ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ΄...ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α....

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ΄

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ

119

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται. Δώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου.

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )2 2 2α + β = α + 2αβ + β

γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες.

i. 3 3 2 2 3(α + β) = α + 3α β + 3αβ + β ii. ( ) ( )2 2 2 2x + y x + y x + xy + y= ⋅

iii. ( ) ( )2 2κ λ = λ+κ κ λ− ⋅ −

Θέμα 2ο α. Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος, να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ότι:

2 2ημ ω + συν ω = 1 .

γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες.

i. 2 2ημ ω = 1 + συν ω , ii. ημω

εφω = συνω

, iii. Αν ω = 98° τότε συν98 0° >

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η α. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα:

5 43x 6x− , 2x 9− , 3 2x +2x , 2x + 4x + 4 και 3 2x 3x 4x + 12− − . β. Αφού αντικαταστήσετε το κάθε πολυώνυμο με την παραγοντοποιημένη του μορφή, να

υπολογίσετε την παράσταση 5 4 2 3 2

3 2 2

3x 6x x 9 x 3x 4x 12A=

x+3 x 2x x + 4x + 4:− − − +⎛ ⎞−

⋅⎜ ⎟+⎝ ⎠

Άσκηση 2η

α. Να λυθεί το σύστημα : 6κ 4λ = 2κ λ 1

5κ 2λ = 4− − −

−⎧⎨⎩

β. Για τις τιμές των κ και λ που βρήκατε παραπάνω, να λύσετε την εξίσωση: 2κx λx=2−

Άσκηση 3η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΕ. Στην προέκταση της διχοτόμου, θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΔ. α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΒΕΔ είναι όμοια. β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων. γ. Αν ΑΓ = 10cm , ΑΕ = 4cm και ΒΔ = 6cm ,να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ.

A

B Γ

Δ

E

x

10cm 4cm

6cm

1 2

y

x ΄y ΄

M(x, y)

ρω

x


120

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Για οποιαδήποτε γωνία ω, να αποδειχτεί ότι ισχύει: ημ2ω + συν2ω = 1

Β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:

α. ημ(180º−ω) = ….

β. συν0º = ……

γ. ημ180º = …..

δ. εφ(180º − ω) = …

ε. εφ0º = …..

Θέμα 2ο Α. Τι είναι μονώνυμο, ποια είναι τα μέρη του και πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια

(Δώστε παράδειγμα)

Β. Να βρεθεί το ανάπτυγμα του (α − β)2 (απόδειξη)

Γ. Να βρεθεί το ανάπτυγμα του (α + β)3 (απόδειξη)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να λυθεί η εξίσωση: 2

1x + 3x + 2

−x + 1

2x + 4=

1x + 1

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα:

x + 2 4 y 5x y=

3 4 42y x x + y

+ = x +14 6

− −−

−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται γωνία ΧΟΨ. Στην ΟΧ παίρνουμε δύο σημεία Α, Β και στην ΟΨ δύο σημεία Γ, Δ έτσι

ώστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Μ τυχαίο σημείο στη διχοτόμο ΟΖ της γωνίας ΧΟΨ, να

δειχθεί ότι: ΑΜΒ = ΓΜΔ .


121

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α. α2 + 2αβ + β2 =

β. α2 + β2 =

γ. (α− β)3 =

Β. Να αποδείξετε ότι: (α β)− (α2 + αβ + β2) = α3 − β3

Θέμα 2ο Α. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xOy να πάρετε ένα σημείο Μ(x, y) στο 1ο ή στο 2ο

τεταρτημόριο και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = ΧΟΜ

με ΟΜ = ρ.

Β. Να αποδειχτεί ο τύπος: ημ2ω + συν2ω = 1


Να λυθεί η εξίσωση: 2 3

1 1 x + 4+

x +1 1 x x x−

− −= 0

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: 2(x 1) 5(y + 5) = 30y + 2 x 3 3

=4 3 12

− − −

−−

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ι-

σοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Δ, Ε, Μ μέσα των

ΑΒ, ΑΓ, ΔΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

β. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.

γ. Τα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα.

A

B Γ

∆ EM


122

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι λέγεται ταυτότητα;

Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:

α. (α + β)2 = …….

β. (α β− )3 = …….

γ. α3 + β3 = ……..

Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) (α β)⋅ − = 2 2α β−

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων

Β. Να γράψετε τα δύο κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Γ. Να αναφέρετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα, γράφοντας ένα Ν για ναι

ή ένα Ο για όχι.

i. ii. iii.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Να λύσετε την κλασματική εξίσωση:

x +1 x 2+

x 3 x−

−=

2

12x 3x−

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 2x + 3y x + 3y

= 23 6

3(x y) + 2(x + y) = 2

− −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα ισχύει:

ΕΖ // ΔΓ και ΖΗ // ΑΒ

Να υπολογίσετε τους αριθμούς x και y.

5cm

10cm

80°

5cm

10cm

60°

60° 70°

3cm

60°

3cm 50°

35° 5cm

5cm 35°

A

B

Γ

∆

E

Z

H

x+1

6

2

x

y

10


123

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Θέμα 2ο Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:

2(α β)− = ……..

3 3α + β = ………

(α β) (α + β)− ⋅ = …………

3 3α β− = ………

Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:

2x 16− και 2x 5x + 4−

Β. Να βρεθεί το Ε. Κ. Π των παραστάσεων:

2(x 16)− , 2(x 5x + 4)− , (4 x)−

Γ. Να λυθεί η εξίσωση:

2 2

1 1 1 x+ +

x 16 4 x x 5x + 4−

− − −= 0

Άσκηση 2η

Αν για τη γωνία ω ισχύει: 90º < ω < 180º και ημω = 5

13, να υπολογιστεί η τιμή της παράσ-

τασης Α = 24 εφω 13 συνω

1+13 ημω⋅ − ⋅

⋅

Άσκηση 3η

Να λυθεί το σύστημα: x + y x y 5

=5 2 2

2(x 2y) + 3(2x y) = 20

−− −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩


124

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι ονομάζετε ταυτότητα;

Β. Να συμπληρώστε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων.

(α + β)(α–β)=

(α + β)3 =

Γ. Να αποδείξτε την ταυτότητα: (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2

Θέμα 2ο Α. Ποίες σχέσεις ισχύουν για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών

γωνιών ω και 180° –ω;

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά με τα σύμβολα < ή > ώστε να προκύψουν σωστές εκφράσε-

ις:

α. Αν η γωνία ω είναι οξεία τότε ημω .......... 0, συνω ......... 0, εφω ..........0

β. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία τότε ημω............ 0, συνω ..........0, εφω..........0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Α. Να αποδείξετε ότι: (2x +1)2 + (x –3)(x + 3)– 5x2 = 4x – 8

Β. Να λύσετε την εξίσωση:2 2

2

(2x 1) (x 3)(x 3) 5xx x

+ − + −

−+

x + 2x

= x + 3x 1−

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα:2(y + x) 3(y 3) x 2y 112x + y

y + x 33

− − = − +

= −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα είναι

AB = 10cm, BΔ = 8cm, BE = 4cm και η

γωνία ΒΕΔ είναι ίση με τη γωνία ΒΑΓ.

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ

είναι όμοια

Β. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς ΒΓ

Γ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ είναι 10cm2

να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

A

B Γ

∆

E


125

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

α. Πότε λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; (ορισμός)

β. Γράψτε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.

Είναι τα ΑΒΓ και ΔΕΖ ίσα; (δικαιολογήστε)

Θέμα 2ο Συμπληρώστε τις ισότητες:

α. ( )2α β =......−

β. ( )3α + β =...

γ. ( )2α + β =.....

δ. ( )( )α β α + β =.....−

ε. ( )3α β =.....−

και αποδείξτε την (ε) και τη (γ).


Να λύσετε την εξίσωση: 2x 12

x +1 4 2x−

−=

3x2

x 2−

−

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα:

x+ y =1

33

x + y = 02

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΒ. Να αποδείξετε ότι:

α. ΟΓΔ είναι ισοσκελές

β. η ΟΜ είναι διχοτόμος της ΓΟΔ .

A

B Γ

∆

E Z

O

A

B

M

Γ

∆


126

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο

Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:

♦ (α – β ) (α + β ) =

♦ (α – β ) 3 =

♦ α 3 + β 3 =

Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α – β ) (α 2 + αβ + β 2 ) = α 3 – β 3

Θέμα 2ο Α. Δίνεται η πρωτοβάθμια εξίσωση αx + β = 0 . Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στή-

λης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα που ακολουθεί.

Β. Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 , (α ≠ 0).

α. Να συμπληρώσετε τους τύπους :

Δ = ............... , x 1 = . . . . . . , x 2 = .......... (όπου Δ η διακρίνουσα και x 1 , x 2 ο ι

λύσεις της εξίσωσης)

β. Ποια είναι τα αντίστοιχα συμπεράσματα που προκύπτουν αν Δ = 0, Δ < Ο, Δ > 0 για

την ύπαρξη λύσεων καθώς και για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ;


Δίνεται η παράσταση: Α = 2

x + 3–

12

+ 2

12x 9−

+ 2

2x 6−

α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των x + 3 , 2 , x 2 – 9 , 2 x – 6 ,

β. Να λυθεί η εξίσωση Α = 0.

Άσκηση 2η

Δίνονται τα σημεία Α(3,1), Β(4, 2). Να βρείτε την ευθεία με εξίσωση αx + y = β που διέρχε-

ται από τα σημεία Α και Β.

