Μια Εισαγωγη στη Βασικη Αλγεβρα

Αποστολος Μπεληγιαννης

Απόστολος Μπεληγιάννης

ΚαθηγητήςΠανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Μια Εισαγωγή στη Βασική ΄Αλγεβρα

Ιωαννινα∆εκεµβριος 2015

Μια Εισαγωγή στη Βασική ΄Αλγεβρα

Συγγραφή

Απόστολος Μπεληγιάννης

Κριτικός αναγνώστης

Νικόλαος-Θεοδόσιος Μαρµαρίδης

Συντελεστές έκδοσηςΓλωσσική Επιµέλεια: ∆ηµήτρης Κονάχος

Γραφιστική Επιµέλεια:Τεχνική Επεξεργασία:

Copyright ©ΣΕΑΒ, 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά ∆ηµιουργού - ΜηΕµπορική Χρήση - Παρόµοια ∆ιανοµή 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον

ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/gr/

ΣΥΝ∆ΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ

Εθνικό Μετσόβιο ΠολυτεχνείοΗρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

http://www.kallipos.gr

ISBN: 978-960-603-262-2

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/gr/http://www.kallipos.gr

Στη Χριστίνα και στον ∆ηµήτρη

Περιεχόµενα

Πρόλογος 3

0 Προκαταρκτικές ΄Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί 40.1 Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.1.1 Σύνολα Αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Βασικές ΄Εννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.3 Πράξεις και Κατασκευές Συνόλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2 Απεικονίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.1 Η ΄Αλγεβρα των Απεικονίσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.2 Πεπερασµένα και ΄Απειρα Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.3 Ακέραιοι Αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.3.1 Το σύνολο των Φυσικών Αριθµών και η Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής . . . . . . . . . . 160.3.2 ∆ιαιρετότητα Ακεραίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.4 Μιγαδικοί Αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I Θεωρία Οµάδων 26

1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις 271.1 Σχέσεις Μερικής ∆ιάταξης και ∆ιαγράµµατα Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.1 Σχέσεις µερικής διάταξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.2 Το ∆ιάγραµµα Hasse ενός Μερικώς ∆ιατεταγµένου Συνόλου . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2 Σχέσεις Ισοδυναµίας και ∆ιαµερίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.1 Σχέσεις Ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.2 «Καλά Ορισµένες» Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.3 ∆ιαµερίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.2.4 Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2.5 Σχέσεις Ισοδυναµίας Παραγόµενες από Υποσύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.3 Πράξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.1 Η έννοια της πράξης : ϐασικές ιδιότητες και παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.2 Ο Πίνακας Cayley µιας ∆ιµελούς Πράξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.3 Ο Γενικός Προσεταιριστικός και Μεταθετικός Νόµος - ∆υνάµεις Στοιχείων . . . . . . . . 591.3.4 Σύνολα Μεταθέσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.3.5 Επαγόµενες Πράξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3.6 Πράξεις συµβιβαστές µε σχέσεις ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.4 Μονοειδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.4.1 Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.4.2 Οµοµορφισµοί Μονοειδών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

v

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vi

2 Οµάδες: Βασικές Ιδιότητες, Παραδείγµατα, και Κατασκευές 982.1 Η ΄Εννοια της Οµάδας και Βασικές Ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.1.1 Η ΄Εννοια της Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1.2 Στοιχειώδεις Ιδιότητες Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.2 Παραδείγµατα Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.3 Ο Πίνακας Cayley µιας Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.4 Υποοµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.4.1 Υποοµάδες και οι ϐασικές τους ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.2 Παραδείγµατα Υποοµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4.3 Το ∆ιάγραµµα Hasse των Υποοµάδων µιας Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.4.4 Τοµή Υποοµάδων και Υποοµάδες Παραγόµενες από Υποσύνολα - Κυκλικές Υποοµάδες 133

2.5 Χαρακτηριστικές Υποοµάδες µιας Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.5.1 Κεντροποιητής, Κανονικοποιητής, και Κέντρο - Συζυγείς Υποοµάδες . . . . . . . . . . . 1402.5.2 Η Μεταθέτρια Υποοµάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.6 Κανονικές Υποοµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.7 Ευθέα Γινόµενα Οµάδων (Ι) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.7.1 Εξωτερικό Ευθύ Γινόµενο Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.7.2 Εσωτερικό Ευθύ Γινόµενο (Υπο)οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.8 Ισοµορφισµοί Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.9 Ευθέα Γινόµενα Οµάδων (ΙΙ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.10 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3 Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του 1763.1 Τάξη Στοιχείου και Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.1.1 Κυκλικές Οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.1.2 Τάξη Οµάδας και Τάξη Στοιχείου µιας Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.2 Βασικές Ιδιότητες Τάξης Στοιχείου και Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2.1 Παραδείγµατα Κυκλικών Οµάδων Μικρής Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.2.2 Οµάδες στρέψης και οµάδες ελεύθερης στρέψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873.2.3 Τάξη Γινοµένου Στοιχείων µιας Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.2.4 Τάξη στοιχείων σε Ευθέα Γινόµενα Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.3 Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πλευρικές Κλάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.4 Το Θεώρηµα του Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.5 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange και η Εναλλάσσουσα Οµάδα A4 . . . . . . . . . 203

3.5.1 Οι υποοµάδες της S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.5.2 Οι υποοµάδες της εναλλάσσουσας υποοµάδας A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.6 Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange στην τοµή και στο γινόµενο υποοµάδων . . . . . . . . . 2063.7 Οι οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

3.7.1 Οµάδες τάξης 2p, p: πρώτος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.7.2 Οµάδες τάξης pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.8 Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange στη Θεωρία Αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2133.9 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4 Η ∆οµή των Κυκλικών Οµάδων 2224.1 Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.1.1 Υποοµάδες και Γεννήτορες ΄Απειρων Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.1.2 Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . 2264.1.3 Ευθέα Γινόµενα Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.1.4 Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.2 Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.1 Τάξη στοιχείων τα οποία µετατίθενται σε µια οµάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.2.2 Χαρακτηρισµοί Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.2.3 Εφαρµογή στην Πολλαπλασιαστική Οµάδα ενός Σώµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii

4.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5 Οµάδες Μεταθέσεων 2455.1 Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.2 Ο Κυκλικός Τύπος µιας Μετάθεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585.3 ΄Αρτιες και Περιττές Μεταθέσεις - Η Εναλλάσσουσα Οµάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2625.4 Σύνολα γεννητόρων της Sn και της An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2685.5 Η εναλλάσσουσα υποοµάδα An είναι απλή αν και µόνο αν n 6= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών 2806.1 Κανονικές Υποοµάδες και Οµάδες Πηλίκα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6.1.1 Κανονικές Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2806.1.2 Τρία Χαρακτηριστικά (Αντι-)Παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2836.1.3 Η Οµάδα Πηλίκο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.1.4 Το Θεώρηµα του Cauchy για Αβελιανές Οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.2 Στοιχειώδεις Ιδιότητες Οµοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2896.3 Τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών και οι Εφαρµογές τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.3.1 Το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.3.2 Το ∆εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2956.3.3 Το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.3.4 Το Θεώρηµα Αντιστοιχίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.3.5 Εσωτερικοί Αυτοµορφισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.4 Η Οµάδα Οµοµορφισµών µιας Κυκλικής Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.4.1 Οµάδες Οµοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.4.2 Η Οµάδα Αυτοµορφισµών µιας Κυκλικής Οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6.5 Το Θεώρηµα του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.5.1 Το Θεώρηµα του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.5.2 Μια σχετική εκδοχή του Θεωρήµατος του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3156.5.3 Η εναλλάσσουσα εκδοχή του Θεωρήµατος του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3186.5.4 Η αβελιανή εκδοχή του Θεωρήµατος του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

II Θεωρία ∆ακτυλίων 330

7 ∆ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα 3317.1 Η ΄Εννοια του ∆ακτυλίου και Βασικές Ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.2 Παραδείγµατα ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3367.3 Κατασκευές ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

7.3.1 Τοµή Υποδακτυλίων και Υποδακτύλιοι Παραγόµενοι από Υποσύνολα . . . . . . . . . . . 3447.3.2 ∆ακτύλιοι Πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3477.3.3 ∆ακτύλιοι Πολυωνύµων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3497.3.4 Ευθέα Γινόµενα ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3507.3.5 ∆ακτύλιοι Συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3527.3.6 Κεντροποιητές και το Κέντρο ενός ∆ακτυλίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.4 Είδη Στοιχείων και Τύποι ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3547.5 Χαρακτηριστική ∆ακτυλίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3607.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ viii

8 Ιδεώδη, ∆ακτύλιοι Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών 3708.1 Ιδεώδη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

8.1.1 Ιδεώδη Παραγόµενα από Υποσύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728.1.2 ΄Αθροισµα και Γινόµενο Ιδεωδών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3788.1.3 ∆ιαµερίσεις της Μονάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

