ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - Publicmedia.public.gr/Books-PDF/9789604611133-0337630.pdfμε βάση β...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...................................................15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ.................................23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ ............................................................................32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ .............................................................................43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥΣ.............................51

7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ......................................................................65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΌΡΙΑ.................................................................................73

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ...........................................................................83

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ .....................................................................91

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ .......................................97

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ .................................................... 109

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ....................................... 113

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................... 119

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ .............................................. 126

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ .......................... 140

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ........................................ 152

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ........................... 163

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ........................... 177

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ.......................................... 187

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟΙ ....................................................... 194

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ NEWTON ..................................... 200

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ................................................................. 208

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ ..... 217

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ........... 226

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 ΦΥΣΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ .......................................................... 234

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 26 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ............................... 243

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ L’ HÔPITAL .................................................. 253

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΙΩΣΗ............................................... 262

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 29 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ............ 267

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 30 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙ: ΌΓΚΟΣ ...................................... 276

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 31 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ.......... 291

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 32 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙ: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ................. 299


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 33 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙΙ: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ....... 313

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ................................................. 323

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 35 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ............................................... 329

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 36 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙΙ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ............................................................... 338

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ..................................... 344

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ .................................................................. 350

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.................................................... 359

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 40 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ .................................................... 371

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 41 ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ..................................................... 379


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 42 ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ .......................................................... 393

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43 ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ................................................................. 403

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 44 ΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ....................................................... 410

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 45 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΛΟΓΟΥ ......................................... 420

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 46 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ .................................................................. 429

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 47 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΚΑΙ MACLAURIN. Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR ΜΕ ΥΠΟΛΟΙΠΟ ................................................................... 443

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 48 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ............................................................ 453

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 49 ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ....................... 463

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 50 ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ........................................................... 476


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 51 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ...................................... 490

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 52 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ....... 502

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 53 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ............................. 510

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 54 ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ..................................... 524

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 55 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ .......... 532

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 56 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΠΛΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ: ΟΓΚΟΣ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ EΜΒΑΔΟΝ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ............................. 541

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 57 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ...................................................... 550

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 58 ΜΑΖΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ .......................................... 563

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 59 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ................... 569

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ......................................................................................... 583


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23

Το ορισμένο ολοκλήρωμα. Εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΣΙΓΜΑ. Το ελληνικό κεφαλαίο γράμμα Σ συμβολίζει την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1:

(α) 1554321

5

1

=++++=∑=j

j

(β) ( ) 753112

3

0

+++=+∑=i

i

(γ) ( )222

10

2

210...32 +++=∑

=i

i

(δ) πππππ 4cos3cos2coscoscos

4

1

+++=∑=j

j

Γενικά αν f είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στους ακέραιους και n και k είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε n ≥ k,:

( ) ( ) ( ) ( )nfkfkfjfn

kj

++++=∑=

...1

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ. Έστω ότι η f είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε f(x) ≥ 0 για

κάθε x σε ένα κλειστό διάστημα [a, β]. Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη η οποία βρίσκεται επάνω

από τον άξονα των x. (Δείτε το Σχήμα 23–1.) Έχουμε ήδη μια διαισθητική αντίληψη του εμβαδού Α του χωρίου

R το οποίο βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση, επάνω από τον άξονα των x, και μεταξύ των κατακόρυ-

φων ευθειών x = a και x = β. Θα περιγράψουμε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του εμβαδού Α.

Επιλέγουμε τα σημεία x1, x2, …xn–1 μεταξύ των a και β. Έστω x0 = a και xn = β. Άρα, (δείτε το Σχήμα 23–2),

β=<<<<<=− nn

xxxxxa1210

...

Το διάστημα [a, β] διαιρείται σε n υποδιαστήματα [x0, x1], [x1, x2]….[ xn–1, xn]. Συμβολίζουμε το μήκος αυτών

των υποδιαστημάτων με Δ1x, Δ2x, …., Δnx. Άρα, αν 1 ≤ k ≤ n,

1−−=Δ

kkkxxx

217

Σχήμα 23–1

Σχήμα 23–2

Φέρουμε κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα x = xk από τον άξονα των x μέχρι τη γραφική παράσταση. Με αυτόν

τον τρόπο διαιρούμε το χωρίο R σε n λωρίδες. Έστω ότι το Ak

Δ συμβολίζει το εμβαδόν της k λωρίδας. Τότε

∑=

Δ=

n

k

kAA

1

Μπορούμε να προσεγγίσουμε το εμβαδόν Ak

Δ με τον παρακάτω τρόπο. Επιλέγουμε οποιοδήποτε σημείο *

kx

στο k υποδιάστημα [xk–1, xk]. Φέρουμε ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο *

kx του άξονα των x

μέχρι τη γραφική παράσταση (δείτε τις διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα 23–3)· το μήκος αυτού του τμήματος

είναι ( )*kxf . Το ορθογώνιο με βάση x

kΔ και ύψος ( )*

kxf έχει εμβαδόν ( ) xxf

kkΔ

* , το οποίο είναι κατά προσέγγι-

ση ίσο με το εμβαδόν Ak

Δ της k λωρίδας.