Άσκηση 3η

Δίνεται μια γωνία ω με συνω = –3

2

α. Η γωνία ω είναι οξεία, αμβλεία ή ορθή;

β. Να βρεθούν το ημω και η εφω.

Γ. Αν γνωρίζουμε ότι ημ30º = 12

να βρεθεί πόσων μοιρών είναι η γωνία ω.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. α = 0 και β = 0 α. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = – βα

2. α ≠ 0 β. Η εξίσωση είναι αδύνατη

3. α = 0 και β≠ 0 γ. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα


127

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

α. Τι λέγεται ταυτότητα;

β. Να συμπληρωθούν oι ταυτότητες

(α – β)(α + β) =……. και (α + β)3=…….

γ. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες (α + β)2 και (α – β)3

Θέμα 2ο Στο διπλανό σχήμα παίρνουμε σημείο Μ(x, y)

έτσι ώστε είναι XOM = ω και ΟΜ = ρ

α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς της γωνίας ω.

β. Να αποδείξετε την ισότητα ημ2ω + συν2ω = 1

γ. Να αποδείξετε την ισότητα εφω = ημωσυνω


Να εκτελέσετε τις πράξεις 3 2 2

2

α 2α α 2 α 3α 2:

α 1 α α+ − − + +

+ +

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 4(φ + ω) + 3(φ ω) = 36φ + ω φ ω 5

=2 3 3

−

−−

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Πάνω στην ΑΒ παίρνουμε σημείο Δ και πάνω

στην ΑΓ σημείο Ε έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ. Αν Μ είναι το μέσον της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε

ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές.

OX΄ X

Y’

Y

M(x, y) Z

ω

ρ


128

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Δίνεται η εξίσωση: αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0 .

α. Να δώσετε τον τύπο που δίνει τις λύσεις της εξίσωσης.

β. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας τί συμπεράσματα έχουμε για το πλήθος των

λύσεών της;

γ. Να καθορίσετε το είδος των ριζών της εξίσωσης: 3x2 + 5x – 8 = 0, χωρίς να την λύσετε.

Θέμα 2ο Δίδεται το τυχόν τρίγωνο ΒΓΔ.

α. Να διατυπώσετε με λόγια τον νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο αυτό.

β. Να γράψετε τον τύπο του νόμου των συνημιτόνων για την πλευρά δ.

α. Αν ήταν συνΔ = 0 τι συμπέρασμα θα βγάζατε για το τρίγωνο ΒΓΔ;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.


α. Να λυθεί η εξίσωση: x 1x 1+

− +

x + 5x

= 4

1 x−

β. Να κάνετε την επαλήθευση των ριζών στην εξίσωση.

Άσκηση 2η


3x + y x + y+ 1

4 5x + 2y x y

33 4

= −

− −− =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα είναι:

ΟΑ = ΟΒ , ΓΒ ⊥ΟΔ , ΔΑ ⊥ΟΓ .

Να αποδείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.

β. Ότι το σημείο Μ ανήκει στην μεσοκάθετο του ΓΔ .

A

B

Γ

∆

OM


129

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

α. Πότε μία αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο ;

Να δώσετε ένα παράδειγμα .

β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια ;

Να δώσετε ένα παράδειγμα .

γ. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο μονώνυμα ;

δ. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( α – β )2 = α2 – 2αβ + β2

Θέμα 2ο α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.

β. Αν ε1 // ε2 // ε3 , να γράψετε όλες τις

αναλογίες που προκύπτουν. γ. Να συμπληρώσετε τις αναλογίες που

ισχύουν στο διπλανό σχήμα αν είναι

ΔΛ // ΑΒ.

♦ ΑΔ =ΑΓ

♦ ΑΔ

=ΒΛ

♦ ΑΓ

=ΒΓ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η α. Να αναλύσετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:

3χ2 + 6χ , χ2 – 4χ + 4 , 2χ2 – 8 , χ3 – 8

β. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : Α = 2

2

3x + 6x2x 8

−

Β = 3

2

x 84 ( x 4x 4 )

−

− +

γ. Να λύσετε την εξίσωση: Α – Β = 0

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα :

2 2 22(y 1) (x 2) (x 2) 2y x +2xx + 1 1

=y + 5 3

− − − ⋅ + = −⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν το Ο είναι κέντρο του κύκλου και οι

χορδές ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες να αποδείξετε :

α. ΟΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ

β. ΟΑ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ.

ε1

ε2

δ1 δ2

A

B

Γ

∆

ε3

E

Z

A

B ΓΛ

∆

A

BΓ

O


130


Α. Για κάθε πραγματικό αριθμό α και β να δείξετε ότι:

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων:

(α − β)2 =

(α − β)3 =

(α − β)(α + β) =

Θέμα 2ο Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(x, y) τέτοιο

ώστε να είναι xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ.

Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας ω συναρτήσει των

συντεταγμένων του σημείου Μ και να γράψετε τη

σχέση του ρ με τις συντεταγμένες του σημείου Μ.

Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που συσχετίζουν τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών ω και 180º − ω

ημ(180º −ω) = ……………, συν(180º −ω) = ……………., εφ(180º −ω) =


Α. Να λύσετε την εξίσωση: 2x 2x 15− − = 0

Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

2x + 2x 3− και 2x 2−

Γ. Να λύσετε την εξίσωση: 2

x + 2 4x + 3 x + 2x 3

−−

=x +1

2x 2−

Άσκηση 2η

Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΕ

και ΟΒ = ΟΖ. Να αποδείξετε ότι:

Α. Τα τρίγωνα ΟΑΖ και ΟΒΕ είναι ίσα.

Β. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΕΖ είναι ίσα.

Άσκηση 3η

Στον αγώνα ποδοσφαίρου Άγιος Δημήτριος − Παναχαϊκή διατέθηκαν εισιτήρια των 20 ευρώ

και των 30 ευρώ. Κόπηκαν συνολικά 4.300 εισιτήρια και εισπράχτηκαν 111.000 ευρώ. Να

βρείτε πόσα εισιτήρια των 20 ευρώ και πόσα των 30 ευρώ διατέθηκαν στον αγώνα.

y

x ΄y ΄

M(x, y)

ρω

x

O BA

E

Z

x

y


131


Να αποδείξετε τις αξιοσημείωτες ταυτότητες:

( )2 2 2α + β = α + 2αβ + β

( )3 3 2 2 3α β = α 3α β + 3αβ β− − −

Θέμα 2ο

Να αποδείξετε ότι: 2 2ημ ω + συν ω =1 (Να γίνει σχήμα)


Να γίνουν οι πράξεις: ( ) ( ) ( )( )2 23x 1 x + 2 x x +1 x 1− − − −

Άσκηση 2η

Να γίνουν οι πράξεις:

2 2 2

1 3 1+ +

x 3x + 2 x + x 2 x 4− − −

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα να βρεθεί

το x αν είναι ΔΕ // ΒΓ

A

B

E

Γ

∆

x

x+12

3


132


Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:

α. (α + β)2 = ……

β. (α− β) ⋅ (α + β) = …..

γ. (α− β) (α2 + αβ + β2) = ……

Β. Να αποδειχτεί ότι: (α − β)3 = α3 − 3 α2β + 3αβ2 − β3

Θέμα 2ο Α. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας

ω με 0º ≤ ω ≤ 180º

Β. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω;

Γ. Να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω = 1


Να βρείτε το αποτέλεσμα: 2

2

10x 5x1 4x + 4x

−

−:

2

25x20x 5−

=

Άσκηση 2η

Να λύσετε την εξίσωση: 2

1x 4x + 4−

=2

2x 1x 4

−

−

Άσκηση 3η

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ και ΒΕ. Να αποδείξετε:

Α. ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια

Β. να γράψετε τους ίσους λόγους


133


Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα;

B. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

( α + β)2 = ………

(α β− )2 = ……….

Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα:

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

Θέμα 2ο Α. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου;

Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές

τους.

Γ. Να διατυπώσετε δύο από τα τρία κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.


Να λύσετε την εξίσωση:

2x 4 x 1x 3 x +1− −

−−

=2

8x 2x 3− −

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα:2(x 1) (y +1) = 2y +1x + 2 y + 2 2y + 2

= 33 2 3

− − −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ότι ημω = 1213

, να υπολογίσετε:

Α. τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

Β. την τιμή της παράστασης:

5εφω − 13συν(180º −ω) + 13ημ(180º −ω)


134


Α. Δώστε τους ορισμούς: μονωνύμου, όμοιων μονωνύμων και πολυωνύμου. Γράψτε από ένα

παράδειγμα για κάθε περίπτωση.

Β. Αφού γράψετε στην τελική τους μορφή τα παρακάτω μονώνυμα, να βρείτε το συντελεστή

και το κύριο μέρος τους:

α. ( )35x y 2−

β. ( ) ( )2z y 2 x− −

γ. x3y2 7xy

δ. ( )23xy−

ε. ( )32x zx−

Γ. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η αλγεβρική παράσταση κ 2 4 5 2 λ5α β + 8α β− −− να είναι

μονώνυμο και ποιο είναι αυτό;

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε τα 3 κριτήρια ισότητας

δύο τριγώνων

Β. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί;

α. Αν Α = Α ΄, ΑΒ = Α΄Β΄ και ΒΓ = Β΄Γ΄ τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

β. Αν Α = Α ΄= 90º, Β= Β ΄ και ΒΓ = Β΄Γ΄, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

γ. Αν Α =Α ΄, Β= Β ΄ και Γ=Γ ΄, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

δ. Αν Β=Β ΄= 90º, ΑΒ = Α΄Β΄ και ΑΓ = Α΄Γ΄, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα


Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις στην παράσταση: 2 2

2

x 25 x 9x + 20:

x + 2 x 4− −

−

Άσκηση 2η

Να λυθεί η εξίσωση:

( )23 x + 2 8x = 4 3x− −

Άσκηση 3η

Αν συνx = 45

− και 90° < x < 180° να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθ-

μούς της γωνίας x.


