Μαθηματικά προσαματολισμού Β΄ Λσκείοσ · 6 6. Δίνονται...

Μαθηματικά προσαματολισμού

Β΄ Λσκείοσ

Ο κύκλος

Στέλιος

Μιταήλογλοσ

www.askisopolis.gr

www.askisopolis.gr

1

ΚύκλοςΕξίσωση κύκλουΈστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος μεκέντρο το σημείο 0 0K x , y και ακτίνα ρ. Ένα σημείο M x, y τουεπιπέδου ανήκει στον κύκλο C αν και μόνο αν απέχει από το κέντροτου Κ απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει:

2 20 0MK x x y y 2 2 2

0 0x x y y (1)Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτέςεπαληθεύουν την εξίσωση (1). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο 0 0K x , y και ακτίνα ρέχει εξίσωση:

2 2 20 0x x y y

Για παράδειγμα ο κύκλος με κέντρο το σημείο K 2,5 και ακτίνα 3 έχει εξίσωση:

2 2x 2 y 5 9 .

Ειδικά αν το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή Ο των αξόνων, η εξίσωση του κύκλου είναι:2 2 2x y

Η εξίσωση 2 2x y x By 0

Αν στην εξίσωση (1) κάνουμε τις πράξεις προκύπτει: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0x 2x x x y 2y y y 0 x y 2x x 2y y x y 0 ,

δηλαδή η εξίσωση του κύκλου παίρνει τη μορφή 2 2x y x By 0 (2) με

0 02x , 2y και 2 2 20 0x y .

Αντιστρόφως τώρα. Η εξίσωση 2 2x y x By 0 γίνεται:2 2 2 2

2 2 2 2B Bx 2 x y 2 y x 2 x y 2 y2 2 2 4 2 4 4 4

2 2 2 2A B A B 4x y2 2 4

.

Αν 2 2A B 4 0 η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο με κέντρο ,2 2

και ακτίνα

2 2A B 42

.

Αν 2 2A B 4 0 η εξίσωση (2) παριστάνει το σημείο ,2 2

.

Αν 2 2A B 4 0 η εξίσωση (2) είναι αδύνατη. Δηλαδή:

Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής 2 2x y x By 0 με 2 2A B 4 0 και αντιστρόφως.

www.askisopolis.gr

2

Παραμετρικές εξισώσεις κύκλουΈστω κύκλος C: 2 2 2x y και ένα σημείο του x, y . Αν φ είναι

η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM

με τον άξονα x΄x, τότε οισυντεταγμένες των σημείων Μ ικανοποιούν τις εξισώσεις:

x και y , 0,2

Εξίσωση εφαπτομένης κύκλου

Έστω κύκλος C: 2 2 2x y και ένα σημείο του 1 1x , y .Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι ένα σημείο x, y ανήκει στην

εφαπτομένη ε του κύκλου στο Α, αν και μόνο αν OA AM

.Τα διανύσματα OA,AM

έχουν αντίστοιχα συντεταγμένες

1 1x , y και 1 1x x , y y , οπότε:

1 1 1 1OA AM OA AM 0 x x x y y y 0

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1x x x y y y 0 x x y y x y (1)

Επειδή το σημείο Α ανήκει στον κύκλο, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση του,δηλαδή: 2 2 2

1 1x y , οπότε η (1) γίνεται:2

1 1xx yy

Για παράδειγμα η εφαπτομένη του κύκλου 2 2x y 25 στο σημείο του 3,4 έχειεξίσωση: 3x 4y 25 .

Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες Ασκήσεις

Εύρεση κύκλου Αν ο κύκλος έχει κέντρο Κ και διέρχεται από σημείο Α, τότε η ακτίνα του είναι:

.

Αν ο κύκλος έχει κέντρο Κ και εφάπτεται σε ευθεία ε, τότε d , .

Κύκλος που διέρχεται από τρία σημεία Α,Β,Γ.1ος τρόποςΒρίσκουμε τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων 1 2, δύο χορδών που σχηματίζουν τα σημείααυτά. Η λύση του συστήματος των 1 2, είναι οι συντεταγμένες του κέντρου Κ και η ακτίνατου είναι: .2ος τρόποςΥποθέτουμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής 2 2x y Kx y 0 και απαιτούμενα επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των Α,Β,Γ. Λύνουμε του σύστημα που προκύπτει μεαγνώστους τα Κ,Λ,Μ και στη συνέχεια βρίσκουμε κέντρο και ακτίνα.

www.askisopolis.gr

3

Κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΑΒΤο κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε οι συντεταγμένες του είναι:

A BK

x xx2

και A BK

y yy2

. Για την ακτίνα του κύκλου ισχύει ότι:

ABKA KB

2 .

1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων καια) διέρχεται από το σημείο A 2 2,1 .

β) εφάπτεται στην ευθεία ε: x 2y 5 0 .Λύση

α) Για την ακτίνα ρ του ζητούμενου κύκλου ισχύει: 2 1OA 2 2 1 9 3 , οπότε

ο κύκλος έχει εξίσωση: 2 2 2x y 3 9 .

β) Για την ακτίνα ρ του ζητούμενου κύκλου ισχύει:

22

0 2 0 5 5 5d ,51 2

55

5 . Ο κύκλος έχει εξίσωση: 22 2x y 5 5

2. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των κύκλων2 2

1C : x y 4x 0 και 2 22C : x y 4y 0 .

Λύση

Η κοινή χορδή των δύο κύκλων έχει ως άκρα τα κοινά σημεία των δύο κύκλων. Από τοσύστημα των εξισώσεων των δύο κύκλων έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x y 4x 0 x y 4x x y 4x x x 4x 0x y 4y 0 x y 4y 4x 4y x y

2 x 0 ή x 22x x 2 02x 4x 0x yx yx y

, άρα κοινά

σημεία είναι τα O 0,0 και A 2,2 .Επειδή η ΟΑ είναι διάμετρος του ζητούμενου κύκλου, το κέντροτου Κ είναι το μέσο του ΟΑ, άρα:

O AK

x xx 12

και O AK

y yy 12

, δηλαδή K 1,1 .

Η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι: 2 21 1 2 , οπότε η εξίσωση του

κύκλου που έχει διάμετρο την ΟΑ είναι: 22 2x y 2 2 .

3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις:α) Ο κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία A 1,3 και B 3,5 .

β) Ο κύκλος διέρχεται από τα σημεία E 3,1 , Z 1,3 και έχει το κέντρο τουστην ευθεία ε : y 3x 2 .

Λύση

www.askisopolis.gr

4

α) Επειδή το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου, το κέντροτου Κ θα είναι το μέσο του ΑΒ. Είναι:

A BK

x x 1 3x 12 2

και A BK

y y 3 5y 42 2

, άρα

K 1,4 .Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει:

2 2KA 1 1 4 3 5 , οπότε η εξίσωση του

κύκλου είναι: 22 2x 1 y 4 5 5

β) Επειδή το Κ ισαπέχει από τα Ε,Ζ βρίσκεται στη μεσοκάθετο μτου ΕΖ. Για το μέσο Μ του ΕΖ έχουμε:

E ZM

x x 3 1x 12 2

και E ZM

y y 1 3y 22 2

, άρα

M 1,2 . Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΕΖ είναι:

EZ3 1 11 3 2

.

Είναι 1EZ 1 1 22 .

Η ευθεία μ έχει εξίσωση y 2 2 x 1 y 2x .Επειδή το κέντρο Κ του κύκλου βρίσκεται στις ευθείες ε, μ, οι συντεταγμένες του είναι ηλύση του συστήματος των εξισώσεών τους,

y 3x 2 2x 3x 2 2x 3x 2 x 2 x 2y 2x y 2x y 2x y 2x y 2 2 4

, άρα K 2,4 .

Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει: 2 2KE 3 2 1 4 10 , οπότε η

εξίσωση του κύκλου είναι: 22 2x 2 y 4 10 10 .

4. Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές τασημεία A 1, 7 , B 3, 3 και 2, 8 .

Λύση

1ος τρόποςΕπειδή το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ισαπέχει από τα Α, Β, Γ,είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ.Για το μέσο Δ του ΑΒ έχουμε:

x x 1 3x 22 2

και y y 7 3y 5

2 2

, άρα

2, 5 .Για το μέσο Ε του ΑΓ έχουμε:

Ax x 2 1 1x2 2 2

και Ay y 8 7 15y

2 2 2

, άρα 1 15,

2 2

.

Έστω 1 , 2 οι μεσοκάθετοι των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Είναι 3 7 23 1

και

1 1 1111 2 12 .

www.askisopolis.gr

5

Η 1 έχει εξίσωση: 1 1y 5 x 2 y x 42 2

.

Είναι 8 7 12 1 3

και

2 2 2211 1 33 .

Η 2 έχει εξίσωση: 15 1y 3 x y 3x 92 2

.

Από το σύστημα των 1 , 2 έχουμε:11 1 1 1y x 4y x 4 y x 4 y x 4 y 2 4 322 2 2 2

1y 3x 9 6x 18 x 8 5x 10 x 23x 9 x 42

άρα το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες 2, 3 .

Για την ακτίνα ρ του κύκλου έχουμε: 2 22 1 3 7 5 , οπότε ο κύκλος

έχει εξίσωση: 2 2x 2 y 3 25 .2ος τρόποςΈστω 2 2x y x y 0 η εξίσωση του κύκλου.Επειδή διέρχεται από τα Α,Β,Γ ισχύει: 2 21 7 7 0 7 50 (1)

2 23 3 3 3 0 3 3 18 (2)

222 8 2 8 0 2 8 68 (3)Από το σύστημα των (1), (2), (3) προκύπτει 4, 6 και 12 , οπότε:

2 2C : x y 4x 6y 12 0 2 2x 2 y 3 25 .

5. Δίνονται τα σημεία A 1,2 , B 2,4 και 3,1 .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.β) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

α) Είναι 4 2 22 1

και 1 2 1

3 1 2

.

12 12

άρα 90 και το τρίγωνο

ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α.

β) Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει διάμετρο την ΒΓαφού η γωνία Α είναι ορθή, είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο.Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το μέσο του ΒΓ, άρα:

Kx x 2 3 5x

2 2 2

και Ky y 4 1 5y

2 2 2

, άρα 5 5,2 2

.

Για την ακτίνα ρ του κύκλου έχουμε: 2 25 5 101 2

2 2 4

, άρα η

εξίσωση του κύκλου είναι:22 25 5 10 5x y

2 2 4 2

.

www.askisopolis.gr

6

6. Δίνονται τα σημεία A 2, 2 και B 2,10 . Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου πουδιέρχεται από τα Α, Β και η διάμετρός του ισούται με τα 5/3 της χορδής ΑΒ.

Λύση

Επειδή η διάμετρος του κύκλου είναι τα 5/3 της ΑΒ, έχουμε:

5 5 52 10 2 12 20 103 3 3

.

Επειδή x x 2 η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στον x΄x και έχειεξίσωση x 2 . Αν Μ το μέσο του ΑΒ, τότε: Mx 2 και

A BM

y y 10 2y 42 2

, άρα M 2,4 .

Αν 0 0K x , y το κέντρο του κύκλου, τότε επειδή το απόστημα ΚΜ είναι κάθετο στη χορδήΑΒ, η ευθεία ΚΜ θα είναι παράλληλη στον x΄x και επειδή My 4 , η ΚΜ έχει εξίσωσηy 4 , οπότε και 0y 4 .

Είναι 2 2 20 0KA x 2 4 2 10 x 2 36 100

20 0x 2 64 x 2 8 , άρα 0x 10 ή 0x 6 οπότε το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες

10,4 ή 6,4 , οπότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση:

2 2x 10 y 4 100 ή 2 2x 6 y 4 100 .

7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο 3, 2 και αποκόπτειαπό την ευθεία ε : 3x 4y 2 0 χορδή με μήκος 8.

Λύση

Έστω Μ το μέσο της χορδής. Για το απόστημα ΚΜ ισχύει ότι:

22

3 3 4 2 2 15d K, 353 4

.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΜΑ έχουμε: 2 2 2 2 2 23 4 25 5 .

Ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση 2 2x 3 y 2 25 .

8. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία 5,0 , 3,4 και

το κέντρο του απέχει από την ευθεία ε : 2x y 4 0 απόσταση ίση με 5 .Λύση

Έστω ότι το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες 0 0x , y .Έστω Μ το μέσο του ΑΒ, τότε:

A BM

x x 5 3x 42 2

και A BM

y y 0 4y 22 2

, άρα

M 4,2 . Έστω 1 η μεσοκάθετος του ΑΒ.

Είναι AB4 0 23 5

και1 11

112 .

www.askisopolis.gr

7

Η 1 έχει εξίσωση 1 1y 2 x 4 y x2 2

. Επειδή το κέντρο Κ βρίσκεται στην 1 ισχύει

ότι: 0 01y x2 (1).

Παρατήρηση: Στην ίδια εξίσωση θα μπορούσαμε να καταλήξουμε αν αντί για την απαίτηση τοΚ να βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ χρησιμοποιούσαμε τη σχέση KA KB .

Είναι

0 0 0 00 022

2x y 4 2x y 4d K, 5 5 5 2x y 4 5

52 1

0 02x y 4 5 0 0 0 02x y 4 5 2x y 1 ή 0 0 0 02x y 4 5 2x y 9 .Για τις συντεταγμένες του Κ δημιουργούνται δύο συστήματα:

00 0 0 00 0

0 0 0 0 0 0

1 2 11 11 yy x y xy x 2 3 32 221 3 22x y 1 2x x 1 x 1 x2 2 3

άρα 2 1,3 3

ή

0 0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

1 11 1y x y xy x y 6 32 22 21 32x y 9 x 62x x 9 x 92 2

άρα 6, 3 .

Αν 2 1,3 3

, τότε 2 2 22 1 13 1 169 1 1705

3 3 3 9 9 9 9

και η

εξίσωση του κύκλου είναι:2 22 1 170x y

3 3 9

.

Αν 6, 3 , τότε 2 26 5 3 121 9 130 και η εξίσωση του

κύκλου είναι: 2 2x 6 y 3 130 .

Κύκλος με εξίσωση 2 2x y Ax By Γ 0

Για να είναι εξίσωση κύκλου αποδεικνύουμε ότι 2 2A B 4 0 .

Το κέντρο του έχει συντεταγμένες A B,2 2

και η ακτίνα του είναι2 2 4

2

.

9. Δίνεται η εξίσωση 2 2C : x y 2x 4y 20 3x y 10 0 .

α) Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου για κάθε .β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου C.γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C διέρχονται από δύο σταθερά σημεία των οποίων να

βρείτε τις συντεταγμένες.Λύση

α) 2 2x y 2x 4y 20 3x y 10 0 2 2x y 2x 4y 20 3 x y 10 0

2 2x y 3 2 x 4 y 10 20 0

2 22 2 4 3 2 4 4 10 20

www.askisopolis.gr

8

2 2 2 29 12 4 8 16 40 80 10 20 100 10 2 5

Το τριώνυμο 2 2 5 έχει 4 20 16 0 , οπότε 2 2 5 0 για κάθε ,άρα 2 2 4 0 και η C είναι εξίσωση κύκλου για κάθε .

β) Αν Κ 0 0x , y το κέντρο του κύκλου, τότε: 03 2x

2 2

, 04y

2

, δηλαδή

3 2 4,2 2

.

Είναι: 0 0 04y 2y 4 4 2y

2

, τότε από τη σχέση 03 2x

2

προκύπτει: 0 0 0 02x 3 4 2y 2 2x 12 6y 2

0 0 0 02x 6y 10 0 x 3y 5 0 .Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση x 3y 5 0 , ο γεωμετρικόςτόπος του κέντρου Κ είναι η ευθεία ε με εξίσωση x 3y 5 0 .

γ) Για 0 είναι 2 21C : x y 2x 4y 20 0 (1) και για 1 είναι

2 22C : x y x 3y 30 0 (2).

Από (1) - (2) έχουμε: 2x 4y 20 x 3y 30 0 3x y 10 0 y 10 3x .

Τότε η (1) γίνεται: 22x 10 3x 2x 4 10 3x 20 0 2 2 2x 100 60x 9x 2x 40 12x 20 0 10x 50x 40 0 2x 5x 4 0

x 1 ή x 4 .Αν x 1 τότε y 10 3 7 και A 1,7 , ενώ αν x 4 τότε y 10 12 2 και B 4, 2 .Δύο από τους κύκλους C τέμνονται στα σημεία Α και Β.Είναι 2 21 7 2 1 4 7 20 3 1 7 10 0 1 49 50 10 10 0 που ισχύει

και 224 2 2 4 4 2 20 3 4 2 10 0 32 32 12 12 0 ισχύει,δηλαδή οι συντεταγμένες των Α,Β επαληθεύουν όλους τους κύκλους C άρα τα Α, Β είναιτα δύο σταθερά σημεία από τα οποία διέρχονται όλοι οι κύκλοι C.

10.α) Δίνεται η εξίσωση x 1 x 3 y 3 y 5 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηαυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

β) Σε τοπογραφικό σχεδιάγραμμα με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, τασημεία A 1,3 , B 3,3 , 3,5 1,5 παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρωνδήμων. Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος πουνα διέρχεται από τους 4 δήμους.

γ) Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος β οι συντεταγμένεςενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t 0 είναι t,t 2 , να βρείτε αν ηγραμμή στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ συναντά τον κυκλικό περιφερειακόδρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία;

Λύση

α) 2 2x 1 x 3 y 3 y 5 0 x 3x x 3 y 5y 3y 15 0 2 2 2 2x 4x y 8y 18 x 4x 4 y 8y 16 4 16 18

2 2x 2 y 4 2

Η δοθείσα εξίσωση είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο 2,4 και ακτίνα 2 .

www.askisopolis.gr

9

β) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ επαληθεύουν την αρχικήεξίσωση, οπότε τα σημεία αυτά ανήκουν στο κύκλο C και επομένως υπάρχει κυκλικόςπεριφερειακός δρόμος που διέρχεται και από τους 4 δήμους.

γ) Είναι Kx t και K Ky t 2 x 2 . Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν τηνεξίσωση y x 2 , το Κ κινείται επί της ευθείας ε: y x 2 .Για να βρούμε τα κοινά σημεία των ε, C λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:

y x 2 y x 2

x 1 x 3 y 3 y 5 0 x 1 x 3 x 2 3 x 2 5 0

y x 2 y x 2 y x 2

x 1 x 3 x 1 x 3 0 2 x 1 x 3 0 x 1 ή x 3

Αν x 1 τότε y 3 , ενώ αν x 3 τότε y 5 .Επομένως, η πορεία του αυτοκινήτου συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο C στασημεία 1,3 και 3,5 .

11.α) Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 6 x 8 y 0 , , . Να δείξετε ότι υπάρχει τιμήτων μ, λ, που η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχήτων αξόνων Ο.

β) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει: 3 2 0 .i. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση

2 2x y 6 x 8 y 0 (1) για τις διάφορες τιμές των μ, λ, έχουν τα κέντρα τουςσε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ii. Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντιστοίχουκύκλου με την ευθεία x y 2 0 , να ισχύει

OA OB 0 .

iii. Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β, να υπολογίσετε το εμβαδόντου τριγώνου ΑΟΒ.

Λύση

α) Είναι 2 2 2 2A B 4 36 64 0 , οπότε η εξίσωση 2 2x y 6 x 8 y 0 (1)παριστάνει κύκλο με κέντρο 3 , 4 και ακτίνα

2 22 2 4 9 1636 64 22 2

2 29 162

.

Επειδή οι συντεταγμένες του Ο επαληθεύουν την (1), ο κύκλος διέρχεται από την αρχή τωναξόνων.

β)i. Για τις συντεταγμένες του κέντρου Κ ισχύει: Kx 3 και Ky 4 . Όμως3 2 0 3 2 , άρα K Kx 3 2 2x 4 , Ky 4 και με πρόσθεσηκατά μέλη προκύπτει: K K K K2x y 0 y 2x .Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y 2x , τα κέντρα Κ τωνκύκλων της (1) βρίσκονται επί της ευθείας y 2x που διέρχεται από την αρχή τωναξόνων.

ii. 0 90

.Επειδή το Ο είναι σημείο του κύκλου και η γωνία ΑΟΒείναι ορθή, θα είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε ηΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αυτό συμβαίνει όταν η

www.askisopolis.gr

10

ευθεία x y 2 0 διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, άρα όταν οι συντεταγμένες τουΚ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: 3 4 2 0 .

Είναι23 2 3 2 3 2 3 23

3 4 2 0 2 4 2 0 2 2 1 1

iii. Η βάση του τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος:

2

2 2 222 2 9 16 2 9 16 1 2 93

49 16 2 20 4 5 .

Για το ύψος υ του τριγώνου που αντιστοιχεί στην ΑΒ ισχύει:

2 2

0 0 2 2d O, 221 1

.

Είναι 1 1OAB AB 4 5 2 2 102 2 .

12.Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2x 2y 1 0 , 0 2 .α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να

προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα.

β) Αν2

, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο 1,2 .

γ) Να αποδείξετε ότι, για τις διάφορες τιμές του θ, τα κέντρα των παραπάνω κύκλωνβρίσκονται σε κύκλο με κέντρο 0,0 και ακτίνα 1 .

Λύση

α) Είναι 2 22 2 2 2A B 4 2 2 4 1 4 4 4

2 2 2 2A B 4 4 4 4 4 8 0 , οπότε η εξίσωση2 2C : x y 2x 2y 1 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο , και

ακτίνα2 2A B 4 8 2

2 2

2

22 .

β) Για2

είναι 0, 12 2

, οπότε το κέντρο Κ έχει

συντεταγμένες 0,1 .

Η ευθεία ΚΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 2 1 11 0

.

Επειδή η εφαπτομένη ε του κύκλου στο Μ είναι κάθετη στην ΚΜ, ισχύει ότι:1 1 .

Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: y 2 x 1 y x 3 .

γ) Είναι K Kx , y και 2 2 2 2Kx y 1 .

Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση 2 2x y 1 , τα κέντρα τωνκύκλων C βρίσκονται επί του κύκλου 2 2x y 1 .

www.askisopolis.gr

11

Εφαπτομένη κύκλου 2 2 2x y ρ

Η εφαπτομένη του κύκλου C: 2 2 2x y στο σημείο του 1 1x , y έχει εξίσωση:ε: 2

1 1xx yy Για να βρούμε εφαπτομένη ε του C σε άγνωστο σημείο που είναι παράλληλη σε ευθεία 1 ήκάθετη σε ευθεία 2 θα κάνουμε τα εξής:Θα θεωρούμε σημείο 1 1x , y του κύκλου, οπότε 2 2 2

1 1x y (1).Είναι

1 ή2

1 (2)

Από το σύστημα των (1),(2) θα υπολογίζονται τα 1 1x , y οπότε και η εφαπτομένη.Αν ζητείται εφαπτομένη του C που διέρχεται από σημείο , , τότε:Επειδή η ε διέρχεται από το Α, ισχύει ότι: 2

1 1x y (3)Από το σύστημα των (1), (3) θα υπολογίζονται τα 1 1x , y οπότε και η εφαπτομένη.

2 2 2

0 0x x y y

Για να βρούμε την εφαπτομένη ε του κύκλου C: 2 2 20 0x x y y στο σημείο του

1 1x , y χρειαζόμαστε τον συντελεστή διεύθυνσης της ε. Είναι:11

.

Η ε έχει εξίσωση: 1 KM 1y y x x

Κύκλος που εφάπτεται στους άξονεςΑν ο κύκλος εφάπτεται στονάξονα x΄x, τότε 0y και ηεξίσωση του κύκλου είναιτης μορφής: 2 2 2

0 0 0x x y y y

Αν ο κύκλος εφάπτεταιστον άξονα y΄y, τότε

0x και η εξίσωση τουκύκλου είναι της μορφής: 2 2 2

0 0 0x x y y x

Αν ο κύκλος εφάπτεται καιστους δύο άξονες, τότε

0 0y x και η εξίσωσητου κύκλου είναι τηςμορφής: 2 2 2x y

13.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x y 32 που είναιπαράλληλες στην ευθεία ε: x y 1 0 .