8.2 Οµοµορφισµοί ∆ακτυλίων και ∆ακτύλιοι Πηλίκα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868.2.1 ∆ακτύλιοι Πηλίκα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868.2.2 Οµοµορφισµοί ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3898.2.3 ∆ιαµερίσεις της Μονάδας και Συνεκτικοί ∆ακτύλιοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.3 Τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4008.3.1 Το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4008.3.2 Το ∆εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038.3.3 Το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4058.3.4 Το Θεώρηµα Αντιστοιχίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4058.3.5 Το Κινεζικό Θεώρηµα Υπολοίπων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.4 Εφαρµογές των Θεωρηµάτων Ισοµορφισµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4108.4.1 Παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4108.4.2 Πρωτοδακτύλιοι και Πρωτοσώµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4158.4.3 Εµφυτεύοντας ∆ακτυλίους Χωρίς Μονάδα σε ∆ακτυλίους (µε Μονάδα) . . . . . . . . . . 4178.4.4 ∆ακτύλιοι Ενδοµορφισµών και το Θεώρηµα του Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

8.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

9 ∆ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων 4339.1 ∆ακτύλιοι Πολυωνύµων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

9.1.1 Βασικές Ιδιότητες Πολυωνυµικών ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4349.1.2 Η Ευκλείδεια ∆ιαίρεση Πολυωνύµων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

9.2 Ιδεώδη του δακτυλίου K[t ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.3 Πολυωνυµικές Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4469.4 Το Σώµα Κλασµάτων µιας Ακέραιας Περιοχής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4499.5 Το Σώµα των Ρητών Συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4569.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη 46410.1 Μεγιστοτικά Ιδεώδη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

10.1.1 ΄Υπαρξη Μεγιστοτικών Ιδεωδών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46910.1.2 Μεγιστοτικά Ιδεώδη Ειδικού τύπου ∆ακτυλίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

10.2 Πρώτα Ιδέωδη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47910.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

11 ∆ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης 49111.1 Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49111.2 ∆ιαιρετότητα σε Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49311.3 Ευκλείδειες Περιοχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50111.4 Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

11.4.1 Ανάγωγα και Πρώτα Στοιχεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50411.4.2 Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50611.4.3 Πολυωνυµικές Επεκτάσεις Περιοχών Μονοσήµαντης Ανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . 512

11.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

Αʹ Μεγιστοτικά Ιδεώδη σε ∆ακτύλιους Συνεχών Συναρτήσεων 521

Βʹ Πότε µια Ακέραια Περιοχή είναι Περιοχή Κυρίων Ιδεωδών; 526

Ευρετήριο 529

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix

Βιβλιογραφία 534

Πρόλογος

Το παρόν ϐιβλίο αποτελεί µια εισαγωγή στις έννοιες και µεθόδους της ϐασικής ΄Αλγεβρας. Ειδικότερα τοκείµενο επικεντρώνεται στην µελέτη δύο εκ των ϑεµελιωδέστερων δοµών στις οποίες ϐασίζεται η σύγχρονη΄Αλγεβρα: στη δοµή της οµάδας και στη δοµή του δακτυλίου. Το κείµενο χωρίζεται σε δύο ϑεµατικά µέρηκαι σε 11 Κεφάλαια, εκτός της Εισαγωγής (Κεφάλαιο 0). Το πρώτο ϑεµατικό µέρος είναι αφιερωµένο στηστοιχειώδη Θεωρία Οµάδων και αποτελείται από τα Κεφάλαια 1-6, και το δεύτερο ϑεµατικό µέρος είναιαφιερωµένο στη στοιχειώδη Θεωρία ∆ακτυλίων και αποτελείται από τα Κεφάλαια 7-11.

Στο εισαγωγικό κεφάλαιο (Κεφάλαιο 0) του κειµένου υπενθυµίζουµε, ως επί το πλείστον χωρίς αποδείξεις,ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα από τη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων, της αριθµητικής των ακεραίωναριθµών, της Μαθηµατικής Επαγωγής, και των µιγαδικών αριθµών. Επίσης δίνονται παραδείγµατα καισταθεροποιούµε συµβολισµό ο οποίος ϑα είναι εν χρήσει καθ΄ όλη τη διάρκεια των σηµειώσεων.

Το πρώτο µέρος του κειµένου, το οποίο είναι αφιερωµένο στη στοιχειώδη Θεωρία Οµάδων, ξεκινά µε τοπρώτο Κεφάλαιο στο οποίο αναπτύσσεται η ϐασική ϑεωρία σχέσεων ισοδυναµίας, συνόλων πηλίκο, (διµε-λών) πράξεων και µονοειδών. Οι έννοιες οι οποίες εισάγονται στο πρώτο Κεφάλαιο αποτελούν τη ϐάση γιαπερισσότερο σύνθετες έννοιες οι οποίες είναι αντικείµενο των υπόλοιπων Κεφαλαίων. ΄Εχει όµως καταβληθείπροσπάθεια η ανάπτυξη των επόµενων Κεφαλαίων να είναι ανεξάρτητη των περισσότερων εννοιών και αποτε-λεσµάτων του πρώτου Κεφαλαίου, κυρίως των αποτελεσµάτων τα οποία αφορούν τη ϑεωρία µονοειδών. Στοδεύτερο Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της οµάδας, µελετώνται οι κυριότερες ιδιότητες οµάδων, και δίνονταιπαραδείγµατα. Αναλύεται η έννοια της υποοµάδας, ο πίνακας Cayley µιας οµάδας, η έννοια της κανονικήςυποοµάδας, και επίσης εισάγονται διάφορες κατασκευές νέων οµάδων από παλαιές οµάδες (τοµή, ευθύγινόµενο, υποοµάδα η οποία παράγεται από υποσύνολο κλπ.). Τέλος, εισάγεται η ϑεµελιώδης έννοια τουισοµορφισµού οµάδων η οποία µας επιτρέπει την ταύτιση οµάδων µε ταυτόσηµες δοµικές ιδιότητες. Το τρίτοΚεφάλαιο είναι αφιερωµένο στην έννοια της τάξης στοιχείου και οµάδας και στη ϑεωρία πλευρικών κλάσεωνµιας υποοµάδας σε µια οµάδα. Το κεντρικό αντικείµενο του τρίτου Κεφαλαίου αποτελεί το Θεώρηµα τουLagrange και οι εφαρµογές του στη ϑεωρία πεπερασµένων οµάδων. Στο τέταρτο Κεφάλαιο αναλύεται ηδοµή των κυκλικών οµάδων. Οι κυκλικές οµάδες είναι η πλέον απλή µη τετριµµένη κλάση οµάδων και τααποτελέσµατα του τέταρτου Κεφαλαίου περιγράφουν πλήρως τη δοµή τους. Στο πέµπτο Κεφάλαιο µελετάταιη σηµαντική κλάση των οµάδων µεταθέσεων επί ενός συνόλου και αναπτύσσεται η ϐασική τους ϑεωρία. Οιοµάδες µεταθέσεων αποτέλεσαν ιστορικά ένα από τα πρώτα παραδείγµατα οµάδων, και έκτοτε η σπουδαιότη-τα τους οφείλεται στο ότι κάθε οµάδα µπορεί να υλοποιηθεί ως οµάδα µεταθέσεων κατάλληλου συνόλου, καιεπιπρόσθετα οι οµάδες µεταθέσεων ερµηνεύουν και περιγράφουν συµµετρίες οικείων γεωµετρικών σχηµά-των. Στο έκτο και τελευταίο Κεφάλαιο του πρώτου µέρους του ϐιβλίου αναλύεται η έννοια της οµάδας πηλίκοως προς µια κανονική υποοµάδα. Το κεντρικό αντικείµενο του έκτου Κεφαλαίου αποτελούν τα ΘεωρήµαταΙσοµορφισµών Οµάδων, και οι εφαρµογές τους στην µελέτη και ταξινόµηση οµάδων οι οποίες έχουν κοινέςή παρόµοιες δοµικές ιδιότητες.

Το δεύτερο µέρος του κειµένου, το οποίο είναι αφιερωµένο στην στοιχειώδη Θεωρία ∆ακτυλίων, ξεκινάµε το έβδοµο Κεφάλαιο στο οποίο εισάγεται η έννοια του δακτυλίου και του υποδακτυλίου, αναπτύσσονταιοι ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων, αναλύονται διάφορες κατασκευές νέων δακτυλίων από παλαιούς (τοµήυποδακτυλίων, ευθύ γινόµενο, υποδακτύλιος ο οποίος παράγεται από υποσύνολο, δακτύλιοι πολυωνύµων,δακτύλιοι πινάκων κλπ.), και δίνονται παραδείγµατα επί των οποίων υλοποιούνται οι έννοιες οι οποίεςεισάγονται στα επόµενα κεφάλαια. Το όγδοο Κεφάλαιο είναι αφιερωµένο στα ιδεώδη, στους δακτυλίους

