ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Θα δούμε στην ενότητα αυτή, τις εφαρμογές του ανατοκισμού σε διάφορες οικονομικές συναλλαγές όπως:

Πιστωτικά τίτλοι (χρεόγραφα έγγραφα)

Γραμμάτια

Συναλλαγματικές

Προεξόφληση - Αντικατάσταση γραμματίων

Επίσης θα δούμε στην ενότητα αυτή, τις εφαρμογές του ανατοκισμού όχι μόνο για το χρήμα αλλά και για άλλες οικονομικές έννοιες που αυξάνουν με παρόμοιο τρόπο, όπως:

Ρυθμός πληθωρισμού

Προεξόφληση γραμματίων

(γραμμάτια εις διαταγή και συναλλαγματικές)

Τον ορισμό των συναλλαγματικών και γραμματίων παρουσιάσαμε στην 2η ενότητα (μπορείτε να ανατρέξετε) και αναλύσαμε την προεξόφληση τους με χρήση του απλού τόκου, σε βραχυχρόνιες οικονομικές πράξεις.

Θυμίζουμε ότι και σε μακροχρόνιους πιστωτικούς τίτλους ή δάνεια, μερικές φορές ο δανειστής να ζητήσει εξόφληση του γραμματίου που κατέχει πριν την ημερομηνία λήξης του.

Η περίπτωση αυτή ονομάζεται προεξόφληση και δίνει ποσό, το οποίο είναι οικονομικώς ισοδύναμο

με την ονομαστική αξία του γραμματίου.

Εξίσωση οικονομικής ισοδυναμίας

Η εξίσωση της οικονομικής ισοδυναμίας μεταξύ δύο χρηματικών ποσών περιγράφεται από τη σχέση:

Εξίσωση οικονομικής ισοδυναμίας

Παρούσα αξία Κ0 = Κn 1/(1+i)n Κ0 = Κn U

n

όπου n ο χρόνος που απομένει μέχρι την ημερομηνία λήξης, i το

προεξοφλητικό επιτόκιο και Κn η ονομαστική (ή τελική) αξία.

Αντικατάσταση γραμματίων

(γραμμάτια εις διαταγή και συναλλαγματικές)

Η οικονομική ισοδυναμία, εκτός από τον υπολογισμό του ποσού προεξόφλησης, εφαρμόζεται και στην περίπτωση που θέλουμε να αντικαταστήσουμε ένα ή περισσότερα γραμμάτια με άλλο ένα ή περισσότερα.

Ας υποθέσουμε ότι ο οφειλέτης ζητάει από τον δανειστή την αντικατάσταση δύο ή περισσοτέρων γραμματίων με ένα ενιαίο γραμμάτιο.

Στην περίπτωση αυτή, για να μην χάσει ούτε ο δανειστής ούτε ο οφειλέτης, για να έχουμε δίκαιη αντικατάσταση, το νέο ενιαίο κοινό γραμμάτιο μπορεί να έχει διαφορετική ημερομηνία πληρωμής αλλά θα πρέπει να είναι οικονομικώς ισοδύναμο με τα γραμμάτια που αντικαθιστά, σε κάθε χρονική στιγμή.

Γενική αρχή οικονομικής ισοδυναμίας

Το άθροισμα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάμενων γραμματίων ισούται με την παρούσα αξία του ενιαίου (ή νέων) γραμματίου σε ορισμένη χρονική στιγμή και με το ίδιο επιτόκιο.

Εξίσωση οικονομικής ισοδυναμίας

Παρούσα αξία νέου (ή νέων) = άθροισμα παρουσών αξιών αντικατεστημένων γραμματίων

Εποχή ισοδυναμίας

Κρίσιμη επομένως για τον υπολογισμό των παρουσών αξιών είναι η επιλογή της χρονικής στιγμής υπολογισμού της οικονομικής ισοδυναμίας.

Η ημερομηνία αυτή, μπορεί να επιλεγεί σε οποιαδήποτε μέρα θέλουμε. Για ευκολία στους υπολογισμούς, συνήθως επιλέγουμε είτε την μέρα που καλούμαστε να υπολογίσουμε την αντικατάσταση, είτε την μέρα που λήγει το ένα γραμμάτιο.

