Μάθημα: Άλγεβρα - Φύλλα εργασίας...

Ισότητα

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στην Ισότητα

Ποιο είναι πιο βαρύ ένα κιλό σίδερο ή ένα κιλό βαμβάκι;

Απάντηση: Είναι ίσα.

Ένα τούβλο ζυγίζει 1 Κιλό και μισό τούβλο. Πόσα κιλά ζυγίζουν τα δύο τούβλα;

Απάντηση:4 κιλά. Από την αρχική πρόταση προκύπτει πως αν αφαιρέσουμε μισό τούβλο από κάθε ζύγι, θα βρούμε πως το μισό τούβλο ζυγίζει ένα κιλό.

Ιδιότητες του =

1. Αν α β= τότε και αντίστροφα β α= συμβ. α β β α= ⇔ =

Ασκήσεις 1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κλάσματα ώστε να ισχύει το ίσον:

α) 1217 17 17

= + β) 1217 17 17

−=

γ) 12 717 17

+= −

δ) 9

17 17−=

2. Αν α β= και β γ= τότε α γ=

συμβ. (α β= και β γ= )⇒ α γ=

3. α βγ δ=

+=

τότε α γ β δ+ = +

Πόρισμα

α βγ γ=

+=

1ο ΕΠΑΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 1

συμβ. (α β= και γ δ= ) α γ β δ⇒ + = +

τότε α γ β γ+ = + συμβ. (α β= και γ δ= )

α γ β γ⇔ + = +

Συμπληρώστε α βγ δ

−==

τότε…………….. συμβ………………

Συμπληρώστε α βγ γ

−==

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις: 2. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 3. (μόνο το πρώτο κελί)

3. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 3 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη

«⇔ » , γιατί;

4. Αποδείξτε ότι 3 5 5 3α α+ = ⇔ = −

5. Αποδείξτε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πίνακα 3 την ιδιότητα του πίνακα 2.

4. α βγ δ

⋅==

τότε α γ β δ⋅ = ⋅ συμβ. (α β= και γ δ= ) α γ β δ⇒ ⋅ = ⋅

Πόρισμα

α βγ γ

⋅==

0γ ≠

τότε α γ β γ⋅ = ⋅ συμβ. (α β= και 0γ ≠ ) α γ β γ⇔ ⋅ = ⋅

Συμπληρώστε α βγ δ

÷==

, 0γ δ ≠

τότε…………….. συμβ………………

Συμπληρώστε α βγ γ

÷==

0γ ≠

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις: 6. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 4.

7. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 4 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη

«⇔ » , γιατί;

8. Αποδείξτε το αντίστροφο του πορίσματος στον πίνακα 4, δηλαδή

(α γ β γ⋅ = ⋅ και 0γ ≠ ) α β⇒ =

9. Αποδείξτε την ισοδυναμία 83 83

α α= ⇔ =


10. Αποδείξτε την ισοδυναμία 9 5 95α α= ⇔ = ⋅ .

11. α γ α δ β γβ δ= ⇔ ⋅ = ⋅ με , 0β δ ≠ .

5. Αν 0α β⋅ = τότε και αντίστροφα 0α = ή 0β = συμβ. ( )0 0 0ήα β α β⋅ = ⇔ = = Αν 0α β⋅ ≠ τότε και αντίστροφα 0α ≠ και 0β ≠ συμβ. ( )0 0 0α β α καιβ⋅ ≠ ⇔ ≠ ≠

Ασκήσεις.

12.Αν ( ) ( )1 2 3 0x y− ⋅ + = υπολογίστε τα ,x y

13.Αν ( )3 0x y⋅ + ≠ τι συμπεραίνουμε για τα ,x y ;

Σχόλιο-Συζήτηση

Δίνεται η εξίσωση 2x x= . Ακολουθούν δύο διαφορετικές λύσεις της: Α. 2 2 1x x x x x= ⇔ = ⇔ = Β. ( )2 2 0 1 0 0 1x x x x x x x ή x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = Σχολιάστε την ορθότητα ή μη των δύο λύσεων.

Γενικές ασκήσεις

14. Να γίνουν οι αναγωγές, όπου είναι δυνατόν: α) 2 23x 4 4x 2x x− + − + = β) 3 2x x+ = γ) 3 2 2 2 3 2 2 22x y xy x y x y xy 4x yω− + ω+ ω+ − ω =

15. Γράψτε την παράσταση 32 3 4 5 45

α β γ δ ζ− + + − − ώστε ο 2ος και 3ος όρος να είναι σε

παρένθεση με το + μπροστά ενώ οι δύο τελευταίοι όροι σε παρένθεση με το – μπροστά.

16. Γράψτε το x y− με τρείς τρόπους χρησιμοποιώντας πρόσημα και παρενθέσεις.

17. Αν 2α = − και 4β = συμπληρώστε i) 3α = ii) 2α + = iii) 2α + = iv) 3 7α− + =

v) α β⋅ = vi) 2 3α β− = vii) 3αβ

=

18. αν 2 3 2

3

α βκαι

β γ δ

+ =

= − ποια σχέση συνδέει τα α, γ, δ;


19. Αν 3 2 9

2 2α β γα β γ

+ + =− + = −

τότε: 4 3α β γ+ + =

20. Να κάνετε τις πράξεις, ( ) ( )) 2 5 6 3 3 7 3 4α + − − − − =

( )( )) 3 5 2 2x x xβ − − − =

( ) ( )1 1) 3 3 1 4 22 3

x x x xγ + + − − − − =

2 2 1 2 4) 1 : 25 3 5 3 3

δ − − − =

21. Να γίνουν οι πράξεις: α) ( )( ) ( )52 3x y 3 x 1 y 2 4 xy 12

− + + + + − − + =

β)

x12

x 1

+=

+ γ)

3y213x2

−=

+ δ)

142 2

1 1

+α −α− =

α + α −

22. Στη σχέση 3 4 9x y− + = αντικαταστήστε τα ,x y από τις σχέσεις 3 1x α= − και 4 3y α= − . Ακολούθως υπολογίστε το α .

23. Αν 2 1α β+ = να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( )1 2 2α α β αΑ = + + +

24. α) Α=3 2a β− κάντε πράξεις. β) αν 5xα = και xβ = βρείτε το Α μόνο με τη βοήθεια του x.

25. Αν είναι 3 2 5α β γ= = και 20α +β+ γ = να βρείτε τους αριθμούς , ,α β γ .

(Υπόδειξη: Θέτουμε 3α= λ∈ )

Ερωτήσεις Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).

1. Αν α γ β δ+ = + τότε ισχύει ότι α β και γ δ= =

2. Αν α γβ δ= τότε ισχύει ότι α γ και β δ= =

3. Αν α γ β γ⋅ = ⋅ τότε ισχύει α β= . 4. Αν ( ) ( )α γ β α γ δ− ⋅ = − ⋅ τότε ισχύει ότι β δ=

5. Η ισότητα ( )( )1 2

21

x xx

x− −

= −− ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς.


6. Ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( )1 2 0 1 2x x x ή x− ⋅ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .

7. Αν 0β ≠ και 0αβ= τότε 0α = .

8. Αν 1α β⋅ = τότε 0 0α και β≠ ≠ .

9. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: 2 2x x− =

10. Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: a β β α− = − .


Ταυτότητες


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ………..………………………………………………

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Ταυτότητες και στην Απόδειξη

Δραστηριότητα 1η .

Έχουμε δύο τετράγωνα με πλευρές α και β αντίστοιχα. Ένα τρίτο τετράγωνο έχει πλευρά α+β.

1. Να εξετάσετε αν τα δύο πρώτα τετράγωνα μαζί έχουν το ίδιο εμβαδόν με το τρίτο τετράγωνο

2. Ανοίξτε το «Ταυτότητα α+β.ggb», στο οποίο βλέπετε τα τρία τετράγωνα και δικαιολογήστε την απάντησή

σας.

3. Μετακινήστε τα τετράγωνα, για να συγκρίνετε το συνολικό εμβαδόν των δύο πρώτων τετραγώνων με

εκείνο του τρίτου.

4.Μεταβάλετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων α και β. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα;

5.Μπορείτε τώρα να συγκρίνετε τις ποσότητες (α+ β)2 και 𝛼2 + 𝛽2 ;

6.Μπορείτε να βρείτε κατά πόσο υπολείπεται η μία ποσότητα από την άλλη; Αναζητήστε το στη γεωμετρική

ερμηνεία.

7.Με βάση τις παρατηρήσεις σας συμπληρώστε την ταυτότητα (α+ β)2 = α2+β2+.....και αποδείξτε την

αλγεβρικά με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.

Δραστηριότητα 2η

Χρησιμοποιώντας το αρχείο α+β3.ggb να εξετάσετε με όμοιο τρόπο με εκείνον της δραστηριότητας 1 αν

ισχύει η ισότητα: (𝛼 + 𝛽)3 = 𝛼3 + 𝛽3 για οποιεσδήποτε τιμές των α, β.


Διάταξη πραγματικών αριθμών



ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Βασικές έννοιες της διάταξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

Δραστηριότητα 1η:

Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β και να βρείτε το πρόσημο της διαφοράς τους σε κάθε μια από

τις παρακάτω περιπτώσεις:

α=12 , β=3

i) 12 …. 3 και 12-3 …..0

ii) 3 …. 12 και 3- 12 …..0

α=5 ,και β=-4

i) -4 …. 5 και -4 –5…. 0

ii) 5 …. -4 και 5 – (-4)…0

α=-20 , β=-8

i) -20 …. -8 και -20- (-8) ….0

ii) -8 …. -20 και -8- (-20) ….0

α) Υπάρχει σχέση μεταξύ της διάταξης των αριθμών α και β και του προσήμου της διαφοράς τους;

β) Τα προηγούμενα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και

β;

γ) Τι θα συμβαίνει στην περίπτωση που οι αριθμοί α και β είναι ίσοι μεταξύ τους;

Να περιγράψετε αλγεβρικά τη σχέση της διάταξης μεταξύ δυο αριθμών α και β με το πρόσημο της

διαφοράς τους α-β .