Λύση

1ος τρόποςΈστω 1 1A x , y σημείο του κύκλου. Τότε 2 2

1 1x y 32 (1)

www.askisopolis.gr

11





1 ή2

1 (2)



2 2 2

0 0x x y y



.



0 0 0x x y y y



0 0 0x x y y x




Λύση


1 1x y 32 (1)

www.askisopolis.gr

11





1 ή2

1 (2)



2 2 2

0 0x x y y



.



0 0 0x x y y y



0 0 0x x y y x




Λύση


1 1x y 32 (1)

www.askisopolis.gr

12

Η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση: 1 1xx yy 32 με

συντελεστή διεύθυνσης 1

1

xy

.

Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ε ισχύει ότι:1

1 11

x 1 x yy (2).

Από τις (1),(2) έχουμε: 2 2 2 21 1 1 1 1x x 32 2x 32 x 16 x 4 .

Αν 1x 4 τότε από τη σχέση (2) προκύπτει 1y 4 και η εφαπτομένη έχει εξίσωση:x 4 y 4 32 x y 8 .Αν 1x 4 τότε από τη σχέση (2) προκύπτει 1y 4 και η εφαπτομένη έχει εξίσωση: x 4 y 4 32 x y 8 .

2ος τρόποςΕπειδή η εφαπτομένη 1 είναι παράλληλη στην ε με 1 , θα έχει τον ίδιο συντελεστήδιεύθυνσης, οπότε η εξίσωσή της θα είναι της μορφής y x x y 0 .Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει:

1 2 2

0 0d O, 32 2 32 64 8 8

1 1

.

Οι ζητούμενες εφαπτομένες έχουν εξισώσεις x y 8 0 και x y 8 0 .

14.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2 2C : x y 6x 8y 0 στοσημείο του A 7, 1 .

Λύση

2 2 2 2x y 6x 8y 0 x 6x 9 y 8y 16 9 16

2 2 2x 3 y 4 25 5

Ο κύκλος έχει κέντρο K 3, 4 και ακτίνα 5 .

Είναι KA1 4 3

7 3 4

. Επειδή η εφαπτομένη ε του C στο Α

είναι κάθετη στη ΚΑ, ισχύει ότι: KA413 .

Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση:

4y 1 x 7 3y 3 4x 28 4x 3y 25 03

.

15.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παραπάνω περιπτώσεις:α) Ο κύκλος έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο

5,4 .β) Ο κύκλος έχει κέντρο 3,2 και εφάπτεται στον άξονα y΄y.γ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο 2,2 και εφάπτεται των αξόνων.

Λύση

www.askisopolis.gr

13

α) Επειδή ο κύκλος εφάπτεται του άξονα x΄x και διέρχεταιαπό το σημείο 5,4 , θα βρίσκεται πάνω από τον x΄x.

Οπότε, αν 0 0x , y είναι το κέντρο του κύκλου, θα είναι

0y 0 .Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x είναι:

0 0y y 4 .

Είναι 2 20 0x 5 4 4 4 x 5 4

0 0x 5 4 x 9 ή 0 0x 5 4 x 1 , άρα K 9,4 ή 1,4 , οπότε

2 2C : x 9 y 4 16 ή 2 2C : x 1 y 4 16

β) Επειδή ο κύκλος εφάπτεται του y΄y και έχει κέντρο K 3,2

ισχύει ότι 3 3 και η εξίσωσή του είναι:

2 2 2x 3 y 2 3 9

γ) Επειδή ο κύκλος έχει κέντρο το K 2,2 και εφάπτεται στους

άξονες, ισχύει ότι 2 2 2 και έχει εξίσωση:

2 2 2x 2 y 2 2 4

16.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x y 25 που είναι

παράλληλες στην ευθεία ε: 3y x4

.

Λύση

1ος τρόποςΈστω 1 1A x , y σημείο του κύκλου. Είναι 2 2

1 1x y 25 (1)Η εφαπτομένη του κύκλου στο Α έχει εξίσωση 1 : 1 1xx yy 25

με συντελεστή διεύθυνσης 11

1

xy

.

Είναι 11 1 1 1

1

x 3 3/ / x yy 4 4

(2)

Από τις (1),(2) έχουμε:2

2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

3 9y y 25 y y 25 9y 16y 16 25 254 16

21y 16 25 1y 4

Αν 1y 4 τότε από τη (2) προκύπτει 13x 4 34 και η εφαπτομένη είναι η 3x 4y 25 .

Αν 1y 4 τότε από τη (2) προκύπτει 13x 4 34 και η εφαπτομένη είναι η

3x 4y 25 .2ος τρόποςΕπειδή η εφαπτομένη 1 είναι παράλληλη στην ε έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε

η εξίσωσή της είναι της μορφής: 3y x 3x 4y 4 04

.

www.askisopolis.gr

14

Είναι 1 2 2

3 0 4 0 4 25d O, 5 4 25 4 2543 4

Άρα 1 : 3x 4y 4 254 0 3x 4y 25 0 ή 253x 4y 4 0 3x 4y 25 0

4

17.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 20 και το σημείο A 6,2 .α) Να αποδείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό του κύκλου C.β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α.γ) Αν Β,Γ είναι τα σημεία επαφής των προηγούμενων εφαπτομένων με το κύκλο, ναβρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

α) Η απόσταση του Α από το κέντρο Ο του κύκλου, είναι:

2 2OA 6 2 40 20 , οπότε το Α είναιεξωτερικό σημείο του C.

β) Έστω 1 1x , y σημείο του κύκλου, τότε: 2 21 1x y 25 (1)

Η εφαπτομένη του κύκλου στο Β έχει εξίσωση 1 :

1 1xx yy 25 Για να διέρχεται η 1 από το Α, πρέπει:

1 1 1 16x 2y 20 y 10 3x (2)Από τις (1), (2) έχουμε:

22 2 2 21 1 1 1 1 1 1x 10 3x 20 x 100 60x 9x 20 10x 60x 80 0 21 1 1 1x 6x 8 0 x 2 ή x 4 .

Αν 1x 2 τότε από 12 y 4 , άρα 2,4 και η εφαπτομένη είναι η2x 4y 20 x 2y 10 .Αν 1x 4 τότε από 12 y 2 , άρα 4, 2 και η εφαπτομένη είναι η4x 2y 20 2x y 10 .

γ) Είναι AB 2 6,4 2 4,2

, A 4 6,2 2 10,0

.

Είναι 4 2det , 20

10 0

και 1 det , 10

2

.

18.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x y 2x 4y 11 0

που διέρχονται από το σημείο A 1,2 .Λύση

2 2 2 2C : x y 2x 4y 11 0 x 2x 1 y 4y 4 16

2 2 2x 1 y 2 4 .

Ο κύκλος έχει κέντρο K 1, 2 και ακτίνα 4 .Οι ευθείες ε που διέρχονται από το Α έχουν εξίσωση:x 1 ή y 2 x 1 x y 2 0

www.askisopolis.gr

15

Αν ε: x 1 , τότε d K, 1 1 2 , άρα η x 1 δεν είναι εφαπτομένη του κύκλου.Αν ε: x y 2 0 , τότε:

22 2

22

1 2 2d , 4 4 2 4 1 4 2 16 1

1

16 2 216 4 16 16 212 16 0 4 3 4 0 0 ή 43

.

Αν 0 η εφαπτομένη έχει εξίσωση: 0 x y 2 0 y 2 και αν 43

η εφαπτομένη

έχει εξίσωση: 4 4x y 2 0 4x 3y 6 4 0 4x 3y 10 03 3 .

19.Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου 2 2C : x y 4x 2y 0 που είναι παράλληλεςστην ευθεία : y 2x 4 .

Λύση

Οι ευθείες που είναι παράλληλες στην ε είναι της μορφής: 1 : y 2x 2x y 0

2 22 2 2 2C : x y 4x 2y 0 x 4x 4 y 2y 1 4 1 x 2 y 1 5

Ο κύκλος έχει κέντρο K 2, 1 και ακτίνα 5 .Για να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία 1 πρέπει:

22

2 2 1d K, 5

2 1

55 5 5

5

5 5 0 ή 5 5 10 Οι ζητούμενες εφαπτόμενες είναι οι ευθείες y 2x και y 2x 10 .

20.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2 2C : x y 4x 4y 17 0 πουείναι κάθετη στην ευθεία ε: 4x 3y 12 0 .

Λύση

2 2C : x y 4x 4y 17 0 2 2x 4x 4 y 4y 4 25 2 2 2x 2 y 2 5 .

Ο κύκλος έχει κέντρο K 2,2 και ακτίνα 5 .

Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 43 3

.

Αν 1 είναι η εφαπτομένη του κύκλου που είναι κάθετη στην ε,

τότε: 1 1314

και η 1 έχει εξίσωση της μορφής:

3y x 3x 4y 4 04

Είναι 2 2

3 2 4 2 4d K, 5 14 4 25 14 4 25

3 4

www.askisopolis.gr

16

1114 4 25 14 25 44

ή 3914 4 25 14 25 44

Άρα 1 : 113x 4y 4 0 3x 4y 11 04

ή 3x 4y 4 394 0 3x 4y 39 0 .

21.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες 1 : 2x y 3 0 και

2 : 2x y 17 0 και διέρχεται από το σημείο 6, 5 .Λύση

Παρατηρούμε ότι η ευθεία 1 : y 2x 3 έχει 1 2 και ηευθεία 2 : y 2x 17 έχει 2 2 , δηλαδή 1 2 1 2/ / .Έστω ότι ο κύκλος εφάπτεται στις 1 2, στα σημεία Β και Γαντίστοιχα. Επειδή 1 , 2 και 1 2/ / , τα σημείαΒ,Κ,Γ είναι συνευθειακά, οπότε η απόσταση των παραλλήλων 1 2d , είναι η διάμετρος του κύκλου. Είναι

1 2 2 2

17 3 20 20 52 d , 4 5 2 5552 1

.

Έστω ότι το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες 0 0x , y . Επειδή το Κ ισαπέχει από τις 1 2, έχουμε:

0 01 2

2 2

2x y 3d K, d K,

2 1

0 0

2 2

2x y 17

2 1

0 0 0 02x y 3 2x y 17

02x 0y 03 2x 0y 17 αδύνατο ή

0 0 0 0 0 0 0 02x y 3 2x y 17 4x 2y 14 0 y 2x 7 (1)

Είναι

12 2 2 2

0 0 0 0KA x 6 y 5 2 5 x 6 2x 7 5 20

22 2 20 0 0 0x 6 2x 12 20 x 6 2 x 6 20

2 2 2 20 0 0 0 0x 6 4 x 6 20 5 x 6 20 x 6 4 x 6 4

0x 10 ή 0x 2 .Αν 0x 10 τότε από την (1) προκύπτει 0y 20 7 13 και ο κύκλος έχει εξίσωση:

2 2x 10 y 13 20 , ενώ αν 0x 2 από την (1) προκύπτει 0y 4 7 3 και ο

κύκλος έχει εξίσωση: 2 2x 2 y 3 20 .

22.Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες 1 : x 3y 1 0 ,

2 : 3x y 9 0 και έχουν ακτίνα ίση με 10 .Λύση

Έστω 0 0x , y το κέντρο του κύκλου. Είναι 0 01 2 2

x 3y 1d K, 10

1 3

www.askisopolis.gr

17

0 0x 3y 110

10

0 0x 3y 1 10

0 0 0 0x 3y 1 10 x 11 3y ή 0 0x 9 3y .

Επίσης 0 02 2 2

3x y 9d K, 10

3 1

0 00 0

3x y 910 3x y 9 10

10

0 03x y 9 10 0 03x y 1 ή 0 03x y 19 .Για τα 0 0x , y σχηματίζονται τέσσερα συστήματα:

0 0 0 0 01

0 0 0 0 0

x 11 3y x 11 3y x 11 12 1:

3x y 1 33 9y y 1 y 4

, άρα 1,4 και ο κύκλος

έχει εξίσωση: 2 2x 1 y 4 10 .

