x!

(= S!) x!

(= S!) 50 x! 8 0 1 4/5 -1/5 40 x! 24 1 0 -3/5 2/5

!! Z=1360 40 50 16 6 c! − z! 0 0 -16 -6

!!Με βάση τον παραπάνω πίνακα έχουμε:Βέλτιστη Λύση (Π):• x1*=24 τμχ αμφορέων, x2*=8 τμχ αγαλματιδίων,• S1*=S2*=0 (δηλ. καταναλώνονται πλήρως όλες οι διαθέσιμες ώρες

εργασίας και όλα τα διαθέσιμα κιλά πηλού)• zx*=1360€

Βέλτιστος Πίνακας Simplex του (Π)

Page 42: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

42

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

Πέραν των ανωτέρω από αυτόν τον (τελικό) Πίνακα του (Π) παίρνουμεσημαντικές χρήσιμες πληροφορίες και για το δυαδικό πρόβλημα (Δ).Συγκεκριμένα:

Ι) Από την τελευταία γραμμή (cj-zj) του Βέλτιστου Πίνακα Simplex του (Π)προκύπτουν οι βέλτιστες τιμές του (Δ), σύμφωνα με τους παρακάτωκανόνες:

α)Μεταβλητές Αποφάσεωςui του (Δ)• H Μεταβλητή Αποφάσεως ui του (Δ) αντιστοιχεί στη Μεταβλητή

Αποκλίσεως Si του (Π)• Εάν η Μεταβλητή Αποφάσεως ui του (Δ) είναι μη-αρνητική (ui ≥ 0) τότε η

βέλτιστη τιμή θα είναι ui* = | csi-zsi | ή ισοδύναμα ui* = -(csi-zsi )• Εάν η Μεταβλητή Αποφάσεως ui του (Δ) είναι μη-θετική (ui ≤ 0) τότε η

βέλτιστη τιμή θα είναι ui* = - | csi-zsi | ή ισοδύναμα ui* = (csi-zsi )

Page 43: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

43

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

Δηλαδή στο συγκεκριμένο Παράδειγμα (όπου u1, u2 ≥ 0) θα έχουμε:• u1* = -(cs1-zs1 ) = 16€/ώρα εργασίας• u2* = -(cs2-zs2 ) = 6€/κιλό πηλού

!! 40 50 0 0 !! Βασικές

µεταβλητές Ποσότητα

(x!) x! x! x!

(= S!) x!

(= S!) 50 x! 8 0 1 4/5 -1/5 40 x! 24 1 0 -3/5 2/5

!! Z=1360 40 50 16 6 c! − z! 0 0 -16 -6

!!Σημείωση: Το εάν μια δυαδική μεταβλητή ui είναι (ή όχι) μη-αρνητικήεξαρτάται από (i) το εάν το (Π) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης ήελαχιστοποίησης και (ii) τη φορά του αντίστοιχου (i-οστού) περιορισμού του(Π), βλ. και Πίνακα Ι.Π.χ. Εάν ένας περιορισμός του προβλήματος μεγιστοποίησης (Π) είναι ≥ τότε ηαντίστοιχη δυαδική μεταβλητή του (Δ) θα είναι ≤ 0

Page 44: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

44

β) ΜεταβλητέςΑποκλισεως Si’ του (Δ)• H Μεταβλητή Αποκλισεως Si’ του (Δ) αντιστοιχεί στη Μεταβλητή

Αποφάσεως xi του (Π)• Η βέλτιστη τιμή της Μεταβλητής Αποκλισεως Si’ του (Δ) θα είναι (Si’ )

= | cxi-zxi | ή ισοδύναμα ui* = - (cxi-zxi )

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

γ) Βέλτιστη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης zu του (Δ)Σύμφωνα με το Θεώρημα Δ.2 έχουμε min zu = max zx

Τούτο επαληθεύεται και με αντικατάσταση των βέλτιστων τιμών τωνμεταβλητών του (Δ) στην αντικειμενική συνάρτηση zu.

Page 45: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

45

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

Δηλαδή στο συγκεκριμένο Παράδειγμα θα έχουμε:• (S1’)* = - (cx1-zx1 )= 0• (S2’)* = - (cx2-zx2 )= 0• min zu = max zx = 1360 ή ισοδύναμα

zu = 40u1 + 120u2 = 40*16 + 120*6 = 1360

!! 40 50 0 0 !! Βασικές

µεταβλητές Ποσότητα

(x!) x! x! x!

(= S!) x!

(= S!) 50 x! 8 0 1 4/5 -1/5 40 x! 24 1 0 -3/5 2/5

!! Z=1360 40 50 16 6 c! − z! 0 0 -16 -6

!!II) H τιμή (csi-zsi ) μιας μεταβλητής αποκλίσεως εκφράζει τη μείωση της τιμήςτης αντικειμενικής συνάρτησης z, εάν η μεταβλητή απόκλισης Si είσέλθει στηβάση με τιμή 1.