Δραστηριότητα 2η: Για τα προηγούμενα ζεύγη αριθμών α, β να προσδιορίσετε το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους .

α=12 , β=3

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α=5 ,και β=-4

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α=-20 , β=-8

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α) Τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους σε σχέση με το πρόσημο των αριθμών α, β; β) Τα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β; γ) Τι συμβαίνει στην περίπτωση της διαφοράς α-β; δ) Αν γνωρίζετε το πρόσημο α) του αθροίσματος, β) του γινομένου ή γ) του πηλίκου δυο αριθμών α και β , μπορείτε να προσδιορίσετε το πρόσημο των α και β; Εξηγείστε. Να διατυπώσετε και να περιγράψετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματά σας.



Με βάση τη θέση των αριθμών α, β και γ στον άξονα του σχήματος, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 𝛢 = 𝛼−𝛾

𝛽(𝛾+4)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

Δραστηριότητα 4η: Έστω ότι α και β είναι δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν 𝛼 ≥ 0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 > 0 ,

α) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του γινόμενου τους α. β ; β) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματός τους α+ β; Δραστηριότητα 5η: Ένας μαθητής κάνει το συλλογισμό «Κάθε αριθμός α είναι ομόσημος με τον εαυτό του. Άρα, το γινόμενο 𝛼. 𝛼 είναι πάντα θετικό ως γινόμενο ομόσημων ή μηδέν αν α=0, συνεπώς θα ισχύει (1). Οπότε, αν β είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός , τότε θα ισχύει (2). Από (1) και (2) θα ισχύει (3) . Με βάση τις σχέσεις (1), (2) και (3) , θα ισχύει και η ανισότητα (4) για κάθε πραγματικό αριθμό χ».

Ένας άλλος συμμαθητής του υποστηρίζει ότι ο ισχυρισμός (4) δεν ισχύει πάντα. Ποιος έχει δίκιο;

Εφαρμογές

1) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισχυρισμοί. α) 𝛼𝜈 𝜒 < 1 , τότε το πρόσημο της παράστασης 𝜒 − 1 είναι …………….. β) 𝛼𝜈 − 1 < 𝜒 < 1 , τότε 𝜒 − 1 … 0 𝜅𝛼𝜄 𝜒 + 1 … .0

2) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μια από τις προτάσεις: Για κάθε αριθμό α ισχύει:

1) 2𝛼 ≥ 𝛼 2) 𝛼 + 2 ≥ 𝛼 3) 𝛼 − 2 ≤ 𝛼

3) Να συμπληρώσετε τα κενά με κατάλληλο σύμβολο της διάταξης α) 𝛼𝜈 𝜒 ≠ 1, 𝜏ό𝜏𝜀 (𝜒 − 1)2 … .0 β) 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝜒 ∈ 𝑅, (𝑥 − 1)2 + (2𝑥 − 4)2 … .0 γ) 𝑎2 + (𝛽 − 1)2 ≤ 0 ⇔ 𝛼 … . .0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 … .1

4) Αν 𝛼 > 1 > 𝛽 να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης: 𝛼𝛽 + 1 − 𝛼 − 𝛽

5) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει i) (𝛼 − 2)2 + (𝛽 + 2)2 = 0 𝛼2 + (2 − 𝛽)2 > 0

𝛼2 + 𝛽2 − 2(𝛼 − 𝛽) + 2 = 0


Διαστήματα

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:

17/12/19


Φύλλο Εργασίας στα διαστήματα Συντάκτης: ΓΙΩΤΗΣ Γ. –ΘΕΟΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.

Δραστηριότητα 1η A. Δίπλα σε κάθε ένα διάστημα να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις που το περιγράφουν:

Διάστημα Ανισοτική σχέση που ισχύει για τα στοιχεία του

x

Διάστημα στον άξονα

( )2 3− , 2 3− < <x

[ )2 3− , 2 3− ≤ <x

( ]2 3− , 2 3− < ≤x

[ ]2 3− , 2 3− ≤ ≤x

( )1 +∞, 1>x

[ )1 +∞, 1≥x

( )0−∞, 0<x

( ]0−∞, 0≤x

B.Δίπλα σε κάθε ένα διάστημα να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις που το περιγράφουν:

Διάστημα Ανισοτική σχέση που ισχύει για τα στοιχεία του

x

Διάστημα στον άξονα

( )2 5,

[ )2 5,

( ]2 5,

[ ]2 5,

( )2,+∞

[ )2,+∞

( )2,−∞

( ]2,−∞


Δραστηριότητα 2η .

Στο παρακάτω σχήμα:

Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος:

α) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Β συμπεριλαμβανομένου. β) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α μη συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Γ συμπεριλαμβανομένου. γ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά του Α (μη συμπεριλαμβανομένου); δ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται δεξιά του Α συμπεριλαμβανομένου και αριστερά του Γ μη συμπεριλαμβανομένου.


Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β 1. 0 2x< < Α. [ )7,x∈ − +∞ 2. 0.5≤x Β. 3 8

10 10≤ ≤x

3. 7− ≤ x Γ. ( ]0.15,2.13x∈

4. 327

− < <x Δ. 32,7

x

∈ −

5. [ ]0.3,0.8x∈ Ε. 1,2

x ∈ −∞

6. 10,3

x ∈ −∞ ΣΤ. 332,

3x

∈ −

7. [ )3,x∈ +∞ Ζ. ( )0,2x∈ 8. 11 7x− ≤ < − Η. [ )11, 7x∈ − −

9. 15 2,13100

x< ≤ Θ. 3x ≥

10. 5 123

x− < < I. 103

x≥

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ανισότητα που ικανοποιεί ο πραγματικός αριθμός x.

Διάστημα στο οποίο ανήκει ο πραγματικός αριθμός x.

Άξονας

7x <

7 x− ≥ 32 3x− ≤ ≤ −

1 02

x≥ ≥

0 x≤ ( 4, )∈ − +∞x


Να εκφράσετε υπό μορφή ενός διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τις παρακάτω εκφράσεις:

Έκφραση για το x Σύνολο που περιγράφει την έκφραση:

Άξονας

3 2x ή x≥ < − ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞

10 2 0x ή x− ≤ < − ≥ [ ] [ )10, 2 0,− − ∪ +∞

10 2 0x ή x− ≤ < − < 10 0x x− ≤ <και

10 20x x− ≤ − <και 10 2 5 7x x− ≤ < − < <και

Δραστηριότητα 6η Να περιγραφούν με την βοήθεια διαστημάτων οι παρακάτω σχέσεις: 1. x 3≤ ή x>5…………………………………………………………………………………… 2. 0 x 2 ή 3 x 7< ≤ ≤ < ………………………………………………………………………… 3. 2 x 3 ή 8 x 5− < ≤ > > ……………………………………………………………………….. 4. 0<x<3 και x<2………………………………………………………………………………... 5. x 0 2 x 7≥ και − ≤ < ………………………………………………………………………… 6. 1 x 2 x 5− < και − < ≤ ………………………………………………………………………… 7. x<3 και x>3…………………………………………………………………………………….. Δραστηριότητα 7η Να περιγραφούν με ανισότητες οι παρακάτω σχέσεις

1. ( )x , 4 ( 4, )∈ −∞ − ∪ − +∞

………………………………………………………………………… 2. ( ) ( ], 2 7,10x∈ −∞ ∪

………………………………………………………………………….


3. [ )5,7 9,x ∈ − ∪ +∞ ……………………………………………………………………………

4. [ ] [ )5,0 0,2x∈ − ∪

…………………………………………………………………………………

Δραστηριότητα 8η Να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις και τα διαστήματα που προκύπτουν από τα παρακάτω διαγράμματα.

Ανισοτική σχέση Διάστημα





Να γράψετε 20 αριθμούς του διαστήματος ( )0 1, .



Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

[ ] [ ]2 4 2 4, ,⊆ [ ] [ )2 4 2 4, ,⊆ [ ] [ )2 4 2, ,⊆ +∞ [ ] ( )2 4 5, ,⊆ −∞ Σ


Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού



Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

Συντάκτης: ΓΙΩΤΗΣ Γ. –ΘΕΟΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.

ΜΕΡΟΣ 1ο

1) Πότε ισχύει κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς α και –α;

i) α > -α …………….………….……… ii) α <-α …………….…………………..… iii) α =-α ……………………..…………

• Ποια η σχέση ανάμεσα σε |𝛼| και |−𝛼|; ……..………………………………………………………………………….

2) Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε:

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο:

Απόσταση δυο σημείων Α και Β: ………………………………………………………………………………………………………..

Παράσταση πραγματικών αριθμών με σημεία ενός άξονα x΄x:

• Τοποθετείστε σε αντίστοιχα σημεία Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η του παραπάνω άξονα τους αριθμούς: 2, -2, 1

2, − 1

2, √2, −√2

• Βρείτε τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από το 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Αν ο πραγματικός αριθμός α αντιστοιχεί σε σημείο Κ του άξονα x΄x, τότε η απόσταση του Κ από το Ο ονομάζεται ………………………………………………………… του α και παριστάνεται με…………………….

• Βρείτε τις τιμές: |2| = . . . , |−2| = . . ., �12� = . . ., �− 1

2� = . . ., �√2� = . . ., �−√2� = . . ., |0| = . . ..

• Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………………………


• |𝑥| = 2 • −2 < 𝑥 < 2 • να απέχουν από το μηδέν απόσταση μικρότερη από 2 • |𝑥| < 2

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………….... Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε: • |𝑥| = 2 • x < −2 ή x > 2 • να απέχουν από το μηδέν απόσταση μεγαλύτερη από 2 • |x| > 2 Τι παρατηρείτε; …………………………………………………………………………………………………………………………….................................................................................................................................... Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) i) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ii) Να διατυπώσετε λεκτικά τον ορισμό …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

5) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού 𝑥 − 2 ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Ασκήσεις:

Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 𝛼) 𝐴 = |𝑥 − 1|, 𝛽) 𝐵 = 2|𝑥 − 1| + 1, 𝛾) 𝛤 = |𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| , με − 2 < 𝑥 < 1, δ) 𝛥 =|𝑥 − 3| − |𝑥 − 4|, ε) 𝛦 = |𝑥|

𝑥+ |𝜓|

𝜓, 𝑥 ∙ 𝜓 ≠ 0 ΜΕΡΟΣ 2o

6) Είναι προφανές ότι ισχύει |𝑥| = |𝑥 − 0| Πώς θα ερμηνεύατε γεωμετρικά το |𝑥 − 2|; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................................

7) Πώς θα ορίζαμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών α, β; ……………………………………………………………………………………………………………

| 𝛼 − 𝛽| =

8) Να συγκρίνετε τις απόλυτες τιμές |𝛼 − 𝛽| … |𝛽 − 𝛼|

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: ……………………………………………... ..…………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………

9) Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα

σημεία Α και Β αντίστοιχα

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας τις απαραίτητες επεξηγήσεις: • Το μήκος του διαστήματος [𝛼, 𝛽], είναι

…………………………………………………………….. .……………………………………………………………………………………………………… διότι……………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………….….…………………………………………………………………………………………………………………………………… • Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ, είναι ο

…………………………………. ………………………………………………………………………………………………………… διότι ………………………………………………………………………………………………………. ...………………………………….……………………………………………………..……………………………………………………………………………………………. και ονομάζεται κέντρο του [𝛼, 𝛽]. 10) Να διαβάσετε (λεκτικά) τις σχέσεις χωρίς να χρησιμοποιείτε την έκφραση Απόλυτη Τιμή:


|𝑥 − 4| = 3 ..………………………………………………………………………………………………..

|𝑥 + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………

|𝑥 − 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………

|𝑥 − 4| > 3………………………………………………………………………………………………….

|𝑥 − 4| > - 5 ……………………………………………………………………………………………….. | 𝑥 + 4| < - 5 ……………………………….…………………………………………..…………..............

11) Μπορείτε να βρείτε τις τιμές του x που ικανοποιούν κάθε μία από τις επόμενες σχέσεις;

|𝑥 − 4| = 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 + 4| = 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 − 4| < 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 − 4| > 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 − 4| > - 5 ……………………………………..…………………………………………….................... |𝑥 + 4| < -5 ……………………………….…………………………………………………..…………… Ασκήσεις:

1. Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα

σημεία Α και Β αντίστοιχα

α) Αν θέλετε να χωρίσετε το παραπάνω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη, να

υπολογίσετε πόσο θα είναι το μήκος του καθενός από αυτά

β) Να βρείτε τους αριθμούς γ και δ (συναρτήσει των α και β), πο που αντιστοιχούν στα

σημεία Μ και Ν του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, έτσι ώστε ΑΜ = ΜΝ = ΝΒ

Τι μπορείτε να συμπεράνετε τότε για τα μήκη των διαστημάτων [𝛼, 𝛾], [𝛾, 𝛿] και [𝛿, 𝛽];


2. Η απόσταση ενός πραγματικού αριθμού x από το 1 δεν ξεπερνά τις 2 μονάδες.

Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του x


Απόλυτη τιμή και πράξεις

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /


Συντάκτης: ΓΙΩΤΗΣ Γ. –ΘΕΟΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.


1.1 Στον παρακάτω πίνακα Α, συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.

Πίνακας Α.

1 2 3 4 5 6 7

α β α⋅β |α| |β|

Απόλυτο

γινομένου

|α⋅β|

Γινόμενο

απολύτων

|α|⋅|β|

σύγκριση του |α⋅β|

με το

|α|⋅|β|

Πρόσημο

των α, β

2 3

-2 -3

2 -5

-2 5

1.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».

Τι

παρατηρείτε;…………………………………………………………………………………………

1.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

1.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

...............................................................................................................

1.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας;

…………………………………………………….

1.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α⋅β| … |α|⋅|β| για ……. α, β ∈R

1.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ

Αν α<0 και β<0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=(-α)(-β)=|α|⋅|β|

Αν α<0 και β>0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ=(-α) β=|α|⋅|β|

Αν α>0 και β<0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ= α(-β)=|α|⋅|β|


Αν α>0 και β>0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=|α|⋅|β|

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 62 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ


2.1 Στον παρακάτω πίνακα B. συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.

Πίνακας Β.

1 2 3 4 5 6 7

Α β α+β |α| |β|

Απόλυτο τιμή του

αθροίσματος

|α+β|

Άθροισμα απολύτων

τιμών |α|+|β|

σύγκριση του

|α+β| με το |α|+|β| Πρόσημο

των α, β

-4 -6

4 6

-4 6

4 -6

2.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».

Τι παρατηρείτε;

……………………………………………………………………………………………

2.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

2.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

…………………………………………………………………………

2.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας;

……………………………………………………..

2.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α+β| … |α|+|β| για ……. α, β ∈R

2.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΒΛΕΠΕ ΠΙΝΑΚΑ)

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 63 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ

2.8 Πότε ισχύει η ισότητα : |α +β| =|α| + |β|

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν |α|= α και |β|> β να αποδείξετε ότι αβ≤0.

2. |α| ≤2 και |β| ≤3 να αποδειχθεί ότι α) |2α+3β| ≤13 β) |5α-2β+1| ≤17 1ο ΕΠΑΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 20

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό χ να αποδείξετε:

4. Άσκηση Β1,Β3/σελ.68


Απόλυτη τιμή και διάταξη



Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή και Διάταξη Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια

του εδάφους, με υπόγεια βάθους 20 μέτρων από την επιφάνεια του

εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται στο κατάλληλο ύψος με μία

πλατφόρμα επιβίβασης – αποβίβασης. Προκειμένου οι εργάτες να

γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται κάθε στιγμή, υπάρχει

ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την

επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και

αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή.

Α. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 9 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται;

Απ.: ......................................................................................................................

2. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 7 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται; Απ.: ......................................................................................................................

3. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 9 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.: ......................................................................................................................

4. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.: ......................................................................................................................

5. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της. Απ.: ...................................................................................................................... 6. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m κάτω από την επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της.


Απ.: ......................................................................................................................

Β.

1. Nα μεταφέρετε την κίνηση της πλατφόρμας στον άξονα ψ΄ψ, συμβολίζοντας

με ψ τη θέση της πλατφόρμας.

2. Απαντήστε στις ερωτήσεις Α1- Α6 με αλγεβρικό τρόπο

Α1 : ( ,0) 9 9 9 9d x x x< ⇔ < ⇔ − < <

Α2 : ………………………………………………………………..

Α3 : ………………………………………………………………..

Α4 : ………………………………………………………………..

Α5 : ………………………………………………………………..

Α6 : ………………………………………………………………..

3. Γενίκευση: α) Αν x <θ με θ>0, τότε……………………………….

β) Αν x >θ με θ>0, τότε……………………………….

4. Εργασία για το σπίτι: Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Απόλυτη

τιμή Ανισότητα Γεωμετρική ερμηνεία Διάστημα

3x < -3<x<3

x∈(-3,3)

3x ≥

2x ≤

3 2x − <

3 2x − ≥

3x < −

3x ≥ −


2 1x + < −

2 1x + > −


Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού



Φύλλο Εργασίας στην τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών

Δραστηριότητα 1η 1.1 • Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς;

• Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;

• Το 144 είναι τετράγωνος αριθμός;

• Να εξηγήσετε πώς εξετάζουμε αν ένας αριθμός είναι τετράγωνος.

• Ξέρατε ότι…

1.2 • Ο κ. Ισίδωρος έχει ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου με εμβαδόν 81 m2. Πρέπει

να περιφράξει με σύρμα τη βορινή πλευρά του χωραφιού. Πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει να αγοράσει; Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης.

• Αν το χωράφι του κ. Ισίδωρου έχει εμβαδόν 27 m2, πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει να αγοράσει;

1.3 Να αποδειχθεί ότι για κάθε x 0≥ ισχύει: 2 1 0x x+ + ≥ Δραστηριότητα 2η . 2.1 Να εξηγήσετε γιατί δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η τετραγωνική ρίζα του -1 και κατά συνέπεια οποιουδήποτε αρνητικού αριθμού.