1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2

πηλίκο, και στην ανάλυση των ϐασικών Θεωρηµάτων Ισοµορφισµών για δακτυλίους, και των εφαρµογώντους. Η έννοια του ιδεώδους είναι ϐασική στην µελέτη της δοµής ενός δακτυλίου, καθώς η πολυπλοκότηταενός δακτυλίου αντανακλάται στην πολυπλοκότητα της δοµής των ιδεωδών του. Επιπρόσθετα, τα ιδεώδη µάςεπιτρέπουν την κατασκευή του δακτυλίου πηλίκο ενός δακτυλίου ως προς ένα ιδεώδες, έννοιας η οποία είναιανάλογη της έννοιας της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποοµάδα. Στο όγδοο Κεφάλαιοεπίσης αναπτύσσουµε εφαρµογές των Θεωρηµάτων Ισοµορφισµών ∆ακτυλίων στην µελέτη και ταξινόµησηδακτυλίων οι οποίοι έχουν κοινές ή παρόµοιες δοµικές ιδιότητες. Στο ένατο Κεφάλαιο αναπτύσσεται η ϐασικήϑεωρία της σηµαντικής κλάσης των πολυωνυµικών δακτυλίων, η οποία, µεταξύ άλλων, µας επιτρέπει τηνπαράσταση και κατασκευή νέων δακτυλίων από παλαιούς. Επίσης αναλύουµε την κατασκευή του σώµατοςκλασµάτων µιας ακέραιας περιοχής, και αναπτύσσουµε τις εφαρµογές του στην κατασκευή και µελέτησωµάτων ϱητών συναρτήσεων. Στο δέκατο Κεφάλαιο µελετώνται οι κύριες ιδιότητες πρώτων και µεγιστοτικώνιδεωδών ενός δακτυλίου. Τα πρώτα και µεγιστοτικά ιδεώδη αποτελούν τις σηµαντικότερες κλάσεις ιδεωδώνενός δακτυλίου και έχουν εφαρµογές σε άλλα πεδία, όπως για παράδειγµα στη Γεωµετρία. Στο ενδέκατο καιτελευταίο Κεφάλαιο του κειµένου αναπτύσσεται η ϐασική ϑεωρία δακτυλίων κυρίων ιδεωδών, Ευκλείδειωνπεριοχών, και περιοχών µονοσήµαντης ανάλυσης. Οι Ευκλείδειες περιοχές, οι περιοχές κυρίων ιδεωδώνκαι οι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης, µε αύξουσα σειρά γενικότητας και πολυπλοκότητας, αποτελούνσηµαντικές µη τετριµµένες κλάσεις µεταθετικών δακτυλίων µε σχετικά οµαλή δοµή οι οποίες τυποποιούνσε γενικότερα πλαίσια ιδιότητες, π.χ. διαιρετότητα, του δακτυλίου των ακεραίων αριθµών και του δακτυλίουπολυωνύµων µε συντελεστές από ένα σώµα.

Το κείµενο συµπληρώνεται µε δύο Παραρτήµατα στα οποία αναλύονται εν συντοµία περισσότερο σύνθεταϑέµατα. Στο Παράρτηµα Α΄ προσδιορίζονται τα µεγιστοτικά ιδεώδη του δακτυλίου των συνεχών πραγµατικώνσυναρτήσεων ορισµένων επί ενός κλειστού διαστήµατος της πραγµατικής ευθείας, και στο Παράρτηµα Β΄χαρακτηρίζονται οι µεταθετικοί δακτύλιοι οι οποίοι είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών µε ϐάση την ύπαρξησταθµών ειδικού τύπου.

Στο κείµενο δίνεται έµφαση σε παραδείγµατα, εφαρµογές, και λυµένες ασκήσεις, οι οποίες ϐοηθούνστην πληρέστερη κατανόηση της εκτεθείσας ϑεωρίας, και επίσης στο τέλος κάθε κεφαλαίου παρατίθενταιµια σειρά προτεινόµενων ασκήσεων προς λύση για τον αναγνώστη. Συνολικά περιέχονται στο κείµενο περί-που 490 άλυτες ασκήσεις. Στον αναγνώστη συστήνεται να κατανοήσει σε ϐάθος την απαιτούµενη ϑεωρία και,αφού µελετήσει τις µεθόδους οι οποίες χρησιµοποιούνται στην ανάλυση εφαρµογών και παραδειγµάτων τουκειµένου, να προσπαθήσει να λύσει όσο το δυνατόν µεγαλύτερο αριθµό ασκήσεων από αυτές οι οποίες προ-τείνονται προς λύση στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Στο τέλος του κειµένου παρατίθεται ενδεικτική ϐιβλιογραφίαη οποία χρησιµοποιήθηκε στη συγγραφή των σηµειώσεων και η οποία µπορεί να αποτελέσει ϐάση για µιαπεραιτέρω µελέτη των κύριων στοιχείων της Σύγχρονης ΄Αλγεβρας από τον ενδιαφερόµενο αναγνώστη.

Στο κείµενο ϑεωρούµε γνωστές στοιχειώδεις έννοιες και αποτελέσµατα, καθώς και συµβολισµούς απότα σύνολα και τη ϑεωρία διαιρετότητας ακεραίων, όπως αυτά υπενθυµίζονται στο εισαγωγικό κεφάλαιο 0.Επιπρόσθετα, υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης έχει οικειότητα µε τα συνήθη σύνολα αριθµών: το σύνολο Nτων ϕυσικών αριθµών, το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών, το σύνολο Q των ϱητών αριθµών, το σύνολο R τωνπραγµατικών αροθµών, και το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών.

∆ιδακτική Πορεία. Το ϐιβλίο περιέχει υλικό το οποίο υπερβαίνει κατά πολύ, ό,τι µπορεί να διδαχθείσε ένα εισαγωγικό µάθηµα ϐασικής ΄Αλγεβρας σε ένα Τµήµα Μαθηµατικών Ελληνικού Πανεπιστηµίου. Γιαµια πρώτη αναγνωστική, αντίστοιχα διδακτική, προσέγγιση του αναγνώστη, αντίστοιχα του διδάσκοντα, στουλικό το οποίο περιέχεται στο παρόν ϐιβλίο, συστήνεται η ακόλουθη διδακτική πορεία : Εξοικείωση µετο συµβολισµό που ακολουθείται στο ϐιβλίο και µε τις προκαταρκτικές έννοιες που περιλαµβάνονται στοεισαγωγικό Κεφάλαιο 0. Από το Κεφάλαιο 1, οι ενότητες 1.1, 1.2, και 1.3. Από το Κεφάλαιο 2, οι ενότητες 2.1,2.2, 2.3, 2.4, και 2.6. Από το Κεφάλαιο 3, οι ενότητες 3.1, 3.2, 3.3, και 3.4. Από το Κεφάλαιο 4, η ενότητα 4.1,µε πιθανή εξαίρεση την υποενότητα 4.1.3. Από το Κεφάλαιο 5, οι ενότητες 5.1, 5.2, και 5.3. Από το Κεφάλαιο6, οι ενότητες 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, και 6.5, µε πιθανή εξαίρεση τις υποενότητες 6.1.2, 6.1.4, 6.3.5, 6.4.1, και 6.5.2.Από το Κεφάλαιο 7, οι ενότητες 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, και 7.5. Από το Κεφάλαιο 8, οι ενότητες 8.1, 8.2, 8.3, και8.4, µε πιθανή εξαίρεση τις υποενότητες 8.1.3, 8.2.3, και 8.4.3. Από το Κεφάλαιο 9, οι ενότητες 9.1, 9.2, και9.4. Από το Κεφάλαιο 10, οι ενότητες 10.1 και 10.2, µε πιθανή εξαίρεση την υποενότητα 10.1.2. Τέλος από τοΚεφάλαιο 11, η ενότητα 11.1. Από τις υπόλοιπες υποενότητες µπορούν να αντληθούν επιλεγµένα στοιχεία.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3

Ευχαριστώ τον κριτικό αναγνώστη Νικόλαο-Θεοδόσιο Μαρµαρίδη, Οµότιµο Καθηγητή του Πανεπιστη-µίου Ιωαννίνων, για τις ουσιαστικές, µαθηµατικές και µη, παρατηρήσεις του οι οποίες συνέβαλαν αισθητάστην ϐελτίωση του ϐιβλίου, καθώς και τον ∆ηµήτρη Κονάχο, ο οποίος είχε τη γλωσσική επιµέλεια, για τηνεξαιρετική συνεισφορά του στην αρτιότερη παρουσίαση του κειµένου.

Απόστολος ΜπεληγιάννηςΙωάννινα, ∆εκέµβριος 2015

Κεφάλαιο 0

Προκαταρκτικές ΄Εννοιες: Σύνολα καιΑριθµοί

Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από:τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων, την αριθµητική των ϕυσικών αριθµών, συµπεριλαµβανο-µένης της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής και των ισοδυνάµων της, την διαιρετότητα των ακεραίων αριθµών,και τις στοιχειώδεις ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών. Επίσης εισάγουµε συµβολισµό ο οποίος ϑα είναι ενχρήσει καθ΄ όλη τη διάρκεια των σηµειώσεων.