Για εφαρμογή του τύπου της οικονομικής ισοδυναμίας

διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Ημέρα υπολογισμού 2. Κοινή λήξη (ενιαίου γραμματίου) 3. Οποιαδήποτε άλλη ημερομηνία

χρόνος

Ημερομηνία υπολογισμού

(παρούσα αξία) Κ01=Κ02 (παρούσα αξία)

ΠΡΙΝ προεξόφληση

Κ2 Κ1

χρόνος

Ημερομηνία υπολογισμού

Κ1(1+i)n2 =Κ2

ΜΕΤΑ ανατοκισμός

Κ2 Κ1

n2

χρόνος

Ημερομηνία υπολογισμού

Κ1*(1+i)n1+Κ2*(1+i)n2=Κ3*Un3+Κ4*Un4

ΜΕΤΑ ανατοκισμός

Κ4 Κ1

n4 Κ2 Κ3

ΠΡΙΝ προεξόφληση

n3 n2 n1

Εξίσωση ανάλογα με την εποχή ισοδυναμίας

1. Ημέρα υπολογισμού (παρούσα αξια όλων)

Kn Un= Kn1 U

n1+ Kn2 Un2+…+ Knν U

nν

2. Κοινή λήξη (ενιαίου γραμματίου) Kn =Kn1 U

n1-n+Kn2 Un2-n+…+ Knν U

nν-n

3. Οποιαδήποτε άλλη ημερομηνία ……………………………….

Για εφαρμογή του τύπου της οικονομικής ισοδυναμίας

διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις Στις περιπτώσεις αυτές η εξίσωση της οικονομικής

ισοδυναμίας για ν γραμμάτια που αντικαθίστανται με ένα:

Εφαρμογή • Γραμμάτια 1.000 που λήγει σε 2 έτη και 2.000 ευρώ που

λήγει σε 5 έτη, αντικαθίστανται με ενιαίο γραμμάτιο το οποίο λήγει σε 3 έτη με ετήσιο επιτόκιο 5%. Πόσο είναι το ενιαίο γραμμάτιο;

Λύση • Κ1=1000 • Κ2=2000 • Κ3=άγνωστο • n1=2 έτη n2=5 έτη n3=3 έτη 1ος τρόπος Χρησιμοποιώντας το «σήμερα» ως ημέρα υπολογισμού για την

οικονομική ισοδυναμία θα έχουμε:

1. Εξίσωση οικονομική ισοδυναμίας ΚnU3= Κ1U

2 + Κ2U5

Με αντικατάσταση: ΚnU3= Κ1U

2 + Κ2U5

Κ3= (Κ1U2 + Κ2U

5)/U3= =(1000*0,9070+2000*0,7835)/0,8638=2864,08 2ος τρόπος Χρησιμοποιώντας την ημέρα λήξης (σε 3 έτη) του νέου

γραμματίου ως μέρα υπολογισμού για την οικονομική ισοδυναμία θα έχουμε για το πρώτο γραμμάτιο (σε 2 έτη) θα έχει περάσει ήδη ένας χρόνος καθυστέρησης από τη λήξη του, και για το δεύτερο (σε 5 έτη) θα χρειάζονται δύο χρόνια ακόμη για να λήξει:

2. Εξίσωση οικονομική ισοδυναμίας Κn= Κ1U2-3 + Κ2U

5-3 Με αντικατάσταση: Κ3 = Κ1U

-1 + Κ2U2

Κ3 =1000*(1+i)1+2000*U2

Κ3 =1000*1,05+2000*0,90703=2864,06

K3 K1 K2

5έτη 2έτη 3έτη σήμερα

Ρυθμός πληθωρισμού

• Πληθωρισμός είναι το φαινόμενο της συνεχούς αύξησης των τιμών.