00 0 0 0

20 0 0 0

0

39 17x 11x 11 3y x 11 3y 2 2:3x y 19 33 9y y 19 13y

2

άρα 17 13,2 2

και ο

κύκλος έχει εξίσωση:2 217 13x y 10

2 2

.

00 0 0 0

30 0 0 0

0

21 3x 9x 9 3y x 9 3y 2 2:3x y 1 27 9y y 1 7y

2

άρα 3 7,2 2

και ο κύκλος

έχει εξίσωση:2 23 7x y 10

2 2

.

0 0 0 0 04

0 0 0 0 0

x 9 3y x 9 3y x 9 3 6:

3x y 19 27 9y y 19 y 1

άρα 6, 1 και ο

κύκλος έχει εξίσωση: 2 2x 6 y 1 10 .

23.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους άξονες x΄x, y΄y και στηνευθεία ε : 3x 4y 24 0 και βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

Λύση

Έστω 0 0x , y το κέντρο του κύκλου. Επειδή ο κύκλοςβρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο είναι 0 0x , y 0 .Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες, το τετράπλευροΟΑΚΒ είναι τετράγωνο πλευράς ρ, οπότε 0 0x y .Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε, ισχύει ότι:

2 2

3 4 24 7 24d ,

53 4

\

7 24 5 7 24 5 7 5 24 12 ή7 5 24 12 24 2 .Επομένως οι κύκλοι που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις έχουν εξισώσεις:

www.askisopolis.gr

18

2 2 2x 12 y 12 12 144 και 2 2 2x 2 y 2 2 4 .

24.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων καιεφάπτεται της ευθείας ε : x 2y 5 0 στο σημείο A 3, 1 .

Λύση

Έστω Κ το κέντρο του κύκλου. Επειδή η ΚΑ είναι ακτίνα του

κύκλου, ισχύει ότι KA11 1 22 .

Η ευθεία ΚΑ έχει εξίσωση: y 1 2 x 3 y 2x 5 .Επειδή το Κ ισαπέχει από τα Ο και Α βρίσκεται στη μεσοκάθετο τουΟΑ. Αν Μ το μέσο του ΟΑ, τότε:

O AM

x x 3x2 2

και O AM

y y 1y2 2

, άρα 3 1M ,2 2

.

Είναι OA1 0 1

3 0 3

και αν μ η μεσοκάθετος του ΟΑ, ισχύει ότι:

1OA 1 1 33 .

Η μεσοκάθετη μ έχει εξίσωση: 1 3y 3 x y 3x 52 2

.

(Να σημειώσουμε ότι η ίδια εξίσωση θα μπορούσε να βρεθεί και από τη σχέση: OK OA ).Οι συντεταγμένες του κέντρου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων τωνΚΑ, μ. Είναι:

y 2x 5 3x 5 2x 5 5x 10 x 2y 3x 5 y 3x 5 y 3x 5 y 3 2 5 1

, άρα K 2,1 .

Για την ακτίνα του κύκλου, έχουμε: 2 22 1 5 , άρα η εξίσωση του κύκλου

είναι: 2 2x 2 y 1 5 .

25.Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x΄x από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προςτον κύκλο 2 2C : x 3 y 2 2 .

Λύση


Έστω ,0 σημείο του άξονα x΄x. Οι ευθείες που διέρχονται από το Μ έχουν εξίσωση:x ή y x x y 0 Αν η εφαπτομένη έχει εξίσωση x , τότε η κάθετη της στο Μ είναι ο άξονας x΄x που δενεφάπτεται στο κύκλο.Αν ε: x y 0 , τότε:

22

3 2d K, 2

1

23 2 2 1

www.askisopolis.gr

19

2 23 2 2 1

2 2 23 4 3 4 2 2

2 2 29 6 2 4 3 2 0 2 27 6 4 3 2 0 (1)

Η (1) έχει δύο λύσεις 1 2, που είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των κάθετων εφαπτόμενωνπου άγονται από το Μ προς τον κύκλο, οπότε 1 2 1 . Όμως από τους τύπους τουVietta

είναι: 1 2 2

27 6

, άρα

22 22

2 1 2 7 6 6 9 0 3 0 37 6

,

οπότε 3,0 .

26.Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 4 2 1 x 6 y 25 16 0 (1), .α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, του

οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.β) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται το κέντρο του κύκλου.γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που αντιπροσωπεύονται από την (1), εφάπτονται σε

δύο ευθείες, οι οποίες και να βρεθούν.Λύση

α) 2 2 2x y 4 2 1 x 6 y 25 16 0

2 2 2 22 2 2x 2 4 2 x 4 4 2 y 2 3 y 3 4 4 2 3 25 16

2 2x 4 2 y 3 4

Η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο 2 4 ,3 και ακτίνα 2 .

β) Είναι yy 33

και

yx 2 4 2 4 3x 6 4y 3x 4y 6 03

.

Άρα το κέντρο Κ βρίσκεται στην ευθεία : 3x 4y 6 0 .

γ) Επειδή το κέντρο του κύκλου κινείται στηνευθεία : 3x 4y 6 0 και η ακτίνα τουείναι σταθερή και ίση με 2, ο κύκλος θαεφάπτεται σε δύο παράλληλες ευθείεςστις οποίες η ε είναι μεσοπαράλληλη με 1 2d , d , 2 .

Αν x, y σημείο μιας εκ των 1 2, , τότε: 2 2

3x 4y 6d M, 2 2

3 4

3x 4y 6

25

3x 4y 6 10 3x 4y 6 10

3x 4y 6 10 3x 4y 16 0 ή 3x 4y 6 10 3x 4y 4 0 Άρα οι 1 2, έχουν εξισώσεις 3x 4y 16 0 και 3x 4y 4 0

www.askisopolis.gr

20

Σχετική θέση σημείου ως προς κύκλοΣημείο εσωτερικό κύκλου Σημείο που ανήκει σε κύκλο Σημείο εξωτερικό κύκλου

Ένα σημείο Α βρίσκεται στοεσωτερικό του κύκλου (Κ,ρ)αν και μόνο αν

Ένα σημείο Α ανήκει στονκύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν

Ένα σημείο Α βρίσκεταιστο εξωτερικό του κύκλου(Κ,ρ)αν και μόνο αν

Σχετική θέση ευθείας ως προς κύκλο.Η ευθεία τέμνει τον κύκλο Η ευθεία εφάπτεται του

κύκλουΗ ευθεία είναι εξωτερική

του κύκλου

Μια ευθεία ε τέμνει ένανκύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν

d ,

Μια ευθεία ε εφάπτεται σεκύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν

d ,

Μια ευθεία ε είναι εξωτερικήκύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν

d ,

27.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 4y 21 0 και το σημείο M 1,4 .α) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το Μ.

Λύση

α) Είναι 22 2 2 2 2 2x y 4y 21 0 x y 4y 4 25 x y 2 5 .

Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 0,2 και ακτίνα 5 .

Η απόσταση του Μ από το Κ είναι: 2 21 0 4 2 5 5 , οπότε το Μβρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου.

β) Έστω ΑΒ η χορδή του κύκλου που έχει μέσο το Μ. Τότε το ΚΜείναι απόστημα της χορδής, οπότε .

Είναι 4 2 21 0

και 11

2 .

Η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση:

1y 4 x 1 2y 8 x 1 x 2y 9 02

.

28.Δίνεται η ευθεία ε: 8x 6y 0 και ο κύκλος 2 2C : x 1 y 2 1 . Να βρεθούνοι τιμές του για τις οποίες η ε εφάπτεται του C.

Λύση

www.askisopolis.gr

21

Ο κύκλος έχει κέντρο 1,2 και ακτίνα 1 .

Η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου αν και μόνο αν 2 2

8 1 6 2d , 1

8 6

20

1 20 1010 20 10 10 ή 30 .

29.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x 2x y 4y 0 και μια μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεταιαπό την αρχή των αξόνων και τον τέμνει στα σημεία Α και Β. Να βρείτε την ε ανγνωρίζετε ότι:

α) Η χορδή ΑΒ έχει μήκος 2.β) Το τρίγωνο ΑΚΒ έχει εμβαδό ίσο με 3/2 τ.μ., όπου Κ το κέντρο του κύκλου.

Λύση

α) 2 22 2C : x 2x y 4y 0 x 1 y 2 5

Ο κύκλος C έχει κέντρο K 1,2 και ακτίνα 5 .

Αν Μ το μέσο της χορδής, τότε 1 και το ΚΜείναι απόστημα της χορδής.Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΚΜ έχουμε:

22 2 2 25 1 4 2 , δηλαδή d , 2 .

Επειδή η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα είναι της μορφήςy x x y 0 ή x 0 .Αν ε: x 0 τότε d , 1 2 απορρίπτεται.

Αν ε: x y 0 , τότε: 2 2

1 2d , 2 2

1

22 2 1

2 22 4 1 2 4 4 24 4 23 4 0

43 4 0 0 ή3

. Άρα ε: y 0 ή 4y x3 .

β) Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το Ο (επαληθεύεται) το Α ή το Β θα ταυτίζεται με το Ο.Έστω ότι το Β ταυτίζεται με το Ο, τότε το τρίγωνο είναι το ΟΚΑ.Αν η ε είναι η x 0 , η εξίσωση του C γίνεται:

2y 4y 0 y y 4 0 y 0 ή y 4 , άρα A 0,4 . Είναι

0 4OA 0,4 , OK 1,2 , det OA,OK 4

1 2

οπότε

1 3OKA det OA,OK 22 2

, οπότε η ε δεν μπορεί να είναι η x 0 .

Αν ε: y x τότε από το σύστημα των ε,C βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κοινών

σημείων τους. Είναι O 0,0 και2

2 2

4 2 4 2A ,1 1

.

Είναι 2 2

4 24 2OK 1,2 , OA ,1 1

,

www.askisopolis.gr

22

22 2

1 22 4 2

det OA,OK 4 24 2 11 1

, οπότε

1 1OKA det OA,OK2 2

2

2

4 6 4 31 2

2 24 6 4 3 3

2 2 24 6 4 3 3 6 7 0 1 ή 7 ή2 2 2 14 6 4 3 3 7 6 1 0 1 ή

7 .

Άρα η ε έχει εξίσωση: 1y x ή y 7x ή y x ή y x7

.

30.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 2 x 2 y 0 και η ευθεία ε: x y 1 0 .α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η ευθεία τέμνει τον κύκλο.β) Αν η ε ορίζει στο κύκλο χορδή ΑΒ, να βρεθεί ο για τον οποίο το τρίγωνο

ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να είναι ορθογώνιο στο Ο.Λύση

α) 1ος τρόποςΗ ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν το σύστημα των εξισώσεων τους έχει δύο λύσεις. Είναι:

2 2

2 2x y 2 x 2 y 0y 1 y 2 y 1 2 y 0

x y 1

2 2y 2y 1 y 2 y 2 2 y 20 2y 2y 2 1 0

Η τελευταία εξίσωση είναι 2ου βαθμού και έχει δύο λύσεις, άρα:

10 4 8 2 1 0 4 16 8 0 4 164

.

2ος τρόπος2 2 2 2 2 2 2C : x y 2 x 2 y 0 x 2 x y 2 y 2

22 2x y 2 . Ο κύκλος έχει κέντρο , και ακτίνα 2 .

Η ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν d , 22

12

1 1

22 12 2 1 2 2 1 2

2

2 22 1 4

24 24 1 4 14 14

.

β) Παρατηρούμε ότι το Ο είναι σημείο του κύκλου(τον επαληθεύει), οπότε για να είναι 90 , θα πρέπει να είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, άρα η ΑΒ να είναι διάμετρος

του κύκλου. Τότε το Κ είναι σημείο της ε, οπότε 11 0 2 12

.

www.askisopolis.gr

23

Σχετική θέση κύκλων – κοινές εφαπτόμενες κύκλωνΚοινάσημεία

Σχήμα Συνθήκη Παρατηρήσεις

2 R R

α) Οι κοινές εφαπτόμενεςτέμνονται επί τηςδιακεντρικής ευθείας.