Page 46: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

46

Παράδειγμα 7ο – Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης»

π.χ. η τιμή -16 του (cs1-zs1) δείχνει ότι εάν το S1 μπει στη βάση με τιμή 1τότε η τιμή της z θα μειωθεί κατά 16.Τούτο διότι, η εισαγωγή του S1 στη βάση με τιμή 1 σημαίνει ότι μένειανεκμετάλευτη 1 ώρα εργασίας. Επομένως θα πρέπει να τροποποιηθούνκατάλληλα (να μειωθούν) οι παραγόμενες ποσότητες αμφορέων καιαγγείων αφού πλεόν δεν θα μπορούν να παραχθούν 24 και 8 τμχαντίστοιχα.Άρα μείωση της παραγωγής θα αντιστοιχεί σε μείωση των εισπράξεων,δηλ. του z. Η τιμή |cs1-zs1| εκφράζει τη μείωση αυτή.

Επομένως η τιμή ui* = | csi-zsi | μιας δυαδικής μεταβλητής εκφράζει το ποσόπου είμαστε διατεθειμένοι να πληρώσουμε για να αποκτήσουμε μίαεπιπλέον μονάδα πόρου i (1 ώρα εργασίας ή 1 κιλό πηλού, αντίστοιχα γιαi=1,2) και ονομάζεται «μοναδιαία» ή «οριακή» ή «σκιώδης» αξία (shadowprice) του πόρου i.

Page 47: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

47

ΑνάλυσηΕυαισθησίας

Μέχρι τώρα οι παράμετροι ενός μοντέλου ΓΠ έχουν θεωρηθεί ως γνωστέςκαι σταθερές. Στην επιχειρηματική πραγματικότητα βέβαια κάτι τέτοιοσπανίως συμβαίνει. Όλες ή σχεδόν όλες οι παράμετροι ενός προβλήματοςείναι πρακτικά άγνωστες και οι τιμές που τους αποδίδονται αποτελούνστην καλύτερη περίπτωση εκτιμήσεις / προγνώσεις με βάση τημελέτη/ανάλυση ιστορικών ή άλλων δεδομένων από τα στελέχη τηςεπιχείρησης.

Με αυτό το δεδομένο η βέλτιστη λύση ενός μοντέλου ΓΠ μπορεί να απέχειπολύ από το να είναι τέτοια αν οι πραγματικές τιμές κάποιων παραμέτρωνξεπερνούν προκαθορισμένα όρια. Ορίζουμε λοιπόν ως ‘ΑνάλυσηΕυαισθησίας’ την ανάλυση της επίδρασης της μεταβολής των τιμών τωνπαραμέτρων ενός προβλήματος στη βέλτιστη λύση και έχει σαναποτέλεσμα τον καθορισμό των σχετικών ορίων των τιμών αυτών έτσιώστε η βέλτιστη λύση να μένει αμετάβλητη.

Page 48: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

48

ΑνάλυσηΕυαισθησίας

Aνάλυση ευαισθησίας σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί να εφαρμοστεί στιςακόλουθες περιπτώσεις:- Μεταβολή των συντελεστών cj της αντικειμενικής συνάρτησης δηλαδήτων αξιών των δραστηριοτήτων.- Μεταβολή των σταθερών όρων των περιορισμών bi, με άλλα λόγιαμεταβολή στη διαθεσιμότητα των πόρων.- Μεταβολή των τεχνολογικών συντελεστών aij των περιορισμών (δηλαδήμεταβολή στηνανάλωση πόρου i ανά μονάδα δραστηριότητας j).- Προσθήκημεταβλητήςαπόφασης (προσθήκη νέας δραστηριότητας).- Προσθήκηπεριορισμού (προσθήκη νέουπόρου).

Σημείωση: Είναι προφανές πως όταν αλλάζουν κάποιες παράμετροι τουπροβλήματος ο αναλυτής μπορεί να λύσει εκ νέου το πρόβλημα με τιςνέες τιμές τους.

Page 49: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

49

ΑλλαγήστιςΜοναδιαίεςΑξίεςτωνΔραστηριοτήτων(Cj)

Θα χρησιμοποιήσουμε το 1ο Παράδειγμα της διάλεξης:

- Οι συντελεστές των μεταβλητών στηναντικειμενική συνάρτηση (Cj), είναι C1 =160 και C2= 200 αντίστοιχα.

- Έστω μια μεταβολή της C1 κατά μιαποσότητα Δ, ας πούμε Δ=90, δηλαδή C1=250.

- Το αποτέλεσμα αυτής της μεταβολήςφαίνεται στο Σχήμα που ακολουθεί:

MaxZx =160x1 +200x2μεπεριορισμούς

2x1 + 4x2 ≤ 4018x1 + 18x2 ≤ 21624x1 + 12x2 ≤ 240

και x1,x2, ≥0,ποσότητεςπροϊόντωνΑκαιΒαντίστοιχα

- ¨Όπως έχουμε δει, η βέλτιστη λύση (Ζ= 2.240 €)του προβλήματος βρίσκεται στο άκρο Β (4,8). Ηαλλαγή του συντελεστή c1 οδηγεί το πρόβλημασε βέλτιστη λύση στο άκρο C (8,4) με Ζ= 2.080€.