• ποσοστό πληθωρισμού πt ανά έτος, είναι η μεταβολή σε ποσοστό των τιμών Pt του έτους σε σχέση με τις τιμές Pt-1 του προηγούμενου έτους και υπολογίζεται από τον τύπο

πt=(Pt-Pt-1)/Pt-1

• Επιλύοντας ως προς Pt

Pt=Pt-1(1+πt)

Χατζηνικολάου Δ., Εισαγωγή στη Μακροοικονομική, Ιωάννινα 2011

Μεταβολή αξίας τιμών

Έστω το σημερινό επίπεδο τιμών P0

Το επίπεδο τιμών του επόμενου έτους θα είναι P1=P0*(1+ π1)

Το επίπεδο τιμών του μεθ-επόμενου έτους θα είναι P2=P1*(1+ π2)=P0*(1+ π1) (1+ π2)

Το επίπεδο τιμών του έτους t θα είναι Pt=P0*(1+ π1)(1+ π2)…(1+ πt)

Αν ο ρυθμός πληθωρισμού δεν αλλάζει αλλά είναι ο ίδιος π, για όλα τα έτη 1,2,…t, θα έχουμε Pt=P0*(1+ π)t

• ο τύπος αυτός είναι παρόμοιος με τον τύπο του ανατοκισμού, μόνο που αντί για επιτόκιο έχουμε το ρυθμό πληθωρισμού και ο χρόνος συμβολίζεται με t αντί για n

Παράδειγμα μελλοντικής αξίας

• Αν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός πληθωρισμού είναι σταθερός για τα επόμενα έξι χρόνια κι ίσος με 4%, να βρεθεί πόσο θα είναι η ισοδύναμη αξία σε 6 έτη για ένα μηχάνημα που σήμερα πουλιέται 500 ευρώ.

• Λύση

• P0=500

• π=4%=0.04

• t=6 έτη

• P6=άγνωστο

Σύμφωνα με τον τύπο του πληθωρισμού η μελλοντική αξία με την αύξηση των τιμών θα είναι ισοδύναμη:

Pt=P0*(1+ π)t

P6=500*(1+ 0.04)6= 500*1,2653=632,655

Παράδειγμα παρούσας αξίας

• Αν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός πληθωρισμού είναι σταθερός για τα επόμενα έξι χρόνια κι ίσος με 4%, να βρεθεί πόσο θα είναι η ισοδύναμη αξία σήμερα για ένα μηχάνημα που σε 6 έτη θα πουληθεί 500 ευρώ.

• Λύση

• P0= άγνωστο

• π=4%=0.04

• t=6 έτη

• P6= 500

Σύμφωνα με τον τύπο του πληθωρισμού η μελλοντική αξία με την αύξηση των τιμών θα είναι ισοδύναμη:

• Pt=P0*(1+ π)t

Αντικαθιστώντας έχουμε 500= P0 *(1+ 0.04)6

500= P0 *1,2653 P0=500/1,2653

P0 = 395,16

1. Γραμμάτια 2.000 που λήγει σε 2 έτη αντικαθίστανται με γραμμάτιο το οποίο λήγει σε 3 έτη με ετήσιο επιτόκιο 5%.

• λύση

• Κ1=2000

• Κ2=;;;

• n1=2 n2=3 i=5% =0.05

• Σήμερα οικονομική ισοδυναμία

• Κ01=Κ02 2000*U2=K2*U3

• K2= 2000*U2/U3 =

• =2000*0,907/0,8638= 1814/0,8638= 2.100

2ος τρόπος μεταφέρω σε 3 έτη Κ2=Κ1*(1+ι)1 Κ2=2000 *(1,05)

=2100

2. Γραμμάτια 2.000 που λήγει σε 3 έτη αντικαθίστανται με γραμμάτιο το οποίο λήγει σε 2 έτη με ετήσιο επιτόκιο 5%.

λύση Κ1=2000 Κ2=;;; n1=3 n2=2 i=5% =0.05 Σήμερα οικονομική ισοδυναμία Κ01=Κ02 2000*U3=K2*U2 K2= 2000*U3/U2 =2000 *0,8638/0,907 =1727,6/0,907 = 1904,75

2oς τρόπος Κ2=Κ1 U1 <=> K2 =K1 U1 =2000 /1.05 = 1904,76

Κ2 Κ1 σήμερα