β) Η διακεντρική ευθείαΚΛ διχοτομεί τη γωνίατων εφαπτομένων,δηλαδή

1 2 καθώςκαι τη γωνία τωνακτίνων πουκαταλήγουν στα σημείαεπαφής.

1

Εξωτερικά εφαπτόμενοι

R

α) Έχουν 3 κοινέςεφαπτόμενες, 2εξωτερικές και μίαεσωτερική. Τα σημείατομής τους βρίσκονταιεπί της διακεντρικήςευθείας.

β) Η διακεντρική ευθείαΚΛ διχοτομεί τη γωνίατων εφαπτομένων,δηλαδή

1 2 καθώςκαι τη γωνία τωνακτίνων πουκαταλήγουν στα σημείαεπαφής.

Εσωτερικά εφαπτόμενοι

R

α) Οι κύκλοι δέχονται 1κοινή εφαπτομένη.

β) Το σημείο επαφής τουςβρίσκεται επί τηςδιακεντρικής ευθείας.

0

R

Δεν έχουν κοινέςεφαπτομένες.

R

Οι κύκλοι δέχονται 4 κοινέςεφαπτόμενες, 2 εσωτερικές

και 2 εξωτερικές.

www.askisopolis.gr

24

31.Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων 2 21C : x 2 y 4 και 2 2

2C : x 2x y 0 Λύση

Ο κύκλος 1C έχει κέντρο K 2,0 και ακτίνα R 2 .Για το κύκλο 2C έχουμε:

22 2 2 2 2x 2x y 0 x 2x 1 y 1 x 1 y 1 , οπότε έχει

κέντρο 1,0 και ακτίνα 1 .

Είναι 1 και R 2 1 1 , δηλαδή R οπότε οικύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.

32.Δίνονται οι κύκλοι 2 21C : x 1 y 9 και 2 2

2C : x 1 y 3 4 . Ναβρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι δύο κύκλοι τέμνονται.

Λύση

Ο κύκλος 1C έχει κέντρο K 1, και ακτίνα R 3 ενώ ο κύκλος 2C έχει κέντρο 1,3και ακτίνα 2 . Η απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων είναι:

21 1 0 23 3 .

Οι δύο κύκλοι τέμνονται όταν R R 1 3 5

3 1 3 1 ή 3 1 2 ή 43 5 5 3 5 2 8

Με συναλήθευση προκύπτει ότι 2,2 4,8 .

33.Δίνονται οι κύκλοι 2 21C : x y 1 και 2 2

2C : (x 3) (y 4) 16 .α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενών τους.γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα y΄y καιεφάπτεται στους κύκλους 1 2C ,C .

Λύση

α) Ο κύκλος 1C έχει κέντρο 0,0 και ακτίνα 1 1 , ενώ ο κύκλος 2C έχει κέντρο K 3,4και ακτίνα 2 4 .

Η απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων είναι: 2 20 3 0 4 5

Επειδή 1 2 5 , οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

www.askisopolis.gr

24









Λύση


21 1 0 23 3 .


3 1 3 1 ή 3 1 2 ή 43 5 5 3 5 2 8



2C : (x 3) (y 4) 16 .α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενών τους.γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα y΄y καιεφάπτεται στους κύκλους 1 2C ,C .

Λύση




www.askisopolis.gr

24









Λύση


21 1 0 23 3 .


3 1 3 1 ή 3 1 2 ή 43 5 5 3 5 2 8



2C : (x 3) (y 4) 16 .α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενών τους.γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα y΄y και

εφάπτεται στους κύκλους 1 2C ,C .Λύση




www.askisopolis.gr

25

β) Έστω ε: y x κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων. Τότε:

21

2

2

0 01

d , 1d , 3 4

41

2

2

1

3 4 4 1

2 1 13 4 4

Από την εξίσωση 3 4 4 , προκύπτει ότι:3 43 4 4

3

ή 4 33 4 45

- Αν 3 43

, τότε η σχέση (1) γίνεται:

22 2 2 23 43 4 71 1 9 24 16 9 93 9 24

και

73 4 25243 24

και η εφαπτομένη είναι η ευθεία 1

7 25: y x24 24

.

- Αν 4 35

, τότε η σχέση (1) γίνεται:

22 2 2 24 34 3 1 1 9 24 16 25 255 25

22 316 24 9 0 4 3 0 4 3 04

και

34 354

5 4

,

οπότε η εφαπτομένη είναι η ευθεία 23 5: y x4 4

.

Οι δύο κύκλοι ενδέχεται να δέχονται ως κοινή εφαπτομένη και κάποια κατακόρυφη ευθεία.Ο κύκλος 1C δέχεται ως εφαπτόμενες τις κατακόρυφες ευθείες x 1 x 1 ,ενώ ο κύκλος 2C τις x 1 x 8 . Άρα η x 1 είναι η τρίτη κοινή εφαπτομένη τωνκύκλων 1 2C ,C .

γ) Έστω 3C , ο ζητούμενος κύκλος, με κέντρο 00, y και ακτίνα 3 .Για να εφάπτεται ο 3C στους 1 2C ,C , πρέπει:

0 3 0 30 31 322 2

2 3 0 30 3

y 1 ή y 1y 1

9 y 4 40 3 y 4 4

- Αν 0 3y 1 , τότε 2 2 23 3 3 39 1 4 4 9 3 4

2 23 3 3 3 3

19 6 9 8 167

και 01 8y 17 7

, οπότε ο κύκλος είναι:

22

38 1C : x y7 49

- Αν 0 3y 1 , τότε 2 2 23 3 3 39 1 4 4 9 5 4

2 23 3 3 3 39 10 25 8 16 2 18 που είναι αδύνατο.

www.askisopolis.gr

26

34.Να βρείτε την εξίσωση κύκλου C που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο 2 2

1C : x 4 y 4 1 και στους θετικούς ημιάξονες.Λύση

Ο κύκλος 1C έχει κέντρο K 4,4 και ακτίνα 1 2 . Έστω ότι ο

κύκλος C έχει κέντρο 0 0x , y και ακτίνα ρ. Επειδή ο C εφάπτεται

στους θετικούς ημιάξονες ισχύει ότι: 0 0x y , δηλαδή , .Επειδή οι κύκλοι C, 1C εφάπτονται εξωτερικά, ισχύει ότι:

2 21K 4 4 2

22 4 2 2 4 2 (1).

Επειδή 0x x 4 είναι 4 οπότε η (1) γίνεται:

2 4 2 4 2 2 2 2 1 3 2

2 2

3 2 2 1 3 2 2 13 2 6 3 2 6 3 22 12 1 2 1 2 1 2 1

.

Ο κύκλος C έχει εξίσωση: 2 2 2x 6 3 2 y 6 3 2 6 3 2 .

35.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο 2 2

1C : x 4 y 2 32 στο σημείο A 0,2 και διέρχεται από το σημείο B 0,4 .Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτόμενής τους.

Λύση

Ο κύκλος 1C έχει κέντρο K 4, 2 και ακτίνα

32 4 2 . Έστω 0 0x , y το κέντρο του ζητούμενουκύκλου 2C .

Η ευθεία ΚΑ έχει εξίσωση: 2 2y 2 x y x 20 4

Επειδή το σημείο επαφής Α βρίσκεται στη διακεντρικήευθεία ΚΛ οι συντεταγμένες του Λ ικανοποιούν την ΚΑ,δηλαδή: 0 0y x 2 (1).Επειδή ο κύκλος 2C διέρχεται από τα σημεία Α και Β, ισχύει ότι:

2 22 21 0 0 0 0x y 2 x y 4

20x 2

0y 20 04y 4 x 2

0y 08y 16 0 04y 12 y 3 και

από την (1) 0 03 x 2 x 1 , δηλαδή 1,3 .

Είναι 2 21 1 3 2 2 , οπότε ο κύκλος 2C έχει εξίσωση:

2 2x 1 y 3 2 .Η κοινή εφαπτόμενη ε των δύο κύκλων είναι κάθετη στη ΚΑ, άρα 1 1 .Η ε έχει εξίσωση: y 2 x 0 y x 2 .

www.askisopolis.gr

27

36.Με διαμέτρους τις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ γράφουμεημικύκλια. Να αποδειχθεί ότι τα δύο ημικύκλια τέμνονται επί της υποτείνουσας ΒΓ.

Λύση

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων όπου η αρχή Ο τωναξόνων συμπίπτει με κορυφή Α και οι άξονες είναι φορείς των ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα.Έστω ότι τα σημεία Β, Γ έχουν συντεταγμένες 0, και ,0αντίστοιχα. Αν Κ το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου ΑΒ τότε

οι συντεταγμένες του είναι 0,2

και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι

1 2

. Αν Λ το κέντρο του ημικυκλίου με διάμετρο την ΑΓ, τότε οι

συντεταγμένες του είναι ,02

και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι 2 2

.

Το ημικύκλιο 1C κέντρου Κ έχει εξίσωση:2 2 2

2 2 2x y x y y2 2 4

2

4 2 2x y y 0 (1)

Το ημικύκλιο 2C κέντρου Λ έχει εξίσωση:2 2 2

2 2x y x x2 2 4

22y

4

2 2x x y 0 (2)

Για το σημείο τομής Δ των δύο ημικυκλίων έχουμε: 2 2

2 2

x y y 0y x 0 y x

x x y 0

και από τη σχέση (2) προκύπτει:

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2

xx x x 0 x x 0 x x x 0

2

2 2 22 2x x 0 x 0 ή x

.

Αν x 0 τότε είναι y 0 0

και τα ημικύκλια τέμνονται στο Α.

Αν2

2 2x

τότε y

2

2

2 2 2 2

και τα ημικύκλια τέμνονται στο

2 2

2 2 2 2,

.

Είναι2 2 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2, ,

και

2 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2, ,

2 3

2 2 2 2 3 3 3 3

2 23 2 2 2 2 2

2 2 2 2

det , 0 / /

, άρα τα

σημεία Β,Δ,Γ είναι συνευθειακά.

www.askisopolis.gr

28

37.Δίνονται δύο κύκλοι που διέρχονται από το σημείο 14,2 , τα κέντρα τους

βρίσκονται στην ευθεία 1y x2

και εφάπτονται στον άξονα x΄x. Να βρείτε:

α) Τις εξισώσεις των δύο κύκλων.β) Την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτόμενης.

Λύση

α) Έστω 0 0K x , y το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνατου. Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το σημείο Μ καιεφάπτεται στον άξονα x΄x, θα βρίσκεται πάνω από τον x΄x,οπότε 0y 0 .Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x είναι 0y .Επειδή το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην ευθεία

1y x2 είναι 0 0 0

1y x x 22 (1).

Είναι 2 2 2 2 20 0x 14 y 2 2 14 2

2 24 56 196 24 4 24 60 200 0 2 15 50 0 5 ή 10

Αν 5 , τότε 10,5 και 2 21C : x 10 y 5 25 .

Αν 10 , τότε 20,10 και 2 22C : x 20 y 10 100

β) Επειδή ο άξονας x΄x (που εφάπτεται των δύοκύκλων) και η διάκεντρος ΟΚ τέμνονται στο Ο,η άλλη εφαπτομένη των κύκλων 1 2C ,C θαδιέρχεται από το Ο. Έστω ε: y x x y 0 η άλλη κοινή εφαπτόμενη. Τότε:

22

10 5d K, 5

1

5 2 5 22 21 2 1

2 24 4 31 4 34

, οπότε ε: 3y x4 .

www.askisopolis.gr

29

Μέγιστη και ελάχιστη απόσταση κύκλου από σημείο – ευθεία – κύκλο

mind M,C MK min

d C, d K, 1 2 1 2mind C ,C K

maxd M,C MK 1 2 1 2max

d C ,C K

38.Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A 1,0 από τονκύκλο 2 2C : x y 6x 6y 2 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που προσφέρουναυτές τις αποστάσεις.