0.1 Σύνολα

Στη ϐάση των σύγχρονων Μαθηµατικών ϐρίσκεται η έννοια του συνόλου. Στις παρούσες σηµειώσεις δεν ϑαπροσπαθήσουµε να ορίσουµε αυστηρά την έννοια του συνόλου, η οποία είναι πρωταρχική έννοια, αλλά ϑαακολουθήσουµε τον µη αυστηρό ορισµό σύµφωνα µε τον οποίο ένα σύνολο είναι µια συλλογή καλά ορι-σµένων και διακεκριµένων αντικειµένων, τα οποία µπορεί να σχετίζονται ή να µην σχετίζονται µεταξύ τους.Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης έχει µια στοιχειώδη οικειότητα µε τα συνόλα και τις ϐασικές ιδιοτήτες τους,κάποιες από τις οποίες ϑα επαναλάβουµε εδώ χάριν ευκολίας του αναγνώστη και για να σταθεροποιήσουµεσυµβολισµό ο οποίος ϑα είναι εν χρήσει καθ΄ όλη τη διάρκεια του κειµένου που ακολουθεί. Ιδιαίτερα ϑεω-ϱούµε γνωστές τις έννοιες της συνεπαγωγής «=⇒» ή «⇐=», της έννοιας της ισοδυναµίας «⇐⇒», της έννοιας τουποσοδείκτη για κάθε «∀», και της έννοιας του υπάρχει «∃», µεταξύ µαθηµατικών αντικειµένων ή µαθηµατικώνπροτάσεων.

0.1.1 Σύνολα Αριθµών

Από τώρα και στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε τα εξής οικεία σύµβολα:

N= {1,2, · · · ,n, · · ·}, N0 = {0,1,2, · · · ,n, · · ·}, Nn = {1,2, · · · ,n}Z= { · · · ,−n, · · · ,−1,0,1, · · · ,n, · · · ,}, Q= { a

b| a,b ∈Z, b 6= 0

}για τα σύνολα: N των ϕυσικών αριθµών, N0 των ϕυσικών αριθµών µαζί µε το 0, Nn των n πρώτων ϕυσικώναριθµών, Z των ακεραίων αριθµών, και Q των ϱητών αριθµών.

Επιπρόσθετα συµβολίζουµε µε R το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και µε C το σύνολο των µιγαδικώναριθµών, και ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές στοιχειώδεις ιδιότητες των συνόλων αριθµών: N, Z, Q, R, και C.

0.1.2 Βασικές ΄Εννοιες

΄Εστω X ένα σύνολο, το οποίο αποτελείται από αντικείµενα a,b,c, · · · . Θα γράφουµε a ∈ X , υποδηλώνονταςότι το αντικείµενο a είναι στοιχείο του συνόλου X ή ότι το αντικείµενο a ανήκει στο σύνολο X . Αν ένα

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5

αντικείµενο a δεν ανήκει στο σύνολο X , ϑα γράφουµε a ∉ X . ∆ύο σύνολα X και Y είναι ίσα, και τότε ϑαγράφουµε X = Y , αν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο του Y και κάθε στοιχείο του Y είναι και στοιχείοτου X , δηλαδή αν: ∀x ∈ X =⇒ x ∈ Y και ∀y ∈ Y =⇒ y ∈ X . Αν τα σύνολα X και Y δεν είναι ίσα, ϑα γράφουµεX 6= Y . ΄Ενα σύνολο Y είναι υποσύνολο του συνόλου X , και τότε ϑα γράφουµε Y ⊆ X ή Y j X (σπανιότεραX ⊇ Y ή X k Y ), αν κάθε στοιχείο y του Y είναι και στοιχείο του X , δηλαδή αν: y ∈ Y =⇒ y ∈ X . Αν το σύνολοY είναι υποσύνολο του X και Y 6= X , ϑα λέµε ότι το Y είναι γνήσιο υποσύνολο του X και ϑα γράφουµεY ⊂ X ή Y ( X ή Y á X . Σύµφωνα µε αυτή την ορολογία, ϑα έχουµε: X = Y αν και µόνο αν Y ⊆ X καιX ⊆ Y . Το κενό σύνολο είναι το σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο, συµβολίζεται µε ; και είναιυποσύνολο κάθε συνόλου. ΄Ενα σύνολο X καλείται µη κενό, αν περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο, και τότεϑα γράφουµε X 6= ;. ΄Ενα σύνολο µπορεί να καθοριστεί µε πολλούς τρόπους, για παράδειγµα µε αναγραφήτων στοιχείων του (συνήθως όταν περιέχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων) ή µε χρήση κάποιας ιδιότητας (ήσυνόλου ιδιοτήτων) την οποία ικανοποιούν τα στοιχεία του συνόλου. ΄Ετσι, αν το σύνολο X αποτελείται απόένα πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, έστω x1, x2, · · · , xn , τότε ϑα γράφουµε:

X = {x1, x2, · · · , xn}Παρόµοια, αν P είναι µια ιδιότητα η οποία αφορά κάποια µαθηµατικά ή µη αντικείµενα, τα οποία συνήθωςείναι στοιχεία ενός συνόλου A, τότε το σύνολο όλων των αντικειµένων του συνόλου A, τα οποία ικανοποιούντην ιδιότητα P , ϑα συµβολίζεται µε

X = {x ∈ A | το x ικανοποιεί την ιδιότητα P}Αν τα αντικείµενα τα οποία ικανοποιούν την ιδιότητα P δεν είναι στοιχεία κάποιου µεγαλύτερου συνόλου,τότε ϑα γράφουµε X = {x | το x ικανοποιεί την ιδιότητα P}. Για παράδειγµα, αν N = {1,2, · · · ,n,n +1, · · ·}είναι το σύνολο των ϑετικών ακεραίων ή ϕυσικών αριθµών, τότε το σύνολο το οποίο αποτελείται από όλουςτους ϕυσικούς αριθµούς οι οποίοι είναι το πολύ ίσοι µε 5 είναι X = {1,2,3,4,5}. Αν X είναι το σύνολο τοοποίο αποτελείται από όλους τους ϑετικούς ακέραιους αριθµούς της µορφής 2n, όπου n είναι τυχών ϑετικόςαριθµός, τότε X = {a ∈ N | ο a είναι άρτιος}. Αν Z = { · · · ,−2,−1,0,1,2, · · ·} είναι το σύνολο των ακεραίωναριθµών, τότε το σύνολο των ϑετικών ακεραίων ή ϕυσικών αριθµών είναι : N= {n ∈Z | n > 0}= {1,2, · · · ,n, · · ·}.0.1.3 Πράξεις και Κατασκευές Συνόλων

Αν X είναι σύνολο, τότε το δυναµοσύνολο του συνόλου X ορίζεται να είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλωντου συνόλου X , και συµβολίζεται µε P (X ):

P (X ) = {A | A ⊆ X }Το δυναµοσύνολο P (X ) περιέχει πάντοτε ως στοιχεία του το κενό σύνολο ; και το σύνολο X .

΄Εστω ότι X είναι ένα σύνολο και ότι A και B είναι δύο υποσύνολα του X . Η τοµή A∩B των υποσυνόλωνA και B ορίζεται να είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του X τα οποία ανήκουν στο A και στο B :

A∩B = {x ∈ X | x ∈ A και x ∈ B}Τα υποσύνολα A και B καλούνται ξένα αν A ∩B =;. Η ένωση A ∪B των υποσυνόλων A και B ορίζεται ναείναι το σύνολο όλων των στοιχείων του X τα οποία ανήκουν είτε στο A είτε στο B :

A∪B = {x ∈ X | x ∈ A ή x ∈ B}Η ένωση A∪B των υποσυνόλων A και B καλείται ξένη ένωση, αν : A∩B =;.

Για την τοµή και την ένωση υποσυνόλων ενός συνόλου ισχύουν οι εξής σχέσεις γνωστές ως Νόµοι του DeMorgan.

Πρόταση 0.1.1 (Νόµοι του De Morgan). 1 Αν A, B , και C είναι υποσύνολα ενός συνόλου X , τότε :

A∩ (B ∪C ) = (A∩B)∪ (A∩C ) και A∪ (B ∩C ) = A∪B)∩ (A∪C )1Augustus De Morgan (27 Ιουνίου 1806 - 18 Μαρτίου 1871) [https://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan]:

Βρετανός µαθηµατικός και ϑεωρητικός της Λογικής. Γνωστός για τους νόµους που ϕέρουν το όνοµά του.

https://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6

΄Εστω ότι A και B είναι δύο υποσύνολα ενός συνόλου X . Η διαφορά A\B των συνόλων A και B ορίζεταινα είναι το σύνολο των στοιχείων του A τα οποία δεν ανήκουν στο B :

A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}Αν B ⊆ A, τότε η διαφορά A \ B καλείται το συµπλήρωµα του B στο A.