2.2 Ορίζεται η 2( 3)− ;……….. Ισχύει ότι 2( 3) 3− = − ;…………………………. Δραστηριότητα 3η 3.1 Να βρείτε τις ρίζες: 25 , ( )25− , 2α Τι παρατηρείτε; 3.2

α) Να βρείτε το ανάπτυγμα )( 27 3−

β) Να βρείτε τη ρίζα του 16 6 7− 3.3 α) Αν 0x > , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 225 4A x x x= − − β) Αν 0y < , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 236 9 2B y y y= − + Δραστηριότητα 4η 4.1 Παρατηρώντας τον παρακάτω πίνακα να απλοποιήσετε τις ρίζες και να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων. 50 18 8Α = − − 3 32 128 18Β = − + 5 1 5 1Γ = − ⋅ +

32 50 98

2+ +

∆ = ( 12 48 27) 3Ε = + −

4.2 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) ;

• 3 4 6 2⋅ = ⋅

• −

=

βαβ α

1

• α β α β⋅ = ⋅ με

,α β ∈

• 2014 2014 2014⋅ =

4.3Να εξετάσετε αν 100 36 64= + . Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το άθροισμα τετραγωνικών ριζών; Ισχύει κάτι ανάλογο για τη διαφορά τετραγωνικών ριζών; Δώστε ένα παράδειγμα. Δραστηριότητα 5η


Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: 212

, 65 2

, 13 4−


Ρίζες πραγματικών αριθμών

Φύλλο εργασίας

ΓΝΩΣΤΙΚΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:

Νιοστές Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΤΑΞΗ: ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………………

Δραστηριότητα 1η Ερώτημα 1.1 Ποια είναι η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν 64;

Απάντηση:…………………………………………..

Άρα 64 =..........

Ποια είναι η πλευρά κύβου με όγκο 64;

Απάντηση:…………….............................................

Άρα 3 64 =......

Ερώτημα 1.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας συμπληρώνοντας τα κενά στην ακόλουθη πρόταση: Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με v a και είναι ο μη αρνητικός αριθμός ..… που όταν υψωθεί στη .................δίνει τον............... Δραστηριότητα 2η Ερώτημα 2.1 Να εξετάσετε αν ορίζονται οι παρακάτω ρίζες και στην περίπτωση που υπάρχουν να υπολογιστούν.

( )5 2− 5 =……………. 5 2 5 = …………… ( )4 2− 4 = …………… 4 2 4 = …..…..

Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες αληθεύουν:

4 10000 = 10……………………. 4 10000− = -10 …………………………….

Ερώτημα 2.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας τις ακόλουθες προτάσεις


Αν ν άρτιος και α≥0 τότε ν a ν =………..

Αν ν άρτιος και α∈ R τότε ν a ν =………

Αν ν περιττός και α‹0 τότε ν a ν =………

Αν ν περιττός και α›0 τότε ν a ν =………

Δραστηριότητα 3η Ερώτημα 3.1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις : Α) 3 64 =…………………. 6 64 = ………………….. Β) 4 4⋅ =…………………... 4 16 = ………………….. Ερώτημα 3.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη ισότητα µ ν α =..................... Ερώτημα 3.3 Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες. ( µ ν α )μν = ..........................................................................

( µν α ) μν = ...........................................................................

Δραστηριότητα 4η Ερώτημα 4.1 Να απλοποιηθούν ακόλουθες παραστάσεις : 3 28 = ……………………………………. ( )6 48 =

………………………………….

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………

Ερώτημα 4.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη πρόταση ν ρ µ ρα⋅ ⋅ = ..................... Ερώτημα 4.3 Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες. ν ρ µ ρα⋅ ⋅ = .... ......aν = ................................................ Δραστηριότητα 5η


Ερώτημα 5.1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις : α) Να λυθεί η εξίσωση x5=32

β) Ποια είναι η τιμή του α ώστε ο αριθμός 32α να είναι ρίζα της εξίσωση x5=32 ;

Ερώτημα 5.2

Τι σημαίνει aµν ;

Εφαρμογές 1) Να απλοποιήσετε την παράσταση 4 844)4( βα− ………………………………………………………………………

2) Να υπολογίσετε τα α, b ∈ έτσι ώστε 4 42 )3()1( −+− ba = 0 3)Να απλοποιήσετε την παράσταση 3 5 4 222 ……………………………………………………………………….. 4) Να υπολογίσετε το γινόμενο

2 44 33 ααα ⋅⋅ ……………………………………………………………………


Εξισώσεις 1ου βαθμού



Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις

ΓΝΩΣΤΙΚΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:

Κεφάλαιο 3.1 : Εξισώσεις 1ου βαθμού –Παραμετρική Εξίσωση

ΤΑΞΗ: Α ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………..

Δραστηριότητα 1η Ερώτημα 1.1 Να λυθούν οι εξισώσεις : 2x=4 2 4x = -4x=2 2x=α αx=3 1 42

x = 0x=3

Ερώτημα 1.2 Να λυθούν οι εξισώσεις :

2x=10 1 10 02

x −+ =

10 02x+ = 5 14 7 (3 9)

2 4 2x x−

+ = − −

Ερώτημα 1.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις ακόλουθες προτάσεις : • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β έχει μοναδική μοναδική λύση όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι αδύνατη (δεν έχει λύση) όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι ταυτότητα ή αόριστη (έχει άπειρες

λύσεις ) όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = Δραστηριότητα 2η 1ο ΕΠΑΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 31

Ερώτημα 2.1 Δίνεται η εξίσωση 1ου βαθμού : (4-μ2)χ=2μ(μ-2)(μ+1) Για μ=1 η εξίσωση γράφεται ........................................................... και έχει λύση :…………………… μ=-4 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και έχει λύση :……………………… Για μ=2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και είναι ……….............................. Για μ=-2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και……………............................. Ερώτημα 2.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας : Δίνεται η εξίσωση: μ2(x-1)-2=3μ+x, μ∈ , όπου .......ειναι ο άγνωστος της και .......... η παράμετρος. Μετά από την εκτέλεση των πράξεων γράφεται στη μορφή ..................................................... Α) Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύση ;Να βρείτε τη μοναδική λύση. ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. Β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα ή αόριστη ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Γ) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι αδύνατη ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ερώτημα 2.3 Να λύσετε την εξίσωση : λ2x-6+λ=3λ+9x για τις διάφορες τιμές του λ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Εργασία για το σπίτι : Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α Λυκείου:

Άσκηση 1ii), iv) σελ.83

Άσκηση 3 σελ.83

Άσκηση 4 σελ.83 (να λυθεί και μέσα στην τάξη)

Η εξίσωση xν=α




Φύλλο Εργασίας στην εξίσωση xν=α

Μέρος 1ο

Δραστηριότητα 1η :

Υπολογίστε τις δυνάμεις του πίνακα.

𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕

2

-2 1.1 Τι συμπέρασμα βγάζετε για το πρόσημο του αριθμού 𝑥𝜈 όταν: Α) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν περιττός. Β) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν άρτιος. Γ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν περιττός. Δ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν άρτιος. 1.2 Να βρείτε τις λύσεις των εξισώσεων: Α) 𝑥2 = 4 Β) 𝑥3 = 8 Γ) 𝑥2 = −4 Δ) 𝑥3 = −8 Δραστηριότητα 2η :

2.1 Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β 1. 2 16x = Α. ύδ νατηΑ

2. 3 27x = Β. 3 125 5x = − − =

3. 12 5x = − Γ. 4 4x ή x= = −

4. 3 8x = − Δ. 3 27 3x = = 5. 6 64x = Ε. 3 8 2x = − = − 6. 3 125x = − ΣΤ.

6 664 2 64 2x ή x= = = − = −

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2.2 Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈 = 𝛼 ;

Αν ν περιττός και 𝛼 > 0


2.3 Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε

γιατί η εξίσωση 𝑥3 = −8 έχει μοναδική λύση τη 𝑥 = −√83 = −2


1. Να λύσετε τις εξισώσεις i. 𝑥2 = 4

ii. 𝑥2 = −4 iii. 𝑥4 − 16 = 0 iv. 𝑥4 + 16 = 0

2. Να λύσετε τις εξισώσεις

i. 𝑥3 = 27 ii. 𝑥3 = −27

iii. 𝑥7 − 128 = 0 iv. 𝑥7 + 128 = 0

Μέρος 2ο

Η εξίσωση 𝒙𝝂 = 𝜶𝝂


1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. 𝑥4 = 24 ii. 𝑦12 = (−5)12

iii. (−𝑥)6 − 46 = 0 iv. 𝑥8 = −28 v. 𝑥5 = (2

3)5

vi. 𝑥15 = −215 vii. −𝑥7 + 27 = 0

1.2 Με βάση την 1.1 μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈 = 𝛼𝜈 ;

1.3 Να λύσε

τε τις εξισώσεις

i. (𝑥 + 1)3 = 8

Αν ν άρτιος και 𝛼 > 0

Αν ν άρτιος και 𝛼 < 0

Αν ν περιττός και 𝛼 < 0

Αν ν ακέραιος και 𝜶 = 𝟎

Αν ν περιττός

Αν ν άρτιος


ii. (−2𝑥 + 3)2 = 16 iii. 𝑥5 + 𝑥2 = 0 iv. −𝑥7 = 𝑥2 v. (1 − 2𝑥)5 − (2𝑥 − 1)2 = 0

1.4 Ένας αριθμός υψωμένος εις την εβδόμη ισούται με τον ίδιο αριθμό υψωμένος εις την τρίτη. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;


Εξισώσεις 2ου βαθμού



Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις 2ου βαθμού

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ: 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Μέρος 1ο

Δραστηριότητα 1η : Η τετραγωνική εξίσωση

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η λύση της εξίσωσης 𝑥2 + 10𝑥 = 39 σε ένα χειρόγραφο του 1342

Δίνεται το τετράγωνο ΑΓΕΗ το oποίο χωρίζεται σε τέσσερα σχήματα από τις ΘΔ και ΒΖ που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του, έτσι ώστε 𝛢𝛣 = 𝛥𝛦 = 5 και 𝛣𝛤 = 𝛤𝛥 = 𝑥

1. Να αναγνωρίσετε τα τέσσερα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται στο εσωτερικό του τετραγώνου ΑΓΕΗ: ……………………………………...................................................................................................