Λύση

2 2C : x y 6x 6y 2 0 2 2x 6x 9 y 6y 9 9 9 2

2 2x 3 y 3 16 .

Ο κύκλος έχει κέντρο K 3,3 και ακτίνα 4 .Η απόσταση του Α από το κέντρο του κύκλου είναι:

2 23 1 3 5

Η ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από τον κύκλο είναι η ΑΒ και το σημείο του κύκλουπου την προσφέρει είναι το Β. Είναι min

d A,C AB AK 5 4 1 .Η μέγιστη απόσταση του Α από τον κύκλο είναι η ΑΓ και ζητούμενο σημείο του κύκλουείναι το Γ. Είναι max

d A,C A AK 5 4 9

Τα σημεία Β και Γ θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ΑΚ και C.

Είναι 3 0 33 1 4

και η εξίσωση της ΑΚ είναι: 3 3 3y 0 x 1 y x

4 4 4 και

2

22 2 3 3x 3 x 3 16x 3 y 3 164 4

3 3y x 3 3y x4 44 4

2 2

2 23 9 3x 3 x 16 x 3 x 3 164 4 43 3 3 3y x y x4 4 4 4

2 29x 3 x 3 16163 3y x4 4

2

2 225 16 16 31 16 116x 3 16 x 3 x 3 ή x 3x 316 5 5 5 5 525

3 3 3 3 3 33 3y x y x y xy x4 4 4 4 4 44 4

Αν 31x5

, τότε 3 31 3 27y4 5 4 5 , δηλαδή 31 27,

5 5

και αν 1x5

, τότε 3y5 , δηλαδή

1 3,5 5

www.askisopolis.gr

30

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι x x 3 , άρα 31 27,5 5

και 1 3,5 5

.

39.Να βρεθεί σημείο Μ του κύκλου 2 2C : x y 4x 6y 8 0 που η απόστασή του απότην ευθεία ε: 2x y 3 0 είναι ελάχιστη.

Λύση

2 2 2 2C : x y 4x 6y 8 0 x 4x 4 y 6y 9 4 9 8 2 2x 2 y 3 5


Είναι 22 2

2 2 3 3 10 10 5 10d ,52 1 5

25

52 5 5 άρα η ευθεία είναι

εξωτερική του κύκλου.Το σημείο Μ είναι το σημείο τομής της κάθετης που άγεται από τοΚ προς την ε, με τον κύκλος C, γιατί για κάθε άλλο σημείο Ν τουκύκλου, ισχύει:

Είναι 2 21 και 11

2 .

Η ΚΑ έχει εξίσωση: 1 1y 3 x 2 y x 22 2

.

Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι η μία από τις δύο λύσεις του συστήματος των ΚΑ, C.

Είναι:

2 22 22 2 1 1x 2 2 3 5 x 2 x 1 5x 2 y 3 5

2 21y x 2 1 1y x 2 y x 22

2 2

2 2

2 2 22x 2 x 2x 2 5 4 x 2 x 2 20x 2 52 4 1y x 211 y x 2y x 2 222

2 2 x 2 2 x 4 ή x 05 x 2 20 x 2 41 11 1 y x 2 y x 2y x 2 y x 2 2 22 2

Στο σχήμα παρατηρούμε ότι M Kx x άρα Mx 0 και τότε M1y 0 2 22 , άρα M 0,2 .

40.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 6x 8 0 και η ευθεία : y x .α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο.γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη απόσταση.

Λύση

α) 2 2 2 2C : x y 6x 8 0 x 6x 9 y 1 2 2x 3 y 1 .

Ο κύκλος έχει κέντρο K 3,0 και ακτίνα 1 . Η ευθεία ε γράφεται: y x x y 0 .

www.askisopolis.gr

31

2 2

3 0 3 3 2d K, KA 1221 1

, οπότε η ευθεία είναι εξωτερική του

κύκλου.

β) Η ελάχιστη απόσταση τους είναι η ΑΒ με

3 2d , 12

γ) Είναι 1 1 και η ΚΒ έχειεξίσωση: y 0 x 3 y x 3 Για το σημείο Α, έχουμε:

22 2 2 22 1x 3x 3 y 1 x 3 x 3 1 2 x 3 12

y x 3 y x 3 y x 3 y x 3

2 2x 3 x 32 2

y x 3 y x 3

Επειδή A Kx x 3 , είναι K2x 3

2 και K K

2 2y x 3 3 32 2

,

άρα 2 2A 3 ,2 2

.

Για το σημείο Β, έχουμε:

3yy x y x 2y x 3 x x 3 3x

2

, άρα 3 3B ,2 2

.

41.Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των κύκλων2 2

1C : x y 4x 2y 4 0 και 2 22C : x y 8x 14y 40 0 καθώς και τα σημεία

τους που δίνουν αυτές τις αποστάσεις.Λύση

Είναι 2 21C : x y 4x 2y 4 0 2 22 2x 4x 4 y 2y 1 1 x 2 y 1 1

Ο κύκλος 1C έχει κέντρο K 2,1 και ακτίνα 1 1 .Είναι 2 2

2C : x y 8x 14y 40 0 2 2x 8x 16 y 14y 49 25

2 2x 4 y 7 25 . Ο κύκλος 2C έχει κέντρο 4,7 και ακτίνα 2 5 .

Είναι 2 22 4 1 7 10 .

Επειδή 1 2 , ο ένας κύκλος είναιεξωτερικός του άλλου.Η ελάχιστη απόσταση των δύο κύκλων είναι η ΒΓ καιη μέγιστη η ΑΔ.Είναι 1 2 1 2min

d C ,C 4 και

1 2 1 2maxd C ,C 16 .

www.askisopolis.gr

32

Η ΚΛ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 7 1 14 2

και η εξίσωση της ΚΛ είναι:

y 1 x 2 y x 3

Για να βρούμε τα σημεία Α και Β θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των 1C , .

Είναι: 2 2x 2 y 1 1y x 3

2 2x 2 x 3 1 1y x 3

22 2 2 2 2 1x 2x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 2 x 2 12

y x 3 y x 3 y x 3 y x 3

2 2x 2 x 22 2

y x 3 y x 3

Αν 2x 22

, τότε 2 2y 2 3 12 2

και ένα σημείο τομής είναι

το 2 22 ,12 2

, ενώ για 2x 2

2 , τότε 2 2y 2 3 1

2 2 και ένα σημείο

τομής είναι το 2 22 ,12 2

, Επειδή B Kx x 2 , είναι 2 2B 2 ,1

2 2

και

2 2A 2 ,12 2

.Λύνοντας όμοια το σύστημα των 2C , , προκύπτει:

5 2 5 24 ,72 2

και 5 2 5 24 ,72 2

.

Κύκλοι που διέρχονται από σταθερό σημείοΑν δίνεται παραμετρική εξίσωση κύκλου και θέλουμε να αποδείξουμε ότι διέρχεται απόσταθερό σημείο για κάθε τιμή της παραμέτρου, τότε έχουμε δύο επιλογές:1. Μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση σε εξίσωση πολυωνυμικής μορφής ως προς την

παράμετρο. Στη συνέχεια απαιτούμε το πολυώνυμο να είναι το μηδενικό, δηλαδή οιαντίστοιχοι συντελεστές να είναι ίσοι με το μηδέν.Η λύση του συστήματος που θα προκύψει είναι οι συντεταγμένες του σταθερού σημείου.

2. Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο από τους κύκλους πουαντιπροσωπεύει η αρχική εξίσωση.Έστω 1 1M x , y η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων.Αν οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την αρχική εξίσωση τότε το Μ είναι τοζητούμενο σταθερό σημείο.(Η μεθοδολογία αυτή είναι ίδια με την αντίστοιχη της ευθείας).

42.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 2x y 1 x y 3 0 παριστάνεικύκλο για κάθε ο οποίος διέρχεται από σταθερό σημείο.

Λύση

Είναι 222 2 2 24 1 4 3 2 4 2 4 22 1 4 4 12 5 6 13

2 24 2 2 24 4 6 9 2 3

www.askisopolis.gr

33

Επειδή 22 2 0 και 23 0 , είναι 2 2 4 0 για κάθε , οπότε η

εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο21,

2 2

και ακτίνα 2 22 2 3

2

.

Για 1 η εξίσωση γίνεται: 2 21C : x y y 3 0 (1) και για 0 :

2C : 2 2x y x 3 0 (2).Από 1 – 2 y 3 x 3 0 y x και με αντικατάσταση στη (2) προκύπτει:

22 2 3x x x 3 0 2x x 3 0 x 1 ή x2

Για x 1 είναι y 1 και επειδή το σημείο 1,1 επαληθεύει την αρχική εξίσωση για κάθε , είναι το ζητούμενο.

Για3x2 είναι

3y2

και επειδή το σημείο 3 3,2 2

δεν επαληθεύει την αρχική εξίσωση

για κάθε απορρίπτεται.

43.Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1821 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται απόέναν αριθμό n =1,2,3,...,1821 και κινείται επάνω στο επίπεδο Oxy διαγράφοντας μιατροχιά με εξίσωση: 2 2x 1 y 2n x y 1 . Να δείξετε ότι:

α) Η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες τουκέντρου του.

β) Κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α(που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του Α;

γ) Οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x y 1 0 στοσημείο Α.

Λύση

α) 2 2 2 2x 1 y 2n x y 1 x 2x 1 y 2nx 2ny 2n 0

2 2x y 2 n 1 x 2ny 2n 1 0 (1)

Είναι 22 2 2 2A B 4 4 n 1 4n 4 2n 1 4n 8n 4 24n 8n 4 2 2 2A B 4 8n 0 , οπότε η (1) είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο

2 n 1 2nK ,2 2

ή K n 1,n και ακτίνα28n 2

2

n 22

n 2 .

β) Για n 1 είναι η (1) γίνεται: 2 21C : x y 4x 2y 3 0 (2) και

για n 2 : 2 22C : x y 6x 4y 5 0 (3)

22 3 x 2y 24x 2y 3 x 2y 6x 4y 5 0

2x 2y 2 0 y 1 x και με αντικατάσταση στη (2), έχουμε:

22 2 2x 1 x 4x 2 1 x 3 0 x 1 2x x 4x 2 2x 3 0 22x 0 x 0 και y 1 0 1 . Δύο από τους κύκλους της (1) διέρχονται από το σημείο A 1,0 , για να διέρχονται όλοι οι κύκλοι της (1) από το Α πρέπει:

2 21 0 2 n 1 1 2n 0 1 2n 0 1 2n 2 1 2n 0 ισχύει.

γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι το Α είναι σημείο και του κύκλου και της ευθείας ε, αφού

www.askisopolis.gr

34

επαληθεύει τις εξισώσεις τους. Για να εφάπτεται η ευθεία ε: x y 1 0 στο κύκλο πρέπει

22 2

n 1 n 1 2nd K, n 2 n 2 2n n 221 1

που ισχύει.

44.Έστω Α, Β σημεία των ημιαξόνων Ox, Oy, αντίστοιχα, τέτοια ώστε: OA OB 4 . Να αποδειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒδιέρχεται από σταθερό σημείο διαφορετικό της αρχής Ο των αξόνων.

Λύση

Έστω ότι το Α έχει συντεταγμένες ,0 , 0 , τότε

4 4 και το σημείο Β έχει συντεταγμένες

0,4 με 4 0 4 .Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, το κέντρο Κ τουπεριγεγραμμένου του κύκλου είναι το μέσο Κ της ΑΒ.Για τις συντεταγμένες του Κ, ισχύει:

x xx2 2

και y y 4y

2 2

, δηλαδή 4,

2 2

.

Η ακτίνα ρ του κύκλου είναι:

22 2 2 24 16 8 2 8 162 2 2 2

.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ έχει εξίσωση:

22 2 22 22y 44 2 8 16 2x 2 8 16x y2 2 4 2 2 4

222 2 24y 4 4 y 44x 4 x 2 8 164 4 4

2 2 2 2 24x 4 x 4y 16y 4 y 16 8 2 8 16

2 2 2 24x 4y 4 x 4 y 16y 0 x y x 4 y 0 (1)Αν 1 η (1) γίνεται: 2 2x y x 3y 0 (2) και αν 2 : 2 2x y 2x 2y 0 (3).