218 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ [ΚΕΦ. 23

Σχήμα 23–3

Επομένως, το συνολικό εμβαδόν Α κάτω από την καμπύλη ισούται κατά προσέγγιση με το άθροισμα

( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxfxxfxxfnk

n

k

k n2211

1

... Δ++Δ+Δ=Δ∗∗∗

=

∗

∑ (23.1)

Όσο περισσότερα υποδιαστήματα χρησιμοποιήσουμε στο διάστημα [a, β] και όσο μικρότερο μήκος έχουν,

τόσο πιο ακριβής θα είναι η προσέγγιση. Αν μπορούμε να πραγματοποιήσουμε διαδοχικές προσεγγίσεις, με τον

επιθυμητό βαθμό ακριβείας, σε ένα συγκεκριμένο αριθμό, τότε αυτός ο αριθμός συμβολίζεται

( )a

f x dxβ

∫

και ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το a στο β. Ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει σε όλες τις περι-

πτώσεις, αλλά υπάρχει, για παράδειγμα, όταν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, β]. Όταν το ( )a

f x dxβ

∫ υ-

πάρχει, η τιμή του ισούται με το εμβαδόν Α κάτω από την καμπύλη†.

Στη σημειογραφία ( ) a

f x dxβ

∫ , το β ονομάζεται άνω όριο και το a κάτω όριο του ορισμένου ολοκληρώματος.

Για κάθε συνάρτηση f στο [a, β] (όχι απαραίτητα μη αρνητική), μπορούμε να ορίσουμε αθροίσματα της

μορφής (23.1) χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του εμβαδού. Αν υπάρχει κάποιος αριθμός τον οποίο μπο-

ρούμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας αυτά τα αθροίσματα με τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, καθώς το n

αυξάνεται και το μέγιστο μήκος xk

Δ προσεγγίζει το 0, τότε αυτός ο αριθμός συμβολίζεται ως ( )a

f x dxβ

∫ και

ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f στο διάστημα [a, β]. Όταν υπάρχει το ( )a

f x dxβ

∫ , τότε

λέμε ότι η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [a, β].

Θα υποθέσουμε, χωρίς να το αποδείξουμε, ότι το ολοκλήρωμα ( )a

f x dxβ

∫ υπάρχει για κάθε συνάρτηση f η

οποία είναι συνεχής στο [a, β]. Για να υπολογίσουμε το ( )a

f x dxβ

∫ αρκεί να βρούμε το όριο μιας αλληλουχίας

αθροισμάτων (23.1), για τα οποία το πλήθος n των υποδιαστημάτων προσεγγίζει το άπειρο και τα μέγιστα μήκη

τους προσεγγίζουν το 0.

† Το ορισμένο ολοκλήρωμα ονομάζεται και Ολοκλήρωμα Riemann της συνάρτησης f, ενώ το άθροισμα (23.1) ονομάζεται Άθροισμα Rie-

mann της f στο διάστημα [α, β].

ΚΕΦ. 23] ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ 219

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Ας αποδείξουμε ότι

1 β

adx aβ= −∫ (23.2)

Έστω β=<<<<<=− nn

xxxxxa1210

... μια υποδιαίρεση του [a, β]. Τότε ένα αντίστοιχο άθροισμα (23.1) είναι

( )

aβ

xxxfn

k

kk

n

k

k

-

11

=

Δ=Δ ∑∑==

∗

(επειδή f(x) = 1 για κάθε x)

Αφού κάθε προσεγγιστικό άθροισμα είναι , 1 β

aa dx aβ β− = −∫ .

Ένας εναλλακτικός συλλογισμός θα χρησιμοποιούσε το γεγονός ότι το χωρίο κάτω από τη γραφική παράστα-

ση της σταθερής συνάρτησης 1, επάνω από τον άξονα των x, και μεταξύ των x = a και x = β, είναι ένα ορθογώνιο

με βάση β – a και ύψος 1 (δείτε το Σχήμα 23–4.) Έτσι, αφού το 1 β

αdx∫ είναι το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου,

ισούται με β – a.

Σχήμα 23–4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: Ας υπολογίσουμε το

β

αx dx∫ .