135


Α. Τι ονομάζουμε μονώνυμο και τι βαθμό μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή;

Β. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια , ποια ίσα και ποια αντίθετα;

Γ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

(α β− )2 = ….., (α + β)3 = ……., α3 + β3 = ……

Δ. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ισότητα: (α β− )3 =

Θέμα 2ο Α. Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων

Β. Διατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή (σχήμα – σχέση)


Α. Να απλοποιήσετε τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις:

Α = 2

3

5x 5xx x

−

− Β =

2

3x + 92x + 8x + 6

Β. Να λυθεί η εξίσωση: Α Β− = 52

Άσκηση 2η


x + y 7 x y=

2 6 32(x y) (x 4y) = 13

−− −

− − −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν 90º < ω < 180º και 7ημω − 2(ημω + 2) = 0.

Να υπολογίσετε το ημω , συνω , εφω και την παράσταση:

Κ = ημ(180 ω) συν(180 ω)

εφ(180 ω) συνω− − −

− ⋅


136



Β. Συμπληρώστε τις ταυτότητες:

(α + β)2 = ……

(α β− )2 = …….

(α + β)3 = ……..

α2 − β2 = ……..

Γ. Αποδείξτε την ταυτότητα: (α β− )3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

Θέμα 2ο

Αν xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

Β. Αποδείξτε ότι ημ2ω + συν2ω = 1.

Γ. Συμπληρώστε τις ισότητες:

ημ(180º − ω) = ……, συν(180º − ω) = ……, εφ(180º − ω) = ……….



7x + y y 1= x + 3

3 2x 9y 1

= x +12 4

−−

−− −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 2η

Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 3 2(x 1) x(x 4x + 5) 7− − − − και Β = 23(x +1) 3(2x + 5)−

Α. Να αποδείξετε ότι: Α = 2x 2x 8− − και Β = 23x 12−

Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα ΑΒ

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α Β− = 8−

Άσκηση 3η

Στο σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΒΔ = ΓΕ

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑΒΕ

είναι ίσα.

Β. Να γράψετε τις ισότητες πλευρών – γωνιών

που προκύπτουν από την ισότητα των

παραπάνω τριγώνων.

y

x ΄ y ΄

M( x, y)

ρ ω

x

A

B Γ

∆ E


137


α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες ώστε να εκφράζουν γνωστές ταυτότητες:

♦ ( )2α + β =....

♦ ( )3α β =....−

♦ 2 2α β =....−

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 3 3α β− = ( )( )2 2α β α + αβ + β−

Θέμα 2ο Να σχεδιάσετε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xΟy και να πάρετε στο 2ο τεταρτημόριο

ένα σημείο Μ(x, y) τέτοιο ώστε: xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ.

α. Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

β. Να εκφράσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 180° ω− ως

συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω:

♦ συν ( )180° ω− =

♦ ημ ( )180° ω− =


Να λυθεί η εξίσωση: ( )26x 3x x 1− − = ( )2x + 3 4−

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα:( )3 x y 2y = 27

x + 8 y 3 = 5

4 3

− −

−−

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσον της βάσης ΒΓ. Από το Μ να

φέρετε τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ κάθετα προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ( ΜΚ ⊥ ΑΒ

και ΜΛ ⊥ ΑΓ). Να δείξετε ότι:

α. τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΓΜ είναι ίσα

β. το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές


138



α. (α β− )2 =

β. (α + β)2 =

γ. (α + β)(α β− ) =

Β. Να συμπληρωθεί και να αποδειχτεί η ταυτότητα (α β− )3

Γ. Να συμπληρωθεί η ισότητα: ( )α β− ( )α + β⋅ = (α, β θετικοί)

Θέμα 2ο Α. Διατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή (σχήμα και τύπος)

Β. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 //ε2 // ε3.

Να συμπληρώσετε τις αναλογίες:

α. ΚΛΚΜ

=

β. ΛΜΡΣ

=

γ. ΛΜΛΚ

=


Να λυθεί η εξίσωση: 2 2

1 1x 2x +1 2x 2

−− −

= 5

6 6x−

−

Άσκηση 2η


x 3 2 y=

2 2 4x 3 y + 2

= 23 2

−−

−− −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν 90º < ω < 180º και ημω = 1213

.

Α. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

Β. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = 1312

− ημω +135συνω

1012

− εφω

ε1

ε2

ε3

α β

K

Λ

M

Π

Ρ

Σ


139

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο Α. Να συμπληρώσετε τις λέξεις που λείπουν από τις παρακάτω προτάσεις: α. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται…… ……. του μονωνύμου ως προς τη …… ……… αυτή. β. Ο βαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το …. ……. των…… …….. των μεταβλητών αυτών. γ. Ο αριθμός 0 λέγεται ….. ……μονώνυμο και δεν έχει…….. ………, ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι….. ……….βαθμού. Β. α. Τι λέγεται πολυώνυμο; β. Τι είναι βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του; Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β− ) ⋅ (α2 + αβ + β2) = α3− β3

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικώναριθμών Β. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: ημ2ω + συν2ω = 1 Γ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα 2 αντιστοιχώντας

κάθε παράσταση της πρώτης στήλης του πίνακα 1 με την ίση της στη δεύτερη στήλη

Πίνακας 1 Πίνακας 2

Α. 1 − συν2ω

Β. εφω

Γ. συν(180 ω− )

α. ημωσυνω

β. ημ2ω

γ. συνω

δ. συνω−


Αν Ρ(x) = 23x x− A. Να βρείτε το Ρ(x + 2) B. Να λύσετε την εξίσωση: Ρ(x + 2)− 3P(x) = 10x Άσκηση 2η Α. Να λύσετε την 23x 7x + 2− = 0 και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο: 3x2 − 7x + 2

Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α =2

2

3x 7x + 2x 4−

−και να βρείτε για ποιες τιμές του x δεν

ορίζεται.

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α = 5

(x + 2)

Άσκηση 3η Σε τρίγωνο ΑΒΓ , στο διπλανό σχήμα , το ΔΕ είναι παράλληλο με τη βάση ΒΓ. Αν ΑΔ = 2cm ΑΕ = x cm , ΔΒ = x +1cm και ΕΓ = x + 6cm να υπολογίσετε το x και τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ του τριγώνου.

Α. Β. Γ.

OX΄ X

y ’

y

M(x, y) Z

ω

ρ

A

∆ E

B Γ

2 x

x + 1 x + 6


140


Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α. 2(α β)− = …….

β. 2 2α β− = …….

γ. 3(α β)− = …….

δ. 3 3α β− = ........

Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 2 2 2(α β) = α 2αβ + β− −

Θέμα 2ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(x, y) τέτο-

ιο ώστε να είναι xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ. α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας ω

β. Με την προϋπόθεση ότι συνω ≠0 να αποδεί-

ξετε ότι εφω = ημωσυνω


Δίνονται οι παραστάσεις Α = 22x 8− και Β = 2x x 6− −

α. Να βρείτε το γινόμενο Α ⋅Β

β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β

γ. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα (Σ) = x +1 y 1

+ = 02 3

2x 3y =1

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα είναι: ΕΖ // ΒΓ και

ΖΗ //ΓΔ. Να υπολογίσετε τα x και y.

y

x ΄y ΄

M(x, y)

ρω

x

x

A

BΓ

∆

E

H

Z

10cm 8cm

6cm

y + 1y


141


Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να αποτελούν αξιοσημείωτες

ταυτότητες:

α. (α + β)2 = ………

β. (α β)− 2 = ………

γ. (α β− )(α + β) = …….

δ. (α + β)3 = ………….

Β. Να αποδείξετε την πρώτη (α) από τις παραπάνω ταυτότητες.

Θέμα 2ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.


Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση:

2

x 1 x + 3x x + x−

− =2

x + 1

Άσκηση 2η

Να λύσετε το παρακάτω σύστημα:

x y+ = 2

3 2x 1

+ y = 32−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ και από τα δύο

άκρα και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να δειχθεί ότι ΑΔ = ΑΕ.


142


Α. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες;

α. ( )2 2 2α β = α β− −

β. ( )2 2 2α + β = α + β

γ. ( ) ( ) 2 2α + β α β = α β⋅ − −

Β. Να συμπληρώσετε το ανάπτυγμα: ( )3α β =......−

Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )( )2 2 3 3α β α + αβ + β = α β− −

Θέμα 2ο Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή.

Β. Αν ε1//ε2//ε3, να συμπληρώσετε τις αναλογίες:

ΑΒ ΒΓ ΑΓ

= =...... ...... ......

και ΑΒ .......

= ΒΓ .......

, ΑΒ .......

=ΑΓ .......

Γ. Στο παρακάτω τρίγωνο είναι ΔΕ // ΒΓ.

Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη

(Λ) καθεμιά από τις παρακάτω αναλογίες:

α. ΑΔ ΑΕ

=ΔΒ ΕΓ

β. ΑΔ ΔΒ

=ΑΕ ΕΓ

γ. ΑΔ ΔΒ

=ΑΕ ΑΓ

δ. ΑΔ ΑΕ

=ΑΒ ΑΓ


α. Να παραγοντοποιήσετε και να βρείτε το Ε. Κ. Π. των παραστάσεων:

2x 9− , 22x + 6x και 2x 6x + 9−

β. Να λύσετε την εξίσωση: 2 2

3 1x 9 x 6x + 9

−− −

= 2

32x + 6x

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 2x y = 2

3x + 2y = 3− −

−

⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Αν το Μ

είναι τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ, να αποδείξετε ότι:

α. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα.

β. ΜΒΔ=ΜΓΔ .

Γ

A

B

∆ E

B

Γ

δ2

A

B΄ Γ΄

ε1

ε3

ε2

δ1

A΄

B ∆

A

Γ

M


143


Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και ποια μονώνυμα λέγονται

όμοια; (Να γράψετε από δύο παραδείγματα)

Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:

α. (α β− )2 = ……..

β. (α β− )(α + β) = ……..

γ. (α β− )3 = ……..

δ. (α β− )(α2 + αβ + β2) = ………

Γ. Να αποδείξετε ότι: (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

Θέμα 2ο Α. Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας ω.

Β. Να δείξετε ότι ημ2ω + συν2ω = 1

Γ. Να δείξετε ότι εφω = ημωσυνω


Να λύσετε τα συστήματα:

Α. 4x 3y = 53x 2y = 4

−

−

⎧⎨⎩

Β. x + 2y = 4

2x 1 y + 2 1=

2 3 2−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

και να βρείτε την κοινή τους λύση (x, y).

Άσκηση 2η

Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΗΘ // ΑΕ // ΒΖ,

να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα

ΑΒ = x, ΟΕ = y και ΟΘ = ω.

Άσκηση 3η

Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α. 23x + x 2− = 0

Β. 2

2x 2 8x 2 x 4−

−− −

=1 3xx + 2−

και να γράψετε την κοινή τους λύση.

y

x ΄y ΄

M(x, y)

ρω

x

O

Θ H

A Γ E

B ∆ Z

1,5ω

23

x

y

3

6


144


A. Να γραφούν τα αναπτύγματα:

α. (α + β)2

β. (α− β)2

γ. (α + β) ⋅ (α − β)

δ. (α + β)3

ε. (α − β)3

και να υπολογιστούν το β και το δ.

B. Να δείξετε ότι αν α2 + β2 = 2αβ, τότε α = β

Θέμα 2ο 1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.

2. Αν ΕΖ // ΒΓ, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με το

(Λ) αν είναι λανθασμένες:

α. ΑΕΑΒ

= ΑΖΑΓ

β. ΕΒΖΓ

= ΑΒΑΓ

γ. ΑΒΑΕ

= ΑΓΖΓ


Να λυθούν οι εξισώσεις: 23x 5x + 2− = 0 και x + 1 1

x x 1−

−=

2

2x 3x x

−

−

Άσκηση 2η

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = 1213

, να υπολογίσετε το συνω, την εφω και την τι-

μή της παράστασης: Α = 13ημω− 26συνω − 5εφω

Άσκηση 3η


2x y y + 4x=

2 3x y x + 3

= 23 4

− −

−−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


145


Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή

Β. Να γίνει σχήμα και να γραφεί η σχέση του θεωρήματος

Θέμα 2ο Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:

α. (α + β)2 =

β. (α − β)2 =

B. Να αποδειχτεί η ταυτότητα 2 2α β− = (α + β)(α − β)


Να λυθούν οι εξισώσεις:

Α. x2 + 5x + 6 = 0

B. 3x2− 5x + 2 = 0

Άσκηση 2η

Να κάνετε τις πράξεις:

2

3 2 5x + 3+

2x + 2 3x 3 6x 6−

− −

Άσκηση 3η

Να λυθεί το σύστημα: x + y = 4

x 3y = 7− −

−

⎧⎨⎩


146

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο Α. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; Γράψτε δύο όμοια μονώνυμα Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α − β)2 = β. (α + β)3 = γ. (α + β) ⋅ (α β)− = Γ. Να αποδείξετε την τελευταία ταυτότητα. Θέμα 2ο Αφού βρείτε αν είναι ίσα τα δύο τρίγωνα σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις , να γράψετε το αντίστοιχο κριτήριο.

α. β. γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Α. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα:

3x + 3, 2x 1− , 2x x−

B. Αφού αντικαταστήσετε το κάθε πολυώνυμο , να λύσετε την εξίσωση:

2 2

3x + 3 2x 1 x x

−− −

=2x

Άσκηση 2η


x +1 y 1+ = 5

3 23(x 1) 2(y 6) =15 x

−

− − − −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Από το Ε , σημείο

της ΒΔ , φέρνουμε τη ΖΗ που τέμνει την ΑΔ στο Ζ και

τη ΒΓ στο Η .

Α. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΕΖΔ και ΒΕΗ είναι όμοια

Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.

Γ. Αν ΕΗ = 8m , ΕΒ = 14m , ΕΖ = 12m να υπολογίσετε

την ΕΔ .

A

B Γ

∆

E Z

K

Λ

ME

Z

H A

B

Γ ∆

B A

Γ ∆

E

Z

H


147


Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να πάρετε ένα σημείο Μ (x, ψ) στο πρώτο τεταρτημόριο.

Αν είναι ω = XOM να αποδείξετε τις ισότητες:

α. ημ2 ω + συν2 ω = 1

β. εφω = ημωσυνω

Θέμα 2ο α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α +β)3 = α3 +3α2β + 3αβ2 +β3

β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

♦ α2 – β2 = ……….

♦ α3 – β3 = ………

♦ (α + β)2 =……….


Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση:

x2 – 2λ +3λ 2−

x – 2λ + 5 = 0

να έχει ρίζα τον αριθμό –1.

Άσκηση 2η

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = αx3 + (β–1) x2 –3x –2β + 6. Αν Ρ(–1) = 0 και Ρ(1) = 0 να υπο-

λογίσετε τις τιμές των α, β.

Άσκηση 3η

Το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι

ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. Αν το σημείο Μ είναι το

μέσο της βάσης ΒΓ και ΜΔ ⊥ ΑΒ και ΜΕ ⊥ ΑΓ,

να αποδείξετε ότι:

α. ΜΔ = ΜΕ β. Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΜΕ

Γ

Ε ∆

M

A

B


148


Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

2(α β)− =

3(α β)− =

(α + β)(α β)− =

Β. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ισότητα (α + β)3 =

Θέμα 2ο Α. Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας ω

Β. Να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω = 1

Γ. Να αποδείξετε ότι εφω = ημωσυνω


Να λυθεί το σύστημα: 2(x 1) + 3y = 23x 5(y 1) = 24

− −

− −

⎧⎨⎩

Άσκηση 2η

Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. 2x + 2

β. 3x 6−

γ. 2x x 2− −

Β. Να λύσετε την εξίσωση: 2

4 x + 5+

x x 2 2x + 2− −=

2x3x 6−

Άσκηση 3η

Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ΕΖ είναι

παράλληλη στις βάσεις του. Να υπολο-

γίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και

ΖΓ, αν γνωρίζετε ότι ΑΕ = 4cm, ΕΔ =

6cm και ΒΓ = 8cm.

Ox΄ x

y’

y

M(x, y)

Z

ω

ρ

B

Γ

A

Z

∆

E

4cm

6cm

8cm


149


Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το νόμο των Ημιτόνων σε ένα τρίγωνο

Θέμα 2ο Α. Αν στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1, ε2,

ε3 είναι παράλληλες και ΑΒ = ΒΓ, τι

συμπεραίνετε για τα τμήματα ΔΕ και ΕΖ.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

διατυπώνοντας το σχετικό κανόνα.

Β. τι ιδιότητες έχει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου.

(να δοθεί σχήμα και να γραφεί η ανάλογη μαθηματική σχέση)


Α. Δίδεται η αλγεβρική παράσταση:

Α = ( ) ( )2 23α β + 2αβ + 2αβ 2α 3β− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ + ( )[ ]αβ 4α 3β− −

Να αποδειχτεί Α = 1 αν αβ ( )α β− = 1

11−

Β. Να λυθεί η εξίσωση:

( )23 24x 2 + 8x x− − + ( )Α + 124x 16− = 0

Άσκηση 2η

Α. Δίδονται οι παραστάσεις:

α = συν2 147º + ημ2 113º + ημ2 33º + συν2 67º

β = ημ 40º ⋅ ημ 140º − συν 40º ⋅συν140º

να αποδείξετε α = 2 και β = 1

Β. Να λυθεί η εξίσωση:

2

x + 2x 5x + 6−

= 2

α 2x β3 x 2x 4x

−−

− −

Άσκηση 3η

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και πάνω στις ίσες πλευρές παίρνουμε τα τμήματα ΑΕ

και ΑΖ ώστε ΑΕ = ΑΖ και Μ είναι το μέσον της ΒΓ.

α. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ

β. Αν ΕΚ ⊥ ΒΓ και ΖΛ ⊥ ΒΓ να αποδείξετε ΕΚ = ΖΛ.

A

Bε2

ε1

Γ

∆

ε3

δ2 δ1

E

Z


150


Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τυχόντων τριγώνων, καθώς και τα κριτήρια

ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Θέμα 2ο Να αποδείξετε με τι ισούνται οι παρακάτω ταυτότητες:

2

2

(α + β) =

(α β) =

(α + β) (α β)=

−

⋅ −


Να λυθεί η εξίσωση: x 1 2 x + 3

=x x+1 x (x+1)

−−

⋅

Άσκηση 2η

Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, να πάρετε τα σημεία Δ και Ε τέτο-

ια ώστε ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΑΕ.