22 3 x 2y 2x 3y x 2y 2x 2y 0 x y και η (2) γίνεται:

2 2 2x x x 3x 0 2x 4x 0 2x x 2 0 x 0 ή x 2Αν x 0 τότε y 0 και αν x 2 τότε y 2 . Δύο από τους κύκλους της (1) διέρχονται απότα σημεία O 0,0 και M 2,2 . Για να διέρχονται όλοι οι κύκλοι της (1) από το Μ πρέπει:

2 22 2 2 2 4 0 4 4 2 2 8 0 που ισχύει.

Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ διέρχεται από το σημείο M 2,2 .

45.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 4 και το σημείο 2, , . Έστω Β και Γ τασημεία επαφής των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από το Α. Να αποδειχθείότι η ευθεία ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο.

Λύση

Έστω ότι τα σημεία Β, Γ έχουν συντεταγμένες 1 1x , y και 2 2x , y αντίστοιχα.

www.askisopolis.gr

35

Οι εφαπτομένες του κύκλου στα Β, Γ έχουν εξισώσεις: 1 1xx yy 4 και 2 2xx yy 4 αντίστοιχα. Επειδή διέρχονται από το Α ισχύει ότι: 1 12x y 4 και 2 22x y 4 .Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των Β,Γ επαληθεύουν την εξίσωση: 2x y 4 , οπότεαυτή είναι η εξίσωση της ευθείας ΒΓ (από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία).

Για 0 είναι 2x 4 x 2 και για 1 είναιx 2

2x y 4 y 0

.Δύο από τις ευθείες ΒΓ διέρχονται από το σημείο M 2,0 , για να διέρχονται όλες από τοσημείο αυτό πρέπει: 2 2 0 4 ισχύει.Άρα η ΒΓ διέρχεται από το σταθερό σημείο Μ.

Γεωμετρικοί τόποι- Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός παραμετρικού σημείου M f ,g θέτουμε

x f , y g και προσπαθούμε να απαλείψουμε την παράμετρο λ. Αν δεν είναιδυνατή η επίλυση μιας από τις παραπάνω ως προς λ, προσπαθούμε με άλλους τρόπους νασυνδυάσουμε τις δύο σχέσεις με σκοπό την απαλοιφή του λ.

- Αν το παραμετρικό σημείο είναι της μορφής M f ,g όπου τα κ, λ επαληθεύουν μια

άλλη σχέση τότε θέτουμε x f και y g , λύνουμε ως προς κ και λ καιαντικαθιστούμε στη σχέση που επαληθεύουν.

- Ο γεωμετρικός τόπος σημείων που «βλέπουν» υπό ορθή γωνία ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒείναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ.

46.α) Αν το σημείο , , , κινείται στον κύκλο 2 2C : x y 16 , να βρεθεί ογεωμετρικός τόπος του σημείου 4, 1 .β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του 2 1,3 2 , .

Λύση

α) Επειδή το Α είναι σημείο του κύκλου C, ισχύει ότι: 2 2 16 (1).Είναι x 4 x 4 και y 1 y 1 .

Η σχέση (1) γίνεται: 2 2x 4 y 1 16 .

Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση 2 2x 4 y 1 16 , ο

γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος με κέντρο 4, 1 και ακτίνα 16 4 .

β) Είναι x 1x 2 1 x 1 22

και

3 y y 3y 3 2 2 3 y2 2

.

Για κάθε ισχύει ότι 2 2 1

2 22 2

2 2x 1 y 3x 1 y 3 1 1 x 1 y 3 42 2 4 4


γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο 1,3 και ακτίνα 2 .

www.askisopolis.gr

36

47.Να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται το σημείο τομής των ευθειών1 : x y και 2 : x y 1 .

Λύση

Για το σημείο τομής των ευθειών 1 2, θα λύσουμε το σύστημα Σ:x yx y 1

των

εξισώσεών τους.

Είναι 21D 1 0

1

, 2

x

1D 1

1

και yD 2

1 1 .

Το Σ έχει μοναδική λύση2

yx2 2

DD 1 2x , yD 1 D 1

.

Το σημείο τομής των 1 2, είναι το2

2 2

1 2, ,1 1

.

Είναι

2222

22 2

11x x1 1

και

22

22

4y1

.Με πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε:

22 2 2 4 2 4 22 2

2 2 22 2 2

1 4 1 2 4 2 1x y1 1 1

4 22 1 1 .

Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση 2 2x y 1 , το σημείο Μβρίσκεται επί του μοναδιαίου κύκλου.

48.Δίνονται τα σημεία 1,3 και 3,1 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι 90 .Λύση

Επειδή η γωνία ΑΜΒ είναι ορθή, είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο μεδιάμετρο το τμήμα ΑΒ. Το κέντρο Κ του κύκλου αυτού είναι το μέσοτου ΑΒ, οπότε:

Kx x 1 3x 1

2 2

και Ky y 3 1y 2

2 2

, άρα 1,2 .

Η ακτίνα του κύκλου είναι: 2 21 3 2 1 5 και η

εξίσωσή του είναι: 22 2x 1 y 2 5 5 .

49.Δίνονται τα σημεία 1,2 , 1,3 και 2,4 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόποςτων σημείων Μ του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων τωναποστάσεών τους από τα Α, Β, Γ είναι σταθερό και ίσο με 32.

Λύση

Έστω x, y . Είναι 2 2 2 32

www.askisopolis.gr

37

2 2 22 2 2 2 2 2x 1 y 2 x 1 y 3 x 2 y 4 32

2x 2x 2 21 y 4y 4 x 2x 2 2 21 y 6y 9 x 4x 4 y 8y 16 32

2 2 2 243x 4x 3y 18y 3 x x y 6y 13

2 22 2 2 22 2 2x 2 x y 2 3 y 3 3 1

3 3 3

2

22 4 76x y 3 9 13 9 9

.

Ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο 2K ,33

και ακτίνα 76 2 199 3

.

50.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών του κύκλου2 2C : x y 4x 8y 0 που άγονται από την αρχή των αξόνων.

Λύση

2 2 2 2C : x y 6x 8y 0 x 6x 9 y 8y 16 9 16 2 2 2x 3 y 4 5 .Ο κύκλος C έχει κέντρο K 3,4 και ακτίνα 5 .Επειδή οι συντεταγμένες του Ο επαληθεύουν την εξίσωση τουκύκλου, το Ο είναι σημείο του. Έστω ΟΑ μια χορδή του και x, y το μέσο της. Το ΚΜ είναι απόστημα της χορδής, άρα 90 . Παρατηρούμε ότι η ΟΚ φαίνεται από το Μ υπό ορθή

γωνία, άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με διάμετροτην ΟΚ. Το κέντρο του είναι το μέσο Λ του ΟΚ με συντεταγμένες:

Ox x 3x2 2

και Oy yy 2

2

, δηλαδή 3 ,2

2

και η

ακτίνα του είναι 2

23 25 522 4 2

.

Η εξίσωσή του είναι: 2

23 25x y 22 4

.

51.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, από τα οποία άγονταικάθετες εφαπτόμενες προς τον κύκλο 2 2 2C : x y .

Λύση

Έστω ΜΑ, ΜΒ οι εφαπτόμενες που άγονται από το Μ προς τονκύκλο C. Είναι MA⊥MB, , και οπότε το τετράπλευρο ΟΑΜΒ είναι τετράγωνο. Απότο πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΜΒ ισχύει: 2 2 2

2 2 2 22 2 .Επειδή το Μ βρίσκεται σε σταθερή απόσταση από το Ο,ο γεωμετρικός τόπος του είναι κύκλος με κέντρο το Οκαι ακτίνα 2 .

www.askisopolis.gr

38

52.Δίνεται ο κύκλος 2 2 2C : x y , . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τωνσημείων επαφής Μ των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από τοσημείο 6,8 .

Λύση

Έστω 1 1x , y . Η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ είναι η ευθεία ε: 21 1xx yy

Επειδή το Μ είναι σημείο του κύκλου, ισχύει ότι: 2 2 21 1x y (1).

Επειδή η ε διέρχεται από το σημείο Α, ισχύει ότι: 21 16x 8y (2)

Από τις (1),(2) έχουμε:2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x y 6x 8y x 6x y 8y 0 x 6x 9 y 8y 16 9 16

2 21 1x 3 y 4 25 .


γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο 3,4 και ακτίνα 5 .

www.askisopolis.gr

39

Εξάσκηση

Εύρεση κύκλου

53.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις:α) Ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με 3.β) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 1, 2 και ακτίνα ίση με 4.

γ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 1,3 και διέρχεται από το σημείο A 3,7 .

δ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 3,1 και εφάπτεται στην ευθεία ε: 3x 4y 7 0 .

54.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων2 2

1C : x y 2x 0 και 2 22C : x 6x y 4y 9 0 .

55.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που η διάμετρός του είναι η κοινή χορδή των κύκλων2 2

1C : x y 8x 0 και 2 22C : x y 2y 0 .

56.Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές τα σημεία

1 1A , , B 2,12 2

και 1,2 .

57.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία A 3,1 , B 1,3 και μίαδιάμετρός του έχει εξίσωση y 3x 2 .

58.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K 3,3 και αποκόπτει από

την ευθεία 1 7y x2 2 χορδή με μήκος 4.

59.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K 3, 1 και τέμνει την

ευθεία ε : 2x 5y 28 στα σημεία Α, Β, έτσι ώστε AB 6 .

60.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία A 2,2 , B 4,4 καιαποκόπτει από την ευθεία ε: x y 4 0 τμήμα μήκους 8.

61.Δίνονται τα σημεία A 1,3 και B 1,1 . Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεταιαπό τα Α, Β και η ακτίνα του είναι ίση με τα 3/2 της χορδής ΑΒ.

Κύκλος με εξίσωση 2 2x y Ax By Γ 0

62.Δίνεται η εξίσωση: 2 2x y x 2 5x 3y 2 0 .α) Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου για κάθε .β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου C.γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C διέρχονται από δύο σταθερά σημεία των οποίων να

βρείτε τις συντεταγμένες.

63.Δίνεται η εξίσωση: 2 2 2 2x y 2 y 0, , 0, .

www.askisopolis.gr

40

α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει εξίσωση κύκλου, για κάθε και 0, και ναβρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των προηγούμενων κύκλων.

64.Δίνεται η εξίσωση: 2 2x y 3 x 4 y 0 .α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο, για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο

και την ακτίνα.β) Να βρείτε το λ, ώστε ο προηγούμενος κύκλος:i. να έχει ακτίνα ίση με 10.ii. να διέρχεται από το σημείο A 1,3 .

65.Δίνεται η εξίσωση: 2 2 2 2 21x y 2x 2y 2 1 02

.

α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο, για κάθε , του οποίου να βρείτε το κέντροκαι την ακτίνα.

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των προηγούμενων κύκλων.

Σχετική θέση σημείου ή ευθείας ως προς κύκλο

66.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 6x 4y 3 0 και το σημείο A 1, 3 .α) Να αποδείξετε ότι το Α βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου.β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το σημείο Α.

67.Δίνεται η ευθεία ε: y x 1 και ο κύκλος 2 2 1C : x y9

. Να βρείτε τη σχετική τους

θέση για τις διάφορες τιμές του .

68.Δίνεται η ευθεία ε: 2x y 0 και ο κύκλος 2 2C : x 1 y 1 5 . Να βρεθούν οιτιμές του για τις οποίες η ευθεία εφάπτεται του κύκλου.

69. Δίνεται τραπέζιο με κορυφές τα σημεία O 0,0 , 0,8 , 2,8 και 8,0 . Να δείξετεότι ο κύκλος με διάμετρο ΒΓ εφάπτεται στην ΟΑ.

70.Δίνονται τα σημεία , και 3 ,3 . Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο τηνΑΒ εφάπτεται στον άξονα x΄x όταν 2 23 .