΄Εστω I ένα σύνολο µε στοιχεία i , j ,k, · · · . ΄Εστω A µια συλλογή ή οικογένεια συνόλων, δηλαδή ένα σύνολοA τα στοιχεία του οποίου είναι επίσης σύνολα. Το σύνολο I καλείται σύνολο δεικτών για την οικογένειασυνόλων A , αν για κάθε στοιχείο i ∈ I υπάρχει ένα σύνολο Ai το οποίο ανήκει στην οικογένεια A . Τότεϑα γράφουµε A = {Ai }i∈I . Αν το σύνολο δεικτών I για την οικογένεια συνόλων A είναι πεπερασµένο, γιαπαράδειγµα αν I = {1,2, · · · ,n}, τότε A = {Ai }i∈I = {A1, A2, · · · , An}. Για παράδειγµα, δύο σύνολα A1 και A2αποτελούν τα στοιχεία µιας οικογένειας συνόλων

{A1, A2

}όπου I = {1,2}. ΄Οπως και στην περίπτωση δύο

υποσυνόλων ενός συνόλου, έτσι και στην περίπτωση µιας οικογένειας υποσυνόλων A = {Ai }i∈I ενός συνόλουX , όπου I είναι ένα µη κενό σύνολο δεικτών, µπορούµε να ορίσουµε την έννοια της τοµής και ένωσης τωνσυνόλων της οικογένειας, ως εξής. Η τοµή ∩i∈I Ai της οικογένειας συνόλων A ορίζεται να είναι το σύνολο⋂

i∈IAi =

{x ∈ X | x ∈ Ai , ∀i ∈ I

}Η ένωση ∪i∈I Ai της οικογένειας συνόλων A ορίζεται να είναι το σύνολο⋃

i∈IAi =

{x ∈ X | ∃i ∈ I : x ∈ Ai

}Η ένωση ∪i∈I Ai της οικογένειας υποσυνόλων A =

{Ai

}i∈I ενός συνόλου X καλείται ξένη ένωση, αν για

κάθε i , j ∈ I : i 6= j =⇒ Ai ∩ A j =;.Αν το σύνολο I είναι πεπερασµένο, έστω για παράδειγµα I = {1,2, · · · ,n}, τότε ϑα γράφουµε:

⋂i∈I

Ai =n⋂

i=1Ai = A1

⋂A2

⋂ · · ·⋂ An και ⋃i∈I

Ai =n⋃

i=1Ai = A1

⋃A2

⋃ · · ·⋃ AnΠαρόµοια µπορουµε να ορίσουµε την τοµή ∩A∈K A και την ένωση ∪A∈K A µιας οικογένειας υποσυνόλων

K ⊆P (X ) ενός συνόλου X ως εξής :⋂A∈K

A = {x ∈ X | ∀A ∈K : x ∈ A} και ⋃A∈K

A = {x ∈ X | ∃A ∈K : x ∈ A}΄Εστω A και B δύο (µη κενά) σύνολα. Το (καρτεσιανό) γινόµενο A×B των συνόλων A και B ορίζεται να

είναι το σύνολο όλων των διατεταγµένων Ϲευγών (a,b), όπου a ∈ A και b ∈ B :

A×B = {(a,b) | a ∈ A και b ∈ B}και όπου δύο διατεταγµένα Ϲεύγη (a,b), (c,d) ∈ A×B ϑεωρούνται ίσα, (a,b) = (c,d), αν : a = c και b = d .

΄Ετσι, για παράδειγµα, αν A = {1,2,3} και B = {a,b}, τότε A×B = {(1, a), (1,b), (2, a), (2,b), (3, a), (3,b)}.Γενικεύοντας, αν A1, A2, · · · , An είναι n το πλήθος σύνολα, τότε το (καρτεσιανό) γινόµενο ∏ni=1 Ai =

A1 × A2 × ·· · × An των συνόλων Ai , 1 ≤ i ≤ n, ορίζεται να είναι το σύνολο όλων των διατεταγµένων n-άδων(a1, a2, · · · , an), όπου ai ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ n:

n∏i=1

Ai = A1 × A2 ×·· ·× An ={(a1, a2, · · · , an) | ai ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ n

}και όπου δύο διατεταγµένες n-άδες (a1, a2, · · · , an), (a′1, a′2, · · · , a′n) ∈ A ×B ϑεωρούνται ίσες, (a1, a2, · · · , an) =(a′1, a

′2, · · · , a′n), αν : ai = a′i , 1 ≤ i ≤ n.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7

0.2 Απεικονίσεις

Αν X είναι ένα µη κενό σύνολο, τότε µια (διµελής) σχέση επί του X είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανούγινοµένου X × X . ΄Εστω X ,Y δύο µη κενά σύνολα. Γενικεύοντας την έννοια της σχέσης επί ενός συνόλου,ορίζουµε µια σχέση από το X στο Y , ή µια αντιστοιχία από το X στο Y , να είναι ένα υποσύνολο τουκαρτεσιανού γινοµένου X ×Y . Θα µας απασχολήσουν κυρίως οι ακόλουθες ειδικού τύπου σχέσεις από ένασύνολο X σε ένα σύνολο Y :

Μια απεικόνιση R από το X στο Y είναι µια σχέση R από το X στο Y η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθεςιδιότητες :

1. ∀x ∈ X , ∃y ∈ Y : (x, y) ∈R.2. (x, y) ∈R και (x, y ′) ∈R =⇒ y = y ′.

∆ηλαδή, για κάθε x ∈ X υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο y ∈ Y , έτσι ώστε (x, y) ∈R. Ισοδύναµα:

∀x ∈ X , ∃y ∈ Y : (x, y) ∈R και (x, y1), (x, y2) ∈ R =⇒ y1 = y2Συνήθως µια απεικόνιση από το X στο σύνολο Y ϑα συµβολίζεται µε ένα από τα παρακάτω σύµβολα:

f , g , h, ϕ, ψ, · · ·

΄Εστω f ⊆ X ×Y µια απεικόνιση από το σύνολο X στο σύνολο Y . Τότε για κάθε x ∈ X , το µοναδικό, σύµφωναµε τον παραπάνω ορισµό, στοιχείο y ∈ Y , για το οποίο ισχύει (x, y) ∈ f , συµβολίζεται µε f (x) = y, και ηαπεικόνιση f ϑα συµβολίζεται ως εξής :

f : X −→ Y , x 7−→ f (x)

Από τώρα και στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε τον παραπάνω οικείο συµβολισµό για τις απεικονίσεις.΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση, και A ⊆ X και B ⊆ Y δύο υποσύνολα. Υπενθυµίζουµε ότι το υποσύνολο

του Yf (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : y = f (x)}= { f (x) ∈ Y | x ∈ A}

καλείται η εικόνα του A µέσω της f , και το υποσύνολο του X

f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}καλείται η αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f . Ειδικότερα, ϑέτοντας A = X , έχουµε την εικόνα της f :

Im( f ) = f (X )

• Ποτε δυο απεικονισεις ειναι ισες ; Επειδή ορίσαµε τις απεικονίσεις ως υποσύνολα καρτεσιανών γι-νοµένων, δηλαδή ως τριάδες (X ,Y , f ), όπου f ⊆ X ×Y , διαπιστώνουµε ότι δύο απεικονίσεις (X ,Y , f ) και(X ′,Y ′, f ′), δηλαδή f : X −→ Y και f ′ : X ′ −→ Y ′, είναι ίσες, και ϑα γράφουµε f = f ′, αν και µόνο αν(X ,Y , f ) = (X ′,Y ′, f ′), δηλαδή αν και µόνο αν X = X ′,Y = Y ′ και τα υποσύνολα f ⊆ X ×Y και f ′ ⊆ X ×Y είναιίσα. Το τελευταίο ιδιαίτερα σηµαίνει ότι f (x) = f ′(x), ∀x ∈ X . Εποµένως, δύο απεικονίσεις f , f ′ : X −→ Yείναι ίσες αν και µόνο αν f (x) = f ′(x), ∀x ∈ X .

Τονίζουµε ιδιαίτερα ότι δύο απεικονίσεις f : X −→ Y και f ′ : Z −→ W , όπου X 6= Z ή Y 6= W , δεν είναιποτέ ίσες. Για παράδειγµα, οι απεικονίσεις f : N−→N, f (n) = 3n+5, και f ′ : N−→Z, f ′(n) = 3n+5 δεν είναιίσες, µολονότι f (n) = f ′(n), για κάθε στοιχείο n ∈N.Παράδειγµα 0.2.1. Για κάθε µη κενό σύνολο X , µπορούµε να ϑεωρήσουµε την ταυτοτική απεικόνιση

IdX : X −→ X , IdX (x) = x

η οποία ως υποσύνολο του X ×X είναι η «διαγώνιος» IdX ={(x, x) ∈ X ×X | x ∈ X }. p

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 8

Παράδειγµα 0.2.2. ΄Εστω S ⊆ X ένα υποσύνολο του συνόλου X . Τότε ορίζεται η απεικόνιση έγκλεισης

ιS : S −→ X , ιS (s) = s

του υποσυνόλου S στο X . Παρατηρούµε ότι, αν και οι απεικονίσεις ιS και IdS ικανοποιούν τη σχέσηιS (s) = s = IdS (s), ∀s ∈ S, δεν είναι ίσες. p

Παράδειγµα 0.2.3. ΄Εστω X ένα µη κενό σύνολο, και A ⊆ X ένα υποσύνολό του. Αν ϑέσουµε 2 = {0,1}, τότεη χαρακτηριστική συνάρτηση του A ορίζεται να είναι η απεικόνιση

χA : X −→ 2, χA(a) ={

1, a ∈ A0, a ∉ A p

Παράδειγµα 0.2.4. ΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση µεταξύ συνόλων. Αν A ⊆ X , είναι ένα µη κενόυποσύνολο του X , τότε ορίζεται η απεικόνιση

f |A : A −→ Y , f |A(a) = f (a)

η οποία καλείται ο περιορισµός της f στο υποσύνολο A. Προφανώς f |A = f ◦ ιA. p

Κλείνουµε την παρούσα υποενότητα µε παραδείγµατα απεικονίσεων οι οποίες προκύπτουν µε χρήσηκαρτεσιανών γινοµένων συνόλων. Οι απεικονίσεις οι οποίες ορίζονται παρακάτω χαρακτηρίζονται µοναδικάαπό µια ιδιότητα.