Έστω ότι το β=<<<<<=− nn

xxxxxa1210

... είναι μια υποδιαίρεση του [a, β] σε n ίσα υποδιαστήματα. Τότε, κάθε

( ) /kx a nβΔ = − . Συμβολίζουμε το (β – a)/n με Δx. Τότε, xax Δ+=

1, xax Δ+= 2

2 και γενικά, xkax

kΔ+= . Στο k υπο-

διάστημα [ ]kkxx ,

1−, επιλέγουμε το ∗

kx ως το δεξιό ακραίο σημείο xk. Τότε, ένα προσεγγιστικό άθροισμα (23.1) έχει τη μορ-

φή,

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 1

2 2

1 1 1

2

2

1

2

1

2

1 1

2

n n n

k k k k

k k k

n n n

k k k

n

k

f x x x x a k x x

a x k x a x k x

n na an a x x k n a

n n

na a a

n

β β

β β

∗ ∗

= = =

= = =

=

Δ = Δ = + Δ Δ

= Δ + Δ = Δ + Δ

+⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Δ + Δ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+= − + −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

Εδώ χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ( )2

1

1

+=∑

=

nnk

n

k

. (Δείτε το Πρόβλημα 5.)

Τώρα καθώς ( ) 101/11/1 , =+→+=+∞→ nnnn . Συνεπώς, το όριο των προσεγγιστικών αθροισμάτων μας είναι


( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2

12

2

1

22a

a

a

a

aaaaa −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−=−+− β

ββ

ββββ

Συνεπώς, ( )1 2 2

2

a

x dx aβ

β= −∫ .

Στο επόμενο κεφάλαιο θα μάθουμε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του ( )

a

f x dxβ

∫ η οποία — αντίθετα με το

προηγούμενο παράδειγμα — δεν θα απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς.

ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

( ) ( )

a a

γ f x dx γ f x dxβ β

=∫ ∫ (23.3)

Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι ένα προσεγγιστικό άθροισμα ( ) xxγfk

n

k

kΔ∑

=

∗

1

για ( )a

f x dxβ

γ∫ ισούται με γ φο-

ρές το προσεγγιστικό άθροισμα ( ) xxfk

n

k

kΔ∑

=

∗

1

για ( )a

f x dxβ

∫ και ότι η ίδια σχέση ισχύει για τα αντίστοιχα όρια.

( ) ( ) a a

f x dx f x dxβ β

− = −∫ ∫ (23.4)

Αυτή είναι η ειδική περίπτωση του (23.3) όταν γ = –1.

( ) ( )( ) ( ) ( )

a a a

f x g x dx f x dx g x dxβ β β

+ = +∫ ∫ ∫ (23.5)

Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι ένα προσεγγιστικό άθροισμα ( ) ( )( ) xxgxfk

n

k

kkΔ+∑

=

∗∗

1

για το

( ) ( )( ) a

f x g x dxβ

+∫ ισούται με το άθροισμα ( ) ( ) xxgxxfkk

n

k

kk

n

k

Δ+Δ∗

=

∗

=

∑∑

11

των προσεγγιστικών αθροισμάτων για

τα ( ) a

f x dxβ

∫ και ( ) a

g x dxβ

∫ .

( ) ( )( ) ( ) ( ) a a a

f x g x dx f x dx g x dxβ β β

− = −∫ ∫ ∫ (23.6)

Καθώς f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x)), αυτό προκύπτει από τα (23.5) και (23.4).

Αν a < γ < β, τότε η f είναι ολοκληρώσιμη στο [a, β] αν και μόνο αν είναι ολοκληρώσιμη στο [a, γ] και το [γ, β].

Επίσης, αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [a, β],

( ) ( ) ( ) γ

a a γf x dx f x dx f x dx

β β

= +∫ ∫ ∫ (23.7)

Αυτό είναι προφανές όταν f (x) ≥ 0 και ερμηνεύουμε τα ολοκληρώματα ως εμβαδά. Το γενικό αποτέλεσμα προ-

κύπτει από την εξέταση των αντίστοιχων προσεγγιστικών αθροισμάτων — αν και στην περίπτωση κατά την ο-

ποία ένα από τα υποδιαστήματα του [a, β] περιέχει το γ, απαιτείται περισσότερη μελέτη.

Έχουμε ορίσει το ( ) a

f x dxβ

∫ μόνο όταν a < β. Μπορούμε να γενικεύσουμε τον ορισμό για όλες τις πιθανές

περιπτώσεις ως εξής:

(i) ( ) 0a

a

f x dx =∫

(ii) ( ) ( )

a

a

f x dx f x dxβ

β= −∫ ∫

Πιο συγκεκριμένα, πάντα έχουμε:


( ) ( ) δ γ

γ δf x dx f x dx= −∫ ∫ για κάθε γ και δ (23.8)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι οι κανόνες (23.2)–(23.6), η εξίσωση (23.7), και το αποτέλεσμα του

Παραδείγματος 3 ισχύουν για αυθαίρετα άνω και κάτω όρια των ολοκληρωμάτων.