Άσκηση 3η


x 1y =1

4x y

+ = 16 4

−−

−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


151


α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

♦ α2–β2 =……………

♦ (α+β)3 =…………….

♦ α3–β3=…………….

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β)3=α3-3 .α2 .β+3 .α .β2-β3

Θέμα 2ο Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος :

α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

β. Να αποδείξετε ότι : εφω= ημωσυνω

, συνω≠0


Να λυθεί στο R η εξίσωση : 6 3 x

= 2x x + 1

−− .

Άσκηση 2η

Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο

ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), να αποδείξετε ότι:

α. τα ύψη ΒΔ, ΓΕ είναι ίσα.

β. τα τμήματα ΒΕ, ΓΔ είναι ίσα.

Άσκηση 3η

Δίνονται οι παραστάσεις:

A = 2 2

3

(x + 1) 4xx x

−

− και B

2

2

x + x9x 1−

α. Απλοποιήστε την παράσταση Α.

β. Να βρεθεί το γινόμενο Α.Β

ω

y

x

ρ

Α

Β

Ο

Μ(χ, ψ)

x΄

y΄

Ε ∆

Α

Β Γ


152


Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β)2 = ……, (α β− )3 = ……..

Β. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση;

Γ. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης για πολυώνυμα. Τι πρέπει να

ισχύει για το υ(x);

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε δύο κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Β. Να γράψετε το θεώρημα για ίσα τμήματα μεταξύ παράλληλων ευθειών.

Γ. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Να λύσετε την εξίσωση: 24x +12x 7− = 0.

Άσκηση 2η

Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

τετράγωνο και τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΖ είναι ισόπ-

λευρα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΓΔΕ εί-

ναι όμοια και ότι ΖΑ ΕΔ⋅ = α2, όπου α η πλευρά του

τετραγώνου. (Υπόδειξη: αρχίστε υπολογίζοντας τις

γωνίες του τριγώνου ΑΔΖ).

Άσκηση 3η

Ο Ρωμαίος με στολή μπάσκετ μέσα από μια άδεια

στέρνα πετά στην Ιουλιέτα, η οποία βρίσκεται στο

μπαλκόνι της σε ύψος 4m από το έδαφος, την μπάλα

που της είχε πέσει. Η μπάλα διαγράφει παραβολική

τροχιά με μέγιστο ύψος 92

m, όπως φαίνεται στο

σχήμα. Να υπολογίσετε την εξίσωση της παραβο-

λής. Επίσης, αν υποθέσουμε ότι η Ιουλιέτα και το

σπίτι της είναι πλάσματα της φαντασίας του Ρωμαί-

ου, οπότε η μπάλα ανεμπόδιστα συνεχίζει τη διαδ-

ρομή της και πέφτει στο έδαφος στο σημείο Ε, ποια

είναι η τετμημένη του Ε; (Αν προτιμάτε, βρείτε

πρώτα την τετμημένη του Ε και μετά υπολογίστε

την εξίσωση της παραβολής).

B

Γ

A

∆

Z

E


153


Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.

Β. Ποια η εφαρμογή του στο τρίγωνο; (ευθύ και αντίστροφο)

Θέμα 2ο Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy να πάρετε ένα σημείο Μ(x , y) διαφορετικό από

το Ο. Αν xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ:

Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω,

Β. Να αποδείξετε ότι: εφω = ημωσυνω

(συνω ≠ 0).


Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

Α = 2

2

2x 4xx 3x + 2

−

−, Β =

2

2

x 2x +1x 1−

−

Β. Αφού απλοποιήσετε τα Α και Β να λύσετε την εξίσωση Α 2Β− = 1

Άσκηση 2η

Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα

σημεία Α και Β . Να δείξετε ότι:

Α. τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΛ είναι ίσα.

Β. τα τρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒΓ είναι ίσα

Γ. η ευθεία ΚΛ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.

Άσκηση 3η

Να λύσετε το σύστημα: 2 2(x + 2) + (y 1)(y +1) = y(y +1) + x

x 2 y 2 1=

2 3 3

−

− −−

⎧⎪⎨⎪⎩

Λ K

A

B

Γ


154


α. Ποια είναι η θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα;

β. Ποιο είναι το ημ135

γ. Ποια είναι η εφ45º;

Θέμα 2ο Ποια είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 και πώς αυτή επηρεάζει τη λύση της;

Να γραφούν και οι τύποι των λύσεων, στις περιπτώσεις που υπάρχουν.


Να λυθεί η εξίσωση: ( )( )

2 1+ 1= 0

x 1 x +1 x +1−

−

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: x 2y =1

x + y = 4−

−

⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και τις αποστάσεις ΒΔ και ΓΕ των κορυφών

Β και Γ από την ΑΜ. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα.

Σημείωση:

Τα παραπάνω θέματα είναι για μία κατ’ οίκον διδαχθείσα μαθήτρια.


155


α. Είναι η x = 1 λύση της εξίσωσης 4x 22x 2

−

−=

33x 3−

ή όχι;

β. Για ποιες τιμές του x ορίζονται οι όροι της εξίσωσης 2

2

x= x

1 + x

γ. Η εξίσωση 22x 2x 4 = 0− − έχει λύσεις τους αριθμούς 1− και 2. Ισχύει ότι το τριώνυμο

22x 2x 4− − γράφεται ( )( )22x 2x 4 = x + 1 x 2− − − .

Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις και των τριών υποερωτημάτων.

Θέμα 2ο

α. Ποιες ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμε ώστε από την ανίσωση 5x 3− > 5 να

οδηγηθούμε στην 5x > 5 + 3 και από την ανίσωση 5x > 8 να οδηγηθούμε στην x >85

;

β. Αν είναι 2− < x <1 και 5− < y < 3, μεταξύ ποιών ορίων περιέχεται η παράσταση x y− ;

γ. Τι πρέπει να συμβαίνει ώστε η σχέση αβ>

γδ⇒ αδ > βγ να είναι σωστή;


Αν η ευθεία ε:y = αx +β διέρχεται από τα σημεία Α ( )1, 2− και Β ( )1, 3− να βρεθούν οι αριθ-

μοί α και β.

Άσκηση 2η

Αν 0º ≤ x ≤ 180º και 26ημ x ημx 1 = 0− − να βρεθεί η γωνία x.

Άσκηση 3η

Να αποδειχτεί ότι, αν ένα τρίγωνο έχει δύο ύψη ίσα, είναι ισοσκελές.


156


Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας

Α. Αν 2ημφ = 1, τότε ισχύει:

α. φ = 30º, β. φ = 150º, γ. φ = 30º η φ = 150º, δ. τίποτα από τα παραπάνω

Β. Η εφ135º ισούται με:

α. 1, β. 1− , γ. 3

3, δ.

33

−

Γ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(Α + Β) = 1, τι συμπέρασμα βγάζετε για το είδος του

τριγώνου;

Θέμα 2ο Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

α. Αν ισχύει α > 5− και x > y τότε ισχύει και ότι αx > 5y− ;

β. Ισχύει ότι η λύση της ανίσωσης 0x >5 είναι οι αριθμοί οι μεγαλύτεροι του 5;

γ. Αν ισχύει αβ > 0 τι συμπέρασμα βγάζετε για τους αριθμούς α και β;


Δίνεται η εξίσωση 23λx x +1= 0− .Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση:

α. έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες

β. έχει 2 ρίζες ίσες

γ. δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Άσκηση 2η

α. Να βρείτε το σημείο Κ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες με εξισώσεις :

2x + y = 10 και 3x y = 5−

β. Αν η ευθεία με εξίσωση ( ) ( )λ 1 x + 3λ 2 y = 0− − διέρχεται από το σημείο Κ που βρήκατε

στο α. ερώτημα, να βρείτε την τιμή του λ

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ προς τα σημεία Β

και Γ και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ έτσι ώστε

ΒΕ = ΓΖ. Να αποδείξετε ότι:

α. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ είναι ίσα.

β. Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές.

γ. Οι αποστάσεις των κορυφών Β και Γ από τις ΑΕ και ΑΖ αντίστοιχα είναι ίσες.


157


Α. Τι λέγεται ταυτότητα;

Β. Να γράψετε τις ταυτότητες:

α. Τετράγωνο αθροίσματος

β. Κύβος διαφοράς

Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( )2 2 3 3α + β α αβ + β = α + β⋅ −

Θέμα 2ο Να δώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών

αριθμών γωνίας ω με 0º ≤ ω ≤ 180º

α. Οξείας γωνίας ω σε ορθογώνιο τρίγωνο

β. Αμβλείας γωνίας ω σε ένα ορθοκανονικό

σύστημα αξόνων Οxy.


α. Να επιλύσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού:

23x + 4x 4 = 0−

β. Αφού βρείτε τις λύσεις της ανωτέρω εξίσωσης, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο

23x + 4x 4−

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 2x 4y = 43x +10y = 14

− −

−⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ΔΕ // ΒΓ.

Να υπολογίσετε τα x και y.

ω

Γ

BA

O x

y

ρ

M(x, y)

∆

Γ

B

A

Z Ex

6

3

8y

5


158


α. Να αντιγράψετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των παρακάτω

ισοτήτων έτσι ώστε αυτές να αποτελούν γνωστές αξιοσημείωτες ταυτότητες.