Παράδειγµα 0.2.5. ΄Εστω∏n

k=1 Xk := X1 × X2 × ·· ·× Xn το καρτεσιανό γινόµενο µιας πεπερασµένης οικο-γένειας

{Xk

}nk=1 µη κενών συνόλων. Τότε, για κάθε δείκτη k = 1,2, · · · ,n, ορίζεται η k-οστή απεικόνιση-

προβολής

πk :n∏

k=1Xk −→ Xk , πk (x1, x2, · · · , xn) = xk

Η οικογένεια{πk

}nk=1 των απεικονίσεων-προβολών, ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα : Αν A είναι ένα µη κενό

σύνολο και fk : A −→ Xk είναι απεικονίσεις, 1 ≤ k ≤ n, τότε υπάρχει µοναδική απεικόνιση f : A −→∏n

k=1 Xk ,έτσι ώστε : πk ◦ f = fk , 1 ≤ k ≤ n. Πράγµατι οριζουµε µια απεικόνιση

f : A −→n∏

k=1Xk , f (a) =

(f1(a), f2(a), · · · , fn(a)

)και τότε, ∀k = 1,2, · · · ,n:

∀a ∈ A : (πk ◦ f )(a) =πk ( f (a)) =πk(

f1(a), f2(a), · · · , fn(a))= fk (a)

΄Αρα πράγµατι πk ◦ f = fk , 1 ≤ k ≤ n. ΄Εστω ότι g : A −→∏n

k=1 Xk είναι µια άλλη απεικόνιση για την οποίαισχύει ότι πk ◦ g = fk , 1 ≤ k ≤ n. Για κάθε στοιχείο a ∈ A, ϑέτοντας g (a) = (x1, x2, · · · , xn), ϑα έχουµε:

πk (g (a)) =πk (x1, x2, · · · , xn) =⇒ fk (a) = xk , 1 ≤ k ≤ n =⇒ g (a) =(

f1(a), f2(a), · · · , fn(a)), ∀a ∈ A

Εποµένως g = f . p

Παράδειγµα 0.2.6. ΄Εστω fk : Xk −→ Yk , 1 ≤ k ≤ n, µια οικογένεια απεικονίσεων. Τότε ορίζεται η απεικόνιση-γινόµενο

∏nk=1 fk := f1 × f2 ×·· ·× fk :

∏nk=1 Xk −→

∏nk=1 Yk , ως εξής :

n∏k=1

fk :n∏

k=1Xk −→

n∏k=1

Yk , (n∏

k=1fk )(x1, x2, · · · , xn) = ( f1(x1), f2(x2), · · · , fn(xn))

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9

Η απεικόνιση∏n

k=1 :∏n

k=1 Xk −→∏n

k=1 Yk ικανοποιεί τις σχέσεις πYk ◦

∏nk=1 fk = fk ◦πXk , 1 ≤ k ≤ n, όπου

πXk :∏n

k=1 Xk −→ Xk και πYk :∏n

k=1 Yk −→Uk είναι οι αντίστοιχες απεικονίσεις προβολές, όπως στο Παράδειγ-µα 0.2.5. Πράγµατι, για κάθε στοιχείο x = (x1, · · · , xn) ∈∏nk=1 Xk , και για κάθε k = 1,2, · · · ,n, ϑα έχουµε:

(πYk ◦n∏

k=1fk )(x) =πYk

((

n∏k=1

fk )(x1, · · · , xn))=πYk ( f1(x1), · · · , fn(xn)) = fk (xk ) = fk (πXk (x1, · · · , xn) = ( fk ◦πXk )(x)

από όπου έπεται ότι : πYk ◦∏n

k=1 fk = fk ◦πXk , 1 ≤ k ≤ n. Η απεικόνιση-γινόµενο∏n

k=1 fk είναι η µοναδική ηοποία ικανοποιεί τις παραπάνω σχέσεις διότι, αν g :

∏nk=1 Xk −→

∏nk=1 Yk είναι µια άλλη απεικόνιση για την

οποία ισχύει ότι : πYk ◦ g = fk ◦πXk , 1 ≤ k ≤ n, τότε για κάθε στοιχείο x = (x1, · · · , xn ∈∏n

k=1 Xk ϑα έχουµε:

αν g (x) = (y1, · · · , yn), τότε πk (g (x)) =πk (y1, · · · , yn) =⇒ fkπXk (x) = yk , =⇒ fk (xk ) = yk , 1 ≤ k ≤ n

δηλαδή g (x1, · · · , xn = ( f1(x1, · · · , fn(xn)), και άρα g =∏nk=1 fk . p΄Εστω A = {Ai }i∈I µια οικογένεια συνόλων, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών. Μια I -άδα στοιχείων των

συνόλων Ai , i ∈ I , είναι µια απεικόνιση f : I −→∪i∈I Ai , έτσι ώστε f (i ) ∈ Ai . Συνήθως µια I -άδα στοιχείων fσυµβολίζεται µε αναγραφή των τιµών της f (i ) := ai ∈ Ai ως στοιχείων µιας ακολουθίας (ai )i∈I , όπου ai ∈ Ai ,∀i ∈ I . Για παράδειγµα, αν I = {1,2,3}, και f : I −→ A1 ∪ A2 ∪ A3 είναι µια I -άδα στοιχείων, τότε, ϑέτονταςf (1) = a1, f (2) = a2, και f (3) = a3, µπορούµε να γράψουµε ισοδύναµα την f ως (a1, a2, a3), δηλαδή ως µιατριάδα στοιχείων. Αν I = {1,2, · · · ,n}, τότε µια I -άδα στοιχείων είναι απλώς µια n-άδα στοιχείων.

Το (καρτεσιανό) γινόµενο∏

i∈I Ai της οικογένειας συνόλων A ={

Ai}

i∈I , όπου I είναι ένα σύνολοδεικτών, οριίζεται να είναι το σύνολο όλων των I -άδων στοιχείων των συνόλων Ai , i ∈ I :∏

i∈IAi =

{(ai )i∈I | ai ∈ Ai , ∀i ∈ I

}

0.2.1 Η ΄Αλγεβρα των Απεικονίσεων

Υπενθυµίζουµε ότι, αν f : X −→ Y και g : W −→ Z είναι απεικονίσεις και Y =W , τότε (και µόνο τότε) ορίζεταιη «σύνθεση» των απεικονίσεων f και g ως το ακόλουθο υποσύνολο του X ×Z :

g ◦ f = {(x, z) ∈ X ×Z | ( f (x), z) ∈ g ⊆ Y ×Z }Με άλλα λόγια g ◦ f είναι η απεικόνιση

g ◦ f : X −→ Z , (g ◦ f )(x) = g ( f (x))

Υπενθυµίζουµε επίσης ότι, αν f : X −→ Y , g : Y −→ Z , και h : Z −→W είναι απεικονίσεις, τότε ορίζονταιοι συνθέσεις h ◦ (g ◦ f ) και (h ◦ g )◦ f και ισχύει

Αν Xf−→ Y g−→ Z h−→ W τότε h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g )◦ f (προσεταιριστική ιδιότητα σύνθεσης)

Πράγµατι οι συνθέσεις g ◦ f , h ◦ (g ◦ f ), και h ◦ g , (h ◦ g )◦ f ορίζονται και ∀x ∈ X :

((h ◦ g )◦ f )(x) = (h ◦ g )( f (x)) = h(g ( f (x)) = h((g ◦ f )(x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x)

Παρατηρούµε ότι :

για κάθε απεικόνιση f : X −→ Y ισχύει ότι : IdY ◦ f = f & f ◦ IdX = f

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10

Παρατήρηση 0.2.7. Αν f , g : X −→ X είναι απεικονίσεις επί ενός συνόλου X , έτσι ώστε οι συνθέσεις f ◦ gκαι g ◦ f ορίζονται, γενικά οι απεικονίσεις f ◦ g και g ◦ f δεν είναι ίσες. Το µικρότερο σύνολο X στο οποίοµπορούµε να δούµε ότι f ◦ g 6= g ◦ f , είναι να ϑεωρήσουµε ένα σύνολο X µε δύο στοιχεία : X = {a,b}.Τότε ορίζουµε απεικόνιση f : X −→ X , ως εξής : f (a) = b, f (b) = b, και απεικόνιση g : X −→ X , ως εξής :g (a) = a, g (b) = a. Θα έχουµε ( f ◦ g )(a) = f (g (a)) = f (a) = b και (g ◦ f )(a) = g ( f (a)) = g (b) = a. Εποµένως( f ◦ g )(a) 6= (g ◦ f )(a), και άρα f ◦ g 6= g ◦ f .