Λυμένα προβλήματα

1. Υποθέστε ότι ισχύει f(x) ≤ 0 για κάθε x στο [a, β]. Έστω ότι Α είναι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής

παράστασης της f και του άξονα των x, από το x = a έως το x = β. (Δείτε το Σχήμα 23–5.) Αποδείξτε ότι,

( ) af x dx A

β

= −∫ .

Σχήμα 23–5

Έστω ότι Β είναι το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της –f και του άξονα των x, από το x = a

έως το x = β. Από τη συμμετρία προκύπτει ότι Β = Α. Όμως, από την (23.4), ( ) ( )

a a

f x dx f x dxβ β

= − −∫ ∫ . Καθώς

( ) a

f x dx Bβ

− =∫ , ( ) af x dx B A

β

= − = −∫

2. Εξετάστε μια συνάρτηση f η οποία, μεταξύ των a και β, παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές. Για παράδειγμα,

έστω ότι η γραφική της παράσταση είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 23–6. Τότε ( ) a

f x dxβ

∫ είναι η διαφορά με-

ταξύ του αθροίσματος των εμβαδών επάνω από τον άξονα των x και κάτω από την παράσταση, και του αθροίσμα-

τος των εμβαδών κάτω από τον άξονα των x και επάνω από την παράσταση. Στην περίπτωση της γραφικής παρά-

στασης του Σχήματος 23–6,

( ) ( ) ( )1 3 5 2 4

a

f x dx A A A A Aβ

= + + − +∫

Σχήμα 23–6


Για να το διαπιστώσετε, εφαρμόστε το (23.7) και το Πρόβλημα 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4 5

γ γ γ γ

a a γ γ γ γ

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A A A A Aβ β

= + + + + = − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3. Υποθέστε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ολοκληρώσιμες στο [a, β]. Αποδείξτε ότι:

(α) Αν f(x) ≥ 0 στο [a, β], τότε ( ) 0a

f x dxβ

≥∫ .

(β) Αν f(x) ≤ g(x) στο [a, β], τότε ( ) ( ) a a

f x dx g x dxβ β

≤∫ ∫ .

(γ) Αν m ≤ f(x) ≤ M για κάθε x στο [a, β], τότε ( ) ( ) ( )

a

m b a f x dx M aβ

β− ≤ ≤ −∫ .

(α) Αφού κάθε προσεγγιστικό άθροισμα ( )1

0

n

k k

k

f x x∗

=

Δ ≥∑ , συνεπάγεται ότι

( ) 0a

f x dxβ

≥∫

(β) ( ) ( ) 0g x f x− ≥ στο [a, β]. Έτσι, από το (α) ( ) ( )( ) 0a

g x f x dxβ

− ≥∫ . Από την (23.6), ( ) ( ) 0a a

g x dx f x dxβ β

− ≥∫ ∫ .

Συνεπώς,

( ) ( ) a a

f x dx g x dxβ β

≤∫ ∫

(γ) Από το (β), ( )

a a a

m dx f x dx M dxβ β β

≤ ≤∫ ∫ ∫ . Όμως από τις (23.2) και (23.3), ( ) 1 a a

m dx m dx m aβ β

β= = −∫ ∫ και

( ) 1 a a

M dx M dx M aβ β

β= = −∫ ∫ . Άρα,

( ) ( ) ( )

a

m b a f x dx M aβ

β− ≤ ≤ −∫

4. Υπολογίστε το 1

2

0

x dx∫ .

Αυτό είναι το εμβαδόν κάτω από την παραβολή y = x2 μεταξύ των x = 0 και x = 1. Διαιρούμε το [0, 1] σε n ίσα υποδια-

στήματα. Έτσι, κάθε 1/kx nΔ = . Στο k υποδιάστημα,

1,

k k

n n

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, έστω ότι kx∗ είναι το δεξιό ακραίο σημείο k/n. Επομένως,

το προσεγγιστικό άθροισμα (23.1) είναι,

( )2

2

3

1 1 1

1 1

n n n

k

k k k

kf x x k

k n n n

∗

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ,

Τώρα, ( )( )2

1

1 2 1

6

n

k

n n nk

=

+ +

=∑ (δείτε το Πρόβλημα 12).

Άρα,

( )( )( )

3

1

1 2 11 1 1 2 1

6 6

1 1 1 1 2

6

n

k k

k

n n n n nf x x

n n n

n n

∗

=

+ + + +⎛ ⎞⎛ ⎞Δ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

Έτσι, τα προσεγγιστικά αθροίσματα πλησιάζουν την τιμή ( )( )1 1

6 31 0 2 0+ + = καθώς n→∞ . Επομένως,

112

30

x dx =∫ . Στο

επόμενο κεφάλαιο, θα βρούμε μια απλούστερη μέθοδο για να υπολογίζουμε το ίδιο αποτέλεσμα.