( )2α + β =

( )3α β =−

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )( )2 2 3 3α β α + αβ + β = α β− −

Θέμα 2ο Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω

με 0 < ω < 180°) ισχύει ότι: 2 2ημ ω + συν ω =1


α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: x2 – 5x + 4, x -1 x - 4

β. Να λυθεί η εξίσωση: 2

2

x x 1 x 2x 2+ =

x 1 x 4 x 5x + 4− − −

− − −

Άσκηση 2η

Να εξετάσετε αν τα συστήματα:

5x + 2y = 93x y = 1−⎧⎨⎩

και ( ) ( )( )2

5 x 2y 1+ = x + 1

4 3

x + 3 x 1 x + 3 +2y = 20

− −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

έχουν κοινή λύση.

Άσκηση 3η

Στο τραπέζιο του διπλανού σχήματος η ΕΖ είναι πα-

ράλληλη προς τις βάσεις του ΑΒ και ΔΓ. Αν είναι ΕΔ

= 9m, ΒΖ = 8m και το τμήμα ΖΓ είναι διπλάσιο από

το ΑΕ να υπολογίσετε το τμήμα ΑΕ.

O xx΄

M(x, y)

y

y΄

ω

ρ

A B

Γ ∆

E Z


159

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο Δίνεται η εξίσωση 2ου βαθμού 2αx + βx + γ = 0με α ≠ 0

A. Να γράψετε τον τύπο των λύσεων της εξίσωσης. B. Να γράψετε τον τύπο της διακρίνουσας. Να προσδιορίσετε το είδος των λύσεων των εξισώσεων

α. 22x + 5x 6 = 0− −

β. 2x + 3x + 2 = 0−

Γ. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη (Β)

Θέμα 2ο α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα και να γράψετε τη σχέση. β. Για δύο σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν αν Ε // ΔΕ // ΒΓ τότε………..

αν ΑΔ ΑΕ

=ΔΒ ΕΓ

τότε……………

Να συμπληρώσετε τα κενά (Να γίνει σχήμα)


Να απλοποιήσετε το κλάσμα:

α β+ 2 +

β αα ββ α−

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 4x 3(2x + 3y) = 20 x + y2(x 2y) + 5(x 2) = 3y + 4

− −

− −⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, τη διά

μεσο ΑΜ στην πλευρά ΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε

ΜΔ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: ΒΜΔ = ΓΜΕ .

Στήλη Α Στήλη Β

Δ > 0 η εξίσωση δεν έχει λύση

Δ < 0 η εξίσωση έχει μια διπλή λύση

Δ = 0 η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις

A

∆

B

Γ

E

M


160


Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

( )2α β =−

3 3α + β =

( )3x y =−

Θέμα 2ο

Να αποδείξετε ότι 2 2ημ ω + συν ω =1και ότι ημωεφω =

συνω



3x x + 41+ =

x 2 x 3x + 2− −

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )2

x y + 4 = y x 6 3 5 x

x 1 x + 2y = x + y y y +1

− − −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά τμήματα ΒΔ = ΓΕ.

α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

β. Φέρνουμε ΒΚ ⊥ ΑΔ και ΓΛ ⊥ ΑΕ. Να αποδείξετε ότι είναι ΒΚ = ΓΛ.


161


α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα;

β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω ταυτότητες:

i. 3 3 2 2 2 3(α + β) = α +3α β+3α β +β

ii. 3 3 2 2 3(α β) = α 3α β + 3αβ β− − −

iii. 3 3 2 3α β = (α β)(α + αβ + β )− −

iv. 2 2α + β = (α + β) (α β)⋅ −

γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα : 2 2 2(α β) =α 2αβ+β− −

Θέμα 2ο

α. Πότε δυο τρίγωνα λέμε ότι είναι ίσα; (Να γράψετε τον ορισμό)

β. Αναφέρετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να σχεδιάσετε το

αντίστοιχο σχήμα.


Δίνεται το πολυώνυμο 2 3 3P(x) = (x + 1) +(x 1) x +7− −

α. Να αποδείξετε ότι 2P(x) = 2x + 5x + 7−

β. Να παραγοντοποιήσετε το P(x)

γ. Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: 3(x 1) + y = 25

x + 1y = 3

2

−

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ότι 12

ημω = 13

, να υπολογίσετε:

α. To συνω και την εφω

β. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής γωνίας της ω.


162


Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

α. (α + β)3 = ……

β. (α + β)2 = …….

γ. (α + β) (α β)⋅ − = …….

δ. (α β− )3 = ………

Β. Να αποδείξετε τις δύο πρώτες δηλαδή την α και τη β

Θέμα 2ο

Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων

Β. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων

( Να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα σχήματα σε κάθε περίπτωση)


Να λύσετε την εξίσωση: 9

+ 9x + 4

= 2x

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 2xy (x 1) = 3 (x 1) (x y)

y 2 (x 1) (x +1) = 3 2x (x 1)− − − − ⋅ −

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΕ // ΒΖ.

Αν είναι OA = x + 2, AB = x 1− ,

OΓ = x + 4, ΓΔ = x, ΟΕ = y + 6, ΕΖ = y.

Να υπολογίσετε το x και το y.

A

O

B

Γ

∆

E

Z

x+2

x–1

x+4

x

y+ 6

y


163

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ♦ ( )2α + β = .....

♦ ( )3α β = ......−

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( )( ) 2 2α + β α β = α β− − γ. Να αντιστοιχίσετε στο γραπτό σας τις παραστάσεις της στήλης Α με τις ίσες τους της

στήλης Β Α Β

( )2β α−

( )2α β− −

( )2α + β−

( )2β + α

( )2α + β

( )2α β−

Θέμα 2ο

α. Τι ονομάζουμε ίσα τρίγωνα και τι όμοια τρίγωνα; (ορισμοί)

β. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα;

(να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας)


1. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Ρ(x) = ( )( ) ( )( )2 2x + x x + 3 + x +1 x 3x− και Q(x) = 3 24x 4x + 2x + 2− −

α. Να τα παραγοντοποιήσετε

β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x δεν ορίζεται το κλάσμα Q(x)P(x)

γ. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Q(x)P(x)

Άσκηση 2η

Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι είναι ΑΒ // ΓΔ.

α. Να υπολογίσετε τα μήκη των ευθ. τμημάτων ΑΔ και ΒΓ.

β. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΕΓΔ και ΑΕΒ.

Άσκηση 3η

Δίνονται οι παραπληρωματικές γωνίες ω και φ για τις οποίες ισχύει επιπλέον η σχέση

3ω + 2φ = 440º.

α. Να βρείτε τις γωνίες

β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = ημω + 2συνω + 3εφω − ημφ + 2συνφ + 3εφφ

A

∆

B

Γ

E 2 x

x+1

x2 -3


164



α. (α β− )2 = ……

β. α2 + 2αβ + β2 = ……

γ. α2 − β2 = ……

Β. Να συμπληρωθεί και να αποδειχτεί η ταυτότητα:

(α β)− 3 = ……..

Θέμα 2ο

Α. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας αμβλείας γωνίας ω, με τη βοήθεια ενός

ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Να κάνετε το σχήμα.

Β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με συνω ≠0 ισχύει: εφω = ημωσυνω


Να λυθεί η εξίσωση: 2(2x 3) 9x− − = (x 1)(x 4)− −

Άσκηση 2η

Να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος:

x + 2 y 3= 2

4 615x + 2y = 60

−−⎧

⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ). Στη βάση ΒΓ παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.


165


α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες :

(α + β)·(α – β ) =…. (α – β)2 =…. (α + β)3 =…β.

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το α-

νάπτυγμά της από τη στήλη Β.

Θέμα 2ο

Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.

Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) η Λάθος (Λ)

α. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα .

β. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

γ. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία είναι ίσα.


Δίνεται η παράσταση 2 2

2x + 3 x 1Α =

x 1 x 2x +1−

−− −

α. Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α.

β. Δείξτε ότι :x + 2

Α=(x 1)(x + 1)−

γ. Να λυθεί η εξίσωση : 43

Α =

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα : x +1 1 y

= 02 3

2x + 3y =1

−−⎧

⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται αμβλεία γωνία ω για την οποία ισχύει : 4

ημω = .5

α. Να υπολογίσετε τα συνω , εφω .

β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 2ημω συνω + συν ω

Α =1+ εφω

⋅

Στήλη Α Στήλη Β Α. (α + 2)2

Β. (3α-2) (3α + 2)

Γ. (α – 1)3

Δ. (α – 1)(α2 +α +1)

Ε. (– 3 + α)2

1. α3 – 1 2. α3 – 3 α+ 3 α2 – 1 3. 3 α2 – 4 4. α3 – 3 α2 +3 α – 1 5. 9 α2 – 4 6. α2 + 4 α + 4 7. α3 + 1 8. α2 – 6 α + 9

Α

Β

Γ

Δ

Ε


166



Β. Γράψτε 5 αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε

Γ. Αποδείξτε την ταυτότητα 2 2(α β) (α + α β + β )− ⋅ ⋅ = 3 3α β−

Θέμα 2ο

Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων (σχήματα κατάλληλα).

Β. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή (διατύπωση− σχήμα − αναλογία).


Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 5x2 − 5x

B = x3− x

Γ = 3x + 9 και

Δ = 2x2 + 8x + 6

A. Να παραγοντοποιήσετε τα Α, Β, Γ, Δ και να απλοποιήσετε τις κλασματικές παραστάσεις

ΑΒκαι

ΓΔ

Β. Αν ΑΒ

=5

x +1 και

ΓΔ

=3

2x + 2να λύσετε την εξίσωση

Α ΓΒ Δ− =

52

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα: 2 27(x +1) + (2 3y) +10y = (3y +1)

2(x + y) + 2x + y = 17−⎧

⎨⎩

Άσκηση 3η

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = 5

13, να υπολογίσετε την παράσταση:

Α = 13ημω − 13συνω + 12εφω.