Αν το σύνολο X = {a,b, · · · } έχει παραπάνω από δύο στοιχεία, τότε, ορίζοντας απεικονίσεις f , g : X −→ Xνα έχουν τιµές στα στοιχεία a και b όπως παραπάνω, και ϑέτοντας f (x) = x = g (x), ∀x ∈ X \{a,b}, αποκτούµεαπεικονίσεις f , g επί του X έτσι ώστε f ◦g 6= g ◦ f . Προφανώς, αν το σύνολο X έχει ένα στοιχείο X = {a}, τότεf ◦ g = g ◦ f διότι η µοναδική απεικόνιση f : X −→ X είναι η ταυτοτική f = IdX . N

΄Εστω f : X −→ Y µια απεικόνιση. Παραπάνω ορίσαµε την αντίστροφη εικόνα f −1(B) κάθε υποσυνόλουτου X να είναι το υποσύνολο {x ∈ X | f (x) ∈ B}. Ιδιαίτερα έχουµε το υποσύνολο f −1(Y ) = {x ∈ X | f (x) ∈ Y }.Παρατηρούµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο προβλήµατα αν προσπαθήσουµε να ορίσουµε «απεικόνιση»f −1 : Y −→ X ως εξής : f −1(y) = x, όπου f (x) = y. Πράγµατι : (α) για δεδοµένο στοιχείο y ∈ Y , µπορείνα µην υπάρχει στοιχείο x ∈ X έτσι ώστε f (x) = y, δηλαδή µπορεί f −1({y}) = ;, και (β) αν για δεδοµένοy ∈ Y , έχουµε f −1(y) 6= ;, µπορεί να υπάρχουν διακεκριµένα στοιχεία x1, x2 ∈ f −1({y}), και τότε ϑα είχαµεf −1(y) = x1 6= x2 = f −1(y). Τα προβλήµατα αυτά παύουν να υπάρχουν αν η απεικόνιση f είναι (α) «επί» και(β) η απεικόνιση f είναι «1-1», µε τις ακόλουθες έννοιες :

1. Η f καλείται «απεικόνιση 1-1» αν : ∀x, y ∈ X , f (x) = f (y) =⇒ x = y.2. Η f καλείται «απεικόνιση επί», αν : Im( f ) = Y , δηλαδή: ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f (x) = y.3. Η f καλείται «αντιστρέψιµη απεικόνιση», αν υπάρχει απεικόνιση g : Y −→ X έτσι ώστε :

g ◦ f = IdX & f ◦ g = IdY (†)

Πρόταση 0.2.8. Μια απεικόνιση f : X −→ Y είναι «1-1» και «επί» αν και µόνο αν η f είναι αντιστρέψιµη.Αν g ,h : Y −→ X είναι δύο απεικόνισεις έτσι ώστε : g ◦ f = IdX = h ◦ f και f ◦ g = IdY = f ◦h, τότε g = h.

Απόδειξη. «=⇒» ΄Εστω ότι η f : X −→ Y είναι «1-1» και «επί». Ορίζουµε µια απεικόνιση g : Y −→ X , ως εξής.Για κάθε y ∈ Y , επειδή η f είναι «επί», υπάρχει ένα στοιχείο x ∈ X έτσι ώστε f (x) = y. Το στοιχείο αυτό xείνα µοναδικό διότι αν f (x) = y και f (x ′) = y, τότε f (x) = f (x ′) και εποµένως x = x ′ διότι η f είναι «1-1».Ορίζουµε g (y) = x, όπου x είναι το µοναδικό στοιχείο x ∈ X έτσι ώστε f (x) = y. ∆είχνουµε ότι : (g ◦ f )(x) = x,∀x ∈ X και ( f ◦g )(y) = y, ∀y ∈ Y . Πράγµατι (g ◦ f )(x) = g ( f (x)) είναι το µοναδικό στοιχείο x ′ του X έτσι ώστεf (x ′) = f (x), από όπου x ′ = x διότι η f είναι «1-1». ΄Αρα g ( f (x)) = x. Από την άλλη πλευρά, επειδή g (y)είναι το µοναδικό στοιχείο του X έτσι ώστε f (x) = y, ϑα έχουµε f (g (y)) = f (x) = y. Εποµένως g ◦ f = IdX καιf ◦ g = IdY , και άρα η f είναι αντιστρέψιµη.

«⇐=» ΄Εστω οτι η απεικόνιση f είναι αντιστρέψιµη, και άρα υπάρχει απεικόνιση g : Y −→ X έτσι ώστεg ◦ f = IdX και f ◦ g = IdY . ΄Εστω f (x) = f (x ′). Τότε g ( f (x)) = g ( f (x ′)) =⇒ (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x ′) =⇒ IdX (x) =IdX (x ′) =⇒ x = x ′ και άρα η f είναι «1-1». Από τη σχέση g ◦ f = IdX ϐλέπουµε ότι για κάθε x ∈ X έχουµεg ( f (x)) = x, το οποίο σηµαίνει ότι η g είναι «επί».

Τέλος, έστω h : Y −→ X µια άλλη απεικόνιση έτσι ώστε h ◦ f = IdX και f ◦h = IdY . Τότε :

h ◦ f = IdX =⇒ (h ◦ f )◦ g = IdX ◦ g =⇒ h ◦ ( f ◦ g ) = g =⇒ h ◦ IdY = g =⇒ h = g ■

Παρατήρηση 0.2.9. Αν f : X −→ Y και g : Y −→ X είναι απεικονίσεις και ισχύει ότι g ◦ f = IdX , τότε απότην απόδειξη της Πρότασης 0.2.8 έπεται ότι η f είναι «1-1» και η g είναι «επί». N

Αν η απεικόνιση f : X −→ Y είναι «1-1» και «επί», ισοδύναµα η f είναι αντιστρέψιµη, σύµφωνα µε τηνΠρόταση 0.2.8 υπάρχει µοναδική απεικόνιση g : Y −→ X έτσι ώστε g ◦ f = IdX και f ◦g = IdY . Η απεικόνισηg καλείται η αντίστροφη απεικόνιση της f και συµβολίζεται µε g = f −1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 11

Πόρισµα 0.2.10. ΄Εστω ότι f : X −→ Y είναι µια αντιστρέψιµη απεικόνιση. Τότε η αντίστροφη απεικόνισηf −1 : Y −→ X είναι επίσης αντιστρέψιµη αεπικόνιση και ισχύει : ( f −1)−1 = f .Απόδειξη. Επειδή η f είναι αντιστρέψιµη, έπεται ότι υπάρχει η αντίστροφή της f −1 : Y −→ X και ισχύει :

f −1 ◦ f = IdX & f ◦ f −1 = IdYΟι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι η f −1 είναι αντιστρέψιµη και η αντίστροφή της είναι η ( f −1)−1 = f . ■

Παράδειγµα 0.2.11. ΄Εστω ότι X = {x, y, z} είναι ένα σύνολο µε τρία στοιχεία, και έστω Y = {1,2,3}. Θεωρού-µε την απεικόνιση f : X −→ Y ως εξής : f (x) = 2, f (y) = 3 και f (z) = 1. Τότε προφανώς η f είναι «1-1» και«επί» και άρα η f είναι αντιστρέψιµη. Η αντίστροφή της είναι η απεικόνιση f −1 : X −→ Y , η οποία ορίζεταιως εξής : f −1(1) = z, f −1(2) = x, και f −1(3) = y. p

Πρόταση 0.2.12. ΄Εστω ότι f : X −→ Y και g : Y −→ Z είναι απεικονίσεις.1. Αν οι απεικονίσεις f , g είναι «1-1», τότε η απεικόνιση g ◦ f είναι «1-1». Αντίστροφα, αν η απεικόνιση g ◦ f

είναι «1-1», τότε η απεικόνιση f είναι «1-1».

2. Αν οι απεικονίσεις f , g είναι «επί», τότε η απεικόνιση g ◦ f είναι «επί». Αντίστροφα, αν η απεικόνιση g ◦ fείναι «επί», τότε η απεικόνιση g είναι «επί».

3. Αν οι απεικονίσεις f , g είναι αντιστρέψιµες, τότε η απεικόνιση g ◦ f είναι αντιστρέψιµη και ισχύει ότι :

(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1

Αντίστροφα, αν η απεικόνιση g ◦ f είναι αντιστρέψιµη. τότε η f είναι «1-1» και η g είναι «επί».Απόδειξη. 1. ΄Εστω ότι οι απεικονίσεις f , g είναι «1-1», και έστω x, y ∈ X έτσι ώστε : (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y).

Τότε g ( f (x)) = g ( f (y)), και εποµένως f (x) = f (y) διότι η g είναι «1-1». Επειδή η f είναι επίσης «1-1»,ϑα έχουµε x = y, και άρα η g ◦ f είναι «1-1». Αντίστροφα, αν τα στοιχεία x, y ∈ X είναι τέτοια ώστεf (x) = f (y), τότε ϑα έχουµε g ( f (x)) = g ( f (y)), δηλαδή (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y). Εποµένως, αν η απεικόνισηg ◦ f είναι «1-1», τότε ϑα έχουµε x = y, και άρα η f είναι «1-1».

2. ΄Εστω ότι οι απεικονίσεις f , g είναι «επί», και έστω ένα στοιχείο z ∈ Z . Επειδή η g είναι «επί», έπεταιότι υπάρχει στοιχείο y ∈ Y έτσι ώστε g (y) = z, και επειδή η f είναι «επί», έπεται ότι υπάρχει στοιχείοx ∈ Y έτσι ώστε f (x) = y. Τότε (g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g (y) = z και άρα η g ◦ f είναι «επί». Αντίστροφα,αν η απεικόνιση g ◦ f είναι «επί», και z ∈ Z , τότε υπάρχει x ∈ X έτσι ώστε (g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = y, καιεποµένως η g είναι «επί».