2. Να εκφράσετε τα εμβαδά των ΑΒΚΘ, ΒΓΔΚ, ΚΔΕΖ και ΑΓΕΗ ως συνάρτηση του x. Να σημειώσετε επάνω στα τέσσερα εσωτερικά σχήματα το εμβαδόν τους.

3. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της ισότητας 𝑥2 + 10𝑥 = 39 4. Πόσο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΕΗ; …………………………………………………………...


5. Πόσο είναι το μήκος της πλευράς του ΑΓΕΗ; ……………………………………………………………..

6. Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς x; ………………………………………………………..

Δραστηριότητα 2η : Να λύσετε τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που ακολουθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και τη μέθοδο της διακρίνουσας:

α) 𝑥2 + 10𝑥 = 39 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

β) 𝑥2 + 10𝑥 = −25 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

γ) 𝑥2 + 10𝑥 = −30 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ:

Οι λύσεις της εξίσωσης 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 = 0, 𝛼 ≠ 0 με διακρίνουσα 𝛥 = 𝛽2 − 4𝛼𝛾, είναι:

𝜟 = 𝜷𝟐 − 𝟒𝜶𝜸 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Δραστηριότητα 3η : Η αλγεβρική απόδειξη των ριζών της εξίσωσης …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Εφαρμογές:

1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

𝑖) 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 𝑖𝑖) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0 𝑖𝑖𝑖) 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0 1ο ΕΠΑΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 37

2.α) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο του οποίου το πλάτος, το μήκος και η διαγώνιος να είναι

τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί

β) Να λύσετε την εξίσωση 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 με όλους τους δυνατούς τρόπους που γνωρίζετε


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ

Μέρος 2ο

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 𝜔2 − 3𝜔 − 4 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) 𝑥4 − 3𝑥2 − 4 = 0 , με τη βοήθεια της αντικατάστασης 𝑥2 = 𝜔, με 𝜔 ≥ 0 (Διτετράγωνη) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Γενίκευση: 𝛼𝑥4 + 𝛽𝑥2 + 𝛾 = 0, με 𝛼 ≠ 0

γ) 𝑥2 − 3|𝑥| − 4 = 0

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

………………………………

δ) 𝑥 − 3√𝑥 − 4 = 0

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

………………………………

2. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 𝑥2 + |𝑥| + 3𝑥 = 3

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

…………………………………………

β) 𝑥 + 𝑥−3𝑥+1

= 4𝑥𝑥+1

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


……………………………………………………………………………………………

…………………………………………

Εφαρμογές:

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x6 – 3x3 – 4 = 0, β) (x+2)2 – 4|𝑥 + 2| + 5 = 0, γ) x4+ 2x2 – 3 = 0, δ) x4 + 4x2+ 3 = 0

2. Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (11, 12, 13, 14, 15) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (6)


ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Μέρος 3ο

1. Δίνεται η εξίσωση 𝑥2 + 𝜆𝑥 − 2𝜆2 = 0, 𝜆 ∈ 𝑅 (1)

α) Να λύσετε την εξίσωση για 𝜆 = 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές λύσεις για κάθε 𝜆 ∈ 𝑅 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

γ) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; …………………………………………………………………………………………………………………. Ποια είναι τότε η ρίζα; …………………………………………………………………………………………

δ) Πότε η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες; …………………………………………………………………………………………………………………..

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: …………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..

ε) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ, αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση (1) έχει ως ρίζα τον αριθμό 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Δίνεται η εξίσωση 2𝜓2 − 5𝜓 + 2𝜅 + 3 = 0, 𝜅 ∈ 𝑅 Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜅 ∈ 𝑅 η εξίσωση είναι αδύνατη στο R ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Δίνεται η εξίσωση (𝜆 − 1)𝑥2 + 5𝑥 + 𝜆 + 1 = 0, 𝜆 ∈ 𝑅

α) Η εξίσωση είναι βαθμού:

Α) 1ου Β) 2ου Γ) Εξαρτάται, αλλά σίγουρα 1ου ή 2ου Δ) δεν μπορώ να ξέρω

Να επιλέξετε τη Σωστή απάντηση, με αιτιολόγηση: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


α) Για ποια τιμή του λ ∈ R η εξίσωση έχει μία ρίζα; Ποια είναι η ρίζα; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) Για ποιές τιμές του λ ∈ R η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. α) Να λύσετε την εξίσωση: 𝑥2 + 2𝛼𝑥 + (𝛼2 − 𝛽2) = 0, (1) για κάθε τιμή των 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

β) Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την 𝑥2 + 2𝛼𝑥 + 𝛼2 = 𝛽2 ⇔ (𝑥 + 𝑎)2 = 𝛽2 (2)

Τότε είναι 𝑥 + 𝑎 = 𝛽, οπότε το 𝑥 = 𝛽 − 𝛼

Αφού οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες, θα έπρεπε να έχουν τις ίδιες λύσεις. Γιατί

προέκυψαν διαφορετικές λύσεις; Μπορείτε να βρείτε το λάθος σε κάποιον συλλογισμό;

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………

Θυμόμαστε ότι: 𝑥2 = 𝑎2 ⇔ |𝑥|2 = |𝑎|2 ⇔ |𝑥| = |𝑎| ⇔ 𝑥 = 𝑎 ή 𝑥 = −𝑎 Μπορείτε τώρα να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης (𝑥 + 𝑎)2 = 𝛽2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ασκήσεις Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (3, 4, 5) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (1, 2, 3, 4, 5, 10) Σχόλιο: Η άσκηση 4 της Β΄ Ομάδας είναι αυτούσια και στις ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων


ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA

Μέρος 4ο

1. i) Να λυθεί η εξίσωση: x2 – ( 2 +1) x + 2 = 0 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ii) Αν x1, x2 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να υπολογίσετε το άθροισμα x1 + x2 και το

γινόμενο x1 x2 . Τι παρατηρείτε;

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………

2. Δίνεται η εξίσωση x2 – ( x1 + x2) x + x1 x2 = 0

i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντα λύση ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ii) Αν 𝑥1 ≠ 𝑥2 να λυθεί η εξίσωση. Τι παρατηρείτε; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. i) Δίνεται η εξίσωση αx2+βx+γ =0 με α≠ 0 και β2 > 4αγ (1)

Να υπολογίσετε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών της

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………..............................................


ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση x2 – Sx + P = 0 είναι ισοδύναμη με την (1)

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………

4. Να βρεθούν δύο αριθμοί που να έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Δίνεται η εξίσωση x2 + x – 3 = 0. Aν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης, τότε

α) να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων (χωρίς να υπολογίσετε τις ρίζες x1, x2 )

i) x1 + x2 =

…………………………………………………………………………………………….

ii) x1 x2 =

………………………………………………………………………………………………

iii) x12 +

x22=……………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………................

....................................................................................................................................................

...........................

iv) x13 x2 + 2 x1

2 x22 + x1 x2

3 = …………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………..……………….…..……………………………………………………………………..……………….…………………………………………………………………………………………………………….…….…………………………………………………………………………………………………………….

β) να κατασκευάσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τις x12, x2

2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Ασκήσεις:

1. Δίνεται η εξίσωση: x2+4x+λ =0, λ∈R (1)

α) να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η (1) να έχει λύση

β) να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η (1) να έχει δύο λύσεις:

i) ομόσημες, ii) αρνητικές, iii) αντίστροφες, iv) η μία τριπλάσια της άλλης

2. Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (6, 7, 8) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (6)


ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Μέρος 5ο

Ένας επίγειος μετεωρολογικός σταθμός τροφοδοτείται καθημερινά με δεδομένα μέσω δορυφόρου. Για την επεξεργασία των δεδομένων διαθέτει δύο μονάδες υπολογιστών Α και Β σταθερής απόδοσης. Αν χρησιμοποιηθεί μόνο μία από τις δύο μονάδες, τότε η μονάδα Β χρειάζεται 6 ώρες περισσότερο από ότι η μονάδα Α για να ολοκληρώσει την επεξεργασία του ημερήσιου όγκου δεδομένων. Αν οι δύο μονάδες συνδεθούν μέσω ειδικού λογισμικού (ταυτόχρονη λειτουργία), τότε η επεξεργασία των δεδομένων ολοκληρώνεται σε 4 ώρες. Να βρείτε το χρόνο σε ώρες που απαιτείται από κάθε μονάδα χωριστά για την επεξεργασία του ημερήσιου όγκου δεδομένων που λαμβάνονται από το δορυφόρο.

Έστω Δ ο ημερήσιος όγκος δεδομένων και t σε ώρες ο χρόνος που χρειάζεται η μονάδα Α για την επεξεργασία τους όταν λειτουργεί μόνη της.