167


Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες :

(α + β)2 = ……..

(α – β) 3 = ………

(α + β)(α – β) = ………

Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ + β2)

Θέμα 2ο

Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Β. Αν είναι ΑΓ = ΔΕ, Β = 80°, Γ = 40° , Δ =

40°και Ε = 60° να εξηγήσετε γιατί είναι

ίσα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ;

Γ. Να γράψετε τις ίσες πλευρές τους;.


Α. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : 2x2 + 4x + 3 = 0

Β. Να λυθεί η εξίσωση : 5x2 – 4x +2 = 2x2 +3x – 2

Άσκηση 2η

Να λυθεί η εξίσωση : 2

3x x−

+ 2

1x x+

=2

6xx 1−

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1, ε2, ε3 είναι

παράλληλες και τα ΑΒ = 12m και ΒΓ = 16m.

Αν η απόσταση των ε1, ε3 είναι 21m, να υπο-

λογίσετε τα τμήματα x = ΕΖ και y = ΕΔ.

A

B

Γ 40°

80°

∆

E Z60°

40°

A

B

Γ∆

E

Z

21m

12m

16m

x

y

ε1

ε2

ε3


168


1.α Τι ονομάζουμε μονώνυμο; Τι ονομάζουμε συντελεστή και τι κύριο μέρος του

μονωνύμου;

β. Για καθένα από τα παρακάτω μονώνυμα να βρεθούν ο συντελεστής, το κύριο μέρος, ο

βαθμός ως προς x, ως προς y και ως προς x και y.

22xy , 33x y− , 2y x−

2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α. ( )3α+β = ...........,

β. ( )22 + y = …………

Θέμα 2ο

α. Θεώρημα Θαλή (διατύπωση και σχήμα)

β. Πότε λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια; Να γράψετε ένα κριτήριο για να είναι δύο τρίγωνα

όμοια.


Να λύσετε την εξίσωση: 2 2

x +1 3x 3 3=

x 2x x x x + 2−

−− −

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα : 2x 3y = 219x + 5y = 2

− −

−⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )Α= 90° και η διχοτόμος του ΒΔ. Αν ΔΕ ⊥ ΒΓ, να αποδε-

ίξετε ότι:

α. ΑΒ = ΒΕ,

β. ΒΔ ⊥ΑΕ,

γ. ΑΔ < ΔΓ


169



Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β− )(α2 + αβ + β2) = 3 3α β−

Γ. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. (α + β)2 Β. ( β + α− )2

Γ. (α − β)(α + β) Δ. (α β− )3 Ε. (α + β)(α2 − αβ + β2)

α. α2 − 2αβ + β2 β. α3− 3α2β + 3αβ2 − β3 γ. α2 + β2 δ. α2 + 2αβ + β2 ε. α2 − β2 στ. α3 + β3

Θέμα 2ο

Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή

Β. Αν είναι ε1 // ε2 // ε3 να συμπληρώσετε

τις παρακάτω ισότητες:

ΑΒ

= ΒΓ

= ΑΓ

Γ. Αν ΔΕ // ΒΓ ποιες από τις παρακάτω αναλογίες ισχύουν και ποιες όχι;

α. ΑΔΔΒ

= ΑΕΕΓ

, β. ΑΔΑΕ

= ΔΒΕΓ

,

γ. ΑΔΑΕ

= ΔΒΑΓ

, δ. ΑΔΑΒ

= ΑΕΑΓ


Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και μετά να υπολογίσετε τα πηλίκα:

Β Γ Α

, , Α Δ Γ

αν είναι Α = 24x 25− , Β = 24x 20x + 25− , Γ = 26x 15x− ,

Δ = 3 22x + 2x 5x 5− −

Άσκηση2η

Να εξετάσετε αν έχουν κοινή λύση οι εξισώσεις:

2x x 2− − = 0 και2 2

4 3x 1 x x 2

−− − −

=2

1x + x

Άσκηση 3η

Να λυθεί το σύστημα: 2x + y = 53x 2y = 4−

⎧⎨⎩

A΄

B΄

Γ΄

A

B

Γ

ε1

ε2

ε3

δ1 δ2

A

B Γ

∆ E


170


Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:

α. (α + β)2 = ………

β. (α + β)3 = ……..

γ. α2 − β2 = ….

Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β)3 = …….

Θέμα 2ο

Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

ρ2 = …, ημω = …, συνω = …, εφω = …

Β. Να αποδείξετε ότι: ημ2ω + συν2ω = 1



6 x + 2x + 3x x

− = x +1x + 3

Άσκηση 2η

Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ(x) = 3 2(x 2) + (x 4) 4(2x 3)− − − −

A. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.

B. Μετά να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(x)

Γ. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x = 3.

Άσκηση 3η

Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα, τότε:

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.

Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.

Γ. Να υπολογίσετε το λόγο: (ΑΔΕ)(ΑΒΓ)

y

x΄y΄

M(x, y) ρ

ω x


171


Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες:

(α + β)2 = …..

(α β− )2 = …..

(α + β)3 = …..

(α β− )3 = …..

(α β− )(α + β) = ……

Θέμα 2ο

Να διατυπωθεί:

α. ο νόμος των ημιτόνων

β. ο νόμος των συνημιτόνων



2 1+ 1

x 1 x + 1−

−= 0

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: x y x

=12 3

x + 2y =1

−−⎧

⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Αν 90º <ω <180º και ημω = 35

. Να υπολογιστούν:

α. συνω

β. εφω


172


α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.

β. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ τα Δ, Ε είναι σημεία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα με ΔΕ//ΒΓ.

Να εκφράσετε το θεώρημα του Θαλή με σχέσεις στο τρίγωνο ΑΒΓ.

γ. Αν στο παραπάνω τρίγωνο ισχύει η σχέση ΑΔ ΑΕ

=ΔΒ ΕΓ

τι συμπέρασμα βγάζετε για τις

ΔΕ και ΒΓ;

Θέμα 2ο

α. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( )2 2 2α β = α 2αβ + β− −

β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενα:

( ) ( )α β α + β = ..........− ⋅ ( )( )2 2α + β α αβ + β = ........− ..

γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες ;

i. 0 x = 0⋅ ii. 2 3α α = α⋅ iii. x + y = 0


Να λυθεί το σύστημα : 2 3

+ = 2x yx y = 1− −

⎧⎪⎨⎪⎩

όπου x, y πραγματικοί αριθμοί με xy 0≠ .

Άσκηση 2η

α. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του

σχήματος.

β. Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς

τον άξονα x΄x και στη νέα παραβολή να

βρεθούν εκείνα τα σημεία που έχουν τε-

ταγμένη – 16.

Άσκηση 3η

Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τα σημε-

ία Δ, Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι ΑΔΓ = ΑΕΒ


173


Α. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες:

(α + β)3= ……. και (α β− )2 = ……..

Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος κάθε μία από τις σχέσεις:

α. (α + β)(β α− ) = 2 2β α−

β. 2(β α)− = 2(α β)−

γ. 3( α β)− − = (α + β)3

δ. 2( α β)− − = 2(α + β)−

Θέμα 2ο

Α. Να ορίσετε σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

μιας γωνίας ω, όπου 0º ≤ω ≤180º.

Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω, όπου 0º≤ ω ≤180º ισχύουν οι σχέσεις:

α. ημ2ω + συν2ω = 1 και

β. εφω = ημωσυνω

, συνω ≠ 0

Γ. Αν ω, φ γωνίες για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

α. ημω = ημφ και

β. συνω = συνφ

τι συμπεραίνετε για τη σχέση που συνδέει τις γωνίες σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.


Α. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση:

Α = (x + 9)2 − 6x(x + 9) + 9x2

B. Να λύσετε την εξίσωση: Α = 25

Άσκηση 2η

Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων:

x 2y 2x y3 4− −

− = x + y 5

+2 12

και x + y = 1 6y

5−

Άσκηση 3η

Να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τα μέσα Κ, Λ, Μ των πλευρών του ΑΒ,

ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι και αυτό ισόπλευρο.


174


Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Ν΄ αποδείξετε ότι: 3 3 2 2 3(α + β) = α + 3α β + 3αβ + β Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ – Λ i. 2 2 2( x y) x 2xy y− − + +=

ii. 3 28 α (2 α)(4 2α α )+ = + + +

iii. 2 2 4x α (α + 2x) (α 2x)− + = ⋅ −

iv. 3 3(α β) (β α)= − − Θέμα 2ο A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύει ότι: 2 2 1ημ ω συν ω+ = Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ - Λ i. οημ180 1=−

ii. οσυν0 =1 iii. ο οσυν125 = συν55

iv. ημω

συνω = εφω

v. Εάν ω αμβλεία γωνία τότε συνω>0 vi. Εάν ω =900 τότε δεν ορίζεται η εφω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Δίνονται τα πολυώνυμα:

3 2 2A(x) = 2x x (2x 4x )− − − , 3B(x) = 8x 32x− , 2Γ(x) = 2x +5x 3− i. Δείξτε ότι:

A(x) = x (2x 1) (x 2)⋅ − ⋅ + , B(x) = 8 x (1+2x) (1 2x)⋅ ⋅ ⋅ − , Γ(x) = (x 3)(2x 1)+ −

ii. Απλοποιήστε τα κλάσματα: A(x)

K = B(x)

A(x)

Λ = Γ(x)

iii. Εάν x > 1 δείξτε ότι: Γ(x) > 4 iv. Λύστε την εξίσωση: Λ+16Κ = 0 Άσκηση 2η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ΑΒ =ΑΓ) και ΒΔ, ΓΕ διχοτόμοι του που τέμνονται στο Ο. Να αποδείξετε ότι:

i. ΑΔΒ=ΑΕΓΔ Δ

, ii. ΟΕΒ = ΟΔΓΔ Δ

, iii. AΟ διχοτόμος της Α Άσκηση 3η

i. Εάν 3

ημx = 2

με x αμβλεία, να υπολογίσετε την γωνία x

ii. Εάν 3

ημω = 5

με ω αμβλεία να βρεθούν το συνω και η εφω

iii. Να υπολογιστεί η παράσταση 2 2ημ 130 συν 50 2 ημ(180 x)

5συν(180 ω) 4εφ(180 ω)Α

+ − ⋅ −=

− − −

όπου x η γωνία του (i) ερωτήματος και ω η γωνία του (ii) ερωτήματος.