3. ΄Εστω ότι οι απεικονίσεις f , g είναι αντιστρέψιµες. Τότε από την Πρόταση 0.2.8 έπεται ότι οι f , g είναιαπεικονίσεις «1-1» και «επί». Από τα µέρη 1. και 2. έπεται τότε ότι η σύνθεση g ◦ f είναι «1-1» και «επί»,και εποµένως πάλι από την Πρόταση 0.2.8 η απεικόνιση g ◦ f είναι αντιστρέψιµη, και άρα υπάρχειη αντίστροφή της (g ◦ f )−1. Επιπλέον, χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσηςαπεικονίσεων, ϑα έχουµε:

(g ◦ f )◦ ( f −1 ◦ g−1) = ((g ◦ f −1)◦ f )◦ g−1 = (g ◦ ( f −1 ◦ f ))◦ g−1 = (g ◦ IdX )◦ g−1 = g ◦ g−1 = IdY( f −1 ◦ g−1)◦ (g ◦ f ) = (( f −1 ◦ g−1)◦ g )◦ f = ( f −1 ◦ (g−1 ◦ g ))◦ f = ( f −1 ◦ IdX )◦ f = f −1 ◦ f = IdX

Λόγω της µοναδικότητας της αντίστροφης απεικόνισης, ϐλέπε την Πρόταση 0.2.8, ϑα έχουµε: (g ◦f )−1 = f −1 ◦ g−1. Τέλος αν η απεικόνιση g ◦ f είναι αντιστρέψιµη, τότε όπως παραπάνω η g ◦ f είναι«1-1» και «επί» και τότε από τα µέρη 1. και 2. έπεται ότι η f είναι «1-1» και η g είναι επί. ■

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 12

Παρατήρηση 0.2.13. Παρατηρούµε ότι η σύνθεση απεικονίσεων f , g ,h, · · · : X −→ X , όπου X είναι ένα µηκενό σύνολο, ορίζεται πάντα. Ιδιαίτερα, για κάθε απεικόνιση f : X −→ X , και για κάθε ϑετικό ακέραιο n,ορίζεται επαγωγικά η απεικόνιση

f n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n ϕορές

: X −→ X , x 7−→ f n(x)

ως εξής. Αν n = 1, τότε f 1 = f . Αν n = 2, τότε f 2 = f ◦ f . Αν n ≥ 3 και έχει οριστεί επαγωγικά η απεικόνισηf n−1, τότε ορίζουµε f n = f n−1 ◦ f .

Από την άλλη πλευρά, ορίζουµε f 0 = IdX . Αν επιπλέον η απεικόνιση f είναι αντιστρέψιµη, οπότε ορίζεταιη αντίστροφή της f −1 : X −→ X , τότε µπορούµε να ορίσουµε αρνητικές ακέραιες δυνάµεις f −n , όπου n ≥ 1,της f , ως εξής :

f −n : X −→ X , f −n = ( f −1)n N

΄Ασκηση 0.2.14. ΄Εστω fk : Xk −→ Yk , 1 ≤ k ≤ n, µια οικογένεια απεικονίσεων µεταξύ µη-κενών συνόλων, καιέστω η απεικόνιση-γινόµενο

n∏k=1

fk :n∏

k=1Xk −→

n∏k=1

Yk , (n∏

k=1fk )(x1, x2, · · · , xn) = ( f1(x1), f2(x2), · · · , fn(xn))

όπως στο παράδειγµα 0.2.6. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση∏n

k=1 fk είναι «1-1», αντίστοιχα «επί», αν και µόνο ανοι απεικονίσεις fk , 1 ≤ k ≤ n είναι «1-1», αντίστοιχα «επί». Αν οι απεικονίσεις fk , 1 ≤ k ≤ n είναι «1-1» και «επί»,να ϐρεθεί η αντίστροφη (

∏nk=1 fk )

−1 της απεικόνισης-γινόµενο∏n

k=1 fk .

Συµβολισµός 0.2.15 (Ειδικού Τύπου Απεικονίσεις και Μεταθετικά ∆ιαγράµµατα). Αν µια απεικόνιση f : A −→ Bείναι «1-1», «επί», ή «1-1» και «επί», τότε συχνά ϑα συµβολίζουµε αντίστοιχα

A //f // B , A

f // // B , f : A∼= // B

Συχνά η ισότητα µεταξύ (συνθέσεων) απεικονίσεων παριστάται µέσω µεταθετικών διαγραµµάτων. ΄Ενα µετα-ϑετικό διάγραµµα συνόλων και απεικονίσεων είναι ένα διάγραµµα το οποίο αποτελείται από κορυφές, οιοποίες αντιστοιχούν σε σύνολα και προσανατολισµένες ακµές µεταξύ των κορυφών, οι οποίες αντιστοιχούνσε απεικονίσεις µεταξύ συνόλων, έτσι ώστε όλες οι τεθλασµένες γραµµές οι οποίες σχηµατίζονται από τιςακµές του διαγράµµατος και οι οποίες έχουν την ίδια αρχή και το ίδιο τέλος δίνουν, µέσω της σύνθεσης,την ίδια απεικόνιση. Για παράδειγµα, αν f : A −→ B και g : B −→C και h : A −→C είναι απεικονίσεις µεταξύσυνόλων, τότε ισχύει ότι : h = g ◦ f αν και µόνο αν το ακόλουθο διάγραµµα είναι µεταθετικό.

Af //

h$$

B

gzz

C

Παρόµοια, αν f : A −→ B και α : B −→ D και g : A −→ C , και β : C −→ D είναι απεικονίσεις µεταξύσυνόλων, τότε ισχύει ότι : α◦ f =β◦ g αν και µόνο αν το ακόλουθο διάγραµµα είναι µεταθετικό :

Af //

g

��

B

α

��C

β// D

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 13

Για παράδειγµα, το διάγραµµα απεικονίσεων µεταξύ συνόλων

Af //

g

��

h

''

B

α

��C

β// D

είναι µεταθετικό αν : α◦ f = h και β◦ g = h (και τότε προφανως ϑα έχουµε και α◦ f =β◦ g ). N

0.2.2 Πεπερασµένα και ΄Απειρα Σύνολα

Υπενθυµίζουµε κάποια ϐασικά στοιχεία που αφορούν πεπερασµένα και άπειρα σύνολα.Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, ϑεωρούµε το σύνολο

Nn = {1,2, · · · ,n}΄Ενα σύνολο X έχει πλήθος στοιχείων ίσο µε n, αν υπάρχει µια «1-1» και «επί» απεικόνιση f : X −→Nn .Τότε ϑα γράφουµε

|X | = #X = card(X ) = n΄Ενα µη κενό σύνολο X καλείται πεπερασµένο, και τότε ϑα γράφουµε |X | |Y |, αν |X | ≥ |Y | και |X | 6= |Y |, και ϑα λέµε ότι τοX έχει περισσότερα στοιχεία από όσα έχει το Y . Ισοδύναµα αυτό ισχύει αν υπάρχει «επί» απεικόνισηX −→ Y , αλλά δεν υπάρχει «1-1» απεικόνιση X −→ Y .

5. Το σύνολο X καλείται αριθµήσιµο αν έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων µε το σύνολο N των ϑετικώνακεραίων. ∆ιαφορετικά το σύνολο X καλείται µη αριθµήσιµο.

Επισηµαίνουµε ότι γράφοντας |X | ≤ |Y | δεν συµβολίζουµε µια σχέση ανισότητας µεταξύ αριθµών αλλάτο γεγονός ότι υπάρχει «1-1» απεικόνιση από το σύνολο X στο σύνολο Y . Παρόµοια για τους συµβολισµούς|X | ≥ |Y | και |X | = |Y |.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 14

Πρόταση 0.2.17. ΄Εστω ότι X και Y είναι δύο πεπερασµένα σύνολα, και έστω ότι |X | = n και |Y | = m.1. Υπάρχει «1-1» απεικόνιση f : X −→ Y ⇐⇒ n ≤ m.2. Υπάρχει «επί» απεικόνιση f : X −→ Y ⇐⇒ n ≥ m.3. Αν |X | = |Y |, τότε µια απεικόνιση f : X −→ Y είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είτε η f είναι «1-1» είτε η

f είναι «επί».

4. Αν |X | 6= |Y |, τότε για κάθε «επί» απεικόνιση f : X −→ Y υπάρχει τουλάχιστον ένα Ϲεύγος (x1, x2) στοιχείωντου X έτσι ώστε x1 6= x2 και f (x1) = f (x2)2.

Απόδειξη. Επειδή |X | = n, έπεται ότι υπάρχει «1-1» και «επί» απεικόνιση α : X −→Nn , και επειδή |Y | = m,έπεται ότι υπάρχει «1-1» και «επί» απεικόνιση β : X −→Nm . Ιδιαίτερα τότε υπάρχουν οι απεικονίσεις α−1 καιβ−1 οι οποίες είναι επίσης «1-1» και «επί».

1. Αν υπάρχει «1-1» απεικόνιση f : X −→ Y , τότε η σύνθεση h := β◦ f ◦α−1 : Nn −→Nm είναι προφανώςµ