71. Να βρείτε σημείο Μ του κύκλου 2 2C : x y 4x 3 0 που η απόστασή του από τηνευθεία ε: y x είναι ελάχιστη.

72.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 4 x 4 y 0 και η ευθεία ε: x y 4 0 .α) Να βρείτε τα για τα οποία η ευθεία τέμνει τον κύκλο.β) Αν ΑΒ η χορδή που ορίζει η ε στον C, να βρείτε το λ για το οποίο 90 .

www.askisopolis.gr

41

Σχετική θέση δύο κύκλων

73.Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων 1C : 2 2x y 2y 26 0 και2 2

2C : x y 2x 3 0 .

74.Δίνονται οι κύκλοι 1C : 2 2x y 6y 0 και 2 22C : x y 6x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι οι 1 2C , C τέμνονται.β) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους.γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής τους και τα κέντρα τους ορίζουν τετράγωνο.

75.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K 1, 2 και εφάπτεται

εσωτερικά του κύκλου 2 2C : x 1 y 16 .

76.Δίνονται οι κύκλοι 1C : 2 2x y 25 και 2 22C : x 1 y 16 .

Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου ώστε οι κύκλοι:α) Να εφάπτονται εσωτερικά.β) Να εφάπτονται εξωτερικά.γ) Να τέμνονται.

77.Δίνονται οι κύκλοι 1C : 2 2x 1 y 1 32 και 2 22C : x 3 y 1 8 .

α) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.β) Να βρείτε την κοινή τους εφαπτομένη.

78.Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι 1C : 2 2x 3 y 1 64 και 2 22C : x 3 y 9 4 .

εφάπτονται εξωτερικά και να βρείτε την εξίσωση της κοινής τους εσωτερικής εφαπτομένης.

79.Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων 1C : 2 2x 2 y 1 4 και

2 22C : x 1 y 1 .

Εφαπτομένη κύκλου

80.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 25 . Να βρείτε:α) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του 3,4 .β) τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία ε: y 2x .γ) τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι κάθετες στην ευθεία ε: y x .δ) τις εφαπτομένες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο B 5,10 .

81.Να βρείτε τη γωνία των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x y 25 που διέρχονται από τοσημείο A 1, 7 .

82.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις:α) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 2,2 και εφάπτεται στους άξονες.

β) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K 1,3 και εφάπτεται στον άξονα y΄y.

γ) Ο κύκλος έχει κέντρο K 2, 5 και εφάπτεται στον άξονα x΄x.

www.askisopolis.gr

42

83.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου2 2x y 2x 4y 1 0 και εφάπτεται στην ευθεία y x .

84.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x 3 y 2 10 πουείναι παράλληλες στην ευθεία ε: 3x y 6 0 .

85.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2C : x 3 y 1 52 πουείναι κάθετες στην ευθεία ε: 3x 2y 1 0 .

86.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 2x 4y 11 0 και το σημείο A 1,2 . Να βρείτε τιςεξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α.

87.Δίνεται ο κύκλος 22C : x y 1 1 και το σημείο M 2,1 . Να βρείτε τις εξισώσεις τωνεφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Μ.

88.Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x 1 y 7 9 και το σημείο A 1,1 .α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α.β) Να βρείτε τη γωνία των εφαπτομένων.

89.Δίνεται η εξίσωση 2 2C : x y 4x 2y 3 0 και το σημείο M 2,1 .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο K 2, 1 και

ακτίνα 2 .β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Μ.γ) Αν Α,Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε

το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ.

90. Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x 1 y 2 64 και το σημείο ,1 . Να βρείτε τιςτιμές του για τις οποίες το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το Μ προς τον κύκλοέχει μήκος 6.

91.Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2C : x y 10 που σχηματίζει με τους θετικούςημιάξονες τρίγωνο με εμβαδό 25/2 τ.μ.

92.Να βρείτε σημείο του άξονα y΄y από το οποίο άγονται προς τον κύκλο 2 2 2C : x y

εφαπτόμενες, που σχηματίζουν γωνία 60 .

93.Να βρείτε σημείο του κύκλου 2 2C : x y 32 με θετικές συντεταγμένες στο οποίο ηεφαπτομένη σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

94.Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x΄x από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τονκύκλο 2 2C : x 4 y 2 10 .

95.α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου 2C που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο

2 21C : x 4 y 2 32 στο σημείο A 0,2 και διέρχεται από το σημείο M 0,4 .

β) Να βρείτε την κοινή εσωτερική εφαπτόμενη των 1 2C ,C .

96.α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που έχει κέντρο το σημείο K 3, 2 και

www.askisopolis.gr

43

αποκόπτει από την ευθεία ε: 3x 4y 2 0 χορδή μήκους 8.β) Να βρείτε τον συμμετρικό του κύκλου C ως προς την ε.γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων των δύο κύκλων.

97.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζει ηευθεία ε: x y 6 0 με τους άξονες.

98.Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες 11: y x 14

και

2 : y 4x 8 , όταν το σημείο επαφής με την 1 είναι το M 0, 1 .

99.Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες 1 : y 2x 2 και

2 : y 2x 18 και διέρχονται από το σημείο M 1,0 .

100. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες 1 : 2x 4y 1 0 ,

2 : 4x 2y 5 0 , έχει ακτίνα 5 και το κέντρο του βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

Μέγιστη και ελάχιστη απόσταση κύκλου από σημείο – ευθεία – κύκλο

101. Δίνονται τα σημεία A 1,3 και B 3,5 .α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ είναι

2 2C : x 1 y 4 5 .β) Να βρείτε τον συμμετρικό κύκλο του C ως προς την αρχή Ο των αξόνων.γ) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση των δύο κύκλων.

102. Δίνεται η ευθεία : x 2y 5 0 και το σημείο της A 3,1 .α) Αν βρείτε τη εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και

εφάπτεται της ε στο Α.β) Έστω 2 2C : x 2 y 1 5 .Να βρείτε τα σημεία Β,Γ του κύκλου που έχουν την

ελάχιστη και τη μέγιστη αντίστοιχα απόσταση από το σημείο M 0,5 .

103. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A 1,0 από τον κύκλο2 2C : x y 6x 6y 2 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που προσφέρουν αυτές τις

αποστάσεις.

104. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των κύκλων2 2

1C : x y 4x 2y 4 0 και 2 22C : x y 8x 14y 40 0 καθώς και τα σημεία

τους που δίνουν αυτές τις αποστάσεις.

105. Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 6x 8 0 και η ευθεία : y x .α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο.γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη απόσταση.

106. Δίνεται ο κύκλος 2 2C : x y 1 και η ευθεία : 3x 4y 25 .α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο.

www.askisopolis.gr

44

γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη απόσταση.

Κύκλοι που διέρχονται από σταθερό σημείο

107. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2x y 2 1 x y 1 0 παριστάνει κύκλο για

κάθε που διέρχεται από σταθερό σημείο.

108. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2x y 2 3 x 4 2 y 19 8 0 παριστάνεικύκλο για κάθε που διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

109. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2x y 6 x 8 y 7 75 0 παριστάνεικύκλο για κάθε που διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

110. Έστω Α,Β σημεία των ημιαξόνων Οx, Οy αντίστοιχα τέτοια, ώστε OA OB 6 . Νααποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ διέρχεται από σταθερόσημείο διαφορετικό από την αρχή Ο των αξόνων.

111. Από το σημείο 2, 1 , 0 γράφουμε τις εφαπτομένες ΑΒ, ΑΓ προς τονκύκλο 2 2C : x y 1 . Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο.

Γεωμετρικοί τόποι

112. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων4 2

2 2

1, ,1 1

και

N 2 , 1 , .

113. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των ευθειών1 : x y 2 και 2 : x y 2 , .

114. Δίνονται τα σημεία 2,1 και 4,5 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μτου επιπέδου από τα οποία το τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό ορθή γωνία.

115. Αν το σημείο , βρίσκεται στον κύκλο 2 2C : x 1 y 2 4 , να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο του σημείου 3 1,3 2 .

116. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος τωναποστάσεών τους από τα σημεία A 6,9 και B 3, 3 είναι ίσος με 2.

117. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων το άθροισματων τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα σημεία 2,3 και 0,1 είναιίσο με 12.

118. Δίνονται τα σημεία 1,1 και 1,3 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ

του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:2

2

όπου Ο η αρχή των αξόνων.

www.askisopolis.gr

45

119. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου 2 2C : x y 12y 0 που το ένα τους άκρο είναι η αρχή των αξόνων.

Γενικές Ασκήσεις

120. Έστω ο μη αρνητικός ακέραιος ν και ο πραγματικός αριθμός φ[0, 2π). Θεωρούμε τηνεξίσωση 2 2 2x y 4 x 4 y 4 3 0 (1)

α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C.Να γράψετε τις συντεταγμένες του κέντρου του C, και να βρείτε την ακτίνα του.

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου.γ) Να αποδείξετε ότιi. Η εξίσωση : x y 1 0 παριστάνει ευθεία για κάθε 0,2 .ii. Αν η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου, τότε ν = 0. (ΟΕΦΕ)

121. Δίνεται η εξίσωση 2 2x y x y 2, (1)α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα.β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε

κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση.γ) Να βρείτε τις τιμές του 0, αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται

από το σημείο Μ(1,-1).δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ

(όπου Ο η αρχή των αξόνων). Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ). (ΟΕΦΕ)

122. Στο σημείο K 3,2 ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων είναι τοποθετημένος έναςπομπός κινητής τηλεφωνίας. Η λήψη σε ένα σημείο της περιοχής θεωρείται «πολύ καλή»,αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο 1C ο οποίος έχει κέντρο το Κ και ακτίνα 1 4 ,ενώ η λήψη θεωρείται «καλή», αν το σημείο είναι εξωτερικό του C1 και εσωτερικό τουκύκλου 2C , που έχει κέντρο το Κ και ακτίνα 2 8 .

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων 1 2C , C .β) Να εξετάσετε αν στα σημεία A 0,1 και B 5,7 η λήψη είναι «καλή» ή «πολύ καλή».γ) Ένα όχημα κινείται κατά μήκος της ευθείας ε : 3x y 9 0 . Να εξετάσετε αν υπάρχει

τμήμα της διαδρομής στο οποίο το κινητό του οδηγού θα έχει πολύ καλή λήψη. (ΟΕΦΕ)

123. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα , , τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία

φ =3 , και η εξίσωση: 2 2x y 2 x y 0

(1)

Α. Να αποδείξετε ότι:α) 2

β) Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα 1 22

.

Β. Αν Κ(1, 1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: 1, 2

και ρ = 1.α) Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία 3x 4y 12 0 .

β) Η προβολή του

στο είναι ίση με το . (ΟΕΦΕ)

www.askisopolis.gr

46

124. Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2x y 4 12 8y 0 (1).α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2) οι

οποίες είναι παράλληλες.β) Αν (ε1): x y 2 0 και (ε2): x y 6 0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η

(1), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε1) και (ε2)και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y=3x.

γ) Βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη απόσταση του σημείου τομής τωνευθειών (ε1) και (ε) από τον κύκλο C. (ΟΕΦΕ)

125. Δίνονται τα σημεία 6 2,6 με λ, μ και ισχύει ότι 2 2 1 .

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν βρίσκονται στον κύκλο C: 2 2x 2 y 36 β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του παραπάνω κύκλου c που διέρχονται από το

σημείο Δ (4,8).γ) Αν τα σημεία A(4,0) και Ε είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτόμενων

με τον κύκλο c, να βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΔΕΚΑ, όπου Κ τοκέντρο του κύκλου c.

δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων, που εφάπτονταιεσωτερικά του κύκλου c και διέρχονται από το σημείο Σ(2,0). (ΟΕΦΕ)

Μαθηματικά προσαματολισμού Β΄ Λσκείοσ · 6 6. Δίνονται...

Documents

Transcript of Μαθηματικά προσαματολισμού Β΄ Λσκείοσ · 6 6. Δίνονται...