τότε: 1. Ο χρόνος σε ώρες που χρειάζεται η μονάδα Β για την ίδια διαδικασία όταν λειτουργεί μόνη της είναι: …………………………………….………………………………………………………… 2. Θεωρούμε ότι η κάθε μονάδα λειτουργεί μόνη της. Τί μέρος του ημερήσιου όγκου δεδομένων επεξεργάζεται σε μία ώρα η κάθε μονάδα; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Όταν λειτουργούν και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα, τί μέρος του ημερήσιου όγκου δεδομένων θα έχει επεξεργαστεί σε μία ώρα; …………..…………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Η εξίσωση που μοντελοποιεί το πρόβλημα είναι: …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. Επίλυση εξίσωσης: ………………………………………..…………………………………………………………………


……………………………………….………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. 6. Έλεγχος των λύσεων: ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………..………………………. Προβλήματα σχολικού βιβλίου: Α΄ ΟΜΑΔΑ (10) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (7, 8, 9)


Η μοντελοποίηση και μία πορεία προς την επίλυση του προβλήματος, που προτείνει το Φ.Ε.:

1. Αν t είναι o χρόνος σε ώρες που χρειάζεται η μονάδα Α, τότε η Β χρειάζεται (t + 6) ώρες

2. Σε μία ώρα ο όγκος των δεδομένων που επεξεργάζεται η κάθε μονάδα χωριστά είναι:

i) μονάδα Α: 𝛥𝑡

ii) μονάδα B: 𝛥

𝑡+6

3. Όταν λειτουργούν και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα, ο όγκος των δεδομένων που

επεξεργάζονται σε μία ώρα είναι: 𝛥𝑡

+ 𝛥𝑡+6

4. Η εξίσωση που μοντελοποιεί το πρόβλημα είναι :

𝛥𝑡

+ 𝛥𝑡+6

= 𝛥4

𝛥≠0��

1𝑡

+ 1𝑡+6

= 14

5. Επίλυση εξίσωσης : 4(t + 6) + 4t = t(t + 6) ⇔ … ⇔ t2 – 2t –24 = 0

6. Έλεγχος των λύσεων: οι λύσεις είναι t = 6 (δεκτή) ή t = – 4 που απορρίπτεται διότι t > 0

7. Απαντήσεις: Η μονάδα Α χρειάζεται 6 ώρες και η μονάδα Β χρειάζεται 12 ώρες


Αξιολόγηση στη δευτεροβάθμια εξίσωση

Άσκηση 1η

Δίνεται η εξίσωση 2𝑥2 + 2𝑥 + 3 − 𝜆 = 0 , 𝜆 ∈ 𝑅 (1)

α) Αν 𝜆 = 7 να λύσετε την εξίσωση

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ 𝑅 η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

γ1) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του 𝜆

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ 𝑅 η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

Άσκηση 2η

Αν η εξίσωση 2𝜆2𝑥 − (2𝑥 − 3)|𝜆| − 3 = 0 έχει ως ρίζα τον αριθμό 2, τότε να υπολογισθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού 𝜆


Ανισώσεις 1ου βαθμού



Φύλλο Εργασίας στις ανισώσεις 1ου βαθμού

Οι ανισώσεις 1ου βαθμού είναι ασφαλώς πιο δύσκολες από τις εξισώσεις α΄ βαθμού γιατί η ανισότητα είναι πιο σύνθετη έννοια μιας και πρόκειται για σχέση που έχει το στοιχείο της «φοράς» που μεταβάλλεται από ορισμένους αλγεβρικούς χειρισμούς. Επιπλέον οι πρωτοβάθμιες ανισώσεις και τα συστήματα τους έχουν πιο πολύπλοκα σύνολα λύσεων από τις εξισώσεις και τα συστήματα εξισώσεων.

Η χρήση του παρόντος φύλλου εργασίας αποσκοπεί:

1. Στην επίλυση της ανίσωσης αx+β R0 όπου R είναι μια οποιαδήποτε από τις σχέσεις . 2. Η περιγραφή του συνόλου λύσεων της αx+β R0 με την βοήθεια διαστημάτων. 3. Η αναγνώριση του αν ένας αριθμός είναι λύση της αx+β R0. 4. Η επίλυση συστημάτων ανισώσεων της μορφής αx+β R0 . Τα προηγούμενα στην περίπτωση όπου τα α, β είναι συγκεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί.

5. Επίλυση της αx+β R0 όταν τα α, β δεν έχουν γνωστή τιμή (παράμετροι)

Τέλος επειδή καλό είναι οι μαθητές να έχουν ένα αυτοματισμό για το πρόσημο του πρωτοβαθμίου πολυωνύμου αx+β για τις διάφορες τιμές του x .


1. Να λύσετε τις ανισώσεις:

1.1. 2x-6>0 ………………………………………………………………………...

1.2. 2x-6<0 …………………………………………………………………………

1.3. 2x 6 0− ≥ ………………………………………………………………………

1.4. 2x 6 0− ≤ ………………………………………………………………………

Ποιες λύσεις κάθε μίας από τις παραπάνω ανισώσεις είναι και λύσεις των άλλων;

2. Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε σε άξονα τα σύνολα λύσεων τους:

2.1. 2 x 3 03⋅ − < ………………………………………………………………………

2.2. 2 3x 03 2⋅ + < ………………………………………………………………………

2.3. 2x 1 0− > ……………………………………………………………………….

2.4. ( 2 2)x 1 0− − ≤ ………………………………………………………………….

3. Ποιοι από τους αριθμούς -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 είναι λύσεις της

ανίσωσης 2x-6>0

4. Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος το σύνολο λύσεων κάθε μιας από τις παρακάτω

ανισώσεις:

4.1. 2x<7

4.2. 2x 7≥ −

4.3. ( 2 3)x 5 0− + >

5. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

5.1. 5x+10>0 και 3x-12≤0.

5.2. 32

x+3<0 και -3x+4<0

6. Να λύσετε τις ανισώσεις:


6.1. 2x<α

6.2. αx<2

6.3. α2 x≥2

6.4. (λ-1)x+λ<0

7. Για ποιες τιμές του x κάθε ένα από τα παρακάτω πρωτοβάθμια πολυώνυμα είναι θετικό,

αρνητικό ή μηδέν; Να συμπληρώσετε τον σχετικό πίνακα μεταβολών του προσήμου

7.1. x-5

7.2. x+5

7.3. 5-x

7.4. 2x-3

7.5. -2x+3


Ασκήσεις.

Εφαρμογή 1 σελ. 102, σελ. 104 1, 2, 3, 4 (Α), σελ. 105 1 (Β)

Αξιολόγηση στην επίλυση ανισώσεων 1ου βαθμού.

1. Δίνεται η ανίσωση 2(x-3)<9 (1) 1.1. Να λύσετε την (1) 1.2. Να παραστήσετε γραφικά τις λύσεις της (1). 1.3. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς -1, 0, 5, 50 , 10 είναι λύσεις της (1) 1.4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις της ανίσωσης (1) με την ανίσωση -2x+11<0 (2)

2. Να λύσετε ως προς x την ανίσωση (p-1)x-4 ≤0


Ανισώσεις 2ου βαθμού



Φύλλο Εργασίας στις ανισώσεις 2ου βαθμού

1ο Μέρος: Μορφές Τριωνύμου

1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Τριώνυμο Αντίστοιχη εξίσωση 2ου βαθμού

Διακρίνουσα τριωνύμου

Ρίζες τριωνύμου

23 5 2x x− + 29 6 1x x− + −

25 2 3x x− +

Το γράμμα x έχει την έννοια .................................

Το γράμμα x έχει την έννοια .................................

2. Να μετασχηματίσετε τα παρακάτω τριώνυμα, εφαρμόζοντας τη μέθοδο συμπλήρωσης

τετραγώνου. Όπου είναι δυνατό να τα παραγοντοποιήσετε ως γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα. α) 22 3 2x x+ − = ………………………………………………………………. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................. β) 24 4 1x x− + − = ……………………………………………………………… …….................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................. γ) 22 5 4x x− + = ……………………………………………………………….. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................

Τριώνυμο Διακρίνουσα τριωνύμου

Ρίζες τριωνύμου

Μετασχηματισμός τριωνύμου

Πρόσημο ;


ΣΥΜΠΕΡΑΣΜA:

Το τριώνυμο 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ με διακρίνουσα Δ, μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή:

Εφαρμογή:

Να μετασχηματίσετε τα παρακάτω τριώνυμα, με τη

βοήθεια της διακρίνουσας και των ριζών τους:

α) 22 3 9x x− − = ………...............................................................................................

β) 22 4 5x x− + = ...........................................................................................................

γ) 23 2x x− + + = ………………………………………...............................................

δ) 2 6 9x x− + − = ...........................................................................................................

ε) 24x 8x 5− + − = …….………………........................................................................

Αν Δ>0 και χ1, χ2 οι ρίζες του τριωνύμου

Τ

Ο

Τ

Ε

2x xα β γ+ + =

Αν Δ=0 και χ1 η διπλή ρίζα του τριωνύμου

2x xα β γ+ + =

Αν Δ<0 2x xα β γ+ + =


2ο Μέρος: Πρόσημο Τριωνύμου

1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τριώνυμο Μετασχηματισμός

Τριωνύμου Πρόσημο Διακρίνουσας

Πρόσημο του α

Πρόσημο Τριωνύμου για τις τιμές του χ

23 6 3x x− + 2x2+3x-2

22 4 5x x− + 24 8 5x x− + −

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν Δ............ ή Δ.................... τότε το τριώνυμο 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ γίνεται ............................., εκτός από την τιμή .............................................................. Εφαρμογή: 1. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων: α) 22 1x x− − +

β) 29 30 25x x− +

γ) 24 5 2x x− + +

δ) 26 7 9x x− +

2. α) Να παραγοντοποιήσετε, με τη βοήθεια των ριζών του, το τριώνυμο:

24 5 1x x− + − =......................................................................................................

Οι παράγοντες του τριωνύμου είναι: .................... ............................... ....................................

β) Στον παρακάτω πίνακα, για τις διάφορες τιμές του χ, βρείτε το πρόσημο κάθε παράγοντα και με τη βοήθεια αυτών στην τελευταία γραμμή βρείτε το πρόσημο του γινομένου τους, δηλαδή του τριωνύμου 22 5 3x x− + :

x −∞ +∞ Γινόμενο Παραγόντων:

24 5 1x x− + −

γ) Να βρείτε με τον ίδιο τρόπο το πρόσημο του τριωνύμου 22 5 3x x− + :

ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ


x −∞ +∞ Γινόμενο Παραγόντων:

22 5 3x x− +

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν Δ............ και χ1, χ2 οι ρίζες του τριωνύμου 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ τότε............................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................................... Συνοψίζοντας τελικά τα προηγούμενα σχετικά με το πρόσημο του τριωνύμου αx2+βx+γ, με α ≠ 0 έχουμε: .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Εφαρμογή: Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων: i) -3x2+9x-4

ii) -x2+x-14

iii) 5x2-8x+4 iv) 2x2+6x-56 v) 3x2+x+2 vi) 3x2+2 3 x+1


Μέρος 3ο : Επίλυση προβλημάτων με χρήση τριωνύμου.