5. Αποδείξτε τον τύπο ( )

∑=

+=

n

k

nnk

1 2

1 που χρησιμοποιήσαμε στο Παράδειγμα 3.

Αν αντιστρέψουμε τη σειρά των προσθετέων στο άθροισμα

( ) ( )1

1 2 3 ... 2 1

n

k

k n n n

=

= + + + + − + − +∑

θα πάρουμε,

( ) ( )1

1 2 ... 3 2 1

n

k

k n n n

=

= + − + − + + + +∑

Η πρόσθεση των δύο εξισώσεων μας δίνει,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 1 1 1 ... 1 1 1 1

n

k

n n n n n n n nk

=

= + + + + + + + + + + + + = +∑

καθώς το άθροισμα κάθε στήλης είναι n + 1. Συνεπώς, διαιρώντας με το 2 βρίσκουμε,

( )

1

1

2

n

k

n nk

=

+

=∑

Περισσότερα προβλήματα

6. Υπολογίστε τα (α) 4

1

3 dx∫ , (β) 5

2

x dx−

∫ , (γ) 1

2

0

3x dx∫ .

Απάντ. (α) 3(4 – 1) = 9, (β) ( )( )2

2122

2

125 =−− , (γ)

13 1

3

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

7. Βρείτε το εμβαδόν κάτω από την παραβολή 22 2y x x= − + , επάνω από τον άξονα των x, και μεταξύ των σημείων x = 0 και

x = 1.

Απάντ. ( )[ ] ( )3

422

2

1

3

1012012 =−+−−

8. Υπολογίστε την τιμή του ( )6

2

3 4 x dx+∫ .

Απάντ. ( )( )( ) ( ) 6426426322

2

1=−+−

9. Για τη συνάρτηση f, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο Σχήμα 23–7, εκφράστε το ( )3

0

f x dx∫ συναρτήσει των

εμβαδών Α1, Α2, και Α3.

y

x0

A1

A2

3

A3

Σχήμα 23–7


Απάντ. Α1 – Α2 + Α3

10. Αποδείξτε ότι 4

3

1

3 192x dx≤ ≤∫ . [Συμβουλή: Πρόβλημα 3(γ).]

11. Υπολογίστε την τιμή του 1

2

0

1 x dx−∫ . [Συμβουλή: Βρείτε το αντίστοιχο εμβαδόν με γεωμετρική απόδειξη.]

Απάντ. π/4

12. Χρησιμοποιήστε μαθηματική επαγωγή για να αποδείξετε τον τύπο ( )( )2

1

1 2 1

6

n

k

n n n

k=

+ +

=∑ του Προβλήματος 4. (Επαλη-

θεύστε τον τύπο για n = 1, και έπειτα αποδείξτε ότι αν ισχύει για n, τότε ισχύει και για n + 1.)

13. Υπολογίστε τα (α) 2

0

cos6j

jπ

=

∑ , (β) ( )2

0

4 1

j

j=

+∑ , (γ) 100

1

4

j

j=

∑ , (δ) 18

2

1

2

j

j=

∑ .

Απάντ. (α) 2

33+, (β) 15, (γ) 20 200, (δ) 4218

14. Έστω ότι η γραφική παράσταση της f μεταξύ των x = 1 και x = 6 είναι αυτή του Σχήματος 23–8. Υπολογίστε το

( )6

1

f x dx∫ .

Απάντ. 1 3

2 21 3− + = −

Σχήμα 23–8

15. Αν η f είναι συνεχής στο [a, β] και f(x) ≥ 0 στο [a, β], και f(x0) > 0 για κάποιο x0 στο [a, β], αποδείξτε ότι ( ) 0a

f x dxβ

>∫ .

[Συμβουλή: Από τη συνέχεια της f, ( ) ( )1

020f x f x> > για κάθε x σε κάποιο υποδιάστημα [γ, δ]. Χρησιμοποιήστε την (23.7)

και το Πρόβλημα 3(α, γ).]


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής

στο διάστημα [a, β]. Τότε υπάρχει στο [a, β] ένας αριθμός γ τέτοιος ώστε,

( ) ( ) ( )

a

γf x dx β a fβ

= −∫ (24.1)

Για να το διαπιστώσουμε, ας υποθέσουμε ότι m και Μ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f αντίστοιχα

στο [α, β], και ας εφαρμόσουμε το Πρόβλημα 3(γ) του Κεφαλαίου 23 για να πάρουμε,

( ) ( ) ( )

a

m a f x dx M aβ

β β− ≤ ≤ −∫ , και επομένως, ( )1

a

m f x dx Ma

β

β≤ ≤

−∫

Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα της Ενδιάμεσης Τιμής έχουμε ( ) ( )1

a

γf x dx fa

β

β=

−

∫ για κάποιο γ στο [α, β].

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Έστω ότι η f ορίζεται στο [α, β].