175


α. Να αποδείξετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες

i. ημ2ω + συν2ω = 1 ii. εφω = ημωσυνω

β. Με ποια προϋπόθεση (περιορισμό) ισχύει ο δεύτερος τύπος;

Θέμα 2ο

α. Nα συμπληρώσετε τις ταυτότητες ♦ (α + β)2 = …………..

♦ α2 – β2 = …………..

♦ (α – β)3 = …………..

♦ (α + β)3 = …………..

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2 και

γ. Πότε ισχύει ο τύπος (α + β)2 = α2 + β2


Αν ημχ =1213

και 90ο < x < 180º να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

Α = 26ημχ +39συνχ – 10εφχ

Άσκηση 2η

Να λύσετε την εξίσωση: 1 + 2

7(x 1)x 4x + 3

−

− =

1 + 2xx 3−

– 1

x 1−

Άσκηση 3η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), και ένα τυχαίο σημείο Κ της πλευράς ΑΒ. Προ-

εκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ = ΒΚ. Το τμήμα ΚΔ τέμνει τη ΒΓ στο Μ. Προεκ-

τείνουμε και τη ΓΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΓΜ. Να δείξετε ότι

α. ΚΕ = ΜΔ (ευθύγραμμα τμήματα)

β. οι γωνίες ΚΕΒ = ΓΜΔ

γ. το τρίγωνο ΚΕΜ είναι ισοσκελές.


176


α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. β. Επιλέξτε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: i. Δύο τρίγωνα που έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες είναι ίσα. Σ Λ ii. Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση του είναι ταυτόχρονα ύψος και διάμεσος. Σ Λ

Θέμα 2ο

α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες των παρακάτω αξιοσημείωτων ταυτοτήτων, και στην συνέχεια να τις αποδείξετε.

i. 2(α+β) = ii. 2 2α β− = iii. 3(α β)+ =

β. Επιλέξτε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις.

i. Ισχύει πάντα ότι 2 2(α β) = ( α + β)− − Σ Λ

ii. Ισχύει ότι 2

22

1 1x + = x + + 2

x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Σ Λ

iii. Ισχύει ότι 2 2 2α + β = (α + β) 2αβ− Σ Λ

iv. Ισχύει ότι 2 2 2α + β = (α β) +2αβ− Σ Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Να λύσετε τα συστήματα:

i. x + 5y = 32x + 7y = 6⎧−⎪⎨

−⎪⎩ ii. 4x 3(2x + 3y) = 20 x + y

2(x 2y) + 5(x 2) = 3y + 4⎧ − −⎪⎨

− −⎪⎩

Άσκηση 2η α. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:

i. 2x x 2− −

ii. 2x 4−

iii. 2x x+

iv. 2 29 2κλ κ λ+ − −

β. Να λύσετε την εξίσωση: 2 2 2

1 1 2

x x 2 x 4 x x+ =

− − − +

Άσκηση 3η Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την ΚΛ//ΒΓ και τη ΛΜ // ΑΒ,

που τέμνουν τις ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ στα σημεία Κ, Λ, Μ

αντίστοιχα.. Να δειχθεί ότι ΑΚ ΒΜ

=ΚΒ ΜΓ

.

A

B Γ

K Λ

M


177


α. Τι λέγεται ταυτότητα

β. Να συμπληρωθούν τα αναπτύγματα:

( )2α + β =... ,

( )2α β =...− ,

( )3α β =...− ,

( )3α + β =...

γ. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: ( ) ( )2 2 3 3α β α + αβ + β = α β− ⋅ −

Θέμα 2ο

α. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα;

β. Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων



2y x x 6 2x + y= 5

6 3 123x 12 x 2y x y

+ = 12 9 3

− −− −

− − −− −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Άσκηση 2η


2

3x + 1 4 2x 13x + 1=

x 3 x 5 x 8x + 15−

−− − −

Άσκηση 3η

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού

σχήματος το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης

ΒΓ. Αν είναι ΒΔ = ΓΕ, να αποδείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές

β. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.

A

B Γ

∆ E

M


178

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο Α. Να γράψετε τον τύπο της ταυτότητας κύβος διαφοράς και τον τύπο της ταυτότητας άθροισμα κύβων Β. Να αποδείξετε ότι (α − β)2 = α2 − 2αβ + β2 Γ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. (α + β)3 = β. (α + β) (α − β) = γ. (α + β)2 = δ. (α − β) (α2 + αβ + β2) =

Θέμα 2ο Α. Να γράψετε τα 2 κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Β. Να γράψετε τα 3 κριτήρια ισότητας τριγώνων Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις προτάσεις: α. Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ίσα προς τα αντίστοιχα που ορίζονται στην άλλη β. Όταν οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με τις αντίστοιχες τρεις γωνίες ενός άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα γ. Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα, ενώ δύο ίσα τρίγωνα δεν είναι κατ’ ανάγκη όμοια. δ. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια


Α. Αν είναι ημω = 35

και 90º < ω <180º, να απαντήσετε στα εξής ερωτήματα:

α. Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία ω και τι πρόσημο έχουν το ημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας ω σε αυτό το τεταρτημόριο β. Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω ( δηλαδή να υπολογίσετε το ημω και την εφω ) γ. Για τις τιμές που θα βρείτε να υπολογίσετε την παράσταση:

15⋅ημω

310

− ⋅συν2ω + 2( 1)−− ⋅ εφω

Άσκηση 2η Να λυθεί η εξίσωση:

x + 2 2x +1x + 3 x 1

−−

= 2

4x + 2x 3−

Άσκηση 3η


y x x + y 5=

3 2 3x + y y x

+ = 33 4

−− − −

−− −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


179


Α. Τι ονομάζεται μονώνυμο; Γράψτε δύο μονώνυμα και ονομάστε τα μέρη τους

Β. Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια;

Δίνονται τα μονώνυμα: ν + 2 3μ 12003x y −− και 2004xy8

Για ποιες τιμές των ν, μ τα μονώνυμα αυτά είναι όμοια;

Θέμα 2ο Α. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας

ω του διπλανού σχήματος

Β. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να αποδειχτεί η

βασική τριγωνομετρική σχέση: ημ2ω + συν2ω = 1


Να λυθεί η εξίσωση:

x 1 2x x +1−

− =2

3 + xx + x

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα: 2y 3 = x2x 3y =13

− −

−⎧⎨⎩

Άσκηση 3η

Α. Αν ημx = 12

, 90º <x <180º να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της

γωνίας x

Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = (1− 2συνx)(1 + 3εφx) 6 3− εφx − 8ημx

OX΄ X

Y’

Y

M(x, y) Z

ω

ρ


180


Η γενική μορφή της εξίσωσης β΄ βαθμού είναι: αx2 +βx + γ = 0, με α ≠ 0.

α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:

Δ = ……………… (όπου Δ η διακρίνουσα)

x1,2 = ……………. (όπου x1, x2 οι λύσεις της εξίσωσης)

β. Αν είναι Δ = 0, ή Δ > 0, ή Δ < 0, τι αντίστοιχο συμπέρασμα προκύπτει τότε για την

ύπαρξη λύσεων και το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης;

γ. Να γράψετε σε μορφή γινομένου το τριώνυμο: αx2 + βx + γ.

Θέμα 2ο

Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(x, y),

τέτοιο ώστε να είναι xΟΜ = ω και ΟΜ = ρ

α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς της γωνίας ω.

β. Με την προϋπόθεση ότι συνω ≠ 0 να α-

ποδείξετε ότι εφω = ημωσυνω

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Να λύσετε την εξίσωση:

2

1 1+

x +1 1 x−=

3

x + 4x x−

Άσκηση 2η


( ) ( )( )2 2 2

y 1 x + 2 y 1=

2 6 6 3

3x + 2 y 1 x 2 x + 2 = 2y x +1

−− −

− − − −

⎧⎪⎨⎪⎩

Άσκηση 3η

Το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι

ισοσκελές με AB = AΓ. Αν είναι ακόμη:

ΔΒ = ΓΕ, ΔΖ ⊥ ΒΓ, ΕΗ ⊥ ΒΓ και ΑΚ ⊥ ΒΓ.

α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΓΕΗ και να αποδείξετε ότι ΖΒ = ΓΗ.

β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΖΒ και ΑΒΚ είναι όμοια

γ. Να γράψετε τους λόγους ομοιότητας των τριγώνων ΔΖΒ και ΑΒΚ.

ω

x΄ O x

ρ

M(x, y)

y΄

y

∆

Γ B

A

K

H

E

Z

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ΄...ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α....

Documents

Transcript of ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ΄...ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α....