1. Δραστηριότητα(Δ15)

Στο παρακάτω τραπέζιο , του οποίου οι πλευρές μετρώνται σε μέτρα, να υπολογίσετε:

α) Την περίμετρό του Π, ως συνάρτηση του χ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης Π (χ);

β) Να εκφράσετε το εμβαδόν του Ε ως συνάρτηση του χ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε (χ);

γ) Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του χ, αν η περίμετρος του τραπεζίου είναι τουλάχιστον 39 μέτρα και το εμβαδόν του το πολύ 99 τετραγωνικά μέτρα.


Σύντομη αξιολόγηση στις ανισώσεις 2ου βαθμού (ενδεικτικά θέματα)

Θέμα Α.

1. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο: 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 2. Να λυθεί η ανίσωση: 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 > 0. 3. Να λυθεί η ανίσωση: 𝛼𝑥2 − (𝑎 + 1)𝑥 − 𝑎 ≤ 0, 𝑎 > 0.

Θέμα Β.

Δίνεται η παράσταση: 𝛢 = 𝛼 + 1𝛼

− 1 , 𝛼 > 0 .

1. Να αποδειχθεί ότι 𝑥2 − 𝑥 + 1 > 0 για κάθε x πραγματικό αριθμό. 2. Να αποδειχθεί ότι Α>0. 3. Αν α, β ομόσημοι μη μηδενικοί να αποδειχθεί ότι: 𝛼

𝛽+ 𝛽

𝛼> 1.

Θέμα Γ.

1. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 𝛼2 + 𝛼𝛽 − 2𝛽2. 2. Να βρεθούν οι πλευρές α, β του παρακάτω σχήματος, ώστε το εμβαδόν του να είναι

μεγαλύτερο του 2𝛽2.

α

α

α

α

β


Η Έννοια της Συνάρτησης



Φύλλο Εργασίας στην έννοια της συνάρτησης

Μέρος 1ο (η έννοια της συνάρτησης)

Δραστηριότητα 1η 1.1 Προσπαθήστε να βρείτε ποια σχέση συνδέει τα x,y για κάθε πινακάκι χωριστά. Α.

x 1 3 4 10 y 1 9 16 100

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:…………………………………………………………………………... Β.

x 3 4 5 10 y 5 7 9 19

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:………………………………….. Γ.

x 3 5 7 8 y 3 4 5 11/2

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:…………………………………..

Δ.

x 2 1 4 8 y 5 5 5 5

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:………………………………….. Δραστηριότητα 2η

Αν η μεταβλητή y εξαρτάται από την μεταβλητή x μέσω της σχέσης y= 2x 44−

να συμπληρωθεί ο πίνακας. x 2 4 0

y

α) Σε πόσες τιμές y αντιστοιχίζεται η κάθε τιμή της μεταβλητής x; 1ο ΕΠΑΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 60

β) Θα μπορούσε για x=2 να είναι y=1; να εξηγήσετε. γ) Θα μπορούσε για y=3 να είναι x=4 και x=-4; να εξηγήσετε. δ) Υπάρχει αριθμός x για τον οποίο είναι y=-2; να εξηγήσετε. Τι συμπέρασμα βγάζετε από τα β), γ) και δ); Δραστηριότητα 3η Έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς x, y. Γράψτε τη μαθηματική σχέση που συνδέει τους δύο αριθμούς όταν Α. Ο y είναι μεγαλύτερος από τον x κατά δυο μονάδες 1. Β. Ο y ισούται με το τετράγωνο του x ελαττωμένος κατά τρία Γ. Ο y ισούται με το μισό του x. Δ. Ο y ισούται με ένα τρίτο του τετραγώνου του x. Ε. Ο y ισούται με το μισό της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου του x. Δραστηριότητα 4η Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 € το μήνα και ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Ποια σχέση συνδέει το συνολικό ποσό y, που κερδίζει το μήνα, με το ποσό x των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Συζήτηση Με βάση όλα τα παραπάνω να δοθεί ο ορισμός της συνάρτησης και να συζητηθεί. Δραστηριότητα 5η Με βάση τον ορισμό της συνάρτησης η παρακάτω διαδικασία δεν παριστάνει συνάρτηση.

Α) Διότι υπάρχουν μερικά στοιχεία του συνόλου Β που δεν αντιστοιχίζονται με κάποιο στοιχείο του συνόλου Α. Β) Διότι το στοιχείο α και το στοιχείο β έχουν την ίδια εικόνα (το στοιχείο 3). Γ) Διότι το στοιχείο β αντιστοιχίζεται με δύο στοιχεία του συνόλου Β τα στοιχεία 1 και 3. Δραστηριότητα 6η . 6.1. Ποιες από τις παρακάτω διαδικασίες περιγράφουν συναρτήσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας με βάση τον ορισμό της συνάρτησης. Α) Β)


f(α)= f(β)=

f( )=2 Γ) Δ) E)

6.2. Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών όσων από τις παραπάνω διαδικασίες παριστάνουν συνάρτηση. Δραστηριότητα 7η Α) Πότε ορίζεται η παράσταση x+3;

Β) Πότε ορίζεται το κλάσμα 1x

;

Γ) Πότε ορίζεται το κλάσμα 1x 1−

;

Δ) Πότε ορίζεται η ρίζα x του αριθμού x; Ε) Πότε ορίζεται η ρίζα 2 x− ;

f(α) = f( ) =2 f(γ) =

f(α) = f( ) =2 f(γ) =

f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = f( ) =


ΣΤ) Πότε ορίζεται η παράσταση 1x

;

Δραστηριότητα 8η Με βάση τη δραστηριότητα 6 να αντιστοιχίσετε τη στήλη Α με την στήλη Β

1. f(x)= 1x 1−

α) Το πεδίο ορισμού είναι το [-1, +∞ )

2. f(x)= x2 x− −

β) Το πεδίο ορισμού είναι το [0, 4) ∪ (4, +∞ )

3. f(x)= x 1+ γ) Το πεδίο ορισμού είναι το (-∞ ,1)∪ (1, +∞ )

4. f(x)= 1x 2−

δ) Το πεδίο ορισμού είναι το ∗

5. f(x)= 2

1x 1+

ε) Το πεδίο ορισμού είναι το -{-2}

6. f(x)= 2

1x

στ) Το πεδίο ορισμού είναι το

1 2 3 4 5 6 Δραστηριότητα 9η Στο παρακάτω σχήμα είναι AB = 1, AΓ = 3 και ΓΔ =2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου τριγώνου ΑΝΜ και του γραμμοσκιασμένου τραπεζίου ΑΕΜΝ σαν συνάρτηση του x = ΑΝ, όταν το Ν διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.


Έχουμε τον τύπο f(x)= 2x , x 0

x, x 0 ≥

<

A. Πόσες είναι αυτές οι συναρτήσεις; B. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού; Γ. Να βρείτε τα f(0), f(-1), f(2), f( 3 ), f((-1)3) Δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x)=4. Ε. Ανήκει ο αριθμός 4 στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f ;


Μέρος 2ο :Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Δραστηριότητα 1η 1.1 Να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν στη θέση των παρακάτω περιοχών.

Περιοχή Τετμημένη Τεταγμένη Συντεταγμένες

Αγία Βαρβάρα

Παπάγου

Άγιοι Ανάργυροι

Ψυχικό

Πειραιάς

Πετρούπολη

1.2. Αν κάποιος βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες (2,3) περιοχή Γαλάτσι. Να βρεθούν οι περιοχές που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου (2,3) α) ως προς τον άξονα των x. β) ως προς τον άξονα των y. γ) ως προς την αρχή των αξόνων. Δραστηριότητα 2η 2.1. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=-x2+5x+6 και g(x)=-x+2 που είναι ορισμένες σε όλο το R. I) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων: α) Να βρείτε τις τιμές f(1), f(5/2), f(0), g(1). β) Τα σημεία τομής των Cf , Cg, με τους άξονες.


γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=1 και g(x)=-2 δ) Να βρείτε τις τιμές f(2), g(2), f(4), g(4). Τι παρατηρείτε; ε) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x). στ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cg βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x. ζ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)<0. η) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < g(x). II) Να λυθούν όλα τα παραπάνω ερωτήματα αλγεβρικά.

Δραστηριότητα 3η . Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων). Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο Α(-3,0) και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση y−x=3. Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο B με συντεταγμένες Β(2,3) του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. i) Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ii) Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο Γ με συντεταγμένες Γ(α,3α). Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα. iii) Ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβαίνει αυτό;

ΕΡΓΑΣΙΑ 1. Στο παρακάτω παιχνίδι ο κάθε παίκτης τοποθετεί στο τετραγωνισμένο χαρτί 5 καράβια. Ο κάθε παίκτης χωρίς να βλέπει το στόλο του αντιπάλου του υποδεικνύει ένα τετράγωνο στο σχέδιο π. χ


Θ9. Αν βρίσκεται εκεί ένα καράβι το βυθίζει (το αντίστοιχο κομμάτι) αν όχι παίζει ο άλλος παίκτης. Κερδίζει αυτός που καταφέρνει να βυθίσει όλο το στόλο του αντιπάλου.