Αφού η f μπορεί να πάρει άπειρο πλήθος τιμών στο [α, β], δεν έχει νόημα να εξετάσουμε τη μέση όλων των τι-

μών της f. Αντί γι’ αυτό, διαιρούμε το [α, β] σε n ίσα υποδιαστήματα, κάθε ένα από τα οποία έχει μήκος

n

a

x

−=Δβ

. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο ∗

kx στο k υποδιάστημα. Τότε, η μέση τιμή των n τιμών

( ) ( ) ( )∗∗∗

+++nxfxfxf ...

21 είναι

( ) ( ) ( ) ( )∑=

∗

∗∗

=

∗+++

n

k

kxf

nn

nxfxfxf

1

211...

Όταν το n είναι μεγάλο, αυτή η τιμή είναι διαισθητικά μια καλή προσέγγιση της «μέσης τιμής της f στο [α, β]».

Όμως, αφού x

an

Δ−

=β

11,

( ) ( ) xxfa

xfn

n

k

k

n

k

kΔ

−= ∑∑

=

∗

=

∗

11

11 β

Καθώς n → ∞, το άθροισμα στα δεξιά προσεγγίζει το ( )a

f x dxβ

∫ . Από αυτό συνεπάγεται ο παρακάτω ορισμός.

226

Ορισμός: Η μέση τιμή της f στο [α, β] είναι ( )1

a

f x dxa

β

β −

∫ .

Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [α, β]. Αν το x βρίσκεται στο [α, β] τότε η ( ) x

a

f t dt∫ είναι συνάρτηση του x

και:

( )( ) ( )

x

xa

D f t dt f x=∫ (24.2)

Για την απόδειξη δείτε το Πρόβλημα 4.

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο

[α, β] και έστω ότι ( )∫= dxxfxF )( , δηλαδή, η F είναι αντιπαράγωγος της f. Τότε,

( ) ( ) ( )

a

f x dx F F aβ

β= −∫ (24.3)

Για να το διαπιστώσετε, προσέξτε ότι σύμφωνα με την (24.2) οι ( )x

a

f t dt∫ και F(x) έχουν την ίδια παράγωγο

f (x). Άρα, από το Πρόβλημα 18 του Κεφαλαίου 13, υπάρχει μια σταθερά Κ τέτοια ώστε ( ) ( )

x

a

f t dt F x K= +∫ .

Όταν x = α έχουμε

( ) ( ) 0a

a

F a K f t dt+ = =∫ . Έτσι, ( )aFK −=

Συνεπώς, ( ) ( ) ( )

x

a

f t dt F x F a= −∫ . Όταν x = β, αυτό δίνει

( ) ( ) ( )

a

f t dt F F aβ

β= −∫

Η εξίσωση (24.3) παρέχει έναν εύκολο τρόπο υπολογισμού του ( )a

f x dxβ

∫ όταν μπορούμε να βρούμε μια α-

ντιπαράγωγο F της f. Η έκφραση F(β) – F(α), στο δεξιό μέρος της (24.3), συχνά αναφέρεται για συντομία ως

]βa

xF )( . Τότε, το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού μπορεί να γραφεί ως εξής:

( ) ( ) ]

a

f x dx f x d xββ

α

= ∫∫

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

(i) Ο πολύπλοκος υπολογισμός του

a

x dxβ

∫ στο Παράδειγμα 3 του Κεφαλαίου 23 μπορεί να αντικατασταθεί με τον παρα-

κάτω απλό υπολογισμό:

( )1 1 1 12 2 2 2 2

2 2 2 2

aa

x dx x a aβ β

β β⎤= = − = −⎦∫

(ii) Ο ιδιαίτερα πολύπλοκος υπολογισμός του 1

2

0

x dx∫ στο Πρόβλημα 4 του Κεφαλαίου 23 μπορεί να αντικατασταθεί από

1 11 1 1 12 3 3 3

3 3 3 300

1 0x dx x ⎤= = − =⎦∫

(iii) Γενικά, ( )1 1 11 1

1 1

r r r r

aa

x dx x ar r

β β

β+ + +⎤= = −⎦+ +∫

ΚΕΦ. 24] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 227

ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολο-

κληρώματος με το Θεμελιώδες Θεώρημα, απαιτείται η αντιπαράγωγος ( )∫ dxxf . Στο Κεφάλαιο 22, είδαμε ότι η

αντικατάσταση μιας νέας μεταβλητής u συχνά διευκολύνει τον υπολογισμό του ( )∫ dxxf . Όταν η αντικατάστα-

ση γίνεται και στο ορισμένο ολοκλήρωμα, τα όρια ολοκλήρωσης πρέπει να αντικαθίστανται από τις αντίστοιχες

τιμές του u.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Υπολογίστε το 9

1

5 4 x dx+∫ .