- Είναι φανερό πως μια αλλαγή σε ένανσυντελεστή Cj μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγήτης βέλτιστης λύσης. Στόχος της ανάλυσηςευαισθησίας είναι να βρεθεί το εύρος τιμώντου Cj εντός του οποίου η βέλτιστη λύσηπαραμένει ίδια και δεν αλλάζει.

Page 50: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

50

ΑλλαγήστιςΜοναδιαίεςΑξίεςτωνΔραστηριοτήτων(Cj)

Για να το κάνουμε αυτό δουλεύουμε πάνω στο βέλτιστο ταμπλό Simplex:

- Η λύση του τροποποιημένου ταμπλό θα παραμείνει βέλτιστη αν δεν υπάρχειθετικός αριθμός στη γραμμή καθαρών οριακών εισοδημάτων. Δηλαδή:

-20 + Δ/2 ≤ 0 (Ι)

και

-20/3 – Δ/9 ≤ 0 (ΙΙ)

Page 51: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

51

ΑλλαγήστιςΜοναδιαίεςΑξίεςτωνΔραστηριοτήτων(Cj)

Και οι δύο αυτές ανισώσεις πρέπει να επιλυθούν ως προς Δ.

(Ι) -20 + Δ/2 ≤ 0 è Δ/2 ≤ 20 è Δ ≤ 40

(ΙΙ) -20/3 – Δ/9 ≤ 0 è -Δ/9 ≤ 20/3 è -Δ ≤ 60 è Δ ≥ -60

Υπενθυμίζουμεπωςc1 =160+Δè Δ=c1 - 160

(Ι) c1 - 160 ≤ 40è c1≤ 200

(ΙΙ) c1 - 160 ≥ -60è c1 ≥ 100

Κατάσυνέπειατοεύροςτωντιμώντουc1 εντόςτουοποίουηβέλτιστηλύσηπαραμένειηίδιακαιδεναλλάζειείναιτο:

100 ≤ c1 ≤ 200

Page 52: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

52

ΑλλαγήστιςΜοναδιαίεςΑξίεςτωνΔραστηριοτήτων(Cj)

Όμοια για το c2, επιστρέφοντας πάλι στο βέλτιστο ταµπλό Simplex:

-20 - Δ/2 ≤ 0 (Ι)

και

-20/3 + Δ/18 ≤ 0 (ΙΙ)

(Ι) -20 - Δ/2 ≤ 0 è -Δ/2 ≤ 20 è Δ ≥ - 40

(ΙΙ) -20/3 + Δ/18 ≤ 0 è Δ/18 ≤ 20/3 è Δ ≤ 120

c2 =200+ΔèΔ=c2 - 200

(Ι) c2 - 200 ≥ - 40è c2 ≥ 160 (ΙΙ) c2 - 200 ≤ 120è c2≤ 320

160 ≤ c2 ≤ 320

Page 53: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

53

ΆσκησηστηνΤάξη

Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημαΓΠ:

Επιλύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Simplex και υπολογίστε τα όριαευαισθησίας για όλα τα cj.

Page 54: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

54

ΆσκησηστηνΤάξη

1 ≤ c1 ≤ 5

c2 ≥ 3

c3 ≥ - 11

Page 55: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

ΣΧΟΛΗΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ– ΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣ&ΕΠΙΧ.ΕΡΕΥΝΑΣ

55

ΑλλαγήσταΔεξιάΜέλητωνΠεριορισμών(bi)

Θα χρησιμοποιήσουμε πάλι το 1ο Παράδειγμα της διάλεξης:

- Έστω q1, q2, q3 οι διαθέσιμες ποσότητεςπόρων, δηλαδή q1 = 40, q2=216 καιq3=240.

- Έστω μεταβολή της διαθέσιμηςποσότητας του πόρου q2, ίση με Δ.

- Αν π.χ. Δ=18, το αποτέλεσμα αυτής τηςμεταβολής φαίνεται στο Σχήμα πουακολουθεί:

MaxZx =160x1 +200x2μεπεριορισμούς

2x1 + 4x2 ≤ 4018x1 + 18x2 ≤ 21624x1 + 12x2 ≤ 240

και x1,x2, ≥0,ποσότητεςπροϊόντωνΑκαιΒαντίστοιχα

- ¨Η χάραξη του νέου περιορισμού οδηγεί σεδιαφορετική εφικτή περιοχή (σημεία B’, C’) καισε μεταφορά του βέλτιστου από το άκρο Β (Ζ=2.240€, x1=4, x2=8, s3=48) στο άκρο Β’ (Z=2.360€, x1=6, x2=7, s3=12).

- Είναι φανερό πως μια αλλαγή στα qi μπορεί ναεπιφέρει μεταβολή στη βέλτιστη λύση.

- Αν το q2 αυξηθεί κατά 16, δηλαδή γίνει 240, η λύσηγίνεται Z=2.400 €, x1=6,67, x2=6,67, s3=s2=s1=0è αλλάζει δηλαδή το µίγµα της βάσης.

Page 56: Δυαδικό Πρόβλημα – Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας¡οή Α... · Παράδειγμα 2ο – Διαμόρφωση Δυαδικού

Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού.Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.