2. Στην παρακάτω σκακιέρα έστω ότι ένα πιόνι βρίσκεται στη θέση η7 να βρεθούν οι συμμετρικές θέσεις του πιονιού αυτού: α) ως προς τον άξονα των y β) ως προς τον άξονα των x γ) ως προς την αρχή των αξόνων.


Η συνάρτηση f(x)=αx+β



Φύλλο Εργασίας στη συνάρτηση f(x)=αx+β

Ανοίξτε το αρχείο y=ax+b π.ggb. Στην οθόνη έχουμε μία ευθεία με εξίσωση

ψ= αχ +β , δύο μεταβολείς για τα α , β και τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες. Επίσης

φαίνεται και η γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον ημιάξονα Οχ. Σε δεύτερη φάση

εμφανίζονται και δύο άλλα σημεία Γ και Δ.

1. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις

1.1 Δώστε στο μεταβολέα β τιμή 0 και μεταβάλλετε μόνο τις τιμές του μεταβολέα α. Τι

παρατηρείτε;

………………………………………………………………………………………..………………

……………………………………………………………………………

1.2 Να μεταβάλλετε μόνο τις τιμές του μεταβολέα β. Τι παρατηρείτε;

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………….………………

1.3 Μπορείτε να βρείτε τη σχέση της γωνίας ω και του συντελεστή α;

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………….………………………


1.4 Να κατασκευάσετε μία ευθεία η οποία να σχηματίζει γωνία 450 με τον άξονα χ' χ. Ποιος είναι ο

συντελεστής διεύθυνσης; Πόσες τέτοιες ευθείες μπορείτε να κατασκευάσετε;

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………….………………………

1.5 Να κατασκευάσετε μία ευθεία η οποία να περνά από τα σημεία Γ , Δ. Ποια είναι η εξίσωση της

ευθείας;

…………………………………………………………………………………………………………

………

1.6 Αν βάλετε β = 0, τότε η f παίρνει τη μορφή f(x) =…….…. , οπότε η γραφική της παράσταση

είναι η ευθεία y = ………. και περνάει από ……..… ………… …….. ……………. Ειδικότερα:

• Για α = 1 έχουμε την ευθεία y = …... Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον

άξονα x′x, ισχύει εφω =…. =…., δηλαδή ω = …..ο. Επομένως η ευθεία y =…. είναι η

……………... των γωνιών xOy και x΄Oy των αξόνων.

• Για α = -1 έχουμε την ευθεία y = …... Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον

άξονα x′x, ισχύει εφω = …. =…., δηλαδή ω = …..ο. Επομένως η ευθεία y =…. είναι η

……………... των γωνιών xOy και x΄Oy των αξόνων.

Πότε μία ευθεία δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης;

…………………………………………………………………………………………

2. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών

Ανοίξτε το αρχείο y=ax+b π2.ggb.ggb. Στην οθόνη έχουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις y =

α1x + β1 και y = α2x + β2 αντιστοίχως. Επίσης φαίνεται και η γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες

όταν τέμνονται.

Για ποιες τιμές των α1 και α2 οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες ή συμπίπτουν; Ειδικότερα:

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες είναι παράλληλες , ενώ

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

• Αν α1 …. α2 , τότε οι ευθείες τέμνονται.

• Πότε οι ευθείες είναι κάθετες;

………………….……………………………………………………………….

Σύμφωνα με τα παραπάνω:

• Γενικά, οι ευθείες της μορφής y =αx + β, όπου β σταθερό και α μεταβλητό ……………….

όλες από το σημείο (0,….).

• Γενικά, οι ευθείες της μορφής y = αx+ β, όπου α σταθερό και β μεταβλητό, είναι όλες μεταξύ

τους ………………. , αφού έχουν όλες την ίδια κλίση α.


• Η συνάρτηση f(𝒙) = |𝒙| αποτελείται από τις δύο …………………….

y = …. , με 𝒙 ≥ 𝟎 ……… και y =….., με 𝒙 ≤ 𝟎 ……… που διχοτομούν τις γωνίες xOy και

x΄Oy αντιστοίχως.

Ασκήσεις

1. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = –3x + 2

i) Να βρείτε την τεταγµένη του σηµείου Α της Cf που έχει τετµηµένη 1

ii) Να βρείτε την τετµηµένη του σηµείου Β της Cf που έχει τεταγµένη -7.

iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Cf

2. Δίνεται η ευθεία ε : y = √3 x − 4. Να βρείτε

i) Το σηµείο τοµής της µε τον άξονα x x′

ii) Το σηµείο τοµής της µε τον άξονα y y

iii) Τη γωνία ω που σχηµατίζει η ε µε τον άξονα x΄x

3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από το σηµείο Α(1, –2) και

είναι παράλληλη στην ευθεία η : y = –3x + 4 .

Θεωρούµε τις συναρτήσεις: f(x) = (µ – 1)x – 2, g(x) = 2 𝜇

x + 3 όπου µ ≠ 0. Να βρείτε τις τιµές του µ

για τις οποίες οι Cf , Cg είναι παράλληλες ευθείες


Η μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2



Φύλλο Εργασίας στη μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2


1.1 Συμπλήρωσε τον πίνακα τιμών, αν 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥2, ℎ(𝑥) = −𝑥2.

x -2 -1 0 1 2 f(x) g(x) h(x)

1.2. Φτιάξε σύστημα αξόνων και τοποθέτησε τα

σημεία (𝑥, 𝑓(𝑥)). Τι γραμμή προκύπτει αν βάλεις περισσότερα σημεία; Πώς λέγεται;

1.3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων τοποθέτησε πρώτα τα σημεία (𝑥, 𝑔(𝑥)). Ποιες οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές με την προηγούμενη γραμμή; ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..

1.4. Στο ίδιο σύστημα αξόνων τοποθέτησε πρώτα τα σημεία (𝑥, ℎ(𝑥)). Ποιες οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές με τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις; ……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………….


Δραστηριότητα 2η Στο παρακάτω σύστημα αξόνων δίνονται έξι παραβολές. 2.1 Να βρεθούν οι συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις είναι οι παρακάνω παραβολές. 2.2. Για κάθε μία από τις συναρτήσεις αυτές υπάρχει τιμή της μεταβλητής χ για την οποία η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή της; Μπορείτε να αποδείξετε αλγεβρικά γιατί ισχύει αυτό; Τι μπορείτε να συμπεράνετε

γενικότερα για την 𝑦 = 𝑎𝑥2; 2.3. Κάθε μία από τις παραβολές αυτές έχει άξονα(ες) συμμετρίας; Κέντρο συμμετρίας; 2.4. Από τι εξαρτάται το «άνοιγμα» μίας παραβολής και με ποιον τρόπο;

2.5. Παρατηρήστε τις παραβολές 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑦 = −𝑎𝑥2. Είναι συμμετρικές μεταξύ τους;

Ασκήσεις – Μελέτη : Βιβλίο σελ.188-192, Ασκήσεις : σελ 192 Α1,Α4, Β2, Β4.


Η συνάρτηση f(x)=αx2 +βx +γ

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 δ. ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /


Φύλλο Εργασίας στη συνάρτηση f(x)=αx2 +βx+γ

Δραστηριότητα 1η . 1.1 Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστημα αξόνων

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Στη συνέχεια στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘 για 𝑘 = −1,2,3;

Δραστηριότητα 2η Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

𝑓(𝑥) = 𝑥2. Στη συνέχεια στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης ℎ(𝑥) = (𝑥 + 𝑘)2 για 𝑘 = −1,2,3;


3.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝜑(𝑥) = 𝑥2 − 4x + 5.

Αφού τη γράψετε στη μορφή 𝜑(𝑥) = (𝑥 + 𝜆)2 + 𝑘 προσπαθήστε να την σχεδιάσετε δίπλα, χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματά σας από τα προηγούμενα ερωτήματα. 3.2 Που αυξάνονται (για ποια χ) και που ελαττώνονται οι τιμές της συνάρτησης; 3.3 Υπάρχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Που βρίσκεται αυτή;


3.4 Υπάρχει άξονας συμμετρίας;

4. Δίνεται η συνάρτηση 𝜑(𝑥) = 2x2 − 4x − 6. 4.1 Αφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση

χ -2 -1 0 1 2 3 4 φ(χ)

4.2 Με χρήση της γραφικής παράστασης να προσδιορίσετε τις λύσεις των εξισώσεων φ(χ)=0 , φ(χ) = 2 και της ανίσωσης φ(χ)>0. 4.3 Να επιλυθούν αλγεβρικά οι εξισώσεις φ(χ)=0 , φ(χ)=2 και η ανίσωση φ(χ) > 0. Συγκρίνετε με τις απαντήσεις στο 4.2


Δραστηριότητα 5η 5.1 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα σχετικά με το πρόσημο του τριωνύμου, αφού κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις παραβολών :

α>0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Πλήθος ριζών f(x)= 0

Πλήθος σημείων τομής με χ΄χ

Γραφική παράσταση

𝐱 − ∞ + ∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

f(x) f(x) f(x)

α<0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Πλήθος ριζών f(x) = 0

Πλήθος σημείων τομής με χ΄χ :

Γραφική παράσταση

x −∞ +∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

f(x) f(x) f(x)

5.2 H 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾παρουσιάζει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή για x =....... η οποία είναι ίση με ..........

Ασκήσεις – Μελέτη : Βιβλίο σελ. 199-203, Ασκήσεις σελ. 203-4: Α1, 2α, 3, Β2, 3.


Μάθημα: Άλγεβρα - Φύλλα εργασίας...

Documents

Transcript of Μάθημα: Άλγεβρα - Φύλλα εργασίας...