Έστω ότι u = 5x + 4. Τότε du = 5 dx. Όταν x = 1, u = 9 και όταν x = 9, u = 49. Άρα,

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

9 49 491 1 1/ 2

5 51 9 9

491 2 3/ 2

5 39

3 32 23/ 2 3/ 2

15 15

2 2 6323 3

15 15 15

5 4

(από το Θεμελιώδες Θεώρημα)

49 9 49 9

7 3 316

x dx u du u du

u

+ = =

⎤= ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − = =

∫ ∫ ∫

Για την αιτιολόγηση της μεθόδου δείτε το Πρόβλημα 5.

Λυμένα προβλήματα

1. Υπολογίστε την τιμή του / 2

2

0

sin cos x x dxπ

∫ .

Σύμφωνα με τον Άμεσο Τύπο Ι, xdxxx3

3

12sin cossin =∫ . Συνεπώς, από το Θεμελιώδες Θεώρημα,

] ( ) ( )3

/ 2/ 2 31 1 1 12 3 3 3

3 3 3 30 0

sin cos sin sin sin0 1 02

x x dx x

ππ π⎡ ⎤⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= = − = − =∫

2. Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση της ( )2

4

1

xxf

−

= , επάνω από τον άξονα των

x, και μεταξύ του 0 και του 1.

Το εμβαδόν είναι ( ) ( )1

11 1 11

220

0

1sin sin sin 0 0

2 6 64

xdx

x

π π− − −

⎤⎛ ⎞=⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠⎦= − = − =

−

∫ .

3. Βρείτε τη μέση τιμή της f(x) = 4 – x2 στο [0, 2].

Η μέση τιμή είναι

( ) ( ) ( ) ( )

23

21 1 1 8 82

2 2 2 3 30

0

1 4 4 8 0 0

3

a

xf x dx x dx x

a

β

β

⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − − − −⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦− ⎝ ⎠⎦

= =∫ ∫

4. Αποδείξτε τον τύπο (24.2): ( )( ) ( )x

a

Dx f t dt f x=∫ .

Έστω ότι ( ) ( ) x

a

h x f t dt= ∫ . Τότε:

228 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ [ΚΕΦ. 24

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) *

για κάποιο ανάμεσα στα Δ

(Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής των Ολοκληρωμάτων)

x x x

a a

x x x x

a x a

x x

x

h x x h x f t dt f t dt

f t dt f t dt f t dt

f t dt

x f x x x x

+Δ

+Δ

+Δ

∗

+ Δ − = −

+ −

Δ +

=

=

= ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

Συνεπώς, ( ) ( )

( )h x x h x

f xx

∗+ Δ −=

Δ και άρα,

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )0 0

lim limx

x xa x x

h x x h xD f t dt D h x f x

x

∗

Δ → Δ →

+ Δ −= = =

Δ∫

Όμως, καθώς Δx → ∞, x + Δx → x, και έτσι x* → x (αφού το x* βρίσκεται μεταξύ των x και x + Δx). Καθώς η f είναι

συνεχής, ( )0

lim ( )x

f x f x∗

Δ →

= .

5. Αιτιολογήστε την αλλαγή μεταβλητής σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα με τον παρακάτω ακριβή τρόπο. Με δεδο-

μένο ότι ( ) a

f x dxβ

∫ , έστω ότι x = g(u), όπου, καθώς το x μεταβάλλεται από το α στο β, το u αυξάνεται ή μειώνε-

ται από το γ στο δ. (Δείτε το Σχήμα 24–1 για την περίπτωση όπου το u αυξάνεται.) Αποδείξτε ότι:

( ) ( )( ) ( ) δ

a γf x dx f g u g u du

β

′=∫ ∫

(Το δεξιό μέρος προκύπτει με αντικατάσταση x = g(u), dx = g'(u) du, και αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης από α

και β σε γ και δ αντίστοιχα.)

Σχήμα 24–1

Έστω ότι ( )( ) F x f x dx= ∫ , δηλαδή, F΄(x) = f(x). Από τον Κανόνα Παραγώγισης Σύνθετων Συναρτήσεων,

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )u

D Fg u F g u g u f g u g u′ ′ ′= ⋅ = Επομένως, ( )( ) ( ) ( )( )f g u g u du F g u′ =∫

Έτσι, σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα,

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

δ δ

γγ

a

f g u g u du F g u F g δ F g γ

F F a f x dxβ

β

⎤′ = = −⎦

= − =

∫

∫

6. (α) Αν η f είναι άρτια συνάρτηση, αποδείξτε ότι για α > 0 ( ) ( )0

2 a a

a

f x dx f x dx−

=∫ ∫ .


(β) Αν η f είναι περιττή συνάρτηση, αποδείξτε ότι για α > 0 ( ) 0a

a

f x dx−

=∫ .

Έστω u = –x. Τότε du = –dx, και

( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0

0

1 a

a a a

f x dx f u du f u du f u du−

= − − = − − = −∫ ∫ ∫ ∫

Αν ξαναγράψουμε το u ως x στο τελευταίο ολοκλήρωμα, θα πάρουμε:

( ) ( )0

0

a

a

f x dx f x dx−

= −∫ ∫ (*)

Συνεπώς,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))

0

0

0 0

0

(από το ( ))

(από το (*))

(από το ( ))

a a

a a

a a

a

f x dx f x dx f x dx 23.7

f x dx f x dx

f x f x dx 23.5

− −

= +

− +

− +

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

(α) Αν η f είναι άρτια, f (–x) + f (x) = 2f (x), από όπου ( ) ( ) ( )0 0

2 2 a a a

a

f x dx f x dx f x dx−

= =∫ ∫ ∫ .

(β) Αν η f είναι περιττή, f (–x) + f (x) = 0, από όπου ( )0 0

0 0 1 0

a a a

a

f x dx dx dx−

= = =∫ ∫ ∫ .

7. Ο Κανόνας του Τραπεζίου

(α) Έστω ότι f(x) ≥ 0 στο [α, β]. Διαιρούμε το [α, β], χρησιμοποιώντας τα σημεία x1, x2, …, xn–1, σε n ίσα μέρη,

κάθε ένα από τα οποία έχει μήκος n

a

x

−=Δβ

. (Δείτε το Σχήμα 24–2(α).) Αποδείξτε τον παρακάτω

Κανόνα του Τραπεζίου: ( ) ( ) ( ) ( )1

1

~ 22

n

ak

xf x dx f a f x f

k

β

β−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ+ +∑∫

(β) Χρησιμοποιήστε τον Κανόνα του Τραπεζίου με n = 10 για να προσεγγίσετε το 1

2

0

x dx∫ .

(α) Το εμβαδόν της λωρίδας επάνω από το [xk–1, xk] ισούται κατά προσέγγιση με το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ του Σχή-

ματος 24–2(β), ( ) ( )( )1

12 k kx f x f x

−

Δ +†. (Θυμηθείτε ότι x0 = α και xn = β.) Έτσι, το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη

προσεγγίζεται από το άθροισμα των εμβαδών τραπεζίων,

Σχήμα 24–2

† Θυμηθείτε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου με ύψος h και βάσεις β1 και β2, είναι ( )

212

1ββ +h .

230 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ [ΚΕΦ. 24

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 1 1 2 1

1

... 22 2

n

n n

k

x xf x f x f x f x f x f x f a f x f

kβ

−

−

=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ Δ+ + + + + + = + +∑

(β) Για n = 10, α = 0, β = 1, 1

10xΔ = , και xk = k/10, παίρνουμε,

( )

29 91

2 2 2 2

01 1

1 1 2~ 0 2 1 1

20 100 20 100

1 2285 1 (από το Πρόβλημα 12 του Κεφαλαίου 23)

20 100

0.335

k k

kx dx k

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + = +

= +

=

∑ ∑∫

Η ακριβής τιμή είναι 3

1(σύμφωνα με το προηγούμενο Παράδειγμα 1(ii)).

Περισσότερα προβλήματα

Στα Προβλήματα 8–22, χρησιμοποιήστε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού για να υπολογίσετε τα ορισμένα ολοκληρώ-

ματα.

8. ( )1

2 3

1

2 x x dx−

−∫ Απάντ. 3

4

9. 1

2 33

1 1 dx

x x

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ Απάντ.

9

10

10. 4

1

dx

x∫ Απάντ. 2

11. 3 / 4

/ 2

sin x dxπ

π∫ Απάντ.

2

2

12. ( )2

0

2 x dx+∫ Απάντ. 6

13. ( )2 2

0

2 x dx−∫ Απάντ. 3

8

14. ( )3

2

0

3 2 x x dx− +∫ Απάντ. 9

15. ( )2

2

1

1 t t dt−

−∫ Απάντ. 4

9−

16. ( )4

1

1 u u du−∫ Απάντ. 15

116−

17. 8

1

1 3 x dx+∫ Απάντ. 26

18. ( )2

2 3

0

1 x x dx+∫ Απάντ. 3

40

19. 3

0

1

1

dxx+

∫ Απάντ. 2

20. ( )21

0

1x x dx−∫ Απάντ. 30

1

21. 8

2415

xdx

x −

∫ Απάντ. 6

22. 2

20

sint

dtπ

∫ Απάντ. 4


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - Publicmedia.public.gr/Books-PDF/9789604611133-0337630.pdfμε βάση β...

Documents

Transcript of ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - Publicmedia.public.gr/Books-PDF/9789604611133-0337630.pdfμε βάση β...